Apostila Dinâmica das Máquinas - Unidade 01

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Dinâmica das Máquinas 
 
Professor: Gilberto Machado da Silva 
Engenharia Mecânica 
 
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AULA 1 – INTRODUÇÃO 
Dinâmica das Máquinas Prof. Gilberto Machado da Silva
 
 
OBJETIVOS GERAIS 
A disciplina “Dinâmica das Máquinas” objetiva o aprendizado de métodos de análise dinâmica 
de corpos ou conjunto de corpos flexíveis e a formular e resolver problemas de vibrações de 
máquinas e estruturas. Adquirir conhecimentos para avaliar e desenvolver soluções de 
problemas de sua habilitação específica e multidisciplinar. Adquirir a percepção do conjunto e 
capacidade de síntese. 
OBJETIVOS ESPECIFICOS 
Aprender métodos de análise dinâmica de corpos ou conjuntos de corpos flexíveis. 
Aprender a formular e resolver problemas de vibrações em máquinas e estruturas 
PROGRAMA 
Resposta livre de sistemas com um grau de liberdade 
• Formulação das equações do movimento – Newton e Lagrange 
• Resposta livre de sistemas não-amortecidos e amortecidos. 
Resposta forçada de sistemas com um grau de liberdade 
• Resposta de sistemas a excitações harmônicas, periódicas e arbitrárias. 
Resposta livre e forçada de sistemas com N graus de liberdade 
• Formulação das equações do movimento – Newton e Lagrange 
• Resposta livre de sistemas não-amortecidos e amortecidos. 
• Resposta de sistemas a excitações harmônicas 
Resposta livre de sistemas contínuos. 
• Formulação das equações do movimento – Newton e Lagrange 
• Resposta livre de estruturas do tipo barra e eixo 
• Resposta livre de estruturas do tipo viga 
• Métodos de discretização espacial para sistemas contínuos 
BIBLIOGRAFIA 
• Rao, S. Vibrações Mecânicas, 4a ed., Pearson Prentice Hall, 2008. 
• MARTIN, G.H. Kinematics and Dynamics of Machines, 2nd Ed. New York: McGraw-Hill, 
2002. 
• SHIGLEY, J. E.; VICKER, J. J.; PENNOCK, G. R. Theory of Machines and Mechanisms. 3rd 
Ed. New York: Oxford University Press, 2000. 
 
CRITÉRIO DE AVALIAÇÃO 
• Cada aula terá: 3 Questões de Múltipla Escolha - Peso: 20% 
• Ao Final 1 Prova dissertativa com 5 questões - Peso: 80% 
 
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AULA 1 – INTRODUÇÃO 
Dinâmica das Máquinas Prof. Gilberto Machado da Silva
 
ROTEIRO DA AULA: 
 Prezado aluno, nessa estudará uma introdução à Dinâmica das Máquinas e associações de 
molas, amortecedores e massas. Dessa forma, estude o texto abaixo e responda às 3 questões 
ao final da aula. 
1.1 Propósito da Disciplina: 
A mecânica pode se dividir em três áreas: 
Estática 
• Estuda as leis de composição das forças, as condições de equilíbrio dos corpos sólidos 
sujeitos à ação de forças e/ou momentos. 
• Estuda a estabilidade das estruturas. 
• Aplicável quando as velocidades e acelerações são baixas 
Cinemática 
• Se ocupa das leis do movimento dos corpos independentemente das causas que o 
provocam 
• Estuda os aspectos puramente geométricos do movimento, não sendo considerados os 
esforços envolvidos neste processo. 
• Estabelece para cada instante, a posição, a velocidade e a aceleração, em relação a um 
referencial previamente escolhido. 
• Serve de base à dinâmica, estabelece as relações cinemáticas necessárias ao estudo do 
movimento dos corpos submetidos à ação de forças. 
Dinâmica 
• Estuda a relação entre o movimento dos corpos e as ações/causas que o provocam e 
o movimento dos corpos, consideram-se não só os esforços que atuam sobre os corpos, 
mas também a sua inércia/massa. 
• Permite prever o movimento causado por determinadas ações ou vice-versa. 
• O estudo dinâmico baseia-se em leis que generalizam resultados de inúmeras 
experiências e observações feitas com o movimento dos corpos de maneira 
sistematizadas. (Newton / Lagrange / Laplace...). 
 
Fig 1.1 Divisão da mecânica 
 
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AULA 1 – INTRODUÇÃO 
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1.2 Fundamentos da Vibração 
Vibração é o estudo do movimento repetitivo de um objeto em relação a um referencial, 
normalmente referente à sua posição de equilíbrio. 
 
Fig 1.2 Exemplo de movimento vibratório 
A vibração em máquinas é um fator que pode: 
• Limitar a qualidade do equipamento e de seus componentes 
• Diminuir sua vida útil ou até mesmo inviabilizar o seu funcionamento 
• Comprometer toda uma produção ou arruinar definitivamente um produto 
Conhecer esse fenômeno é condição básica para quem trabalha com mecânica e áreas afins. 
A vibração, portanto, é o estudo do movimento de oscilação de um corpo em torno de uma 
posição de equilíbrio, bem como das forças e/ou momentos a ele associadas. 
 
 
Fig 1.3 Deslocamento, velocidade e aceleração 
No movimento vibratório quando o corpo passa pela condição de equilíbrio a velocidade é 
máxima e aceleração nula, quando o deslocamento é máximo a velocidade é nula e a aceleração 
está em contra fase. 
Vibração problema de Engenheiro Mecânico 
No projeto de máquinas, fundações, estruturas, motores, turbinas, sistemas de controle e 
outros, exigem estudos relacionados a vibrações. 
 
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Problema da vibração 
• A vibração causa desgaste em mancais e engrenagens 
• Em máquinas causa o afrouxamento de parafusos 
• Em processos de usinagem causa trepidação 
 
Por meio da análise de vibração pode se detectar 
• Rolamentos e engrenagens defeituosas 
• Acoplamentos desalinhados 
• Eixos e rotores desbalanceados ou empenados 
• Folgas excessivas e problemas hidráulico (cavitação) 
 
Quando a vibração é desejável 
• Esteiras transportadoras, peneiras vibratórias, compactadores, misturadores, máquinas 
de lavar e outras, utilizam a vibração em seu princípio de funcionamento 
• A vibração também pode ser útil em testes de materiais, processos de usinagem e 
soldagem 
• Os ultra-sons são largamente utilizados também em medicina (obstetrícia, destruição 
de cálculos renais, etc.) 
• A vibração também pode ser empregada para simular terremotos em pesquisas 
geológicas e para conduzir estudos no projeto de reatores nucleares. 
 
Ressonância 
Sempre que a frequência natural de vibração de uma máquina ou estrutura coincide com a 
frequência da força externa atuante, ocorre um fenômeno conhecido como ressonância, que 
leva a grandes deformações e falhas mecânicas. 
• A transmissão de vibração para o ser humano resulta em desconforto e perda de 
eficiência. 
• Vibrações de painéis de instrumentos podem produzir mau funcionamento ou 
dificuldade de leitura de medidores. 
• Portanto, um dos propósitos importantes do estudo de vibração é a redução dos níveis 
vibratórios através do projeto e montagem adequados de máquinas. 
 
Nesta interface, o engenheiro mecânico busca no projeto de uma máquina, para que a mesma 
apresente níveis vibratórios baixos, enquanto o engenheiro estrutural tenta projetar a base da 
máquina de forma a assegurar que o efeito da vibração não se transmita. 
 
1.3 Elementos para simulação de um sistema vibratório 
Molas: armazenam energia potencial elástica: 
 
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Amortecedores: dissipam energia mecânica sob forma de calor e/ou som 
 
Massas ou inércias: armazenam energia potencial 
 
 
 
Graus de liberdade 
Graus de Liberdade (GDL): é o número mínimo de coordenadas independentes (denominadas 
coordenadas generalizadas) que descrevem completamente o movimento de todos os 
elementos do sistema. 
 
Sistema com 1 GDL: 
 
 
 
 
Sistema com 2 GDL: 
 
 
 
Sistema com n GDL: 
 
 
 
 
Lei de Hooke: 
x.KFelástica = onde: x é o deslocamento 
dt
dx
CF adissipativ = velocidadedt
dx =onde: 
a.MFinércia = 2
2
dt
xd
MF =ou aceleração
dt
xd
2
2
=onde: 
 
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AULA 1 – INTRODUÇÃO 
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1.4 Classificação de um sistemamecânico 
Vibração amortecida, não amortecida, livre ou vibração forçada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vibração linear 
Apresenta relação direta entre causa e efeito 
 
 
 
 
 
 
 
Vibração não linear 
Não obedece o princípio da superposição de efeitos 
 
(Obedecem o princípio da 
 Superposição de efeitos) 
Forçada e não amortecida 
Livre e amortecida Livre e não amortecida 
Forçada e amortecida 
 
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AULA 1 – INTRODUÇÃO 
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Vibração determinística e aleatória 
Determinística: Se o valor da magnitude da excitação (força ou movimento) que está agindo 
sobre um sistema vibratório for conhecido a qualquer dado instante então a excitação é 
denominada determinística. 
 
Aleatória: Se a excitação não é determinística é dita aleatória, ou seja, a excitação em dado 
instante não pode ser prevista. 
 
 
Domínio no tempo e frequência 
A relação entre os domínios de tempo e frequência pode ser visualizado graficamente. A 
ferramenta matemática que permite a transformação entre os domínios de tempo e frequência 
é denominada, Transformada Rápida de Fourier (FFT) 
Seja um sinal no dominio do tempo representado pela soma de duas senóides com períodos 
diferentes e consequentemente frequências diferentes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No domínio da frequência o sinal é representado por um espectro com dois picos de frequência. 
 
 
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AULA 1 – INTRODUÇÃO 
Dinâmica das Máquinas Prof. Gilberto Machado da Silva
 
Exemplos de sinais no domínio do tempo: Exemplos de sinais no domínio da frequencia: 
 
 
 
 
 
Frequência Natural 
Quando um sistema é excitado vibra em sua frequência natural, essa frequência está sujeita à 
variação devido à massa, rotação, temperatura, rigidez e amortecimento. 
 
 
 
 
 
 
Os sistemas livres e não amortecidos vibram na frequência natural não amortecida ωn e os 
sistemas livres e amortecidos na frequência natural amortecida ωd. 
Ressonância 
Num sistema forçado e amortecido sempre que a frequência 
natural de vibração de uma máquina ou estrutura coincide 
com a frequência da força externa atuante. 
A amplitude de vibração na ressonância decresce como o 
acréscimo de amortecimento. 
 
 
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AULA 1 – INTRODUÇÃO 
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Modelo Físico 
• Deve representar esquematicamente todas as propriedades importantes do sistema. 
• Descrevem o seu comportamento. 
• Deve haver um compromisso entre simplicidade do modelo e representatividade do 
sistema. 
Modelo físico de sistema com 1 GDL 
 
Modelo físico de sistemas com vários GDL 
 
 O modelo pode ser tão complexo quanto a necessidade de representação 
 
Principais fontes de vibração num sistema mecânico 
• Transitórios (partidas e paradas) 
• Ressonâncias (eixos, rotores e estruturas) 
• Desbalanço empenamento, excentricidade e desalinhamentos de eixos 
• Desgaste em mancais de rolamento 
• Instabilidades em mancais de deslizamento 
• Forças hidráulicas e aerodinâmicas (cavitação, combustão, pulsação e turbulências) 
• Desgaste mecânico e falhas de montagem 
• Sistemas de acionamento (motores elétricos, polias e correias, engrenagens e 
mecanismos). 
 
Fig 1.4 Sistema mecânico em análise de vibração 
 
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AULA 1 – INTRODUÇÃO 
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Sensores de vibração 
Sensores de contato - acelerômetros piezoeléctricos: 
• Faixa de frequência 2 a 10kHz 
• Medição por contato 
• Pequenos e leves, fácil utilização, robustez e vida longa. 
• Sensor absoluto de vibração. 
 
 
 
 
 
 
Fig 1.5 Sensor piezelétrico de vibração 
 
Sensores de proximidade (eddy-current) 
• Faixa de frequência 0 a 500 Hz 
• Medição sem contato 
• Pequenos e leves, deslocamento estático e dinâmico 
• Sensor relativo de vibração 
 
Fig 1.6 Sensor de proximidade – eddy current. 
 
 Através do monitoramento continuo de máquinas é possível detectar possíveis 
falhas no sistema antes da ocorrência. O monitoramento de sistemas dinâmicos para 
fins de manutenção, são chamados de manutenção preditiva. Quando os níveis de 
vibração de determinados componentes atingem níveis alarmantes é possível executar 
uma intervenção antes da quebra e desabilitarão total do equipamento. Através dos 
métodos de monitoramento é possível detectar alterações de desbalanceamento, 
desalinhamentos, trincas, roçamento, falhas em rolamentos, engrenagens etc. 
 
 
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AULA 1 – ASSOCIAÇÃO DE MOLAS, AMORTECEDORES E MASSAS 
1.1 Elemento mola 
Uma mola linear é um tipo de elo mecânico cuja massa e amortecimento podem ser 
considerados desprezíveis. Uma será desenvolvida pela mola sempre que houver um 
deslocamento relativo em suas extremidades. Pela lei de Hooke a força elástica de restituição 
de uma mola é proporcional a sua rigidez k e ao seu deslocamento relativo onde x=x1-x2. 
 
Se traçarmos um gráfico da força elástica da mola pela sua deformação obteremos uma linha 
reta. O trabalho realizado pela mola (U) na deformação de uma mola é chamado de energia 
potencial da mola. 
 
A sua energia potencial de deformação é definido com a área sob a curva tensão deformação 
logo: 
 
Associação de molas 
Molas em paralelo 
 
 Tem-se que: � = ��� . ��	 como: 
 
 ��	 = �
 + �� então: ��� = �
 + �� 
 
 Para n molas: 	��� = �
 + �� +⋯+ �� 
 
 
Molas em série 
 
F kx U kx= =
21,
2
F kx U kx= =
 
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AULA 1 – ASSOCIAÇÃO DE MOLAS, AMORTECEDORES E MASSAS 
1.2 Elemento amortecedor 
Em muitos sistemas a energia é gradativamente convertida em calor ou som. Em virtude da 
redução da energia. O mecanismo pelo qual a energia de vibração é gradativamente convertida 
em calor ou som é conhecido como amortecimento. Um amortecedor não tem massa nem 
elasticidade e a força de amortecimento só existe se houver uma velocidade relativa. 
Normalmente esse fenômeno é modelado como um ou mais tipos listados a seguir. 
. Amortecimento viscoso; 
. Amortecimento de Coulomb ou por atrito 
. Amortecimento material ou sólido ou por histerese 
O amortecimento viscoso é o mais comumente usado na análise de vibração, logo será o tipo 
abordado nesse tópico. 
A força de amortecimento é dada por: �� = ��� onde �� = ���	 velocidade 
A associação de amortecedores segue a mesma regra das molas. 
A energia dissipada em um ciclo é dada por: � = �. c.ω. x onde ω é a frequência de oscilação. 
 
1.3 Elemento massa ou inércia 
Admite-se que o elemento de massa ou inércia é um corpo rígido, que pode perder ou ganhar 
energia cinética sempre que a velocidade mudar. Pela segunda lei de Newton o produto da 
massa por sua aceleração é igual à força de inércia. 
 
 
A energia cinética de uma massa é dada por: � = 
����� 
 
Exercícios 
1.1) Determine a rigidez equivalente da barra uniforme de comprimento l, seção transversal A 
e modulo de elasticidade E. Está sujeita à força F mostrada na figura abaixo: 
 
Quando uma barra está sujeita a uma força axial F sofre uma deformação δ, logo: 
 
Logo a deformação é dada por: � = �.� .! a barra pode ser modela como uma mola de rigidez k: 
 
Como a rigidez da barra é dada por: � = �� então: � = �" logo: � =
 .!
� 
a.MFinércia = 2
2
dt
xd
MF = aceleração
dt
xd
2
2
=onde: 
 
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AULA 1 – ASSOCIAÇÃO DE MOLAS, AMORTECEDORES E MASSAS 
1.2) Determine a rigidez torcional equivalente do eixo da hélice mostrado na figura abaixo: 
 
Solução no livro texto cap. 1 - exemplo 1.3. 
1.3) Determine a rigidez equivalente do sistema mostrado na figura abaixo, em relação àcoordena x: 
 
 
Quando aplico a força F o ponte C sofre o deslocamento x, o ponto B sofre 
o deslocamento x2 e o ponto A o deslocamento x1. 
Sabendo que a energia potencial da mola equivalente é a soma das 
energias das molas k1 e k2 tem-se: 
#�� = #
 + #� então: 
� ����� =
� �
�
� +
� ����� colocando os 
deslocamentos x1 e x2 em função de x tem-se: 
�
� =
�$
�$ =
�%
�% logo: �
 = �.
�%
� 						&						�� = �.
�$
� substituindo 
tem-se: 
� ����� =
� �
 '�.
�%
� (
� + 
� �� '�.
�$
� (
�
simplificando temos: 
��� = �
 )*
* +
�
+ �� )*�* +
�
 
 
 
 
 
 
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AULA 1 – ASSOCIAÇÃO DE MOLAS, AMORTECEDORES E MASSAS 
1.4) Determine a rigidez e o amortecimento equivalente da mesa sísmica, sabendo que: 
k1=k2=k3=k4=k e c1=c2-c3=c4=c. 
 
As molas e amortecedores estão em paralelo logo: 
 
 
Então: 
 logo: 
 
 
1.5) Determine o amortecimento torcional equivalente (cteq) do sistema mostrado na figura 
abaixo, em relação à coordenada θ, sabendo que: c1=c2=c3=c e l1=l, l2=2l e l3=3l. 
 
 
Os amortecedores c3 estão em série logo: 
,-. =
,/ +
,/ como c3=c então: 
,-. =
, +
, logo: ��� =
,
� 
θ 
 
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AULA 1 – ASSOCIAÇÃO DE MOLAS, AMORTECEDORES E MASSAS 
Enstão o sistema será: 
 
 
 
Os deslocamentos: x1=l1θ, x2=l2θ e x3=l3θ 
Somando a energia de cada amortecedor em um ciclo: ��0�� = �,
 + �,� + �,�� logo: 
 �1�0��2� = �1�
�
� + �1����� + �1����3� 
Então: �1�0��2� = �1�
4*
25� + �1��4*�25� + �1���4*325� ou 
 �1�0��2� = �1�4*. 25� + �1�42*. 25� + �1 ,� 43*. 25� 
 �0�� = �*� + �4. *� + ,�9. *� ou �0�� = �*� + �4. *� +
,
�9. *� ou 
 �0�� = �,�
$:;,�$:<,�$
� logo: �0�� =
<
� �*� 
 
1.6) Dado o conjunto pinhão e cremalheira mostrados abaixo, determine: 
 
 
 
a) A massa equivalente em relação à coordenada x. 
b) O momento de inércia de massa equivalente em relação à coordenada θ. 
a) A massa equivalente em relação à coordenada x. 
A soma da energia cinética de massa ou inércia do pinhão e cremalheira: 
��� = �,=�>��?�@=� + �A@�?ãC 
������� =
����� +
� DE2�� como x=R.θ ou 2 =
�
F substituindo temos: 
 
������� =
����� +
� DE '
��
F(
�
 ou 
������� =
����� +
� DE
��$
F$ então: ��� = �+
GH
F$ 
b) O momento de inércia de massa equivalente em relação à coordenada θ. 
��� = �,=�>��?�@=� + �A@�?ãC 
� D��2�� =
����� +
� DE2�� e x=R.θ , 
� D��2�� =
��IJ2�K
� + 
� DE2�� então: 	��� = �J� + DE 
 
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AULA 1 – ASSOCIAÇÃO DE MOLAS, AMORTECEDORES E MASSAS 
1.7) Determine a massa equivalente (meq) do sistema mostrado na figura abaixo, em relação à 
coordenada x1. 
 
Somando a energia cinética das massas temos: 
��� = �
 + �� + �3 
Temos as demais coordenadas em relação a x1 como 
 então: 
 
 
 
 
1.8) Determine a massa equivalente (meq), rigidez equivalente (keq) e amortecimento equivalente 
(ceq), do sistema mostrado na figura abaixo, em relação à coordenada x. 
 
 
Solução no livro texto capitulo 1 - exemplo 1.6. 
 
 
Exercícios Recomendados do livro texto 
1.7 – 1.8 – 1.9 – 1.10 – 1.13 -1.30 – 1.32 
 
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