Livro - ANÁLISE DE REGRESSÃO APLICADA À ENGENHARIA FLORESTAL

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ISBN 978-85-98031-60-6 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANÁLISE DE REGRESSÃO 
APLICADA À ENGENHARIA FLORESTAL 
 
2ª Edição 
 
 
 
Paulo Renato Schneider 
Paulo Sérgio Pigatto Schneider 
Carlos Alberto Martinelli de Souza 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Santa Maria - RS 
FACOS - UFSM 
2009 
Análise de regressão aplicada à Engenharia Florestal 
 
 ii 
Endereço: 
 
Universidade Federal de Santa Maria 
Centro de Ciências Rurais 
Departamento de Ciências Florestais 
Campus Universitário 
97105-900 Santa Maria, RS. Brasil 
 
Fone: (55) 3220 8444 
E-mail: paulors@smail.ufsm.br 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Catalogação na fonte por Luiz Marchiotti Fernandes – CRB 10-1160 
Biblioteca Setorial do Centro de Ciências Rurais da Universidade Federal 
de Santa Maria. 
 Schneider, Paulo Renato 
 
S359a 
 Análise de regressão aplicada à Engenharia Florestal / 
 Paulo Renato Schneider, Paulo Sérgio Pigatto Schneider, 
 Carlos Alberto Martinelli de Souza 
. 
 2. ed. rev. e ampl. – 
 Santa Maria: FACOS, 2009. 
 294 p. : il. 
 ISBN 978-85-98031-60-6 
 
1. Engenharia Florestal 2. Estatística 3. Regressão I. 
Schneider, Paulo Sérgio Pigatto II. Nascimento, 
Carlos Alberto Martinelli de Souza II. Título. 
 
 CDU: 630:519.233.5 
 519.233.5:630 
 
 
 
mailto:paulors@smail.ufsm.br
Análise de regressão aplicada à Engenharia Florestal 
 
 iii 
BIOGRAFIA DOS AUTORES 
 
 Paulo Renato Schneider 
Natural de Caibaté-RS, nascido em 14/08/48, graduado Engenheiro 
Florestal em 1974 na UFSM, com Mestrado em Manejo Florestal em 1978, 
Doutorado em Economia e Manejo Florestal pela Universität Albert-Ludwig 
Freiburg, Alemanha, em 1984. Ingressou na UFSM em 1975, como professor 
auxiliar, lecionando disciplinas ligadas aos Engenharia Florestal. Atua na 
graduação e pós-graduação em Engenharia Florestal. É orientador no Programa de 
Pós-graduação em Engenharia Florestal, do qual foi coordenador, chefe do 
Departamento de Ciências Florestais e coordenador de Pós-graduação da UFSM. 
Foi representante de área na CAPES e CNPq. É pesquisador 1B do CNPq. 
 
 Paulo Sérgio Pigatto Schneider 
 Natural de Curitiba-PR, nascido em 12/05/77, graduado em Engenheiro 
Florestal em 2004 na UFSM, com Mestrado em Engenharia Florestal em 2008, 
especialista em Manejo Florestal. 
 
 Carlos Alberto Martinelli de Souza 
Natural de Vitória-ES, nascido em 26/06/1979, graduado em Engenheiro 
Florestal em 2004 na UFES, com Mestrado em Produção Vegetal em 2005, 
doutorando em Engenharia Florestal na especialização de Manejo Florestal na 
UFSM. 
 
Dedicamos 
 esta obra a todos que 
colaboraram na sua re-edição, 
e aqueles que venham a utilizá-la. 
Análise de regressão aplicada à Engenharia Florestal 
 
 iv 
APRESENTAÇÃO 
 
Este trabalho foi elaborado com o objetivo de auxiliar os profissionais 
florestais que desejam aprimorar seus conhecimentos em análise de regressão, 
tendo em vista que, a grande maioria carece de tempo para extrair essas 
informações de textos extensos e muitas vezes complexos. 
Para isso, foram definidos alguns conceitos básicos de análise de 
regressão, bem como, a solução de modelos matemáticos comumente encontrados 
na literatura especializada e amplamente utilizados na Engenharia Florestal. 
A seqüência do conteúdo desta obra está baseada na observação de que a 
maioria das pessoas tem certas dificuldades em compreender os significados e as 
diferentes anuâncias que dificultam o entendimento desta parte da estatística. 
Devido a isto, muitos profissionais resistem em utilizar este instrumento estatístico 
no aprimoramento das pesquisas. 
Então, o propósito desta obra foi dar aos profissionais da área florestal 
mais uma alternativa de aprimoramento nesta especialização e, também, 
sensibilizá-los de que regressão é um procedimento estatístico simples e de fácil 
compreensão. Logo, procurou-se dar um enfoque totalmente direcionado a área, 
com exemplos práticos e de uso corrente na Engenharia Florestal. Para isso, foi 
realizado uma revisão de conteúdos de obras tradicionais que abordam a análise de 
regressão, que se encontram citadas nas referências bibliográficas. 
Destacamos um agradecimento especial ao Engenheiro Florestal Thiago 
Augusto da Cunha, mestrando em Manejo Florestal no Programa de Pós-graduação 
em Engenharia Florestal na UFSM, pela sua importante contribuição na elaboração 
de novos exemplos práticos e na revisão desta obra. 
Finalmente, desejamos agradecer a todas as pessoas que colaboram nas 
diferentes fase de desenvolvimento desta obra, especialmene na introdução novos 
conteúdos e ampliação dos exemplos práticos que julgamos ser do interesse 
profissional. 
 
 
Santa Maria, novembro de 2008. 
 
Paulo Renato Schneider 
Análise de regressão aplicada à Engenharia Florestal 
 
 v 
SUMÁRIO 
 
I INTRODUÇÃO ............................................................................................... 1 
1.1 Tipos de regressão ..................................................................................... 1 
1.1.1 Regressão linear .................................................................................. 2 
1.1.1.1 Regressão linear simples ............................................................... 2 
1.1.1.2 Regressão linear múltipla .............................................................. 2 
1.1.2 Regressão não linear ........................................................................... 3 
1.2 Interpretação dos coeficientes ..................................................................... 3 
1.3 Média em movimento ................................................................................ 4 
1.4 Sistema de equações normais ..................................................................... 6 
1.4.1 Equações normais para modelo linear simples ...................................... 6 
1.4.2 Equações normais para modelo linear múltipla ..................................... 8 
1.4.3 Forma prática de obtenção do sistema de equações normais ............... 10 
1.5 Modelos matemáticos de regressão ........................................................... 11 
1.6 Aplicação de regressão com variáveis relacionadas ................................... 15 
II ELEMENTOS DE MATRIZ ALGÉBRICA ................................................... 19 
2.1 Algumas terminologias ............................................................................ 19 
2.2 Operações com matrizes ........................................................................... 20 
2.3 Matriz algébrica em análise de regressão .................................................. 28 
2.4 Operação com matriz no SAS – PROC IML ............................................. 31 
2.4.1 Composição da matriz ....................................................................... 31 
2.4.2 Multiplicação por escala .................................................................... 32 
2.4.3 Adição e subtração de matriz ............................................................. 32 
2.4.4 Multiplicação de matriz ..................................................................... 33 
2.4.6 Matriz transposta ............................................................................... 33 
2.4.7 Vetor unidade .................................................................................... 34 
2.4.8 Matriz diagonal ................................................................................. 34 
2.4.9 Matriz identidade .............................................................................. 34 
2.4.10 Matriz inversa ................................................................................. 34 
2.4.11 Determiante de matriz...................................................................... 35 
2.4.12 Computação de somas de coluna e linha ...........................................35 
2.4.13 Computação de média de coluna e linha ........................................... 36 
2.4.14 Concatenação horizontal .................................................................. 36 
2.4.15 Concatenação vertical (appending) ................................................... 36 
III ANÁLISE DA VARIÂNCIA ........................................................................ 37 
3.1 Introdução ............................................................................................... 37 
3.2 Soma de quadrados de produtos corrigidos ............................................... 40 
Análise de regressão aplicada à Engenharia Florestal 
 
 vi 
3.2.1 Aplicação: solução de equação por Soma de Quadrados e Produtos 
Corrigidos (SQPC) ..................................................................................... 42 
3.3 Soma de quadrados e produtos não corrigidos ........................................... 45 
3.4 Regressão linear múltipla sem o termo constante ...................................... 46 
3.5 Regressão linear simples com termo constante .......................................... 47 
3.6 Regressão condicionada ........................................................................... 48 
3.6.1 Aplicação: solução de equação condicionada ..................................... 49 
3.7 Ponderação dos mínimos quadrados ......................................................... 50 
3.7.1 Regressão ponderada ......................................................................... 50 
3.7.2 Aplicação: solução de regressão ponderada ........................................ 54 
3.8 Teste de hipótese com soma de quadrados e produtos não corrigidos ......... 56 
3.9 Teste de hipótese com soma de quadrado e produto corrigido .................. 59 
3.10 Teste de hipótese para B2 = B3 = 0 .......................................................... 61 
3.11 Teste de hipótese em regressão ponderada .............................................. 62 
3.12 Uso do teste t ......................................................................................... 64 
IV COMPLEMENTOS ESTATÍSTICOS .......................................................... 67 
4.1 Intervalo de Confiança ............................................................................. 67 
4.1.1 Equação geral do limite de confiança ................................................. 67 
4.1.2 Intervalo de confiança para os coeficientes da regressão ..................... 67 
4.1.3 Intervalo de confiança para valores estimados pela regressão.............. 68 
4.1.4 Aplicação para regressão linear múltipla ............................................ 69 
4.1.5 Aplicação para regressão linear simples ............................................. 71 
4.1.6 Intervalo de confiança para valores individuais de Y .......................... 73 
4.2 Coeficiente de correlação simples ............................................................. 74 
4.3 Coeficiente de correlação parcial .............................................................. 75 
4.4 Coeficiente de determinação..................................................................... 76 
4.4.1 Em soma de quadrados e produtos corrigidos ..................................... 77 
4.4.2 Em soma de quadrados e produtos não corrigidos............................... 77 
4.5 Coeficiente de determinação em percentagem ........................................... 77 
4.6 Índice de correlação ................................................................................. 78 
4.7 Índice de determinação............................................................................. 78 
4.8 Erro puro e falta de ajuste ......................................................................... 78 
4.8.1 Aplicação: erro puro e falta de ajuste ................................................. 80 
V - CONDICIONANTES DA REGRESSÃO..................................................... 83 
5.1 Introdução ............................................................................................... 83 
5.2 Homogeneidade de Variância ................................................................... 85 
5.2.1 Teste de Bartlett ................................................................................ 85 
5.2.2 Teste de White .................................................................................. 87 
5.2.3 Teste de Cochran ............................................................................... 87 
5.3 Normalidade ............................................................................................ 88 
Análise de regressão aplicada à Engenharia Florestal 
 
 vii 
5.3.1 Teste do 2 ........................................................................................ 90 
5.3.2 Teste de Kolmogorov-Smirnov .......................................................... 92 
5.3.3 Teste de Anderson-Darling ................................................................ 93 
5.3.4 Teste de Cramér-von-Mises ............................................................... 94 
5.3.5 Teste de Shapiro-Wilk ....................................................................... 95 
5.4 Independência .......................................................................................... 96 
5.4.1 Correlação em série ........................................................................... 97 
5.4.2 Método da diferença sucessiva do quadrado médio............................. 98 
5.4.3 Teste de Durbin-Watson .................................................................... 98 
5.5 Aplicação das condicionantes de regressão .............................................. 100 
5.5.1 Prova de homogeneidade de variância para volume ........................... 100 
5.5.2 Prova de homogeneidade de variâncias para peso de casca verde ....... 102 
5.5.3 Prova de normalidade para volume ................................................... 103 
5.5.4 Prova de normalidade para peso de casca verde ................................. 104 
5.5.5 Prova de independência para volume ................................................ 106 
5.5.6 Prova de independência para peso de casca verde .............................. 106 
5.6 Determinação das condicionantes de regressão no SAS............................ 107 
5.7 Multicolinearidade .................................................................................. 110 
VI EXAME DOS RESÍDUOS .......................................................................... 115 
6.1 Introdução .............................................................................................. 115 
6.2 Distribuição de freqüência dos resíduos (Overall Plot) ............................ 115 
6.3 Ploter em função do tempo ...................................................................... 116 
6.4 Ploter contra 
iŶ ....................................................................................... 117 
6.5 Avaliação de Outlier ............................................................................... 117 
6.5.1 Teste de Grubbs para detecção de outlier .......................................... 121 
6.5.2 Teste de Dixon para detecção de outlier ............................................ 122 
6.6 Examinando sinais dos resíduos numa seqüência no tempo ...................... 126 
6.7 Medidas para contornar problemas de outlier numa regressão .................. 127 
6.8 Correlação entre resíduos ........................................................................ 137 
VII SELEÇÃO DE REGRESSÃO E CRITÉRIOS ESTATÍSTICOS ................. 139 
7.1 Critérios para seleção de equações ........................................................... 139 
7.2 Coeficiente de determinação.................................................................... 139 
7.3 Erro padrão da estimativa ........................................................................ 140 
7.4 Índice de Furnival ...................................................................................140 
7.5 Distribuição dos resíduos ........................................................................ 141 
7.6 Discrepância logarítmica ......................................................................... 142 
7.7 Testes de aderência de modelos de regressão ........................................... 143 
7.8 Testes de validação de modelos de regressão ........................................... 145 
7.9 Valor Ponderado de escores estatísticos ................................................... 147 
Análise de regressão aplicada à Engenharia Florestal 
 
 viii 
7.10 Unidade da equação .............................................................................. 148 
VIII MODELAGEM DE REGRESSÃO .......................................................... 153 
8.1 Introdução .............................................................................................. 153 
8.2 Métodos de modelagem de regressão ....................................................... 154 
8.3 Aplicação: procedimento de regressão stepwise ....................................... 155 
IX MODELOS ESPECIAIS ............................................................................. 161 
9.1 Modelos lineares logarítmicos ................................................................. 161 
9.2 Regressão não linear ............................................................................... 161 
9.2.1 Método de Marquardt ....................................................................... 163 
9.3 Medidas de ajuste de regressão não linear ................................................ 163 
9.3.1 Erro padrão da estimativa de regressão não linear.............................. 164 
9.3.2 Coeficiente de determinação de regressão não linear ......................... 164 
9.3.3 Comparação do ajuste de duas equações usando o teste F .................. 166 
9.3.4 Aplicação: Solução de modelos não lineares ..................................... 168 
9.4 Funções splines ....................................................................................... 179 
9.4.1 Spline 1: Função spline cúbica ......................................................... 180 
9.4.2 Spline 2: Função spline do quinto grau ............................................. 181 
9.4.3 Spline 3: Função spline “+” .............................................................. 182 
9.4.4 Spline 4: Polinômio “Piecewise” ...................................................... 182 
9.5 Funções de densidade probabilística ........................................................ 187 
9.6 Modelos de regressão mistos ................................................................... 199 
9.6.1 Modelos de regressão lineares de efeito misto ................................... 200 
9.6.2 Modelos de regressão não lineares de efeito misto ............................. 208 
X REGRESSÃO COM VARIÁVEL DUMMY ................................................. 215 
10.1 Introdução............................................................................................. 215 
10.2 Modelo geral de regressão com variável Dummy ................................... 218 
10.3 Teste de identidade da regressão linear .................................................. 219 
10.3.1 Grupos individuais e regressão máximo .......................................... 221 
10.3.2 Análise preliminar da regressão máxima ......................................... 226 
10.3.3 Teste de paralelismo das regressões individuais............................... 229 
10.3.4 Teste de identidade de regressões paralelas ..................................... 234 
10.3.5 Teste de eqüidistância entre regressões paralelas ............................. 237 
10.4 Aplicação para volume de árvores ......................................................... 240 
10.4.1 Estimativa das regressões individuais .............................................. 240 
10.4.2 Teste de paralelismo das regressões funcionais ................................ 244 
10.4.3 Teste de identidade entre regressões paralelas ................................. 247 
10.4.5 Solução de equações de regressão com variável dummy no SAS ..... 249 
XI ANÁLISE DE COVARIÂNCIA .................................................................. 255 
11.1 Análise de covariância pelo método de Snedecor ................................... 256 
11.2 Análise de covariância com variável Dummy......................................... 260 
Análise de regressão aplicada à Engenharia Florestal 
 
 ix 
11.2.1 Aplicação: uso da variável Dummy em análise de covariância ......... 262 
11.2.2 Covariância simples pelo método de Snedecor - solução no SAS ..... 267 
11.2.3 Covariância com variável Dummy - solução no SAS ....................... 270 
XII ANÁLISE DISCRIMINANTE ................................................................... 275 
XIII BIBLIOGRAFIA CONSULTADA ........................................................... 281 
 
Análise de regressão aplicada à Engenharia Florestal 
 
 1 
I INTRODUÇÃO 
 
A análise de regressão tem sido usada com ênfase na solução de grande 
parte dos problemas florestais, especialmente quando se pretende obter estimativas 
de parâmetros da floresta, utilizando-se de relações biométricas que possibilitam 
obter valores estimados de forma indireta através de equações de regressão. 
Existem muitos problemas florestais que são solucionados com o objetivo 
de reduzir tempo e custo na coleta de dados utilizando-se de regressão, que é capaz 
de permitir estimativas com boa precisão e eficiência. 
Para este mesmo propósito é realizado a modelagem de regressão linear, 
que se constitui num procedimento estatístico para ajustar um modelo matemático 
qualquer que envolve várias variáveis que se relacionam mutuamente. Para isso, 
avalia-se a equação ajustada através de vários testes estatísticos, permitindo-se 
conseguir uma equação com a melhor precisão possível. 
A escolha das variáveis para um modelo de regressão deve ser feita a 
partir da correlação existente entre as mesmas. Assim, a variável dependente é 
equacionada como função das variáveis correlacionadas e a precisão das 
estimativas do modelo depende do grau de associação entre as variáveis. 
A mais comum aplicação de regressão visa os seguintes objetivos: 
a) Determinar uma função matemática, que possibilita descrever a relação 
entre uma variável dependente e uma ou mais variáveis independentes; 
b) Testar hipóteses sobre a relação entre a variável dependente e uma ou 
mais variáveis independentes. 
1.1 Tipos de regressão 
 
As regressões podem ser classificadas em linear e não linear, sendo que as 
lineares podem ser simples ou múltiplas. 
Análise de regressão aplicada à Engenharia Florestal 
 
 2 
1.1.1 Regressão linear 
 
A regressão linear constitui-se de um recurso estatístico da maior 
importância biométrica, pois permite explicar as relações existentes entre variáveis 
dendrométricas como: diâmetro, altura, volume, área basal, idade, etc. 
Uma regressão linear apresenta as seguintes propriedades características: 
a) O ponto médio situa-se sobre a linha de regressão,  y,xP ; 
b) A soma dos desvios da regressão é nula, ou seja,    0, yx ; 
c) A soma dos quadrados dos desvios é mínima,   mínimoy,x 2  . 
Todas as equações lineares podem ser solucionadas pelo método dos 
mínimos quadrados ordinários. 
Uma regressão é dita linear quando os coeficientes da equação 
apresentam-se na forma aditiva ou subtrativa e elevada ao expoente unitário, 
podendo ser expressa por: 
1.1.1.1 Regressão linear simples 
 
Uma regressão é dita linear simples quando no modelo a variável 
dependente é explicado por uma única variável independente, ou seja: 
iii XY   10 
Sendo: Yi = variável dependente; Xi = variável independente; 10 β,β 
coeficientes da regressão; i = erro estocástico. 
1.1.1.2 Regressão linear múltipla 
 
Uma regressão é dita linear múltipla quandono modelo a variável 
dependente é explicada por duas ou mais variáveis independentes, ou seja: 
Análise de regressão aplicada à Engenharia Florestal 
 
 3 
 Y f X X X Xn 1 2 3, , , , . 
Como exemplo, pode-se citar o modelo: 
immi XXY   ...110 
1.1.2 Regressão não linear 
 
Uma regressão é considerada não linear quando os coeficientes do modelo 
encontram-se na forma de produto ou fração e elevados ao expoente não unitário. 
Como exemplo, pode-se citar os modelos: 
i
X
i
iY   10. 
i
XX
i
iiY   210 .. 
Os modelos não lineares não têm solução pelo método dos mínimos 
quadrados ordinários, a não ser que possam a ser linearizadas, aplicando 
propriedades logarítmicas, como por exemplo: 
1.0

 ii XY  
i10i lnXββlnY  
Então, esta equação passa a ter solução pelo método dos mínimos 
quadrados ordinários. 
1.2 Interpretação dos coeficientes 
 
Partindo-se de um modelo linear simples do tipo: 
iii XY   10 
O coeficiente 
0 é definido como o intercepto e 1 como coeficiente 
angular, que dá a inclinação da reta ou curva, como mostra a Figura 01. 
COEF EM PRODUTO 
Análise de regressão aplicada à Engenharia Florestal 
 
 4 
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5 6
X
Y
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 01: Representação de uma reta que passa pelo ponto médio  YXP , 
 
1.3 Média em movimento 
 
Para se aplicar o conceito de média em movimento é necessário definir o 
modelo linear aditivo: 
iri εMY  
Sendo: Yi = cada observação da variável Y; Mr = média em movimento da 
variável Y obtido de uma equação matemática; i = desvios de Yi em relação à Mr, 
ou seja Yi - Mr. 
 
Considere como representação deste conceito um modelo simples, ou seja 
a equação abaixo, que se encontra representado na Figura 02. 
iεXββY i10i  
 YXP ,
 
Análise de regressão aplicada à Engenharia Florestal 
 
 5 
 
FIGURA 02: Representação da média em movimento (Mr) de uma equação linear 
simples. 
 
Assim, fixando-se pontos na variável X pode-se admitir que exista um 
grande número de observações para Y que se dispersam segundo uma tendência de 
distribuição normal. 
Como se pode observar na equação proposta: 
XBBM r 10  
A reta que passa pelos pontos médios das diversas distribuições que 
descrevem a relação Y e X, que representa uma média em movimento Mr, no 
presente caso, segue o percurso descrito pela equação da reta. 
Se esta relação entre Y e X for mais bem representada por uma parábola, 
então a equação proposta será: 
2
22110r XβXββM  
Neste caso, tem-se o modelo: 
i
2
22110i εXβXββY  
Análise de regressão aplicada à Engenharia Florestal 
 
 6 
1.4 Sistema de equações normais 
 
Partindo-se do modelo linear aditivo, tem-se que: 
iri εMY  
ou 
rMYε ii  
Tomando-se o somatório dos desvios, tem-se que: 
 


n
1i
ri
n
1i
i 0MYε
 SOMATÓRIO DOS DESVIOS=0 
Como o somatório é nulo, então se deve tomar o quadrado dos desvios 
para se ter solução, como: 
  
 

n
1i
n
1i
2
ri
2
i MYε
mínimo QUADRADO DOS DESVIOS=MÍNIMO 
 
1.4.1 Equações normais para modelo linear simples 
 
De uma equação linear simples tem-se que: 
  
 

n
i
n
i
iii XYS
1 1
2
10
2  
Resolvendo-se o quadrado da expressão, tem-se que: 
)XB2YB2YXB2BXBB(YεS i1i0ii10
2
i
2
1
2
0
n
1i
2
i
n
1i
2
i  

 
Para que essa expressão seja verdadeira é necessário que as derivadas 
parciais, relativas aos parâmetros B0 e B1 sejam nulas. 
Assim, a diferencial de S em relação a B0 é dada por: 
Análise de regressão aplicada à Engenharia Florestal 
 
 7 
)222( 1
1
0
0
ii
n
i
YXBB
dB
ds


 
)(2 1
1
0
0
ii
n
i
YXBB
dB
ds
 

 
Multiplicando-se esta expressão por -1 e dividindo-a por 2, tem-se que: 
)( 1
1
0
0
i
n
i
XBBY
dB
ds


 
A diferencial de S em relação a B1 resulta: 
)222( 0
2
1
1
1
iiii
n
i
XYXBXB
dB
ds


 
 
 
Multiplicando-se esta expressão por -1 e dividindo por 2, tem-se que: 
)( 10
11
i
n
i
ii XBBYX
dB
ds


 
As estimativas de B0 e B1 são obtidas igualando-se a zero as derivadas 
parciais, ou seja: 
0)( 10
1


i
n
i
i XY  
0)( 10
1


i
n
i
ii XYX  
ou 
0XβnβY
n
1i
i10
n
1i
i  

 
0XβXβYX
n
1i
2
i1
n
1i
i0i
n
1i
i  

 
)(2 01
11
ii
n
i
i YBXBX
dB
ds
 

Análise de regressão aplicada à Engenharia Florestal 
 
 8 
Portanto, o sistema de equações normais passa a ser composto por: 






n
1i
ii
n
1i
2
11
n
1i
i0
n
1i
i
n
1i
i10
XYXβXβ
YXβNβ 
Sendo: N = número de observações, representado o . 
1.4.2 Equações normais para modelo linear múltipla 
 
Na condição de que uma variável dependente for explicada por duas ou 
mais variáveis independentes, expressa numa equação da forma: 
 Y f X X X Xi n  1 2 3, ,  
Sendo, então expressa por: 
iri MY  
Considerando-se o modelo com duas variáveis independentes, tem-se que: 
Mr = B0 + B1 X1 + B2 X2 
Então, tomando-se a equação: 
Yi = B0 + B1 X1 + B2X2 + Ei 
Tem-se que: 
rii MYε  
0)M(Yε r
n
1i
i
n
1i
i 

 
.positivo e mínimo)M(Yε
n
1i
2
ri
n
1i
2
i 

 
ou seja, 
 2
22110
n
1i
i
n
1i
2
i )XBXBB(YεS  

 
Resolvendo-se o quadrado da expressão, tem-se que: 
Análise de regressão aplicada à Engenharia Florestal 
 
 9 
2211220
11022i11i0i
2
2
2
2
2
1
2
1
2
0
n
1i
2
i
n
1i
2
i
XBX2BXB2B
XB2BXB2YXB2YB2YXBXBB(YE



 
A derivada parcial de S em relação a B0 é dada por: 
dS
dB
B Y B X B Xi
i
n
i
n
i
n
i
n
0
0 1 1
111
2 2
1
2 2 2 2 0    
 
  
Dividindo-se esta expressão por 2, tem-se que: 
 
 

n
1i
n
1i
2211
n
1i
0
n
1i
i XBXBBY
 
A derivada parcial de S em relação a B1 resulta: 
0
2
X
n
1i
1
X
2
B2
n
1i
1
X
0
B2
n
1i
1
X
i
Y2
n
1i
2
1
X
1
B2
1
dB
dS








 
Dividindo-se esta expressão por 2, tem-se que: 
Y X B X B X B X Xi
i
n
i
n
i
n
i
n
   
     
1
1 0 1
1
1 1
2
1
2 1
1
2
 
E a derivada parcial de S em relação a B2 é dada por: 



n
i
n
i
n
i
i
n
i
XXBXBXYXB
dB
dS
1
211
1
20
1
2
1
2
22
2
02222 



n
i
n
i
n
i
n
i
i XBXXBXBXY
1
2
22
1
21
1
1202
1
 
De forma genérica, estas derivadas parciais podem ser obtidas através de: 
 


n
i
ji
i XXBXBBY
dBj
dS
1
22110 )(.)( 
Portanto, o sistema de equações normais é dado por: 
Y B N B X B Xi
i
n
i
n
i
n
 
   
1
0 1 1 2 2
11
 
Análise de regressão aplicada à Engenharia Florestal 
 
 10 
Y X B X B X B X Xi
i
n
i
n
i
n
i
n
   
     
1
1 0 1
1
1 1
2
1
2 1
1
2
 



n
i
n
i
n
i
n
i
i XBXXBXBXY
1
2
22
1
21
1
1202
1
 
 
1.4.3 Forma prática de obtenção do sistema de equações normais 
 
Uma maneira prática de se montar um sistema de equações normais de 
uma equação do tipo: 
22110 XXYi   
a) Procede-se o somatório de 1 até n de todas as variáveis correspondente 
aos dados, tem se que: 
Y B B X B Xi
i
n
i
n
i
n
i
n
   
     
1
0 1
1
1
1
2 2
1
 (1) 
b) Multiplicam-se os termos da equação (1) por X1 
Y X B X B X B X Xi
i
n
i
n
i
n
i
n
   
     
1
1 0 1 1
1
1
2
2
1
1
1
2
 
c) Multiplicam-se todos os termos da equação (1) por X2 
Y X B X B X X B Xi
i
n
i
n
i
n
i
n
  
    
1
2 0 2 1 1 2 2
11
2
2
1
 
Portanto, o sistema de equações normais é expresso por: 


 


 



n
i
n
i
n
i
n
i
i
n
i
n
i
n
i
n
i
i
n
i
n
i
n
i
i
XBXXBXBXY
XXBXBXBXY
XBXBNBY
1
2
22
1
21
1
1202
1
2
1
12
1
2
11
1
101
1
1 1
22110
1Análise de regressão aplicada à Engenharia Florestal 
 
 11 
1.5 Modelos matemáticos de regressão 
 
Partindo-se do modelo linear genérico expresso por: 
kk XXXY   ...22110 
Deste modelo linear genérico, por exemplo, pode-se definir uma equação 
expresso por uma parábola: 
2
21110 XXY   
Esta equação pode originar dois tipos de curvas, conforme a Figura 03. 
 Y Y 
 
 
 ou 
 
 
 X X 
FIGURA 03: Curvas descritas por um polinômio do 2o grau. 
 
Outro exemplo, quando se ajusta um modelo hiperbólico do tipo: 
 1/X.ββY 10  
A forma da curva é ilustrada na Figura 04. 
Y Y 
 
 B = (-) 
 B = (+) 
 
 
 X X 
FIGURA 04: Representação da hipérbole. 
Análise de regressão aplicada à Engenharia Florestal 
 
 12 
Uma expressão exponencial pode ser representada pela função: 
X
10.ββY  
A forma da curva exponencial desta operação é ilustrada na Figura 05. 
 
Y Y 
 
 
 
 ou 
 
 X X 
FIGURA 05: Curva exponencial. 
 
Estas curvas são determinadas através desta equação, cujos coeficientes 
são obtidos pelo método dos mínimos quadrados ordinários através da regressão 
linearizada, expressa por: 
10 βlnX.βYln  
Por outro lado, existem funções que não podem ser transformadas para 
um modelo linear, como por exemplo: 
X
Y 10   
Assim, como a função: 
2)( 10
  XY 
Estas funções devem ser ajustadas na forma não linear, utilizando um 
programa estatístico, como por exemplo, um método interativo para estimação dos 
coeficientes. 
Análise de regressão aplicada à Engenharia Florestal 
 
 13 
Alguns casos específicos exigem o estudo ou aplicação de modelos 
derivados de princípios básicos, como por exemplo: 
a) O peso específico tem relação inversa com a concentração de auxina 
por unidade de área do câmbio (C) e diretamente proporcional à distância (T) do 
ápice. Este efeito é aditivo o que resulta um modelo do tipo: 
DT
C
1
BAS 





 
Sendo: A , B e D = coeficientes. 
b) A forma parcial do tronco de uma árvore é aproximadamente uma 
parábola, assim o diâmetro do fuste (DT) a uma distância (T) do ápice pode ser 
representado por: 
TG.DT  
Sendo: G = constante ou coeficiente. 
c) A concentração de auxina pode variar inversamente com a área do 
câmbio e conseqüentemente com o diâmetro, então se tem que: 
C K
DT







1 ou C
K
G T
 
Sendo: K = constante ou coeficiente. 
Esse raciocínio conduz a definição de um modelo de regressão genérico 
do tipo: 
).(G T
K
B
DTAS  
Em termos de modelo linear genérico, tem-se que: 
22110 XBXBBS  
Sendo: X1 = T e X2 = (G.√T) 
Análise de regressão aplicada à Engenharia Florestal 
 
 14 
Em muitos casos a variável Yi pode ser uma expressão linear de X1. No 
entanto, introduzindo-se X2 no modelo deve-se considerar que mudanças em X2 
produzem resultados em uma série de espaços paralelos iguais para uma relação de 
Y com X1, como mostra a Figura 06. 
 
Níveis de X2
10
15
20
25
30
35
40
45
5 6 7 8 9 10
X
Y
1
2
3
4
 
FIGURA 06: Relação de Y como uma função de X1 e X2. 
 
Isto sugestiona que no modelo: Y = A + BX1, o coeficiente angular (B) 
permanece igual, mas o valor do intercepto de Y é uma função linear de X2, sendo 
dado por: 
A = A’ + B’X2. 
Então, substituindo-se A na relação entre Y e X1 , tem-se que: 
Y A B X BX    2 1 
Ou, no modelo genérico, tem-se que: 
22110 XXY   
Análise de regressão aplicada à Engenharia Florestal 
 
 15 
Neste caso, observa-se que os efeitos de X1 e X2 são aditivos. 
Por outro lado, no caso de A permanecer constante, mas o coeficiente 
angular mudar linearmente (B=A’+B’X2) com mudanças de X2, tem-se o modelo: 
 Y A A B X X
Y A A X B X X
Y B B X B X
X X X
    
    
  

2 1
1 1 2
0 1 1 2 2
1 2
 
1.6 Aplicação de regressão com variáveis relacionadas 
 
Considerando-se os dados da Tabela 01 determina-se a relação de Y e X1 
para vários níveis de X2. 
 
TABELA 01: Dados observados das variáveis 
Y X1 X2 Nível A 
10 12 12 2 6,8776 
4 1 7 3 3,4081 
13 14 20 1 8,100 
4 4 9 3 3,4081 
1 1 2 4 1,7693 
10 16 13 2 6,8726 
8 8 10 2 6,8776 
10 6 19 1 8,100 
3 4 1 4 1,7693 
4 12 3 4 1,7693 
9 2 17 1 8,100 
7 14 5 3 3,4081 
5 8 8 3 3,4081 
9 4 15 1 8,100 
9 15 11 2 6,8776 
8 6 14 2 6,8776 
3 8 4 4 1,7693 
12 14 18 1 8,100 
3 16 1 4 1,7693 
7 16 7 3 3,4081 
Análise de regressão aplicada à Engenharia Florestal 
 
 16 
Para os cálculos, os níveis de X2 foram classificados em: 
51 )4
105 )3
1510 )2
2015 )1
2
2
2
2




X
X
X
X
 
A solução do problema passa pelos seguintes cálculos: 
a) Utilizando-se o modelo: 
110 XββY  
Sendo os coeficientes igual a: β0 = 4,707077; β1 = 0,247836; r = 0,39. 
b) Determinando-se os coeficientes do modelo para todos os níveis, com a 
operação: 
110 XββY  (1) 
Os coeficientes para todos os níveis são apresentados na Tabela 02. 
 
TABELA 02: Parâmetros da equação da reta por níveis 
Nível 0β 1β R 
1 8,1 0,3125 0,97 
2 6,8776 0,1861 0,81 
3 3,4081 0,2316 0,97 
4 1,7693 0,1257 0,69 
 
c) Com os coeficientes A dos níveis, relacionados a todos os valores de 
X2, obtém-se a equação: 
A = A’ + B’X2 (2) 
Sendo os coeficientes igual a: A’ = 1,0462; B’ = 0,4074; r = 0,95. 
d) Substituindo-se a equação 2 na 1, tem-se uma nova equação: 
Y = A’ + B’X2 + BX1 
ou seja: 
Y = 1,04620 + 0,4074 X2 + 0,247836 X1 (3) 
Análise de regressão aplicada à Engenharia Florestal 
 
 17 
Níveis de X2
0
2
4
6
8
10
12
14
0 5 10 15
X1
Y
20
15
10
5
 
e) Com a equação 3 pode-se gerar os valores de Y para os níveis, 
conforme mostra a Tabela 03. 
 
TABELA 03: Valores estimados de Y por níveis 
Nível X2 A X1 
1 5 10 15 
1 20 9,1942 9,4420 10,4334 11,6725 12,9117 
2 15 7,1572 7,4050 8,3964 9,6355 10,8747 
3 10 5,1202 5,3680 6,3594 7,5985 8,8377 
4 5 3,0832 3,3310 4,3221 5,5616 6,8007 
 
Os resultados da Tabela 03, colocados num gráfico mostram as tendências 
e a diferença entre os níveis de 1 a 5, como pode ser observado na Figura 07. 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 07: Estimativas de Y em função de X1 com níveis de X2 
 
Análise de regressão aplicada à Engenharia Florestal 
 
 18 
Análise de regressão aplicada à Engenharia Florestal 
 
 19 
II ELEMENTOS DE MATRIZ ALGÉBRICA 
2.1 Algumas terminologias 
 
a) Matriz quadrada: é a que possui o número de linhas (i) igual ao 
número de colunas (j), sendo a diagonal caracterizada de um canto ao outro da 
matriz. 
Os números bidimensionais ou letras em uma matriz são referidos como 
elementos. Assim, a representação genérica de uma matriz é expressa por: 
 













a a a a 
a a a a 
a a a a 
a a a a 
 
mn m3m21
3n 333231
2n 232221
1n 131211
m
ijaouA
 
Esta representa uma matriz de dimensão “m” por “n” (m x n). Ela é 
simétrica quando se repetem os valores na diagonal, como nos exemplos: 
A B





 

 











3 1
1
3 1 3
1 3 1
3 1 3
 
 3
 
 
 
 
 
b) Matriz identidade: é obtida quando os elementos da diagonal 
principalforem 1 e o restante 0 (zero) sendo simbolizada pela letra “I”, como no 
exemplo: 
I = 
1 0 0
0 1 0
0 0 1










 
c) Matriz transposta: é a matriz formada pela rotação das linhas e 
colunas, assim linhas passam a ser colunas e colunas passam a ser linhas na nova 
matriz. 
Análise de regressão aplicada à Engenharia Florestal 
 
 20 
Uma matriz transposta pode ser do tipo: 













52
75
57
25
TAA 
A matriz transposta (A) é simbolizada por (A)t. 
2.2 Operações com matrizes 
 
a) Adição de matrizes: duas matrizes de igual dimensão podem ser 
adicionadas, somando-se os elementos correspondentes, como no exemplo: 
 
 
 5 7
 2 4






+ 
3 1 
2 4 
 





 = 
7 3 
9 9 
 






 
 
b) Subtração de matrizes: duas matrizes de igual dimensão podem ser 
subtraídas de outra, diminuindo-se os elementos correspondentes da matriz, como 
no exemplo: 
4 2 
7 5 
 





 - 
3 1 
2 4 
 





 = 
1 1 
5 1 
 





 
 
c) Multiplicação de matrizes: duas matrizes somente podem ser 
multiplicadas se o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de 
linhas da segunda. Se A é uma matriz de (4 x 3) e B uma matriz de (3 x 2), então C 
será uma matriz de (4 x 2), sendo possíveis de multiplicação. 
A representação matemática genérica da multiplicação de matrizes é dada 
por: 



n
1k
kjikij b . aC 
Análise de regressão aplicada à Engenharia Florestal 
 
 21 
O seguinte exemplo explica esse caso: 
 











 












25 17
34 31
 = 
(1x7)+(3x6) (1x2)+(3x5)
(4x7)+(1x6) )24()51(
 = 
7 2
6 5
 x 
1 3
4 1 xx 
d) Determinante ou menor complementar: o determinante de uma matriz 
pode ser obtido pelo método de Sarrus, Jordan ou Cramer, para matrizes com 
dimensão de (2 x 2). 
Método de Cramer: o processo consiste em obter o valor do 
determinante da matriz principal e de cada coeficiente, posteriormente, obtêm-se 
cada coeficiente dividindo-se o determinante de cada coeficiente pelo determinante 
da matriz principal. 
Então, o determinante é obtido pela diferença da multiplicação cruzada 
dos elementos da matriz. 
 
Aplicação: 
Considerando a equação e o sistema de equações normais respectivo: 
Y = B0 + B1X 
 
 10
10 31
 = 
 
 17 
4 13 











 
O determinante principal é obtido por: 
p = 
 10
10 31
 
4





= 4x31 - 10x10 = 24 
O determinante de B0 é obtido por: 
B0 = 
 10
17 31
 
13





= 13x31 - 17x10 = 233 
B0 = 
233
24
 = 9,70833 
Análise de regressão aplicada à Engenharia Florestal 
 
 22 
E, o determinante de B1 é obtido por: 
B1 = 
 13
 17
 
4
10






= 4x17 - 10x13 = -62 
B1 = 
24
62-
 = -2,58333 
Método de Sarrus: usado para determinação do determinante de matrizes 
maiores. A solução dos coeficientes pode ser obtida, dividindo-se o determinante 
da matriz dos coeficientes pelo determinante da matriz principal. 
 
Aplicação: 
Considerando a equação: 
332211 XXXY   
182 28 53 
 28 172 19
- 53 19 460










 = 
 448
256
226












 
O determinante da matriz principal é obtido por: 
p = 
182 28 53 
 28 172 19
- 53 19 460










 
p = (182x172x460)+(28x19x-53)+(28x19x-53)-(-53x172x-53)- 
 -(19x19x182)-(28x28x460) = 13.433.958 
O determinante da matriz de B1 é obtido por: 
B1 = 
 
- 256 172 19
- 226 19 460
448 28 53









 
B1 = 36.658.656 
O determinante da matriz de B2 é obtido por: 
Análise de regressão aplicada à Engenharia Florestal 
 
 23 
B2 = 
 -
 28 - 256 19
- 53 - 226 460
182 448 53









 
B2 = -25.817.700 
O determinante da matriz de B3 é obtido por: 
B3 = 










226- 19 53-
256- 172 28 
484 82 821 
 
B3 = -1.310.064 
 
Então, o valor dos coeficientes é o seguinte: 
7290,2
13.433.958
36.658.656
 B1 
 
9218,1
13.433.958
25.817.700-
 B2 
 
0975,0
13.433.958
1.310.064-
 B3 
 
 
Cofator ou complemento algébrico (A’): os elementos Aij da matriz 
quadrada A é o produto do menor complementar ou determinante: 
 (ij) por (-1)i+j 
Para isso, usa-se a fórmula genérica, expressa por: 
Aij = (-1)i+j.  ij 
Matriz de cofatores (A’) é obtida substituindo-se cada elemento da matriz 
quadrada pelo seu cofator. 
Sendo dado à matriz A, a de cofatores será dada por: 
Análise de regressão aplicada à Engenharia Florestal 
 
 24 
EXCLUI A LINHA E COLUNA DO ELEMENTO QUE 
QUER ACHAR O COFATOR E FAZER O 
DETERMINANTE 
A = 












a a a a 
a a a a 
a a a a 
a a a a 
mn m3m21
3n 333231
2n 232221
1n 131211
m
 
A’ = 
 A A A A
 A A A A
 A A A A
 A A A A
12 13 1n 
22 23 2n 
32 33 3n 
m2 m3 mn 
11
21
31
1m












 
 
Aplicação: Considerando a matriz A: 
A = 
 1 1
 2 5 2
4 7 5
1









 
 
Os cofatores são os seguintes: 
 A11
1 1
1
5 2
7 5
1 25 14 11 





   

.( ) 
    2810.1
54
22
1
21
12 







A 
 A13
1 31
2 5
4 7
1 14 20 6 





    
( ) . 
   A21
2 1
1
1 1
7 5
1 5 7 2 





    
 
   A22
2 2
1
1 1
4 5
1 5 4 1 





   
 
   A23
2 3
1
1 1
4 7
1 7 4 3 





    
 
Análise de regressão aplicada à Engenharia Florestal 
 
 25 
   A31
3 1
1
1 1
5 2
1 2 5 3 





    
 
   A32
3 2
1
1 1
2 2
1 2 2 0 





    
 
   A33
3 3
1
1 1
2 5
1 5 2 3 





   
 
Então, a matriz de cofatores (A’) é: 
A'
 












11 2 6
2 1 3
3 0 3
 
 
Matriz adjunta  A : a matriz adjunta é a transposta da matriz de 
cofatores sendo dada pela fórmula: 
 A A
t
  
Aplicação: A partir da matriz A’ obtém-se a matriz A adjunta 




























336
012
3211
303
312
6211
t
A
 = A 
Matriz inversa: para que uma matriz tenha inversa é necessário que o seu 
determinante não seja nulo, sendo representada pelo símbolo: 
0ΔA A #1  
 
Corolário: 
Se A é uma matriz inversível a sua inversa é dada pela expressão: 
A
A
A

1 
Análise de regressão aplicada à Engenharia Florestal 
 
 26 
 Sendo: A = matriz adjunta que é dada pela transposta da matriz de 
cofatores  A A t  . 
O inverso da matriz quadrada A é uma matriz chamada A inversa, sendo 
simbolizada por 1A . 
O produto da matriz principal com a sua inversa é uma matriz identidade 
expressa por: 
In.AA 1  
O produto da matriz inversa com a principal resulta numa matriz 
identidade: 
In
100
010
001
350
241
121
255
133
012
A.A 1 



































 
Uma matriz quadrada A de ordem n se diz irreversível se existir 
uma matriz B, tal que: AB = BA = In. 
 
Propriedades: 
a) Se A é uma matriz inversível então a sua inversa é única. 
b) Se uma matriz A possui inversa A-1 então a inversa de A-1 é única 
e (A-1)-1 = A. 
c) Se A e B são matrizes inversíveis o produto AB também o é e (AB)-1= 
B-1.A-1 
d) Nem toda a matriz possui inversa. 
 
Aplicação: 
Considerando como exemplo, a inversa da matriz A é: 
Análise de regressão aplicada à Engenharia Florestal 
 
 27 
























 
255
133
012
350
241
121
1AA
 
Solução:* Determinante principal: 
A 










1 2 1
1 4 2
0 5 3
 
             A                  1 4 3 1 5 1 2 2 0 0 4 1 1 2 3 5 2 1 
   A      12 5 0 0 6 10 
A   17 16 1 
 
* Matriz de cofatores: 
   
   
   
   
   
 
 





   
 





     
 





   
 





     
 





   





A
A
A
A
A
A
?
11
1 1
12
1 2
13
1 3
21
2 1
22
2 2
1
4 2
5 3
1 12 10 2
1
1 2
0 3
1 3 0 3
1
1 4
0 5
1 5 0 5
1
2 1
5 3
1 6 5 1
1
1 1
0 3
1 3 0 3
 
    5051
50
21
1
32
23 







A 
    0441
24
12
1
13
31 







A 
Análise de regressão aplicada à Engenharia Florestal 
 
 28 
    1121
21
11
1
23
32 







A 
    2241
41
21
1
33
33 







A 














210
531
532
'A 
 
* Matriz adjunta: 
 A A
A
t
t



 













 











'
2 3 5
1 3 5
0 1 2
2 1 0
3 3 1
5 5 2
 
*Matriz inversa: 
ΔA
A
A 1  






























255
133
012
255
133
012
 . 
1
1
1
1
A
A
 
 
2.3 Matriz algébrica em análise de regressão 
 
Para ilustrar, considere um sistema de equações normais para o ajuste de 
uma equação linear de Y com X1 e X2, sem termo constante, dada por: 
Análise de regressão aplicada à Engenharia Florestal 
 
 29 
2211 XXY   
O sistema de equações normais é então: 
     
     



YXBXBXX
YXBXXBX
22
2
2121
12211
2
1
ˆˆ
ˆˆ
 
ou na forma simplificada: 
a B a B R
a B a B R
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
 
 
 
 
 
Fazendo a multiplicação destas matrizes, podemos escrever que: 
a a
a a
B
B
R
R
11 12
21 22
1
2
1
2





 





 








 
ou seja: 
A B R.  
Sendo: A = matriz das somas e somas de quadrado de produtos; B= 
matriz de coeficientes a serem estimados; R = matriz das somas a direita do sinal 
de igualdade do sistema de equações. 
 
Como se pretende a estimativa dos coeficientes, deve-se isolar a matriz B 
que passa a ser igual ao inverso da matriz A-1 multiplicado pela matriz R, que é 
representada por: 
 .B A R 1 
Sendo os elementos da matriz inversa representado por Cij o sistema de 
equação equivalente é: 


B
B
C C
C C
R
R
1
2
11 12
21 22
1
2





 





 






 
Efetuando-se a multiplicação dos elementos das matrizes, pode-se 
escrever que: 
Análise de regressão aplicada à Engenharia Florestal 
 
 30 


B
B
C R C R
C R C R
1
2
11 1 12 2
21 1 22 2





 








 
A fórmula geral para obtenção dos coeficientes é expressa por: 
Bj C Rji
i
k
j


1
 
 
Aplicação: 
Considerando um simples exemplo numérico, calcular os coeficientes: 
2 2 8
2 10 16
1 2
1 2
 
 
B B
B B
 
   
 
Na forma matricial as equações normais são: 
2 2
2 10
8
16
1
2







 





 









B
B
 
Fazendo-se  .B A R 1 , tem-se: 
 
* Matriz cofatores: 
A= ? 
   
    221
10101
21
12
11
11




A
A 
   
    221
221
22
22
31
21




A
A 
A'






10 2
2 2
 
 
*Matriz adjunta: 
 tAA ' 
Análise de regressão aplicada à Engenharia Florestal 
 
 31 













22
210
22
210
t
A 
*Determinante principal: 
A 







 
2 2
2 10
16 
*Matriz inversa: 
ΔA
A
A 1  



































125,0125,0
125,0625,0
8
1
8
1
8
1
8
5
16
2
16
2
16
2
16
10
22
210
16
11A
 
*Coeficientes B j: 






















16
8
 
8
1
8
1
8
1
8
5
ˆ
ˆ
2
1 x
B
B 
0,316 . 
8
1
8 . 
8
5
1 











B 
0,116 . 
8
1
8 . 
8
1ˆ
2 











B 
*Equação: 

Y X X 3 0 1 01 2, , 
 
2.4 Operação com matriz no SAS – PROC IML 
 
2.4.1 Composição da matriz 
 
PROC IML; 
Análise de regressão aplicada à Engenharia Florestal 
 
 32 
A = {2 1,3 2,-2 2}; 
PRINT A; 
 A 
 2 1 
 3 2 
 -2 2 
2.4.2 Multiplicação por escala 
C = 3; 
D = C*A; 
PRINT C D; 
 C D 
 3 6 3 
 9 6 
 -6 6 
2.4.3 Adição e subtração de matriz 
 
B = {1 1,4 2,-2 1}; 
PRINT B; 
 
 B 
 1 1 
 4 2 
 -2 1 
C = A + B; 
PRINT C; 
 C 
 3 2 
 7 4 
 -4 3 
D = A - B; 
PRINT D; 
 D 
 1 0 
 -1 0 
 0 1 
Análise de regressão aplicada à Engenharia Florestal 
 
 33 
2.4.4 Multiplicação de matriz 
 
D = {2 1 3,-2 2 1}; 
C = D*A; 
PRINT D C; 
 D C 
 2 1 3 1 10 
 -2 2 1 0 4 
C = A*D; 
PRINT C; 
 C 
 2 4 7 
 2 7 11 
 -8 2 -4 
D = {2 1 3}; 
C = D*A; 
PRINT C D A; 
 C D A 
 1 10 2 1 3 2 1 
 
 3 2 
 
 -2 2 
C = A*D; 
ERRO: (execução) matriz não conforme para operação. 
2.4.6 Matriz transposta 
 
AT = A`; 
ATT = AT`; 
PRINT AT ATT; 
 AT ATT 
 2 3 -2 2 1 
 1 2 2 3 2 
 -2 2 
 
 
Análise de regressão aplicada à Engenharia Florestal 
 
 34 
2.4.7 Vetor unidade 
 
U = J(3,1,1); 
PRINT U; 
 U 
 1 
 1 
 1 
MATRIZ UNIDADE 
U = J(3,2,1); 
PRINT U; 
 U 
 1 1 
 1 1 
 1 1 
2.4.8 Matriz diagonal 
 
S = {2 1 4,3 2 2,-2 2 3}; 
D = DIAG(S); 
PRINT D S; 
 D S 
 2 0 0 2 1 4 
 0 2 0 3 2 2 
 0 0 3 -2 2 3 
2.4.9 Matriz identidade 
 
I = I(3); 
PRINT I; 
 I 
 1 0 0 
 0 1 0 
 0 0 1 
2.4.10 Matriz inversa 
A = {4 2 2,4 6 8,-2 2 4}; 
Análise de regressão aplicada à Engenharia Florestal 
 
 35 
B = INV(A); 
C = B*A; 
D = A*B; 
PRINT A B C D; 
 A 
 4 2 2 
 4 6 8 
 -2 2 4 
 B 
 1 -0.5 0.5 
 -4 2.5 -3 
 2.5 -1.5 2 
 C 
 1 4.441E-16 4.441E-16 
 -2.66E-15 1 0 
 2 0 -8.88E-16 
 D 
 1 0 0 
 -2.66E-15 1 0 
 -1.33E-15 -4.44E-16 1 
2.4.11 Determiante de matriz 
 
D = DET(A); 
PRINT D; 
 D 
 8 
2.4.12 Computação de somas de coluna e linha 
 
X = {3 2,2 -2,4 6,3 1}; 
C = X(|+,|); 
R = X(|,+|); 
T = X(|+,+|); 
PRINT X C R T; 
 
 
 
 
Análise de regressão aplicada à Engenharia Florestal 
 
 36 
 X C R T 
 3 2 12 7 5 19 
 2 -20 
 4 6 10 
 3 1 4 
2.4.13 Computação de média de coluna e linha 
 
C = X(|:,|); 
R = X(|,:|); 
G = X(|:,:|); 
 C R G 
 3 1.75 2.5 2.375 
 0 
 5 
 2 
2.4.14 Concatenação horizontal 
 
A = {2 1,3 2,-2 2}; 
B = {1 1,3 4,2 2}; 
C = A||B; 
PRINT C; 
 C 
 2 1 1 1 
 3 2 3 4 
 -2 2 2 2 
2.4.15 Concatenação vertical (appending) 
 
C = A//B; 
PRINT C; 
 C 
 2 1 
 3 2 
 -2 2 
 1 1 
 3 4 
 2 2 
Análise de regressão aplicada à Engenharia Florestal 
 
 37 
III ANÁLISE DA VARIÂNCIA1 
3.1 Introdução 
 
A análise da variância constitui-se no procedimento estatístico básico 
mais usado em todas as situações de análise de dados. Para o que, na prática são 
usado rotinas computacionais, onde vários métodos e testes de hipóteses podem ser 
implementados. 
Num procedimento computacional a variável Y é associada a variáveis Xi 
num modelo genérico, podendo-se testar as hipóteses em relação aos coeficientes 
 ,  , , B B B0 1 4 em função de variáveis Xi, como é mostra a regressão: 
443322110 XXXXYi   
Uma vez estimados os coeficientes da equação, pode-se determinar por 
Soma de Quadrados e Produtos Não Corrigidos (SQPNC) os elementos da análise 
de variância: 
a) A Soma dos Quadrados dos Resíduos (SQR) é obtido por: 
   SQR Y Y Y B B X B X B X B Xi i
i
n
i i i i i
i
n
       
 
      
2
1
0 1 1 2 2 3 3 4 4
2
1
 Preferivelmente, a SQR é normalmente obtida por: 
SQR Y B Rj
t
j
j  
2  
Sendo: Rj = valores a direita das jth equações normais; B j = coeficientes da 
regressão; Y = variável dependente. 
 
b) A Soma dos Quadrados Totais (SQT) é obtida por: 
 
1 DRAPER, N.R.; SMITH, H. Applied Regression Analysis. New York: John Wiley & Sons, 1966, 
709p . 
FRESSE, F. Linear Regression Methods for Forest Research. U.S.A.: U.S. Departament of 
Agriculture Forest Service, 1972, 132p. 
 
Análise de regressão aplicada à Engenharia Florestal 
 
 38 
 2YSQT 
c) A Soma dos Quadrados da Regressão (SQRE) é obtida por: 
  j
t
j RB̂SQRE 
No caso da Soma de Quadrado e Produtos Corrigidos (SQPC) a SQT é 
obtida pelo resíduo da variável dependente, assim: 
  YYSQT 2  
E a SQRE é obtida sem o coeficiente B0 , ou seja, com o sistema de 
equações normais reduzido, assim: 
  j
t
j RB̂SQRE 
 Os graus de liberdade (GL) na análise de variância são obtidos conforme 
é demonstrado na Tabelas 04 e 05, para Soma de Quadrados e Produtos Não 
Corrigidos (SQPNC) e Soma de Quadrados e Produtos Corrigidos (SQPC), 
respectivamente. 
 
TABELA 04: Análise de variância por SQPNC 
Fonte de Variação GL SQ QM F 
Redução (RE) k SQRE 
K
SQRE QMred
QMres
.
.
 
Resíduo (R) n - K SQR 
)(
.
Kn
SQR

 
Total n SQT 
Sendo: K = número de coeficientes; n = número de observações; SQRE = soma 
dos quadrados da redução; SQR = soma dos quadrados dos resíduos; SQT = soma 
dos quadrados totais, GL = graus de liberdade; SQ = soma dos quadrados; QM = 
quadrado média; F = valor de F. 
 
Nota-se que, utilizando a SQPNC não se perde graus de liberdade (GL) no 
total e redução, porque trabalha-se com os dados originais, o sistema de equações é 
completo, ou seja, com o coeficiente B0. 
Análise de regressão aplicada à Engenharia Florestal 
 
 39 
TABELA 05: Análise de variância por SQPC 
Fonte de Variação GL SQ QM F 
Redução (RE) K - 1 SQRE 
)1( K
SQRE 
.
.
QMres
QMred 
Resíduo (R) (n - 1) - (K - 1) SQR 
    11  Kn
SQR 
Total n - 1 SQT 
Sendo: K = número de coeficientes; n = número de observações; SQRE = soma 
dos quadrados da redução; SQR = soma dos quadrados dos resíduos; SQT = soma 
dos quadrados totais, GL = graus de liberdade; SQ = soma dos quadrados; QM = 
quadrado média; F = valor de F. 
 
No caso da soma de quadrados e produtos corrigidos (SQPC), perde-se 
um grau de liberdade no total (n-1) porque trabalha-se com a diferença entre os 
valores observados e os estimados e um GL na redução, porque o sistema de 
equações normais é reduzido (K–1), isto é sem o coeficiente B0. 
 
Teste F Parcial e F Sequencial 
 
Se num modelo de regressão tivermos vários termos pode-se colocá-los na 
equação em qualquer seqüência desejada, como segue: 
SQ B B B Bi k( / , , , )0 1  
Sendo: i = 1, 2, ... K = coeficientes. 
 
Neste caso, tem-se um grau de liberdade (GL) para a soma de quadrados 
(SQ) que mede a contribuição na SQ da regressão de cada coeficiente Bi, pois 
todos os termos que não envolvem Bi já estavam no modelo. 
Em outras palavras, tem-se uma medida do valor da adição do termo Bi 
ao modelo original, que não o continha. O quadrado médio (QM) correspondente é 
igual a SQ desde que tenha um grau de liberdade e possa ser comparado com o 
Análise de regressão aplicada à Engenharia Florestal 
 
 40 
teste F. Esse tipo particular de teste F é chamado de F parcial para os coeficientes 
Bi da equação. 
Quando um modelo está sendo construído, o teste F parcial é um critério 
usual para adicionar ou remover termos do modelo, para a definição de uma 
equação apropriada. 
O efeito da adição de uma nova variável Xq pode ser grande quando 
existe somente uma variável Xq -1 na equação de regressão. Entretanto, quando a 
mesma variável é encontrada na equação após outras variáveis. Isso pode afetar 
muito pouco a resposta, devido ao fato de que Xq é altamente correlacionada com 
variáveis que já estão na equação. 
O teste F parcial pode ser feito para todos os coeficientes da regressão 
desde que a variável correspondente seja a última a entrar na equação, para ver o 
efeito relativo de cada variável em suplementação de outras já existentes no 
modelo. 
O teste F sequencial é utilizado quando variáveis são adicionadas uma por 
uma na equação de regressão, sendo o F calculado para o modelo integral, com as 
variáveis totais incluídas na equação. 
3.2 Soma de quadrados de produtos corrigidos 
 
Neste modelo de regressão o termo constante é determinado 
indiretamente, por isso é chamado de soma de quadrados e produtos corrigidos 
(SQPC), porque o B0 é obtido fora do modelo. 
Partindo-se de um modelo de regressão linear do tipo: 
Y B B X B X  0 1 1 2 2 
As equações de sistema de equações normais desta equação são as 
seguintes: 
Análise de regressão aplicada à Engenharia Florestal 
 
 41 
   
    



YXBXBXXB
YXBXXBXB
22
2
21212
12211
2
11
ˆˆ:
ˆˆ: 
O coeficiente B0 pode ser obtido indiretamente através da equação: 
   B Y B X B X B Xk k0 1 1 2 2     
Assim, pode-se escrever o modelo genérico para o cálculo dos 
coeficientes, com exclusão do B0, que é obtido de forma indireta da seguinte 
forma: 
       Y Y B X X B X X B X Xk k k       1 1 1 2 2 2  
ou 
y = B1x1 + B2x2 + ... + Bkxk 
Sendo: 
YYy  
jji XXx  
As equações normais deste modelo genérico são: 
     
     
     
x B x x B x x B x y
x x B x B x x B x y
x x B x x B x B x y
k k
k k
k k k k k k
1
2
1 1 2 2 1 1
1 2 1 2
2
2 2 2
1 2 2
2
   
   
   
   
   
   
  
  
  




 
Sendo: 
   
2
11
2
1 XXx 
  221121 . XXXXxx  
  YYXXyx   .111 
Nota-se, que o sistema de equações é reduzido, sem o coeficiente B0, por 
isso se deve trabalhar com os desvios do valor observado em relação a média 
Análise de regressão aplicada à Engenharia Florestal 
 
 42 
destes valores, portanto o sistema de equações normais perde os elementos da linha 
eda coluna de B0. 
3.2.1 Aplicação: solução de equação por Soma de Quadrados e Produtos 
Corrigidos (SQPC) 
 
Partindo-se de um número de unidades (n = 13) tomadas aleatoriamente 
numa população amostral onde foram medidas as variáveis: Y, X1, X2 e X3, 
conforme Tabela 06. 
 
TABELA 06: Dados coletados na unidades amostrais de uma população 
Var. Unidades amostrais 
Soma Média 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 
Y 15 27 10 2 39 32 35 14 8 18 3 7 24 234 18 
X1 5 8 12 2 16 10 14 9 6 10 7 6 12 117 9 
X2 3 2 14 4 5 2 5 11 10 8 9 8 10 91 7 
X3 12 5 8 14 7 9 3 2 3 15 13 16 23 130 10 
 
Sendo o modelo a ser utilizado o seguinte: 
3322110 XXXY   
Pela SQPC, o modelo de equações normais para esta equação é expresso 
por: 
        yxBxxBxxBxB 13312211211 ˆˆˆ: 
        yxBxxBxBxxB 23322222212 ˆˆˆ: 
        yxBxBxxBxxB 33232321313 ˆˆˆ: 
E, calculando-se por SQPC, o valor das variáveis são obtidos por: 
Análise de regressão aplicada à Engenharia Florestal 
 
 43 
    





 182
13
117
1285
2
2222
1 x
 
 
 
28
13
)91.(117
)10).(12()2).(8()3).(5(21 





 xx 
 
 
448
13
)234.(117
)24).(12()27).(8()15).(5(1 





 yx 
Assim, obtém-se as demais soma de produtos e quadrados: 
x x
x x
x y
x
x
x y
1 3
2 3
2
2
2
3
2
3
53
19
256
172
460
226






 

 


 
 
Substituindo-se estes valores no sistema de equações normais, tem-se que: 
182 28 53 448
28 172 19 256
53 19 460 226
1 2 2
1 2 3
1 2 3
  
  
  
B B B
B B B
B B B
  
   
    
 
A solução para este sistema de equações pode ser obtido através do 
Método de Sarrus. O procedimento consiste em obter o valor do determinante da 
matriz principal e de cada coeficiente e, posteriormente, obtém-se cada coeficiente 
dividindo-se o determinante de cada coeficiente pelo determinante da matriz 
principal. 
A solução das matrizes para obter o determinante com a aplicação da 
Regra de Sarrus é a seguinte: 
Matriz principal: 
Análise de regressão aplicada à Engenharia Florestal 
 
 44 













4601953
1917228
5328182
P
 
          
   18219194602828
5317253531928531928460172182ΔP

 
 958.433.13P 
 . .B1
448 28 53
256 172 19
226 19 460
36 658 656














 
 . .B2
182 448 53
28 256 19
53 226 460
25817 700


 










 
 
 . .B3
182 28 448
28 172 256
53 19 226
1310 064
 










 
 
Os coeficientes são obtidos por: 

 . .
. .
,

 . .
. .
,

 . .
. .
,
   
 , ( ) , ( ) , ( )
 ,
B
B
P
B
B
P
B
B
P
B Y B X B X B X
B
B
1
1
2
2
3
3
0 1 1 2 2 3 3
0
0
36 658 656
13433958
2 7288
25817 700
13433958
1 9218
1310 064
13433958
0 0975
18 2 7288 9 1 9218 7 0 0975 10
7 8684
  
 

 
 

 
   
   







 
A equação resultante é expressa por: 
 , , , ,Y X X X   7 8684 2 7288 19218 0 09751 2 3 
Análise de regressão aplicada à Engenharia Florestal 
 
 45 
Na Tabela 07 é apresentado a análise de variância para SQPC, onde o F 
calculado é igual a 53,37, significativo ao nível de 1 % de probabilidade. 
 
TABELA 07: Análise de variância para SQPC 
Fonte de Variação GL SQ QM F 
Redução 3 1736,5 578,8 53,6 
Resíduo 9 97,5 10,8 
Total 12 1834,0 
 
3.3 Soma de quadrados e produtos não corrigidos 
 
No caso da soma de quadrados e produtos não corrigidos (SQPNC) o 
coeficiente B0 fica no modelo e o sistema de equações normais é completo, sem 
redução, e as variáveis não são corrigidas para a média isto é trabalha-se com os 
valores observados. 
Partindo-se do exemplo anterior: 
3322110 XXXY   
Obtém-se por SQPNC o sistema de equações normais para os coeficientes 
da equação: 
        YBXBXBXBnB 33221100 ˆˆˆˆ: 
          YXBXXBXXBXBXB 1331221121011 ˆˆˆˆ: 
          YXBXXBXBXXBXB 2332222121022 ˆˆˆˆ: 
          YXBXBXXBXXBXB 3323232131033 ˆˆˆˆ: 
 
 
Análise de regressão aplicada à Engenharia Florestal 
 
 46 
Substituindo-se os valores nas equações, tem-se que: 

































2114
1382
2554
234
ˆ1760ˆ929ˆ1117ˆ130
ˆ929ˆ809ˆ847ˆ91
ˆ1117ˆ847ˆ1235ˆ117
ˆ130ˆ91ˆ117ˆ13
ˆ
1
3210
3210
3210
3210
BBBB
BBBB
BBBB
BBBB
B j
 

,
,
,
,
B j  













7 8684
2 7288
1 9218
0 0975
 
Na Tabela 08 é apresentado os cálculos da análise de variância para soma 
de quadrados e produtos não corrigidos, onde observa-se que o F calculado é igual 
a 53,6, significativo ao nível de 1 % de probabilidade. 
 
TABELA 08: Análise de variância para SQPNC 
Fonte de Variação GL SQ QM F 
Redução 4 5948,5 1487,1 137,3 
Resíduo 9 97,5 10,8 
Total 13 6046,0 
 
3.4 Regressão linear múltipla sem o termo constante 
 
Sendo dado a equação: 
2211 XXY   
Neste caso, é preferível trabalhar com a SQPNC, pois o termo constante 
não está na equação, o sistema de equações normais é dado por: 
      YXBXXBXB 12211211 ˆˆ: 
    YXBXBXXB   22221212 ˆˆ: 
Análise de regressão aplicada à Engenharia Florestal 
 
 47 
A solução deste sistema de equações normais é: 
6204,1ˆ
1793,3ˆ
382,1
554,2
809847
847235,1
ˆ
2
1
1


















B
B
B j
 
A equação passa a ser: 
 , ,Y X X 31793 162041 2 
3.5 Regressão linear simples com termo constante 
 
Do modelo linear simples, com o termo constante B0, expressa por: 
110 XββY  
Neste caso, para a solução por SQPC, o sistema de equações normais é 
simplesmente: 
    yxBxB 11211 ˆ: 
Partindo-se da equação: 
110 XY   
Obtém-se a equação normal em SQPC: 
    yxBxB 11211 ˆ: 
448ˆ182 1 B 
4615,2182/448ˆ1 B 
Sendo o coeficiente B0 obtido por: 
   
 
 ,
 ,
B Y B X
B
B
0 1 1
0
0
18 2 4615 9
4 1535
 
  
 
 
A equação fica sendo expressa por: 
Análise de regressão aplicada à Engenharia Florestal 
 
 48 
 , ,Y Xi   4 1535 2 4615 1 
3.6 Regressão condicionada 
 
Alguns casos de regressão impõe restrições aos valores dos coeficientes 
ajustados, sendo exemplo o ajuste do modelo sem o termo constante B0. Isso 
equivale impor a restrição de que B0 = 0, o que faz a regressão passar pela 
origem. 
Num outro exemplo, quando se pretende ajustar o seguinte modelo: 
22110 XXY   
Ao qual impõe-se a seguinte restrição: 
B B2 1 1  
Isto equivale a: 
B B2 11  
Então, o modelo original é dado por: 
 
212110
21110 1
XXXY
XXY




 
Fazendo: 
   21102 XXXY   
Assim, o modelo linear pode ser escrito por: 
   Y B B X0 1 
Sendo: 
 
 
  
  
Y Y X
X X X
2
1 2
 
A equação normal para o ajuste dos coeficientes é então dada por: 
       X B X Y2 1 
Análise de regressão aplicada à Engenharia Florestal 
 
 49 
3.6.1 Aplicação: solução de equação condicionada 
 
Com as informações constantes da Tabela 09, obtém-se que: 
 
  


x
x y
2 298
848
 
 
TABELA 09: Diferença dos valores e somatórios 
Var. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Soma Média 
y’ 12 25 -4 -2 34 30 30 3 -2 10 -6 -1 14 143 11 
x’ 2 6 -2 -2 11 8 9 -2 -4 2 -2 -2 2 26 2 
 
Substituindo-se os valores na equação: 
        X B X Y2 1 
Tem-se que: 
8456,2298/848ˆ
848ˆ298
1 

B
Bi 
E o coeficiente B0 é obtido por: 
   5,30882.2,845611B̂
xB̂yB̂
0
10

 
A equação ajustada fica sendo expressa por: 
   
 
21
21
212
1,8456X2,8456X5,3088Ŷ
ou
X2,845612,8456X5,3088Ŷ
XX2,84565,3088Xy
x2,84565,3088y






 
 
Análise de regressão aplicadaà Engenharia Florestal 
 
 50 
3.7 Ponderação dos mínimos quadrados 
 
A atribuição de peso aos mínimos quadrados, realizado quando as 
variâncias da variável dependente forem diferentes ou seja, a matriz V(E) não é da 
forma 2Iσ , portanto, a diagonal principal tem elementos diferentes. 
Pode ocorrer que os elementos fora da diagonal principal não sejam iguais 
a zero, isso pode demonstrar que as observações são correlacionadas. 
Quando um ou ambos os casos ocorrem o processo comum dos mínimos 
quadrados para a estimar os Bj não pode ser aplicado, sendo necessário modificar o 
processo para obter os estimadores da equação. 
Para isso, transforma-se as observações Y para outras variáveis Z que 
satisfaçam as suposições básicas de  2IσO,N , para que o teste F e o intervalo de 
confiança (IC) sejam válidos. 
A mais simples aplicação do método dos mínimos quadrados ponderados 
ocorre quando as observações são independentes, mas tem diferentes variâncias. 











2
n
2
2
2
1
2
σ00
0σ0
00σ
Vσ
 
Neste caso, os valores 2
iσ podem ser iguais. Na prática, freqüentemente, é 
difícil obter informações específicas da forma da variância. Por esta razão, é 
necessário supor V2 = I (conhecidamente errado) e, então, tentar descobrir a 
influência da variância pelo exame dos resíduos na análise de regressão. 
3.7.1 Regressão ponderada 
 
O procedimento de ajuste da regressão pode produzir tendências nos 
coeficientes estimados da regressão, quando as variâncias forem homogêneas ou 
Análise de regressão aplicada à Engenharia Florestal 
 
 51 
não. Assim, se as variâncias não forem homogêneas o procedimento de regressão 
ponderada produz coeficientes estimados com maior precisão. Para cada desvio 
quadrado é determinado um peso (Wi) e os coeficientes da regressão são estimados 
para minimizar a Soma dos Quadrados dos Desvios Ponderados. 
Assim, pode-se escrever que: 
 W E W Y B B X B X B Xi i i i i i k ki
i
n
i
n
2
0 1 1 2 2
2
11
     

  
Isso conduz ao sistema de equações normais expresso por: 
          iikkiiiiiii YWBXWBXWBXWBWB ˆˆˆˆ: 221100  
          iiYikkiiiiiiiiii XWBXXWBXXWBXWBXWB 1122111011 ˆˆˆˆ: 2  
          iiikkiiiiiiiiii YXWBXXWBXWBXXWBXWB 2222121022 ˆˆˆˆ: 2  
          ikiikkiikiiikiiikiiK YXWBXWBXXWBXXWBXWB ˆˆˆˆ: 222110  
Analisando os valores de Y em relação a X, distribuem-se na forma de um 
leque, aumentando a dispersão dos dados com o aumento dos valores de X. Este 
exemplo mostra que para valores grandes de X a variância é maior do que quando 
estes valores de X forem menores. Isto produz uma heterogeneidade de variância, 
porque as variâncias das classes de X são diferentes. 
Devido a isto, há necessidade de ponderação dos dados com um peso 
inversamente proporcional as variâncias. 
Segundo Freese(1972) devem ser consideradas três situações na 
ponderação de modelos: 
a) Quando a variância de Y for proporcional a X1. Neste caso, pode-se 
ponderar a regressão usando o seguinte peso: 
W
X ii

1
1
 
Análise de regressão aplicada à Engenharia Florestal 
 
 52 
b) Quando a variância de Y for proporcional a X1
2 . Neste caso, o peso 
pode ser: 
W
X ii

1
1
2
 
c) Quando a variância de Y for homogênea. Neste caso, não é necessário 
ponderar a regressão, porque o peso Wi é igual a 1. 
Freese(1972) no seu estudo sobre regressão ponderada faz referência as 
dificuldades na determinação da ponderação apropriada para um modelo de 
regressão, principalmente, quando se desconhece a magnitude da variância em 
diferentes pontos sobre a linha de regressão. 
Furnival(1961) estudando uma ponderação apropriada para a equação de 
volume da variável combinada de Spurr, concluiu que o erro padrão da estimativa é 
proporcional a d2h , por isto propôs o uso do peso (d2h)-1, como sendo a 
ponderação ideal. Diz ainda, que as estimativas pelos mínimos quadrados são 
realmente eficientes somente quando a homogeneidade estiver presente. 
Quando ocorrer heterogeneidade há a necessidade de efetuar a ponderação 
destas equações. A tendência dos pesos de casca por classe da variável dependente 
d2h pode ser visto na Figura 08. 
Na Tabela 10 estão relacionados os pesos testados e a significância para o 
teste de 2 de Bartlett, para equações de peso de casca em Acacia mearnsii. Os 
pesos: 
22
11
,
1
dh
e
dhd
 não apresentaram diferença significativa das variâncias ao 
nível de 0,01% de probabilidade. A melhor ponderação foi obtida com o peso 
2
1
dh
, 
sendo utilizado para a ponderação das equações aritméticas de peso de casca verde 
e seca. 
Análise de regressão aplicada à Engenharia Florestal 
 
 53 
 
FIGURA 08: Tendência dos dados em função do peso de casca verde e d2h de 
Acacia mearnsii 
 
TABELA 10: Pesos testados para as equações ponderadas de peso de casca 
verde em Acacia mearnsii 
Número Peso (Wi) 2 
1 d/1 32,6491** 
2 2/1 d 14,5770 ns 
3 3/1 d 128,4597** 
4 h/1 83,7829** 
5 2/1 h 50,2713** 
6 3/1 h 24,2302** 
7 dh/1 16,2216 ns 
8 2/1 dh 13,7954 ns 
9 hd 2/1 64,0507** 
10 22/1 hd 125,0984** 
Sendo: ** = significativo a 1% de probabilidade de confiança; ns = não 
significativo. 
 
Segundo Paula Neto (1977) um método alternativo para corrigir a 
heterogeneidade de variância é a transformação das variáveis dependentes e 
independentes da equação em logaritmos. A ponderação da equação volumétrica 
Análise de regressão aplicada à Engenharia Florestal 
 
 54 
por d2h-1 ou a transformação para a forma logarítmica resulta uma suficiente 
estabilidade da variância. 
Uma recomendação para encontrar o peso para ponderação dos mínimos 
quadrados é utilizar a seguinte expressão: 
p
i
i
X
1
W 
 
Sendo: p = potência que elimina a heterogeneidade de variância dos 
resíduos do modelo utilizado, tornando não significativo o valor de
2 calculado. 
 
3.7.2 Aplicação: solução de regressão ponderada 
 
Para ilustrar este problema assumiu-se que as variâncias de Yi são 
proporcionais a Xi, para o seguinte modelo: 
Yi = bo + b1 . Xi 
O peso apropriado a ser aplicado é expressa por: 
i
i
X
W
1
 
Os dados básicos e pesos aplicados para solução desta operação 
encontram-se na Tabela 11. 
As equações normais são: 
      iiiii YWBXWBWB 100 ˆˆ: 
      iiiiiii YXWBXWBXWB 1201 ˆˆ: 
Substituindo-se os valores nas equações normais, tem-se que: 
19129 13 24 6310 1,
  ,B B  
234B̂117B̂13 10  
 
 
Análise de regressão aplicada à Engenharia Florestal 
 
 55 
TABELA 11: Valor das variáveis e pesos aplicados 
Número Yi Xi Wi WiYi WiXi WiXi
2 WiXiYi 
1 15 5 0,2000 3,000 1 5 15 
2 27 8 0,1250 3,375 1 8 27 
3 10 12 0, 0833 0,833 1 12 10 
4 2 2 0,5000 1,000 1 2 2 
5 39 16 0,0625 2,438 1 16 39 
6 32 10 0,1000 3,200 1 10 32 
7 35 14 0,0714 2,500 1 14 35 
8 14 9 0,1111 1,556 1 9 14 
9 8 6 0,1667 1,333 1 6 8 
10 18 10 0,1000 1,800 1 10 18 
11 3 7 0,1429 0,429 1 7 3 
12 7 6 0,1667 1,167 1 6 7 
13 24 12 0,0833 2,000 1 12 24 
Soma 234 117 1,9129 24,631 13 117 234 
Média 18 9 - - - - - 
 
Solução: 
Determinante principal: 
p  54 8093, 
Determinante dos coeficientes: 


 ,
 ,
B
B
0
1
160 173
127 4156
 

 
Coeficientes: 
 ,
,
,
 ,
,
,
B
B
0
1
160 173
54 8093
2 9223
127 4156
54 8093
2 3247


 
 
 
Equação: 
Yi = 2,3247. Xi - 2,9223 
Análise de regressão aplicada à Engenharia Florestal 
 
 56 
3.8 Teste de hipótese com soma de quadrados e produtos não corrigidos 
 
Tomando-se por base o modelo: 
3322110 XXXY   
E considerando-se as seguintes hipóteses: 
H B0 2 0:   hipótese da nulidade; 
#0B:H 21 hipótese alternativa. 
Para se testar a hipótese acima, deve-se calcular, inicialmente, a soma dos 
quadrados do modelo máximo, obtendo-se as equações normais: 
2.114B̂1.760B̂929B̂1.117B̂130 :B̂