Controlador proporcional

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 21/07/2016  Daniel Madeira  2
Controlador proporcional em sistemas
de segunda ordem
Este post faz parte da série Entendendo o uso de controladores em
sistemas de controle. Leia também os outros posts da série:
ÍNDICE DE CONTEÚDO 
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Controlador proporcional
Controlador proporcional em sistemas de segunda ordem
Controlador proporcional em regimes transitórios
Implementando um controlador proporcional eletrônico
Controlador Integral
Diferenças entre os controladores proporcional e integral
Implementando um controlador integral eletrônico
Controlador PI estabilizando sistemas de primeira ordem
Qual é o objetivo deste artigo?
Este artigo tem como função discutir mais um pouco do uso de controladores
proporcionais (ou compensadores) em sistemas de controle. A intenção deste
material é dar continuidade a este importantíssimo conteúdo de uma maneira
didática para que possa ser facilmente assimilada. Nesta publicação serão
abordados os conceitos relativos à aplicação de controladores proporcionais
em sistemas de segunda ordem.
Sistemas de segunda ordem
Os sistemas de segunda ordem são aqueles cujo modelo pode ser escrito por
uma equação diferencial de segunda ordem, ou, em outras palavras, são
aqueles que possuem dois polos.
Contrariamente ao que ocorre em sistemas de primeira ordem, cujo
comportamento é bastante uniforme, a resposta dos sistemas de segunda
ordem varia radicalmente, de acordo com o valor de alguns dos
seus parâmetros. Sendo assim, deve-se primeiro fazer uma classi�cação dos
per�s existentes para tais sistemas visando uma boa compreensão dos 
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fenômenos que ocorrem em cada caso.
Assim como nos sistemas de primeira ordem, aqui serão apresentadas
algumas representações dos sistemas de segunda ordem, que ajudarão no
estudo matemático a ser desenvolvido neste material. A representação básica
de um sistema de segunda ordem é a seguinte:
Entretanto, observe que, para analisar o comportamento destes sistemas, é
necessário traduzir os termos presentes na função de transferência
apresentada para parâmetros que estejam adequados para explicar os
fenômenos ocorridos nas respostas destes. Sendo assim, existem duas
formas padrão que podem auxiliar neste objetivo. Neste momento, serão
mostradas as formas citadas, porém o signi�cado físico dos termos
mencionados irá ser demonstrado posteriormente.
A primeira forma padrão pode ser dada por:
Enquanto a segunda forma padrão é de�nida como:
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A classi�cação de um sistema de segunda ordem é de�nida pela localização
dos polos do mesmo. Existem três arranjos possíveis para os sistemas em
questão, de modo que, estes podem possuir dois polos reais e distintos, dois
polos reais e iguais e ainda dois polos complexos conjugados. 
Sabe-se que as raízes de uma equação de segundo grau podem ser
determinadas pela fórmula de Bhaskara, e o tipo das mesmas é de�nido
exclusivamente pelo discriminante da equação, popularmente conhecido como
delta (argumento sob a raiz quadrada na fórmula de Bhaskara). As raízes da
equação característica (polos do sistema), de acordo com a primeira forma
padrão, são dadas por: 
Neste momento, os sistemas serão classi�cados de acordo com a
con�guração dos seus polos, porém, estes irão apenas ser citados sem muito
detalhamento, pois, mais adiante, este artigo contará com exemplos bastante
completos para que o leitor entenda com facilidade o comportamento de cada
um dos sistemas apresentados. Os sistemas são classi�cados da seguinte
maneira:
Sistemas sobreamortecidos ou superamortecidos: Estes sistemas
apresentam dois polos reais e distintos.
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Sistemas Criticamente amortecidos:   Estes sistemas apresentam dois
polos reais e iguais. 
Sistemas subamortecidos:   Estes sistemas apresentam dois polos
complexos conjugados. 
Efeitos da ação do controlador proporcional em
sistemas de segunda ordem
Figura 1 – Sistema em malha fechada. 
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Neste momento serão apresentados os efeitos do uso de um controlador
proporcional em sistemas de segunda ordem, visando uma melhor
compreensão da in�uência do mesmo em sistemas de controle. 
Primeiramente, qual é o comportamento de um sistema de segunda ordem
instável em malha aberta?
Para ilustrar a in�uência de um controlador proporcional em um sistema de
segunda ordem, supõe-se em um primeiro momento um sistema de segunda
ordem que em malha aberta seja instável, por exemplo, com um polo
localizado no semi-plano direito do plano complexo na posição 2 e um polo
localizado no semi-plano esquerdo do plano complexo na posição -10. Neste
caso, a função de transferência do sistema será: 
E a resposta ao degrau deste sistema pode ser visualizada na �gura a seguir: 
Figura 2 – Sistema instável. 
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Como o leitor pode perceber, esta é uma situação de instabilidade semelhante
à apresentada para o estudo de caso do sistema de primeira ordem, onde a
saída do sistema possui uma componente exponencial cujo argumento é o
fator 2t (correspondente ao polo em 2). Isto quer dizer que, conforme o tempo
vai passando, esta saída será cada vez maior em virtude deste elemento
(recomenda-se que o leitor consulte o artigo anterior caso tenha dúvida nesta
etapa, pois, pode-se encontrar a dedução matemática deste passo no mesmo). 
O controlador proporcional pode estabilizar este sistema?
Imagine agora que o sistema apresentado, cuja função de transferência é G(s),
seja colocado em malha fechada com o controlador proporcional inserido em
seu ramo direto. A função de transferência do sistema nesta con�guração
passa a ser dada por:
Ou, em termos do estudo de caso que esta sendo realizado: 
Observe que, neste momento, torna-se possível mudar a localização dos polos
do sistema de acordo com a variação do valor do ganho proporcional, já que o
polinômio característico, ou seja, o denominador da função, é alterado. 
Sendo assim, neste momento serão ilustrados três exemplos contendo as
situações referentes às classi�cações citadas anteriormente. 
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Primeira situação: Sistema superamortecido (ou sobreamortecido)
Figura 3 – Raízes do sistema superamortecido.
Assim como foi explicitado anteriormente, este sistema possui dois polos
reais distintos localizados no semi-plano esquerdo do plano complexo. Um
grande intervalo de valores do ganho proporcional possibilita ao sistema
atingir esta con�guração, como por exemplo Kp = 30 (para este valor de Kp, os
polos estão localizados em -1.55 e -6.45), con�ra na �gura 3.
Aplica-se agora um degrau unitário na entrada do sistema para obter a
resposta típica de um sistema superamortecido. Observe que este tipo de
sistema possui duas constantes de tempo e a sua resposta é bastante
parecida com a de um sistema de primeira ordem estável, regida apenas por
exponenciais decrescentes. 
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A �gura abaixo mostra a saída do sistema superamortecido:
Figura 4 – Resposta do sistema superamortecido.
Segundo caso: Sistema criticamente amortecido
Figura 5 – Raízes do sistema criticamente amortecido. 
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Esta con�guração é aquela em que o sistema possui dois polos reais e iguais,
localizados no semi-plano esquerdo do plano complexo. Ao contrário do caso
anterior, apenas um valor de Kp é capaz de fazer com que o sistema atinja este
per�l. O valor em questão é Kp = 36 e nesta situação, os dois polos estão
localizados em -4.
Neste caso, aplica-se também um degrau unitário na entrada do sistema para
obter a resposta típica de um sistema criticamente amortecido. Neste tipo de
con�guração, pode-se perceber que apenas uma das componentes da
resposta do sistema é uma exponencial pura.
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A �gura abaixo mostra a saída do sistema superamortecido apresentada
anteriormente juntamente com a resposta do sistema criticamente
amortecido. Um detalhe muito importante que deve ser ressaltado para o
leitor, é que este tipo de sistema (criticamente amortecido) é o que possui a
resposta mais rápida, porém não-oscilatória (característica que será
apresentada no próximo exemplo) de um determinado sistema.
Figura 6 – Respostas dos sistemas sobreamortecido e criticamente amortecido.
Terceiro caso: Sistema subamortecido
Figura 7 – Raízes do sistema subamortecido. 
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Esta talvez seja a con�guração mais interessante de um sistema de segunda
ordem a ser analisada, justamente por possuir uma dinâmica diferente das
anteriores. Normalmente, este tipo de sistema demanda a implementação de
controladores junto ao sistema para satisfazer as especi�cações exigidas.
Um sistema de segunda ordem subamortecido é aquele que possui duas raízes
complexas conjugadas. Observe que para que o sistema em questão atinja
esta con�guração, o ganho proporcional Kp deve ser maior do que 36, pois,
como demonstrado anteriormente, para este valor tem-se duas raízes reais e
iguais, e para valores menores do que 36 o sistema admite também duas
raízes reais, porém distintas, além de poder ser instável para ganhos muito
pequenos.
Os polos nesta situação estão localizados em -4 + 5.83j e -4 – 5.83j. 
Assim como nos casos anteriores, aplica-se também um degrau unitário na
entrada do sistema para obter a resposta típica de um sistema
subamortecido.
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Observe que o desenvolvimento dos termos deste tipo de resposta exigem um
pouco mais de atenção por parte do leitor, devido ao fato de que as
exponenciais existentes possuem números complexos como argumentos.
Neste ponto, será determinada a resposta de uma das componentes
complexas passo-a-passo para que o leitor possa entender com mais clareza
o processo proposto.
Para tratar as exponenciais complexas, o leitor deve lembrar-se da seguinte
relação:
Dando prosseguimento ao desenvolvimento dos termos complexos, tem-se:
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Desta maneira, simpli�cando os termos destacados no desenvolvimento
realizado, pode-se escrever a saída do sistema como:
A �gura abaixo mostra as saídas dos sistemas sobreamortecido e
criticamente amortecido apresentadas anteriormente juntamente com a
resposta do sistema subamortecido.
Deve-se perceber que esta última possui uma característica oscilatória nos
primeiros momentos de sua ocorrência. Isto acontece em virtude da existência
das componentes oscilatórias na saída, que multiplicam as exponenciais
decrescentes. 
Figura 8 – Respostas dos sistemas sobreamortecido, criticamente amortecido e
subamortecido.
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<< Controlador proporcional Controlador proporcional em regimes
transitórios >>
Observe que, independente do sistema de segunda ordem existente, o
aumento do ganho proporcional diminui o ganho em regime permanente e,
consequentemente, diminui o desvio entre a saída e a referência (saída
desejada), assim como nos sistemas de primeira ordem.
Esperamos que você tenha gostado deste conteúdo, sinta-se à vontade para
nos dar sugestões, críticas ou elogios. Na próxima parte, abordaremos, de
maneira mais profunda, a in�uência do controlador proporcional em sistemas
subamortecidos. Deixe seu comentário abaixo.
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