Aula 8 - FT II - 2016 2

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Condução transiente: o método 
da capacitância concentrada
COEQ 0033 - Fenômenos de 
Transporte II
Profª. Drª. Audirene Amorim Santana Paixão
Condução transiente
• Trata-se de um processo de troca de calor no
qual a temperatura varia com o tempo, assim
como com a posição dentro de um sólido.
• Exemplos de condução transiente?
Condução transiente
• Este processo é iniciado sempre que o
sistema sofre uma mudança nas condições de
operação e ocorre até que um novo estado
estacionário (equilíbrio térmico) seja
atingido.
Imagine um sólido de metal forjado que é
temperado ao ser imerso em um líquido:
•O que vai acontecer com a temperatura do
corpo com o passar do tempo?
• A temperatura do sólido diminui até atingir a 
temperatura do fluido no estado 
estacionário.
•Como podemos descrever a variação de
temperatura do corpo?
• Neste caso, a equação do calor inclui o termo 
de variação da temperatura com o tempo. Em 
coordenadas esféricas:
t
T
Cq
T
senk
senr
1T
k
senr
1
r
T
rk
rr
1
p
222
2
2






































• Poderíamos simplificar esta equação?
t
T
Cq
T
senk
senr
1T
k
senr
1
r
T
rk
rr
1
p
222
2
2






































t
T
C
r
T
rk
rr
1
p
2
2 












• A condução transiente pode ser causada por:
–Mudanças nas condições de convecção na
superfície (ex.: um metal quente jogado na
água)-mudanças em h,T
–Mudança nas condições de radiação na
superfície- mudanças em hr,Tviz
– Fluxo de calor em uma superfície
–Geração interna de energia
• Métodos de solução de problemas transientes:
–Método da capacitância concentrada
–Métodos de solução exata
–Métodos de solução numérica
Método da capacitância concentrada
• Baseia-se na suposição de que a distribuição
da temperatura seja espacialmente uniforme
(em todos os pontos), para todo o processo
transiente: T(r,,,t)~T(t).
• Vamos imaginar a mesma situação:
• Um sólido de metal forjado é temperado ao ser
imerso em um líquido:
• Neste caso, já vimos que a equação do calor
simplificada é:
t
T
C
r
T
rk
rr
1
p
2
2 












)t,r(T
• Já vimos também que a temperatura do
sólido diminui até atingir a temperatura do
fluido no estado estacionário.
• Como deve ser a distribuição de temperatura
no sólido com a posição radial?
• Ou seja, para um tempo t=t1,
T(r=0) >, < ou = Tsuperfície ?
• Deve haver um gradiente de temperatura
T(r), com T(r=0)> Tsuperfície
• Quando podemos aproximar T(0,t)=T(r,t) =T(t)?
• Quando a condutividade for muito alta
(k)
• Neste caso a resistência à condução no
interior do sólido é pequena comparada com
a resistência à transferência de calor entre o
sólido e sua vizinhança.
• Em termos de fluxo:


 
0 
 
dr
dT
 
 
k"q
 
 



Se há fluxo, k=
verdadeiro 100% é
nunca prática na
 
O número de Biot e a validade do 
método da capacitância concentrada
• A simplicidade inerente ao método da
capacitância concentrada o torna um dos
métodos preferidos de solução dos
problemas de condução transiente.
• No entanto é importante determinar em que
condições ele é aplicável.
• Nº de Biot (parâmetro adimensional):
onde: h:coeficiente de convecção ou radiação
k: condutividade térmica
Lc: comprimento característico do sólido
lsuperficia área
volume
Lc 
k
hL
Bi c
Interpretação física do nº de Biot:
• Como fica o balanço de superfície
em x=L?
Ts,1>Ts,2>T
Interpretação física do nº de Biot:
    TThATT
L
kA
2s2s1s
rearranjando
Ts,1>Ts,2>T
Bi
k
hL
R
R
hA/1
kA/L
TT
TT
conv
cond
2s
2s1s 


• Qual o comprimento 
característico Lc
para a parede?
Ts,1>Ts,2>T
lsuperficia área
volume
Lc 
• Qual o comprimento 
característico Lc
para a parede?
Ts,1>Ts,2>T
L
A
LA
lsuperficia área
volume
Lc 
• Interpretação física:
• Critério para aplicabilidade do método da
capacitância concentrada:
Bi <<1 Por quê?
fluido/sólido
sólido
convectiva
condutiva
T
T
R
R
k
hL
Bi



Ts,1>Ts,2>T
 Rcond<<Rconv
• Na prática o método da capacitância
concentrada é válido para Bi<0.1
•Parede imersa em um fluido de temperatura menor em 
t=0 considerando diferentes números de Biot
• O método da capacitância concentrada:
• Considerando convecção, radiação, aplicação
de fluxo de calor (por exemplo, colocando
aquecedor elétrico ou de placa na superfície) e
geração de energia interna.
•Em t=0 T=Ti>T,Tviz


q ovolumétric e q lsuperficia
 oaqueciment o se-iniciam 0t Em
"
s
• Desprezando os gradientes de temperatura
com a posição, podemos fazer um balanço de
energia (ao invés de usar a equação do calor):
sge
ar EEE
dt
dE 

•Como fica a 
equação?
)TT(Ah)TT(hAEAq
dt
dT
VC vizrrcgf
"
s  

• A solução da equação é numérica, mas em
alguns casos especiais, podemos encontrar
soluções exatas.
)TT(Ah)TT(hAEAq
dt
dT
VC vizrrcgf
"
s  

• Casos especiais: soluções exatas
–Radiação desprezível:
)TT(Ah)TT(hAEAq
dt
dT
VC vizrrcgf
"
s  

)TT(
VC
hA
VC
EAq
dt
dT cgf
"
s


















• Fazendo T-T, obtemos uma equação
diferencial não homogênea:
)TT(
VC
hA
VC
EAq
dt
dT cgf
"
s



























a
VC
hA
b
VC
EAq
dt
d cgf
"
s
• Fazendo ’=-b/a, podemos obter uma
equação diferencial homogênea:
• Voltando para a variável temperatura, a
solução da equação é:


ab
dt
d
'a
dt
'd


 )atexp(1
TT
a/b
)atexp(
TT
TT
ii







• O que acontece com a temperatura quando
atingimos o estado estacionário (t)?
 )atexp(1
TT
a/b
)atexp(
TT
TT
ii







• O que acontece com a temperatura quando
atingimos o estado estacionário (t)?
 )atexp(1
TT
a/b
)atexp(
TT
TT
ii







0 0
a/bTT ou a/bTT  









a
VC
hA
b
VC
EAq
dt
d cgf
"
s
a/bTT  
•Por que a temperatura da parede não é igual 
à do fluido no estado estacionário? 









a
VC
hA
b
VC
EAq
dt
d cgf
"
s
• A temperatura não é igual à
do fluido porque há geração e fluxo de energia
• Casos especiais: soluções exatas
–Radiação, fluxo e geração desprezíveis:
• Como fica a equação?
 )atexp(1
TT
a/b
)atexp(
TT
TT
ii
















a
VC
hA
b
VC
EAq
dt
d cgf
"
s
• Casos especiais: soluções exatas
–Radiação, fluxo e geração desprezíveis:
ii
)atexp(
TT
TT







• t é a constante de tempo térmica:
• Quanto maior t, mais tempo será requerido
para que novo estado estacionário seja atingido
após uma mudança no ambiente térmico.
)
t
exp()t
VC
hA
exp()atexp(
t
c
i 







t
C
,aconcentrad
térmica
capacidade
t
R
,térmica
aresistênci
VC
hA
1
c
t  t  conforme Rt e Ct 





a
VC
hA
dt
d c
• Qual a temperatura no estado estacionário?
)
t
exp(
TT
TT
tii 








• Quando t:


 





TT0
TT
TT
0
ii
• Quando t= :
 /i=0.368
)1exp()
t
exp(
ti





estado 
estacio-
nário
• O coeficiente de transferência de calor para o
escoamento de ar sobre uma esfera pode ser
determinado pela observação do comportamento da
temperatura da esfera com o tempo. Uma esfera de
cobre com diâmetro de 15 mm está a 60°C antes de ser
inserida em uma corrente de ar a 25°C. Um termopar
na superfície externa da esfera indica 55°C 40 s após a
esfera ser imersa na corrente de ar.
(a) Considere que a esfera é isotérmica no espaço e
calcule o coeficiente de transferência de calor
(b) Verifique se a esfera poderia ter sido considerada
isotérmicano espaço. Justifique.
• Dados para o cobre: =8933 kg/m3, Cp = 389 J/kgK, k = 
398 W/mK.