Circuitos de Corrente - Série e Paralelo

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II-CIRCUITOS DE CORRENTE CC
CIRCUITOS SÉRIE
Um circuito série permite somente um percurso para a
passagem da corrente. Nesse caso, a corrente I é a 
mesma em todas as partes do circuito.
Para o circuito série, a resistência total ou equivalente, 
RT ,é a soma de todas as resistências individuais do 
circuito.
 321 RRRRT  (1)
RT =Resistência total, 
R1 , R2 , R3 =Resistências em série, 
Ex.) Um circuito série é formado por resistores de 
50 , 75  e 100 . Determine a resistência total do 
circuito.
A tensão total num circuito série é igual a soma das 
quedas de tensão em cada resistência do circuito.
 321 VVVVT  (2)
VT =Tensão total, V
V1 =Queda de tensão em R1 , V
V2 =Queda de tensão em R2 , V
V3 =Queda de tensão em R3 , V
V1 = I R1
V2 = I R2
V3 = I R3
onde
Para um circuito série com n resistências, temos:
 nT RRRRR  321 (3)
 nT VVVVV  321 (4)
Ex.) Num circuito série obtemos 6 V nos terminais de
R1 , 30 V nos terminais de R2 e 54 V nos terminais de 
R3 . Qual é a tensão total do circuito ? 
Ex.) Uma bateria de 95 V está conectada em série com
3 resistores: 20 , 50  e 100 . Calcule a tensão em
cada resistor.
POLARIDADE DAS QUEDAS DE TENSÃO
Quando há uma queda de tensão em uma resistência,
uma extremidade deve ser mais positiva ou mais 
negativa do que a outra. 
A polaridade da queda de tensão é determinada pelo
sentido convencional da corrente, ou seja, de um 
potencial positivo para um mais negativo.
Ex.) No exemplo anterior, aterre o terminal negativo da
bateria de 95 V. Marque as polaridades das quedas de 
tensão no circuito e determine os valores da tensão 
nos pontos A, B, C e D com relação ao terra (GND).
CONDUTORES
Um condutor é um material que possui muitos elétrons
livres. O alumínio, o cobre e a prata são exemplos de 
bons condutores. 
Os condutores possuem uma resistência muito baixa
e sua função é conectar a fonte de tensão a uma 
resistência de carga, com mínima queda de tensão.
A tabela 4.1 relaciona as dimensões padronizadas dos 
fios de acordo com o padrão americano de bitolas de 
fios (AWG-American Wire Gauge). No Brasil utiliza-se 
mm2 como forma de especificar a bitola de fios.
RESISTIVIDADE
Para qualquer condutor dado, a sua resistência 
depende da resistividade do material , do 
comprimento do fio l, e da área da seção reta A.
 
A
l
R  (5)
R=Resistência do condutor, 
l= comprimento do fio, m
A=área da seção reta do fio, CM (circular mils)
=Resistividade, CM /m
COEFICIENTE DE TEMPERATURA
A variação da resistência de um condutor com a 
temperatura é dada pela seguinte relação linear:
   TRR  10 (6)
R=Resistência à temperatura mais alta, 
R0 = Resistência à temperatura de 20C, 
=Coeficiente de temperatura, /C
T= Acréscimo de temperatura acima de 20C, C
POTÊNCIA NO CIRCUITO SÉRIE
A potência total no circuito série é dada por :
(7) TT VIP 
PT =Potência total, W
I=Corrente, A
VT =Tensão total, V 
A potência total produzida pela fonte também pode 
ser expressa pela soma das potências dissipadas em 
cada resistência individual do circuito. 
 nT PPPPP  321 (8)
P1 , P2 , P3 , Pn =Potências nos resistores, W
Ex.) No circuito ilustrado, calcule a potência total 
dissipada nos resistores.
CIRCUITOS EM PARALELO
Um circuito paralelo é aquele no qual dois ou 
mais componentes estão conectados à mesma
fonte de tensão. 
(9)
Cada percurso paralelo é então uma ramo com a 
sua própria corrente. A corrente total IT é a soma 
das correntes em todos os ramos.
(10)
(11)
Ex.) Um circuito paralelo é constituído por uma 
cafeteira elétrica, uma torradeira e uma panela de 
fritura conectados às tomadas de 120 V de uma 
cozinha. Que corrente fluirá em cada ramo do circuito
e qual é a corrente total consumida por todos os 
eletrodomésticos mencionados ?
RESISTÊNCIAS EM PARALELO
A resistência total num circuito paralelo pode ser 
determinada pela Lei de Ohm.
(11)
RT =Resistência total, .
V= Tensão da fonte, V.
IT =Corrente total, A.
A resistência total no circuito paralelo também pode 
ser obtida da seguinte equação:
(12)
R1 ,R2 ,R3 ,Rn =Resistências nos ramos, .
Para N resistores iguais em paralelo, tem-se:
Para n=2, temos:
(13)
(14)
Ex.) Calcule a resistência total do circuito abaixo. 
CIRCUITO ABERTO
Um ponto “aberto” em qualquer parte de um circuito
é uma resistência extremamente alta que implica em 
ausência de fluxo de corrente através do circuito. 
CURTO-CIRCUITO
Um “curto” em qualquer parte de um circuito é uma 
resistência extremamente baixa que resulta em fluxo 
de corrente muito alto através do curto-circuito.
CONDUTÂNCIA EM PARALELO
A condutância G é o oposto da resistência R. A unidade
de condutância no SI é o siemens (S).
(15)
Aplicando o conceito de condutância na eq. (12), 
temos:
(16)
G =Condutância total, S.
G1 ,G2 ,G3 ,Gn =Condutâncias nos ramos em paralelo, S.
Ex.) Calcule a condutância e a resistência total do 
circuito abaixo.
POTÊNCIA EM CIRCUITOS 
PARALELO
Nos circuitos paralelo, o cálculo da potência total é 
idêntico ao procedimento aplicado nos circuitos série,
dado pelas eqs. (7) e (8). 
P =Potência total, W.
P1 ,P2 ,P3 ,Pn =Potências nos ramos, W.
Ex.) Calcule a potência total e a potência em cada ramo
do circuito abaixo.
SOLUÇÃO ALTERNATIVA
LEI DE KIRCHHOFF PARA A TENSÃO 
(LKT)
A Lei de Kirchhoff para a tensão, ou lei das malhas, 
afirma que a tensão aplicada a um circuito fechado 
é igual a soma das quedas de tensão nesse circuito.
(17)
onde VA é a tensão aplicada e V1 ,V2 ,V3 são quedas 
de tensão.
Da eq.(17), temos:
(18)
ou
(19)
Baseado na eq.(19), a LKT pode ser enunciada da 
seguinte forma: a soma algébrica das tensões ao longo
de um circuito fechado deve ser igual a zero. 
Na eq.(19), atribuímos um sinal positivo para uma 
elevação de tensão e um sinal negativo para uma 
queda de tensão.
Ex.) Aplique a LKT no circuito abaixo.
Ex.) Determine a tensão VB no circuito abaixo.
LEI DE KIRCHHOFF PARA A 
CORRENTE (LKC) 
A Lei de Kirchhoff para a corrente, ou lei dos nós, 
afirma que a soma das correntes que entram numa 
junção é igual a soma das correntes que saem da 
junção.
(20)
Considerando as correntes que entram na junção 
como positivas e as que saem como negativas, temos:
Da eq.(20), temos:
(21)
(22)
Da eq.(22), a LKC pode ser enunciada da seguinte 
forma: a soma algébrica de todas as correntes que se 
encontram numa junção comum é zero.
Ex.) Calcule as correntes desconhecidas nos circuitos 
abaixo.
O MÉTODO DA CORRENTE DE 
MALHA 
O método da corrente de malha para análise de 
circuitos CC consiste nos seguintes passos:
1)Depois de definir as malhas, mostre os sentidos das
correntes no sentido horário. Indique a polaridade da
tensão em cada resistor conforme o sentido adotado
para a corrente. O fluxo convencional da corrente 
num resistor produz uma polaridade positiva onde a 
corrente entra.
2) Aplique a LKT ao longo de cada malha.
Malha 1:
(23)
Malha 2:
(24)
3) Calcule I1 e I2 , resolvendo o sistema linear formado
pelas equações (23) e (24).
4) De posse das correntes de malha, calcule todas as 
quedas de tensão nos resistores.
5) Verifique a solução encontrada percorrendo uma 
malha alternativa. Para a malha (abcdefa), temos:
Ex.) Calcule as correntes de malha e todas as quedas 
de tensão no circuito abaixo.
Passo 1: Definição das malhas, sentidos das correntes,
e polaridades dos resistores.
Passo 2: Aplicação da LKT nas malhas 1 e 2.
Malha 1 (abcda):
(25)
Malha 2 (adefa):
(26)
Passo 3: Cálculo de I1 e I2 .
X (5)
X (3)
Passo 4: Cálculo das quedas de tensão.
Passo 5: Verificação da solução pela aplicação da LKT 
na malha (abcdefa).
P) Calcule as correntes de malha e as quedas de tensão
para o circuito abaixo.
P) Obtenha o sistema linear para a determinação das
correntes de malha no circuito abaixo.
O MÉTODO DA TENSÃO NODAL
O método da tensão nodal é baseado na 
aplicação da lei de Kirchhof para a corrente(LKC) aos nós principais de um circuito. Um nó 
é uma conexão comum a dois ou mais 
componentes. Um nó principal possui três ou 
mais conexões. No circuito mostrado a seguir, 
A, B, G e N são nós, sendo G e N os nós 
principais. O número de equações necessárias 
para solução do problema é igual ao número 
de nós principais menos 1. 
Aplicando a LKC no nó N, temos:
Pela lei de Ohm, tem-se:
Substituindo I1 , I2 e I3 na LKC obtemos uma equação
para o cálculo de VN . A partir da determinação de VN , 
todas as correntes e quedas de tensão podem ser 
obtidas.
Ex.) Use o método da tensão nodal para determinar
as correntes e quedas de tensão no circuito abaixo.
P) Calcule todas as correntes e tensões no circuito
abaixo usando o método da tensão nodal.
A REGRA DE CRAMER
Sistema linear de 2 equações e 2 incógnitas.
Passo 1: Determinante da matriz de coeficientes
=0 Sistema sem solução
Passo 2: Solução do sistema linear.
Sistema linear com 3 equações e 3 incógnitas
Passo 1: Determinante da matriz de coeficientes
Passo 2: Solução do sistema linear
Ex.) Determinar as correntes de malha para o circuito 
abaixo.
Aplicando a LKT nas malhas 1 e 2, temos:
(27)
(28)
Solução do sistema linear pela regra de Cramer
Passo 1:
Passo 2:
Ex.) Determinar as correntes de malha para o circuito
abaixo.
Aplicando a LKT nas malhas 1, 2 e 3, temos:
(29)
(30)
(31)
Solução do sistema linear
Passo 1:
Passo 2:
P) Determinar as correntes de malha para o circuito 
abaixo.
P) Determinar as correntes de malha para o circuito 
abaixo.
ANÁLISE DE REDES
Redes em T ou Y
Redes em  ou 
Na simplificação da análise de rede, muitas vezes é 
interessante converter o tipo Y em  ou  em Y.
Conversão  em Y
(32)
(33)
(34)
Conversão Y em 
(35)
(36)
(37)
Ex.) Converta a rede  mostrada abaixo numa rede Y.
Ex.) Converta a rede Y obtida no exemplo anterior 
numa rede .
Ex.) Utilize a conversão de rede para determinar a 
resistência equivalente do circuito em ponte 
mostrado abaixo.

Ex) Calcular a resistência equivalente RT e a tensão de 
saída V0 no circuito abaixo..
Teorema da superposição
O teorema da superposição afirma que, numa rede 
com duas ou mais fontes, a corrente ou a tensão para
qualquer componente é a soma algébrica dos efeitos
produzidos por cada fonte atuando 
independentemente.
Quando se retira uma fonte de tensão, ela é substituída
por um curto-circuito e quando se retira uma fonte de 
corrente, ela é substituída por um circuito aberto.
Ex.) Calcule as correntes nos ramos I1 , I2 e I3 usando
o teorema da superposição.
1) Calcule as correntes produzidas pela fonte V1.
2) Calcule as correntes produzidas pela fonte V2.
3) Some algebricamente as correntes individuais para
obter as correntes produzidas pelas duas fontes.
Ex.) Calcule a corrente no resistor de carga RL no 
circuito abaixo, pelo método da superposição.
Teorema de Thévenin
O teorema de Thévenin afirma que qualquer rede 
linear de fontes de tensão e resistências, se 
considerarmos dois pontos qualquer da rede, pode 
ser substituída por uma resistência equivalente Rth
em série com uma fonte equivalente Vth.
Rth é a resistência de Thévenin “vista” pelos terminais
da rede com cada fonte de tensão substituída por um
curto-circuito. 
Vth é a tensão Thévenin que apareceria através dos 
terminais a e b com as fontes de tensão inclusas e sem
nenhuma carga conectada através de a e b.
Ex.) Calcule o equivalente Thévenin nos terminais a e
b do circuito abaixo.
1) Calcule Rth com a fonte em curto. 
2) Calcule a tensão Vth entre os terminais a e b.
Ex.) Acrescente um resistor de carga RL de 3,6  nos 
terminais a e b do circuito anterior e determine VL e IL.
Ex.) Calcule a corrente de carga IL e a tensão de carga
VL no circuito abaixo usando o Teorema de Thévenin.
Teorema de Norton
O teorema de Norton afirma que qualquer rede 
conectada aos terminais a e b pode ser substituída 
por uma única fonte de corrente IN em paralelo com 
uma única resistência RN. 
IN é igual à corrente de curto-circuito entre os 
terminais a e b. RN é a resistência entre os terminais a
e b com a fonte de tensão substituída por um 
curto-circuito
O circuito equivalente Thévenin corresponde ao 
circuito equivalente Norton com IN =Vth /Rth .
Ex.) Transforme o circuito de Thévenin da figura 
abaixo no seu equivalente Norton. Mostre que os
dois circuitos são equivalentes
Thévenin Norton
Circuito série-paralelo
Num circuito série-paralelo, seguem-se as regras que
se aplicam aos circuitos em série para a parte em 
série do circuito e seguem-se as regras que se aplicam
aos circuitos em paralelo para a parte em paralelo do 
circuito.
Ex.) Calcule a resistência total, a corrente total e as 
correntes nos ramos do circuito abaixo.