Experimento II Pêndulo Simples

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS
FACULDADE DE TECNOLOGIA
DESENHO
MANAUS – AM
2018
WILLIAM BITAR BARROSO DOS SANTOS – 21550240
RELATORIO DE LABORATORIO DE FISICA EXPERIEMNTAL lll
EXPERIMENTO: PENDULO SIMPLES
Relatório solicitado com o objetivo de relatar os procedimentos e resultados da aula prática sobre PENDULO SIMPLES. Requerido pelo professor OLEG GRIGORIEVICH BALEV como forma de obter uma das notas parciais da disciplina de Laboratorio de Fisica Experimental lll da Universidade Federal do Amazonas. 
MANAUS – AM
2016
SUMÁRIO
	
	
	RELATÓRIO ....................................................................................................
	3
	1. Objetivo ........................................................................................................
	3
	2. Introdução Teórica .......................................................................................
	3
	3. Parte Experimental ......................................................................................
	5
	3.1. Material necessário ...................................................................................
	5
	4. Experimento 1 ..............................................................................................
	6
	4.1. Objetivo .....................................................................................................
	6
	4.2. Procedimento Experimental ......................................................................
	6
	4.3. Tratamento dos Dados ..............................................................................
	7
	5. Experimento 2 ..............................................................................................
	8
	5.1. Objetivo .....................................................................................................
	8
	5.2. Procedimento Experimental ......................................................................
	8
	5.3. Tratamento dos Dados ..............................................................................
	8
	6. Questões ......................................................................................................
	10
	CONCLUSÃO ...................................................................................................
	12
	REFERÊNCIAS ................................................................................................
	13
	ANEXOS ..........................................................................................................
	14
RELATÓRIO
 (
 
)
1. Objetivo
Determinar as funções períodoXcomprimento do fio e períodoXângulo e através destes obter a aceleração da gravidade.
2. Introdução Teórica
Pêndulo Simples é um sistema constituído por uma partícula de massa “m”, suspensa por um fio ideal. 
Na oscilação em torno de sua posição de equilíbrio “O”, desprezando-se as resitências, o pêndulo simples realiza um movimento períódico. É um movimento em forma de arco de circunferência.
O fenômeno é periódico porque se repete identicamente em intervalos de tempo iguais e o período “ T ” é o menor intervalo de tempo para essa repetição do fenômeno.
· nas pequenas oscilações, de abertura não superior a 10º, a esfera pendular realiza movimento harmônico simples (MHS).
· (
T = 2
π 
 
ℓ 
 g
)o período do MHS é dado por: , onde “ℓ” é o comprimento do fio e “g” é a aceleração local da gravidade.
· o movimento periódico do pêndulo forma um ângulo Ф .
· A componente do peso “P” é a força de restauração do movimento periódico, pela ação realizada na partícula (corpo) de modo a trazê-lo de volta posição de equilíbrio no centro. (
 
 
ℓ
 m
 O
Figura 1. Pêndulo simples – formado por uma partícula de massa “m” presa na extremidade e suspensa por um fio ideal .
)
 (
 
 ℓ 
Ф
 m
O
 mg
) (
Figura 2. Pêndulo simples em movimento p
eriódico formando um ângulo 
ϕ
 com a vertical e a força “P=mg” agindo na esfera
.
)
A equação do período acima descrita pode ser encontrada pela dedução a seguir, sabendo que: sendo, temos: 
 (
T = 2
π 
 m
 
 k
k = 
mg
 
ℓ
T = 2π 
 m 
 
 
mg
 
ℓ
 
)
 (
T = 2
π 
 
ℓ 
 g
)
· k é uma constante de elasticiade para cálculo do período tirada de F = - kx.
Nessa dedução observa-se que o período do pêndulo simples não depende da massa “m” da esfera, por isso fica: 
Energia encontrada no MHS: 
· energia mecânica dividida em duas partes: cinética “Ec” e potencial “Ep”.
· (
E
c
 = 
 mv2
 
 2
)Energia cinética “Ec” está associada com a velocidade do ponto material, dada pela equação: 
 
· (
E
p
 = 
 
kx
2
 
 2
)energia potencial “Ep” está associada com a posição “x” do ponto material, dada pela equação: 
· (
E
mec
= 
E
c
+E
p
)no MHS as energias cinética e potencial variam, de acordo com a variação das velocidade “v” e da posição “x” do ponto material.
· a soma das energias “Ec” e “Ep” é a energia mecânica “Emec”: 
· a energia mecânica permanece constante, supondo que as forças dissipativas no MHS sejam inexistentes.
 (
E= 
 1
 m
ℓ
2
 
d
Ф
 
2
 + mgℓ (1- cos 
Ф
)
 2 dt
)Para qualquer valor de Ф a expressão da energia “E” do pêndulo simples é descrita como: (2.1)
No ponto de inversão do movimento, a velocidade angular (ω) é nula e o ângulo é máximo (Фm), nesta situação podemos expressar a energia como: E= mgℓ (1- cos Фm).
Portanto, temos da Eq. (2.1), a seguinte expressão:
 (
 T 
 
= 
 
ℓ 
 
Фm
 
 d
Ф
 
 
 4 2g 
0
 (cos Ф - cos
Ф
m
 )
)
 (
k = sin
 Ф
m
 2
) 
· sendo , então o período poderá ser obtido por
 (
 T 
=4 
 
 
ℓ 
 
 dФ 
 g 
0
 (1 – k² sin² Ф )
π 
2
)
 
· fazendo a integral elíptica K de primeira ordem completa, fica
· com o desenvolvimento da série para K (k), obtemos
 (
 T 
= 4 
 
ℓ 
 K (k)
 g 
) (
 T 
= 2
π
 
 
ℓ 
 1 + 
1
 sin² Ф
m
 + ...
 g 4 2
)
· considerando somente o primeiro e o segundo termo, temos:
 (
 T 
= 2
π
 
 
ℓ 
 + 
π
 
 ℓ 
 sin² Ф
m
 
 g 2 g
 2 
) (2.2)
Para pequenos valores do ângulo, ou seja Фm ≤ 10º, temos
 (
T = 2
π 
 
ℓ 
 g
) (2.3)
3. Parte Experimental
3.1. Material Necessário:
· Uma esfera de D = 25,4mm;
· Uma barreira de luz com cronômetro digital;
· Uma haste quadrada de 1250mm;
· Uma régua milimetrada de 1000mm com dois cursores;
· Uma haste redonda;
· Um porta placa;
· Um fio de 1500mm;
· Um transferidor;
· Dois tripés; e
· Quatro grampos duplos.
 (
Figura 3. Experimento montado de um pêndulo simples com a esfera centralizada com o feixe de luz da barreira de luz em forma de “U” .
)
Os procedimentos realizados para os ensaios com o experimento de pêndulo simples foram, primeiramente, a regulagem da altura da esfera desatarrachando os parafusos de fixação do fio e o do porta placa, assim, o porta placa foi movido de sua posição até a altura desejada e o fio, extendido e regulado para que a esfera ficasse centralizada com o feixe de luz, travando respectivamente os fio e porta placa.Utilizando-se uma régua milimetrada com dois cursores na cor vermelha, a extremidade do cursor da parte inferior da régua, foi usada para medir exatamente o centro da esfera com o centro da barreira de luz e o outro cursor da parte de cima, usado para medir a altura inicial, entre a esfera e o fio preso no porta placa acoplado no transferidor, a qual foi de 500mm.
Próximo passo, foi afastar lentamente a esfera do pêndulo até ângulo desejado no transferidor, zerar o cronômetro digital e quando pronto, soltar a esfera para oscilar pelo feixe de luz, sem bater na barreira ou outro local para evitar que se danifique, seguido da obtenção, através do cronômetro digital acoplado na barreira, do registro do primeiro valor relativo ao período, em seguido proceder da mesma maneira para as outras alturas solicitadas.
Como as regulagens foram perfeitamente realizadas e alinhadas, não houveram necessidade de mudar a posição do porta placa e nem do tripé.
4. Experimento 1
4.1. Objetivo
Determinar a função períodoXcomprimento. E através desta obter a aceleração da gravidade.
4.2. Procedimento Experimental
1. Prenda o fio no porta placa com o comprimento de 500mm até o centro da esfera e anote esta distância.
· Procedimento realizado precisamente, utilizando uma régua milimetrada com dois cursores, alinhamento do centro da esfera e do porta placa junto com o transferidor, onde o fio foi extendido e o porta placa mais transferidor elevados até a altura correspondente de 500mm.
2. Obtenha o período de uma oscilação da esfera usando o terceiro comando do cronômetro digital1. Repita esta medida 3 vezes e tire uma média2.
· Manualmente foi movimentado o pêndulo simples, afastando a esfera até o ângulo Ф = 5º, do fio com o transferidor, solta a esfera que oscilou pelo feixe de luz na barreira de luz e registrado os valores de 1/2 período conforme tabela abaixo, (usando o S.I.):
	Período“T” (s)
	P/ x1=0,5m e Ф=5º
	Resultados
	T1
	0,720 X 2
	1,440
	
	
	
	T2
	0,716 X 2
	1,436
	
	
	
	T3
	0,714 X 2
	1,428
	
	
	
	Média “Tméd”
	0,717 X 2
	1,434
3. Repita este procedimento para os seguintes comprimentos: 600, 700, 800 e 900mm (usando o S.I., os valores de x em metro conforme tabela abaixo).
· As alturas foram reguladas de 600, 700 e 800mm, para o ângulo Ф=5º, entretanto a altura da haste não permitiu que o transferidor junto com o porta placa chegasse aos 900mm, por este motivo a última altura não foi medida.
	Período “T” (s)
	p/x2=0,5m
	p/x3=0,7m
	p/x4=0,8m
	T1
	0,795
	0,870
	0,947
	
	
	
	T2
	0,792
	0,872
	0,943
	
	
	
	T3
	0,798
	0,871
	0,941
	
	
	
	Média “Tméd” (x2)
	1,590
	1,742
	1,888
4.3. Tratamento de Dados
1. Construa uma tabela com seus resultados (comprimento e período), usando o Sistema Internacional.
	Período “T” (s)
	p/x1=0,5m
	p/x2=0,6m
	p/x3=0,7m
	p/x4=0,8m
	“Tméd” (X2)
	0,717
	0,795
	0,871
	0,944
	Média “Tméd”
	1,434
	1,590
	1,742
	1,888
2. construa o gráfico em escala logarítmica: T= f(ℓ).
· Ver gráfico I em anexo em papel milimetrado, onde, para cada período (log T) foi usado intervalos de 0,05m e para cada comprimento (log ℓ) foi usado intervalos de 0,05m.
3. Use a regressão linear e obtenha a função períodoXcomprimento.
· Como o logarítmo do período permite um produto de log em função de 
(2π/ g . ℓ), temos:
 (
logT = log( 
 2
π 
 . 
 
ℓ )
 g
)
 , onde log T = log 2π / g + log ℓ e,
log T = log 2π / g + 1 log ℓ então, Y= A + BX
 2
 Y A B X
· De acordo com o gráfico obtido, o valor do A é aproximadamente 0,332 s.
· Assim calculamos a gravidade: A = log 2π / g :. 2π / g = 10A :.
 g = 2 x 10-A :. g = ( 2π 10-A)² 
· Lembrando que A = 0,332 s, então, g = 8,557 ≈ 8,56m/s² 
 (
T = 2
π 
 
ℓ 
 g
)4. Verifique se a função obtida coincide com a função esperada teoricamente, veja Eq. (2.3), e a partir desta obtenha o valor de g.
· Ao verificar a função obtida no item anterior e de acordo com o valor de A no gráfico (log T x log L), calculamos a aceleração da gravidade g=8,56m/s². 
· A função logarítimica foi utilizada de acordo com a Eq. (2.3) na forma a seguir:
 (
logT = log( 
 2
π 
 . 
 
ℓ )
 g
)
 e desta maneira é que há uma coincidência da função esperada.
· 5. Compare o valor da aceleração da gravidade obtido, com o valor adotado, g=9,8m/s2. Na comparação de valores observamos que a aceleração da gravidade adotada de 9,81m/s² com a aceleração da gravidade obtida de g=8,56m/s², tem uma aproximação relativa, de 1,2m/s² e o desvio foi de 1,1m/s² .
5. Experimento 2
5.1. Objetivo
Determinar o período como uma função angular e através desta obter a aceleração da gravidade.
5.2. Procedimento Experimental
1. Utilize a montagem do experimento com o transferidor2. Fixe o fio ao comprimento de 500mm. 
· Realizados as regulagens do transferidor e porta placa, mais a fixação do fio e centralização da esfera e respectivo alinhamento com o feixe de luz da barreira de luz, para x=500mm.
2. Para o ângulo de 10º, obtenha o período usando o terceiro comando do cronômetro digital3. Repita este procedimento 3 vezes e tire a média.
· Manualmente foi movimentado o pêndulo simples, afastando a esfera até o ângulo Ф = 10º, do fio com o transferidor, solta a esfera que oscilou pelo feixe de luz na barreira de luz e registrado os valores de 1/2 período conforme tabela abaixo:
	Período“T” (s)
	P/ x1=0,5m e Ф=10º
	Resultados
	T1'
	0,722 X 2
	1,442
	
	
	
	T2'
	0,724 X 2
	1,446
	
	
	
	T3'
	0,723 X 2
	1,426
	
	
	
	Média “ Tméd' ”
	0,723 X 2
	1,446
3. Repita este procedimento para os ângulos: 20º, 30º, 40º e 50º.
· Os ângulos foram ajustados conforme o procedimento solicitado, para x1'=500mm e o pêndulo oscilou e registrou cada valor no cronômetro, conforme tabela abaixo:
	Período “T” (s)
	p/Ф=20º
	p/Ф =30º
	p/Ф =40º
	p/ Ф =50º
	T1'
	0,724
	0,731
	0,741
	0,761
	
	
	
	T2'
	0,725
	0,735
	0,743
	0,761
	
	
	
	T3'
	0,724
	0,733
	0,746
	0,762
	
	
	
	Média “ Tméd ' ”(x2)
	1,450
	1,466
	1,486
	1,522
5.3. Tratamento de Dados
1. Calcule o sin α/2 e sin² α/2 para os períodos médios Tm e angulos Ф=α:
	Usando sin α/2, temos:
· p/ Ф=10º :. sin α/2 =0,0671
· p/ Ф=20º :. sin α/2 =0,1736
· p/ Ф=30º :. sin α/2 =0,2588
· p/ Ф=40º :. sin α/2 =0,3420
· p/ Ф=50º :. sin α/2 =0,4221
	Usando sin² α/2, temos:
· p/ Ф=10º :. sin² α/2 =0,0076
· p/ Ф=20º :. sin² α/2 =0,0301
· p/ Ф=30º :. sin² α/2 =0,0669
· p/ Ф=40º :. sin² α/2 =0,1169
· p/ Ф=50º :. sin² α/2 =0,1786
2. Tabele os seguintes dados (sin α/2, sin² α/2 e T), usando o sistema Internacional.
· Conforme tabela a seguir temos:
	Tm (s)
	Ф º
	sin α/2
	sin² α/2
	1,446
	10º
	0,0671
	0,0076
	
	1,448
	20º
	0,1736
	0,0301
	
	1,466
	30º
	0,2588
	0,0669
	
	1,486
	40º
	0,3420
	0,1169
	
	1,522
	50º
	0,4221
	0,1786
	
3. Construa os gráficos em escala linear: T = f ( sin α/2) e T = ( sin² α/2).
4. Que tipo de curva você obteve no 1º gráfico II?
· A curva é exponencial e ascendente de forma senoidal.
5. Use a regressão linear no 2º gráfico e encontre a sua respectiva função.
· Regressão linear do 2º gráfico e resultados obtidos para a função:
 (
(0,05 , 1,46) tg
Ф
 = 
(1,49 -1,46)
 tg
Ф
 = 0,43478 
(0,0119 , 1,49) (1,119 - 0,05 )
y=ax + b y= tg
Ф
.
x + b y=0,43478.x + b {1,46 = 0,43478.(0,05) + b
 b=1,46 – 0,021 b=1,43826
y=0,43478.x + 1,43826 
T=0,43478.sen²(
α/2)
+1,43826
)
6. Verifique se a função obtida T X sin² α/2, coincide com a função esperada teoricamente, veja Eq. (2.2). Compare estas funções e obtenha o valor de g.
· Verificação das funções e comparação de valores:
 (
T=0,43478.sen²
(
α/2)
+1,43826
T=2
π
.ℓ 
 :. 
 T 
 = 
 ℓ
 
 :. 
 g 
= 
 4π² 
 :. g = 
 4π² . 
ℓ
 
 
 
g 2
π
 g 
ℓ
 T² (0,43478 sen²(
α
/2
)+ 1,438 )² 
 
 g = 9,37m/s²
DESVIO = 
 9,81 – 9,3743
 :. DESVIO = 4,4%
 9,81
)
6. Questões:
1. Faça um comentário sobre a influência da variação angular no pêndulo simples em cada experiência.
Resposta :
· Para a 1ª experiência, tendo em vista que foi usado um ângulo Ф=5º e considerando que nas pequenas oscilações e a abertura não tenha sido acima de 10º, é claro que a esfera pendular realizou um movimento harmônico simples. Nas oscilações períodosxcomprimentos os valores se mantiveram aproximados uns dos outros e o MHS foi de forma linear devido a trajetória retilínea.
· Para a 2ª experiência, as variações angulares superaram o ângulo Ф =10º, alternando até o ângulo Ф=50º, mantendo-se o comprimento de 500mm, e apresentando valores de períodos na média de T=1,470 s.
2. Compare o valor da aceleração da gravidade, obtidos nas duas experiências e verifique qual obteve melhor precisão. Comente as possíveis fontes de erros.
Resposta : 
· Para a 1ª experiência, onde ângulo Ф=5º foi de fundamental importância nas oscilações e velocidade com que o pêndulo passou pela origem, períodosxcomprimentos, e os valores de 0,944 s e 800mm (0,8m), respectivamente, apresentaram os resultados para a aceleração da gravidade local baixos comparados com a aceleração da gravidade terrestre de g=9,81m/s2, pelos cálculos utilizando a Eq. 2.3, tiveram a nova aceleração da gravidade local de aproximadamente g= 8,56m/s2, porque a cada vez que aumentamos o comprimento do fio e da esfera para um ângulo abaixo de 5º. 
· Para a 2ª experiência, a partir do ângulo Ф=10º, alternando até o ângulo Ф =50º, mantendo-se o comprimento de 500mm (0,5m), os valores dos períodos na média de T=1,450s, mostra que a aceleração da gravidade local se aproxima da terrestre em relação ao da 1ª experiência.
· Os erros encontrados está na medida da altura do pêndulo e na partícula (esfera?) presa a extremidade do fio. E possivelmente, o aparelho não esteja bem centralizado.
3. Quais das duas experiências descrevem um movimento harmônico simples? Justifique.
Resposta : 
· a 1ª experiência é a mais adequada pois descreve um MHS, devido ter um ângulo abaixo de 10º e apresentar oscilações de forma retilínea ou seja, linear, mostrando que como o ângulo de abertura foi pequeno, o arco de abertura manteve as forças resultantes em equilíbrio com o ponto “O” e neste caso ocorreu uma força de restauração do sistema.
4. Explique em quais condições um pêndulo pode ser usado como um relógio. 
Resposta : 
· o pêndulo simples poderá ser usado como um relógio quando seu sistema estiver regulado para as condições da aceleração da gravidade terrestre, ser calibrado em seu comprimento e manter os períodos de oscilações corretos para o local onde for utilizado, de preferência em local fechado onde as resultantes das forças externas sejam nulas.
CONCLUSÃO
A experiência com pêndulo simples, nos mostra que o sistema deve funcionar com todos os seus componentes em perfeitas condições de utilização, bem equilibrado, alinhado e aferido com o propósito de que este, possa fornecer resultados precisos. 
No funcionamento do pêndulo simples da 1ª experiência, a abertura do ângulo em 5º, para comprimentos entre 0,5m a 0,8m, forneceram valores de ½ período a cada oscilação compatíveis às médias calculadas e representadas no gráfico I, em anexo, onde a reta, comprovou o melhor desempenho do equipamento, em MHS e de forma linear, o que é previsto para oscilações pendulares que tenham abertura angular menores ou iguais a 10º. Utilizando a escala logarítimica nos T (s) x L (m), observamos através deste gráfico, que o fenômeno realmente é periódico, visto que as repetições dos intervalos de tempo seguiram sequências iguais. Para a aceleração da gravidade obtida e comparada com a adotada de 9,81m/s², mostrou que seu resultado de 8,56m/s², teve uma aproximação relativa mas com desvio de 1,1m/s², onde pode ter ocorrido uma pequena variação devido ao equipamento não estar bem posicionado, a altura do fio e da partícula em sua extremidade não ter passado, precisamente, pelo feixe de luz na barreira de luz e a partícula na extremidade do fio não ser adequada, por causa de sua forma cilindrica favorecer as forças externas no momento da oscilação. 
Na 2ª experiência, os procedimentos de montagem e alinhamento do equipamento foi identico a 1ª, com modificações de ângulos a partir de 10° chegando até a abertura de oscilação de 50°, mantendo o comprimento de 0,5m, com estes valores realizamos as oscilações do pêndulo de forma correta ao passar pelo centro da barreira de luz. A primeira oscilação para 10º e 0,5m, o pêndulo ainda se manteve em MHS, com resultados compativeis a 1ª experiência, entretanto, a partir de 20° os gráficos em escala linear de períodos médios apresentaram curvas exponenciais, ascendentes e de forma senoidal, mostrando que as oscilações ultrapassaram os limites. E na comparação dos valores da aceleração da gravidade apresentaram menores que o de 9,81m/s² (terrestre), comprovando que houve aumento da velocidade de oscilação e o pêndulo possa ter sofrido a ação de forças dissipativas, tais como a resistência do ar no material colocado na extremidade do fio (pequeno cilindro).