MODELAGEM E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS - UNIDADE 1 (2)

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UNIDADE 1 
MODELAGEM E SIMULAÇÃO
DE PROCESSOS
Docente: Maraiza de Freitas Silva
E-mail: 100106411@tutor.uniasselvi.com.br
CONCEITOS DE MODELAGEM MATEMÁTICA
PARA PROCESSOS INDUSTRIAIS
• TÓPICO 1 – TEORIA DAS FILAS;
• TÓPICO 2 – MÉTODO DE MONTE CARLO;
• TÓPICO 3 – CADEIAS DE MARKOV.
TÓPICO 1
CONCEITOS DE MODELAGEM
MATEMÁTICA PARA
PROCESSOS INDUSTRIAIS
TEORIA DAS FILAS
1 INTRODUÇÃO
A Teoria das Filas é uma das técnicas da Pesquisa
Operacional, que trata de problemas de
congestionamentos de sistemas, onde clientes solicitam
alguns tipos de serviços. Esses serviços são limitados por
restrições intrínsecas do sistema, que, devido a isso,
podem causar filas.
TÓPICO 1
CONCEITOS DE MODELAGEM
MATEMÁTICA PARA
PROCESSOS INDUSTRIAIS
TEORIA DAS FILAS
1 INTRODUÇÃO
❖ As filas são um evento do cotidiano de qualquer
sistema;
Outras formas de filas:
❖ um produto que fica aguardando para ser
processado;
❖ um arquivo aguardando para ser impresso;
❖ um dado esperando para ser processado pelo
computador.
TÓPICO 1
CONCEITOS DE MODELAGEM
MATEMÁTICA PARA
PROCESSOS INDUSTRIAIS
TEORIA DAS FILAS
2 TERMOS E CONCEITOS SOBRE FILA
Para modelagem das filas, alguns termos e conceitos
precisam ser elucidados:
a) tamanho da população;
b) processo de chegada;
c) processo de atendimento;
d) quantidade de atendentes;
e) organização da fila;
f) tamanho médio da fila;
g) tamanho máximo da fila;
h) tempo médio de espera na fila.
TÓPICO 1
CONCEITOS DE MODELAGEM
MATEMÁTICA PARA
PROCESSOS INDUSTRIAIS
TEORIA DAS FILAS
2 TERMOS E CONCEITOS SOBRE FILA
a) Tamanho da população: quantidade de usuários
(clientes que precisam ser atendidos);
TÓPICO 1
CONCEITOS DE MODELAGEM
MATEMÁTICA PARA
PROCESSOS INDUSTRIAIS
TEORIA DAS FILAS
2 TERMOS E CONCEITOS SOBRE FILA
b) processo de chegada: padrão de chegada dos clientes
no sistema.
✓ Taxa de chegada constante: Determinístico;
✓ Taxa de chegada aleatório : Estocástico.
λ = Taxa média de chegadas de clientes na fila por
unidade de tempo
IC = Intervalo de Chegadas (entre um cliente e outro)
TÓPICO 1
CONCEITOS DE MODELAGEM
MATEMÁTICA PARA
PROCESSOS INDUSTRIAIS
TEORIA DAS FILAS
2 TERMOS E CONCEITOS SOBRE FILA
c) Processo de atendimento: tem como principal fator
medido, o tempo de atendimento.
μ = Taxa média de atendimentos por unidade de tempo
TÓPICO 1
CONCEITOS DE MODELAGEM
MATEMÁTICA PARA
PROCESSOS INDUSTRIAIS
TEORIA DAS FILAS
2 TERMOS E CONCEITOS SOBRE FILA
d) quantidade de atendentes: número de servidores que
estão em uma fila para realizar o atendimento aos
usuários do sistema.
e) organização da fila: resultado do modo como o
processo de atendimento ao cliente é realizada.
✓ FIFO (First In, First Out) Mais comum.
✓ LIFO (Last In, First Out) CD´s e Armazéns
✓ Por prioridades de um cliente com relação a
outro.
TÓPICO 1
CONCEITOS DE MODELAGEM
MATEMÁTICA PARA
PROCESSOS INDUSTRIAIS
TEORIA DAS FILAS
2 TERMOS E CONCEITOS SOBRE FILA
f) tamanho médio da fila: quantidade média de clientes
em uma fila por uma unidade de tempo.
g) tamanho máximo da fila: funciona como limitador do
tamanho da fila.
h) tempo médio de espera na fila: tempo total gasto para
que todos os clientes sejam atendidos dividido pelo
número de clientes atendidos no sistema.
TÓPICO 1
CONCEITOS DE MODELAGEM
MATEMÁTICA PARA
PROCESSOS INDUSTRIAIS
TEORIA DAS FILAS
3 MODELAGEM DAS FILAS
Segundo Hillier e Lieberman (2013),
a estrutura básica de um modelo de
filas se baseia em usuários que
precisam ser atendidos e chegam ao
longo do tempo por uma fonte de
entradas.
DINÂMICA BÁSICA DO SISTEMA DE FILAS
TÓPICO 1
CONCEITOS DE MODELAGEM
MATEMÁTICA PARA
PROCESSOS INDUSTRIAIS
TEORIA DAS FILAS
3 MODELAGEM DAS FILAS
3.1 MODELO DE FILA (M/M/1)
O modelo de filas mais empregado no
estudo da teoria das filas é o MM1.
✓ Representa um sistema com fila de um
único atendente;
✓ Tempos entre chegadas de clientes e de
atendimentos obedecem à distribuição
exponencial.
✓ Organização da fila é do tipo FIFO.
A distribuição exponencial é um tipo de distribuição contínua de probabilidade,
TAXA DE DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL NEGATIVA
TÓPICO 1
CONCEITOS DE MODELAGEM
MATEMÁTICA PARA
PROCESSOS INDUSTRIAIS
TEORIA DAS FILAS
3 MODELAGEM DAS FILAS
4 APLICAÇÕES DE MODELOS DE 
FILAS
Os estudos efetivados nessa área têm como
objetivo descobrir um ponto ótimo, em que
uma organização consiga atender a seus
clientes de forma adequada, sem que
precise consumir recursos que
impossibilitem seu funcionamento.
*Melhorar o Lead Time
TÓPICO 1
CONCEITOS DE MODELAGEM
MATEMÁTICA PARA
PROCESSOS INDUSTRIAIS
TEORIA DAS FILAS
3 MODELAGEM DAS FILAS
4 APLICAÇÕES DE MODELOS DE 
FILAS
A teoria das filas pode ser aplicada
em diversas áreas e situações, como:
a) processos industriais;
b) Atendimento comercial;
c) transporte;
d) serviço social; entre outros.
TÓPICO 1
CONCEITOS DE MODELAGEM
MATEMÁTICA PARA
PROCESSOS INDUSTRIAIS
TEORIA DAS FILAS
3 MODELAGEM DAS FILAS
4 APLICAÇÕES DE MODELOS DE 
FILAS
4.1 APLICAÇÃO DA MODELAGEM DAS FILAS
EM PROCESSOS INDUSTRIAIS
Os processos industriais apresentam o
maior número de aplicações da teoria das
filas.
Pode-se empregar esta teoria tanto para um processo de produção da área metalmecânica como 
• Exemplo 1
O número médio de peças que chegam a um posto de trabalho é igual a
10 peças/hora. Assumir que o tempo médio de processamento (atendimento) por peça seja
de 4 minutos, e ambas as distribuições de intervalos entre chegadas e tempo de serviço sejam
exponenciais, responder às seguintes questões:
a) Qual a probabilidade do posto de trabalho estar livre?
b) Qual o número médio de peças esperando na fila?
c) Qual o tempo médio que uma peça gasta no sistema (tempo na fila mais o tempo de
atendimento)?
d) Quantas peças serão processadas em média por hora?
Resolução:
Dados do Problema:
Chegada: λ = 10 peças/hora.
Atendimento: em média, 1 peça a cada 4 minutos, ou seja, 15 peças/hora (60/4). µ = 15
peças/hora.
Obs.: para resolver este problema utilizaremoso modelo M/M/1.
a) Para saber a probabilidade do posto de trabalho estar livre, deve-se calcular a
probabilidade que n clientes encontram-se no sistema, nesse sentido, n=0.
 Taxa média de chegadas de clientes na fila
Taxa média de atendimentos por unidade de tempo
A probabilidade do posto de
trabalho estar livre é de
aproximadamente 33%.
b) Qual o número médio de peças esperando na fila?
Para resolver essa questão é preciso calcular o número médio de clientes na fila de espera.
Taxa média de chegadas de clientes na fila
Taxa média de atendimentos/unidade de tempo
Resposta: O número médio de peças
aguardando para serem processadas é de
1,33 peças. Nesse caso, é adequado
considerar que é possível encontrar, em
média, 2 peças na fila.
c) Qual o tempo médio que uma peça gasta no sistema (tempo na fila mais o tempo de
atendimento)?
Para resolver essa questão é preciso calcular o tempo médio gasto no sistema pelo cliente.
Taxa média de chegadas de clientes na fila
Taxa média de atendimentos/um. de tempo
Resposta: O tempo médio que uma peça fica
no sistema é de 12 minutos (o tempo na fila
mais o tempo de processamento).
1-0,33
d) Quantas peças serão processadas em média por hora?
Ocupação Média: (1-0,33)= 0,67
(0,67*15) ~ 10 peças/hora
Não deixe de 
responder o 
exercício na 
página 14 do 
seu módulo.
TÓPICO 2
MÉTODO DE MONTE 
CARLO
1 INTRODUÇÃO
Técnica para representar a solução
de um problema como um
parâmetro de uma população
hipotética, e que usa uma
sequência aleatória de números
para estabelecer uma amostra da
população da qual estimativas
estatísticas do parâmetro em estudo
possam ser realizadas.
TÓPICO 2
MÉTODO DE MONTE 
CARLO
1 INTRODUÇÃO
MMC: tem sido utilizado há bastante
tempo como forma de obter
aproximações numéricas de funções
complexas em que não é viável, ou
mesmo impossível, obter uma solução
analítica ou determinística;
O MMC é um método relativamente
simples mas é necessário um
conhecimento prévio sobrevariáveis
aleatórias.
TÓPICO 2
MÉTODO DE MONTE 
CARLO
1 INTRODUÇÃO
Geralmente na engenharia, as variáveis aleatórias estão associadas à realização de experimentos. 
Uma variável aleatória pode ser
compreendida como uma variável
quantitativa, cujo resultado (VALOR)
depende de fatores aleatórios.
TÓPICO 2
MÉTODO DE MONTE 
CARLO
2 VARIÁVEIS 
ALEATÓRIAS
Os estudos baseados em experimentos
aleatórios são considerados não
determinísticos (não se pode saber dos
resultados com antecedência) e são
usados também para desenvolver
algorítmos de criptografia.
por exemplo, com o lançamento de um dado para o alto, sua queda é previsível devido ao 
TÓPICO 2
MÉTODO DE MONTE 
CARLO
2 VARIÁVEIS 
ALEATÓRIAS
Valores contínuos: 
Tempo, distância,
peso...
Conforme apresentado na figura, as variáveis aleatórias contínuas são valores que assumem
3.1 GERAÇÃO DE NÚMEROS ALEATÓRIOS PELO
MÉTODO CONGRUENTE LINEAR (MCL);
3.2 GERAÇÃO DE NÚMEROS ALEATÓRIOS PELO
MÉTODO CONGRUENTE LINEAR MULTIPLICATIVO
(MCLM);
3.3 UTILIZAÇÃO DO EXCEL PARA GERAÇÃO DE
NÚMEROS ALEATÓRIOS. (para experimentos ou
simulações mais simples).
TÓPICO 2
MÉTODO DE MONTE 
CARLO
3 GERAÇÃO DE 
NÚMEROS ALEATÓRIOS
3.1 O Método Congruente Linear é considerado o mais conhecido, entre tantos outros métodos
3.3 UTILIZAÇÃO DO EXCEL PARA GERAÇÃO DE
NÚMEROS ALEATÓRIOS.
• =(ALEATÓRIO( )), que fornece números aleatórios
entre 0 e 1.
• =(ALEATÓRIOENTRE (limite – inferior; limite –
superior)), que fornece números inteiros aleatórios
entre os limites definidos.
TÓPICO 2
MÉTODO DE MONTE 
CARLO
3 GERAÇÃO DE 
NÚMEROS ALEATÓRIOS
por exemplo, com o lançamento de um dado para o alto, sua queda é previsível devido ao 
Essa forma de geração de números aleatórios possui a distribuição uniforme como padrão
É aceito como método numérico
universal para resolver problemas
por meio de amostragem
aleatória, também chamada de
aproximação da solução.
TÓPICO 2
MÉTODO DE MONTE 
CARLO
4 MÉTODO 
MONTE CARLO
A simulação por meio do Método de
Monte Carlo pode ser empregada em
problemas de tomada de decisão em
que envolvam riscos e incertezas.
TÓPICO 2
MÉTODO DE MONTE CARLO
4 MÉTODO 
MONTE CARLO
4.1 SIMULAÇÃO POR MEIO 
DO MÉTODO
DE MONTE CARLO
Segundo Paula (2014), atualmente o Método de
Monte Carlo é empregado em diversas áreas,
como em:
• Finanças: na modelagem e simulação de um
mercado de opção.
• Engenharia: na gestão de portfólio de uma
empresa de seguros, na análise de um problema
de estoque.
• Biologia: usado para a biologia de sistemas de
tratamento de câncer, para estratégias de
otimização e paralelização para a simulação de
Monte Carlo de uma infecção pelo HIV. Dentre
inúmeras aplicações na Física, Química e Medicina.
TÓPICO 2
MÉTODO DE MONTE 
CARLO
4 MÉTODO 
MONTE CARLO
TÓPICO 2
MÉTODO DE MONTE CARLO
4 MÉTODO 
MONTE CARLO
4.1 SIMULAÇÃO POR MEIO 
DO MÉTODO
DE MONTE CARLO
PAG. 32
Não deixe de 
responder o 
exercício na 
página 39 e 40 
do seu módulo.
As Cadeias de Markov são uma derivação
específica do “Processo de Markov”. Este é um
processo em que as distribuições de
probabilidade para o seu desenvolvimento
futuro dependem apenas do estado atual, sem
considerar como o processo atingiu tal estado.
Se o período de estados é discreto, isto é, quantitativo, então o modelo de Markov é chamado 
TÓPICO 3
CADEIAS DE MARKOV
1 INTRODUÇÃO
Uma empresa fabricante de sucos controla 20% do mercado de sucos.
Com o intuito de aumentar sua fatia de mercado, a empresa realizou uma
análise do efeito de uma campanha de publicidade. Os resultados obtidos
foram:
a) alguém usando a Marca da empresa (Marca A) continuará usando a marca
com probabilidade de 90%;
b) alguém não usando a Marca A irá migrar para a Marca A com probabilidade
de 70%.
A partir dos dados apresentados, calcular qual será o ganho de mercado do
fabricante de sucos após o período de um mês de campanha de marketing.
Após um mês de campanha de marketing, a empresa fabricante de sucos passará a ter uma fatia 
Não deixe de ler a 
LEITURA 
COMPLEMENTAR: 
CÁLCULO E ANÁLISE DA 
CAPACIDADE PRODUTIVA 
UTILIZANDO O PROCESSO DE 
MARKOV: ESTUDO DE CASO DE 
UMA EMPRESA TÊXTIL, 
disponível nas páginas 
49 à 58 do seu módulo.
Não deixe de 
responder o 
exercício na 
página 60 do 
seu módulo.
FIM DA UNIDADE 1