Pré-Cálculo

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS
FACULDADE DE MATEMÁTICA
PRÉ-CÁLCULO
Professores:
Mayara Brito
Wilson Oliveira.
Resumo:
Este material foi desenvolvido pelos professores Mayara Brito e Wilson Oliveira com o
objetivo de ser um material de apoio para os alunos de cálculo 1, visto que estes alunos são
calouros e que a carga horária do curso não permite fazer um estudo mais aprofundado de
funções reais. Neste material abordamos a de�nição de função e alguns casos particulares de
funções reais, fazendo o estudo de seus grá�cos e classi�cando com relação ao crescimento/
decrescimento, injetividade, sobrejetividade e destacando algumas propriedades importantes
de cada função. O intuito é dar ao aluno uma bagagem de exemplos maior de funções reais,
e assim poder utilizar nos exemplos de limite e continuidade da disciplina em sala de aula
ou exercícios.
Sumário
INTRODUÇÃO 3
1 CONJUNTOS 6
1.1 Conjunto Unitário, Vazio e Universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Conjuntos Iguais, Subconjunto e Reunião, Intersecção e Diferença de Conjuntos 8
1.3 Conjuntos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 PRODUTO CARTESIANO DE CONJUNTOS 18
3 FUNÇÃO 21
4 FUNÇÃO AFIM 28
5 FUNÇÃO QUADRÁTICA 36
6 INEQUAÇÕES 44
6.1 Inequações simultâneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
7 MÓDULO 50
7.1 Equações Modulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
7.2 Inequação Modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7.3 Função Modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
8 FUNÇÃO EXPONENCIAL 62
8.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
8.2 Potência de expoente natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
8.3 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
8.4 Potência de expoente inteiro negativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
8.5 Raiz enésima aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
8.6 Potência de expoente racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
8.6.1 Grá�co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
8.6.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
8.7 Equação exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
9 FUNÇÃO LOGARÍTMICA 72
9.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
9.2 Consequências da de�nição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
9.3 Propriedades operatórias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
9.4 Mudança de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
9.4.1 Propriedade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
9.5 Função Logarítma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
9.5.1 Grá�co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
9.5.2 Domínio e Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
9.5.3 Propriedade do grá�co da função logaritma . . . . . . . . . . . . . . . 82
10 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 84
10.1 Função Seno e Cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
10.2 Função Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
BIBLIOGRAFIA 85
.
INTRODUÇÃO
Este material a surgiu da experiência dos autores quando estes ministraram algumas
vezes a disciplina para os cursos de Cálculo 1, Cálculo 2 e Matemática Geral.
O principal objetivo destas notas é fazer com que os alunos compreendam com clareza
os conceitos introdutórios de matemática do ponto vista geométrico, numérico, algébrico
e lingüístico. Desenvolvendo também a capacidade de modelagem de problemas matemá-
ticos e provas envolvendo conjuntos, conjuntos numéricos, funções reais com seus casos
particulares, facilitando sua aprendizagem quando for apresentado o conceito de limite e
continuidade. Para desenvolver a capacidade do estudante de pensar por si mesmo em
termos das novas de�nições, incluímos no �nal de cada seção uma lista de exercícios.
Nossa expectativa é que este texto assuma o caráter sustentável de uma experiência
permanentemente renovável, sendo, portanto, bem-vindas às críticas e/ou sugestões apre-
sentadas por todos - professores ou alunos quantos dele �zerem uso.
O material encontra-se dividido em 10 capítulos, de modo que primeiro é feito uma
de�nição formal de conjuntos com o objetivo de de�nir conjunto numérico visando auxiliar
na explicação do conceito de função real. No segundo capítulo encontra-se o estudo sobre
plano cartesiano com o intuito de mais adiante utilizar esta ferramenta para o esboço (o
desenho) dos grá�cos das funções reais, dando assim uma abordagem geométrica e visual
para o assunto.
No capítulo 3, �nalmente de�nimos função real como uma relação entre conjuntos nu-
méricos. Além disso, fazemos a de�nição de grá�co de função e como podemos representar
este no plano cartesiano. Encontram-se também neste capítulo os conceitos de injetividade,
sobrejetividade, crescimento e decrescimento de função. Toda a abordagem geral e formal
se encerra nesta seção. Pois nos capítulos seguintes, serão estudadas algumas funções par-
ticulares, com o objetivo de destacar suas propriedades individuais e dar ao aluno o maior
números de exemplos de funções. Escolhemos então abordar da seção 4 a 10 as funções:
a�m, quadrática, inequações, modular, exponencial, logarítmica e trigonométricas, mais
especi�camente as funções seno, cosseno e tangente.
Acreditamos que com o estudo detalhado de cada uma dessas funções, o aluno ganhe uma
bagagem de conhecimento que possibilite no entendimento da de�nição de limite, auxiliando
assim uma melhor aprendizado dos demais tópicos da disciplina.
1 CONJUNTOS
Faremos aqui uma revisão das principais noções da teoria dos conjuntos, naquilo que
importa à Matemática Elementar. Tais noções possui grande aplicabilidade na representação
dos principais conjuntos numéricos.
Um conjunto é formado de objetos ou entidades bem de�nidos. (A teoria dos conjuntos
foi desenvolvida pelo matemático russo Georg Cantor, 1845 - 1918). Eis alguns exemplos:
1) Conjunto das vogais;
2) conjunto dos números impares positivos;
3) Conjuto dos planetas do sistema solar;
4) Conjunto dos números primos positivos;
5) Conjunto dos nomes dos meses de 31 dias.
Os objetos que compõem um conjunto particular são chamados de elementos ou mem-
bros. Assim, nos exemplos anteriores, temos os elementos:
1) a, e, i, o, u;
2) 1, 3, 5, 7, 9, · · · ;
3) Mercúrio, Venus, Terra, Marte,· · · ;
4) 2, 3, 5, 7, 13, · · · ;
5) janeiro, março, maio, agosto, outubro, dezembro.
Indicamos conjunto e elemento, em geral, por letras maiúsculas A, B, C, · · · e minúsculas,
respectivamente.
Quando um objeto x é um dos elementos que compõem o conjunto A, dizemos que x
pertence a A ou A contém x, e escrevemos x ∈ A; caso contrário, escrevemos x /∈ A (lê-se:
x não pertence a A).
É habitual representar um conjunto pelos pontos inte-
riores a uma linha fechada e não entrelaçada. Assim,
na representação ao lado temos:
a ∈ A, b ∈ A e d /∈ A
No caso de usarmos um círculo para representar um conjunto, estaremos usando assim
o chamado diagrama de Euler-Venn.
Um conjunto com um número �nito de elementos pode ser exibido escrevendo todos os
seus elementos entre chaves e inserindo vírgulas entre eles. Assim,
{a, b, c},
denota o conjunto cujos elementos são a, b e c.
Observação 1.1. A ordem em que os elementos são escritos não altera um conjunto. As-
sim,
{a, b, c} = {b, c, a} = {c, a, b},
bem como a repetição de elemento não tem efeito. Por exemplo,
{a, b, c} = {a, b, c, a, b, c, a}.
Quando queremos descrever um conjuntoA por meio de uma propriedade característica
P de seus elementos x, escrevemos
A = {x; x satisfaz a propriedade P}.
Exemplo 1.1. Veja os dois exemplos abaixo.
1) {x| x x é divisor inteiro de 3} = {1,−1, 3,−3};
2) {x| x x é inteiro e 0 6 x 6 500} = {1, 2, · · · , 499, 500}.
1.1 Conjunto Unitário, Vazio e Universo
Existem alguns conjuntos especiais e iremos de�nir a seguir.
De�nição 1.1 (Conjunto Unitário). Chama-se conjunto unitário aquele que possui um
único elemento.
Exemplo 1.2. O Conjunto dos divisores de 1, inteiros e positivos: {1}, é um conjunto
unitário.
De�nição 1.2 (Conjunto Vazio). Chama-se conjunto vazio aquele que não possui ele-
mento algum. O simbolo usual para o conjunto vazio é ∅ ou {}.
Exemplo 1.3. O conjunto {x| x 6= x} = ∅ é um conjunto vazio.
De�nição 1.3 (Conjunto Universo). O termo conjunto-universo (ou universal ) é, às
vezes, usado para um conjunto U que contém todos os conjuntos em um dado contexto.
Assim, admitiremos, no que segue, que todos os conjuntos considerados sejam subconjuntos
de um conjunto-universo U .
1.2 Conjuntos Iguais, Subconjunto e Reunião, Intersecção e Dife-
rença de Conjuntos
Dados dois conjuntos podemos relacionar ou comparar seus elementos. Assim, nosso ob-
jetivo agora é identi�car quando dois conjuntos são iguais, o que acontece quando juntamos
elementos de dois conjuntos distintos ou quando olhamos somente os elementos em comum
desses conjuntos.
De�nição 1.4 (Igualdade de Conjuntos). Dois conjuntos A e B são iguais quando todo
elemento de A pertence a B e, reciprocamente, todo elemento de B pertence a A. Em
simbolos:
A = B ⇔ (∀x) (x ∈ A ⇔ x ∈ B). (1)
Exemplo 1.4.
1) {a, b, c, d} = {d, b, c, a};
2) {2, 4, 6, 8, 10, · · · } = {x| x é inteiro, positivo, não nulo e par};
3) {x| 2x+ 1 = 5} = {2}.
Se A não é igual a B, escrevemos A 6= B. Claramente, A 6= B se existe pelo menos
um elemento de A que não pertencente a B ou existe em B pelo menos um elemento não
pertencente a A.
De�nição 1.5 (Subconjunto). Sejam A e B conjun-
tos. Dizemos que A é um subconjunto de B se, e so-
mente se, todo elemento de A é um elemento de B e
usamos a notação A ⊂ B para indicar tal inclusão. Em
símbolo, temos:
A ⊂ B ⇔ (∀x) (x ∈ A ⇒ x ∈ B). (2)
Figura 1: A é um subconjunto de B.
Exemplo 1.5. A seguir estão listados alguns exemplos de subconjuntos.
1) {a, b} ⊂ {d, b, c, a};
2) {a} ⊂ {c, a};
3) {x| xé inteiro e par} ⊂ {x| xé inteiro}.
Quando A ⊂ B, também podemos
escrever B ⊃ A, lê-se "B contém A".
Com a notação A 6⊂ B indicamos que
"A não está contido em B", isto é, a
negação de A ⊂ B.
É evidente que A 6⊂ B somente se
existe ao menos um elemento de A
que não pertence a B. Assim, por
exemplo, temos:
{a, b, c} 6⊂ {b, c, d, e}.
Figura 2: A não é um subconjunto de B.
Observação 1.2. Vimos em (??) o conceito de igualdade de conjuntos. Note que, nesta
de�nição está explícito que todo elemento de A é elemento de B e vice-versa, ísto é, A ⊂ B
e B ⊂ A, portanto, podemos escrever:
A = B ⇔ (A ⊂ B e B ⊂ A).
Assim, para provar que A = B devemos provar que A ⊂ B e B ⊂ A.
De�nição 1.6 (Reunião de Conjuntos).
Sejam A e B conjuntos. Chama-se reunião de
A e B o conjunto formado pelos elementos que
pertencem a A ou a B, denotada por A ∪ B,
isto é,
A ∪B = {x ∈ U | x ∈ A ou x ∈ B}. (3)
Figura 3: Reunião de A com B.
Exemplo 1.6.
1) {a, b} ∪ {c, d} = {a, b, c, d};
2) {a, b} ∪ {a, b, c, d} = {a, b, c, d};
3) {a, b, c} ∪ {c, d, e} = {a, b, c, d, e};
4) {a, b, c} ∪ ∅ = {a, b, c}.
De�nição 1.7 (Reunião de Conjuntos). Sejam A e B conjuntos. Chama-se intersecção
de A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e a B, denotada por A∩B,
isto é,
A ∩B = {x ∈ U | x ∈ A e x ∈ B}. (4)
Exemplo 1.7.
1) {a, b, c} ∩ {b, c, d, e} = {b, c};
2) {a, b} ∩ {a, b, c, d} = {a, b};
3) {a, b, c} ∩ {a, b, c} = {a, b, c};
4) {a, b} ∩ ∅ = ∅.
Figura 4: Intersecção de A com B.
De�nição 1.8 (Diferença de
Conjuntos). Sejam A e B conjun-
tos. Chama-se diferença de A e B o
conjunto formado pelos elementos de
A que não pertencem a B, denotada
por A−B, isto é,
A−B = {x | x ∈ A e x /∈ B}. (5)
Exemplo 1.8.
1) {a, b, c} − {b, c, d, e} = {a}
2) {a, b, c} − {b, c} = {a}
3) {a, b} − {c, d, e, f} = {a, b}
4) {a, b} − {a, b, t, x, z} = ∅ Figura 5: Diferença de A com B
Se A ⊂ B, então B−A é chamado o complementar de A em B. Os conjuntos A e B são
chamados disjuntos se A∩B = ∅. O complementar de A em U é simplesmente chamado de
complementar de A e denotado por A′ ou Ac, sem referência explícita a U .Assim,
A−B = A ∩Bc
Figura 6: O complementar de A.
Exemplo 1.9. Sejam U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 2, 4}, B = {2, 3, 5} e C =
{1, 2, 4, 5}. Então:
A ∪B = {1, 2, 3, 4, 5}
A ∩B = {2}
A−B = {1, 4}
B − A = {3, 5}
A− C = ∅
Ac = {0, 3, 5, 6}
Bc = {0, 1, 4, 6}
Exercício 1.1.
1) Assinalar no diagrama ao lado, um de cada vez,
os seguintes conjuntos:
(a) A∩B ∩C (c) A∪ (B ∩C)
(b) A∩ (B ∪C) (d) A∪B ∪C
2) Se A = {a, b, c} e B = {a, d}, determinar A−B, B − A, A ∩B e A ∪B.
3) Se A ∩B = {a, c}, A−B = {b} e A ∪B = {a, b, c, d} determinar A e B.
4) Se U = {a, b, c, d, e, f}, A = {c, d, e}, B = {a, b, c} e C = {a, b, c, d}, determi-
nar
(a) (A−B) ∪ (B − A)
(b) (A ∪B)− (B ∩ A)
(c) (B − A) ∩ C
(d) (A− C)− (B − A)
(e) (B − A)− [(C − A) ∪ (C −B)]
(f) (C − A) ∪B
5) Se U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, determinar
(a) A = {x ∈ U tal que, x é par}
(b) B = {x ∈ U tal que, x é impar}
(c) C = {x ∈ U tal que, x é primo}
(d) D = {x ∈ U tal que, x é multiplo de 2}
6) Numa faculdade em que estudavam 250 alunos, houve, no �nal do semestre, reposição
nas disciplinas de Cálculo 1 e Quimica, sendo que 10 alunos �zeram reposição das
duas matérias, 42 �zeram reposição de Quimica, x alunos �zeram reposição apenas
em cálculo 1 e 187 não �zeram reposição. Determinar
(a) Quantos alunos �caram, no total, em reposição?
(b) Quantos �zeram reposição apenas em Cálculo 1?
(c) Quantos �caram apenas em uma matéria?
1.3 Conjuntos numéricos
A noção de conjunto numérico é simples e fundamental na Matemática. Apartir dos
conceitos sobre conjuntos podemos expressar todos os conceitos matemáticos.
O primeiro conjunto numérico a surgir foi o conjunto dos números naturais
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, · · · }.
Esse conjunto é, originalmente, um modelo matemático de representação de �todas� as
quantidades e, posteriormente, com o advento das operações elementares, em particular
a adição e a multiplicação, foi possível somar e multiplicar dois números quaisquer de N,
obtendo-se um número de N, o que em linguagem moderna signi�ca dizer que em N é fechado
em relação à soma e à multiplicação, isto é,
∀ x, y ∈ N⇒ x+ y ∈ N e x · y ∈ N
(O símbolo ∀ signi�ca �para todo� ou �qualquer que seja�).
No entanto,o conjunto N não é fechado com relação a subtração, este problema surgiu
com a impossibilidade de se subtrair um número do outro no conjunto N quando o primeiro
era menor do que o segundo ou com a tentativa de se resolver problemas do tipo
Problema 1.1. Resolva a equação x+ a = 0, onde a ∈ N.
A resposta deste problema é x = −a, com a ∈ N, mas −a /∈ N, ísto é, o simétrico de
um número natural não existe em N. O resultado disso é que o simbolo a − b não tem
signi�cado em N para todos a, b ∈ N, isto é, em N a subtração não é uma operação. Daí,
a necessidade de se construir um conjunto contendo uma �cópia� de N e onde pudéssemos,
além de somar e multiplicar, subtrair um elemento do outro sem qualquer restrição. Assim,
surgiu o conjunto dos números inteiros
Z = {· · · ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, · · · }.
Vamos destacar alguns subconjuntos de Z.
1. O conjunto dos números inteiros positivos
Z+ = {0, 1, 2, 3, · · · }.
2. O conjunto dos números inteiros negativos
Z− = {· · · ,−3,−2,−1, 0}.
3. O conjunto dos números inteiros não-nulos
Z∗ = Z− {0} = {· · · ,−3,−2,−1, 1, 2, 3, · · · }
Observe que todo número natural é um nú-
mero inteiro, mas não vale reciproca, ísto é,
nem todo número inteiro é um número natu-
ral, temos
Figura 7:N ⊂ Z
No conjunto Z os problemas anteriores não ocorrem, isto é, a − b ∈ Z, ∀a, b ∈ Z, mas
surge a impossibilidade de se efetuar a divisão de certos números inteiros ou de resolver
equações do tipo
Problema 1.2. Resolva a equação 2x− 3 = 0.
Esta equação nos oferece como solução x =
3
2
, que por sua vez, não é um inteiro. Assim
criou-se o conjunto dos números racionais
Q =
{a
b
: a, b ∈ Z, com b 6= 0
}
Note que
a
b
representa a divisão de a por b e, por isso, b é diferente de zero.
Sejam x =
a
b
, y =
c
d
∈ Q, logo a, b, c, d ∈ Z e b, d 6= 0. Então, de�nimos em Q seguintes
operações
(i) (Soma) x+ y =
a
b
+
c
d
=:
ad+ bc
bd
∈ Q
(ii) (Multiplicação) x · y = a
b
· c
d
=:
ac
bd
∈ Q
É possível provar que estas operações possuem as seguintes propriedades:
(A1) x+(y+z) = (x+y)+z, ∀x, y, z ∈ Q (M1) x·(y·z) = (x·y)·z, ∀x, y, z ∈ Q
(A2) x+ y = y + x, ∀x, y ∈ Q (M2) x · y = y · x, ∀x, y ∈ Q
(A3) x+ 0 = 0 + x = x, ∀x ∈ Q (M3) x · 1 = 1 · x = x, ∀x ∈ Q
A cada x ∈ Q existe um único elemento, denotado por −x ∈ Q tal que
x+ (−x) = −x+ x = 0
A cada x ∈ Q existe um único elemento, denotado por x−1 = 1
x
∈ Q tal que
x · (x−1) = x−1 · x = 1
(D) x(y + z) = xy + xz, ∀x, y, z ∈ Q (x+ y) · z = xz + yz, ∀x, y, z ∈ Q.
Com esta estrutura, dizemos que Q é um corpo. Agora, note que, em verdade, −x e x−1
são comunmente chamados de aposto e inverso, resepectivamente. Assim, se x =
a
b
, então
x−1 =
b
a
, pois
x−1 =
c
d
⇒ x · x−1 = 1⇒ a
b
· c
d
= 1⇒ c
d
=
b
a
.
Portanto,
a
b
÷ c
d
=
a
b
·
( c
d
)−1
=
a
b
· d
c
,
isto é, na divisão de uma fração por uma outra fração: conserva-se a primeira e multiplica-se
pelo inverso da segunda.
Observe que todo número inteiro é um número
racional, mas não vale reciproca, ísto é, nem
todo número racional é um número inteiro.
Figura 8: Z ⊂ Q
Dado um número racional
a
b
e um número natural n > 2, nem sempre n
√
a
b
é racional.
Por exemplo.
√
2 /∈ Q fato este demonstrado em [4]. Logo, um novo problema surge, mais
precisamente,
Problema 1.3. A equação x2 = 2 não admite solução em Q.
Assim, surge a necessidade de introduzir um novo conjunto numérico que contém Q e
onde a radiciação pode ser de�nida. Tal conjunto é chamado conjunto dos números reais,
indicado por R e de�nido como
R = Q ∪ I,
onde I é conjunto dos números que não são racionais e denominados de irracionais. Logo,
todo recional não é irracional e vice-versa, em simbologia temosQ∩I = ∅, ísto é, os conjuntos
são disjuntos. Em geral, temos
Figura 9: Os conjuntos são disjuntos
Figura 10: R = Q ∪ I
Sejam x, y ∈ R. Então x + y ∈ R e x · y ∈ R. Com estas operações o conjunto R é um
corpo.
Todas as propriedades válidas em Q são válidas em R, além disso, várias outras proprie-
dades podem ser veri�cadas em R, que omitiremos neste texto no intuito de não estendermos
demais este material didático, no entanto, sempre que necessário voltamos a recordar algu-
mas delas. No que segue, os conjuntos numéricos embasarão todos os conceitos precedentes.
2 PRODUTO CARTESIANO DE CONJUNTOS
Uma ferramenta muito utilizada no estudo de funções é o plano cartesiano que nos
auxilia a "desenhar� o grá�co das aplicações, tornando assim o estudo mais visual e que
nos possibilita, até certo ponto, realizar um estudo geométrico das funções. Sendo assim,
começamos este material de�nindo o produto cartesiano entre conjuntos e mais adiante
faremos uma breve introdução ao plano cartesiano voltando a nossa atenção para entender
como vamos "desenhar� o grá�co de funções neste meio.
Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {x, y, z} o produto cartesiano de A por B
denotado por A×B é o conjunto de todas as combinações possíveis dos pares ordenados da
forma (a, b) onde a ∈ A e b ∈ B, assim:
A×B = {(1, x), (2, x), (3, x), (4, x), (1, y), (2, y), (3, y), (4, y), (1, z), (2, z), (3, z), (4, z)}.
Agora vamos fazer o contrário, ou seja, B × A:
B × A = {(x, 1), (x, 2), (x, 3), (x, 4), (y, 1), (y, 2), (y, 3), (y, 4), (z, 1), (z, 2), (z, 3), (z, 4)},
observamos que A×B 6= B × A.
Assim, formalmente de�nimos o produto cartesiano da seguinte forma.
De�nição 2.1. Dado dois conjuntos não vazios A e B, de�nimos o conjunto
A×B = {(a, b)|a ∈ A e b ∈ B}.
Exemplo 2.1. Dado o conjunto A = {1, 2}, o produto cartesiano de A com ele mesmo é
dado por
A× A = {(1, 2), (2, 1), (1, 1), (2, 2)}
O plano cartesiano é formado por duas retas numéricas perpendiculares, ou seja, formam
um ângulo de 90o entre si. A linha vertical é chamada de eixo das ordenadas (y). Já a linha
horizontal é chamada de eixo das abscissas (x). Desse modo, o plano se divide em quatro
partes chamados de quadrantes que são numerados no sentido ante horário (conforme a
�gura abaixo), onde no 1o quadrante temos os valores para x e y positivos, no 2o quadrante
temos os valores para x negativo e para y positivo, no 3o quadrante temos os valores para
x e y negativos, e no 4o quadrante temos os valores para x positivo e para y negativo.
Figura 11: Plano cartesiano e seus quadrantes.
Para cada ponto P do plano tracemos uma paralela ao eixo y, que intercepta o eixo dos
x no ponto P1 cuja coordenada x é chamada de abscissa de P . Tracemos, também, por
P uma paralela ao eixo x, que intercepta o eixo dos y no ponto P2 cuja coordenada y é
chamada de ordenada de P . Portanto, cada ponto P do plano determina um par ordenado
de números reais, denotado por (x, y) e vice-versa. Como mostra a �gura abaixo
Figura 12: Sistema de eixos perpendiculares
Sendo assim, um ponto que tem como abscissa x = 1 e ordenada y = 3 está no primeiro
quadrante e será denotado por (1, 3). Veja a seguir este ponto e outro sendo representados
no plano cartesiano.
É importante observarmos que o ponto (1, 3) é diferente do (3, 1), logo a ordem dos
valores importam.
Exemplo 2.2. No exemplo 2.1 �zemos o produto cartesiano do conjunto A = {1, 2} com
Figura 13: Pares ordenados (3, 1), (1, 3), (−2, 2), (−3,−1), (2,−1) representados no plano
cartesiano.
ele mesmo e obtemos o seguinte conjunto de pares ordenados
A× A = {(1, 2), (2, 1), (1, 1), (2, 2)},
colocando esse produto no plano cartesiano temos o seguinte resultado
Figura 14: Representação o produto cartesiano A× A no plano cartesiano.
3 FUNÇÃO
Antes de iniciar esse capítulo, é importante nos fazer o seguinte questionamento: O que é
uma função? e qual a razão de estudarmos tal conteúdo? primeiramente, uma forma simples
de explicar função é dizendo que é uma relação entre dois conjunto não-vazios. Em nosso dia
a dia fazemos uso de funções (relações) as vezes sem perceber. Por exemplo, quando vamos
a padaria, sabemos que se o valor da unidade do pão é R$0,50, e pretendemos comprar 8
pães, então pagaremos R$4,00. Intuitivamente, sabemos que para ecnontrar a valor a ser
pago pelos 8 pães basta multiplicar 8 por 0, 5. De modo geral, precisamos multiplicar 0, 5
pelo número de pães que deseja comprar. Desse modo, estamos relacionando o conjunto da
quantidade de pães com o conjunto dos números (valor real). E existem diversas situações
do nosso cotidiano que precisamos utilizar funções para resolver o problema. Assim, vamos
de�nir o que é uma função.
De�nição 3.1. (Função) Dados dois conjuntos não-vazios A e B, uma função f de A em
B é uma aplicação que relaciona a cada elemento de A um único elemento de B.
Geometricamente, temos a seguinte situação. Se A é um conjunto com 5 elementos
e B é um conjunto com 6 elmentos. Uma função f de A em B pode ser dada como no
diagrama a baixo (�gura 15). Observe que não há nem um elemento do conjunto A que não
esteja relacionado com um elemento de B, além disso, todos os elementos de A estão sendo
relacionados com um único elemento de B. Note ainda, que é possível existir um elemento
de B que "recebe� dois elementos distintos de "A".
Figura 15: Diagrama da função f de A em B.
Vejamos agora alguns exemplos relacionando o conjunto A com o conjunto B e classi�-
caremos se tal relação é ou não função.
(a) Como há um elemento do conjunto A quenão está se relacionando com nem um ele-
mento do conjunto B, esta relação não é uma
função.
(b) Note que mesmo existindo elementos de
A que se relacionam com o mesmo elemento
de B, esta relação é uma função, pois cumpre
com a de�nição de função.
(c) Note que mesmo tendo todos os elementos
de A se relacionando com um mesmo elemento
de B, esta relação é uma função, pois cumpre
com a de�nição.
(d) Esta relação não é uma função, pois existe
um elemento de A que está se relacionando
com dois eleemntos distintos do conjunto B.
Figura 16: Exemplos de Relações entre um conjunto A e um conjunto B.
Dados dois conjuntos não-vazios A e B, denotamos por f : A −→ B, a função f de
A em B. Além disso, chamamos de domínio da função f ao conjunto de partida A, e
denotamos por Df . Denominamos de contradomínio da função ao conjunto de chegada B.
E o subconjunto dos elementos de B que estão relacionados com algum elemento de A, é
chamado de imagem (Imf ) que em notação de conjunto temos
Imf = {b ∈ B : b = f(a), para alguma ∈ A}.
Exemplo 3.1. Considere os conjuntos A = {a, b, c, d} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, tome a se-
guinte função f : A −→ B dada pelo diagrama a baixo.
O domínio da função f é o conjunto Df = A = {a, b, c, d}. O contradomínio de f é o
conjunto B, e o conjunto imagem é dado por Imf = {1, 2, 4}.
Observação 3.1. Observamos pelo Exemplo (3.1) que o conjunto imagem de f é um sub-
conjunto do contradomínio B, ísto é, Imf ⊂ B.
Exemplo 3.2. Voltando para o nosso exemplo inicial, considere A o conjunto dos pães e
B o conjunto dos números que representam o valor a ser pago por cada quantidade x de
pães, observe que o conjunto B pode ser escrito como o conjunto dos múltiplos de 0, 5, ou
seja B = {y ∈ R : y = n.0, 5 com n ∈ N}. Assim, de modo geral temos que para cada x
correspondente a quantidade de pães a função f aplicada em x, denotaremos por f(x), nos
dá o valor da multiplicação 0, 5.x, ou seja, f(x) = 0, 5.x, a esta expressão chamamos de lei
de formação da função f .
Com o objetivo de dar exemplos mais concretos e detalhar sobre lei de formação das
funções, vamos de�nir função real, que é o nosso foco de estudo nesse material.
De�nição 3.2. (Função real) Uma função f : A −→ B é chamada função real quando
A,B ⊆ R. ou seja, é uma função que leva números reais em números reais.
Segue da de�nição anterior que a função do exemplo 3.2, dada por f(x) = 0, 5.x é uma
função real. Vejamos a seguir, mais exemplos de funções reais presentes no nosso dia a dia.
Exemplo 3.3. Em todos os exemplos a seguir, temos f : R −→ R.
1. Um taxista cobra uma taxa �xa no valor de R$:5,00 e mais R$: 3,85 por quilômetro
rodado, assim, a lei de formação que representa o valor a ser pago por uma corrida
de x quilômetros é f(x) = 5 + 3, 85x.
2. Um certo canhão atira um projétil descrevendo uma curva parabólica e o movimento
é modelado pela função f(t) = −8t2 + 120t, sendo t a variável calculada em segundos
e f(t) dado em metros.
3. Um professor da UFPA avalia a turma de cálculo 1 através de um teste cuja cada
questão correta o discente soma 1 ponto na nota �nal, logo podemos relacionar o
número de questões que o aluno acertou no teste, com a nota que ele irá tirar, da
seguinte maneira
Número de acertos (x) Nota �nal f(x)
0 0
1 1
2 2
5 5
10 10
.
Observe que, esta situação poderia ser
modelado pela função f(x) = x, onde x
representa o número de acertos. Esta
função é conhecida como função iden-
tidade. Note ainda, que no exemplo em
questão podemos restringir o domínio
de acordo com o desejado, ísto é, con-
forme o número de questão presente no
teste, acarretando assim, em uma res-
trição do contradomínio.
4. O preço do litro da gasolina em um posto é R$: 3,75, então
Litros (x) Valor a pagar f(x)
1 3,75
2 7,5
3 11,25
5 18,75
10 37,5
· · · · · ·
x f(x) = 3, 75x
.
O total a pagar depende da quantidade de gasolina abastecida. Podemos estabelecer
uma relação entre a quantidade de litros de gasolina e o valor a ser pago, seguinte lei
de formação f(x) = 3, 75x, onde x representa a variável litro.
As funções reais além da abordagem por conjuntos, podemos fazer uma abordagem geo-
métrica. Utilizando o plano cartesiano podemos representar gra�camente o comportamento
da função no decorrer do seu domínio. Para tal, vamos de�nir o que é o grá�co de uma
função.
De�nição 3.3. (Grá�co de uma função.) O grá�co de uma função f : A −→ B, onde
A,B ⊆ R é de�nido como sendo o conjunto
Graf(f) = {(x, f(x)) : x ∈ Df} ⊂ R2.
Desse modo, o grá�co é um subconjunto do espaço R2, que pode ser representado no
plano cartesiano. Assim, geometricamente temos. Dado f : A −→ B, para cada x ∈ A
a função f associa um elemento y = f(x) ∈ B, e assim podemos montar o par ordenado
(x, f(x)) que faz parte do grá�co da função e pode ser posto no plano cartesiano da seguinte
forma. Considere o eixo das abscissas (eixo x) como sendo o conjunto A e o eixo das
ordenadas como sendo o conjunto B, portanto a representação do ponto (x, f(x)) será dada
como na �gura abaixo.
Figura 17: Representação do par ordenado (x, f(x)).
Exemplo 3.4. Vamos esboçar o grá�co da função 1 do nosso exemplo 3.3. Vimos que a
lei de formação da função é dada por f(x) = 5 + 3, 85x. Agora, façamos uma tabela onde
atribuiremos valores para a variável x e calcularemos o valor de cada f(x) para formarmos
os pares ordenados (x, f(x)) e por �m plotar esses pontos no plano cartesiano.
Primeiramente, precisamos saber quais valores podemos atribuir a x, ou seja, determinar
o domínio da função f . Note que, não é possível x ser um número negativo, pois esta
variável representa a quilometragem rodada. Sendo assim, o domínio da função f é o
conjunto Df = {x ∈ R : x ≥ 0}.
Figura 18: Plotagem dos pontos do grá�co da função f(x) = 5 + 3, 85x.
Observe que os pontos seguem um ordem, como se estivessem formando uma reta, e de
fato está. A função
f(x) = 5 + 3, 85x
é uma função a�m, e está será a classe de função estudada no próximo capítulo. Além
disso, a imagem da função é o conjunto Imf = [5,+∞).
Para �nalizar este capítulo vamos falar sobre a classi�cação de funções, dentre as quais
vamos destacar o conceito de função crescente e decrescente, injetora, sobrejetora e bijetora.
Vejamos a seguir a de�nição formal de cada uma dessas. A partir de agora denotaremos
por D ⊆ R o domínio das funções reais.
De�nição 3.4. (Função Crescente.) Dizemos que uma função f : D −→ R,onde D ⊆ R,
é crescente se, para todo x1, x2 ∈ D, se x1 < x2 então f(x1) < f(x2).
De�nição 3.5. (Função Decrescente.) Dizemos que uma função f : D −→ R, onde
D ⊆ R, é decrescente se, para todo x1, x2 ∈ D, se x1 < x2 então f(x1) > f(x2).
De�nição 3.6. (Função Injetora.) Dizemos que uma função f : D −→ R, com D ⊆ R,
é injetora se, para todo x1, x2 ∈ D, se x1 6= x2 então f(x1) 6= f(x2).
De�nição 3.7. (Função Sobrejetora.) Dizemos que uma função f : D −→ R, com
D ⊆ R, é sobrejetora se Imf = R. Isto é, para todo y ∈ R, existe x ∈ D tal que f(x) = y.
De�nição 3.8. (Função Bijetora.) Dizemos que uma função é bijetora se é injetora e
sobrejetora.
Utilizaremos estes conceitos para classi�car cada uma das funções que serão apresentadas
no próximos capítulos.
4 FUNÇÃO AFIM
Este capítulo é dedicado ao estudo das funções a�ns, aquelas cujo o grá�co são retas.
Antes de iniciar a de�nição e estudo de funções a�m, vamos falar da função real mais
simples, a função constante.
De�nição 4.1. (Função Constante.) Uma função f : R −→ R é dita constante se é da
forma f(x) = a, onde a ∈ R.
Uma função constante é aquela no qual para qualquer valor dado a x a função assume
o mesmo valor �xo.
Exemplo 4.1. A função f(x) = 2, é uma função cujo domínio é Df = R e assim para
todo valor real que atribuímos a x a função f sempre vai associar o valor 2, logo o grá�co
da função é uma reta paralela ao eixo x que intercepta o valor 2 no eixo y.
O grá�co da função real constante f é dado pelo conjunto Graf(f) = {(x, f(x)) : x ∈
R} = {(x, a) : x ∈ R}, ísto é,os seus pontos sempre descreverão uma reta paralela ao eixo
x e que interceptará o eixo y no valor �xado a, ou seja, dado a função f(x) = a, onde a ∈ R,
o grá�co de f será da forma
A função constante não é injetora e nem sobrejetora, pois, dada a função f(x) = a temos
Imf = {a}, logo Imf 6= R. Portanto, f não é sobrejetora. Por outro lado, dados x1 e x2
distintos em Df = R temos f(x1) = a e f(x2) = a, ou seja, f(x1) = f(x2). Concluímos que
f não é injetora.
Um caso particular de função a�m é a função linear que iremos apresentar agora.
De�nição 4.2. (Função Linear.) Uma função f : R −→ R é linear se é da forma
f(x) = ax, para todo x ∈ R, onde a ∈ R∗.
(a) Se a > 0, o grá�co �ca na
parte superior do eixo y.
(b) Se a < 0, o grá�co �ca na
parte inferior do eixo y.
Figura 19: Grá�cos de funções constantes.
O nome "função linear� se dá devido ao fato de que a função satisfaz a seguinte propri-
edades: dados x1, x2 ∈ Df e α ∈ R não-nulo, então f(αx1 + x2) = αf(x1) + f(x2). De fato,
temos que f(x1) = ax1 e f(x2) = ax2, então
f(αx1 + x2) = a(αx1 + x2) = a(αx1) + ax2 = α(ax1) + ax2 = αf(x1) + f(x2).
Um propriedade interessante da função linear é que f(0) = 0. Com efeito, f(0) = a.0 =
0. O que implica que o grá�co de uma função linear é uma reta que passa pela origem e
quanto maior em módulo o valor dado a constante a maior é a inclinação da reta.
Exemplo 4.2. Dadas as funções lineares f(x) = 2x e g(x) = 15x, observe que a inclinação
da reta g(x) é maior que a de f(x).
Figura 20: Grá�co das funções f(x) = 2x e g(x) = 15x.
O coe�ciente da função linear carrega uma interpretação geométrica muito importante,
principalmente na de�nição de limite de funções. Sendo assim, considere a função linear
f(x) = ax e tome um ponto x genérico no domínio de f , isso nos dá um ponto (x, f(x))
no grá�co da função. Tomando os pontos (0, 0), (x, 0) e (x, f(x)), formamos um triângulo
retângulo, ver �gura 4, onde o α é o ângulo de inclinação da reta. Assim, usando as
relações fundamentais da trigonometria num triângulo retângulo temos tanα = f(x)
x
, ou
seja, f(x) = tan(α)x. E como f(x) = ax, segue que
tan(α)x = ax =⇒ tanα = a.
Portanto, o coe�ciente a da função linear é o valor da tangente do ângulo de inclinação
da reta.
Figura 21: Interpretação geométrica do ângulo de inclinação da reta da função linear f(x) =
ax.
O crescimento e decrescimento da função linear da forma f(x) = ax depende do sinal
de a, pois se a é positivo a função é estritamente crescente, e se a é negativo a função é
estritamente decrescente.
A função linear é injetora. De fato, dada a função linear f(x) = ax, com a 6= 0, devemos
mostrar que dados x1, x2 ∈ Df tal que f(x1) = f(x2), isto implica que x1 = x2. Então,
dados x1, x2 ∈ Df temos
f(x1) = f(x2)⇐⇒ ax1 = ax2 ⇐⇒ x1 = x2,
como f é uma função linear genérica, segue que toda função real linear é injetiva.
(a) Se a > 0 a função é estritamente crescente. (b) Se a < 0 a função é estritamente decres-
cente.
Figura 22: Grá�cos de funções lineares.
A função linear é sobrejetora. Com efeito, dados a função linear f(x) = ax, com a 6= 0
e y ∈ R qualquer, temos
f(x) = y ⇐⇒ ax = y ⇐⇒ x = y
a
.
Então, dado y ∈ R qualquer, existe x = y
a
∈ D tal que f(y
a
) = y. Logo, toda função linear
é bijetora.
Após fazer uma abordagem sobre as funções constantes e lineares, vamos �nalmente
de�nir o que é uma função a�m.
De�nição 4.3. (Função A�m.) Uma função a�m é uma função da forma f(x) = ax+ b,
com a 6= 0 e a, b ∈ R.
A seguir apresentamos alguns exemplos de funções a�ns, identi�cando os coe�cientes
"a� e "b� de cada uma das funções.
Exemplo 4.3. Seja f : R −→ R uma função real dada por:
1. f(x) = 2x+ 3 é uma função a�m onde a = 2 e b = 3;
2. f(x) = −10x+ 25 é uma função a�m onde a = −10 e b = 25;
3. f(x) = −9x− 100 é uma função a�m onde a = −9 e b = −100;
4. f(x) = 1
2
x−
√
2 é uma função a�m onde a = 1
2
e b =
√
2;
5. f(x) = −30 não é uma função a�m, pois a 6= 0.
Dada uma função a�m genérica f(x) = ax+ b, observe que f(x) = 0 quando ax+ b = 0,
logo x = − b
a
(lembre-se que a 6= 0). O ponto x = − b
a
é chamado raiz da equação, ou seja,
temos um ponto do grá�co dado por (− b
a
, 0). Por outro lado, se x = 0 temos f(0) = a0+b =
b, assim obtemos um outro ponto do grá�co dado por (0, b). Como o grá�co de uma função
a�m é uma reta inclinada, tal grá�co intercepta o eixo x no valor − b
a
, e no eixo y no valor
b. A inclinação e o crescimento/decrescimento da função depende do sinal das constantes a
e b, vejamos os grá�cos das funções a�m do exemplo anterior e observar qual é a in�uência
do sinal de tais constantes.
(a) f(x) = 2x + 3. (b) f(x) = −10 + 25.
(c) f(x) = −9x− 100. (d) f(x) = 12x−
√
2
Figura 23: Grá�cos de funções a�ns.
Note que as funções f(x) = 2x+3 e f(x) = 1
2
x−
√
2 tem grá�cos crescentes e a constante
a são positivas, e as funções f(x) = −10x + 25 e f(x) = −9x − 100 são decrescentes e
consequentemente a constante a são negativas. Assim, o sinal de a in�uência no crescimento
e decrescimento da função. A constante b indica o ponto de intercepção do grá�co com o
eixo y, assim, se b é negativo, como nas funções f(x) = −9x − 100 e f(x) = 1
2
x −
√
2, o
grá�co da função intercepta o eixo y em um ponto a baixo do eixo x, e no caso onde b é
positivo, como nas funções f(x) = 2x+ 3 e f(x) = −10x+ 25, o grá�co intercepta o eixo y
a cima do eixo x.
Vamos mostrar algebricamente que quando a constante a é negativa a função f(x) =
ax+ b é decrescente. De fato, dados x1, x2 ∈ R de modo que x1 < x2, assim
x1 < x2 =⇒ ax1 < ax2 =⇒ ax1 + b < ax2 + b =⇒ f(x1) < f(x2),
segue da de�nição 3.4 que f é crescente. De modo análogo, mostramos que quando a < 0 a
função é decrescente. Assim, de modo geral temos as seguintes situações, apresentadas na
�gura 4.
Toda função a�m é bijetora. Com efeito, dados x1, x2 ∈ R tal que f(x1) = f(x2), ou
seja, ax1 + b = ax2 + b o que implica x1 = x2. Logo, f é injetora. Resta provar que f é
sobrejetora. De fato, seja y ∈ R qualquer, queremos encontrar x ∈ R tal que f(x) = y.
Assim, y = f(x) se y = ax+ b, logo, x = y−b
a
(lembre-se que a 6= 0). Portanto, f(y−b
a
) = y,
o que implica f ser sobrejetora.
(a) Se a > e b > 0 a função é cres-
cente e tem o grá�co semelhante a
este.
(b) Se a > e b < 0 a função
é crescente e tem o grá�co se-
melhante a este.
(c) Se a < e b < 0 a função é
decrescente e tem o grá�co se-
melhante a este.
(d) Se a < e b > 0 a função é de-
crescente e tem o grá�co semelhante
a este.
Figura 24: Grá�cos da função a�m f(x) = ax+ b estudando o sinal das constantes a e b.
Agora que já de�nimos e estudamos o comportamento dos grá�cos das funções constan-
tes, linear e a�m, vamos exercitar um pouco.
Exercício 4.1. Para cada uma das funções a seguir classi�que em constante, a�m e/ou
linear e esboce o grá�co.
1. f(x) = 1;
2. f(x) = 2x+ 9;
3. f(x) = −4x;
4. f(x) = −
√
3;
5. f(x) = −12x;
6. f(x) = −8x− 3;
7. f(x) = 2
3
x;
8. f(x) = 0;
9. f(x) = −3
2
x+ 7; 10. y(x) = −π
3
x−
√
7.
5 FUNÇÃO QUADRÁTICA
Este capítulo é dedicado ao estudo das funções quadráticas, ou seja, as funções poli-
nomiais de grau 2. Destacamos que o grá�co desse tipo de função é uma parábola, cuja
concavidade depende do sinal de uma das constantes.
De�nição 5.1. (Função Quadrática.) Uma função quadrática é uma função f : R −→ R
dada por f(x) = ax2 + bx+ c, com a 6= 0.
Exemplo 5.1. Listamos a seguir alguns exemplos de funções quadráticas destacando quais
são seus coe�cientes.
• f(x) = 2x2 + 4x+ 1, logo a = 2, b = 4, c = 1;
• f(x) = −3x2 + 5x+ 10, logo a = −3, b = 5, c = 10;
• f(x) = x2 − 81, logo a = 1, b = 0, c = −8;
• f(x) = −12x2 + 4x, logo a = −12, b = 4, c = 0;
• f(x) = −x2, logo a = −1, b = 0, c = 0.
O grá�co da função quadrática é uma parábola, cuja concavidade depende do sinal do
coe�ciente a.
(a) Concavidade positiva se
a > 0.
(b) Concavidade negativa se a < 0.
Figura 25: Concavidade do grá�co da função quadrática de acordo com o sinal do coe�ciente
a.
Considerea seguinte função quadrática f(x) = x2 +1, observe que f(−2) = 5 e f(2) = 5,
desse modo f não é injetora. Agora, será que existe x ∈ R tal que f(x) = 0? Queremos
encontrar x que satisfaça x 2 + 1 = 0, ou seja x2 = −1. Porém, essa última igualdade não
ocorre, pois x2 ≥ 0. então, f não é sobrejetora. Além disso não possui raiz real.
Vamos agora fazer a dedução da equação de Bhaskara, muito utilizada para o cálculo
das raízes de funções quadráticas. Dada a função f(x) = ax2 + bx + c, com a 6= 0, vamos
resolver a equação ax2 + bx + c = 0. Assim, manipulando a equação do lado esquerdo,
temos:
ax2 + bx+ c = a
(
x2 +
b
a
x+
c
a
)
= a
(
x2 +
b
a
x+
b2
4a2
− b
2
4a2
+
c
a
)
= a
(
x2 +
b
a
x+
b2
4a2
)
+ a
(
− b
2
4a2
+
c
a
)
= a
(
x+
b
2a
)2
+ a
(
−b
2 + 4ac
4a2
)
= a
[(
x+
b
2a
)2
− ∆
4a2
]
(∆ = b2 + 4ac).
Agora, ax2 + bx+ c = 0 , se e somente se, a
[(
x2 + b
2a
)2 − ∆
4a2
]
= 0. Como a 6= 0, então
(
x+
b
2a
)2
− ∆
4a2
= 0(
x+
b
2a
)2
=
∆
4a2
. (6)
Precisamos agora analisar o sinal de Delta. Logo
• Se ∆ ≥ 0 temos
x+
b
2a
= ±
√
∆
4a2
x = − b
2a
±
√
∆
2a
x =
−b±∆
2a
Desse modo temos duas raízes para a função, dadas por x1 =
−b+ ∆
2a
e x2 =
−b−∆
2a
.
• Se ∆ < 0 temos ∆
4a2
< 0 e
(
x+ b
2a
)2 ≥ 0, logo a igualdade (6) não é possível ocorrer
no conjunto dos números reais.
Em resumo, temos:
• Se ∆ > 0 então a função tem duas raízes x1 e x2 reais e distintas;
• Se ∆ = 0, a função terá duas raízes x1 e x2 reais e iguais, dadas por x1 = x2 = −b2a ;
• Se ∆ < 0 a função não possui raiz real, pois não existe x ∈ R tal que ax2 + bx+c = 0.
Vejamos agora como esboçar o grá�co de uma função quadrática utilizando somente o
sinal de ∆ e do coe�ciente a. Considere a função quadrática f(x) = ax2 + bxc, o grá�co da
função se dada por
(a) Se a > 0 e ∆ > 0. (b) Se a > 0 e ∆ = 0. (c) Se a > 0 e ∆ < 0.
(d) Se a < 0 e ∆ > 0. (e) Se a < 0 e ∆ = 0. (f) Se a < 0 e ∆ < 0.
Figura 26: Grá�cos de funções quadráticas analisando o sinal de ∆ e a.
Nos exemplos a seguir vamos esboçar os grá�cos de algumas funções quadráticas.
Exemplo 5.2. Dada a função f(x) = x2− x− 6, primeiro vamos determinar o delta desta
função. Assim, como a = 1, b = −1 e c = −6 então
∆ = (−1)2 − 4 ∗ 1 ∗ (−6) = 25.
Como ∆ > 0 então a função possui duas raízes reais distintas, dadas por
x1 =
−(−1) +
√
25
2 ∗ 1
= 3 e x2 =
−(−1)−
√
25
2 ∗ 1
= −2.
Além disso, fazendo x = 0 temos f(0) = −6. Desse modo temos os seguintes pontos
do grá�co de f : (0,−6), (3, 0), (−2, 0). Utilizando a informação de que o grá�co é uma
parábola, temos o seguinte grá�co.
Figura 27: Grá�co da função f(x) = x2 − x− 6.
Exemplo 5.3. Vamos fazer o mesmo para a função g(x) = −x2 − 13x − 36. Neste caso
temos a = −1, b = −13 e c = −36, assim
∆ = (−13)2 − 4 ∗ (−1) ∗ (−36) = 25.
Do mesmo modo que o exemplo anterior, como ∆ > 0 a função possui duas raízes reais
distintas dadas por
x1 =
−(−13) +
√
25
2 ∗ (−1)
= −9 e x2 =
−(−13)−
√
25
2 ∗ (−1)
= −4.
Agora temos f(0) = −36. Assim, obtemos os seguintes pontos do grá�co (0,−36), (−9, 0)
e (−4, 0). Segue do fato de a < 0 que a concavidade da parábola é negativa, logo o grá�co é
dada por
Figura 28: Grá�co da função g(x) = −x2 − 13x− 36.
Já comentamos no início da seção que a função quadrática não é sobrejetora, logo existem
números reais que não pertencem ao conjunto imagem. Além disso, note que quando o
grá�co da função tem concavidade positiva a parábola possui um ponto que distingue a
função do seguinte modo, do lado esquerdo ao ponto, a função é decrescente, e a direita
do ponto, a função é crescente. Ou seja, tal ponto é o menor valor que a função atinge (o
menor valor para a imagem da função). Este ponto é chamada ponto de mínimo.
Figura 29: Ponto de mínimo de uma função quadrática cujo coe�ciente a > 0.
Do mesmo modo, se a concavidade do grá�ca da função quadrática for negativa, a função
terá um ponto onde ao lado esquerdo do ponto, a função é crescente, e do lado direito ao
ponto, a função é decrescente. Neste caso, o ponto é o maior valor que a função pode atingir,
chamado ponto de máximo.
Figura 30: Ponto de máximo de uma função quadrática cujo coe�ciente a < 0.
Para calcular o ponto de máximo ou mínimo de uma função quadrática vamos utilizar
o resultado do teorema a seguir.
Teorema 5.1. Seja f : R −→ R dada por f(x) = ax2 + bx+ c, a 6= 0.
i) Se a < 0 então yM =
−∆
4a
é máximo de f e xM =
−b
2a
, além disso Imf = (−∞, yM ];
ii) Se a > 0 então ym =
−∆
4a
é mínimo de f e xm =
−b
2a
, além disso Imf = [ym,∞).
Exemplo 5.4. Considere a função f(x) = 2x2 − 4x + 5, encontre as raízes de f , o ponto
de máximo ou mínimo, e determine o conjunto imagem.
Solução: Primeiro vamos calcular o ∆ para poder determinar as raízes. Temos a = 2,
b = −4 e c = 5, logo
∆ = (−4)2 − 4 ∗ 2 ∗ 5 = −24.
Assim,
x1 =
4 +
√
−24
4
e x2 =
4−
√
−24
4
.
Como Delta é negativo, a função não possui raízes reais. Então o grá�co não intercepta o
eixo x. Agora, desde que a = 2 > 0 então o grá�co da função tem concavidade positiva, o
que implica na existência de um ponto de mínimo, dado por
ym =
−∆
4a
=
−(−24)
4 ∗ 2
= 3 e xm =
−b
2a
=
−(−4)
2 ∗ 2
= 1,
ou seja, o ponto de mínimo é (1, 3). Logo, o menor valor para a imagem da função é y = 3.
Desse modo temos Imf = [3,∞), já que a > 0. Por �m, temos o seguinte grá�co
Figura 31: Grá�co da função f(x) = 2x2 − 4x+ 5.
Toda equação quadrática pode ser fatorada. Desse modo, dada a função do segundo
grau f(x) = ax2 + bx + c, sejam x1 e x2 as raízes de f então f(x) = (x − x1)(x − x2). De
fato,
(x− x1)(x− x2) = x2 − (x1 + x2)x+ x1x2
= x2 −
(
−b+
√
∆
2a
+
−b−
√
∆
2a
)
x+
(
−b+
√
∆
2a
)(
−b−
√
∆
2a
)
= x2 − −2b
2a
x+
b2 −∆
4a2
= x2 +
b
a
x+
b2 − (b2 − 4ac)
4a2
= x2 +
b
a
x+
c
a
= ax2 + bx+ c = f(x).
Exemplo 5.5. Vamos fatorar f(x) = −7x2−5x+2, para isso precisamos calcular as raízes
da função. Assim, ∆ = b2 − 4ac = (−5)2 − 4 ∗ (−7) ∗ 2 = 81. Logo,
x1 =
−b+
√
∆
2a
=
5 +
√
81
2 ∗ (−7)
= −1
x2 =
−b−
√
∆
2a
=
5−
√
81
2 ∗ (−7)
=
2
7
.
portanto, a função f pode ser fatorada como f(x) = (x− x1)(x− x2) = (x+ 1)(x− 27).
Observe que ao fatorar uma função quadrática f(x) = ax2+bx+c encontramos a seguinte
igualdade (x − x1)(x − x2) = x2 − (x1 + x2)x + x1x2. Assim, para determinar as raízes da
equação temos que calcular ax2 + bx+ c = 0, como a 6= 0, podemos dividir a equação por a
e obter
x2 +
b
a
x+
c
a
= 0
Por outro lado, as raízes também satisfazem a igualdade x2 − (x1 + x2)x + x1x2 = 0.
Comparando com a igualdade anterior, temos
b
a
= x1 + x2 e
c
a
= x1x2. (7)
Portanto, uma outra forma de determinar as raízes de uma função quadrática é encontrar
dois números que satisfação as igualdades de (7).
Exercício 5.1. Para as funções a seguir Calcule as raízes, o ponto de máximo ou mínimo,
o conjunto imagem e esboce os grá�cos.
1. f(x) = x2 − 3x+ 4;
2. f(x) = −x2 − 5x+ 4;
3. f(x) = 2x2 + x;
4. f(x) = −8x2 + 4;
5. f(x) = 5x2 + 6x+ 9;
6. f(x) = 25x2 − 10x+ 1;
7. f(x) = −10x2 − 45;
8. f(x) = −3x2 − 3x− 6;
9. f(x) = 10x2 − 7x+ 8.
Exercício 5.2. Fatore as funções quadráticas a seguir.
1. f(x) = 2x2 − 3x− 5;
2. f(x) = 2x2 − x;
3. f(x) = −x2 − x+ 6;
4. f(x) = −3x2 − 3x+ 6;
5. f(x) = 5x2 − 3x− 7;
6. f(x) = 1
2
x2 − x− 8;
7. f(x) = 1
5
x2 + 4x− 9;
8. f(x) = 1
8
x2 + 4x− 11;
9. f(x) = −3
2
x2 + 3x;
10. f(x) = −3
7
x2 + 7.
6 INEQUAÇÕES
O objetivo neste capítulo é realizar o estudo das soluções de inequações do tipo f(x) <
g(x) (f(x) menor que g(x)), f(x) > g(x) (f(x) maior que g(x)), f(x) ≤ g(x) (f(x) menor
ou igual a g(x))ou f(x) ≥ g(x) (f(x) maior ou igual a g(x)), onde f e g são funções reais.
De�nição 6.1. Sejam f : Df −→ R e g : Dg −→ R, funções cujo os domínios Df e Dg
são subconjuntos dos números reais. Chamamos inequações na incógnita x a qualquer uma
das sentenças abaixo:
• f(x) < g(x); • f(x) ≤ g(x); • f(x) > g(x); • f(x) ≥ g(x).
Exemplo 6.1. Vejamos alguns exemplos.
1) 3x− 5 < 5 é uma inequação com f(x) = 3x− 5e g(x) = 5;
2) x2 + 3x− 4 ≥ x3 é uma inequação onde f(x) = x2 + 3x− 4 e g(x) = x3;
3)
√
x+ 3 > 3x é uma inequação onde f(x) =
√
x+ 3 e g(x) = 3x.
Resolver uma inequação signi�ca encontrar os valores ou intervalos reais ao qual a va-
riável x pode assumir os valores e satisfazer a desigualdade. Para tanto, como estamos
trabalhando com funções, devemos determinar o conjunto onde podemos encontrar a solu-
ção da inequação.
De�nição 6.2. (Solução da inequação.) chamamos domínio de validade da inequação
f(x) < g(x) ao conjunto D = Df ∩ Dg. Dizemos que x0 ∈ D é solução da inequação
f(x) < g(x) se f(x0) < g(x0).
Por exemplo, considere a inequação 3x2 + 2x + 1 < 9x2, podemos relacionar f(x) =
3x2 + 2x + 1 e g(x) = 9x2. Note que Df = R e Dg = R, assim o domínio de validade é
D = R. Note que x = 1 é solução da inequação, pois f(1) = 6 e g(x) = 9, logo f(1) < g(1).
Existem outras soluções para a inequação?
De�nição 6.3. (conjunto Solução.) O conjunto solução da inequação f(x) < g(x) é o
conjunto {x0 ∈ Df ∩Dg|f(x0 < g(x0))}.
Vejamos no exemplo a seguir como determinar o conjunto solução de uma inequação
envolvendo funções do primeiro grau.
Figura 32: Grá�co das funções f(x) = −5x+ 4 e g(x) = −3x.
Exemplo 6.2. Seja f(x) = −5x+ 4 e g(x) = −3x, vamos resolver a inequação −5x+ 4 <
−3x. Assim,
⇔ −5x+ 4 < −3x (somando 3x na desigualdade)
⇔ −2x+ 4 < 0 (somando -4 na desigualdade)
⇔ −2x < −4 (multiplicando a desigualdade por− 1
2
)
⇔ x > 2
Logo, o conjunto solução da inequação é {x ∈ R|x > 2}. Gra�camente, observe que após
o valor x = 2 o grá�co da função g(x) �ca a cima do grá�co da função f(x), ou seja, os
valores da imagem da função g são maiores que os valores da imagem da função f , quando
x assume valores a cima de 2.
Observação 6.1. Lembre-se que ao multiplicar uma inequação por um número negativo, a
inequação troca o sentido. Por exemplo, temos 3 < 8, multiplicando por −1 esta desigual-
dade torna-se −3 > −8, e não −3 < −8.
Dizemos que duas inequações são equivalentes se tiverem o mesmo conjunto solução.
Assim, a inequação −5x + 4 < −3x é equivalente a inequação −2x + 4 < 0, e que serão
equivalentes as inequações −2x < −4 e x > 2.
Exemplo 6.3. A inequação 3x + 1 ≤ 4x2 é equivalente a 4x2 − 3x − 1 ≥ 0, ou seja, o
conjunto solução são os valores para x tal que a função quadrática f(x) = 4x2 − 3x − 1 é
não negativa. Gra�camente, são as abscissas dos pontos cujo o grá�co �ca acima do eixo
x. Resolvendo a equação quadrática, encontramos que as raízes são −0, 25 e 1, como a
constante que acompanha o termo quadrático é positivo (a = 4), o grá�co é uma parábola
com concavidade para cima que corta o eixo x nos valores −0, 25 e 1, veja o esboço do grá�co
abaixo.
Figura 33: Grá�co da função quadrática f(x) = 4x2 − 3x− 1.
Desse modo, a solução para a inequação são os valores para x que estão abaixo de −0, 25
e acima de 1, pois para esses valores o grá�co da função está a cima do eixo x. Logo, o
conjunto solução é a união de dois intervalos semi-abertos, já que os valores −0, 25 e 1
também são soluções para a inequação. Então, S =]−∞,−0, 25] ∪ [1,∞[.
6.1 Inequações simultâneas
Nesta seção vamos estudar inequações do tipo f(x) < g(x) < h(x), ou f(x) ≤ g(x) ≤
h(x), onde f, g, h : R −→ R. Ou seja, devemos resolver duas inequações f(x) < g(x) e
g(x) < h(x), ou (no outro caso), f(x) ≤ g(x) e g(x) ≤ h(x). Assim, o conjunto solução são
os valores para a incógnita x que satisfazem as duas inequações simultaneamente.
Exemplo 6.4. Vamos resolver a inequação 4x+ 3 < x < −2x+ 5. Desse modo, temos que
resolver duas inequações
4x+ 3 < x (8)
e
x < −2x+ 5. (9)
Resolvendo a inequação (8):
4x+ 3 < x⇔ 3x+ 3 < 0⇔ 3x < −3⇔ x < −1.
Logo, a solução da inequação (8) é S1 =]−∞,−1[. Vamos resolver agora a inequação (9):
x < −2x+ 5⇔ 3x < 5⇔ x < 5
3
.
Então, a solução para a inequação (9) é S2 =]−∞, 53 [. A solução geral é dada pela interse-
ção de S1 com S2, ou seja, os valores que satisfazem simultaneamente as duas inequações.
Portanto, a solução é S =] − ∞,−1[. Geometricamente, temos a seguinte interpretação,
observe os grá�cos das funções 4x+ 3, x e −2x+ 5, note que após o valor de x = −1 temos
que a reta referente a função −2x+ 5 está a cima da reta identidade (f(x) = x) e esta está
acima da reta da função −2x + 5. Portanto, para todos os valor de x que estão abaixo do
valor −1 essa ordem se mantem, logo o resultado para a inequação 4x+ 3 < x < −2x+ 5 é
de fato o intervalo ]−∞,−1[.
Figura 34: Grá�cos das funções 4x+ 3, x e −2x+ 5.
Exemplo 6.5. Vamos resolver a inequação 1
2
x ≤ 1
2
x2 − 1 ≤ −x + 2. Logo, temos que
resolver duas inequações dadas por
1
2
x ≤ 1
2
x2 − 1, (10)
1
2
x2 − 1 ≤ −x+ 2. (11)
Primeiro vamos resolver a inequação (10).
1
2
x ≤ 1
2
x2 − 1
0 ≤ 1
2
x2 − 1
2
x− 1,
Desse modo, devemos estudar o sinal da equação quadrática 1
2
x2 − 1
2
x − 1 e determinar o
intervalo onde a função é positiva. Assim, encontramos ∆ = 9
4
e x1 = −1, x2 = 2, como
a = 1
2
> 0, a concavidade do grá�co é positiva. Então, o sinal da equação é dada pela �gura
a seguir. Logo, a função 1
2
x2 − 1
2
x − 1 é positiva no intervalo S1 =] − ∞,−1] ∪ [2,+∞[,
Figura 35: Sinal da função quadrática 1
2
x2 − 1
2
x− 1.
consequentemente, no intervalo S1, também ocorre a desigualdade
1
2
x ≤ 1
2
x2 − 1.
Agora vamos resolver a inequação (11).
1
2
x2 − 1 ≤ −x+ 2
1
2
x2 + x− 3 ≤ 0.
Ou seja, devemos encontrar o intervalo onde a função 1
2
x2 + x − 3 é negativa. Então,
calculando as raízes e o delta, temos ∆ =
√
7, x1 = −1−
√
7 e −1 +
√
7. Como a = 1
2
> 0,
a concavidade é positiva, desse modo, o sinal será dada por Assim, a função 1
2
x2 + x− 3 é
negativa no intervalo S2 = [−1−
√
7,−1 +
√
7].
Portanto, a solução para a inequação 1
2
x ≤ 1
2
x2 − 1 ≤ −x+ 2 é dada por S = S1 ∩ S2 =
[−1,−1 +
√
7].
Exercício 6.1. Encontre o conjunto solução das seguintes inequação.
1. 3x+ 2 < x− 1;
2. −2x+ 5 < 5x;
3. 9x < 15x+ 3;
4. −3x− 9 < 2x− 6;
5. 15x− 8 > 0;
6. −24x+ 10 ≤ 4x;
7. 1
2
x+ 8 ≥ 10x− 5;
8. 3
4
x− 5 ≤ 4x+ 11;
9. −7
5
x+ 6 > 3
8
;
10. −2x2 + 5 < 6x;
11. 5x2 > 4x2 − 6;
12. −1
2
x2 ≥ x2 − 9;
13. 6
5
x2 + 5x < 8
5
x− 10;
14. 7x2 − 8x+ 5 ≤ −3x2 + 3x− 20.
7 MÓDULO
Este capítulo é dedicado ao estudo de equações, inequações e funções modulares.
De�nição 7.1. O valor absoluto de um número real x é de�nido por:
|x| =
 x, se x ≥ 0−x, se x < 0.
Exemplo 7.1. Vejamos agora alguns exemplos de módulos de números reais.
|0| = 0, | − 2| = 2, |4| = 4, | − 101| = 101.
Para todo x, y ∈ R são válidas as seguintes propriedades, cujo as demonstrações serão
omitidas:
1. |x| ≥ 0;
2. |x| = 0⇐⇒ x = 0;
3. |x2| = x2;
4. |xy| = |x|.|y|;
5. x ≤ |x|;
6. |x+ y| ≤ |x|+ |y|;
7. |x− y| ≥ |x| − |y|;
8. |x| < a e a > 0, então −a ≤ x ≤ a;
9. |x| ≥ a e a > 0, então x ≥ a ou x ≤ −a.
7.1 Equações Modulares
Uma equação modular é uma igualdade de expressões envolvendo módulo. Vejamos
alguns exemplos resolvidos.
Exemplo 7.2. Vamos resolver em R a equação |3x − 1| = 2. Primeiro, vamos usar a
de�nição de módulo, assim
|3x− 1| =

3x− 1, se 3x− 1 ≥ 0
e
−(3x− 1), se 3x− 1 < 0.
Assim, temos 3x− 1 = 2 ou −(3x− 1) = 2. Portanto, devemos resolver as duas igualdades.
3x− 1 = 2 −(3x− 1) = 2
3x = 3 −3x = 1
x = 1 x = −1
3
.
Portanto, a solução para a equação modular |3x− 1| = 2 é S = {−1
3
, 1}
Exemplo 7.3. Considere a equação modular |3x + 2| = |x − 1|, primeiro vamos analisar
cada módulo separadamente. Assim temos
|3x+ 2| =

3x+ 2, se x ≥ −2
3
e
−(3x+ 2), se x < −2
3
.
|x− 1| =

x− 1, se x ≥ 1
e
−(x− 1), se x < 1.
Logo estamos com a seguinte con�guração
Figura 36: Estudo do sinal das expressões 3x+ 2 e x− 1.
Temos três intervalos para serem estudados, ]−∞,−2
3
[, [−2
3
, 1[ e [1,+∞[. Vamos ana-
lisar.
1. Quando x < −2
3
temos −(3x + 2) e −(x − 1), logo devemos resolver a igualdade
−3x− 2 = −x+ 1, obtendo como resposta x = −3
2
.
2. Para x ∈ [−2
3
, 1[ temos 3x+ 2 e −(x− 1) , assim vamos resolver a igualdade 3x+ 2 =−(x− 1), cuja solução é x = −1
4
.
3. Agora se x ∈ [1,+∞[ temos 3x+ 2 e x− 1 então obtemos a equação 3x+ 2 = x− 1,
resolvendo, temos como resposta x = −3
2
Portanto, o conjunto solução para a equação modular |3x+ 2| = |x− 1| é S = {−1
4
,−3
2
}.
O exemplo a seguir é uma equação modular envolvendo uma expressão do segundo grau.
Exemplo 7.4. Vamos resolver a equação |x2 + x − 5| = |4x − 1|. Primeiro, usamos a
de�nição de módulo para as expressões x2 + x− 5 e 4x− 1. Assim
|x2 + x− 5| =

x2 + x− 5, se x ∈ (−∞, −1−
√
21
2
] ou x ∈ [−1+
√
21
2
,+∞)
e
−(x2 + x− 5), se x ∈ (−1−
√
21
2
, −1
√
21
2
).
e
|4x− 1| =

4x− 1, se x ≥ 1
4
e
−(4x− 1), se x < 1
4
.
Vamos analisar da seguinte forma, na �gura 7.4 na primeira linha temos o estudo do módulo
para a expressão quadrática x2 + x − 5. Note que antes do valor −1−
√
21
2
e após −1−
√
21
2
,
devemos considerar a expressão x2 +x−5. No intervalo (−1−
√
21
2
, −1+
√
21
2
) temos a expressão
−(x2 + x − 5). Agora, na segunda linha temos o estudo do módulo para 4x − 1, de modo
que antes do valor 1
4
consideramos −(4x − 1) e após 1
4
temos a expressão 4x − 1. Por
�m, obtemos 4 intervalos para analisar, tais intervalos estão numerados na �gura, estes nos
darão 4 equações para resolvermos.
Na tabela abaixo encontram-se listados os quatro intervalos e suas respectivas equações.
I x2 + x− 5 = −(4x− 1)
II −(x2 + x− 5) = −(4x− 1)
III −(x2 + x− 5) = 4x− 1
IV x2 + x− 5 = 4x− 1
Porém, observe que as equações correspondentes ao intervalo II e III são a mesma,
basta multiplicar uma destas por −1. Do mesmo modo, concluímos que as equações dos
Figura 37:
intervalos I e IV também são a mesma. portanto, devemos resolver as equações x2 +x−5 =
4x− 1 e −(x2 + x− 5) = 4x− 1.
Resolver a equação x2 + x − 5 = 4x − 1 é equivalente a resolver a equação quadrática
x2−3x−4 = 0, cuja solução é −1 e 4. Assim como resolver a equação −(x2+x−5) = 4x−1
é correspondente a −x2 − 5x + 6 = 0, que tem como raízes −6 e 1. Por �m, a solução a
equação modular |x2 + x− 5| = |4x− 1| é S + {−6,−1, 1, 4}.
7.2 Inequação Modular
Esta Seção é destinada ao estudo das inequações modulares. Destacamos de início que
a solução será dada por intervalos, ou seja, podem existir mais de um valor que solucione a
inequação.
Exemplo 7.5. Resolver em R a inequação |3x− 2| < 4. Usando a propriedade de módulo
e algumas manipulações algébricas temos
|3x− 2| < 4
−4 < 3x− 2 < 4
−2 < 3x < 6
−2
3
< x < 4
3
.
Portanto, a solução para a inequação |3x− 2| < 4 é o conjunto/intervalo
S =
{
x ∈ R|−2
3
< x <
4
3
}
=
(
−2
3
,
4
3
)
.
Exemplo 7.6. Considere a inequação |5x − 10| ≥ 15, segue das propriedades de módulo
que 5x− 10 ≥ 15 ou 5x− 10 ≤ −15. Portanto, devemos resolver as duas inequações. Logo,
5x− 10 ≥ 15
5x ≥ 25
x ≥ 5
5x− 10 ≤ −15
5x ≤ −5
x ≤ −1
Então, a solução para o problema é o conjunto
S = {x ∈ R|x ≤ 1 ou x ≥ 5} = (−∞, 1] ∪ [5,+∞).
7.3 Função Modular
Feita a de�nição de módulo, de�nimos a função modular como sendo uma aplicação
f : R −→ R dada por
f(x) = |x| =

x, se x ≥ 0
e
−x, se x < 0.
O grá�co desta função precisa ser analisado nos dois casos que está determinado a lei
da função, isto é, para x < 0 e x ≥ 0. Desse modo, para valores de x menores que zero, a
função será dada por −x, logo, uma reta decrescente até valores próximo de zero. E para
valores de x maiores que zero, a função modular associa f(x) ao próprio x, ou seja, o grá�co
neste intervalo será uma reta crescente. Portanto, o grá�co da função modular tem um
formato em "V"como mostra a �gura abaixo.
Figura 38: Grá�co da função modular |x|.
Observe que f(−1) = | − 1| = 1 e f(1) = |1| = 1, desse modo a função modular não é
injetora. Você pode veri�car essa informação utilizando quaisquer números simétricos, pois,
dado a, b ∈ R tal que a = −b então |a| = | − b|. Vejamos também que a função módulo
não é sobrejetora, pois temos Imf = {y ∈ R; y = f(x) para algum x ∈ Df} = [0,+∞[ 6= R.
Com relação ao crescimento e decrescimento da função modular, como visto no parágrafo
anterior, no intervalo ] − ∞, 0[ a função se comporta como a função −x, portanto neste
intervalo é decrescente. Agora, no intervalo [0,+∞ a função modulo é dada pela função
identidade f(x) = x, sendo assim, crescente nesse intervalo.
Vamos estudar o que acontece quando multiplicamos a função modular ou somamos um
valor real. Ou seja, vamos estudar o comportamento de funções do tipo f(x) = a|bx+ c|+d
onde a, b, c, d ∈ R.
Primeiro vamos analisar o comportamento da função f(x) = a|x|, com a 6= 0, visto que
se a = 0 resulta na função nula. Abaixo encontram-se os grá�cos da função f para alguns
valores de a positivo e negativos. Observe que quando a > 0 o seu valor in�uencia na
amplitude do grá�co, de modo que quanto maior o valor menos "fechado"o grá�co se torna.
Do mesmo modo ocorre quando a < 0, com a diferença de que o sinal negativo da constante
faz com que a função tenha um "giro"com relação ao eixo x, ou seja, a imagem da função
neste caso será Imf =]−∞, 0]. Portanto, concluímos que a constante a está in�uenciando
na abertura do grá�co com relação ao eixo y.
(a) Se a > 0. (b) Se a < 0.
Figura 39: Grá�cos de funções modulares do tipo f(x) = a|x|, analisando o sinal para
a ∈ R∗.
Agora, estudando o comportamento para a função f(x) = |bx|, com b 6= 0. Observamos
que ao usar a propriedade de módulo temos f(x) = |b|.|x|, assim recaímos em uma função
modular que está sendo multiplicada por um real positivo, visto que |b| > 0. Logo, podemos
concluir que a constante b in�uencia também na abertura do grá�co, com a diferença de
que a imagem da função f(x) = |bx| será sempre positiva, ou seja, Imf = [0,+∞[.
Analisando o comportamento para a função f(x) = |x + c|, note que |x + c| = 0 se
x + c = 0, ou seja, x = −c. Desse modo, concluímos que x = −c é a raiz da função
f(x) = |x+ c|. Agora, usando a de�nição de módulo, a função f é dada por
f(x) = |x+ c| =

x+ c, se x+ c ≥ 0
e
−(x+ c), se x+ c < 0.
Dando a c alguns valores reais, como dados na �gura a baixo, notamos que para c > 0
o grá�co da função sofre um deslocamento de tamanho c para a esquerda e quando c < 0 o
grá�co sofre um deslocamento de tamanho |c| para a direita.
Figura 40: Grá�co da função f(x) = |x+ c| para valores de c = 5, c = 0 e c = −3.
Até o momento, as funções modulares tem imagens do tipo ]−∞, 0] ou [0,+∞[. Será que
todas as funções modulares tem essa característica? a resposta é não. Para justi�car essa
resposta vamos estudar o comportamento da função f(x) = |x| + d, com d ∈ R. Fazendo
uso da de�nição de módulo obtemos
f(x) = |x|+ d =

x+ d, se x ≥ 0
e
−x+ d, se x < 0.
Esboçando o grá�co para d > 0 e para d < 0 obtemos as seguintes imagens:
(a) Se d > 0. (b) Se d < 0.
Figura 41: Grá�cos de funções modulares do tipo f(x) = |x|+ d, para d > 0 e d < 0.
Dese modo, temos que Imf = [d,+∞[. Portanto, não podemos a�rmar que a imagem
de uma função modular é sempre positivo ou sempre negativa. além disso, concluímos que
a constante d gera um deslocamento vertical no grá�co da função, de forma que se d > 0
o deslocamento é no sentido positivo do eixo y, e se d < 0 o deslocamento é no sentindo
contrário.
De modo geral, a função modular é de�nida como:
De�nição 7.2. A função módulo ou modular é uma aplicação f : R −→ R dada por
f(x) = |g(x)|, onde g : R −→ R é também uma função.
Apresentamos a seguir alguns exemplos.
Exemplo 7.7. Dada a função f(x) = |x− 2|, por de�nição temos
f(x) = |x− 2| =

x− 2, se x− 2 ≥ 0
e
−(x− 2), se x− 2 < 0.
Portanto, o grá�co da função sofrerá um deslocamento horizontal para a esquerda de
duas unidades, como visto nos exemplos a cima. Neste caso, temos Img = [0,+∞[.
Exemplo 7.8. Considere a função g(x) = |x2−x−2|. Usando a de�nição de módulo temos
g(x) = |x2 − x− 2| =

x2 − x− 2, se x2 − x− 2 ≥ 0
e
−(x2 − x− 2), se x2 − x− 2 < 0.
Figura 42: Grá�co da função f(x) = |x− 2|.
Vamos interpretara lei de formação da função g. Primeiro, lembre que o grá�co da função
quadrática x2 − x − 2 é uma parábola com concavidade positiva e que tem como raiz −1 e
2 (veja o grá�co na �gura 7.8(a)). Note que nos intervalos ]−∞,−1) e (2,+∞[ a função
quadrática x2 − x − 2 é positiva, isto é, x2 − x − 2 > 0. Além disso, em x = −1 e x = 2
tem-se x2−x−2 = 0. Logo, olhando a lei de formação da função g(x), a primeira condição,
dada por "x2−x−2, se x2−x−2 ≥ 0�, pode ser substituída por "x2−x−2, se x ∈]−∞,−1]
ou x ∈ [2,+∞[�. Geometricamente, nesse intervalo o grá�co da função g(x) coincide com
o grá�co da função quadrática em questão.
Analisando agora o intervalo (−1, 2) temos que a função quadrática é negativa, isto é,
x2 − x − 2 < 0. Assim, segue da segunda condição da lei de formação da função g(x) =
|x2−x−2|,que neste intervalo "−(x2−x−2), se x2−x−2 < 0� é correspondente a a�rmação
"−(x2− x− 2), se x ∈ (−1, 2)�. Geometricamente, no intervalo (−1, 2) a função sofre uma
rotação (re�exão) em torno do eixo x, tornando assim, esta parte do grá�co positiva. Veja
a �gura 7.8(b).
Exemplo 7.9. Dada a função h(x) = 2|x + 1| − 3, vamos usar a de�nição para o módulo
|x+ 1|, logo
|x+ 1| =

x+ 1, se x+ 1 ≥ 0
e
−(x+ 1), se x+ 1 < 0.
Agora vamos juntar com a de�nição da lei da função h(x) para obter de forma explicita o
comportamento de h, ou seja
(a) Grá�co da função quadrática x2 − x− 2. (b) Grá�co da função g(x) = |x2 − x− 2|.
Figura 43: Grá�cos de funções.
h(x) = 2|x+ 1| − 3 =

2(x+ 1)− 3, se x+ 1 ≥ 0
e
−2(x+ 1)− 3, se x+ 1 < 0.
Isto é, a condição "2(x+ 1)− 3, se x+ 1 ≥ 0"nos diz que quando x ≥ −1 a função h se
comporta como a função 2(x+ 1)− 3. E a condição "−2(x+ 1)− 3, se x+ 1 < 0�, diz que
para x < −1 a função h é dada por −2x − 5. Assim, o grá�co de h(x) é dado pela �gura
7.9. Além disso, observe que Imh = [−3,+∞[.
Figura 44: Grá�co da função h(x) = 2|x+ 1| − 3.
Exemplo 7.10. Vamos esboçar o grá�co da função f(x) = −|−x2+4|+4 de modo intuitivo.
Primeiro, esboçamos o grá�co da função quadrática −x2 + 4, dado na �gura 7.10 (a). Em
seguida, esboçamos o grá�co do módulo de −x2 + 4, ou seja, geometricamente, vamos obter
um grá�co onde as partes negativas do grá�co da função quadrática serão re�etidas em torno
do eixo x, observe a �gura 7.10 (b). Agora, multiplica-se por −1 a função |−x2 + 4|, isto é,
vamos esboçar o grá�co de −|−x2 +4|, o que nos dará o grá�co da �gura 7.10 (c). Por �m,
somamos 4, ou seja, vamos "subir"o grá�co em 4 unidades, o resultado �nal é o esboçado
na �gura 7.10 (d).
(a) Grá�co da função −x2 + 4. (b) Grá�co da função |−x2 + 4|.
(c) Grá�co da função −|−x2+4|. (d) Grá�co da função −| − x2 +
4|+ 4.
Figura 45: Grá�cos de funções.
Note que Imf =]−∞, 4].
Exercício 7.1. Esboce o grá�co das funções modulares a seguir:
1. f(x) = |x− 1|;
2. f(x) = | − 2x+ 3|;
3. f(x) = −|3x+ 5|;
4. f(x) = −2| − x− 9|;
5. f(x) = 3|x− 5| − 1;
6. f(x) = |x2 + 2|;
7. f(x) = |x2 + x− 1|;
8. f(x) = −|x2 + 2x| − 3;
9. f(x) = −5| − x2|+ 6
8 FUNÇÃO EXPONENCIAL
8.1 Introdução
Suponha que em 2000 o censo demográ�co, indicam que, a população brasileira era de
150000000 de habitantes e estava crescendo à taxa aproximada de 1, 5% ao ano. A taxa de
crescimento populacional leva em consideração a natalidade, a mortalidade, as imigrações
etc.
Suponha que tal crescimento seja mantido pelas próximas 2 décadas, ísto é, pelos pró-
ximos 20 anos. Nessas condições, qual seria a população brasileira ao �nal de x anos
(x = 1, 2, · · · , 20), contados a partir de 2000?
Passado 1 ano a partir de 2000 (em 2001), a população, em milhões, seria:
150︸︷︷︸
população em 2000
+
aumento︷ ︸︸ ︷
1, 5% · 150︸ ︷︷ ︸
1, 5
100
=0,015
= 150 + 0, 015 · 150 = 1, 015 · 150
Aproximadamente 152, 25 milhões de habitantes.
Passados 2 anos a partir de 2000 (em 2002), a população, em milhões, seria:
1, 015 · 150︸ ︷︷ ︸
população em 2001
+ 1, 015 · 1, 015 · 150︸ ︷︷ ︸
aumento
= 1, 015 · 150(1 + 0, 015) = 1, 0152 · 150
Aproximadamente 154, 53 milhões de habitantes. / Passados 3 anos a partir de 2000
(em 2003), a população, em milhões, seria:
1, 0152 · 150︸ ︷︷ ︸
população em 2002
+ 1, 015 · 1, 0152 · 150︸ ︷︷ ︸
aumento
= 1, 0152 · 150(1 + 0, 015) = 1, 0153 · 150
Aproximadamente 156, 85 milhões de habitantes.
...
...
...
...
passados x anos, contados a partir de 2000, (x = 1, 2, · · · , 20), a população brasileira,
em milhões de habitantes, seria:
1, 015x · 150
A função que associa a população (y), em milhões de habitantes, ao número de anos x,
transcorridos a partir de 2000, é:
y = 1, 015x · 150,
que é um exemplo de função exponencial, a qual passaremos a estudar agora.
8.2 Potência de expoente natural
De�nição 8.1. Seja a ∈ R e n ∈ N. Chama-se potência de base a e expoente n o
número an tal que:  a0 = 1, para a 6= 0,an = an−1 · a, ∀n > 1.
Desta de�nição decorre que:
a1 = a0 · a = 1 · a = a, a2 = a1 · a = a · a, a3 = a2 · a = a · a · a, · · · ,
e, de modo geral, para n ∈ N e n > 2, temos que an é o produto de n fatores iguais a a,
ísto é,
an = a · a · a · a · · · · · a.︸ ︷︷ ︸
n fatores
Vejamos alguns exemplos de potências:
30 = 1, (−2)0 = 1, 61 = 6,
(
1
4
)1
=
1
4
, 42 = 4 · 4 = 16,
(−3)2 = (−3) · (−3) = 9,
(
2
3
)3
=
2
3
· 2
3
· 2
3
=
8
27
.
8.3 Propriedades
Sejam a, b ∈ R e m,n ∈ N, então valem as seguintes propriedades
P1 a
m · an = am+n
P2
am
an
= am−n, a 6= 0 e m > n
P3 (a · b)n = an · bn
P4
(a
b
)n
=
an
bn
, b 6= 0
P5 (a
m)n = am·n.
Estas propriedades são úteis para simpli�car expressões. Veja um exemplo
Exemplo 8.1. Supondo a · b 6= 0, simpli�quemos a exprressão
y =
(a3b4)3
(a4)2b7
.
Aplicando as propriedades acima, temos:
y =
(a3)3 · (b4)3
a8 · b7
=
a9 · b12
a8 · b7
= a9−8 · b12−7 = a · b5.
Observação 8.1. Segue da de�nição (8.1) que:
• an = 0, ∀n ∈ N, n > 1, se a = 0
• a > 0 ⇒ an > 0, ∀n ∈ N
• a < 0 ⇒
 an > 0, ∀n ∈ N tal que n é par,an < 0, ∀n ∈ N tal que n é impar.
8.4 Potência de expoente inteiro negativo
Pretendemos aqui, de�nir potências de expoente inteiro negativo de modo que as pro-
priedades (8.3) continuem válidas. Observe os exemplos seguintes:
• 42 · 4−2 = 42+(−2) = 40 = 1; assim , 4−2 = 1
42
• 5
3
55
= 53−5 = 5−2
Por outro lado, temos:
53
55
=
5 · 5 · 5
5 · 5 · 5 · 5 · 5
=
1
5 · 5
=
1
52
.
Os cálculos acima sugerem a de�nição seguinte.
De�nição 8.2. Dado a ∈ R, a 6= 0, e n ∈ N, de�nimos a potência de base a e expoente
−n o número a−n, que é o inverso de an, pela relação
a−n =
1
an
,
Vejamos alguns exemplos:
3−2 =
1
32
=
1
9
, (−5)−2 = 1
(−5)2
=
1
25
, 2−4 =
1
24
=
1
16
.
Observação 8.2. Todas as propriedades (8.3) continuam válidas para potência de expoente
inteiro negativo.
8.5 Raiz enésima aritmética
Dado a ∈ R, com a 6= 0 e na ∈ N, n > 1, chama-se raiz enésima aritmética de a o
número b ∈ R, com b > 0 tal que bn = a.
O símbolo n
√
a, chamado radical, indica a raiz enésima aritmética de a. Nele, a é
chamado radicando, e n, índice. Em símbolos temos
n
√
a = b ⇔ b > 0 e bn = a.
Vejamos alguns exemplos:
•
√
16 = 4, pois 42 = 16
• 5
√
32 = 2, pois 25 = 32
• 3
√
27 = 3, pois 33 = 27
Observação 8.3. Da de�nição, decorre que ∀a > 0 e n ∈ N∗:
( n
√
a)n = a
.
Propriedades
Sejam a, b ∈ R, com a, b > 0, m ∈ Z e n, p ∈ N∗, valem as seguintes propriedades:
• n
√
am = n·p
√
am·p
• n
√
a · b = n
√
a n
√
b
• n
√
a
b
=
n
√
a
n
√
b
(b 6= 0)
• ( n
√
a)
m
= n
√
am
• p
√
n
√
a = p·n
√
a
8.6 Potência de expoente racional
Assim como �zemos antes, pretendemos dar signi�cado às potências de expoente racional
lembrando que a sua de�nição deve satisfazer as propriedades operatórias já vistas nesta
secção.
Observe os casos particulares:
• 3 12 · 3 12 = 3 12+ 12 = 31 = 3; assim,
(
3
1
2
)2
= 3, ou seja, 3
1
2 é a raiz quadrada aritmética
de 3, ísto é,
√
3 = 3
1
2 .
• 2 13 · 2 13 · 2 13 = 2 13+ 13+ 13 = 21 = 2; assim,
(
2
1
3
)3
= 2, ou seja, 2
1
3 é a raiz cúbica
aritmética de 8, ísto é, 3
√
8 = 8
1
3 .
Os casos particulares acima,fornecem a seguinte de�nição.
para a ∈ R, a > 0 e n ∈ N∗, temos a
1
n = n
√
a.
Façamos agora os cálculos seguintes:
• 8 32 · 8 32 = 8 32+ 32 = 82· 32 = 83.
Assim,
(
8
3
2
)2
= 83 e, portanto, a raiz quadrada aritmética de 83 é igual a 8
3
2 , ou seja,
√
83 = 8
3
2 .
• 2 23 · 2 23 · 2 23 = 2 23+ 23+ 23 = 23· 23 = 22.
Assim,
(
2
2
3
)3
= 22 e, portanto, a raiz cúbica aritmética de 22 é igual a 2
2
3 , ou seja,
3
√
22 = 2
2
3 .
Considerando todo o exposto anterior alcançamos a seguinte de�nição:
De�nição 8.3. Dados a ∈ R∗+, p ∈ Z e q ∈ N∗ de�ni-se potência de base a e expoente
p
q
∈ Q pela relação
a
p
q = q
√
ap,
ou seja, a potência de base a e expoente
p
q
é a raiz qnésima aritmética de ap
Exemplo 8.2. • 2 12 =
√
2 • 8 13 = 3
√
8 = 2 • 3 12 =
√
3
Observação 8.4. As propriedades (8.3) continuam válidas para potência com expoentes
racionais.
Agora, robustecidos com os pré-requisitos vistos anteriormente, vamos iniciar o estudo
das funções exponenciais.
Função exponencial
Dado a ∈ R, tal que a > 0 e a 6= 1, denominamos de função exponencial de base a a
função f de R em R que associa a cada x real o número ax. Simbolicamente, temos:
f : R −→ R
x 7−→ ax.
Exemplo 8.3. • f(x) = 2x • f(x) =
(
1
4
)x
• f(x) =
(
1
2
)x
• f(x) = 100x • f(x) =
(√
3
)x • f(x) = πx
8.6.1 Grá�co
Vamos esboçar dois grá�cos de funções exponenciais e, em seguinda, observar pelo seu
comportamento algumas propriedades.
Exemplo 8.4. Vamos esboçar o grá�co de f(x) = 3x.
x y
-3 1
27
-2 1
9
-1 1
3
0 1
1
2
√
3 ≈ 1, 71
1 3
2 9
3 27
Note que ∀x ∈ R, 3x > 0
e, deste modo, Im = R∗+.
Figura 46: Exemplo função exponencial
Exemplo 8.5. Vamos traçar o grá�co da função f(x) =
(
1
2
)x
.
x y
-3 8
-2 4
-1 2
0 1
1 1
2
2 1
4
3 1
8
Note que ∀x ∈ R,
(
1
2
)x
>
0 e, deste modo, Im =
R∗+.
Figura 47: Exemplo função exponencial 2
8.6.2 Propriedades
1. Na função exponencial f(x) = ax, temos:
x = 0⇒ f(x) = f(0) = a0 = 1,
ísto é, o par ordenado (0, 1) pertence ao graf(f) para todo a ∈ R (a > 0 e a 6= 1).
Em outras palavras, podemos a�rmar que o grá�co de toda função exponencial corta
o eixo y no ponto de ordenadas 1.
2. A função exponencial f(x) = ax é
crescente se a > 1 e o seu grá�co
está representado ao lado
Dados x1, x2 ∈ R, temos:
x1 < x2 ⇔ f(x1) < f(x2)
⇔ ax1 < ax2
Figura 48: Função exponencial crescente
3. A função exponencial f(x) = ax é
decrescente se 0 < a < 1 e o seu
grá�co está representado ao lado
Dados x1, x2 ∈ R, temos:
x1 < x2 ⇔ f(x1) > f(x2)
⇔ ax1 > ax2
Figura 49: Função exponencial decrescente
4. A função exponencial f(x) = ax, com 0 < a 6= 1, é injetora, pois veja que, dados
x1, x2 ∈ R tais que x1 6= x2 (por exemplo x1 < x2), segue:
Se a > 1, temos: f(x1) < f(x2)
Se 0 < a 6= 1, temos: f(x1) > f(x2) e, portanto, em ambos os casos, f(x1) 6= f(x2).
Em resumo, temos as seguintes observações com relação ao grá�co da função f(x) = ax.
1◦) A curva representativa está toda acima do eixo das abscissas, pois ax > 0,∀x ∈ R
2◦) Corta o eixo y no ponto de ordenada 1.
3◦) Se a > 1 a função é crescente e se 0 < a < 1 a função é decrescente.
4◦) Toma um dos aspectos abaixo.
Figura 50: Aspecto função exponencial
8.7 Equação exponencial
Uma equação exponencial é aquela que possui a incógnita no expoente de pelo menos
uma de suas potências. Veja alguns exemplos:
• 2x = 4; • 3x = 27; •
(
1
4
)x
= 16; •
(
1
9
)x
= 81.
Para resolução de equações exponenciais, podemos usar o seguinte método prático:
Que consiste em reduzir ambos os membros da equação à potência de mesma base "a"
(com 0 < a 6= 1) e, daí, aplicar a propriedade:
ax = ay ⇒ x = y,
sempre que for possível aplicar tal propriedade, encontramos facilmente a solução da equação
exponencial. Vejamos alguns exercícios resolvidos:
Exercício 8.1. Resolva as seguintes equações exponenciais em R:
a) 2x = 64
b) 2x =
1
32
c)
(
2
3
)x
=
27
8
d) 2x = 3
√
16
e) 2x
2−5x+6 = 1
Solução:
a) Fatorando 64, podemos escrever 64 = 26, logo:
2x = 64 ⇒ 2x = 26 ⇒ x = 6 ⇒ S = {6}.
b) Observe que: 2x =
1
32
= 32−1, assim, fatorando 32, podemos escrever 32 = 25, segue
daí que:
2x = 32−1 ⇒ 2x = (25)−1 ⇒ 2x = 2−5 ⇒ x = −5 ⇒ S = {−5}.
c) Aqui temos:(
2
3
)x
=
27
8
⇒
(
2
3
)x
=
33
23
⇒
(
2
3
)x
=
(
3
2
)3
⇒
(
2
3
)x
=
(
2
3
)−3
⇒ x = −3,
portanto, S = {−3}.
d) Fatorando 16, temos 16 = 24, assim, podemos escrever
2x =
3
√
16 ⇒ 2x = 3
√
24 ⇒ 2x = 2
4
3 ⇒ x = 4
3
⇒ S =
{
4
3
}
e) Observe que: 2x
2−5x+6 = 1 = 20, assim, para encontrarmos a incógnita x, basta re-
solvermos esta equação quadrática x2 − 5x + 6 = 0. Resolvendo por Bhaskára, ísto
é,
x =
−b±
√
b2 − 4ac
2a
,
como no caso em questão a = 1, b = −5 e c = 6, segue que:
x =
−(−5)±
√
(−5)2 − 4 · 1 · 6
2 · 1
⇒ x = 5±
√
1
2
⇒ x = 5± 1
2
,
portanto, temos como solução desta equação x = 3 ou x = 2, ou seja, S = {2, 3}.
9 FUNÇÃO LOGARÍTMICA
9.1 Introdução
Suponhamos que um notebook novo custe hoje R$ 1800, 00 e sofra uma depreciação de
20% ao ano de uso.
Depois de quanto tempo de uso do eletrônico será igual a R$ 900, 00?
Vejamos, a cada ano que passa o valor do notebook passa valer 80% do que valia no ano
anterior. Então, seu valor atualiza-se de seguinte forma:
• após 1 ano de uso:
80% de R$ 1800, 00, ou seja, R$ 1440, 00
• após 2 ano de uso:
80% de R$ 1440, 00, ou seja, R$ 1152, 00
• após 3 ano de uso:
80% de R$ 1152, 00, ou seja, R$ 921, 00 e assim por diante.
O valor do eletrônico em reais atualiza-se, ano a ano, de acordo com a sequência:
1800; (0.8) · 1800; (0.8)2 · 1800; (0.8)3 · 1800; · · · ; (0.8)x · 1800,
em que x indica o número de anos de uso.
Logo, para respondermos à pergunta feita, devemos resolver a equação (0.8)x·1800 = 900,
ou seja,
(0.8)x = 0.5,
que é uma equação exponencial.
No entanto, não é possível reduzir as potências a uma base comum. Fato é que, esse tipo
de situação ocorre de forma natural em diversos problemas do cotidiano e para resolver essa
e outras equações não redutíveis á uma mesma base iniciemos agora o estudo de logarítmos.
De�nição 9.1 (Logarítmo). Sendo a, b ∈ R, tais que a, b > 0, com a 6= 1, chama-se
logarítmo de b na base a o expoente x ao qual se deve elevar a base a de modo que a
potência ax seja igual a b.
Simbolicamente, temos:
loga b = x ⇔ ax = b.
Em loga b = x dizemos que:
• a é a base do logaritmo;
• b é o logaritmando;
• x é o logarítmo.
Vejamos alguns exemplos:
• log2 8 = 3, pois 23 = 8 • log3
1
9
= −2, pois 3−2 = 1
9
• log2 16 = 4, pois 24 = 16 • log7 7 = 1, pois 71 = 7
• log3 81 = 4, pois 34 = 81 • log5 1 = 0, pois 50 = 1.
Observação 9.1. As restrições para a (0 < a 6= 1) e para b (b > 0) indicadas na De�ni-
ção (9.1) garantem a existência e unicidade de x = loga b.
I Convenção natural
Convencionamos que, quando a base do logarítmo de b for omitida, estamos tratando
do logaritmo de b na base 10, í. é:
log b = log10 b,
e estes logarítmos serão chamados de logarítmos decimais.
Assim, por exemplo, log 100 = 2, pois 102 = 100.
9.2 Consequências da de�nição
Decorrem da de�nição (9.1) de logarítmo as seguintes propriedades para (a, b, c ∈ R, 0 <
a 6= 1, b, c > 0).
• O logarítmo de 1 em qualquer base a é igual a zero, ísto é:
loga 1 = 0, pois a
0 = 1.
• O logarítmo da base em qualquer base é igual a 1.
loga a = 1, pois a
1 = a.
• A potência de base a e expoente loga b é igual a b.
aloga b = b,
a justi�cativa desta propriedade está no fato de que por um lado
loga b = x ⇔ ax = b, (12)
por outro lado, por caracterização de potência, temos
loga b = x ⇔ aloga b = ax. (13)
Das Equações (12) e (13) segue que:
aloga b = ax = b.
• Dois logaritmos em base comuns são iguais se,e somente se, os logaritmandos são
iguais.
loga b = loga c ⇔ b = c.
A justi�cativa desta propriedade é bem direta, basta notar que:
loga b = loga c
de�nição de︷ ︸︸ ︷⇔︸︷︷︸
logaritmo
aloga c = b
terceira︷ ︸︸ ︷⇔︸︷︷︸
consequencia
c = b.
Exemplo 9.1. calcular o valor de 21+log2 4.
Solução: Note que
21+log2 4 = 21 · 2log2