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Trabalho 3 de mecânica dos flúıdos
Luiz Henrique de Melo dos Santos
a) Analisaremos, dimensionalmente, o problema da força de arrasto atuante em um navio. As variáveis
envolvidas, das quais depende a força, são a densidade do flúıdo 𝜌, a viscosidade dinâmica 𝜇, o valor da
aceleração local da gravidade 𝑔, o valor da velocidade de escoamento 𝑣 e o comprimento do navio 𝐿.
Funcionalmente, essa força de arrasto, F𝑎, se relaciona com aquelas variáveis da seguinte forma,
𝐹𝑎 = 𝑔(𝜌, 𝜇, 𝑔, 𝑣, 𝐿). (1)
𝐹𝑎 − 𝑔(𝜌, 𝜇, 𝑔, 𝑣, 𝐿) = 0,
𝑓(𝐹𝑎, 𝜌, 𝜇, 𝑔, 𝑣, 𝐿) = 0.
A equação 1 pode ser representada por uma série de termos infinitos
𝐹𝑎 =
(︀
𝛼1𝜌
𝑥1𝜇𝑦1𝑔𝑧1𝑣𝑤1𝐿𝑘1
)︀
+
(︀
𝛼2𝜌
𝑥2𝜇𝑦2𝑔𝑧2𝑣𝑤2𝐿𝑘2
)︀
+ . . . (2)
onde 𝛼1, 𝛼2, . . . , são coeficientes adimensionais e 𝑥1, 𝑦1, . . . , 𝑥2, 𝑦2, . . . , são os expoentes da série. Todos
os termos da expansão devem ter as mesmas dimensões de acordo com e lei da homogeneidade. Desse
modo, na representação dimensional da equação 2 acima, podemos incluir somente o primeiro termo.
Exprimindo, dimensionalmente, as equações 1 e 2 acima em termos das dimensões básicas MLT, que
representam, respectivamente, a massa, o comprimento e o tempo, temos,
[︀
𝑀𝐿𝑇−2
]︀
=
[︀
𝑀𝐿−3
]︀𝑥 [︀
𝑀𝐿−1𝑇−1
]︀𝑦 [︀
𝐿𝑇−2
]︀𝑧 [︀
𝐿𝑇−1
]︀𝑤
[𝐿]
𝑘
, (3)
onde 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤 e 𝑘 são os expoentes das variáveis, densidade 𝜌 = 𝑀𝐿−3, viscosidade 𝜇 = 𝑀𝐿−1𝑇−1,
aceleração local da gravidade 𝑔 = 𝐿𝑇−2, velocidade de escoamento 𝑣 = 𝐿𝑇−1 e comprimento do navio
𝐿, respectivamente. Distribúındo, de acordo com a lei de homogeneidade dimensional, os expoentes das
dimensões básicas, temos o seguinte sistema de equações,⎧⎨⎩ 𝑀 = 𝑀
𝑥+𝑦,
𝐿 = 𝐿−3𝑥−𝑦+𝑧+𝑤+𝑘,
𝑇−2 = 𝑇−𝑦−2𝑧−𝑤
Ou, equivalentemente,
⎧⎪⎨⎪⎩
𝑥 + 𝑦 = 1,
−3𝑥− 𝑦 + 𝑧 + 𝑤 + 𝑘 = 1,
−𝑦 − 2𝑧 − 𝑤 = −2.
(4)
(5)
(6)
Resolveremos para 𝑦, 𝑤 e 𝑘 em função de 𝑥 e 𝑧. Da equação 4, tem-se�� ��y= 1-x . (7)
Usando a equação 7 na equação 5, obtemos,
-3x-(1-x)+z+w+k=1,
-3x-1+x+z+w+k=1,
− 2𝑥 + 𝑧 + 𝑤 + 𝑘 = 2. (8)
Substitúındo a equação 7 na equação 6, chega-se a,
1
-(1-x)-2z-w=-2,
-1+x-2z-w=-2,
-x-2z-w=-1,
�� ��w= 1+x-2z . (9)
Finalmente, a substitúıção da equação 9 na 8, fornece,
-x+z+(1+x-2z)+k=2,
-2x+z+1+x-2z+k=2,
-x-z+k=1,
�� ��k= 1+x+z . (10)
Retornando à equação 2, obtemos,
𝐹𝑎 = 𝛼𝜌
𝑥𝜇1−𝑥𝑔𝑧𝑣1+𝑥−2𝑧𝐿1+𝑥+𝑧. (11)
𝐹𝑎 = 𝛼𝜌
𝑥
(︂
𝜇
𝜇𝑥
)︂
𝑔𝑧
(︂
𝑣𝑣𝑥
𝑣2𝑧
)︂
(𝐿𝐿𝑥𝐿𝑧) = 𝛼
[︂(︂
𝜌𝑣𝐿
𝜇
)︂𝑥 (︂
𝑔𝐿
𝑣2
)︂𝑧
𝜇𝑣𝐿
]︂
.
Portanto, temos que a força de arrasto sobre um navio, em função das variáveis do problema é escrita
como,
𝐹𝑎 = 𝛼𝜇𝑣𝐿
[︂(︂
𝜌𝑣𝐿
𝜇
)︂𝑥
×
(︂
𝑔𝐿
𝑣2
)︂𝑧]︂
. (12)
b) Na equação 12, 𝛼 é uma constante sem dimensão. Notemos, na mesma equação, que fator 𝜇 × 𝑣 × 𝐿 =
[𝜇] × [𝑣] × [𝐿] = [ 𝑀𝐿𝑇 ] × [
𝐿
𝑇 ] × [𝐿] = [
𝑀𝐿
𝑇 2 ] = [𝐹 ], tem dimensão de força. Assim, os outros dois fatores são
adimensionais. O primeiro é conhecido como número de Reynolds, 𝑅𝑒𝑦 =
𝜌𝑣𝐿
𝜇 . O segundo, é o inverso do
número de Froude, 𝐹𝑟 =
𝑣2
𝑔𝐿 . Dessa forma, tem-se,
𝐹𝑎 = 𝛼𝜇𝑣𝐿
[︂(︂
𝜌𝑣𝐿
𝜇
)︂𝑥
×
(︂
𝑔𝐿
𝑣2
)︂𝑧]︂
= 𝛼𝜇𝑣𝐿
[︂
(𝑅𝑒𝑦)
𝑥 × 1
(𝐹𝑟)𝑧
]︂
= 𝛼𝜇𝑣𝐿
[︂
(𝑅𝑒𝑦)
𝑥
(𝐹𝑟)𝑧
]︂
.
No problema dado, a força de arrasto sobre um navio depende de 05 variáveis, estas, por sua vez, são
descritas utilizando-se três dimensões básicas. Pelo teorema dos 𝜋’s de Buckingham, o número de grupos
adimensionais linearmente independentes que podem ser obtidos usando um conjunto de 𝑛 variáveis que
utilizam 𝑟 dimensões básicas para serem dscritas é igual a 𝑛 − 𝑟. Em nosso caso, há 05 variáveis e 03
dimensões básicas, logo, o número de grupos adimensionais independentes é 5 − 3 = 2.
Outra forma de escrever isso, em termos somente de quantidades sem dimensão é tal que,
𝐹𝑎
𝜇𝑣𝐿
= 𝛼
(︂
(𝑅𝑒𝑦)
𝑥
(𝐹𝑟)𝑧
)︂
.
𝑅𝑒𝑦 =
𝜌𝑣𝐿
𝜇
.
1
𝐹𝑟
=
𝑔𝐿
𝑣2
.
Adendo
Algumas expressões da força de arrasto 𝐹𝑎, para alguns valores de x e z.
2
� 𝑥 = 1 e 𝑧 = 1 :
𝐹 = 𝛼𝜌𝑔𝐿3,
� 𝑥 = 1 e 𝑧 = −1 :
𝐹 = 𝛼
𝜌𝐿𝑣4
𝑔
,
� 𝑥 = −1 e 𝑧 = 1 :
𝐹 = 𝛼
𝜇2𝑔𝐿
𝜌𝑣2
,
� 𝑥 = −1 e 𝑧 = −1 :
𝐹 = 𝛼
𝜇2𝑣2
𝜌𝑔𝐿
.
3