ANÁLISE COMBINATORIA

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O princípio fundamental da contagem é um princípio da
combinatória. É, basicamente, a ideia de que o número de
possibilidades de fazer ações distintas e independentes é
a multiplicação da quantidade de modos possíveis que
cada uma pode ser feita.
EX: BLUSAS-
SAIAS- 
SAPATOS-
8 COMBINAÇÕES COM CADA BLUSA 
8.6=48
CONJUNÇÃO LIGA OPERAÇÃO
 OU HIPÓTESES ADIÇÃO
 E ETAPAS MULTIPLICAÇÃO
PRMUTAÇÃO C/ REPETIÇÃO
PERMUTAÇÃO CIRCULAR
COMBINAÇÃO COMPLETA 
O fatorial de um número natural n, representado por n!, é o
produto de todos os inteiros positivos menores ou iguais a
n.
EX: 4! = 4.3.2.1= 24
OBS: 4!= 4.3!
FATORIAL
PFC
ARRANJO SIMPLES 
PERMUTAÇÃO SIMPLES
COMBINAÇÃO SIMPLES
ARRANJO C/ REPETIÇÃO
FATORIAL
PFC
A ORDEM IMPORTA ?
DEPENDE DA SITUAÇÃO SE FOR UMA CONTAGEM DE
PRIMEIRO SEGUNDO E TERCEIRO LUGAR ENTÃO A
ORDEM IMPORTA MAS SE 3 PESSOAS GANHAREM UM
MESMO PREMIO A ORDEM DOS NOMES NÃO IMPORTA.
ARRANJO SIMPLES
Arranjos são agrupamentos nos quais a ordem dos seus
elementos faz a diferença. Por exemplo, os números de três
algarismos formados pelos elementos {1, 2 e 3} são: 312,
321, 132, 123, 213, 231 Esse agrupamento é um arranjo,
pois a ordem dos elementos 1, 2 e 3 diferem. E é
considerado simples, pois os elementos não se repetem.
@istudies.s
fundamental da contagem, calculamos a quantidade de
elementos: A3,2 = 3 . 2 . 1 = 6
FORMULA: A n,p = n! 
 (n – p)!
Podemos considerar a permutação simples como um caso
particular de arranjo, onde os elementos formarão
agrupamentos que se diferenciarão somente pela ordem. As
permutações simples dos elementos P, Q e R são: PQR,
PRQ, QPR, QRP, RPQ, RQP. Para determinarmos o
número de agrupamentos de uma permutação simples
utilizamos a seguinte expressão: 
P = n!.
EX: Quantos anagramas podemos formar com a palavra
GATO? 4 letras 4!= 24
Veja o exemplo abaixo: 
Dado o conjunto B = {5,6,7}, veja os possíveis
agrupamentos formados com 2 elementos de B.
Nesse exemplo percebemos que é
possível formar 6 arranjos, essa
quantidade pode ser representada da
seguinte forma: A3,2 (três elementos
distintos formados de dois a dois).
Utilizando o processo do princípio 
PERMUTAÇÃO
SIMPLES
Os elementos que compõem o conjunto podem aparecer
repetidos em um agrupamento, ou seja, ocorre a repetição
de um mesmo elemento em um agrupamento. A fórmula
geral para o arranjo com repetição é representada por:
A(n,p)=np
n = Número de elementos do conjunto.
p = Quantidade de elementos por agrupamento.
Exemplo: Seja P um conjunto com elementos: 
P = {A,B,C,D}, tomando os agrupamentos de dois em dois,
considerando o arranjo com repetição quantos
agrupamentos podemos obter em relação ao conjunto
 P.P = {A, B, C, D}n = 4p = 2A(n,p)=npA(4,2)=42=16
Representação por extenso dos agrupamentos do arranjo
com repetição:
A= {AA, AB, AC, AD, BB, BA, BC, BD, CC, CA, CB, CD, DD,
DA, DB, DC}Observe que os agrupamentos com repetição 
Para encontrar essa quantidade de agrupamentos formados
em uma combinação simples utilizamos a seguinte fórmula:
 Cn,p = n! 
 p! (n – p)!
n é a quantidade de elementos de um conjunto, p é um
número natural menor ou igual a n, que representa a
quantidade de elementos que irão formar os agrupamentos.
EX: Se considerarmos o conjunto B ={A,B,C,D} formados
por 4 pontos não colineares (que não pertence a mesma
reta), qual a quantidade de triângulos que podemos formar?
Nesse caso o agrupamento é formar triângulos utilizando 4
pontos não colineares. Se destacarmos dois agrupamentos
formados teremos: ABC e BCA, esses são triângulos
formados com os mesmos pontos, mas em ordens
diferentes que torna os triângulos iguais. Portanto, os
agrupamentos formados nesse exercício são combinações.
todas as possibilidades de triângulos formados com os
quatro pontos não colineares: ABC, BAC, CAB, DABABD,
BAD, CAD, DACACB, BCA, CBA, DBAACD, BCD, CBD,
DBCADB, BDA, CDA, DCAADC, BDC, CDB, DCB
a quantidade de combinações simples que os 4 pontos não
colineares (A,B,C,D), tomados 3 a 3 irão formar será 4, pois
os seus agrupamentos se diferem pela natureza de seus
elementos e não pela ordem.
n = 4 
p = 3
C4,3 = 4! =4
 3! (4-3)!
ARRANJO C/ REPETIÇÃO 
combinação simples de elementos do conjunto P são: AA, BB, CC e DD. Aexistência desses elementos referente ao agrupamento faz
com que o arranjo seja do tipo com repetição.
PERMUTAÇÃO C/
REPETIÇÃO 
EX: Determinar os anagramas da palavra MORANGO. Os
anagramas serão formados a partir de uma sequência de 7
letras, das quais duas são iguais a O. Dessa forma temos:
EX: Determine os anagramas da palavra MARROCOS. Os
anagramas serão formados a partir da sequência de 8
letras, das quais duas são iguais a R e duas iguais a O.
Temos que:
PERMUTAÇÃO
CIRCULAR
Quando os elementos de um conjunto estão em um certo
ciclo. Por exemplo: crianças brincando de roda, pessoas
jantando em uma mesa, etc. Neste tipo de permutação, o
que define o local de uma pessoa (ou objeto) são as duas
pessoas (ou objetos) que estão ao seu lado.
PCn= n!
 n
EX: De quantas maneiras seis crianças podem se organizar
para brincar de roda?
PC6=6! = 6⋅5! = 5! =5⋅4⋅3⋅2⋅1= 120maneiras.
 6 6 
 ( CORTA 6 COM 6 )
COMBINAÇÃO
COMPLETA
Combinações completas de n elementos, de k a k, são
combinações de k elementos não necessariamente
distintos. Em vista disso, quando vamos calcular as
combinações completas devemos levar em consideração as
combinações com elementos distintos (combinações
simples) e as combinações com elementos repetidos. O
total de combinações completas de n elementos, de k a k,
indicado por :
@istudies.s