1 - Análise CC

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Eletrotécnica Geral 
ANÁLISE DE CIRCUITOS EM 
CORRENTE CONTÍNUA 
2 
Corrente Elétrica 
• Representada pela taxa de movimento de 
cargas elétricas em uma superfície (dq/dt); 
– Uma carga elétrica é formada quando um 
átomo perde ou ganha um elétron na sua 
camada de valência; 
– Sua unidade é o Ampère (A) (André-Marie 
Ampère – físico francês), ou seja, 1 C/s 
(coulomb/segundo); 
– A carga do elétron e do próton têm o mesmo 
valor: 1,6 x 10-19 C. 
Corrente Elétrica 
– Adota-se a corrente elétrica (I ou i) como sendo 
o movimento de cargas positivas sabendo-se 
que em um condutor o fluxo de cargas é 
negativo (de elétrons); 
• O fluxo de elétrons pode ser contínuo ou 
alternado: 
– O fluxo contínuo é o que se movimenta somente 
em um sentido; 
– O fluxo alternado é o que ora se movimenta em um 
sentido ora em sentido contrário. 
3 
Tensão Elétrica 
• Ao aproximarmos dois corpos eletrizados 
com cargas elétricas de mesmo sinal, eles 
repelem-se e, quando eletrizados com 
cargas elétricas de sinais opostos, eles 
atraem-se. 
• A energia para efetuar este trabalho é 
denominada energia potencial elétrica. 
• Quanto maior a eletrização do corpo, 
maior a força de atração ou repulsão. 
4 
Tensão Elétrica 
• O trabalho realizado para se deslocar uma 
carga de um ponto a outro por unidade de 
carga é chamado de potencial elétrico. 
• A unidade da tensão elétrica é o Volt, 
representado pela letra V, e simbolizado 
pelas letras V ou E. 
5 
Tensão Elétrica 
• Modos de geração de tensão elétrica 
– Por atrito (ex. lã com âmbar); 
– Por calor (ex. termopar); 
– Por pressão (ex. microfones, captadores); 
– Por luz (ex. fotocélula); 
– Por eletrólise (ex. pilhas e baterias); 
– Por magnetismo (ex. geradores); 
6 
Força Eletromotriz (f.e.m.) 
• Consiste na energia convertida em 
energia elétrica por unidade de carga; 
 
 
• A f.e.m. nos terminais do gerador constitui 
a tensão ou d.d.p. necessária à circulação 
de corrente. A potência fornecida pelo 
gerador é: 
7 
Potência Elétrica 
• A circulação de corrente elétrica em um 
condutor provoca o seu aquecimento, pela 
sua “resistência” à passagem da corrente 
elétrica. 
• A potência dissipada por efeito Joule é 
dada por P=R.I2 para I constante; 
8 
Resistência Elétrica 
• Depende das características geométricas 
do condutor, bem como do material que o 
constitui: 
 
9 
2ª lei de Ohm 
Resistência Elétrica 
• A resistência elétrica de um condutor é 
variável com sua temperatura. 
• O mesmo acontece para a resistividade 
elétrica do material. 
10 
Resistência Elétrica 
• A resistividade de um material em função 
da temperatura é dada por: ρT = ρ0 (1+ 
α0T) . 
• Ex.: 
– Para o cobre: ρ20C = 0,0174 Ω mm
2 / m e 
 α20C = 0,00393 C
-1 
– Para o alumínio: ρ20C = 0,0283 Ω mm
2 / m e 
α20C = 0 0,00403 C
-1 
11 
Condutância 
• Pode-se definir, ainda, a condutância, G, e 
a condutividade do material, σ, como 
sendo o inverso da resistência e da 
resistividade, respectivamente. 
12 
Lei de Ohm* 
• A partir de suas medidas experimentais, 
chegou a conclusão de que os materiais 
condutores sujeitos a uma diferença de 
potencial apresentam uma resistência de 
valor constante à passagem da corrente 
elétrica. 
 
13 
* Físico alemão: Georg Simon Ohm 
http://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2010/01/lei-de-ohm1.jpg
Lei de Ohm 
• A energia transformada em calor pela 
passagem de uma corrente num condutor 
é dada por: W = R.I2.t = R.I.q; 
• A energia necessária para movimentar 
uma carga entre dois pontos é dada por: 
W = V.q; 
• Assim: R.I.q = V.q, ou seja V = R.I 
14 
1ª lei de Ohm 
 Resistor 
• Elemento de circuito que possui resistência 
fixa dentro de limites operacionais. 
15 
Lei de Ohm 
• Mesmo mantendo-se fatores físicos 
constantes, nem todos os materiais 
seguem a lei de Ohm, são os materiais 
ditos não ôhmicos. 
• Ex.: NTC, PTC, Varistor, semicindutores 
em geral. 
16 
Lei de Ohm 
17 
Exercício 
1) Para um resistor com R=1 kΩ, com 
potência máxima de ¼ de Watt, qual a 
máxima tensão que se pode aplicar nos 
terminais do mesmo sem causar danos à 
sua estrutura física? 
2) Para circuitos série e paralelo com dois 
resistores R1=330 Ω e R2 = 750 Ω, e uma 
tensão de 10 V, qual resistor ira dissipar 
maior potência nos dois casos? 
18 
Exercício (cont.) 
3) Se os resistores da questão anterior 
possuem tolerâncias de ±5% e ±10%, 
respectivamente, quais as tensões máximas 
e mínimas podem surgir nos terminais de 
cada resistor? 
4) Para o gráfico seguinte pede-se: Qual 
corresponde à associação em série e em 
paralelo. Obtenha os valores de R1 e de R2. 
19 
Exercício (cont.) 
20 
21 
Condutores 
• Os metais são bons condutores de 
eletricidade: 
– Apresentam elétrons livres que são os que se 
encontram mais afastados do núcleo e 
libertam-se facilmente das últimas camadas 
do átomo, movimentando-se livremente pelo 
material e facilitando o movimento de cargas 
elétricas. 
Isolantes 
• Isolantes de eletricidade ou dielétricos 
são os materiais que apresentam os 
elétrons fortemente ligados ao núcleo do 
átomo, dificultando o movimento de 
cargas elétricas. 
• Como exemplos, temos a borracha, o 
vidro e a mica. 
22 
23 
Semicondutores 
• Átomos de materiais com 4 elétrons 
(germânio, silício) em sua camada mais 
externa permitem o estabelecimento de 
ligações muito estáveis, por meio do 
compartilhamento dos elétrons externos 
pelos átomos vizinhos (ligação covalente). 
24 
Semicondutores dopados 
• Quando se faz a adição de materiais com 
3 ou 5 elétrons em sua camada de 
valência à estrutura de um semicondutor, 
os átomos vizinhos terão suas ligações 
covalentes incompletas ou com excesso 
de elétrons. 
• Respectivamente produz-se os materiais 
semicondutores tipo P ou tipo N. 
25 
Propriedades físicas 
• Maior área  maior capacidade de 
condução de corrente; 
• Maior comprimento  maior capacidade 
de suportar tensões; 
Bipolos 
• Bipolo elétrico é qualquer dispositivo 
elétrico com dois terminais acessíveis, 
mediante os quais pode ser feita a sua 
ligação a um circuito. 
• O comportamento elétrico de um bipolo 
pode ser obtido a partir de sua 
característica externa, ou curva 
característica, que é representada pela 
função V = f ( I ). 
26 
Classificação dos bipolos 
• Lineares e não lineares, conforme sua 
curva característica, seja uma reta ou não, 
respectivamente. 
• Passivos e ativos, conforme sua curva 
característica cruze a origem ou corte o 
eixo dos coordenadas cartesianas em dois 
pontos. 
27 
Exemplos de bipolos 
28 
Convenções para bipolos 
• Para a representação de correntes e 
tensões em bipolos utiliza-se: 
 
– Convenção do receptor: a corrente positiva 
entra no terminal positivo do bipolo; 
usualmente utilizada para bipolos passivos. 
– Convenção do gerador: a corrente positiva sai 
pelo terminal positivo; usualmente utilizada 
para bipolos ativos. 
29 
Exemplo bipolo 
• Determinar a tensão nos terminais do 
bipolo ativo. 
30 
Exemplo bipolo (cont.) 
• Resolução analítica: 
 
– Para o bipolo ativo: V = E – r.I 
– Para o bipolo passivo: V = R.I 
• Resolvendo para I e V: 
 
I = E / (R + r) = 6 / (0,18 + 0,02) = 30 A 
V = R.I = 0,18 x 30 = 5,4 V 
31 
Exemplo bipolo (cont.) 
• Resolução gráfica: 
32 
Ponto de operação 
Fonte de Corrente 
33 
Associação de bipolos 
• Bipolos associados em série são 
percorridos pela mesma corrente e sua 
tensão resultante é dada pela soma das 
tensões individuais. 
34 
Associação de bipolos 
• Na associação em paralelo de bipolos a 
tensão terminal dos bipolos é igual e a 
corrente total é dada pela soma das 
correntes individuais. 
35 
Associação de bipolos 
• Pode-se representar o bipolo equivalente 
de diversas fontes de corrente em termos 
de uma fonte de tensão: 
36Exemplo associação de bipolos 
• Para o circuito com dois bipolos ativos e 
um passivo, sendo R1=0,02 Ω; R2=0,08 
Ω, R3= 0,20 Ω, E1= 5 V e E2= 10 V. 
Pede-se: 
a) O bipolo equivalente da associação série-
paralelo dos três bipolos; 
b) A corrente Ι e a tensão nos terminais V, do 
bipolo equivalente quando alimentar, entre 
seus terminais A e B, uma resistência R de 
10Ω. 
37 
Circuito do Exemplo anterior 
38 
a) 
b) 
Representação de bipolos 
• Resistor: 
 
 
• Indutor: 
 
 
• Capacitor: 
39 
Bipolos não Lineares 
• A resolução analítica de redes que contam 
com bipolos não lineares geralmente é 
obtida através de processo iterativo, mas 
é bastante simplificada utilizando-se 
procedimentos gráficos. 
40 
Bipolos não Lineares 
• Resolução analítica: fixa-se um valor 
arbitrário I(0) da corrente impressa no 
bipolo passivo. A partir dessa corrente 
determina-se, através da curva V(1)=f(I(0)), 
a tensão em seus terminais. A partir dessa 
tensão calcula-se a corrente fornecida 
pelo bipolo ativo. 
41 
Bipolos não Lineares 
• Resolução analítica: Repete-se o 
procedimento até que diferença entre os 
valores das correntes em duas iterações 
sucessivas seja não maior que uma 
tolerância pré-estabelecida. 
• Resolução gráfica: como em regime 
permanente, as tensões nos terminais dos 
dois bipolos e suas correntes devem ser 
iguais, o ponto de operação será dado 
pela interseção das duas curvas. 42 
Redes de bipolos 
• Uma rede de bipolos é um conjunto de 
bipolos ligados entre si. 
– Nó - um ponto qualquer da rede no qual se 
reúnem dois ou mais bipolos distintos; 
– Ramo (ou lado) - qualquer dos bipolos da 
rede cujos terminais estão ligados a dois nós 
distintos; 
– Malha - qualquer circuito fechado da rede. 
43 
Exemplo de Rede de Bipolos 
44 
A rede de bipolos da figura conta com 6 nós, 10 ramos e várias malhas 
(por exemplo: ramos 1-2-3, ramos 4-5-7-8, ramos 1-10-5-7-9, etc.). 
Leis de Kirchhoff 
• 1ª Lei: A soma algébrica das correntes 
aferentes a um nó qualquer de uma rede 
de bipolos é nula. 
45 
Leis de Kirchhoff 
• 2ª Lei: A soma algébrica das tensões 
medidas ordenadamente nos ramos de 
uma malha é nula 
46 
Resolução de Circuitos CC 
• Qualquer circuito elétrico CC composto 
por bipolos lineares, pode ser resolvido 
pelo emprego das leis de Ohm e de 
Kirchhoff, resultando em sistemas de 2r 
equações e 2r incógnitas. 
47 
Exemplo Circuito CC 
• A rede conta com 4 ramos e 3 nós e tem-
se 8 incógnitas (V1, V2, V3, V4 e Ι1, Ι2, Ι3, 
Ι4). 
48 
Exemplo Circuito CC (cont.) 
• Aplicando-se a lei de Ohm aos quatro 
bipolos resultam as equações: 
 
 
• Aplicando-se a 1ª Lei de Kirchhoff, a dois 
nós, resultam as equações: 
49 
Exemplo Circuito CC (cont.) 
• Aplicação da 2ª Lei de Kirchhoff a (r - n +1 
= 2) malhas: 
 
 
• Obtém-se, assim, um sistema de 8 
equações a 8 incógnitas. 
50 
Exemplo Circuito CC (cont.) 
• Substituindo-se as equações da Lei de 
Ohm nas equações referentes à 2ª Lei de 
Kirchhoff, tem-se o seguinte sistema de 
equações equivalente: 
 
51 
Exemplo Circuito CC (cont.) 
• Pelas leis de Ohm: 
52 
Exercício 
• Determinar a potência consumida ou 
fornecida pelos bipolos do circuito abaixo: 
53 
Trazer na próxima aula 
• Montar as matrizes B, M e K 
54 
Correntes Fictícias de Maxwell 
• Este método é uma simplificação das leis 
de Kirchhoff. O procedimento utilizado no 
método é o de se fixar, para cada uma 
das m = r - n + 1 malhas independentes 
da rede, uma corrente fictícia para a qual 
adota-se um sentido de circulação. 
55 
Exemplo Método Maxwell 
• Adotam-se as correntes fictícias α e β 
para as malhas independentes I e II, 
respectivamente. 
56 
Exemplo Método Maxwell 
• Aplicando a 2ª Lei de Kirchhoff para as 
duas malhas, tem-se: 
 
• Substituindo-se os valores das correntes 
de ramos pelo das de malha, isto é: Ι1 = Ι2 
= α, Ι3 = α - β e Ι4 = β, resulta: 
57 
Exemplo Método Maxwell 
• Resolvendo-se o sistema de equações 
obtém-se: α = 50,662 A e β = 0,9934 A. 
 
• Logo as correntes nos ramos são: 
 Ι1= Ι2 = 50,662 A 
 Ι3 = 49,668 A e 
 Ι4 = 0,9934 A 
58 
Abordagem Matricial 
• No circuito abaixo aplicando-se a LTK e 
rearranjando em termos das excitações: 
59 
Vetor excitação Vetor variáveis Matriz de resistências 
Abordagem Matricial 
• Montagem direta das matrizes 
– Matriz : É dada pela soma algébrica das 
fontes de tensão. A tensão será positiva se a 
corrente sair pelo terminal positivo da mesma; 
– Matriz : 
• O elementos da diagonal principal Rii são obtidos 
pela soma das resistências da malha i. 
• Os demais elementos Rij têm o valor da resistência 
equivalente do ramo comum à malha i e j com 
sinal negativo (-). 
60 
Abordagem Matricial 
• Casos particulares: 
– Existência de fontes de corrente em paralelo 
com uma condutância (resistência)  efetuar 
a conversão de fontes; 
– Correntes arbitradas em qualquer sentido  
seguem as regras anteriores considerando 
que, nos elementos fora da diagonal principal, 
da matriz terão sinais positivos se as 
correntes nestes resistores tiverem o mesmo 
sentido. 
61 
Abordagem Matricial 
• Casos particulares: 
– Fontes de corrente sem possibilidade de 
conversão  considera-se que existe uma 
tensão a ser determinada nas extremidades 
da fonte. 
– Fontes controladas  monta-se as equações 
diretamente. 
62 
Abordagem Matricial 
• Assim tem-se 
• Sendo Δ o determinante da matriz pode-
se calcular as correntes incógnitas: 
 
 
• Onde Δ1, Δ2 e Δ3 são calculados a partir 
da substituição das colunas 1, 2 e 3 de 
por . 
63 
Abordagem Matricial 
• Exemplo: 
64 
Abordagem Matricial 
• Exemplo (cont.), assim, 
 
 
 
 
• I1 = 7760/775  10 A 
• I2 = 6 A 
• I3 = 2 A 
65 
Exercício 
• Usando o método das correntes fictícias 
de Maxwell e a abordagem matricial no 
circuito abaixo, determinar qual resistor 
dissipa maior potência. 
66 
R1
270
R2
820
R3
820
R4
470
R5
560
V1
9V
0
V2
3V
Princípio da Superposição 
• A corrente (ou tensão) num dos ramos de 
uma rede de bipolo lineares é igual à 
soma das correntes (ou tensões) 
produzidas nesse ramo por cada um dos 
geradores, considerados separadamente, 
com os outros geradores inativos. 
67 
Princípio da Superposição 
• Gerador Inativo: 
 
– Tratando-se de gerador de tensão, sua f.e.m. 
é curto-circuitada, permanecendo no circuito, 
somente a resistência interna; 
– Tratando-se de gerador de corrente, o 
gerador ideal é aberto, permanecendo no 
circuito somente a condutância interna do 
mesmo. 
68 
Exemplo Superposição 
• Determinar, pelo método da superposição, 
a corrente no resistor R da rede da figura. 
69 
Exemplo Superposição 
• Deve-se determinar as correntes, I’ e I”, 
com o gerador 1 ativado e o gerador 2 
desativado, e vice-versa. A corrente total 
pela resistência R é dada por: I = I’ + I”. 
70 
Exemplo Superposição 
• Cálculo de I’: transformando-se o gerador 
de corrente em gerador de tensão e, 
associando-se as resistências R e r2 em 
paralelo, calcula-se a corrente Ι1. 
71 
Exemplo Superposição 
• Cálculo de I’’: associando-se em paralelo 
R com r1 = 1/g1 = 1/0,5 = 2,0 Ω resulta 
resistência equivalente dada por 
 
 
 
• Assim, 
72 
Princípio da Linearidade 
• A linearidade é uma combinação da 
propriedade de homogeneidade (também 
conhecida como escalonamento ou 
proporcionalidade) e da propriedade 
aditiva. 
 
73 
Escalonamento ou 
Proporcionalidade 
• A homogeneidade expressa o fato de que 
se a entrada de um sistema (excitação) for 
multiplicada por uma constante, a saída 
(resposta) também será multiplicada pela 
mesma constante. 
 
 R × (k × i) = k × (R × i) = k × v 
74 
Propriedade Aditiva 
• A propriedade de adição expressa o fato 
de que a resposta deum sistema 
constituído de várias entradas será a 
soma das respostas individuais 
consideradas separadamente. 
 V1 = R1.I1 e V2 = R2.I2 
 v = R × i1 + i2 = R × i1 + R × i2 
 v = V1 + V2 
75 
Princípio da Linearidade 
• Um circuito será considerado linear se 
todos os seus componentes possuírem a 
propriedade de homogeneidade e a 
propriedade aditiva. 
• Circuitos com fontes independentes, 
fontes dependentes, capacitores lineares, 
indutores lineares e resistores lineares, 
são lineares. 
76 
Princípio da Linearidade 
• Deve-se observar que as propriedades de 
homogeneidade e aditiva não se aplicam 
à potência, mas apenas a correntes e 
tensões. 
 
 
• A potência deve ser calculada 
considerando-se a corrente e a tensão 
total. 
77 
Exercício 
• No exemplo anterior, qual a corrente I se 
as fontes tivessem seus valores 
duplicados? 
• No circuito abaixo calcular V e I sobre Rx: 
78 
I1
500mA
V1
20V
R1
100
Rx
200
R2
200
Divisor de Tensão 
• Seja o circuito resistivo série: 
• O valor da tensão V2 será, 
 
 
 
• A equação pode ser estendida para n 
resistores. 
79 
Divisor de Corrente 
• Seja o circuito da figura: 
 
 
 
• A equação é utilizada para associação em 
paralelo de dois resistores. 
80 
Equivalente de Thévenin 
• Consiste basicamente em substituir-se 
uma parte de uma rede de bipolos 
lineares por um gerador de tensão ideal 
em série com uma resistência. 
81 
Rede de bipolos lineares + 
bipolo Z. 
Circuito equivalente de Thévenin. 
Equivalente de Thévenin 
• A tensão entre os terminais A e B quando 
o bipolo Z foi removido corresponderá à 
tensão de vazio do circuito equivalente de 
Thévenin. 
• Ligando-se os terminais A e B em curto 
circuito determina-se a corrente de curto-
circuito, I0, do circuito equivalente de 
Thévenin. 
82 
Equivalente de Thévenin 
• Para a determinação da resistência, ou da 
condutância, interna, pode-se também 
proceder da seguinte forma: 
– Desativam-se os geradores internos; 
– A rede resultante é composta, então, 
somente por bipolos passivos. A resistência 
desta rede, vista dos terminais A e B, é a 
resistência do gerador equivalente de 
Thévenin. 
83 
Equivalente de Thévenin 
• Determinação da tensão equivalente (a) e 
da corrente de curto-circuito (b): 
84 
a) b) 
Equivalente de Norton 
• A rede também pode ser substituída por 
um gerador de corrente, com corrente de 
curto ΙCC = Ι0 e condutância interna g = 1/r 
= Ι0 /V0. 
85 
Rede de bipolos lineares + 
bipolo Z. 
Circuito equivalente de Norton. 
Exemplo Thévenin/Norton 
• Para o circuito da figura determinar o 
equivalente de Thévenin visto dos pontos 
A e B. 
86 
Exemplo Thévenin/Norton 
• Para se obter o circuito equivalente, deve-
se calcular a tensão em vazio e a 
resistência equivalente: 
87 
Exemplo Thévenin/Norton 
• A tensão V0 pode ser calculada 
transformando-se o gerador 1 em gerador 
de tensão (E1=100V e r1=2Ω). 
• Assim, a corrente Ι1 e a tensão Vo são 
dadas por: 
 
• A resistência de Thévenin é obtida pelo 
paralelo das resistências: 
88 
Exemplo Thévenin/Norton 
• Substituindo-se a parte da rede vista dos 
pontos A e B pelo gerador equivalente de 
Thévenin resulta o circuito: 
 
• O valor da corrente I é o mesmo valor 
obtido no exemplo anterior, onde foi 
aplicado o princípio da superposição de 
efeitos. 
89 
Exercício 
• No circuito abaixo, determinar a corrente I 
utilizando o equivalente de Thévenin. 
90 
Teorema de Millman 
• Contempla um método usado para reduzir 
fontes de tensão em paralelo a apenas 
uma. 
91 
Teorema de Millman 
• Em princípio é necessário se converter as 
fontes de tensão em série com 
resistências em fontes de corrente com 
condutâncias em paralelo. 
92 
Teorema de Millman 
• Assim, 
93 
Teorema de Millman 
• Exemplo: no circuito abaixo, determine a 
corrente pela resistência de 5 Ω pelo 
teorema de Millman e por Thévenin 
(Resp.: I = -0,533 A) 
94 
Máxima Transferência de 
Potência 
• Utilizado quando se deseja obter a 
máxima transferência de potência para 
uma carga resistiva RL. 
• Para tanto utiliza-se o equivalente de 
Thévenin para se determinar a corrente 
que passa pela carga RL. 
95 
Máxima Transferência de 
Potência 
• A potência transferida é dada por, 
 
 
• Para RL=0 ou RL=, potência fornecida à 
carga é nula. Assim, para se encontrar o 
ponto de máxima potência calculamos a 
derivada: 
dPL/dRL = 0 
96 
Máxima Transferência de 
Potência 
97 
Máxima Transferência de 
Potência 
• A potência transferida será máxima 
quando RL = RTh, ou seja, quando a 
potência transferida é máxima, a eficiência 
é de 50%; 
• Neste ponto, seu valor é de: 
 
98 
Exercício 
• Demonstrar a condição para que a 
máxima transferência de potência ocorra, 
bem como qual o seu valor, a partir de seu 
equivalente Thévenin. 
• Sabe-se que: 
[f(x)/g(x)]’ = [f’(x)g(x)-f(x)g’(x)]/ [g(x)]2 
99 
Fontes Controladas 
• Nas fontes controladas ou dependentes, a 
tensão/corrente depende ou é controlada 
por uma tensão ou uma corrente existente 
em outra parte do circuito. 
 
100 
Fontes Controladas 
• Exemplo de fonte de tensão controlada 
por tensão: 
 
 
 
• LTK: -6-V1+3V1+6.i = 0 
• Lei de Ohm: V1 = -2.i 
 -6 + 2.i + 3.(-2.i) + 6.i = 0  i = 3 A 
101 
Fontes Controladas 
• Exemplo de fonte de tensão controlada 
por tensão: 
 
 
• LCK: -4 + i1 – 2.i1 + v/2 = 0 
• Lei de Ohm: i1 = v/6 
 -4 + v/6 – 2.v/6 + v/2 = 0  v= 12 V 
 
102 
Fontes Controladas 
• Para o circuito abaixo calcule i1 e i2: 
 
 
 
 i1 = v1/4 = 12/4 = 3 A 
 i2 = v2/6 = 3.{3.v1/[4+(3//6)]}/6 = 2 A 
103 
Fontes Controladas 
• Exercício: Calcular i para o circuito abaixo 
104 
50
0
−15𝑖
=
25 −5 −20
−5 10 −4
−20 −4 24
𝐼1
𝐼2
𝐼3
 
𝑖 = 𝐼1 − 𝐼3