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Métodos quantitativos em geografia: 
Introdução à estatística
Ricardo Alexandrino Garcia
Belo Horizonte
CAED-UFMG
2011
Métodos quantitativos em geografia: 
Introdução à estatística
UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS
Profº Clélio Campolina Diniz 
Reitor
Profª Rocksane de Carvalho Norton 
Vice-Reitora
Profª Antônia Vitória Soares Aranha 
Pró Reitora de Graduação
Profº André Luiz dos Santos Cabral 
Pró Reitor Adjunto de Graduação
CENTRO DE APOIO DE EDUCAÇÃO À DISTÂNCIA
Profº Fernando Selmar Rocha Fidalgo 
Diretor de Educação a Distância 
Prof º Wagner José Corradi Barbosa 
Coordenador da UAB/UFMF
Profº Hormindo Pereira de Souza Junior 
Coordenador Adjunto da UAB/UFMG
 
EDITORA CAED-UFMG
Profº Fernando Selmar Rocha Fidalgo 
CONSELHO EDITORIAL 
Profª. Ângela Imaculada Loureiro de Freitas Dalben 
Profº. Dan Avritzer 
Profª. Eliane Novato Silva 
Profº. Hormindo Pereira de Souza
Profª. Paulina Maria Maia Barbosa
Profª. Simone de Fátima Barbosa Tófani 
Profª. Vilma Lúcia Macagnan Carvalho
Profº. Vito Modesto de Bellis 
Profº. Wagner José Corradi Barbosa
COLEÇÃO EAD – GEOGRAFIA 
Coordenador: ???
LIVRO: Métodos quantitativos em geografia: 
 Introdução à estatística
Autores: Ricardo Alexandrino Garcia
Revisão: Jussara Maria Frizzera
Projeto Gráfico: Laboratório de Arte e Tecnologia 
para Educação/EBA/UFMG
Este livro recebeu apoio financeiro do Pró-
licenciatura (SEED-MEC) e da UAB/CAPES.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
(Biblioteca da Escola de Belas Artes da UFMG, MG, Brasil)
 Garcia, Ricardo Alexandrino 
G216m Métodos quantitativos em geografia: Introdução à estatística / 
 Ricardo Alexandrino Garcia – Belo Horizonte: CAED-UFMG, 2011.
 80 p. : il., gráfs., tabs. ; 27 cm.
 Inclui bibliografia. 
 ISBN: 978-85-64724-18-1
 1. Geografia - Métodos estatísticos. 2. Amostragem (Estatística). 
 3. Probabilidades. 4. Ensino a distância. I. Universidade Federal 
 de Minas Gerais. II. Título.
 CDD: 910
 CDU: 910.1:519.2
Ficha catalográfica elaborada por Luciana de Oliveira M. Cunha, CRB-6/2725
Este livro recebeu apoio financeiro do Pró-licenciatura (SEED-MEC) e da UAB/CAPES.
SUMÁRIO
APRESENTAÇÃO
Editor
AULA 01 - ESTATÍSTICA: NOÇÕES GERAIS
1.1 Estatística descritiva
1.2 Interferência estatística
AULA 02 - NOÇÕES DE AMOSTRAGEM 
2.1 Amostragem aleatória simples
2.2 Amostragem estratificada
2.3 Amostragem sistemática
AULA 03 - APRESENTAÇÃO DE DADOS 
3.1 Tipos de variáveis
3.2 Distribuição de frequências e representação gráfica 
 3.2.1 Caso de variáveis nominais ou ordinais
 3.2.2 Caso de variáveis discretas
 3.2.3 Caso de variáveis contínuas
3.3 Procedimentos para construção de uma distribuição de frequências
AULA 04 – MEDIDAS ASSOCIADAS A VARIÁVEIS QUANTITATIVAS 
4.1 Medidas de tendência central (locação): média aritmética, mediana
 4.1.1 Média aritmética
 4.1.2 Mediana
4.2 Medidas de variabilidade: variância, desvio padrão, coeficiente de variação
4.3 Assimetria
AULA 05 - NOÇÕES DE PROBABILIDADE 
5.1 Definições de probabilidade
5.2 Probabilidade condicional e independência 
AULA 06 - VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 
6.1 Caso discreto
6.2 Caso contínuo 
 
09
09
10
12
12
14
15
15
16
18
19
20
20
21
22
25
24
25
25
25
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33
34
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37
38
6 MÉTODOS QUANTITATIVOS EM GEOGRAFIA: INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
AULA 07 - MODELOS DISCRETOS 
7.1 Distribuição de Bernoulli
7.2 Distribuição Binomial
7.3 Modelo de Poisson
7.4 Modelo hipergeométrico 
AULA 08 - MODELOS CONTÍNUOS 
8.1 Distribuição normal
AULA 09 - NOÇÕES DE AMOSTRAGEM / DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS
9.1 Distribuições amostrais 
9.2 Distribuição amostral de médias 
9.3 Distribuição amostral de proporções
AULA 10 - ESTIMAÇÃO: NOÇÕES GERAIS
AULA 11 - TESTES DE HIPÓTESES 
11.1 Distribuições amostrais 
AULA 12 - CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 
12.1 Diagrama de dispersão
12.2 Interpretação do diagrama de dispersão
12.3 Coeficiente de correlação linear
12.4 Regressão linear simples 
AULA 13 - ANÁLISE DE VARIÂNCIA
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS e ANEXOS
40
41
41
42
42
44
45
48
49
50
50
52
56
57
60
61
62
63
63
66
70
9
NOTA DO EDITOR
A Universidade Federal de Minas Gerais atua em diversos projetos de Educação 
a Distância, que incluem atividades de ensino, pesquisa e extensão. Dentre elas, 
destacam-se as ações vinculadas ao Centro de Apoio à Educação a Distância 
(CAED), que iniciou suas atividades em 2003, credenciando a UFMG junto ao 
Ministério da Educação para a oferta de cursos a distância.
O CAED-UFMG (Centro de Apoio à Educação a Distância da Universidade Federal 
de Minas Gerais), Unidade Administrativa da Pró-Reitoria de Graduação, tem 
por objetivo administrar, coordenar e assessorar o desenvolvimento de cursos 
de graduação, de pós-graduação e de extensão na modalidade a distância, 
desenvolver estudos e pesquisas sobre educação a distância, promover a 
articulação da UFMG com os polos de apoio presencial, como também produzir 
e editar livros acadêmicos e/ou didáticos, impressos e digitais, bem como a 
produção de outros materiais pedagógicos sobre EAD.
Em 2007, diante do objetivo de formação inicial de professores em serviço, foi 
criado o Programa Pró-Licenciatura com a criação dos cursos de graduação a 
distância e, em 2008, com a necessidade de expansão da educação superior 
pública, foi criado pelo Ministério da Educação o Sistema Universidade Aberta 
do Brasil – UAB. A UFMG integrou-se a esses programas, visando apoiar a 
formação de professores em Minas Gerais, além de desenvolver um ensino 
superior de qualidade em municípios brasileiros desprovidos de instituições de 
ensino superior. 
Atualmente, a UFMG oferece, através do Pró-licenciatura e da UAB, cinco 
cursos de graduação, quatro cursos de pós-graduação lato sensu, sete cursos de 
aperfeiçoamento e um de atualização.
Como um passo importante e decisivo, o CAED-UFMG decidiu, neste ano de 
2011, criar a Editora CAED-UFMG como forma de potencializar a produção do 
material didático a ser disponibilizado para os cursos em funcionamento.
O primeiro desafio foi a publicação dos livros da coleção Educação a Distância, 
série Biologia. Agradecemos aos autores e à equipe de produção pela 
competência e dedicação que garantiram, com certeza, o nível de excelência 
desta obra apresentada à comunidade acadêmica.
Fernando Selmar Rocha Fidalgo
Editor
1 Estatísticas: Noções Gerais
11AUL A 01 - ESTATÍSTICA: NOÇÕES GERAIS
AULA 01 - ESTATÍSTICA: NOÇÕES GERAIS
A ESTATÍSTICA é a ciência que trata da coleta, processamento e análise de dados, 
sendo uma ferramenta fundamental no processo de resolução de problemas e 
tomada de decisões. O uso da estatística é de fundamental importância na 
identificação de problemas, na determinação do tipo de dados pertinentes à 
análise destes, sua coleta, tratamento e posterior tomada de decisões, a partir 
das conclusões estabelecidas, contribuindo na elaboração de um plano de ação 
para a resolução do problema em questão. 
• A estatística, portanto, reúne métodos para:
 - Coleta;
 - Processamento;
 - Análise e interpretação de dados.
• Informações numéricas analisadas servem de base para tomada de 
decisões;
• As estatísticas nos auxiliam a entender melhor os fenômenos em geral.
Em geral, conhecemos estatísticas:
 - Geográficas;
 - Demográficas;
 - Econômicas;
 - De saúde;
 - Educacionais;
 - Empresariais, etc.
• A obtenção das estatísticas é apenas uma das faces do problema;
• É preciso aprofundar a análise; 
• Números não foram feitos apenas para serem exibidos ou armazenados.
Principais etapas no trabalho com estatística:
• Estatística Descritiva (exploratória);
• Inferência Estatística.
12 MÉTODOS QUANTITATIVOS EM GEOGRAFIA: INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
1.1 – ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Algumas estatísticas descritivas:
 - Taxas deinflação;
 - Taxas de desemprego;
 - Taxas de mortalidade infantil;
 - Renda per capita;
 - Precipitação média anual (chuvas);
 - Concentração média de CO2.
• As estatísticas descritivas tornam o dado mais compreensível.
1.2 – INFERÊNCIA ESTATÍSTICA
• Trata da análise e interpretação de dados amostrais;
• O principio básico é tirar conclusões sobre a população a partir de uma 
amostra de dados obtida da mesma.
O processo de coleta/ interpretação dos dados pode ser resumido no esquema 
abaixo:
Aplicação em Geografia:
• Em um estudo sobre o impacto ambiental de um reservatório de lixo 
atômico de uma usina nuclear foram coletadas 100 provas de solo 
da área lindeira ao reservatório. Uma amostra de 10% das provas foi 
selecionada para o teste de radiação. Com base nos níveis de radiação 
encontrados nessa amostra é tomada uma decisão quanto à segurança 
do reservatório.
Descrição
Organização
Resumo
Tabelas
Gráficos
Medidas
Técnicas Visuais
População Amostra Descrição Análise da Amostra InferênciaPopulação Amostra Descrição Análise da Amostra Inferência
Decisão
13AUL A 01 - ESTATÍSTICA: NOÇÕES GERAIS
• Um jornal investigou 900 pessoas residentes na capital sobre a 
legalidade ou não da maconha; cerca de 400 disseram que são a contra 
a legalização da droga. Até que ponto esse estudo possui validade 
estatística? Em caso positivo, significa que a maioria da população da 
capital é a favor da legalização?
2 Noções de Amostragem
15AUL A 02 - NOÇÕES DE AMOSTRAGEM
AULA 02 - NOÇÕES DE AMOSTRAGEM
LEVANTAMENTO CENSITÁRIO (CENSO): consiste na observação de toda 
a população. Os principais problemas envolvidos são: custo, tempo, 
imprecisão.
O processo de amostragem consiste na observação de parte da população 
(amostra).
Principais tipos de amostragem:
• Amostragem aleatória simples;
• Amostragem estratificada;
• Amostragem sistemática.
2.1 - AMOSTRAGEM ALEATÓRIA SIMPLES
Cada unidade amostral tem a mesma chance de ser sorteada, sendo 
atribuídos números consecutivos às unidades da população e procedendo-
se em seguida ao sorteio. Na realização do sorteio podem-se utilizar 
tabelas de números aleatórios ou gerar tais números em computador.
2.2 – AMOSTRAGEM ESTRATIFICADA
Aplica-se no caso de populações heterogêneas. A amostra compõe-se de 
uma agregação de subamostras de cada estrato.
Fatores de estratificação: região, escolaridade, renda, faixa etária, etc.
Exemplo: 
Numa pesquisa para traçar o perfil socioeconômico de uma população 
de certa cidade composta de cinco distritos, a população foi estratificada 
geograficamente, de acordo com o distrito de residência. Supõe-se 
que a população da cidade é de 5.000 habitantes e que o tamanho da 
amostra foi fixado em 400 elementos. O critério utilizado na repartição 
da amostra é o de repartição proporcional ao tamanho de cada estrato, 
conforme os dados relados na tabela 2.1.
16 MÉTODOS QUANTITATIVOS EM GEOGRAFIA: INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
Tabela 2.1 - População residente por distrito e repartição proporcional da amostra
DISTRITO
POPULAÇÃO
AMOSTRA
Absoluto %
A 500 10,00 40
B 750 15,00 60
C 2.500 50,00 200
D 850 17,00 68
E 400 8,00 32
TOTAL 5.000 100,00 400
Fonte: IBGE, 1991.
2.3 – AMOSTRAGEM SISTEMÁTICA
O sorteio das unidades amostrais é feito de forma periódica, sendo o intervalo 
de seleção (r), calculado, no caso de uma população finita, através da razão 
entre o tamanho da população (N) e o tamanho da amostra (n).
Exemplo:
Deseja-se obter uma amostra de 10 elementos de uma população de 254 
elementos. O intervalo de seleção é dado por k= 254/10 = 25,4 ≈ 25. Em 
seguida sorteia-se um número aleatório entre 1 e 25, digamos 25, no caso a 
amostra sorteada seria:
25, 50, 75, 100, 125, 150, 175, 200, 225, 250. 
17AUL A 02 - NOÇÕES DE AMOSTRAGEM
3 Apresentação de Dados
19AUL A 03 - APRESENTAÇÃO DE DADOS
AULA 03 - APRESENTAÇÃO DE DADOS
No processo de análise de dados, o pesquisador tem à sua mão uma série de 
informações relativas a uma população ou uma amostra, e necessita resumir 
tais dados para torná-los informativos, para compará-los com outros resultados 
ou verificar sua adequação a um modelo teórico. Portanto, antes de passar 
a análise descritiva propriamente dita, que antecede a etapa de inferência, 
é conveniente observar alguns procedimentos de resumo de dados e sua 
apresentação na forma tabular ou gráfica.
• Dados brutos desorganizados, não trazem informação!
• É importante organizar e resumir os dados.
• Obter dos dados a maior quantidade de informação.
3.1 - TIPOS DE VARIÁVEIS
Os dados coletados no trabalho de pesquisa, gerenciamento de processos, 
controle de qualidade de produtos e serviços, em geral podem ser de natureza 
qualitativa ou quantitativa. Variáveis como sexo, educação, estado civil, 
nível de qualidade de uma peça (perfeita ou defeituosa), são de natureza 
qualitativa. Tais variáveis ainda podem ser classificadas como nominais, 
quando não existe nenhuma ordenação nas categorias (sexo, estado civil), ou 
ordinais, quando apresenta alguma ordenação (grau de instrução). As variáveis 
quantitativas podem ser classificadas como discretas ou contínuas. As discretas 
resultam geralmente de contagens do número de ocorrências de determinada 
característica de interesse. As variáveis contínuas são aquelas cujos valores 
possíveis formam um intervalo de números reais e resultam normalmente de 
mensurações. São apresentados a seguir alguns exemplos de variáveis discretas 
e contínuas:
Discretas:
• Número de filhos de um casal;
• Número de defeitos em uma chapa de aço;
• Número de acidentes de trabalho em uma semana em certa fábrica, etc.
20 MÉTODOS QUANTITATIVOS EM GEOGRAFIA: INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
Contínuas:
• Peso ou altura de um indivíduo;
• Espessura de uma peça;
• Tempo de vida de uma lâmpada, etc.
Importante: a técnica estatística a ser utilizada na análise dos dados depende 
do tipo de variável com que se trabalha.
3.2 – DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS E 
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
• Após a coleta, os dados devem ser organizados;
• Para conhecer melhor a distribuição das variáveis de interesse procura-
se dispor os dados em tabelas e gráficos;
• Objetiva-se obter uma melhor visualização do fenômeno.
3.2.1 - CASO DE VARIÁVEIS NOMINAIS OU ORDINAIS
Exemplo:
A tabela 3.1 apresenta a distribuição dos empregados do setor de produção de 
certa empresa, segundo o seu grau de instrução.
Tabela 3.1 - Empregados do setor de produção, segundo o grau de instrução - 2000
GRAU DE INSTRUÇÃO Frequência (fi)
Primeiro Grau 15
Segundo Grau 25
Superior 10
TOTAL 50
Fonte: Pesquisa direta.
21AUL A 03 - APRESENTAÇÃO DE DADOS
Representação gráfica: gráfico de setores.
3.2.2 – CASO DE VARIÁVEIS DISCRETAS
Exemplo :
Considere os dados abaixo representando a distribuição da variável número de 
filhos dos empregados do setor de produção.
Tabela 3.2 - Distribuição do número de filhos dos empregados do setor de produção
NÚMERO DE FILHOS Frequência (fi)
0 5
1 10
2 20
3 9
4 6
Representação gráfica: gráfico de colunas.
Empregados do Setor de Produção, 
segundo grau de instrução - 2000
50%
20%
30% Primeiro Grau
Segundo Grau
Superior
22 MÉTODOS QUANTITATIVOS EM GEOGRAFIA: INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
3.2.3 – CASO DE VARIÁVEIS CONTÍNUAS
Exemplo:
Foram obtidas as concentrações média de metais pesados em amostras de 
águas provenientes de rios da Bacia do Mucuri.
Tabela 3.3 - Distribuição de frequências da concentração média de metais pesados 
em amostras de águas provenientes de rios da Bacia do Mucuri
Metais Pesados 
(ppm)
Frequência 
simples(fi)
Frequência 
relativa
Frequência 
acumulada (Fi)
4 |----- 8 7 14,0 7
8 |----- 12 8 16,0 15
12 |----- 16 20 40,0 35
16 |----- 20 10 20,0 45
20 |----- 24 5 10,0 50
TOTAL 50 100,0 -
Representação gráfica: histograma.
0
5
10
15
20
25
6 10 14 18 22
Concentração média de metais pesados em amostras de águas provenientes de rios da Bacia doMucuri
ppm
Fr
eq
uê
nc
ia
23AUL A 03 - APRESENTAÇÃO DE DADOS
3.3 - PROCEDIMENTOS PARA CONSTRUÇÃO DE UMA 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS:
1. Obter uma amostra de n valores referentes à variável de interesse;
2. Escolher o número de classes (k);
3. Identificar o valor mínimo (MIN) e máximo (MAX) da distribuição;
4. Calcular a amplitude total dos dados: R = MAX – MIN;
5. Calcular a amplitude de cada intervalo: c= R/k;
6. Arredondar para maior o valor de c;
7. Calcular os limites de cada intervalo adicionando c a partir do MIN;
8. Contar os valores de cada intervalo, podendo utilizar intervalos abertos à 
direita e fechados à esquerda. 
4 Medidas Associadas a Variáveis Quantitativas
25AUL A 04 – MEDIDAS ASSOCIADAS A VARIÁVEIS QUANTITATIVAS
AULA 04 – MEDIDAS ASSOCIADAS A VARIÁVEIS 
QUANTITATIVAS
O resumo dos dados na forma de tabelas e a visualização da forma da 
distribuição destes dados na forma de gráficos são importantes elementos 
na análise dos mesmos. Entretanto, é fundamental que se disponha de um 
sumário dos dados na forma numérica. São apresentadas, a seguir as principais 
medidas utilizadas para se quantificar os valores centrais da distribuição dos 
dados (locação), bem como o grau de dispersão dos dados em torno dos valores 
centrais (variabilidade).
4.1 - MEDIDAS DE LOCAÇÃO OU DE TENDÊNCIA 
CENTRAL: MÉDIA ARITMÉTICA, MEDIANA
4.1.1 - MÉDIA ARITMÉTICA
A média aritmética é a medida mais comumente utilizada para representar um 
conjunto de dados. No caso de dados brutos, seu cálculo pode ser feito através 
da fórmula:
4.1.2 - MEDIANA
A mediana corresponde ao valor central de uma distribuição. No caso de dados 
brutos, sendo o tamanho da amostra (n) ímpar, basta tomar, a partir dos dados 
dispostos em ordem crescente, o elemento de ordem X([n+1/2]) . No caso de n 
ser par, a mediana é obtida como a média aritmética dos dois valores centrais 
da distribuição dos dados em ordem crescente, ou seja: 
n
X i
X
n
i
∑
== 1
2
)1]] 2/)2/( ( ++= nne
XX
M
26 MÉTODOS QUANTITATIVOS EM GEOGRAFIA: INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
Caso os dados estejam dispostos em uma tabela de frequências os cálculos são 
efetuados através das seguintes fórmulas:
Onde:
Li = limite inferior da classe mediana;
Fant = frequência acumulada até a classe anterior
fMe = frequência simples na classe mediana
c = amplitude da classe mediana.
4.2 – MEDIDAS DE VARIABILIDADE: VARIÂNCIA, DESVIO 
PADRÃO, COEFICIENTE DE VARIAÇÃO
Cálculo de medidas de variabilidade
A discrição dos dados através de medidas de locação pode esconder importantes 
informações com respeito variabilidade dos dados. Como exemplo ilustrativo, 
suponha que em 3 cidades foi medida a qualidade do ar do centro da cidade, 
tomada em intervalos de 5 horas, para um mesmo período de 25 horas, segundo 
uma escala de 1 (péssima) a 9 (ótima). Obteve-se, então, os seguintes valores:
CIDADE A 3 4 5 6 7
CIDADE B 1 3 5 7 9
CIDADE C 5 5 5 5 5
Observa-se que a qualidade média do ar das 3 cidades é igual a 5, portanto, 
estes não apresentam diferenças quanto ao aspecto de locação, entretanto, a 
variabilidade dos resultados difere bastante entre as 3 cidades, sendo necessária 
uma medida que sumarize esse aspecto. O grau de dispersão ou variabilidade 
dos dados em torno da média pode ser avaliado através de medidas como a 
variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação. O princípio básico é 
medir o desvio das observações em relação à média do grupo (di). No caso dos 
n
Xifi
X
k
i
∑
== 1
c
f
FantnLiMe
Me
.])5,0([ −+=
27AUL A 04 – MEDIDAS ASSOCIADAS A VARIÁVEIS QUANTITATIVAS
dados do primeiro grupo (cidade A) acima, teríamos os seguintes valores para 
os di: -2, -1, 0, 2, 2. A variabilidade poderia ser pensada como a soma desses 
desvios, porém essa não é uma boa alternativa porque tal soma é igual a zero 
para qualquer conjunto de dados. Uma alternativa, portanto, é trabalhar com 
a soma dos quadrados desses desvios e, em seguida, obter um desvio médio. 
Desse modo, a fórmula para o cálculo da variância populacional de um conjunto 
de dados pode ser expressa como:
Alternativamente, pode-se mostrar que tal expressão pode ser escrita como:
Ao se trabalhar com amostras, pode-se utilizar a fórmula abaixo, que apresenta 
algumas propriedades como representante da variância de uma população, 
lembrando que a diferença entre as duas fórmulas diminui à medida que o 
tamanho da amostra aumenta:
Considerando os dados relativos às notas dos alunos do grupo A, temos que:
Desse modo, aplicando-se a expressão acima, pode-se ver que a variância dos 
índices de qualidade do ar será dada por:
S2 = ¼(135 – 125) = 2,5
No caso de tabelas de frequência, o cálculo da variância pode ser feito através 
da expressão:
n
XX
n
i
i∑
=
−
= 1
2
2
)(
σ






−= ∑∑ n
X
X
n
i
i
2
22 )(1σ






−
−
= ∑∑ n
X
X
n
s ii
2
22 )(
1
1
1352 =∑ iX
25=∑ iX








−
−
= ∑∑ n
fX
fX
n
s iiii
2
22 )(
1
1
28 MÉTODOS QUANTITATIVOS EM GEOGRAFIA: INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
Para ilustrar, considere o cálculo da variância dos salários dos empregados, a 
partir da tabela 4.1:
Tabela 4.1 - Cálculo da variância: dados de concentração de metais pesados
Metais 
peados 
(ppm)
Freq. 
simples 
(fi)
Freq. 
Relativa
Freq. 
Acumulada 
(Fi)
Ponto 
médio 
(Xi)
Xifi Xi
2fi
4 |----- 8 7 14,0 7 6 42 252
8 |----- 12 8 16,0 15 10 80 800
12 |----- 16 20 40,0 35 14 280 3920
16 |----- 20 10 20,0 45 18 180 3240
20 |----- 24 5 10,0 50 22 110 2420
TOTAL 50 100,0 - 692 10632
Desse modo, tem-se que:
Imagine agora que nosso objetivo fosse avaliar, dentro de um mesmo grupo por 
exemplo, se há maior grau de dispersão com relação ao peso dos indivíduos 
ou com relação à sua altura, ou, em outro caso, se desejássemos comparar o 
grau de dispersão de grupos com médias bastante distintas. Em tais casos não 
seria aconselhável utilizar o desvio padrão, sendo necessário o uso de uma 
medida de dispersão relativa, adimensional, que é o caso do COEFICIENTE DE 
VARIAÇÃO, cuja expressão corresponde à relação entre o desvio padrão e a 
média aritmética dos dados, sendo, portanto escrito como:
4.3 - ASSIMETRIA
Um outro aspecto de interesse na análise de um conjunto de dados refere-se ao 
seu grau de assimetria, que está associado com a forma com que se distribuem 
os dados em torno dos valores centrais. Os gráficos a seguir se referem à 
distribuição dos salários do setor de produção em três empresas fictícias. Neles, 
podem-se encontrar distribuições com os seguintes aspectos:
525,21]
50
692632.10[
49
1 22 =−=s
X
s=γ
29AUL A 04 – MEDIDAS ASSOCIADAS A VARIÁVEIS QUANTITATIVAS
No caso da Companhia A tem-se uma distribuição simétrica dos salários.
A Companhia B apresenta uma distribuição com uma assimetria positiva, ou 
seja, uma cauda mais acentuada no lado direito da distribuição e uma maior 
concentração em valores mais baixos.
A distribuição dos salários da Companhia C apresenta uma assimetria negativa, 
ou seja, uma concentração mais acentuada nos valores mais elevados da 
distribuição.
Distribuição dos salários dos empregados do setor de produção da 
Companhia B
0
2
4
6
8
10
12
14
16
6 10 14 18 22
sal.min.
fre
q.
 s
im
pl
es
Distribuição dos salários dos empregados do setor de produção da 
Companhia A
0
5
10
15
20
25
30
6 10 14 18 22
sal.min.
fre
q.
 s
im
pl
es
30 MÉTODOS QUANTITATIVOS EM GEOGRAFIA: INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
E agora, você gostaria de trabalhar em qual das companhias?
Aplicação: 
analise os dados da tabela 4.1 em termos de medidas de tendência central e 
dispersão.
Distribuição dos salários dos empregados do setor de produção da 
Companhia C
0
2
4
6
8
10
12
14
16
6 10 14 18 22
sal.min.
fre
q.
 s
im
pl
es
31AUL A 04 – MEDIDAS ASSOCIADAS A VARIÁVEIS QUANTITATIVAS
5 Noções de Probalidade
33AUL A 05 - NOÇÕES DE PROBABILIDADE
AULA 05 - NOÇÕES DE PROBABILIDADE
Os primeiros estudos começaram com problemas formulados pelo Barãode 
Méré e discutidos por matemáticos como Pascal e Fermat (1654), geralmente 
envolvendo jogos de azar. A teoria de probabilidades se aplica a experimentos 
aleatórios, que são aqueles cujo resultado não podem ser previstos com certeza. 
O resultado de um experimento aleatório geralmente se dá ao acaso, entretanto, 
é possível construir um modelo que o reproduza, sem que seja necessária a sua 
observação. Como exemplo ilustrativo, poderíamos considerar um experimento 
simples como o lançamento sucessivo de um dado. Os resultados possíveis e 
respectivas probabilidades podem ser escritos como:
Resultado: 1 2 3 4 5 6
Probabilidade: 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
Ainda como ilustração, considere um lote contendo 50 bússolas, das quais 
10 são defeituosas e que seja retirada ao acaso uma bússola deste lote. Os 
resultados possíveis e respectivas probabilidades podem ser escritos como:
Resultado: Perfeita(P) Defeituosa(D)
Probabilidade: 4/5 1/5
Um modelo probabilístico associado a um experimento aleatório, conforme 
observado acima pode ser especificado por um espaço amostral (S), que consiste 
no conjunto dos resultados possíveis e por uma probabilidade. Os subconjuntos 
do espaço amostral são denominados de eventos, geralmente denotados por 
letras latinas maiúsculas A, B, C, ou A1, A2, etc.
5.1 - DEFINIÇÕES DE PROBABILIDADE
Uma probabilidade pode ser definida como uma função que satisfaz os seguintes 
axiomas:
1) P(A) ≥ 0 
2) P(S) = 1
Onde os Aj , j= 1,2,...n são disjuntos ou excludentes, ou seja, ( Ai ∩ Aj) = Ø
3) )()(
11
∑
==
=
n
j
j
n
j
j APAP 
34 MÉTODOS QUANTITATIVOS EM GEOGRAFIA: INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
Uma probabilidade pode ser atribuída com base nas características teóricas da 
realização do experimento, como é o caso do exemplo do lançamento do dado, 
visto anteriormente. No caso, emprega-se a relação:
P= número de casos favoráveis/ número de casos possíveis
Uma probabilidade pode ser obtida através da frequência relativa. Pode-se 
verificar que à medida que o número de realizações do experimento aumenta, 
a frequência relativa de um evento de interesse tende a se estabilizar em um 
valor que representa a sua verdadeira probabilidade.
Algumas propriedades:
1. Seja A um evento qualquer, então 1 ≥ P(A) ≥ 0;
2. Seja Ac o chamado evento complementar de A, então P(Ac) = 1 – P(A);
3. P(A B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B), sendo A e B eventos quaisquer.
5.2 – PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA
Em muitas situações, o cálculo da probabilidade de um evento pode ser 
feito com base em alguma informação adicional fornecida, sendo o espaço 
amostral atualizado. Essa nova probabilidade recalculada pode ser chamada 
probabilidade condicional.
Definição: dados dois eventos A e B, diz-se que a probabilidade condicional de 
B ocorrer dado que o evento A ocorreu é dada por:
Onde P(A) ≥ 0.
Definição: dois eventos A e B são independentes se a informação da ocorrência 
de A não altera a chance da ocorrência de B, ou seja:
 P(B | A) = P(B)
Ou seja, 
 P(A ∩ B) = P(A).P(B)
∩
)(
)()|(
AP
BAPABP ∩=
35AUL A 05 - NOÇÕES DE PROBABILIDADE
Aplicação: 
a tabela abaixo apresenta o número de alunos matriculados nos cursos de pós-
graduação em um instituto de geociências de certa universidade:
CURSO MASC. (M) FEM (F)
Geografia Humana (A) 60 30
Geografia Física (F) 15 10
Modelagem de sistemas Ambientais (C) 10 15
Geologia (D) 15 5
Uma pessoa do corpo discente é sorteada para participar do encontro anual 
da Associação dos Geografos Franceses com todas as despesas pagas! Calcule, 
então, as probabilidades seguintes:
a) P(A)
b) P(D)
c) P(H)
d) P(A M)
e) P(B ∩ F)
f) P(M | C)
∩
6 Variáveis Aleatórias
37AUL A 06 - VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
AULA 06 - VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
• Discreta: assume valores num conjunto finito ou enumerável de valores. 
Ex: número de filhos, número de itens defeituosos, etc.
• Contínua: assume valores num conjunto infinito não enumerável de 
valores. Ex: peso, altura, renda, pluviosidade, concentrações e outras 
medidas em geral.
6.1 – CASO DISCRETO
• A variável aleatória assume Valores X1, X2, ...... Xn
• A cada valor se associa uma probabilidade respectiva: p1, p2, ...... pn
• Pode–se definir uma função de probabilidades, f (x), tal que:
e
Em resumo tem-se:
Distribuição de probabilidades
X x1 x2 x3 ...xN
P ( X = x ) P1 P2 P3 ...PN
Média e variância de uma variável discreta:
Média: E ( X ) = ∑ Xi P ( X = x i )
Variância: V ( X ) = E (X2 ) – E2 ( X )
Onde: E ( X2 ) = ∑ 2X P ( X = x )
0)( ≥xf
∑ === 1)()( xXPxf
38 MÉTODOS QUANTITATIVOS EM GEOGRAFIA: INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
6.2 – CASO CONTÍNUO
• A Variável assume valores em intervalos
• Pode–se definir a função de densidade de Probabilidades, f ( x ), tal que:
1. 
2. 
3. 
Aplicação:
1. Um lote contém 10 GPS, sendo 3 defeituosos. Dois GPS são retirados 
ao acaso, sem reposição. Seja X V.A representando o número de GPS 
defeituosos.
 a. Determinar o espaço amostral do experimento e suas respectivas 
 probabilidades.
 b. Obtenha a distribuição de probabilidades da variável X.
 c. Calcule E ( X ) e V ( X ).
2. Repetir o exercício acima usando amostragem com reposição.
0)( ≥xf
∫
+∞
∞−
=1)( dxxf
∫=<<
b
a
dxxfbXaP )()(
39AUL A 06 - VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
7 Modelos Discretos
41AUL A 07 - MODELOS DISCRETOS
AULA 07 - MODELOS DISCRETOS
 
7.1 - DISTRIBUIÇÃO DE BERNOULLI
Seja um experimento com apenas dois resultados possíveis: Sucesso e Fracasso. 
Define-se a Variável: X = 1 se ocorre sucesso, com probabilidade p e X = 0, caso 
contrário. Tem-se, então: 
X 0 1
P ( X = x ) ( 1 - P ) P
É fácil ver que E( X ) = p e V ( X ) = p (1 – p) = pq
7.2 - DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
• Têm-se n realizações independentes de um experimento tipo Bernoulli. 
• A Probabilidade de sucesso “p” é constante.
• Deseja-se obter a chance de ocorrerem k sucessos nas n realizações.
Seja X Variável aleatória definida como o número de sucessos nas n realizações. 
Então:
Verifica-se que, no caso da Distribuição Binomial, temos:
 
P (X = K ) = )(
N
K . pk. ( 1- p)n-k Função de Probabilidades BinomialP (X = K ) = 
)( NK . pk. ( 1- p)n-k Função de Probabilidades Binomial
42 MÉTODOS QUANTITATIVOS EM GEOGRAFIA: INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
7.3 - MODELO DE POISSON
• Contagem de eventos que ocorrem em intervalos de tempo, volume, 
superfície.
Aplicações:
• Chegada de clientes numa fila
• Ocorrência de falhas por metro quadrado de tecido produzido
• Número de chamadas telefônicas que chegam numa central
• Limite da Distribuição Binomial
Fórmula: 
Onde: 
 λ = taxa de ocorrências.
 t = n.º de unidades de tempo ou espaço
7.4 - MODELO HIPERGEOMÉTRICO
Considere uma população de N elementos, dos quais r têm uma certa 
característica. Retira-se dessa população uma amostra de n elementos. Define-
se X como o nº de sucessos (nº de elementos com a característica citada) na 
amostra. Deseja-se calcular P(X=k), que é dado por:
Aplicação:
1. Cerca de 10% dos alunos de métodos quantitativos aplicados à geografia 
são frequentemente aprovados na disciplina.
Numa amostra de 10 alunos que acabaram de cursar a disciplina, determinar 
a probabilidade de se ter:
a. Exatamente 2 aprovados
b. No máximo, um reprovado
)(
))(()( N
n
rN
kn
r
kkXP
−
−==
43AUL A 07 - MODELOS DISCRETOS
2. Num certo leito de rio passam, em média, 5 bagres por minuto.
a. Nenhum bagre em intervalo de 01 minuto.
b. Exatamente 06 bagres em 02 minutos.
3. Em uma unidade de tratamento de água 50 provas são coletadas de 
um reservatório. Um inspetor de qualidade examina a qualidade da água 
do reservatório testando apenas 5 provas. Se nenhuma delas apresentar 
coliformes fecais a água do reservatório é distribuída para a população. 
Se houver ao menos uma com a bactéria, todas as provas são testadas. 
Sabendo que há 6 provas contaminadas, calcule a probabilidade da água do 
reservatório não ser distribuída.
8 Modelos Contínuos
45AUL A 08 - MODELOSCONTÍNUOS
AULA 08 - MODELOS CONTÍNUOS
8.1 - DISTRIBUIÇÃO NORMAL
• O exame dos gráficos de frequência sugere a curva representativa da 
distribuição da variável.
• As curvas de distribuição permitem o cálculo de probabilidades sobre a 
Variável estudada.
• A curva normal é uma das mais importantes e utilizadas na Estatística.
• Muitas variáveis, na prática, seguem o modelo normal.
• O Modelo Normal possui dois parâmetros: a média (m) e o desvio 
padrão (s).
• Notação X~N( m,s )
Gráfico da curva normal:
Do gráfico acima, observa-se que:
1. A área sob a curva é igual a 1.
2. A curva é simétrica em relação à sua média.
3. A curva possui dois pontos de inflexão em (μ + σ) e (μ - σ).
4. A curva possui um ponto máximo em x = μ.
 
µ µ + σ µ - σ 
68% 
46 MÉTODOS QUANTITATIVOS EM GEOGRAFIA: INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
Uso da tabela normal:
Escore Padrão: 
A tabela normal aqui utilizada apresenta a área entre 0 (zero) e o escore de 
interesse:
Como exemplo, vamos obter as seguintes áreas:
1) P ( 0 < Z < 1 ) = 0,3413
2) P ( Z > 1 ) = 0,50 – 0,3413
3) P ( Z > -1 ) = 0,50 + 0,3413 = 0,8413
0 Z
σ
µ−X
Z = 
0 1
-1 0
47AUL A 08 - MODELOS CONTÍNUOS
• A Tabela Normal também pode ser usada no sentido inverso, ou seja: 
dada uma determinada área, qual o escore corresponde? Considere a 
situação abaixo:
Aplicação: 
a precipitação média diária de uma cidade na Região Amazônica segue uma 
distribuição normal com média 172ml/m2 e desvio padrão de 5ml/m2.
a) Qual a proporção de dias com precipitação inferior a 177ml/m2?
b) Qual a proporção de dias com precipitação entre 167 e 177ml/m2?
c) Qual o valor acima do qual estão 2,5% das precipitações?
Z
Z = 1,64
0
5%
Z-Z
Z = 1,96 = 5%
0
2,5%
9 Noções de Amostragem / Distribuições Amostrais
49AULA 09 - NOÇÕES DE AMOSTRAGEM / DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS
AULA 09 - NOÇÕES DE AMOSTRAGEM / DISTRIBUIÇÕES 
AMOSTRAIS
• População: conjunto de elementos com pelo menos uma característica 
em comum.
• Amostra: Parte da população a ser estudada.
Por que usar amostragem?
• Estudo de grandes populações;
• Redução de custos;
• Resultados mais precisos em menor espaço de tempo.
9.1 - DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS 
• Distribuição de probabilidades de uma estatística amostral;
• Indica como variam as estatísticas devido a variações no processo de 
amostragem.
Onde está a variabilidade?
• Na própria estatística;
• Na distribuição da população em estudo;
• Tem relação inversa com o tamanho da amostra.
Aleatória simples
Estratificada
Sistemática
Conglomerados
Multifásica
PROBABILÍSTICA
NÃO PROBABILÍSTICA
AMOSTRAGEM
50 MÉTODOS QUANTITATIVOS EM GEOGRAFIA: INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
9.2 - DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DE MÉDIAS 
• Obtida a partir da média aritmética de uma série de amostras de 
tamanho n, extraída de uma população que tem média μ e desvio 
padrão σ;
• A média da distribuição amostral de médias é igual à média 
populacional;
• A variância da distribuição amostral de médias é dada por:
• O desvio padrão da distribuição amostral de médias é dado por:
• Para um tamanho de amostra suficientemente grande, a distribuição 
amostral de médias é aproximadamente normal.
• A estatística da equação abaixo é aproximadamente N(0,1).
Aplicação:
1. O fabricante de novo tipo de arma química afirma que o tempo de vida de um 
soldado ao ser exposto ao agente é de 100 segundo,s com desvio padrão de 8 
segundos. Tomando-se uma amostra de 36 soldados, ao acaso, de uma tropa 
que foi atacada com o agente, pergunta-se:
a. Qual média e desvio padrão da distribuição da amostra?
b. Que percentual de soldados terá vida média superior a 99 segundos?
c. Que percentual de soldados terá vida média entre 99 e 101 segundos?
9.3 - DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DE PROPORÇÕES
• A média da distribuição amostral de proporções é igual à proporção 
populacional;
n
2σ
n
σ
n
x
z
σ
µ)( −
=
51AULA 09 - NOÇÕES DE AMOSTRAGEM / DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS
• O desvio padrão da distribuição amostral de proporções é dado por:
• Para amostras suficientemente grandes a distribuição amostral de 
proporções segue o modelo normal;
• A estatística da equação abaixo é aproximadamente N(0,1).
Aplicação:
1. Cerca de 5% do minério de ferro extraído em uma região são compostos 
por metais nobres. São extraídos cerca de 100t/dia de minério. Qual 
a probabilidade de, em um dia qualquer, a produção apresentar uma 
concentração de metais nobres igual ou superior a 10%?
N
pp
p
)1( −=σ
σ p
Ppz −=
10 Estimação:Noções Gerais
53AULA 10 - ESTIMAÇÃO: NOÇÕES GERAIS 
AULA 10 - ESTIMAÇÃO: NOÇÕES GERAIS 
• Resultados extraídos de uma amostra podem ser usados para produzir 
inferências sobre a população.
• Parâmetros: medida numérica que descreve alguma característica da 
população.
• Estatísticas: funções de valores amostrais.
Os principais estimadores de parâmetros populacionais e respectivos intervalos 
de confiança são resumidos no quadro abaixo:
PARÂMETRO ESTIMADOR PONTUAL ESTIMADOR POR INTERVALO
Média 
(com variância 
conhecida)
Média 
(com variância 
desconhecida)
Pontual – a partir de observações 
calcula-se uma estimativa.
Por intervalo - fixação de dois 
valores com probabilidade (1-∝) de 
conter o verdadeiro valor do 
parâmetro.
TESTES DE HIPÓTESES – permite decidir por 
um valor do parâmetro ou por sua modificação, 
com um risco conhecido. 
ESTIMAÇÃO
AMOSTRAGEM
___
X
___
X
N
ZX σα 2/
___
/−+
n
StX 2/
___
/ α−+
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54 MÉTODOS QUANTITATIVOS EM GEOGRAFIA: INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
Proporção
Diferenças de 
Médias 
(variâncias 
conhecidas)
Diferenças de 
Médias 
(variâncias 
desconhecidas)
Aplicação:
1. Deseja-se saber o peso dos recém-nascidos de uma determinada 
população. Foi selecionada uma amostra de 25 bebês que produziu um 
peso médio de 2,5Kg e desvio padrão de 1,5Kg. Construir um intervalo de 
confiança para média populacional.
2. Uma amostra de 50 trabalhadores extraída de uma grande empresa 
apresenta 5 indivíduos com pressão alta. Construir um intervalo de 
confiança para a proporção de trabalhadores hipertensos na empresa.
^
P n
PPZP )1(/ 2/
^ −−+ α
2
__
1
__
XX −
2
2
2
1
2
1
2/2
__
1
__
/)(
nn
ZXX σσα +−+−
2
__
1
__
XX −
21
2/2
__
1
__ 11/)(
nn
StXX c +−+− α
55AULA 10 - ESTIMAÇÃO: NOÇÕES GERAIS 
11 Testes de Hipóteses
57AULA 11 - TESTES DE HIPÓTESES
AULA 11 - TESTES DE HIPÓTESES
11.1 - DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS 
• Formula-se uma hipótese sobre a média populacional desconhecida;
• Com base numa amostra de tamanho n procura-se decidir sobre essa 
hipótese; 
• Toma-se, então, uma decisão 
 São definidas as Hipóteses:
 H0: μ = μ0 (hipótese nula)
 H1: μ ≠ μ0 (hipótese alternativa)
• Supondo que H0 seja verdade: Qual a probabilidade de se obter, 
para uma amostra de n observações, um valor amostral tão ou mais 
discrepante que a média observada?
• Se tal probabilidade for muito pequena, a média amostral observada 
não é compatível com a hipótese H0. Logo, a hipótese formulada tende 
a ser rejeitada.
• Um teste de hipóteses procura responder à questão:
A diferença entre o valor amostral e o parâmetro é devido apenas ao acaso? 
(variação amostral)
• Em geral, a regra de decisão para um teste envolve:
 - Uma amostra aleatória
 - Uma estatística amostral
 - Uma distribuição amostral da estatística
 - Definição de erros na forma de probabilidades de significância 
EVIDÊNCIAS 
DA AMOSTRA
Rejeitar a hipótese formulada 
Não rejeitar a hipótese formulada 
58 MÉTODOS QUANTITATIVOS EM GEOGRAFIA: INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
Erros envolvidos num teste de hipóteses:
CONCLUSÃO DO TESTE SITUAÇÃO REAL
H0 VERDADE H0 FALSA
Não Rejeitar H0 Certo Erro tipo II (β)
Rejeitar H0 Erro tipo I (α) Certo
Cuidado!
• Resultado não significante não prova que H0 é verdade, mas sim, que os 
dados não forneceram evidência suficiente para rejeitá-la.
• Procurar afastar, na medida do possível, fatores externos que perturbem 
as conclusões.
O quadro abaixo apresenta um resumodas estatísticas e distribuições utilizadas 
nos principais testes de hipótese:
TESTE DISTRIBUIÇÃO ESTATÍSTICA
Média com desvio padrão 
conhecido Normal
Resultado 
amostral
Variação 
não casual0H
Rejeitação deSignificativo
0H
Não rejeita Variação 
casual
Não
significativo
NXZ d σ
µ )( 0−=
59AULA 11 - TESTES DE HIPÓTESES
Média com desvio padrão 
desconhecido t com (N-1)G.L.
Diferença de médias: 
amostras pareadas t com (N-1)G.L.
Diferença de médias: 
amostras independentes
Desvio padrão conhecido
Normal
Diferença de médias: 
amostras independentes
Desvio padrão 
desconhecidos e iguais
t com (N+N-2)G.L.
Proporção Normal
Obs: Variância Combinada
Aplicação:
1. A água de uma determinada fonte apresenta uma concentração média de 
sulfatos da ordem 0,206g/l e desvio padrão de 0,012g/l. Retira-se uma 
amostra de 30 litros obtendo uma concentração média de 0,210g/l. Ao 
nível de 10% pode-se aceitar que a concentração média tenha aumentado?
2. Certa indústria automobilística afirma que o desempenho do seu modelo 
4X4 é de 12Km/l de gasolina.
Um teste com 5 automóveis revelou os seguintes valores: 10,0 11,5 12,0 
11,8 11,6. Com base nesses resultados, o que se pode concluir quanto à 
afirmação do fabricante?
3. Um estudo sobre a qualidade do ar em Belo Horizonte deseja saber se há 
diferenças significativas da concentração média de dióxido de enxofre 
(SO2) entre dois bairros da Capital. Para isto, tomaram-se amostras de ar 
em ambos os bairros, obtendo os seguintes resultados:
BAIRRO N.º DE ELEMENTOS MÉDIA DESVIO PADRÃO
Santo Antônio 15 ppbv 80 6
Panpulha 10 ppbv 72 9
Qual a sua conclusão sobre o experimento?
S
NXtd
)( 0µ−=
St dd
ND 0=
2
2
2
1
2
1
21
NN
XXZ d σσ
+
−=
nPP
PPZ d /1( 00
0
−
−
=
 
12 Correlação e Regressão
61AULA 12 - CORRELAÇÃO E REGRESSÃO
AULA 12 - CORRELAÇÃO E REGRESSÃO
• Estudo da associação entre variáveis;
• Vários tipos de associação são possíveis.
12.1 - DIAGRAMA DE DISPERSÃO
• Gráfico que representa no plano cartesiano duas variáveis quantitativas;
• Ferramenta simples que permite o estudo da associação entre 2 
variáveis.
Exemplo:
Na tabela abaixo, estão representadas o número de programas sociais e a 
produção per capita semanal de cinco assentamentos rurais.
ASSENTAMENTOS 
RURAIS
PROGRAMAS SOCIAIS
(UNIDADES)
PRODUÇÃO PER CAPITA
( R$/SEMANA)
A 1 35
B 3 40
C 4 42
D 6 50
E 8 55
Diagrama de dispersão correspondente:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
35
40
45
50
55
Y 
pr
od
uç
ão
 p
er
 c
ap
ita
 (R
$/
Se
m
.)
X Número de programas sociais
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
35
40
45
50
55
Y 
pr
od
uç
ão
 p
er
 c
ap
ita
 (R
$/
Se
m
.)
X Número de programas sociais
62 MÉTODOS QUANTITATIVOS EM GEOGRAFIA: INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
12.2 - INTERPRETAÇÃO DO DIAGRAMA DE DISPERSÃO
De acordo com o exame do diagrama de dispersão, podemos ter as seguintes 
situações:
• Quando as variáveis crescem no mesmo sentido temos o caso de 
correlação positiva.
• Quando as variáveis crescem em sentidos opostos temos uma 
correlação negativa.
Correlação Perfeita 
Positiva
Rxy = 1
y
x
Correlação Perfeita 
Negativa
Rxy = -1
y
x
Correlação Forte
Positiva
Rxy → 1
y
x
Correlação Forte
Negativa
Rxy → -1
y
x
Ausência de 
Correlação
Rxy → 0
y
x
Correlação Não
Linear
y
x
63AULA 12 - CORRELAÇÃO E REGRESSÃO
• Se os dados estão perfeitamente alinhados sobre uma reta temos uma 
correlação perfeita.
• Quando o crescimento de uma variável é acompanhado de variações 
casuais da outra variável a correlação é nula.
12.3 - COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR
Para medir o grau da associação linear entre duas variáveis quantitativas 
usamos o coeficiente de correlação linear cuja fórmula é:
Onde “ rxy ” varia de –1 a 1
Cuidado!
• Correlação não implica em relação de causa e efeito.
• Podemos, por exemplo, encontrar uma alta correlação entre o n. º de 
internações por desidratação e a venda de sorvetes, e a verdadeira 
causa pode ser o aumento da temperatura.
12.4 - REGRESSÃO LINEAR SIMPLES 
Quando os pontos traçados no diagrama de dispersão se agruparem em torno 
de uma reta, podemos obter a equação dessa reta e, assim, determinar um 
modelo matemático para a relação entre as variáveis.
A reta que melhor se aproxima dos dados é a chamada reta de mínimos quadrados 
que tem a fórmula:
∑∑
∑
−−
−
=
)()(.
2222 YNYXNX
YXNXY
r xy
=
∧
iY
Coeficiente linear 
da reta 
Coeficiente angular 
(inclinação) da reta 
Variável independente 
(explicativa) 
Variável dependente 
B+A X i
64 MÉTODOS QUANTITATIVOS EM GEOGRAFIA: INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
• Os valores de A e B podem ser obtidos através das fórmulas:
e
• A reta de regressão pode ser utilizada para prever um valor de Y para 
um X que não esteja na amostra.
Aplicação:
Com os dados da tabela sobre a quantidade de programas sociais e a 
produtividade dos assentamentos rurais obtenha:
a) Coeficiente de correlação entre as variáveis;
b) A reta de regressão;
c) Qual o valor da produtividade semanal para um assentamento com 7 
programas sociais?
∑
∑
−
−
= 22 XN
YXNXY
B
X
XBYA −=
65AULA 12 - CORRELAÇÃO E REGRESSÃO
13 Análise deVariância
67AULA 13 - ANÁLISE DE VARIÂNCIA
AULA 13 - ANÁLISE DE VARIÂNCIA
• Técnica utilizada para verificar se as médias de duas ou mais populações 
são iguais.
• O teste baseia-se em amostras extraídas de cada população.
• A variação total dos dados é tratada como sendo divisível em dois 
componentes:
a) Distância dos valores em relação à média dos grupos a que 
pertencem (variação dentro do grupo).
b) Distância entre as médias dos vários grupos (variação entre os 
grupos).
• As variações são apresentadas na forma de somas de quadrados.
• Temos, portanto, que:
Soma de quadrados total = soma de quadrados entre grupos + soma de quadrados 
dentro dos grupos.
• Fórmulas de cálculo:
SQENTRE = SQTOTAL - SQDENTRO
Quadrado médio (QM): definido como a relação entre as somas de quadrado e os 
respectivos graus de liberdade:
• É formulada, então, a hipótese:
2)(∑ −= YYSQTOTAL ij
22
22
2
11
2 )(...)()()( KKjjjiij YYYYSQDENTRO YYYY −++−+−=−= ∑∑∑∑
NÚMERO DE 
GRUPOS 
1-K
ENTRESQENTREQM =
K-N
DENTROSQDENTROQM =
68 MÉTODOS QUANTITATIVOS EM GEOGRAFIA: INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
• A estatística utilizada para verificação da hipótese é:
Tal estatística tem distribuição F, com ( K – 1 ) e ( N – K ) graus de liberdade.
• Para se tomar uma decisão sobre H0, verifica-se F está na região de 
rejeição ( veja a figura abaixo ).
Rejeita-se H0 se Fc > F0
Aplicação:
Deseja-se verificar se existe diferença significativa entre a concentração de 
ferro em amostras de minérios proveniente de 5 minas diferentes. Os dados 
estão na tabela abaixo:
Amostras
(g/kg)
Minas de minério de ferro
A B C D E
1 96 98 116 112 113
2 92 104 106 105 112
3 106 110 109 118 127
4 100 101 100 108 117
0
2
4
6
8
0 2 4 6 8
TABELA F ( K–1, N – K )
Região de 
aceitação
Região de 
rejeição
α
QMDENTRO
QMENTREFC =
69AULA 13 - ANÁLISE DE VARIÂNCIA
Referências Bibliográficas
e Anexos
71REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS E ANEXOS
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BERQUÓ, E. et al. Bioestatística. São Paulo: EPU, 1986.
BUSSAB, W. O; MORETTIN, P. A. Estatística básica. Atual Editora: São Paulo, 1986.
BUSSAB, W. O. Análise de variância e de regressão. São Paulo: Atual, 1986.
CALEGARE, A. J. A. Técnicas de Garantia da Qualidade. Rio de Janeiro: Ao Livro 
Técnico, 1985.
DRAPER, N. E H. SMITH. Applied Regression Analysis. New York: John Willey, 
1966.
FONSECA, J. S.; MARTINS, G. de A. Curso de Estatística. São Paulo: Atlas, 1987.
GATTAS, R. R. Elementos de probabilidade e inferência. São Paulo: Atlas, 1978.
GUEDES, M. L. S.; GUEDES, J. da S. Bioestatística para profissionais de saúde. 
Brasília: Ao livro Técnico, 1988.
HOFFMAN, R.; VIEIRA, S. Análise de Regressão. São Paulo: Hucitec, 1982.
HUFF, D. Como mentir com estatística. São Paulo: Ediouro, 1992.
JURAN, J. M. Planejamento para a Qualidade. São Paulo: Pioneira, 1986.
JURAN, J. M.; GRYNA,F. M. Controle para a qualidade. VOL. 6, São Paulo: Makron 
Books, 1993.
MORETTIN, L. G. Estatística Básica – Inferência. São Paulo: Makron Books, 2000.
MORETTIN, L. G. Estatística Básica – Probabilidade. São Paulo: Makron Books, 
1998.
MORETTIN, P. A. Introdução à estatística para ciências exatas. São Paulo: Atual, 
1991.
PARATHAMAN, D. Controle da qualidade. São Paulo: Mc. Graw Hill, 1990.
SHAMBLIN, J. E. Pesquisa Operacional. São Paulo: Atlas, 1979.
SPIEGEL, M. R. Estatística. São Paulo: Makron Books, 1994.
SPIEGEL, M. R. Probabilidade e estatística. São Paulo: Mc Graw Hill, 1986.
STEVESON, W. J. Estatística aplicada à Administração. São Paulo: Harbra, 1986.
VIEIRA, S. O que é estatística. São Paulo: Brasiliense, 1987.
VIEIRA, S.; WADA, R. Estatística – Uma introdução ilustrada. São Paulo: Atlas, 
1986.
72 MÉTODOS QUANTITATIVOS EM GEOGRAFIA: INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
ANEXOS
Tabela para teste z -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Área tabelada
73REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS E ANEXOS
Tabela para teste z (continuação)
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Área tabelada
74 MÉTODOS QUANTITATIVOS EM GEOGRAFIA: INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
Tabela para teste t
75REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS E ANEXOS
76 MÉTODOS QUANTITATIVOS EM GEOGRAFIA: INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
Composto em caracteres Aller, Arial, Calibri, PT Sans e Times New Roman.
Editorado pelo Centro de Apoio à Educação a Distância da UFMG (CAED-UFMG).
Impresso pela Adescryn Gráfica Editora LTDA. 
Capa em Supremo, 250g, 4 X 0 cores - Miolo Off Set 120g, 4X4 cores.
Julho - 2011
77
78 MÉTODOS QUANTITATIVOS EM GEOGRAFIA: INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
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