APROFUNDAMENTO DE GRAVITAÇÃO

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AULAO AO VIVO DE APROFUNDAMENTO DE GRAVITAÇÃO 
FÍSICA PARA ESCOLAS MILITARES – PROF RENATO BRITO 
 
CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR 
Seja um planeta (ou astro qualquer) seguindo sua trajetória ao redor 
do sol, sob ação exclusiva da força da gravidade. Sendo a força 
gravitacional uma força CENTRAL, sua linha de ação sempre está 
sobre a reta que passa pelo centro do planeta e pelo centro do sol. 
F
F
V
sol
planeta
 
Por esse motivo, o Torque produzido pela força da gravidade que age 
sobre o planeta – em relação ao sol, é nulo. Qual a consequência 
desse fato ? 
O torque  da força resultante agindo sobre um corpo é igual à taxa 
da variação do seu momento angular L. Isso é expresso 
matematicamente pela expressão a seguir: 
−
 = =
 
F i(L L )L
t t
 
Sendo nulo o torque da força gravitacional que o Sol aplica sobre o 
planeta, em relação ao centro do sol, podemos escrever: 
−
 = = =  =  =
 
F i
i F
(L L )L
0 L L L constante
t t
 
Em outras palavras, o momento angular do astro (planeta, cometa 
etc), em seu movimento sob ação exclusiva da força da gravidade, 
permanece constante: 
R1
V1
V2
R2
2
V3
R3 1
3
sol
 
= =  =  =o o1 2 3 1 1 2 2 2 3 3L L L mV R sen90 mV R sen mV R sen90 
Como V1 é a velocidade do planeta no afélio e V3 é a velocidade do 
planeta no periélio, vale portanto a famosa relação : 
 =   = 1 1 3 3 A A P PV R V R ou V R V R 
onde RA e RP são as distâncias do planeta ao sol no Afélio e no 
periélio, respectivamente. 
 
Questão 17 
Admita que a Terra tem raio R e que a gravidade na sua superfície 
vale g. Um satélite que orbita em torno da terra passa pelo ponto de 
menor altitude a uma altura h = R e com velocidade VO e atinge 
altitude máxima H = 3R em sua órbita. A velocidade VO vale: 
a) 
3
R.g.2
 b) 
3
R.g.4
 c) 
3
R.g.5
 d) 
3
R.g.2
 e) 
2
R.g
 
Altitude máxima
V
O
h
 
Questão 18 
Uma nave espacial tripulada por marcianos chega à vizinhança da 
Terra (de massa M) seguindo uma órbita hiperbólica cuja assíntota 
dista b do centro da Terra. Quando a nave se encontrava a uma 
distância muito grande da Terra, sua velocidade era V0. Qual a 
relação entre V0, b e a distância de perigeu a? 
 
Questão 19 
Um míssil é disparado do solo com velocidade V0, formando um 
ângulo  com a vertical. Se o míssil deve atingir uma altitude máxima 
igual ao raio do planeta, determine o seno do ângulo  em função de 
V0 e da velocidade de escape desse planeta (Ve). 
 
Questão 20 
Um planeta se move em órbita elíptica de semieixo maior a em torno do sol, 
cuja massa vale M. Se a constante universal da gravitação vale G, a 
velocidade desse planeta, em função da sua distância r dele ao sol, vale: 
 
a) 
2 1
GM
r a
 
 − 
 
 b) 
1 1
GM
r a
 
 − 
 
 c) 
1 2
GM
r a
 
 − 
 
 
d) 
2 1
GM
r a
 
 + 
 
 e) 
1 1
GM
r a
 
 + 
 
 
 
 
 
 
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Questão 21 (ITA vai cair) 
Suponha que a lua subitamente pare de girar em torno da Terra. 
Quanto tempo a lua levaria para cair na Terra ? 
a) 2,4 dias b) 4,8 dias c) 12,5 dias d) 7,5 dias e) 16 dias 
Dados: Raio médio da órbita da lua = 384.000 km 
 Massa da Terra = 246 10 kg 
 Massa da lua = 24
6
10 kg
81
 
 
Questão 22 - (ITA 2019) 
Uma estação espacial, Kepler, estuda um exoplaneta cujo satélite 
natural tem órbita elíptica de semieixo maior a0 e período T0, sendo 
d = 32ao a distância entre a estação e o exoplaneta. Um objeto que 
se desprende do Kepler é atraído gravitacionalmente pelo exoplaneta 
e inicia um movimento de queda livre a partir do repouso em relação a 
este. Desprezando a rotação do exoplaneta, a interação gravitacional 
entre o satélite e o objeto, bem como as dimensões de todos os 
corpos envolvidos, calcule em função de To o tempo de queda do 
objeto. 
 
Questão 23 
Um corpo é lançado da superfície da Terra formando um ângulo 
 = 30º com a horizontal com velocidade oV 3GM / (2R).= 
Considere que a Terra é uma esfera homogênea de raio R e massa 
M. Desprezando a resistência do ar e a rotação da Terra, determine a 
altura máxima atingida pelo projétil em relação à superfície da Terra. 
 
Questão 24 
Um corpo é lançado da superfície da Terra com velocidade inicial 
o eV V / 2= numa direção que forma um ângulo  = 60º com a 
horizontal. Considere que a Terra é uma esfera homogênea de raio R 
e massa M. Desprezando a resistência do ar e a rotação da Terra, 
determine a altura máxima atingida pelo projétil em relação à 
superfície da Terra. 
Dado: Ve = velocidade de escape da Terra 
 
Questão 25 
A figura mostra uma trajetória elíptica descrita por um planeta ao 
redor do sol. Considere os seguintes parâmetros geométricos: 
rA = distância máxima do planeta ao sol; 
rP = distância mínima do planeta ao sol; 
a = semieixo maior da elipse 
b = semieixo menor da elipse 
 
Lembrando que o sol está localizado num dos focos da elipse, o prof. 
Renato Brito pede que você demonstre as relações abaixo: 
A Pr ra
2
+
=
 
A Pb r r=  
 
Questão 26 
Seja um planeta de massa m girando em torno do sol (massa M) em 
órbita elíptica sob ação exclusiva da gravidade solar. O prof. Renato 
Brito pede que você demonstre que as velocidades VA e VP do 
planeta, respectivamente no afélio e no periélio, são dadas por: 
2 2P A
A P
A P A A P P
r r2GM 2GM
v e v
r r r r r r
   
= =    
+ +    
 
onde rA e rP são as distâncias do centro do planeta ao centro do sol, 
respectivamente, no afélio e no periélio. 
Questão 27 
Para o satélite da questão anterior, o prof. Renato Brito pede que 
você mostre que o raio de curvatura  da órbita elíptica, nos extremos 
(afélio ou periélio), é dada por: 
A P
1 1 1 1
2 r r
 
=  + 
  
 
Questão 28 
Uma nave espacial de massa m descreve uma órbita circular de raio 
r1 ao redor da Terra de massa M. 
a) o prof. Renato Brito pede que você mostre que a energia adicional 
E que deve ser convenientemente fornecida à nave, para 
transferi-la a uma órbita circular de raio r2 é: 
( )2 1 P
1 2 A
G M m r r r
E
2 r r r
  −
 = 
 
 
b) Mostre ainda que, se a transferência de uma órbita circular a outra 
for efetuada colocando-se a espaçonave numa trajetória de 
transição elíptica AB, os incrementos de energia EA e EB que 
devem ser convenientemente fornecidos à espaçonave, 
respectivamente nos ponto A e B, para as sucessivas mudanças 
de órbita, são: 
 
2 1
A B
1 2 1 2
r r
E E e E E
r r r r
 =   = 
+ +
 
Questão 29 
Lança-se um satélite com velocidade V0 a partir de um ponto do 
espaço a uma distância r0 do centro da terra. A velocidade v0 foi 
projetada de forma a colocar o satélite em órbita circular de raio r0 ao 
redor da Terra. No entanto, devido ao mau funcionamento do 
controle, o satélite não é lançado horizontalmente, mas num ângulo 
 
 
 
 
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qualquer  com a horizontal e, como resultado, é impelido numa 
órbita elíptica. 
 
O prof. Renato Brito pede que você demonstre que os valores 
máximos e mínimos da distância do centro da terra ao satélite, nessa 
órbita elíptica, valem: 
Rmin = (1 – sen) . r0 
Rmax = (1 + sen) . r0 
 
Questão 30 – ITA 2020 (2ª fase) 
Um planeta esférico de massa M e raio R gira com velocidade angular 
constante ao redor de seu eixo norte-sul. De um ponto de sua linha 
equatorial é lançado um satélite artificial de massa m << M sob ação 
de seus propulsores, que realizam um trabalho W. Em consequência, 
o satélite passa a descrever uma óórbita elíptica em torno do planeta, 
com semieixo maior 2R. Calcule:a) A excentricidade máxima da orbita do satélite para que este 
complete uma volta ao redor do planeta. 
b) O período de rotação do planeta, levando em conta as grandezas 
intervenientes, inclusive a constante universal da gravitação G. 
 
Questão 31 – ITA 2020 (1ª fase) 
Um satélite artificial viaja em direção a um planeta ao longo de uma 
trajetória parabólica. A uma distância d desse corpo celeste, 
propulsores são acionados de modo a, a partir daquele instante, 
mudar o módulo da velocidade do satélite de Vp para Ve e também a 
sua trajetória, que passa a ser elíptica em torno do planeta, com 
semieixo maior a. Sendo a massa do satélite desproporcionalmente 
menor que a do planeta, a razão Ve / Vp é dada por: 
a) −
d 1
a 2
 b) 
d
2a
 c) −
d
1
2a
 d) +
d
1
2a
 e) −
d
1
a
 
 
Questão 32 – ITA 1999 
Suponha um cenário de ficção científica em que a Terra é atingida por 
um imenso meteoro. Em consequência do impacto, somente o 
módulo da velocidade da Terra é alterado, sendo V0 seu valor 
imediatamente após o impacto, como mostra a figura adiante. 
O meteoro colide com a Terra exatamente na posição onde a 
distância entre a Terra e o Sol é mínima (distância OA = R na figura). 
Considere a atração gravitacional exercida pelo Sol, tido como 
referencial inercial, como a única força de interação que atua sobre a 
Terra após a colisão, e designe por M a massa do Sol e por G a 
constante da gravitação universal. 
Considere ainda que o momento angular da Terra seja conservado, 
isto é, a quantidade de módulo m.r.V.sen permanece constante ao 
longo da nova trajetória elíptica da Terra em torno do Sol (nessa 
expressão, m é a massa da Terra, r é o módulo do vetor posição da 
Terra em relação ao Sol, V o módulo da velocidade da Terra e α o 
ângulo entre e r e V). A distância (OB), do apogeu ao centro do Sol, 
da trajetória que a Terra passa a percorrer após o choque com o 
meteoro, é dada pela relação: 
 
a) 
( )
( )−
2 2
0
2
0
R .V
2.G.M R.V
 b) 
( )
( )+
2 2
0
2
0
R .V
2.G.M R.V
 c) 
( )
 
 
+
2 2 2
2
0
R .V .sen ( )
2.G.M R.V
 
d) 
( )
 + 
 
2 2
0
2 2
R .V
2.G.M R.V .sen ( )
 e) R 
Questão 33 (Esc. Naval 2020) 
Um planeta tem dois satélites naturais, A e B, em diferentes órbitas 
circulares. Sabendo que A orbita a uma distância Ar do centro do 
planeta com um período de translação T e que a distância média é 
Br , qual é a velocidade orbital Bv de B em torno do planeta? 
a) 
3
A
B
r2
T r
π
 b) A
B
4 1
r
T r
π
 c) A
B
2 1
r
T r
π
 
d) 
3
A
B
r4
T r
π
 e) 
3
A
B
4
r
T r
π

 
 
Questão 34 (Efomm 2019) 
Um planeta possui distância ao Sol no afélio que é o dobro de sua 
distância ao Sol no periélio. Considere um intervalo de tempo t 
muito pequeno e assuma que o deslocamento efetuado pelo planeta 
durante esse pequeno intervalo de tempo é praticamente retilíneo. 
Dessa forma, a razão entre a velocidade média desse planeta no 
afélio e sua velocidade média no periélio, ambas calculadas durante o 
mesmo intervalo t, vale aproximadamente 
a) 
1
2
 b) 
2
2
 c) 
3
1
2
 d) 
1
8
 e) 2 
Questão 35 (ITA VAI CAIR ) 
Um satélite é gravitando em torno da Terra em órbita circular de raio 
R e velocidade Vo. Uma partícula é lançada do satélite na mesma 
direção e sentido do movimento dele com velocidade V em relação ao 
satélite dada por ( )= − oV 5 4 1 V . Calcule a máxima e a mínima 
distância entre essa partícula e o centro da Terra no seu movimento 
subsequente. 
 
 
 
 
 
 
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GABARITO PARCIAL 
17) A 
18) 
2
2
0 2
b 2 G M
v 1
aa
   
 − = 
 
 
 
19) E 
20) A 
21) B 
22) 32To 
23) Hmax = 
8 112
R 2,32R
8
 +
  
 
 
24) Hmax = 
208 8
R 0,27R
24
 −
  
 
 
30) a) e = 1/2 b) 
−
2mR
2 R
3GMm 4WR
 
31) C 
32) A 
33) A 
34) A 
35) R e 5R/3 
 
 
 
 
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