Trabalho Avaliativo - Integrais Triplas

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Universidade Estadual do Centro-Oeste – UNICENTRO 
Departamento de Matemática – Campus CEDETEG 
Professora: Emanueli Pereira 
Curso: Química - Bacharelado 
 
Trabalho Avaliativo – Cálculo II 
Integrais Triplas 
 
Nome: _____________________________________ Data: __________ 
 
Obs: exponha seus cálculos de forma bem clara e detalhada, escreva explicações sobre as resoluções. 
 
 
Nesta questão você irá calcular a integral tripla nas coordenadas cartesianas (𝑥, 𝑦, 𝑧). Precisa estabelecer 
os limites de integração, para isso você vai olhas os intervalos que 𝑥, 𝑦, 𝑧 estão definidos observando E. 
Lembre-se que 𝑑𝑉 = 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 (não necessariamente nesta ordem, deve considerar a ordem que você coloca 
os limites de integração). 
 
Nesta questão temos a equação em coordenadas cartesianas e você irá escrevê-la em coordenadas 
cilíndricas. Para isso, será necessário utilizar as relações vistas no primeiro vídeo: 
𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 
𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 
𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2 
Você também pode utilizar outras relações trigonométricas. 
 
Questão 1 (20 pontos): Calcule a integral tripla 2𝑥𝑑𝑉
𝐸
 , onde 𝐸 = {(𝑥,𝑦, 𝑧) ∕ 0 ≤
𝑦 ≤ 2, 0 ≤ 𝑥 ≤ 4 − 𝑦2, 0 ≤ 𝑧 ≤ 𝑦}. 
Questão 2 (20 pontos): Escreva a equação 𝑥2 − 𝑥 + 𝑦2 + 𝑧2 = 1 em coordenadas 
cilíndricas. 
Questão 3 (20 pontos): Calcule 𝑥2 + 𝑦2𝑑𝑉
𝐸
, onde E é a região que está dentro do 
cilindro 𝑥2 + 𝑦2 = 16 e entre os planos 𝑧 = −5 e 𝑧 = 4. 
Neste exercício você precisa passar a integral com coordenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas e 
depois calcular. Para isso, utilize a relação vista no primeiro vídeo: 
∭𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 =∭𝑓(𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃, 𝑧)𝑟𝑑𝑧𝑑𝑟𝑑𝜃 
 
Nesta questão temos a equação em coordenadas cartesianas e você irá escrevê-la em coordenadas esféricas. 
Para isso, será necessário utilizar as relações vistas no segundo vídeo: 
𝑧 = 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜙 
𝑦 = 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜙𝑠𝑒𝑛𝜃 
𝑥 = 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜙𝑐𝑜𝑠𝜃 
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝜌2 
Você também pode utilizar outras relações trigonométricas. 
 
 
Neste exercício você precisa passar a integral com coordenadas cartesianas para coordenadas esféricas e 
depois calcular. Para isso, utilize a relação vista no primeiro vídeo: 
∭𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 =∭𝑓(𝜌𝑠𝑒𝑛𝜙𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜙𝑠𝑒𝑛𝜃, 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜙)𝜌2𝑠𝑒𝑛𝜙𝑑𝜌𝑑𝜙𝑑𝜃 
 
 
 
Questão 4 (20 pontos): Escreva a equação 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑦2 em coordenadas esféricas. 
Questão 5 (20 pontos): Calcule (𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)2𝑑𝑉
𝐵
, onde B é a bola com centro 
na origem e raio 5.