Ensaios de Jearl Walker

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M AT E R I A L S U P L E M E N TA R PA R A A C O M PA N H A R
MATERIAL SUPLEMENTAR PARA ACOMPANHAR
FUNDAMENTOS DE FÍSICA
9a Edição
HALLIDAY & RESNICK
JEARL WALKER
Cleveland State University 
VOLUMES 1 a 4
Tradução e Revisão Técnica
Ronaldo Sérgio de Biasi, Ph.D.
Professor Titular do Instituto Militar de Engenharia – IME
Este Material Suplementar contém os Ensaios de Jearl Walker – Volumes 1 a 4 que podem ser usados 
como apoio para o livro Fundamentos de Física, Volumes 1 a 4, Nona Edição, 2012. Este material é de uso 
exclusivo de professores que adquiriram o livro.
Material Suplementar Ensaios de Jearl Walker – Volumes 1 a 4 traduzido dos materiais originais:
HALLIDAY & RESNICK: FUNDAMENTALS OF PHYSICS, VOLUME ONE, NINTH EDITION 
Copyright © 2011, 2008, 2005, 2003 John Wiley & Sons, Inc.
All Rights Reserved. This translation published under license.
HALLIDAY & RESNICK: FUNDAMENTALS OF PHYSICS, VOLUME TWO, NINTH EDITION 
Copyright © 2011, 2008, 2005, 2003 John Wiley & Sons, Inc.
All Rights Reserved. This translation published under license.
 
Obra publicada pela LTC:
FUNDAMENTOS DE FÍSICA, VOLUMES 1 A 4, NONA EDIÇÃO
Direitos exclusivos para a língua portuguesa
Copyright © 2012 by 
LTC __ Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda. 
Uma editora integrante do GEN | Grupo Editorial Nacional
Projeto de Capa: M77 Design
Imagem de Capa: ©Eric Heller/Photo Researchers, Inc.. Used with permission of John Wiley & Sons, Inc. 
Reproduzida com permissão da John Wiley & Sons, Inc.
Editoração Eletrônica do material suplementar:
SUMÁRIO 
Bola Alta 1
Dando Luzes a um Árbitro 2
Dimensão Fractal de uma Bola de Papel 3
Duas Camas de Pregos 4
Fervura e o Efeito Leidenfrost 6
Marcas de Derrapagem 14
Tráfego na Hora do Rush 15
Bola Alta
Jearl Walker
Em 20 de agosto de 1938, Frankie Pytlak e Hank Helf, dois 
receptores dos Cleveland Indians, se dispuseram a bater o re-
corde mundial de recepção de uma bola de beisebol lançada 
de grande altura. Enquanto esperavam na calçada ao lado da 
Terminal Tower, em Cleveland, Ken Keltner, o terceira base, 
se preparou para lançar as bolas do alto do edifício, 210 m 
acima do nível da rua. O recorde anterior de 170 m tinha sido 
estabelecido em 1908 por dois receptores de outra equipe, que 
pegaram bolas arremessadas do Monumento de Washington, 
em Washington, D.C.
Como Keltner não podia ver os companheiros na rua, ar-
remessou as bolas ao acaso. Pytlak e Helf estavam usando 
capacetes de aço para se proteger das bolas, que iriam chegar 
a uma velocidade da ordem de 225 km/h. Helf pegou a pri-
meira bola, garantindo, com um sorriso, que tinha sido mui-
to fácil. Entretanto, as primeiras cinco bolas lançadas para 
Pytlak erraram o alvo. Uma delas chegou ao 13o andar depois 
de quicar a primeira vez e foi pega por um policial depois de 
quicar três vezes. Na sexta tentativa, Pytlak conseguiu pegar 
a bola e dividiu o recorde com Helf.
No ano seguinte, Joe Sprinz, do San Francisco Baseball 
Club, tentou pegar uma bola de beisebol arremessada de um 
dirigível que estava a uma altura estimada de 240 m (de acor-
do com alguns relatos, a altura era muito maior no momento 
do lançamento). Na quinta tentativa, Sprinz conseguiu aparar 
a bola com a luva, mas o impacto levou mão, luva e bola em 
direção ao seu rosto, fraturando seu maxilar superior em 12 
lugares, quebrando cinco dentes, deixando-o desacordado... 
e fazendo-o soltar a bola.
Mais engraçada foi a tentativa, em 1916, de pegar uma 
bola de beisebol arremessada de um pequeno aeroplano. Wil-
bert Robinson, gerente dos Brooklyn Dodgers e ex-receptor, 
pediu ao treinador dos Dodgers, Frank Kelly, que lançasse a 
bola de um avião voando a 120 m de altura. Entretanto, sem 
que Robinson soubesse, Kelly trocou a bola por uma toranja 
vermelha. Quando o impacto com a luva fez a fruta se despe-
daçar, o conteúdo vermelho empapou Robinson, que gritou: 
“Minha nossa! Ela abriu um buraco na minha mão! Estou 
coberto de sangue!”
Referência
A velocidade da bola ao atingir Joe Sprinz foi calculada no 
Exemplo 2-10 dos Problemas Suplementares do volume 1, 
que acompanha a sexta edição de Fundamentos de Física.
2 MATERIAL SUPLEMENTAR
Dando Luzes a um Árbitro
Jearl Walker 
No conto “Um ligeiro caso de insolação”, de Arthur C. Clarke, 
uma partida de futebol foi disputada entre dois países rivais 
diante de um público de mais de 100.000 pessoas. Metade 
dos espectadores era militar, não precisou pagar ingresso e 
ainda recebeu grandes programas de capa prateada para co-
memorar o evento.
O jogo estava sendo aguardado com ansiedade. No ano 
anterior, o time da casa havia perdido o jogo porque o juiz 
tinha sido subornado pelo time visitante. Na verdade, o time 
da casa também oferecera dinheiro ao juiz, mas, aparente-
mente, menos que o necessário.
Como, de acordo com as regras, o time visitante tinha o 
direito de escolher o juiz e os bandeirinhas, o juiz seria o mes-
mo. A torcida estava curiosa para ver como ele se comportaria. 
No início do jogo, parecia estar apitando com imparcialida-
de, mas, depois que o time visitante marcou o primeiro gol, 
anulou o gol que seria de empate do time da casa e, logo em 
seguida, marcou um pênalti duvidoso para os visitantes, que 
foi convertido. Com o time perdendo de dois a zero, a torcida 
começou a temer pelo pior.
As esperanças voltaram quando o time da casa, jogando 
com muita raça, conseguiu marcar um gol tão limpo que nem 
o juiz mais corrupto do mundo teria coragem de anular. Pouco 
depois, a torcida comemorou de pé quando um dos atacantes 
do time da casa passou por vários adversários e colocou a bola 
no fundo das redes, empatando o jogo. No meio da gritaria, 
ouviu-se o apito do juiz. Ele anulou o gol com a alegação ab-
surda de que o atacante havia colocado a mão na bola. 
Parte da torcida ameaçou invadir o campo, revoltada, mas 
os militares permaneceram onde estavam. Depois que os joga-
dores dos dois times se retiraram, deixando o árbitro sozinho 
no centro do campo, alguém gritou um comando e, em perfeito 
sincronismo, todos levantaram seus programas no sol e apon-
taram as capas para o juiz. Houve um clarão e, no lugar onde 
estava o juiz, só restou um monte de cinzas fumegantes.
Em alguns países, o futebol é levado muito a sério.
Referência
Clarke, A.C., “A Slight Case of Sunstroke”, em Tales of Ten 
Words, Harcourt, Brace & World, Inc., 1963. (Edição bra-
sileira: Clarke, A.C., “Um Ligeiro Caso de Insolação”, em 
Histórias de Dez Mundos, Editora Nova Fronteira, 1978.)
MATERIAL SUPLEMENTAR 3
Dimensão Fractal de uma Bola de Papel
Um problema aplicado envolvendo regressão linear
Jearl Walker 
Uma folha plana de papel pode ser considerada bidimensional 
(ou seja, possui uma dimensão d  2,0) e um cubo maciço 
feito de papel é tridimensional (d  3,0). De acordo com a 
geometria fractal, quando usamos uma folha para fazer uma 
bola de papel, a superfície bidimensional da folha passa a 
ocupar três dimensões e dizemos que a folha possui uma di-
mensão fractal d que pode ter um valor entre 2,0 e 3,0. Um 
valor próximo de 2,0 significa que a folha tende a evitar a si 
própria na formação da bola; um valor próximo de 3,0 sig-
nifica o oposto.
A massa m do papel e o diâmetro D da bola estão relacio-
nados à dimensão d da bola através da equação
 m  kDd, (1)
na qual k é uma constante desconhecida. Medindo o valor 
de m para vários valores de D – o que pode ser feito usando 
o mesmo tipo de papel para fazer bolas de vários tamanhos 
–, podemos calcular o valor de d ajustando os resultados à 
Equação 1. Em vez disso, porém, é mais fácil transformar a 
Equação 1 em uma equação linear e determinar o valor de 
d por regressão linear, ou seja, encontrando a linha reta que 
melhor se ajusta aos dados.
Como a dimensão d aparece na forma de um expoente na 
Equação 1, podemos transformá-la em uma equação linear 
tomando o logaritmo natural de ambos os membros:
 ln m  ln kDd
  ln k  ln Dd
  ln k  d ln D. (2)
O resultadoestá na forma de uma equação linear y  a  bx, 
na qual a é a ordenada do ponto de intercessão com o eixo y e 
b é a inclinação. Na Equação 2, a variável y é ln m, a ordenada 
do ponto de intercessão com o eixo y é ln k, a inclinação (que 
é o valor procurado) é d e a variável x é ln D.
Podemos, portanto, calcular a dimensão fractal d fazendo 
uma regressão linear dos valores de ln m em função de ln D 
para obter a inclinação da reta. Para isso, podemos usar uma 
calculadora científica ou um programa de computador.
Para obter os dados, começamos com uma folha de pa-
pel relativamente grande, fazemos uma bola, medimos a 
massa m em uma balança e calculamos o diâmetro médio 
D tomando a média das larguras da bola seguindo duas di-
reções quaisquer. Depois de alisar a folha, cortamos a fo-
lha pela metade e repetimos o processo para cada pedaço. 
Alisamos novamente uma das folhas, cortamos a folha pela 
metade e repetimos o processo. Continuamos o processo até 
atingirmos o limite de nossa capacidade de medir a massa 
ou o diâmetro.
Quando executei o experimento usando um papel relati-
vamente grosso (com uma área original de aproximadamente 
0,80 m2), as massas m foram 112; 56,6; 55,5; 25,9; 30,0; 15,2; 
14,8; 7,57; 7,71; 3,85; 3,89; 2,05; 1,85 gramas. Os diâmetros 
D correspondentes foram 27,5; 20,0; 19,0; 14,5; 15,5; 10,0; 
9,0; 7,8; 6,5; 6,0; 4,8; 4,9; 4,8 cm.
Qual é a dimensão fractal d de minhas bolas de papel?
Sugestão: Em uma calculadora científica, prepare primeiro 
uma lista das massas e uma lista dos diâmetros. Em seguida, 
calcule o logaritmo natural das duas listas para obter duas 
novas listas. Use as duas listas e a rotina de regressão linear 
da calculadora para obter a inclinação da reta que melhor se 
ajusta aos dados experimentais. Os passos necessários para 
obter as duas listas e regressão linear são explicados, para 
vários modelos de calculadoras, em outro recurso disponí-
vel neste site. Atenção: Algumas calculadoras usam y  a  
bx como equação linear genérica e outras usam y  ax  b 
como equação genérica, o que faz diferença na hora de exe-
cutar uma regressão linear.
A resposta está mais próxima de 2,0 do que de 3,0. Inter-
prete o resultado em termos da tendência do meu papel de 
evitar ou não evitar a si próprio na hora de formar a bola.
Determine experimentalmente a dimensão fractal de outros 
materiais, como cartolina, plástico para embrulhar alimentos, 
folha de alumínio e tortilhas. (Determinar a dimensão fractal 
de uma tortilha em um restaurante mexicano pode ser uma 
forma de conseguir popularidade instantânea. Pensando me-
lhor, talvez não seja uma boa ideia.)
Referência
Baseado em “Fractal Geometry in Crumpled Paper Balls”, de 
M.A.F. Gomes, American Journal of Physics, 55, 649-650 
(1987), e “A Simple Experiment that Demonstrates Fractal 
Behavior”, de R.H. Ko e C.P. Bean, The Physics Teacher, 
29, 78-79 (Feb. 1991).
4 MATERIAL SUPLEMENTAR
Duas Camas de Pregos
Jearl Walker 
Um dos meus passatempos preferidos é ser imprensado, sem 
camisa, entre duas camas de pregos, e convidar uma ou duas 
pessoas para subir na cama de cima. Quando estou realmen-
te deprimido, peço para colocarem um bloco de concreto na 
cama de cima, que meu assistente quebra com uma marreta. 
(Essa demonstração confirma minha observação de que não 
há um modo melhor de atrair a atenção dos estudantes que 
apresentar uma demonstração na qual o professor aparente-
mente corre risco de vida.) Devo confessar que, enquanto a 
primeira demonstração é apenas exótica, a segunda pode ser 
realmente perigosa. Mais de uma vez fui atingido por frag-
mentos de bloco de concreto, mas, felizmente, meus dentes 
e meus olhos foram poupados.
O Começo
Comecei a dar essas demonstrações em 1974, depois de as-
sistir à segunda em um espetáculo de caratê. Na verdade, fui 
o primeiro a fazer isso em uma sala de aula. Também usei as 
demonstrações nas palestras do Circo Voador da Física (que 
apresentei em muitas cidades dos Estados Unidos e do Canadá 
nas décadas de 1970 e 1980) e na série de televisão da PBS 
“O Carnaval Cinético”. Em consequência, foram vistas por 
muitos professores e, hoje em dia, demonstrações semelhan-
tes são apresentadas em muitas escolas dos Estados Unidos 
e de outros países.
Para dizer a verdade, a primeira vez que apresentei a de-
monstração em sala de aula, as coisas não correram como 
eu havia previsto. Pedi a um aluno para usar a marreta, mas, 
imprudentemente, eu havia escolhido um pequeno tijolo, em 
vez de um bloco de concreto, para ser colocado sobre a cama 
de cima. O golpe foi tão forte que levei alguns minutos para 
me recuperar. Os estudantes ficaram assustados, mas meu 
primeiro pensamento foi que aquilo era uma forma absurda 
de passar desta para melhor.
Quando uma ou duas pessoas sobem na cama de cima, o 
peso é distribuído por um número tão grande de pregos que 
a força aplicada por um dos pregos não é suficiente para per-
furar minha pele. A força exercida pelos pregos da cama de 
baixo é maior, já que ela precisa também sustentar o meu 
peso. Depois de fazer alguns experimentos, determinei com 
boa precisão o peso máximo das pessoas que podem subir na 
cama de cima sem que eu fique ferido. (Não pense que é tudo 
um mar de rosas; na verdade, sinto muita dor quando estou 
fazendo a demonstração.)
O grande bloco de concreto que é feito em pedaços na se-
gunda demonstração não só acrescenta um toque teatral, mas 
também aumenta a segurança de três formas sutis (das quais 
não me dei conta quando usei inicialmente um pequeno tijo-
lo). (1) Para que eu sofra um grande impacto, é preciso que 
o bloco sofra uma grande aceleração; quanto maior o bloco, 
maior a massa e, portanto, menor a aceleração. (2) Boa parte 
da energia do golpe de marreta é usada para quebrar o bloco 
e não para movimentar a cama de cima. (3) O fato de que o 
bloco se quebra significa que o tempo de colisão é mais longo 
do que se o bloco não estivesse presente, e, portanto, a força 
da colisão é menor.
A Alfândega Americana
Quando estava voltando de uma palestra do Circo Voador da 
Física no Canadá, eu e minha mulher tivemos de passar na 
alfândega com um caixote que continha as camas de pregos. 
O funcionário da alfândega perguntou:
− O que está levando nesse caixote?
− Duas camas de pregos − respondi.
Ele olhou para mim, olhou para minha mulher e piscou 
o olho.
Eu e minha mulher enrubescemos.
Tétano
Uma vez, apresentei minha palestra do Circo Voador da Fí-
sica na Oxford University, na Inglaterra, para um grupo de 
especialistas em educação de várias nacionalidades. Infeliz-
mente, poucos dos presentes falavam inglês e muito menos 
estavam em condições de compreender meu humor texano. 
Assim, no decorrer da palestra, ao perceber que ninguém ria 
das minhas piadas, fui ficando cada vez mais nervoso e me-
nos cauteloso. Quando cheguei à demonstração das camas de 
pregos, no final da palestra, descobri que teria de executar o 
número em cima de um banco para que todos pudessem ver 
o que estava acontecendo. Meu assistente colocou o bloco 
de concreto sobre o sanduíche de camas de pregos (eu era o 
recheio do sanduíche) e se preparou para usar a marreta.
Como eu sabia que, com aquele arranjo incomum, o assis-
tente teria dificuldade para quebrar o bloco sem que a cama 
de cima deslizasse, tentei ajudá-lo segurando a cama com 
uma das mãos. Quando ele desferiu o golpe, um dos pregos 
produziu um corte na minha mão. Não notei que estava ferido 
até me levantar para encerrar a palestra, mas nesse momento 
o sangramento se tornou evidente tanto para mim como para 
a plateia. Os espectadores ficaram impressionados com a de-
monstração e principalmente com o sangue... não era preciso 
saber inglês para perceber que eu havia me machucado.
MATERIAL SUPLEMENTAR 5
Depois de guardar o equipamento, encontrei-me com o 
organizador da palestra em um pub local para beber umas 
cervejas, sentindo-me aliviado com o fato de pelo menos mi-
nha demonstração final ter despertado uma reaçãopor parte 
da plateia. Foi então que o homem me revelou que estava 
havendo muitos casos de tétano naquela parte da Inglaterra. 
Eu não tinha me incomodado com a dor do ferimento, mas a 
ideia de contrair tétano me deixou preocupado. (A bactéria 
do tétano entra no corpo através de um ferimento causado, 
por exemplo, por um prego enferrujado. Se a pessoa não foi 
vacinada e não recebe imediatamente soro antitetânico, morre 
em poucos dias, com todos os músculos do corpo contraídos, 
o que a impede de respirar.)
Quando saí do pub, fui a um posto de saúde para receber 
uma injeção de soro antitetânico. Antes, porém, foi necessá-
ri explicar à enfermeira como havia me ferido. Enquanto me 
dava a injeção, a moça ria tanto que teve dificuldade para 
manter a agulha na posição correta. Eu havia atravessado o 
Oceano Atlântico para me exibir diante de uma plateia sele-
ta e acabei baixando as calças na frente de uma enfermeira 
às gargalhadas.
Não Olhe Agora
Também passei por uma situação constrangedora no dia em 
que apresentei a demonstração das camas de pregos em uma 
escola feminina do ensino médio. Como, em minha opinião, 
a parte da marreta seria violenta demais para as meninas, eu 
planejava fazer apenas a parte em que uma pessoa subia na 
cama de cima. Combinei com a mulher que me havia convi-
dado que ela seria a pessoa a subir na cama. O que não me 
ocorreu durante a conversa ao telefone foi discutir o tipo de 
traje que ela estaria usando. Só me dei conta da omissão quan-
do estava deitado entre as duas camas e a mulher começou a 
subir na cama de cima. Ela estava usando uma saia curta e, 
enquanto se posicionava alguns palmos acima da minha cabe-
ça, começou a explicar à plateia o que estava para acontecer. 
Fiz o que pude para manter a cabeça voltada para a audiência 
em vez de olhar para cima; as meninas começaram a rir; a 
mulher até hoje não sabe de que elas estavam rindo; e passei 
uma semana com torcicolo.
Má Sorte
Eu costumava fazer a demonstração da cama de pregos não 
só em escolas e nas excursões do Circo Voador da Física, 
mas também em uma série de palestras para os vendedores 
da IBM. Começava essas palestras fazendo o papel do típico 
professor de física (falando de coisas esotéricas, deixando a 
plateia entediada), assumia gradualmente um tom coloquial 
e terminava com a demonstração das camas de pregos.
Minha mensagem era que, no dia a dia, meu trabalho resu-
mia-se a vender um produto (a física) a um público (os estu-
dantes) que inicialmente não o desejava, assim como o pessoal 
de vendas tentava vender um produto da IBM a consumido-
res desinteressados. Parte da minha estratégia consistia em 
simular uma queda do palco no meio da palestra. O suposto 
acidente deixava a plateia atônita, já que as palestras da IBM 
normalmente eram planejadas nos mínimos detalhes. Quan-
do os espectadores se davam conta de que tudo não passava 
de uma brincadeira, relaxavam de vez e o resto da palestra 
transcorria em um clima ameno.
Antes das palestras, eu me reunia com o executivo da IBM 
responsável pelo evento, porque era ele que subia na cama de 
cima durante a demonstração. Os executivos ficavam apreen-
sivos e eu dizia: “Não se preocupe, já fiz muitas vezes essa de-
monstração. Claro que vou sentir uma dorzinha quando você 
subir na cama e os pregos fizerem pressão na minha pele, mas 
estou acostumado. Tudo vai dar certo, você vai ver.”
Em uma das palestras, o executivo se mostrou ainda mais 
preocupado do que de costume, já que pesava cento e poucos 
quilos, mas repeti minhas palavras tranquilizadoras.
Infelizmente, quando chegou a hora do tombo proposital, 
caí de mau jeito e fraturei uma costela. Na hora, não sabia 
que estava com uma costela quebrada; sentia apenas uma dor 
forte no peito. Continuei a palestra da melhor forma possível, 
embora estivesse respirando com dificuldade.
Chegou então a hora da demonstração das camas de pregos 
com o executivo peso-pesado. Quando ele subiu na cama de 
cima, eu vi estrelas; não sei como consegui levar a palestra 
até o final.
No mesmo dia, voltei para Cleveland e fui direto ao con-
sultório da minha médica. Ela me informou que eu havia 
fraturado uma costela e devia ficar de repouso por um mês. 
Comecei a rir (mas parei, porque a dor era insuportável) e 
disse: “Você deve estar brincando. Tenho outra palestra na 
IBM programada para a semana que vem.” E prossegui com 
o ciclo de palestras como se nada tivesse acontecido. Feliz-
mente, nenhum dos executivos das palestras seguintes pesava 
mais que uns oitenta quilos.
O Sangue Dá o Toque Final
Uma vez, quando apresentei a palestra do Circo Voador da 
Física na Western Illinois University, meu assistente não pôde 
viajar comigo; por isso, pedi ao meu anfitrião para usar a mar-
reta no número final. Disse a ele para golpear o bloco com 
vontade, caso contrário a plateia ficaria desapontada.
Eu queria um final bombástico e foi isso que ele me pro-
porcionou. O homem bateu no bloco de concreto com tanta 
força que ele se despedaçou e alguns fragmentos foram ar-
remessados na minha direção. Protegi os dentes e os olhos 
com a mão, mas um dos cacos fez um corte profundo no 
meu queixo.
Quando saí do espaço entre as camas e me dirigi nova-
mente à plateia, o sangue escorria do meu queixo, sujando a 
calça e os sapatos. Meu anfitrião ficou pálido de preocupa-
ção, mas o público irrompeu em aplausos. Aquele foi o me-
lhor final das minhas apresentações do Circo Voador. Toda 
vez que dou uma palestra, sinto uma estranha vontade de me 
cortar novamente.
6 MATERIAL SUPLEMENTAR
Fervura e o Efeito Leidenfrost
Jearl Walker
Como ferve a água? Por mais comum que seja esse fenômeno, 
talvez você não tenha notado todos os seus aspectos curiosos. 
Alguns desses aspectos são importantes para aplicações indus-
triais, enquanto outros servem de base para certos números 
perigosos apresentados em espetáculos de circo.
Esquente uma panela com água da torneira em um fogão 
a gás. Quando a água começa a esquentar, moléculas de ar 
que estavam dissolvidas na água formam pequenas bolhas 
em irregularidades no fundo da panela (Fig. 1a). As bolhas 
aumentam gradualmente de tamanho e começam a se des-
prender do fundo da panela e subir à superfície (Figs. 1 b-f), 
sendo substituídas por outras bolhas, até que todo o ar que 
estava em solução na água seja consumido. A formação de 
bolhas de ar é sinal de que a água está sendo aquecida, mas 
não tem nada a ver com a fervura.
 
Fig. 1 (a) Uma bolha se forma em uma irregularidade no fundo de 
uma panela com água. (b-f) A bolha cresce, se desprende e sobe 
até a superfície.
A água que está exposta diretamente à atmosfera ferve a 
uma temperatura TS, conhecida como temperatura normal 
de ebulição, que depende da pressão atmosférica. Quando a 
pressão do ar é 1 atm, TS é aproximadamente 100 oC. Como 
a água no fundo da panela não está diretamente exposta à 
atmosfera, permanece no estado líquido, mesmo quando é 
superaquecida, ou seja, quando atinge uma temperatura um 
pouco maior que TS. Durante o processo, a água é constante-
mente misturada por convecção, que faz a água quente subir 
e a água fria descer.
Se a temperatura da panela continua a aumentar, a água 
do fundo da panela também começa a passar para o estado 
gasoso, com as moléculas de água formando pequenas bo-
lhas de vapor nas mesmas irregularidades onde bolhas de 
ar, como a mostrada na Fig. 1a, se formaram. Essa fase da 
fervura é acompanhada por estalidos, chiados e zumbidos. 
É quase como se a água estivesse se lamentando por virar 
vapor. Toda vez que uma bolha de vapor atinge uma altura 
onde a temperatura é um pouco menor, a bolha sofre uma 
implosão, pois o vapor volta a se condensar. Essa implosão 
produz uma onda sonora, que constitui o zumbido. Quando a 
temperatura da água como um todo aumenta mais um pouco, 
as bolhas começam a chegar intactas à superfície. Essa fase 
da fervura, conhecida como “bolhas isoladas de vapor” está 
ilustrada na Fig. 2.
Fig. 2 Curva de ebulição daágua. Quando a temperatura do fundo 
da panela é aumentada acima do ponto normal de fervura, a taxa 
com a qual o calor é transferido do fundo da panela para a água 
aumenta a princípio. Acima de uma temperatura, porém, a taxa de 
transferência cai bruscamente para quase zero. Em temperaturas 
ainda maiores, a taxa volta a aumentar.
Conforme a temperatura da panela continua a aumentar, 
o barulho da implosão das bolhas primeiro fica mais alto e 
depois desaparece. O ruído começa a diminuir quando a tem-
peratura da água como um todo se torna tão alta que a maioria 
das bolhas chega intacta à superfície. A água está agora em 
plena ebulição.
Se a fonte de calor é uma boca de fogão, a história para por 
aqui. Entretanto, com um bico de Bunsen você pode continu-
ar a aumentar a temperatura da panela. Nesse caso, as bolhas 
de vapor se tornam tão abundantes e se desprendem do fun-
Bolha inicial
Formação de
um pescoço
A bolha 
sobe
Ebulição
nucleada
Ebulição
de transição Ebulição
em filme
Colunas
e balas
Bolhas
isoladas
de vapor
Início da
fervura
Ta
xa
 d
e 
tr
an
sf
er
ên
ci
a 
de
 c
al
or
Temperatura acima de TS (°C)
MATERIAL SUPLEMENTAR 7
do da panela com tanta frequência que começam a se fundir, 
formando colunas de vapor que sobem de forma violenta e 
caótica, às vezes se chocando com “balas” de vapor que se 
formaram previamente.
A produção de bolhas e colunas de vapor é chamada de 
ebulição nucleada porque a formação e o crescimento das 
bolhas dependem de irregularidades no fundo da panela, que 
no caso se comportam como centros de nucleação (locais 
de formação). Cada vez que você aumenta a temperatura da 
panela, a taxa com a qual o calor é transferido para a panela 
aumenta. Se você continua a aumentar a temperatura além 
do estágio das colunas e das balas, a ebulição entra em uma 
nova fase, conhecida como regime de transição. Nessa fase, 
novos aumentos da temperatura fazem diminuir a taxa com a 
qual o calor é transferido para a panela. Existe uma explica-
ção para isso. No regime de transição, boa parte do fundo da 
panela está coberta por uma camada de vapor. Como o vapor 
d’água conduz calor em uma ordem de grandeza mais deva-
gar que a da água no estado líquido, a taxa de transferência 
de calor para a água diminui. Quanto maior a temperatura da 
panela, menor o contato direto da água com a panela e mais 
lenta a transferência de calor. Esse fenômeno pode prejudi-
car o funcionamento de um trocador de calor, cujo objetivo 
é transferir energia de um objeto para o ambiente. Se a água 
de um trocador de calor entra no regime de transição, a taxa de 
transferência de energia diminui e o objeto pode sofrer algum 
tipo de dano por causa do aquecimento excessivo.
Se a temperatura da panela continua a aumentar, toda a 
superfície da panela acaba ficando coberta de vapor. Nesse 
caso, a energia passa a ser transferida para o líquido apenas 
por radiação e condução através do vapor. Essa nova fase é 
conhecida como regime de ebulição em filme.
 Embora não seja possível produzir a ebulição em filme 
em uma panela com água colocada na boca de um fogão, 
isso é relativamente comum na cozinha. Minha avó uma vez 
me mostrou o que fazer para verificar se a frigideira estava 
suficientemente aquecida para fazer panquecas. Depois de 
esquentar a frigideira por algum tempo, ela aspergiu algu-
mas gotas d’água na frigideira. As gotas evaporaram quase 
imediatamente, o que, segundo minha avó, queria dizer que 
a frigideira ainda não estava quente o bastante. Depois de 
continuar o aquecimento por mais algum tempo, minha avó 
repetiu o teste e, dessa vez, as gotas se mantiveram suspensas 
por quase um minuto antes de desaparecer. Isso era sinal de 
que estava na hora de assar as panquecas.
Para reproduzir o teste da minha avó, aqueci uma placa 
de metal com um bico de Bunsen. Enquanto media a tempe-
ratura da placa com um termopar, deixei cair gotas de água 
destilada de uma seringa de injeção mantida a uma pequena 
distância da placa. As gotas caíam em uma depressão que eu 
havia feito na placa com uma verruma. Com a seringa, era 
possível produzir gotas de tamanho uniforme. Depois de dei-
xar cair uma gota, eu media o tempo que a gota levava para 
evaporar. Mais tarde, fiz um gráfico desse tempo em função 
da temperatura da placa (Fig. 3). O gráfico apresenta um pico 
interessante. Quando a temperatura da placa estava entre 100 
e 200oC, as gotas formavam uma camada fina na superfície da 
placa e evaporavam rapidamente. Em temperaturas um pouco 
maiores que 200oC, as gotas mantinham a forma arredonda-
da e levavam mais de um minuto para evaporar. Em tempe-
raturas ainda maiores, as gotas evaporavam mais depressa. 
Experimentos semelhantes com água da torneira produziram 
gráficos com picos mais largos, provavelmente porque par-
tículas suspensas de impurezas interrompiam a camada de 
vapor, conduzindo calor para as gotas.
Fig. 3 Tempo de vida de gotas d’água em uma placa quente em fun-
ção da temperatura. Curiosamente, em um certo intervalo de tempe-
raturas, o tempo de vida aumenta quando a temperatura aumenta.
O fato de que uma gota d’água leva muito tempo para eva-
porar quando é depositada em uma placa de metal muito mais 
quente do que a temperatura de ebulição da água foi men-
cionado pela primeira vez por Hermann Boerhaave em 1732, 
mas a primeira investigação sistemática do fenômeno de que 
se tem notícia foi realizada em 1756, quando Johann Gottlob 
Leidenfrost publicou “Um Tratado Sobre Algumas Qualida-
des da Água Comum”. Como a obra de Leidenfrost não foi 
traduzida do latim até 1965, não teve muita divulgação. Mes-
mo assim, seu nome foi associado ao fenômeno. Além disso, 
a temperatura correspondente ao pico de um gráfico como da 
Fig. 3 é conhecida como ponto de Leidenfrost.
Leidenfrost executou seus experimentos com uma colher 
de ferro aquecida ao rubro em uma lareira. Depois de colo-
car uma gota d’água na colher, ele media o tempo que a gota 
levava para evaporar, com a ajuda de um pêndulo. Leiden-
frost observou que a gota parecia absorver a luz e o calor da 
colher, deixando um ponto escuro em seu lugar. A primeira 
gota que depositou na colher durou 30 s, enquanto a gota se-
guinte durou apenas 10 s. As gotas seguintes duraram apenas 
alguns segundos.
Leidenfrost interpretou erradamente suas observações por-
que não percebeu que as gotas que sobreviviam por mais 
tempo estavam evaporando parcialmente. Vou explicar o que 
acontece em termos de meus experimentos. Quando a tem-
peratura da placa está muito abaixo do ponto de Leidenfrost, 
Ponto de Leidenfrost
Te
m
po
 d
e 
vi
da
 d
as
 g
ot
as
(s
)
Temperatura da placa (°C)
8 MATERIAL SUPLEMENTAR
a água se espalha pela placa e recebe energia da placa a uma 
taxa elevada, evaporando totalmente em questão de segun-
dos. Quando a temperatura está nas vizinhanças do ponto de 
Leidenfrost, a parte de baixo da gota evapora quase instanta-
neamente. A pressão do vapor assim produzido impede que 
o resto da gota entre em contato com a placa (Fig. 4). Assim, 
o vapor protege e sustenta a gota durante mais de um minuto. 
A camada de vapor é constantemente reposta pelo vapor que 
se forma quando a parte de baixo da gota continua a evapo-
rar por causa da energia fornecida pela placa por radiação e 
por condução através da camada de vapor. Embora a camada 
tenha menos de 0,1 mm de espessura na periferia da gota e 
apenas cerca de 0,2 mm no centro, retarda a evaporação de 
forma extraordinária.
Fig. 4 Vista de perfil de uma gota flutuante.
Depois de ler a tradução da pesquisa de Leidenfrost, en-
contrei por acaso a descrição de um número curioso, realizado 
em alguns circos por volta de 1900, que envolvia enfiar os 
dedos da mão em um recipiente com chumbo fundido. Su-
pondo que não se tratasse de um truque, cheguei à conclusão 
de que o número deveria se basear no efeito Leidenfrost. No 
momento em que os dedos úmidos do artista tocassem o metal 
líquido, parte da água se transformaria em vapor,protegendo 
os dedos e evitando que se aquecessem muito.
Não pude resistir à tentação de testar minha teoria. Usei 
um bico de Bunsen para fundir uma quantidade considerá-
vel de chumbo em um cadinho. Aqueci o chumbo até uma 
temperatura da ordem de 400oC, muito acima da temperatura 
de fusão do metal, que é 328oC. Depois de molhar um dedo 
em água da torneira, preparei-me para tocar na superfície do 
chumbo fundido. Confesso que tinha um assistente a postos 
com material de primeiros socorros. Confesso também que 
minhas primeiras tentativas falharam porque meu cérebro se 
recusou a permitir a execução de um experimento tão ridícu-
lo, fazendo-me recolher o dedo na última hora.
Quando finalmente consegui superar o medo e toquei no 
chumbo, tive uma grande surpresa. Não houve nenhuma sen-
sação de calor. Como eu havia previsto, parte da água que 
cobria meu dedo se transformou em vapor, formando uma 
camada protetora. Como o contato foi breve, a radiação e a 
condução de calor através do vapor não foram suficientes para 
fazer a temperatura do meu dedo aumentar de forma signi-
ficativa. Minha ousadia aumentou. Depois de molhar bem a 
mão, mergulhei todos os dedos no chumbo, chegando a to-
car no fundo do recipiente (Fig. 5). O contato com o chumbo 
continuou a ser totalmente inócuo. Aparentemente, o efeito 
Leidenfrost, ou, mais exatamente, a ocorrência quase instan-
tânea de uma ebulição em filme, protegia meus dedos.
Fig. 5 Walker demonstrando o efeito Leidenfrost com chumbo fun-
dido. Ele acabou de mergulhar os dedos no chumbo, tocando o fun-
do do cadinho. A temperatura do chumbo está indicada em graus 
Fahrenheit no termômetro industrial.
Eu ainda não estava totalmente convencido de que havia 
encontrado a explicação correta. Seria possível tocar o chum-
bo com um dedo seco sem sofrer queimaduras? Deixando de 
lado toda a cautela, fiz a experiência, percebendo imediata-
mente a bobagem que fizera quando senti uma dor aguda. 
Mais tarde, experimentei com uma salsicha seca, mantendo-a 
imersa no chumbo fundido por alguns segundos. A pele da 
salsicha logo ficou preta, pois, como o meu dedo, não contava 
com a proteção da camada de vapor.
Devo prevenir o leitor de que mergulhar os dedos em 
chumbo fundido é extremamente perigoso. Se o chumbo es-
tiver apenas ligeiramente acima do ponto de fusão, a per-
da de energia com a vaporização da água pode solidificar o 
chumbo em torno dos dedos. Essa luva de chumbo sólido a 
uma temperatura de mais de 200 oC ficaria em contato com 
os dedos por tempo suficiente para evaporar toda a água e 
causar sérias queimaduras. É preciso também levar em conta 
a possibilidade de respingos. Se houver água demais nos de-
dos, a evaporação rápida pode causar uma pequena erupção 
de chumbo fundido, capaz até mesmo de atingir os olhos. Já 
sofri algumas queimaduras nos braços e no rosto produzidas 
por essas vaporizações explosivas. Em suma: não tente re-
petir esse experimento!
A ebulição em filme também pode acontecer quando nitro-
gênio líquido é derramado no chão. O líquido está a uma tem-
Gota flutuante
Camada de vapor
MATERIAL SUPLEMENTAR 9
peratura de cerca de 200oC abaixo de zero. Quando as gotas 
se aproximam do piso, a parte inferior de cada gota se trans-
forma em vapor, sustentando o resto do líquido e permitindo 
que sobreviva por um tempo surpreendentemente longo.
Ouvi falar de um espetáculo no qual um artista despeja-
va nitrogênio líquido diretamente na boca sem se queimar; 
o líquido sofria uma ebulição em filme ao entrar na boca e 
por isso não chegava a entrar em contato com a língua. To-
lamente, resolvi imitá-lo. Fiz isso muitas vezes sem nenhum 
problema. Depois de inspirar fundo, despejava na boca uma 
quantidade considerável de nitrogênio líquido e soprava o ar. 
O vapor presente no ar exalado se condensava, produzindo 
uma linda nuvem que se estendia até um metro de distância 
da minha boca. Entretanto, uma vez, o líquido produziu uma 
contração tão brusca dos meus dentes incisivos que eles so-
freram dezenas de fissuras. Meu dentista me fez prometer que 
aquela tinha sido minha última demonstração. 
O efeito Leidenfrost pode ser responsável por outro tipo 
de feito, o de “andar sobre brasas”. De vez em quando, a mí-
dia relata, com muito alarde, casos de indivíduos que andam 
descalços sobre carvões em brasa, às vezes afirmando que 
o fato de não se queimarem é uma prova de que “a mente 
é mais forte que a matéria”. Na verdade, o que os protege é 
um fenômeno físico. Particularmente importante é o fato de 
que, embora a superfície dos pedaços de carvão esteja a uma 
temperatura muito elevada, a quantidade de energia envol-
vida é surpreendentemente pequena. Se a pessoa caminha 
com um passo relativamente apressado, a duração da cada 
pisada é tão curta que o pé recebe pouca energia dos pedaços 
de carvão. Naturalmente, andar devagar pode ser um convi-
te para uma queimadura, pois o contato mais longo permite 
que o calor proveniente do interior do carvão tenha tempo 
de chegar ao pé.
Se os pés estão molhados no início da caminhada, isso 
pode ajudar, graças ao efeito Leidenfrost. Para molhar os 
pés, a pessoa pode pisar em grama úmida antes de chegar às 
brasas. Outra possibilidade é que os pés estejam suados por 
causa do calor das brasas, ou mesmo graças à emoção do 
momento. Quando a pessoa começa a pisar nas brasas, parte 
do calor das brasas é usada para vaporizar o líquido, o que 
deixa pouca energia para queimar os pés. Além disso, pode 
haver pontos de contato onde a ebulição em filme protege a 
sola do pé.
Andei sobre brasas em cinco ocasiões. Nas quatro primei-
ras, eu sentia tanto medo que meus pés estavam molhados de 
suor. Na quinta vez, porém, já me sentia tão seguro que meus 
pés estavam secos e sofri queimaduras extensas e extrema-
mente dolorosas. Meus pés levaram semanas para sarar.
Meu fracasso pode ter sido causado pela falta de uma ca-
mada de vapor entre meus pés e as brasas, mas eu também 
havia omitido um fator adicional de segurança. Nas caminha-
das anteriores, eu tinha levado junto ao peito um exemplar de 
Fundamentos de Física para reforçar minha fé na física. No 
dia em que me queimei, tinha esquecido o livro em casa.
Faz alguns anos que defendo a ideia de que os cursos de 
física deviam usar “caminhar sobre brasas” como exame fi-
nal. O coordenador do programa ficaria esperando do outro 
lado de um leito de carvões em brasa a ser atravessado pelo 
candidato. Se a fé do candidato na física fosse suficiente para 
que seus pés não sofressem queimaduras, o coordenador en-
tregaria ao aluno seu diploma. Esse tipo de teste seria mais 
revelador que os exames tradicionais.
Referências
Leidenfrost, Johann Gottlob, ‘‘On the Fixation of Water in 
Diverse Fire’’, International Journal of Heat and Mass Trans-
fer, Vol. 9, 1153-1166 (1966).
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Phenomenon: Film Boiling of Liquid Droplets on a Flat Pla-
te’’, International Journal of Heat and Mass Transfer, Vol. 
9, 1167-1187 (1966).
Hall, R. S., S. J. Board, A. J. Clare, R. B. Duffey, T. S. Playle, 
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Walker, Jearl, ‘‘The Amateur Scientist’’, Scientific American, 
Vol. 237, 126-131, 140 (August 1977).
Curzon, F. L., ‘‘The Leidenfrost Phenomenon’’, American 
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Bent, Henry A., ‘‘Droplet on a Hot Metal Spoon’’, American 
Journal of Physics, Vol. 54, 967 (1986).
Leikind, B. J., and W. J. McCarthy, ‘‘Firewalking’’, Expe-
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Thimbleby, Harold, ‘‘The Leidenfrost Phenomenon’’, Phy-
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Taylor, John R., ‘‘Firewalking: A Lesson in Physics’’, The 
Physics Teacher, Vol. 27, 166-168 (March 1989).
Zhang, S., and G. Gogos, ‘‘Film Evaporation of a Spherical 
Dropletover a Hot Surface: Fluid Mechanics and Heat/Mass 
Transfer Analysis’’, Journal of Fluid Mechanics, Vol. 222, 
543-563 (1991).
Agrawal, D. C., and V. J. Menon, ‘‘Boiling and the Leiden-
frost Effect in a Gravity-free Zone: A Speculation’’, Physics 
Education, Vol. 29, 39-42 (1994).
10 MATERIAL SUPLEMENTAR
Fasores
Apoio ao Capítulo 16, Volume 2, de Fundamentos de 
Física, Nona Edição
Jearl Walker
Vamos discutir o uso de fasores, definidos na Seção 16-11, 
com mais detalhes e novos exemplos, primeiro com uma onda 
e depois com duas ondas. Em seguida, vamos propor alguns 
problemas (cujas respostas aparecem no final).
Uma onda
Suponha que uma onda dada pela função
 y(x,t)  (2,00 mm) sen(300x − 700t) (1)
esteja se propagando em uma corda. Essa função nos diz que a 
onda se propaga no sentido positivo do eixo x (que é a direção 
da corda), com a corda oscilando paralelamente ao eixo y (que 
é uma direção perpendicular à corda). Na função, a posição x 
está em metros e o tempo t está em segundos.
Vamos calcular o deslocamento da corda em x  0, que 
é uma posição na qual a Equação 1 fica mais simples, por-
que o termo 300x se anula. Nesse ponto, o deslocamento da 
corda é dado por
 y(0, t)  (2,00 mm) sen(−700t). (2)
No instante t  0, o deslocamento é
 y(0, 0)  (2,00 mm) sen[−700(0)]  0
No instante t  2,25 ms, o deslocamento é
 y(0, 2,25 ms)  (2,00 mm) sen[−700(2,25 × 10−3)]
  −2,00 mm.
(Para refazer as contas na sua calculadora, não se esqueça de 
colocar a calculadora no modo de radianos.) No instante t  
4,50 ms, o deslocamento é
 y(0, 4,50 ms)  (2,00 mm) sen[−700(4,50 × 10−3)]
  1,7 × 10−2 mm  0.
Dessa forma, podemos montar uma tabela do deslocamento 
em nosso ponto de observação em função do tempo:
Tempo (ms) Deslocamento (mm)
0 0
2,25 −2,00
4,50 0
6,75 +2,00
9,00 0
Uma forma de representar a oscilação da corda no ponto 
de observação é usar um diagrama fasorial. Em um diagrama 
desse tipo, um fasor é um vetor que gira em torno da origem 
de um sistema formado por dois eixos mutuamente perpen-
diculares, com a cauda na origem (Fig. 1).
 
 
Os eixos não são os eixos x e y de um sistema de coorde-
nadas convencional; vamos chamá-los simplesmente de eixo 
horizontal e eixo vertical. O comprimento do vetor representa 
a amplitude da onda (2,00 mm nas Equações 1 e 2). A veloci-
dade angular do vetor é a frequência angular  da onda (700 
rad/s no caso que estamos discutindo). O sentido de rotação 
é sentido horário.
Enquanto o fasor (o vetor) gira em torno da origem do 
diagrama fasorial, sua projeção no eixo vertical, em qualquer 
instante, corresponde ao deslocamento da onda nesse instante 
em nosso ponto de observação. (A expressão “projeção no 
eixo vertical” significa a componente do vetor em relação ao 
eixo vertical, como mostra a Fig. 2.)
Já vimos que, no ponto x  0, o deslocamento da onda da 
Equação 1 é 0 no instante t  0, −2,00 mm no instante t  
2,25 ms e 0, novamente, no instante t  4,50 ms. Podemos 
representar esses resultados através dos fasores da Fig. 3. 
Fig. 1
Fig. 2
MATERIAL SUPLEMENTAR 11
No instante t  0, o fasor aponta para a direita e não pos-
sui uma projeção (ou seja, uma componente) em relação ao 
eixo vertical (Fig. 3a). Assim, esse arranjo corresponde a um 
deslocamento 0 da corda. No instante t  2,25 ms, o fasor 
aponta para baixo e sua projeção no eixo vertical é igual ao 
módulo do fasor, 2,00 mm (Fig. 3b). Esse arranjo correspon-
de a um deslocamento da corda de −2,00 mm. No instante 
t  4,50 ms, o fasor aponta para a esquerda e não possui uma 
projeção em relação ao eixo vertical, o que corresponde a um 
deslocamento 0 da corda (Fig. 3c).
O deslocamento da corda no ponto de observação é sem-
pre dado pela projeção do fasor no eixo vertical do diagrama 
fasorial, que varia de acordo com o ângulo de rotação do fa-
sor. Podemos imobilizar mentalmente o fasor em um instante 
qualquer e calcular qual é o deslocamento y da corda nesse 
instante. Para isso, podemos traçar a projeção ou, uma vez 
conhecido o ângulo entre o fasor e o eixo horizontal ou ver-
tical, calcular o deslocamento usando a equação
y  (módulo do fasor) × sen (ângulo com o eixo 
horizontal)
ou a equação
y  (módulo do fasor) × cos (ângulo com o eixo vertical).
Assim, por exemplo, no instante t  8,22 ms, o fasor faz 
um ângulo de aproximadamente 30o com o eixo horizontal 
do diagrama fasorial. Nesse instante, o deslocamento é apro-
ximadamente
y  (2,00 mm) sen 30o  1,00 mm,
o que significa que o deslocamento da corda no ponto de ob-
servação é 1,00 mm.
A vantagem de usar um fasor para representar uma onda 
é que essa representação permite investigar a variação da 
amplitude da onda com o tempo em um certo ponto de ob-
servação. Entretanto, quando se trata de uma única onda, a 
vantagem é pequena. Vamos agora examinar uma vantagem 
maior dos fasores: quando precisamos combinar duas (ou 
mais) ondas de diferentes amplitudes, o uso de fasores pode 
poupar muito trabalho.
Duas ondas
Suponha que temos agora duas ondas se propagando na mes-
ma corda. Uma das ondas é dada pela Equação 1 (vamos usar 
um índice inferior para distingui-la da segunda onda):
 y1 (x, t)  (2,00 mm) sen(300x − 700t) (3)
A outra onda é dada por
 y2(x, t)  (1,00 mm) sen(300x − 700t + /2 rad). (4)
As duas ondas estão se propagando no sentido positivo do 
eixo x e têm o mesmo número de onda (300 m−1) e a mesma 
frequência angular (700 rad/s). Entretanto, possuem ampli-
tudes diferentes (2,00 mm, no caso da onda 1, e 1,00 mm, 
no caso da onda 2). Além disso, não estão em fase, já que a 
constante de fase da onda 1 é 0 e a constante de fase da onda 
2 é /2.
Se pudéssemos ver as duas ondas passarem pelo nosso pon-
to de observação (que continua a ser o ponto x  0), notaría-
mos que, por causa da diferença de fase, as ondas passariam 
por um pico (ponto de máximo deslocamento) em instantes 
diferentes: a onda 1 passaria por um pico antes da onda 2. 
Entretanto, não podemos ver as ondas separadamente; o que 
vemos é a onda que resulta da interferência das duas ondas.
Estamos interessados em obter uma equação que represen-
te a onda resultante para calcular a variação com o tempo do 
deslocamento da corda. Um ponto importante é o seguinte:
Como as ondas têm amplitudes diferentes, não podemos usar 
as identidades trigonométricas simples da Seção 16-10 para 
obter o resultado relativamente simples da Equação 16-51.
Resumindo, a tentativa de combinar as duas ondas para ob-
ter a onda resultante leva a um beco sem saída. Entretanto, 
os fasores podem ser a salvação. Para começar, desenhamos 
um fasor para cada onda no mesmo diagrama fasorial. Em 
seguida, somamos vetorialmente os fasores para obter um 
fasor resultante. Finalmente, usamos o fasor resultante para 
escrever a equação da onda resultante e calcular a variação 
com o tempo do deslocamento da corda.
Como desenhar os dois fasores 
Os fasores que representam as duas ondas giram em torno da 
origem do diagrama fasorial com a mesma velocidade angu-
lar, já que as duas ondas possuem a mesma frequência angular 
(  700 rad/s). Por outro lado, os módulos dos fasores são 
Fig. 3
12 MATERIAL SUPLEMENTAR
diferentes, já que as ondas têm amplitudes diferentes: o fasor 
1 (que corresponde à onda 1) tem um comprimento de 2,00 
mm e o fasor 2 (que corresponde à onda 2) tem um compri-
mento de 1,00 mm.
Os fasores também têm orientações diferentes, uma vez 
que a onda 2 está defasada de /2 em relação à onda 1. Isso 
significa que o fasor 2 faz um ângulo de /2 (ou 90o) com o 
fasor 1. Entretanto, os fasores estão orientados como na Fig. 
4a ou como na Fig. 4b? 
O fasor 2 é perpendicular ao fasor 1 nas duas figuras. Para 
responder, basta lembrar que a onda 1 passa por um pico an-
tes da onda 2. Quando uma onda passa por um pico, o fasor 
correspondente está alinhado com o eixo vertical do diagra-
ma fasorial. Assim, o fasor 1 deve ser alinhado com o eixo 
vertical antes do fasor 2, o que significa que arepresentação 
correta é a da Fig. 4a.
Como somar os dois fasores
Podemos agora somar vetorialmente os fasores 1 e 2 para 
obter o fasor resultante e, a partir do fasor resultante, a onda 
resultante. Embora seja possível somar os dois fasores em 
qualquer instante, vamos somá-los no instante t  0 para que 
o fasor 1 não possua uma componente em relação ao eixo 
vertical (Fig. 5a).
Para realizar a soma, podemos usar as técnicas do Capítulo 
3 ou uma calculadora científica.
Técnicas do Capítulo 3:
Deslocamos o fasor 2 até que sua cauda coincida com a 
ponta do fasor 1 e desenhamos um fasor entre a origem e a 
ponta do fasor 2 (Fig. 5b). No caso que estamos analisando, 
os três fasores formam um triângulo retângulo. (Atenção: 
isso acontece apenas quando a diferença de fase entre os 
dois fasores é /2.) O comprimento da hipotenusa,
[(2,00 mm)2 + (1,00 mm)2]1/2  2,24 mm,
é a amplitude da onda resultante. O ângulo entre a hipote-
nusa e o fasor horizontal 1,
  tan-1 [(1,00 mm)/(2,00 mm)]  0,464 rad,
é a constante de fase da onda resultante em relação à onda 
1 (Fig. 6).
 
 
Calculadora científica:
A soma é executada entrando na calculadora com
[20] + [1/2]
na qual os vetores são indicados por colchetes e a calcu-
ladora deve estar no modo de radianos. (Nas calculadoras 
TI-89 e TI-92, é preciso digitar uma vírgula entre o módulo 
e o símbolo de ângulo; em outras calculadoras, é preciso 
substituir /2 por 1,571.) Na maioria das calculadoras, a 
resposta aparece na forma
[2,240,464]
que significa que o módulo e o ângulo do fasor resultante 
são, respectivamente, 2,24 mm e 0,464 rad. Assim, a onda 
resultante tem uma amplitude de 2,24 mm e uma constante 
de fase de 0,464 rad.
Para somar os fasores em um instante diferente de t  0, 
usaríamos um arranjo como o da Fig. 5.b com o triângulo em 
outra orientação em relação aos eixos. Os valores do módulo 
e do ângulo do fasor resultante em relação à onda 1, porém, 
seriam os mesmos. Como o fasor resultante liga a origem à 
ponta do segundo fasor, ele gira em torno da origem com a 
mesma velocidade angular que os fasores 1 e 2. Assim, a onda 
resultante tem a mesma frequência angular (  700 rad/s) 
que as ondas 1 e 2.
A onda resultante pode ser escrita na forma
y(x, t)  (2,24 mm) sen(300x − 700t + 0,464 rad).
Quando a onda resultante passa pelo nosso ponto de obser-
vação, o deslocamento da corda varia senoidalmente com 
uma amplitude de 2,24 mm. Como a constante de fase de 
Fig. 4
Fig. 5
Fig. 6
MATERIAL SUPLEMENTAR 13
0,464 rad da onda resultante está entre as constantes de 
fase de 0 e /2 das ondas 1 e 2, a onda resultante passa por 
um pico depois da onda 1 e antes da onda 2. Se você quer 
ficar com dor de cabeça, tente resolver esse problema sem 
usar fasores.
Agora É a Sua Vez
(As respostas estão no final do texto)
1. A onda 1 é 
y1(x, t)  (2,00 mm) sen(300x − 700t)
e a onda 2 é
y2(x, t)  (1,00 mm) sen(300x − 700t − /2 rad).
(Note que a constante de fase da onda 2 tem um valor ne-
gativo.) (a) Desenhe o diagrama fasorial no instante t  0 e 
determine o fasor resultante. Quais são (b) a amplitude e (c) 
a constante de fase da onda resultante?
2. Repita o Problema 1 para a mesma onda 1 e uma onda 2 
dada por
y2(x, t)  (1,00 mm) sen(300x − 700t + 3/4 rad).
3. (Agora vamos a um desafio de verdade.) Três ondas se 
propagam na mesma corda:
y1(x, t)  (2,00 mm) sen(300x − 700t),
y2(x, t)  (1,00 mm) sen(300x − 700t − /2 rad),
y3(x, t)  (3,00 mm) sen(300x − 700t + 2/3 rad).
(a) Desenhe o diagrama fasorial no instante t  0 e determine 
o fasor resultante. Quais são (b) a amplitude e (c) a constante 
de fase da onda resultante?
Respostas
1. (b) 2,24 mm; (c) −0,464 rad (ou −26,6o)
2. (b) 1,47 mm; (c) +0,501 rad (ou +28,7o)
3. (b) 1,67 mm; (c) +1,27 rad (ou +72,7o) 
14 MATERIAL SUPLEMENTAR
Marcas de Derrapagem
Jearl Walker 
Um dos exemplos da Seção 6-2 de Fundamentos da Física, 
Nona Edição, se refere ao recorde de marcas de derrapagem 
em uma via pública, estabelecido em 1960 pelo motorista de 
um Jaguar na rodovia M1, na Inglaterra, que estava a mais de 
210 km/h quando as rodas foram travadas e o carro começou 
a derrapar. A velocidade do Jaguar era excessiva, é claro, mas 
eu não me surpreenderia se descobrisse que velocidades ainda 
maiores são atingidas rotineiramente nas autobahns alemãs, 
onde alguns motoristas se mostram dispostos a estabelecer 
um novo recorde de velocidade em terra.
As marcas de derrapagem do Jaguar foram impressionan-
tes, mas não se comparam às marcas deixadas por Craig Bre-
edlove, em outubro de 1964, no deserto de sal de Bonneville, 
no estado americano de Utah. Para tentar derrubar o recorde 
terrestre e romper a “barreira” das 500 milhas por hora (805 
km/h), Breedlove conduziu seu Spirit of America, movido a 
foguete, por uma milha medida, primeiro em um sentido e 
depois no sentido oposto, para eliminar a influência do vento. 
Quando passou a segunda vez pela milha, estava se movendo 
a aproximadamente 870 km/h. 
Para reduzir a velocidade, lançou um paraquedas, mas a 
corda arrebentou com o esforço; o paraquedas de reserva 
também falhou. Breedlove recorreu aos freios, afundando o 
pedal até o fim, mas eles só serviram para deixar marcas de 
derrapagem de quase 10 km de comprimento antes de quei-
marem. 
O veículo estava a cerca de 800 km/h quando passou entre 
duas filas de postes telefônicos, deixando de colidir com eles 
por uma questão de centímetros. Finalmente, parou após su-
bir em um monte de terra e cair, a 260 km/h, em um lago de 
salmoura com 6 m de profundidade. Como Breedlove estava 
preso pelo cinto de segurança, quase se afogou no carro sub-
merso. (Perigoso, sim, mas, pensando bem, menos do que em 
uma autobahn.) As duas passagens de Breedlove pela milha 
quebraram o recorde de velocidade: a velocidade média atin-
gida foi 526,277 milhas por hora (846,961 km/h).
MATERIAL SUPLEMENTAR 15
Tráfego na Hora do Rush
Um problema aplicado envolvendo velocidade e 
aceleração
Jearl Walker
Os sinais de trânsito de uma pequena cidade em geral não pre-
cisam estar sincronizados. O tráfego pode ser desordenado, 
mas as filas que se formam nos sinais vermelhos são peque-
nas. Nas grandes cidades, por outro lado, especialmente na 
hora do rush, o tráfego deve ser bem organizado, caso con-
trário as filas crescem até bloquear os cruzamentos, produ-
zindo um grande engarrafamento. Como, em casos extremos, 
apenas os carros que estão na periferia do congestionamento 
podem se mover, podem ser necessárias várias horas para que 
os carros no centro da cidade sejam liberados.
Suponha que você seja encarregado de planejar o sistema 
de sinais de trânsito de uma avenida de mão única, com várias 
pistas, que apresenta um intenso movimento na hora do rush. 
Os sinais devem permanecer verdes durante 50 s, amarelos 
durante 5 s e vermelhos durante 25 s (esses tempos são va-
lores típicos para vias urbanas de grande movimento). Para 
facilitar o movimento dos carros, você pode se sentir tentado 
a aumentar a duração do sinal verde ou diminuir a duração 
do sinal vermelho. Entretanto, não pode se esquecer de que 
o tráfego nas ruas transversais não deve ser interrompido por 
muito tempo, caso contrário serão formadas longas filas.
Como você deve programar o sincronismo dos sinais? Se 
todos os sinais ficarem verdes ao mesmo tempo, os carros só 
poderão andar durante 50 s. Cada vez que os sinais abrem, 
pelotões de carros avançam na avenida até que todos os sinais 
fiquem vermelhos. Para maximizar a distância percorrida, os 
motoristas devem acelerar ao máximo. Grandes pelotões de 
carro se movendo, digamos, a 100 km/h em uma única via 
criam um cenário de “fórmula um”, o que, obviamente, é uma 
situação indesejável, em se tratando de pilotos amadores.
Um sincronismo melhor e mais seguro é aquele no qual a 
abertura dos sinais é escalonada de tal forma que o sinal só 
fica verde em um cruzamento quando os primeiros carros de 
um pelotão estão seaproximando. (A luz verde deve aparecer 
um pouco antes da chegada dos carros, para que não reduzam 
a marcha desnecessariamente.) Esse tipo de arranjo desenco-
raja os motoristas afoitos, já que, se acelerarem demais, terão 
de parar em um sinal que ainda não abriu.
A Fig. 1 mostra uma parte da avenida a ser controlada. 
Suponha que os carros da frente de um pelotão acabaram de 
chegar ao cruzamento 2 e que o sinal abriu quando estavam 
a uma distância d do cruzamento. 
Fig. 1 A avenida de mão única cujos sinais devem ser programa-
dos.
Os carros continuam a se mover a uma velocidade vP (o limi-
te de velocidade) até chegarem ao cruzamento 3, no qual o 
sinal fixa verde quando os primeiros carros do pelotão estão 
a uma distância d. Os cruzamentos estão separados por uma 
distância D23.
Questão 1: Qual deve ser o tempo de retardo do sinal verde 
do cruzamento 3 em relação ao sinal verde do cruzamento 
2 para que o pelotão se mova com velocidade constante? 
(Nesta pergunta e nas seguintes, apresente a resposta em 
termos dos símbolos dados.)
A situação (e a resposta) muda se o pelotão teve que parar 
em um sinal vermelho no cruzamento anterior. Na Fig. 1, por 
exemplo, o pelotão está parado no cruzamento 1. Quando o 
sinal abre, os primeiros carros do pelotão precisam de um 
determinado tempo tR para reagir à mudança e de um tempo 
adicional para atingir a velocidade vP. Durante a aceleração, 
os carros da frente do pelotão percorrem uma distância menor 
do que se estivessem à velocidade vP.
Questão 2: Se a distância entre os cruzamentos 1 e 2 é 
D12 e o sinal do cruzamento 2 deve ficar verde quando os 
carros da frente do pelotão estão a uma distância d do cru-
zamento, quanto tempo depois que o sinal do cruzamento 
1 abre, o sinal do cruzamento 2 deve abrir?
16 MATERIAL SUPLEMENTAR
Mesmo com um sistema de sinais que abrem sequencialmente, 
o trânsito pode engarrafar. O problema está no fato de que, 
quando um pelotão para em um sinal vermelho e o sinal fica 
verde, os carros não podem acelerar todos ao mesmo tempo. 
Em vez disso, uma “onda de movimento” se propaga em di-
reção à parte traseira do pelotão com uma velocidade vS. Os 
motoristas começam a reagir apenas quando a onda chega até 
eles. Os motoristas da parte de trás do pelotão também têm 
uma distância maior a percorrer até o cruzamento seguinte.
Questão 3: Suponha que um motorista se encontra a uma 
distância d1 da frente do pelotão que está parado no cruza-
mento 1 e que a duração do sinal verde do cruzamento 2 é 
tV2. Se o sinal do cruzamento 2 fecha quando o motorista 
está a uma distância d do cruzamento (e consegue passar 
no amarelo), qual é o retardo do sinal verde do cruzamento 
2 em relação ao sinal verde do cruzamento 1?
Todos esses pontos aparecem na Fig. 2, que mostra o mapa dos 
cruzamentos do lado esquerdo e um gráfico do progresso do 
pelotão (com os ciclos dos sinais de trânsito) do lado direito.
Um trecho d1 do pelotão, que estava inicialmente parado 
no cruzamento 1, consegue passar por todos os sinais, sem 
parar. Os períodos iniciais de aceleração estão representados 
por linhas curvas, com os carros da parte de trás do pelotão 
levando mais tempo para iniciar a aceleração. O sinal de cada 
cruzamento fica verde momentos antes da chegada dos carros 
da frente do pelotão.
A figura também mostra que nem todos os carros do pe-
lotão conseguem passar pelo cruzamento 1 antes que o sinal 
feche. Se isso acontece várias vezes em sequência, a fila de 
carros “abandonados” tende a crescer, chegando talvez ao 
cruzamento anterior, caso em que pode bloquear o trânsito 
da rua secundária, causando um engarrafamento.
Questão 4: Como se pode obter, a partir do gráfico, (a) a 
velocidade vP e (b) a velocidade vS? (c) Qual é a duração 
da fase de aceleração?
Um engarrafamento pode acontecer, mesmo que o sistema 
de sinais de trânsito tenha sido bem planejado. Uma vez fi-
quei retido em um engarrafamento quando uma nevasca sú-
bita atingiu a cidade de Cleveland na hora do rush da tarde. 
Como a rua em que eu estava ficou escorregadia, os carros da 
parte da frente do pelotão reduziram a velocidade. A veloci-
dade das ondas de movimento também diminuiu. Em menos 
de 20 minutos, a fila de carros abandonados da parte de trás 
dos pelotões atingiu os cruzamentos anteriores, bloqueando 
as ruas secundárias. Em três quilômetros da minha rua e em 
cinco ruas paralelas, o trânsito ficou praticamente paralisado. 
Só consegui avançar porque os carros que estavam na parte 
dianteira do congestionamento escaparam gradualmente por 
vias laterais. Enquanto deixavam a via principal, uma onda 
de movimento progredia preguiçosamente ao longo do engar-
rafamento, permitindo que eu me adiantasse alguns poucos 
carros de cada vez. O problema se agravou quando a neve 
ficou mais funda e carros atolados começaram a bloquear 
as pistas. Embora o percurso que eu pretendia fazer levasse 
normalmente 5 minutos, naquele dia fatídico levei mais de 2 
horas para chegar ao destino.
Respostas das questões:
1. t  D23/vP
2. t  tR  vP/2a  (D12 − d)/vP 
3. t  tR  vP/2a  d1/vS − tV2  (D12 − d  d1)/vP
4. (a) vP é a inclinação da parte retilínea de x(t). (b) vS é a in-
clinação da parte inicial da curva de x(t). (c) vP/a.
Fig. 2 Representação gráfica do movimento de um pelotão de carros que estavam inicialmente parados no cruza-
mento 1. As barras coloridas mostram o tempo que os sinais permanecem verdes, amarelos e vermelhos.