IBMR_Econometria_Unidade_4

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9/23/22, 11:52 AM Econometria
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Introdução
Autoria: José Tadeu de Almeida - Revisão técnica: Jorge Lisandro Maia Ussan
Econometria
UNIDADE 4 - COEFICIENTES DE
DETERMINAÇÃO E TESTE DE
SIGNIFICÂNCIA
9/23/22, 11:52 AM Econometria
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Prezado(a) estudante, nesta unidade, você terá
a oportunidade de consolidar conceitos
importantes relativos à regressão linear. Como
se sabe, há uma série de procedimentos que
articulam a criação de modelos econométricos,
destinados a avaliar a associação existente entre
variáveis dependentes e independentes. No
entanto, é possível aprofundar essa análise.
A construção de retas de regressão e linhas de
tendência é importante para observar a evolução de um modelo econométrico, mas
podemos fazer, ainda, outros questionamentos de modo a conhecer mais sobre o
tema. Assim, será que é possível observar se o modelo é realmente eficiente para
explicar as relações de variação entre os dados colhidos em um conjunto amostral?
Como medir essa eficiência? Há modelos que são mais ou menos eficientes e
adequados que outros?
Para responder a esses questionamentos e entender essas relações, você conheceu
algumas ferramentas relevantes, como os testes de significância e a tabela ANOVA,
construída a partir de métodos de análise de variância. Agora, iremos reforçar o
estudo dessas associações de determinação de variabilidade por meio de um
coeficiente que associa somatórios de elementos reais e estimados no modelo de
regressão.
Para atender aos nossos objetivos nesta unidade, utilizaremos, principalmente, o
coeficiente de determinação, também conhecido como R-quadrado, e o coeficiente R-
quadrado ajustado. Desse modo, além de relembrarmos outros conceitos relativos à
econometria, introduziremos uma temática cuja aplicação é essencialmente prática,
podendo ser utilizada, inclusive, para a construção de modelos econométricos
explicativos e eficientes em sua vida profissional.
Bons estudos!
4.1 Coeficiente de
determinação
Para medir uma associação entre variáveis, é possível recorrer a medidas de regressão que
permitem verificar a influência entre elas em um modelo. Sabendo disso, ao longo desta seção,
analisaremos o coeficiente de determinação, igualmente denominado como , e o coeficiente
de determinação ajustado.
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Como veremos, o coeficiente de determinação demonstra o grau de determinação, isto é, a
proporção na qual a variabilidade da variável independente é capaz de determinar a
variabilidade da variável dependente. Em outros termos, o coeficiente demonstra se a
variabilidade entre variáveis é forte o suficiente para mostrar que a variável dependente é
realmente determinada e influenciada pelo conjunto de dados ligados às variáveis
independentes (HOFFMANN, 2016).
4.1.1 Resíduos e erros amostrais
A elaboração do coeficiente de determinação demanda retomarmos o conceito de resíduo
associado a uma variável, que é um desvio ou erro, em relação a um valor esperado: 
 (MAIA, 2017). Assim, o valor real de Y pode ser entendido como a soma entre o
resíduo e o valor esperado/estimado: .
Consequentemente, ao subtrair a média nos dois lados da equação e transformar por 
, observa-se o seguinte: . Logo, se e 
, tem-se que: . Ao elevar essa equação ao quadrado, lembrando-se
do conceito do quadrado da soma de dois termos, tem-se o seguinte:
Se a soma dos resíduos é igual a zero, logo, a somatória do produto também é igual a
zero. Portanto:
Por meio dessa equação, é possível perceber uma associação ou relação entre os valores reais
e previstos, bem como os resíduos gerados pela diferença entre essas variáveis (HOFFMANN,
2016).
A variabilidade dos elementos ao redor da média (cuja somatória é expressa por ) pode
ser compreendida por duas razões. A primeira delas é atribuída à própria regressão, que
fornece apenas os valores estimados de , expressos por . A segunda razão é dada pelos
resíduos, cuja origem é alheia à existência do modelo, ou seja, na existência de uma diferença
entre os valores reais e um valor estimado , há uma parte que não é captada pelo modelo
e que pode ser atribuída a fatores externos.
Desse modo, o coeficiente de determinação apresenta a proporção da variabilidade do conjunto
de valores estimados que é efetivamente explicada (determinada) pela regressão. Esse
coeficiente é apresentado da seguinte forma (MAIA, 2017):
O vídeo Econometria: conceitos e aplicações | Capítulo 7
- Análise de variância, produzido pelo professor
Alexandre Gori Maia, da Universidade Estadual de
Campinas (Unicamp), apresenta, de forma bastante
completa, os conceitos de análise de variância e a
discussão relacionada ao coeficiente de determinação.
Acesse (https://www.youtube.com/watch?v=xRS-
vdUUN1E)
Você quer ver?
https://www.youtube.com/watch?v=xRS-vdUUN1E
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Nesse caso, SQReg corresponde à soma dos quadrados da regressão, isto é, dos valores
estimados , e SQTotal corresponde à soma dos quadrados dos valores de .
O coeficiente tem valores determinados pelo intervalo [0,1], de modo que, à medida que o
coeficiente aumenta e se torna próximo de 1, mais efetiva é a regressão para explicar a
variabilidade da variável dependente, tornando os valores reais bastante próximos dos valores
estimados (MAIA, 2017).
Utilizando um modelo que gerou a regressão 
, com média , pode-se obter o
seu coeficiente de determinação, de acordo com o quadro a
seguir.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2021.
Caso
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#PraCegoVer: o quadro apresenta os dados relativos às
variáveis X e Y, relacionadas a um modelo de regressão, e os
valores estimados, juntamente com os erros amostrais e os
quadrados da regressão.
Logo, tem-se o seguinte coeficiente de determinação:
Ou seja, o modelo de regressão é capaz de explicar em 97,6% a
variação da variável dependente Y.
No exemplo apresentado, você pôde observar graficamente a intensa associação entre valores
reais e esperados. Há, no entanto, situações em que essa associação é mais fraca,
demandando a elaboração do coeficiente de determinação para ter uma estimação mais precisa
da eficiência do modelo de regressão (MAIA, 2017).
Efetivamente, se o coeficiente estiver próximo de zero, maior será a independência linear
entre as variáveis, como se observa na figura a seguir.
#PraCegoVer: a figura apresenta uma barra com tons progressivos de branco a preto,
destacando que, à medida que a barra se torna mais escura, mais forte é o coeficiente de
determinação. Assim, à esquerda, associado à cor branca, está o número 0, abaixo do qual
aparece a expressão “Independência linear”. À direita, no outro extremo da figura, está o
número 1 associado à cor preta. Abaixo desse número está a expressão “Relação linear exata”.
Tal situação se observa na série de dados a seguir, gerada a partir do modelo 
, cuja média é igual a 5.
Figura 1 - Escala para o coeficiente de determinação
Fonte: Elaborada pelo autor, baseada em MAIA, 2017.
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#PraCegoVer: o quadro, composto por cinco colunas, apresenta uma série de dados
relacionada aos valores reais e estimados da variável independente X e da variável dependente
Y, na primeira e na segunda colunas, bem como os valores estimadosde Y na terceira coluna e
as duas somas de quadrados da regressão e total, na quarta e na quinta colunas.
O coeficiente de determinação, nesse caso, é igual a:
Ou seja, esse modelo explica em 73,6%, a partir do conjunto de dados da regressão, a
variabilidade da variável dependente Y, de acordo com o que se observa no gráfico a seguir.
Quadro 1 - Elaboração do coeficiente 
Fonte: Elaborado pelo autor, 2021.
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#PraCegoVer: o gráfico apresenta o conjunto de dados relativos ao quadro anterior,
demonstrando que os valores reais de Y estão dispersos, enquanto os valores estimados de Y
estão em uma reta de regressão.
Por fim, é importante enfatizar que um coeficiente baixo, embora indique menor dependência
linear entre variáveis, não implica, necessariamente, que o modelo seja ruim, isto é, que o
ajuste criado pela regressão seja insatisfatório. Na verdade, algumas variáveis podem ser mais
difíceis de serem compreendidas em todas as suas características, o que dificulta a criação de
um modelo fortemente explicativo (MAIA, 2017).
Por exemplo, os preços dos aluguéis em uma cidade não dependem somente do valor do metro
quadrado em um bairro, mas, também, do nível de renda da população local, das condições
econômicas do entorno, da localização, das condições dos imóveis, da limpeza urbana, entre
outros fatores. Assim, mesmo que um modelo tenha uma contribuição baixa em relação a uma
regressão, ele poderá oferecer informações interessantes e importantes ao pesquisador.
4.1.2 Coeficiente de determinação ajustado
Ao criar um modelo de regressão, nem sempre uma única variável independente é uma
condição suficiente para explicar plenamente uma variação da variável dependente (Y). Assim,
é necessário incluir outros fatores explicativos nesse modelo, na forma de variáveis que acabam
por transformar a relação linear simples em um modelo de regressão múltipla.
Figura 2 - Valores reais e estimados em uma regressão
Fonte: Elaborada pelo autor, 2021.
Na vida real, os processos de regressão linear simples são quase
inexistentes. Isso porque, em geral, um fenômeno estatístico é
Você sabia?
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Desse modo, à medida que novas variáveis são agregadas ao modelo de regressão, espera-se
que a capacidade explicativa do modelo se torne maior, elevando, consequentemente, o valor
absoluto do coeficiente de determinação . No limite, mesmo que a inclusão da variável não
auxilie em nada para a explicação da variabilidade do modelo, também não irá atrapalhar, de
modo que o coeficiente manteria o mesmo valor se a variável fosse inócua para o modelo
(WOOLDRIDGE, 2017).
Sabendo disso, observe a figura a seguir.
#PraCegoVer: a figura apresenta três círculos que têm pontos de interseção entre si. Essas
áreas de interseção representam os valores de Y que são explicados pela variação das
variáveis independentes e .
Na figura, analisa-se um modelo econométrico baseado em duas variáveis independentes e
uma variável dependente, da seguinte forma: (GUJARATI, 2011).
Nesse caso, o coeficiente de determinação é estruturado a partir dos valores das variáveis 
 e , como uma razão entre a soma dos quadrados da regressão e a soma dos quadrados
totais:
É possível, ainda, incluir mais uma variável explicativa nesse modelo, gerando uma regressão
com três variáveis independentes. Nesse caso, a variável pode ser explicativa, sendo que parte
dos quadrados da regressão é explicada por essa variável, ou a variável pode ser inócua, de
modo que o efeito em é igual a zero. Observe, então, a figura a seguir.
dependente de uma série de variáveis (o desemprego, por
exemplo, depende da inflação, da queda nos salários, da violência
urbana etc.), de modo que essas relações devem ser, sempre que
possível, observadas por meio de uma regressão múltipla. Nesta
disciplina, focamos a regressão simples para facilitar a
compreensão dos temas apresentados.
Figura 3 - Relação de independência entre duas variáveis
Fonte: Elaborada pelo autor, baseada em MAIA, 2017.
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#PraCegoVer: a figura apresenta dois conjuntos de círculos. No conjunto da esquerda, há três
variáveis de X que explicam a variável dependente Y. No conjunto da direita, a variável está
isolada, demonstrando que ela não explica a variação de Y.
No conjunto à esquerda, a variável apresenta alguma contribuição explicativa ao modelo.
Desse modo, o valor de incorporando as três variáveis será maior do que o valor de .
Algebricamente, tem-se, nesse caso, que: (MAIA, 2017).
No conjunto da direita, a variável é completamente inócua, isto é, não contribui em nada
para explicar a variação de Y. Nessas circunstâncias, tem-se a seguinte igualdade: 
.
É possível, portanto, verificar que o coeficiente não diminui, mesmo ao serem incorporadas
variáveis independentes extras no modelo. Se elas forem inócuas, o efeito em será nulo, e se
forem explicativas, a variação de será sempre positiva para a determinação do modelo.
Desse modo, é importante realizar uma correção do coeficiente de determinação, de modo a
ponderá-lo pelo número k de variáveis efetivamente explicativas — que geram, assim, o número
de graus de liberdade da regressão — e pelo número n de observações do conjunto amostral.
Assim, é criado o coeficiente de determinação ajustado, cuja notação é dada por , da
seguinte forma (MAIA, 2017):
Figura 4 - Relações de regressão com três variáveis independentes
Fonte: Elaborada pelo autor, baseada em MAIA, 2017.
É importante delimitar o significado das expressões. A
variável não contribui para a explicação do modelo, no
entanto, ela não é exógena. As variáveis exógenas
explicam a variação dos dados, mas não estão incluídas no
modelo de regressão. Não é o que ocorre com a variável 
.
Você sabia?
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A partir do cálculo do coeficiente ajustado, é possível depreender três propriedades,
destacadas a seguir.
O coeficiente de determinação ajustado deve, portanto, ser manipulado de modo que a inclusão
de novas variáveis explicativas somente ocorra se a estatística t de Student relacionada a essas
variáveis apresentar um valor absoluto superior a 1. Consequentemente, na hipótese de incluir
um conjunto de j variáveis, com j > 1, o valor de irá aumentar somente se a estatística F
associada a esse conjunto tiver um valor absoluto maior que 1 (MAIA, 2017).
O artigo de Maria Luiza de Lima et al. (2005),
denominado “Análise espacial dos determinantes
socioeconômicos dos homicídios no estado de
Pernambuco”, apresenta uma aplicação objetiva dos
Você quer ler?
Se , não há outras variáveis explicativas influenciando o modelo; desse modo, 
.
k = 1
Para todo , sendo um número natural, haverá uma tendência de diluição do
coeficiente ajustado, de modo que .
k > 1 k
Como efeito da segunda propriedade, o valor de pode ser negativo.
Primeira propriedade 
Segunda propriedade 
Terceira propriedade 
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A partir de agora, veremos um exemplo para facilitar a discussão e a compreensão sobre os
conceitos aqui trabalhados. Considere, assim, o conjunto de dados apresentado no quadro a
seguir.
#PraCegoVer: o quadro apresenta, em quatro colunas, um conjunto com dez pares ordenados
relativos a uma variável independente X e a uma variável dependente Y.
De acordo com os dados apresentados, a médiade X é igual a 9 e a média de Y é igual a 10. A
partir desses dados, podemos calcular os coeficientes angular e linear com base nas
informações dispostas a seguir.
conceitos destacados nesta unidade. Os autores
explicam, por meio de uma análise de variância, a
relação existente entre as variáveis analfabetismo e
pobreza como fatores explicativos da variável taxa de
homicídios, destacando que o coeficiente de
determinação ajustado para essa regressão é igual a
0,246.Acesse
(https://www.scielosp.org/pdf/rsp/2005.v39n2/176-
182/pt)
Quadro 2 - Conjunto de dados amostrais
Fonte: Elaborado pelo autor, 2021.
https://www.scielosp.org/pdf/rsp/2005.v39n2/176-182/pt
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#PraCegoVer: o quadro, composto por seis colunas, complementa o conteúdo do quadro
anterior, apresentando os valores centrados das variáveis e os elementos necessários para a
criação do coeficiente angular. Assim, na primeira e na segunda colunas, respectivamente, são
destacados os pares ordenados relativos à variável independente X e à variável dependente Y.
Na terceira, na quarta, na quinta e na sexta colunas, são apresentados os valores relativos a 
, a , a e a , respectivamente.
Com base no conteúdo apresentado, o coeficiente angular será expresso por:
Logo, o coeficiente linear será dado por , de modo que o
modelo de regressão será apresentado da seguinte forma: .
Pode-se, assim, estimar os valores esperados de Y e os elementos necessários para o cálculo
do coeficiente de determinação. O quadro a seguir apresenta esses valores.
Quadro 3 - Dados amostrais para um modelo econométrico
Fonte: Elaborado pelo autor, 2021.
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#PraCegoVer: quadro composto por cinco colunas, complementando os dois quadros anteriores
e apresentando as somas dos quadrados necessárias para a elaboração do coeficiente de
determinação. Assim, da primeira à última coluna, são apresentados os valores relativos a X, a
Yest, a , a e a , respectivamente.
Assim, o coeficiente será expresso da seguinte forma:
O valor de permite observar que a relação de determinação é muito forte entre a variável
dependente e a variável independente. Dessa forma, caso o pesquisador decida tentar
aprimorar o modelo por meio da introdução de mais duas variáveis explicativas, o coeficiente 
ajustado será igual a:
Como se pode observar, a inclusão de novas variáveis não é suficientemente efetiva para
auxiliar na explicação da variabilidade de Y, podendo até mesmo reduzir, na verdade, a
eficiência explicativa do modelo.
Quadro 4 - Elementos de cálculo do coeficiente de determinação
Fonte: Elaborado pelo autor, 2021.
Teste seus conhecimentos
(Atividade não pontuada)
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O modelo de regressão, formado por uma série de coeficientes angulares (dependendo do perfil
do modelo) e por um coeficiente linear, também deve ser avaliado sob outra premissa. Assim,
embora até o momento tenhamos entendido a relação de determinação pelo coeficiente ,
precisaremos avaliar, agora, se esses coeficientes, que são essencialmente amostrais —
relativos a um conjunto finito de dados —, são representativos da população estatística. Essa
avaliação será realizada por meio dos testes de significância e do erro-padrão, no tópico a
seguir.
A econometria é um ramo do conhecimento da área das ciências econômicas que enfoca a
criação de estudos de caso de modo a avaliar as associações entre conjuntos de variáveis
dependentes e independentes. Sabendo disso, considere a existência de um conjunto de
dados (X,Y) formado a partir dos seguintes pares ordenados: (6,8), (8,7), (9,9), (9,11),
(10,10), (7,9), (8,12), (11,15), (10,10), (12,9).
Tendo como base essas informações e seus estudos sobre o coeficiente de determinação,
analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) O coeficiente linear dessa reta de regressão é igual a 0,53, enquanto o coeficiente
angular é igual a 5,23.
II. ( ) No momento em que a variável independente X for igual a 15, o valor esperado de Y
será igual a 13,18.
III. ( ) A variabilidade da variável independente é capaz de explicar a variação da variável
dependente em 18,3%.
IV. ( ) O valor do coeficiente de determinação relativo à reta de regressão criada pelos
pares ordenados é igual a 0,319.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
a) F, V, V, F.
b) V, F, V, F.
c) V, F, F, F.
d) V, F, F, V.
e) F, V, F, V.
Verificar 
Há aproximadamente 7.700 quilocalorias (kcal) em um quilo (kg)
de gordura corporal. Assim, considere um modelo que relacione
o volume de gordura (em kg) em função das variáveis consumo
calórico diário e gasto calórico diário de um grupo com 31
Vamos Praticar!
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pessoas. Esse modelo deverá ter um valor alto, igual a 0,95,
por exemplo. Ao incluir uma terceira variável, como distúrbios
metabólicos, qual seria o valor do ajustado?
Conforme você verá após efetuar os cálculos, a inserção de uma
terceira variável em um modelo com 31 observações será dada
por:
Desse modo, observa-se que a inclusão de uma terceira variável
às duas primeiras reduz marginalmente a eficácia explicativa do
modelo.
4.2 Erro-padrão e testes de
significância
No momento em que se obtém a distribuição amostral de um estimador qualquer, é possível
calcular, também, a variância desse estimador. Se a distribuição amostral exata não puder ser
obtida, utiliza-se uma aproximação, de modo que a variância do estimador será correspondente
à variância dessa aproximação.
Em outras palavras, pode-se definir o erro-padrão como uma medida da variação de um
estimador em relação ao parâmetro. Se esses indicadores remetem à média, tem-se que o erro-
padrão da média, por exemplo, irá analisar a variação da média amostral, tomada com base na
média populacional (BUSSAB; MORETTIN, 2017).
Diante disso, nesta seção, veremos com mais atenção quais as chances de um pesquisador
incorrer em erro ao afirmar que um estimador é eficiente e preciso para mensurar os valores
esperados de um conjunto amostral. Sempre que necessário, iremos apresentar apenas as
equações geradoras dos indicadores, a fim de evitar uma demonstração algébrica mais
prolongada e o uso de elementos de cálculo que transcendem a dinâmica desta disciplina.
4.2.1 Erro-padrão de um estimador
Quando uma reta de regressão é traçada, é demonstrada uma série de dados estimados de
acordo com o modelo econométrico. Assim, a diferença entre dados reais e estimados incorre
na existência de erros amostrais, que têm, entre si, uma variância. Essa variância, de acordo
com o seu conceito em estatística descritiva, representa a dispersão média, ao quadrado, do
conjunto de erros ao redor da reta de regressão (MAIA, 2017).
Em geral, a variância populacional é desconhecida, de modo que é necessário obter o valor de
um estimador dessa variância dos resíduos da amostra, de acordo com a seguinte fórmula:
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Nessa fórmula, o denominador (n – 2) diz respeito ao número de graus de liberdade dos
resíduos, de modo que a raiz quadrada da variância da regressão, expressa por , é
denominada erro-padrão da regressão, permitindo mensurar a dispersão média desses
resíduos.
Para obter o valor do somatório , é possível utilizar a seguinte fórmula:
As variâncias individuais, relacionadas aos estimadorese do modelo de regressão e
expressas respectivamente por e por , representam as dispersões quadráticas médias
dos estimadores em função do perfil aleatório da amostra. Lembrando que a variância diz
respeito aos valores esperados dos coeficientes, ou seja, à distância entre o valor real do
coeficiente e seu valor estimado, pode-se calcular a variância estimada do coeficiente linear:
O coeficiente angular estimado tem a variância disposta do seguinte modo:
Ao substituir a variância pelo seu valor esperado , pode-se obter os estimadores da
variância de cada coeficiente:
Os erros-padrão dos estimadores são obtidos por meio da raiz quadrada das variâncias obtidas
pelos estimadores mencionados.
Assim, pode-se obter algumas propriedades relativas aos erros-padrão. A primeira propriedade
considera que, à medida que o erro-padrão da regressão aumenta, a estimativa dos parâmetros
torna-se menos precisa. Assim, se os valores observados ao redor da reta de regressão
estiverem muito dispersos, as estimativas de mínimos quadrados dos parâmetros também
tenderão a se dispersar (MAIA, 2017).
De acordo com a segunda propriedade, por sua vez, conforme a variabilidade observada dos
valores de X aumenta, a estimativa dos parâmetros torna-se mais precisa. Portanto, uma
dispersão baixa da variável independente demonstra que a amostra não tem uma grande
amplitude, tornando a estimação mais eficiente (MAIA, 2017).
Finalmente, uma última propriedade destaca que quanto maior o tamanho da amostra, mais a
variável independente apresentará variabilidade, permitindo que as estimativas dos parâmetros
tenham maior precisão (MAIA, 2017).
4.2.2 Teste de significância para os parâmetros
O teste de hipóteses relacionado aos coeficientes do modelo de regressão é usado para avaliar
as evidências de que os coeficientes são diferentes de zero, ou seja, de que apresentam uma
capacidade explicativa à variabilidade do modelo. Desse modo, as hipóteses são estruturadas
como se segue (MAIA, 2017):
Em relação ao coeficiente angular, temos:
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Supondo que a hipótese nula é verdadeira, as distribuições de probabilidade para os
parâmetros devem seguir uma distribuição normal, com média zero e variância igual à variância
dos coeficientes estimados, da seguinte forma:
 e 
Para criar o teste, basta seguir o protocolo comum à elaboração de um teste de hipótese: 1)
verificar a estimativa para a estatística de teste na amostra; e 2) calcular o valor-p, ou seja, a
probabilidade de erro ao rejeitar a hipótese nula, usando as estimativas amostrais de acordo
com a distribuição t de Student, com (n – 2) graus de liberdade.
Assim, ao rejeitar a hipótese nula, estamos afirmando que a estimativa do coeficiente é
significativa. Para o coeficiente linear, demonstra-se que a variável independente é significativa
do ponto de vista estatístico, apresentando relação linear importante com a variável dependente
Y.
Vejamos um exemplo para facilitar a compreensão. Para isso, observe o quadro a seguir.
#PraCegoVer: quadro composto por quatro colunas, destacando um conjunto de dez pares
ordenados (X,Y) para a criação de um modelo econométrico.
Resumidamente, o modelo de regressão associado a esse conjunto de dados, para uma média
de X igual a 5 e de Y igual a 5, é dado por .
Consequentemente, teremos os valores estimados do modelo de regressão destacados no
quadro a seguir.
A distribuição t de Student foi criada pelo pesquisador
William Sealy Gosset (1876-1937). Esse estatístico
trabalhava na cervejaria inglesa Guiness, e criou essa
distribuição para avaliar as proporções de cereais para a
fabricação de cervejas. Tanto por modéstia intelectual quanto
para evitar o comprometimento da empresa em seus
estudos, Gosset usava o pseudônimo Student (MOORE;
NOTZ; FLIGNER, 2017).
Você o conhece?
Quadro 5 - Conjunto de dados amostrais ( X, Y)
Fonte: Elaborado pelo autor, 2021.
9/23/22, 11:52 AM Econometria
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?cd=WxBtLwAgwAqE%2ftFVeZq0Qg%3d%3d&l=LFxRp7donKW0yfLrq4RnSg%3d%3d&lc=1G7eXm8Ta… 18/23
#PraCegoVer: quadro composto por cinco colunas, apresentando os dados amostrais para a
criação do erro amostral e do quadrado dos resíduos. Assim, da primeira à quinta coluna,
constam os dados relativos a X, a Y, a Yest, a Erro e a , respectivamente.
Pode-se observar que o modelo tem boa aderência para explicar a variação dos dados de Y, de
acordo com o gráfico que se segue.
#PraCegoVer: o gráfico destaca os valores reais relacionados ao quadro anterior, bem como os
valores estimados em uma reta de regressão, ligada ao modelo econométrico.
Quadro 6 - Cálculo dos erros amostrais
Fonte: Elaborado pelo autor, 2021.
Figura 5 - Disposição de um modelo econométrico
Fonte: Elaborada pelo autor, 2021.
9/23/22, 11:52 AM Econometria
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?cd=WxBtLwAgwAqE%2ftFVeZq0Qg%3d%3d&l=LFxRp7donKW0yfLrq4RnSg%3d%3d&lc=1G7eXm8Ta… 19/23
As estimativas da variância da regressão e de seu erro-padrão são expressas da seguinte
forma:
Consequentemente, o erro-padrão é igual a . Esse resultado consiste, na
verdade, em uma estimativa do erro médio para a previsão do modelo, com valor igual a 1,095.
Na sequência, é preciso estimar as variâncias dos coeficientes do modelo, com o objetivo de
verificar se há significância nos coeficientes linear e angular, ou seja, se esses coeficientes são
diferentes de zero. Assim, esses valores serão obtidos, especialmente, a partir do somatório dos
valores centrados ao quadrado de X, do seguinte modo:
Obtidas as estimativas, pode-se observar se elas são significativas por meio de um teste de
hipóteses apropriado para os coeficientes relativos ao modelo. Desse modo, teremos:
A estatística t de Student é dada por:
Para o coeficiente angular, tem-se o seguinte teste:
Elabora-se, desse modo, a seguinte estatística t de Student:
O valor-p associado a esse coeficiente é praticamente igual a zero, de modo que, ao afirmar
que o coeficiente angular é diferente de zero, ou seja, que o valor de X tem relação linear com o
valor de Y, a chance de erro é praticamente nula.
4.2.3 Intervalo de confiança para os coeficientes
Comparativamente à distribuição normal com 8 graus de liberdade, o valor-p associado ao
coeficiente linear é igual a aproximadamente 4,5%.
Isso significa que a probabilidade de erro ao afirmar que o ponto de intercepto da reta de
regressão é diferente de zero é igual a 4,5%.
Dessa forma, é possível afirmar, com uma chance de erro baixa, que o coeficiente linear é
significativo.
 
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A elaboração de um intervalo de confiança permite apurar, a um nível de confiança dado por ,
um conjunto finito no qual, em repetidas amostras de dimensão igual a n, esteja contido o
parâmetro populacional real, em situações possíveis. Sabendo que os estimadores de
mínimos quadrados seguem uma distribuição normal, seus intervalos de confiança,
relacionados aos parâmetros linear e angular, serão expressos conforme apresentado na figura
a seguir (MAIA, 2017).
#PraCegoVer: na figura, há dois conjuntos de dados relacionados a uma distribuição estatística
normal. Os gráficos mostram linhas que convergem a um ponto máximo e que depois declinam.
Observe que os valores reais e não são conhecidos. Nesse caso, o uso dos estimadores
amostrais e demanda a utilização da estatística t de Student, com (n – 2) graus de
liberdade para os parâmetros:
Nesses casos, de acordo com o valor da distribuição t de Student, com (n-2) graus de liberdade,
haverá uma probabilidade igual a de que os parâmetros estejam entre os pontos extremos
desse intervalo.
Recuperemos o exemplo do subtópico anterior para entendermos o conceito aplicado ao
intervalo de confiança. Parafazer uma estimação de intervalos de confiança a um nível de 95%
para os parâmetros da relação linear dada por , observaremos
as seguintes equações:
A um nível de confiança de 95%, os intervalos são expressos como se segue:
O intervalo gerado pelos valores [0,022; 2,112] apresenta uma estimativa de um intervalo no
qual, em sucessivas amostras de tamanho n = 10, esteja contido o valor real do parâmetro
linear em 95% dos casos. A mesma estimação, a 95% de confiança para o parâmetro angular ,
está compreendida pelo intervalo .
Figura 6 - Intervalos de confiança de estimadores de coeficientes
Fonte: Elaborada pelo autor, baseada em MAIA, 2017.
Teste seus conhecimentos
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Por fim, é necessário ter em conta que a estatística t de Student para esse teste é operada com
(n – 2) graus de liberdade. Consequentemente, ao consultar a tabela relativa a essa
distribuição, você deverá observar o nível de significância concernente a um teste unilateral ou
bilateral (MAIA, 2017).
Teste seus conhecimentos
(Atividade não pontuada)
Considere a existência de um modelo de regressão linear expresso da seguinte forma:
. Esse modelo é construído sobre um conjunto com dez pares
ordenados (X,Y), com a média de X sendo igual a 14 e o somatório dos valores centrados ao
quadrado de X sendo iguais a 286. O somatório do quadrado dos erros amostrais é igual a
58,1.
A partir dessas informações e de seus estudos sobre o tema, analise as afirmativas a seguir.
I. O teste de hipótese para o coeficiente angular gera uma estatística t de Student igual a
10,62.
II. O valor crítico da distribuição t de Student para o teste de hipótese desse modelo, a 95%,
é igual a 2,228.
III. O intervalo de confiança para o coeficiente angular, a um nível de 90%, é dado por [1,23;
2,16].
IV. O intervalo de confiança para o coeficiente linear, a um nível de 95%, é dado por [6,47;
10,33].
Está correto apenas o que se afirma em:
a) IV.
b) II e III.
c) I e IV.
d) I, II e III.
e) I, II, III e IV.
Verificar 
O nível de significância escolhido pelo pesquisador interfere
ativamente na amplitude do intervalo de confiança. No caso
anterior, você pôde fazer uma pesquisa a partir da tabela de
Vamos Praticar!
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distribuição de Student, calculando os intervalos de confiança
para 8 graus de liberdade e outros níveis de significância. Qual
seria o resultado do intervalo de confiança para um nível de
90%?
Conforme você verá, a um nível de significância de 90%, a
estatística de teste é igual a 1,860. Logo, criam-se os seguintes
intervalos:
Observa-se, assim, que o intervalo de confiança para o
coeficiente linear apresentou uma variação mais significativa
quando comparado ao intervalo do coeficiente angular. De fato,
o baixo valor de seu desvio-padrão implica em uma baixa
dispersão dos valores, gerando um intervalo de confiança mais
limitado.
A econometria é uma ciência com aplicações que vão além das ciências
econômicas, de modo que os métodos de regressão são utilizados em
diversas áreas do saber para avaliar tendências de variação de dados
amostrais, bem como para a construção de estimadores populacionais.
No entanto, é preciso observar que esses protocolos de elaboração de
modelos econométricos devem obedecer a um critério de eficiência, de
forma que uma variável dependente seja explicada em sua variação por
um conjunto suficientemente limitado de variáveis independentes. Com a
construção do coeficiente e dos testes de hipótese, tal relação de
eficiência e determinação se torna possível.
Nesta unidade, você teve a oportunidade de:
Conclusão
definir os procedimentos de cálculo do coeficiente de determinação;
aplicar a relação entre variáveis por meio do coeficiente ajustado;
contrastar as diferenças entre variáveis explicativas e variáveis inócuas
a um modelo econométrico;
avaliar os elementos de criação de um teste de hipótese e do intervalo
de confiança para os coeficientes de um modelo de regressão.
9/23/22, 11:52 AM Econometria
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?cd=WxBtLwAgwAqE%2ftFVeZq0Qg%3d%3d&l=LFxRp7donKW0yfLrq4RnSg%3d%3d&lc=1G7eXm8Ta… 23/23
BUSSAB, W. O.; MORETTIN, P. Estatística básica. 7. ed. São
Paulo: Saraiva, 2017.
ECONOMETRIA: conceitos e aplicações | Capítulo 7 - Análise
de variância. [S. l.: s. n.], 2020. 1 vídeo (17 min). Publicado
pelo canal Econometria: conceitos e aplicações. Disponível em:
https://www.youtube.com/watch?v=xRS-vdUUN1E
(https://www.youtube.com/watch?v=xRS-vdUUN1E). Acesso em: 20 fev. 2021.
GUJARATI, D. N. Econometria básica. 5. ed. Porto Alegre: Bookman, 2011.
HOFFMANN, R. Análise de regressão: uma introdução à econometria. Piracicaba:
Edição do Autor, 2016.
LIMA, M. L. C. et al. Análise espacial dos determinantes socioeconômicos dos
homicídios no estado de Pernambuco. Revista de Saúde Pública, São Paulo, v. 39, n.
2, p. 176-182, 2005. Disponível em:
https://www.scielosp.org/pdf/rsp/2005.v39n2/176-182/pt
(https://www.scielosp.org/pdf/rsp/2005.v39n2/176-182/pt). Acesso em: 20 fev. 2021.
MAIA, A. G. Econometria: conceitos e aplicações: aprenda os fundamentos da análise
econométrica e resolva problemas econômicos concretos. São Paulo: Saint Paul, 2017.
MOORE, D.; NOTZ, W.; FLIGNER, M. A estatística básica e sua prática. 7. ed. Rio
de Janeiro: LTC, 2017.
WOOLDRIDGE, J. M. Introdução à econometria: uma abordagem moderna. 6. ed.
São Paulo: Cengage Learning, 2017.
Referências
https://www.youtube.com/watch?v=xRS-vdUUN1E
https://www.scielosp.org/pdf/rsp/2005.v39n2/176-182/pt