Mecanismos - Mabie e Ocvirk - 2 Ed

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Mecanismos
HAMILTON H. MABIE
Profe$$Orde Engenheria Mecinica
Virginia Polytechnic In8titute
Blacklburg, Virginia
FRED W. OCVIRK
Ex-Profeuorde Engenharia Meclnica
Cornell University
Ithaca, New York
Traduçio de
EDIVAL PONCIANO DE CARVALHO
Engenheiro MeaJnico
RIOD
SÃOPr
Dt LIVROS,'c.ICoS I CIII'ífICoS 1111011
Trllduçlo lutoriz11d8 de
MECHANISMS ANO DYNAMICS Of MACHINERY, Third Edition
Copyrlght@1967, 1963, 1975, 1978 by JohnWiley. Sons, New york. NY. USA
1!' lIdiçlo: 1967
2!' ediçlo: 1980
CIP-Brasil. Catalogaçio-na-fonte
Sindicato Nacional dos Editores de livros, RJ.
Mabie. Hamilton .H.
M111 m Mecanismos I Hamilton H. Mabie [e] Fred W.
Ocvirk; tradução de Edival Ponciano de Carva-
lho. -- 2. ed. - Rio de Janeiro: Livros T6cnicos
e Cient(ficos. 1980.
Traduçlo de: Mechanisms and dynamics of
mechinery
Aptndiees
Bibliografia
ISBN 85-216-0021-6
,. Dinâmica das máquinas 2. Engenharia ma-
cânica I. Ocvirk, Fred W. 11. Tetulo
CDD - 620.104
620.105
CDU - 621
62-23
ISBN 85-216-0021-6
IEdiçlo original:
ISBN 0-411-02380-9
John Wiley & Sons, New York)
LIVROS T~CNICOS E CIENTfFICOS EDITORA S. A.
Av. Venezuela, 163
20220 - Rio de Janeiro, RJ
1980
Impresso no Bresil
Prefácio da Terceira Edição
(Unidades SI)
Nesta adiçio. todas as dirrien~es se exprimem em unidades SI com os símbolos correspon-
dentes. AI6m disso, empregou-se. nas seções sobre análise de forças. o conceito de fT1IISIIlI de prefe-
rência ao de força da gravidade e constante gravitacional, realçando-se. desse forma. o fato de que o
qullogfllfTNI se deve usar exclusivamente para exprimir a massa.
Nos caphulos sobre engrenagens. introduziu-se o sistema métrico em paralelo com o sistema
inglês. Nos Caps. 4, 5 e 6, apresentam-se os problemas em unidades inglesas e em seguida, separada-
mente, em unidades métricas.
Sou reconhecido ao Prof. J. Y. Harrison da Universidade New South Wales, da Austrália. e a
V. I. Conley e C. J. Kauffmann do Instituto Politécnico e Universidade Estadual da Virgínia por suas
valloses sugestc5es.
Blacksburu. Virgínia
Junho. 1978
Prefácio da Terceira Edicão,
Esta edição foi adiada por vários anos devido ao triste e prematuro falecimento do meu co-autor
F. W. Ocvirk em 1967.
As alterações principais nesta edição estão no Cap(tulo 10, "Cinemática das Máquinas" e no
Cap(tulo 11, "Análise de Forças em Máquinas". No Cap(tulo 10, acrescentou-se o seguinte material:
Análise de velocidades e acelerações por cálculo vetorial, solução analftica de equações da velocidade e
aceleração relativas através do cálculo vetorial, extensão da diferenciação gráfica às soluções que uti·
lizam o computador, análise de mecanismos espaciais por números complexos. A análise gráfica de
velocidade e aceleração foi conservada junto com a análise por números complexos.
No Cap(tulo 11, introduziu-se o seguinte assunto: Análise de forças usando componentes trans-
versais e radiais tratadas gráfica e vetorialmente, superposição usando vetores, análise de mecanismos
pelo método dos trabalhos virtuais, análise do movimento de mecanismos empregando o teorema do
trabalho e da energia. Conservou-se a análise gráfica por superposição, assim como a análise por nú-
meros complexos.
Introduziu-se Unidades do Sistema Métrico nesta edição, com excação dos cap(tulos relativos a
engrenagens. A padronização de engrenagens no Sistema Métrico não existe atualmente.
O autor agradece aos seguintes companheiros do Departamento de Engenharia Mecânica do Vir-
ginia Polytechnic Institute and State University por suas sugestões úteis na preparação desta edição:
N. S. Eiss, J. P. Mahaney, H. P. Marshall, L. D. Mitchell, R. G. Mitchiner, L. A. Padis e H. H. Robert·
shaw. O autor agradece também aos revisores deste texto por sua esmerada apreciação.
Blacksburg, Virginia
Janeiro, 1975
Sumário
1.1 Introduçlo 80 Estudo de Mecenlll11Ol.3
1.2 MecenIImO. ~uine. 6
1.3 Movimento. 7
1.4 Cicio. Perfodo e F•• do Movimento. &
1.6 P••.•• de Elementos. 9
1.6 Peçe. cedel. CI",m6tlce. 9
1.7 Inverdo.10
1.& Trensmllllo de Movimento. 10
PROBLEMAS. 13
CAPI'rUlO 2 SISTEMAS ARTICULADOS. 16
2.1 MecerlIImO de Ouetro-Ber •.••• 16
2.2 Mec:enllmO Cunor-Menlvel •• 20
2.3 G.rfo EICOCtI. 22
2.4 Mec:enllmol de Retorno Npldo. 23
2.6 Alevence Artlculede. 26
2.8 Junt. de Oldh.m. 26
2.7 Mecerllsmol Treçedorn de Retel. 26
2.& Perltógrefo.27
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
Rotores de Cdmara, 27
Junta de Hooke, 29
Juntas Universais Homocinéticas, 30
Mecanismos de Movimento Intermitente, 35
S(ntese, 39
PROBLEMAS,39
3.1 Came de Disco com Seguidor Radial, 46
3.2 Came de Disco com Seguidor Oscilante, 48
3.3 Came de Retorno Comandado, 50
3.4 Came CiI (ndrico, 51
3.5 Came Invertido, 51
3.6 Came de Disco com Seguidor Radial de Face Plana, 62
3.7 Came de Disco com Seguidor Radial de Rolete,67
3.8 Came de Disco com Seguidor Oscilante de Rolete, 76
3.9 CamesTridimensionais, 79
PROBLEMAS,82
4.1 Introdução li Engrenegens CiHndricas de Dentes Retos Evolventais, 93
4.2 Evolvente. Relações, 96
4.3 Particularidades de Engrenagens CiI(ndricas de Dentes Retos, 100
4.4 Caraeter(sticas da Ação Evolvental, 102
4.5 Interferência em Engrenagens Evolventais, 107
4.6 Engrenagens Intercambiáveis, 109
4.7 Número M(nimo de Dentes para Evitar Interferência, 113
4.8 Determinação do Jogo Primitivo, 118
4.9 Engrenagens de Dentes Internos, 122
4.10 Engranagens Cicloidais, 123
PROBLEMAS, 125
5.1 Teoria das Engrenagensde Dentes Retos Corrigidas, 130
5.2 Sistema de Distância entre Eixos Aumentada, 132
5.3 Sistema de Saliências Diferentes, 140
5.4 Engrenagens de Ação de Afastamento, 142
PROBLEMAS,146
6.1 Teoria das Engrenagens COnicas, 150
6.2 Detalhes das Engrenagens COnicas, 155
6.3 Proporções de Dente para Engre~gens COnicasde Gleason, 157
6.4 Engrenagens COnicas Angulares de Dentes Retos, 158
6.5 Engrenagens COnicas Zerol, 158
6.6 Engrenagens COnicas Espirais, 160
6.7 Engrenagens Hipóides,161
6.8 Teoria das Engrenagens Helicoidais, 162
6.9 Engrenagens Helicoidais Paralelas, 167
6.10 Engrenagens Helicoidais Esconsas, 171
6.11 Parafuso Sem·Fim, 173
PROBLEMAS,177
7.1 Introdução a Trans de Engrenagens, 184
7.2 Trens de Engrenagens Planetários, 187
7.3 Aplicaçaes de Trens Planetários, 197
7.4 Montagem de Trens Planetários, 200
PROBLEMAS,204
CAPI"rULO 8 MECANISMOS DE COMPUTAÇÃO, 220
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6
8.7
8.8
8.9
8.1Q
8.11
8.12
Computadores Digitais, 220
Computadores Analógicos, 220
Adiçlo e Subtraçlo, 221
Multipliceçlo e Divisão, 224
IntegraçlÓ,225
FunçtSes Trigonomlttricas, 230
Inversfo, 233
Quadrados, Rafzes Quadradas e Ra(zes Quadradas de Produtos, 233
Cames e Engrenagens de Computação, 235
Sistema Articulado Gerador de Função, 241
Precisfo, 242
Diagramas de Bloco, 242
9.1 Espaçamento de Pontos de Precisão, 251
9.2 Projeto de uma Articulação de Quatro·Barras para Valores Instantâneos de Velocidades e
AceleraçtSes Angulares, 253
9.3 Projeto de Articulaçlo a Quatro·Barras como Gerador de Função, 259
9.4 Projeto Gráfico de Articulações a Quatro·Barras corno um Gerador de Função, 267
PROBLEMAS,269
PROBLEMAS - Unidades do sistema métrico dos Caps. 4, 5, 6, I
AP~NDICE 1 - Tabelas de funções evolventais, XVI
AP~NDICE 2 - Método aproximado para o desanho de dentes de perfil evolvental, XVII
fNDICE REMISSIVO. XVIII
MECANISMOS
Esta obra é complementada pelo livro
DINAMICA DAS MÁQUINAS
dos mesmos autores, também editado pela LTe
MASSA
I kg = 6,852 X 10-2 slugs
I slug = 14,59kg
Ilb = 3,108 x 10-2 slugs
MOMENTO DE INÉRCIA (de massa)
I kg . m2 = 0,7376 slug . pé2
I slug . pé = 1,356kg . m2
FREQÜÊNCIA
I ciclos/s = I Hz
FORÇA
I Ib = 4,448 N
I N = 0,2248 Ib
COMPRIMENTO
I m = 3,281 pés
I pé = 0,3048 m
I polegada = 2,54 cm
OUTRAS CONVERSÕES ÚTEIS
Ilb' polegada = 11,298N' cm
Ilb/polegada = 1,751N/cm
Ilb/polegada2 = ,0,6894N/cm2
Ilb/polegada3 = 0,2714 N/cm3
I milhafh = 1,61kmfh.
Introdução
1.1 Introdução ao Estudo de Mecanismos. O estudo de mecanismos l' muito
importante. Com o enorme avanço realizado no projeto de instrumentos, controles
automáticos e equipamento automatizado, o estudo de mecanismostomou novo
significado. Mecanismos pode ser definido como a parte de projeto de máquinas
relacionadas com o projeto cinemático de sistemas articulados, carnes, engrenagens
e trens de engrenagens. O projeto cinemático se baseia nos reqQisitos relativos ao
movimento, diferindo do projeto baseado em requisitos de resistência. Será apre-
sentado um exemplo de cada mecanismo, acima mencionado, a fim de proporcionar
uma descrição compreensiva dos componentes a serem estudados.
A Fig. 1.1 representa o esboço de um mecanismo conhecido por mecanismo
cursor manivela. A peça 1é o suporte e é estacionária, a peça 2 é a manivela, a peça 3
é a biela e a peça 4 o cursor. Uma aplicação comum deste mecanismo aparece no
motor de combustão interna onde a peça 4 é o pistão (Fig. 1.2).
A figura 1.3 mostra o esboço de uma carne com seguidor. A carne gira a uma
velocidade angular constante e o seguidor se movimenta para cima e para baixo,
em movimento alternativo. A elevação do seguidor é comandada pelo excêntrico
e o retorno, por ação da gravidade ou de uma mola. As carnes são usadas em muitas
máquinas e um dos empregos mais comuns aparece no motor de auto~óvel onde
são empregadas duas carnes em cada cilindro para acionar as válvulas de admissão
e de escapamento, também mostradas na Fig. 1.2. Uma carne tridimensional é
apresentada na Fig. 1.4. Neste mecanismo, o movimento do seguidor depende não
somente da rotação da carne mas também de seu movimento axial.
As engrenagens são usadas em muitas aplicações para transmitir movimento
entre eixos com uma razão de velocidades angulares constante. A Fig. 1.5 mostra
algumas engrenagens comumente empregadas.
Em alguns casos, a redução desejada na velocidade angular é muito grande para
ser obtida com somente duas engrenagens. Quando isto ocorre, algumas engre-
nagens devem ser acopladas para 'formar o que se denomina de trem de engrenagens.
Na Fig. 1.6 vê-se um trem de engrenagens onde a velocidade é reduzida da engre-
nagem I para a engrenagem 2 e novamente da engrenagem 2 para a 4. A engrenagem
1 é a matriz e as engrenagens 2 e 3 estão montadas em um mesmo eixo. Em muitos
trens de engrenagens é necessário que se possa deslocar as engrenagens acoplando- as
ou desacoplando-as para obtenção de diversas combinações de velocidades. Um
bom exemplo disto é o sistema de transmissão de automóveis onde são obtidas
três velocidades à frente e uma a ré, com o deslocamento de duas engrenagens.
Em dispositivos tais como instrumentos e controles automáticos a obtenção
do movimento correto é de suma importância. A potência transmitida pelos ele
mentos pode ser tão pequena chegando a ser desprezível, o que permite que os
componentes sejam dimensionados inicialmente apenas por seu aspecto cinemático
passando a ter importância secundária o problema da resistência das peças.
Há outras máquinas, entretanto, onde a análise cinemática é somente uma fase
do projeto. Depois que for determinado como as diversas peças da máquina
funcionarão para a realização do trabalho desejado, as forças que atuam nessas
peças devem ser analisadas, permitindo em seguida o dimensionamento de seus
elementos. Uma máquina operatriz é um bom exemplo: sua resistência.e sua rigidez
são mais problemáticas do que os movimentos desejados.
Engrenagens
cih'ndricas de
dentes retos
Engrenagens
"espinha de peixe"
ou cll(ndricas helicoidais duplas
Engrenagens
c6nic:as
Engrenagens
helicoidais em
eixos peralelos
Parafuso sem-
fim e coroa
Engrenagens
helicoidais em
eixos ..-IOS
É importante, nesta altura, definir os termos empregados no estudo de meca-
nismos, o que será feito nos parágrafos seguintes.
1.2 Mecanismo, Máquina. No estudo de mecanismos estes termos serão
empregados repetidamente e são definidos da seguinte maneira:
Mecanismo é uma combinação de corpos rígidos ou resistentes de tal modo
compostos e ligados que se movem entre si com movimento relativo definido.
Um exemplo é o sistema cursor-manivela de um motor de combustão interna
mostrado esquematicamente na Fig. 1.1.
Máquina é um mecanismo, ou conjunto de mecanismos, que transmite força de
uma fonte de potência para a resistência a ser superada. Um exemplo é o motor
de combustão interna.
1.3 Movimento. Tratando-se de estudo de mecanismos, é necessário definir
os vários tipos de movimento produzidos por estes mecanismos.
Movimento plano. TRANSLAÇÃO. Um corpo tem movimento de trans-
lação quando uma reta, definida por dois pontos quaisquer desse corpo, fica
constantemente paralela a si mesma.
I. Translação retilínea. Todos os pontos do corpo têm como trajetória retas
paralelas. Quando o corpo se move desta forma, de um lado para o outro, diz-se
que tem movimento alternativo. Isto está ilustrado na Fig. 1.7, onde a peça 4
desliza altemadamente entre os limites B' e B".
2. Translação curvilínea. As trajetórias dos pontos são curvas idênticas,
paralelas a um plano fixo~
A Fig. 1.8 mostra o mecanismo que era usado na ligação das rodas motrizes
de uma locomotiva a vapor. Neste mecanismo a barra 3 tem translação curvilínea
e todos os seus pontos determinam trajetórias cicloidais durante o movimento de
rolamento das rodas 2 e 4 sobre o trilho I. A peça 5 se move em translação retilínea.
ROT AÇÃO. Se cada ponto de um corpo rígido, em movimento plano, perma-
nece a uma distância constante de um eixo fixo, normal ao plano do movimento,
diz-se que esse corpo tem movimento de rotação. Se o corpo gira de um lado para
o outro dentro de um determinado ângulo, o movimento é de oscilação. Isto é
mostrado na Fig. 1.9onde a manivela 2 gira e a barra 4 oscila entre as posições B' e B".
ROTAÇÃO E TRANSLAÇÃO. Muitos corpos têm movimento que é uma
combinação de rotação e translação. A biela 3 na Fig. 1.7, as rodas 2 e 4 na Fig. 1.8
e a barra 3 na Fig. 1.9 são exemplos deste tipo de movimento.
Movimento helicoidal. Quando um corpo rígido se move de modo que seus
pontos tenham movimento de rotação em torno de um eixo fixo e ao mesmo tempo
possua uma translação paralela a esse eixo, diz-se que o corpo tem movimento heli-
coidal. Um exemplo deste movimento é o de uma porca sendo atarraxada a um
parafuso.
Movimento esférico. Quando um corpo rígido se move de modo que todos os
seus pontos girem em torno de um ponto fixo, mantendo uma distância constante
desse ponto, diz-se que o corpo tem movimento esférico.
1.4 Ciclo, Período e Fase do Movimento. Quando as peças de um mecanismo,
partindo de uma posição inicial, tiverem passado por todas as posições interme
diárias possíveis e retomarem à mesma posição inicial, essas peças terão completado
um ciclo do movimento. O tempo necessário para completar um ciclo é chamado
período. As posições relativas de um mecanismo em um determinado instante,
durante um ciclo, constituem uma fase.
1.5 Pares de Elementos. São as formas geométricas pelas quais dois membros
de um mecanismo são articulados de modo que o movimento relativo entre estes
dois membros seja coerente. Se o contato entre os dois membros for uma superfície
tal como um eixo e um mancal, essa articulação é denominada de par inferior.
Se o contato for realizado segundo um ponto ou ao longo de uma linha tal como
em um rolamento de esferas ou entre dois dentes de engrenagens em contato, essa
articulação é chamada de par superior. Um par que permite somente rotação
relativa é chamado de par rotativo e o que permite somente deslizamento é um par
deslizante. Um par rotativo pode ser onferior ou superior dependendo da arti-
culação empregada, se um eixo e um mancal ou rolamento de esferas. Um exemplo
~ªr dçsJizante inferior é o existente entre o pistão e as paredes do cilíndro de ym
ffiQtºf. _
1.6 Peça, Cadeia Cinemática. Uma peça é um corpo rígido que tem doii"ou
mais pares de elementos pelos quais pode ser articulada a outros corpos para
transmitir força ou movimento. Geralmente uma peça é um elemento rígido que
pode ser articulada em cada extremidade a dois ou mais outros elementos. Isto pode
ser estendido de modo a incluir três, quatro ou mais articulações. As Figs.1.10a, b
e c mostram esses arranjos. Talvez o caso extremo de uma peça com articulações
múltiplas seja a biela mestra de um motor radial de nove cilindros apresentada na
Fig. 1.10d.
Um exemplo bem conhecido de uma peça com três articulações é a alavanca
mostrada nas Figs. 1.Ua e b. Esta peça é usada geralmente para redução de
movimento e pode ser dimensionada para uma determinada relação de desloca-
mentos com um mínimo de distorção desses movimentos.
Quando um número de peças for ligado através de pares, o sistema resultante
é chamado de cadeia cinemática. Se as peças forem articuladas de tal maneira que
não seja possível haver movimento, esse sistema será denomin.ado de estrutura.
Obtém-se uma cadeia restrita quando as peças forem ligadas de modo que o movi-
mento relativo entre as peças seja sempre o mesmo, independendo do número de
ciclos realizados. É possível também a articulação de peças de modo a resultar uma
cadeia livre, o que significa que o tipo de movimento irá variar dependendo do
atrito existente nas articulações. Se fixarmos uma das peças de uma cadeia restrita,
o resultado será um mecanismo.
1.7 Inversão. Em um mecanismo, se for liberada uma peça que originalmente
era fixa e outra peça passar a ser fixa, diz-se que esse mecanismo está invertido.
A inversão de um mecanismo não altera o movimento relativo entre suas peças,
entretanto modifica seus movimentos absolutos.
1.8 Transmissão de Movimento. No estudo de mecanismos é necessário inv~s·
tigar o método pelo qual o movimento pode ser transmitido de um membro para
outro. Pode-se transmitir movimento de três maneiras: (a) contato direto entre
dois corpos tal como entre um excêntrico e um seguidor ou entre duas engrenagens,
(b) através de um elemento intermediário ou uma biela e (c) por uma ligação flexível,
como uma correia ou uma corrente.
Pode-se determinar a razão de velocidades angulares para o caso de dois corpos
em contato. A Fig. 1.12 mostra a carne 2 e o seguidor 3 em contato no ponto P.
A carne gira no sentido horário e a velocidade do ponto P considerado como um
ponto da peça 2 é representada pelo vetor PM:z. A linha NN' é a normal às duas
superfícies no ponto P e é conhecida por normal comum, linha de transmissão ou
linha de ação. A tangente comum é representada por TT'. O vetor PM:z é decom·
posto em duas componentes Pn ao longo da normal comum e Pt2• ao longo da
tangente comum. A carne e o seguidor são corpos rígidos e devem permanecer em
contato, por isso, a componente da velocidade de P, considerado como um ponto
da peça 3, deve ser igual à componente normal da velocidade de P considerado
como pertencente à peça 2. Portanto, conhecendo-se a direção do vetor velocidade
P como pertencente à peça 3 e sabendo-se que ela é perpendicular ao raio 03P e
conhecendo-se também sua componente normal, é possível a determinação do
vetor velocidade PM3, conforme mostrado na Fig. 1.12. A partir desse veto r,
pode·se determinar a velocidade angular do seguidor através da relação V = Rw,
onde V é a velocidade linear de um ponto que se move ao longo de uma trajetória
de raio R e w é a velocidade angular do raio R.
------ --
------- f
Nos mecanismos em que há contato direto, é necessário determinar-se a velo-
cidade de deslizamento. Da figura pode-se ver que a velocidade de deslizamento
é a diferença vetorial entre as componentes tangenciais das velocidades dos pontos
em contato. Esta diferença é dada pela distância /2/3 porque a componente Pt3
tem direção contrária à de Pt2. Se /2 e /3 estiverem do mesmo lado de P, a velocidade
relativa será dada pela diferença dos segmentos PtJ e Pt2• Se o ponto-º~ºº.!~9
estiver na linha de cent~os~os,,~tºxesPMz-~~~h.serª()jgllais e, e_Il1.~ºIl§e9üência,
terão a mesma direção. Portanto, as componentes tangenciais serão iguais e a
velocidade de deslizamento será nula. As duas peças terão portanto um movimento
de rolamento puro. AssiJ!l.j:l()d~=.§~jzerqlle a <::ollcliçãopara que e;x;istarolamel1to.
puro é que o ponto de contato permaneça_.sQbre~_JiJ1hª-º~entms.
Para o mecanismo da Fig. 1.12, o movimento entre a carne e o seguidor será
uma combinação de rolamento e deslizamento. O rolamento puro somente poderá
ocorrer quando o ponto de contato P cair sobre a linha de centros. Enquanto, o
contato nesse ponto poderá não ser possível devido às proporções do mecanismo.
Não poderá ocorrer deslizamento puro entre a carne 2 e o seguidor 3. Para tal
acontecer, um ponto de uma das peças, dentro dos limites de seu cQ.rso,de:veentrar
em contato com todos os pontos sucessivos da superfície ativa da outrn l'eª.
É possivel se determinar uma relação de modo que a razão de velocidades
angulares de duas peças em contato direto possa ser calculada sem a necessidade
da construção geométrica delineada acima. A partir dos centros 02 e 03 baixam-se
perpendiculares à normal comum cruzando-a nos pontos e e f, respectivamente.
As seguintes relações são obtidas da Fig. 1.12:
PM2 _ PM3
w2 = O P e w3 - O P
2 3
Com a normal comum cruzando a linha de centros no ponto K, os triângulos
02Ke e 03Kf são semelhantes também: portanto,
Assim, para um par de superficeis curvas em contato direto, as velocidades
angulares são inversamente proporcionais aos segmentos determinados na linha
de centros por sua interseção com a normal comum. Conclui-se então que para
haver uma razão de velocidades angulares constante a normal comum deve cruzar a
linha de centros em um ponto fixo.
K _--------------- -
É possível também a obtenção das relações acima para a transmissão de movi-
mento através de uma peça intermediária ou biela e para a transmissão de movimento
por elemento flexível. As Figs. 1.13 e 1.14 mostram os dois casos, respectivamente,
onde a velocidade é dada por:
1.1 (a) Se w2 = 20 rad/min, calcular a velocidade angular da peça 3 para os
dois casos mostrados na Fig. 1.15. (b) Calcular os ângulos máximo e mínimo
entre o seguidor e a horizontal.
1.2 Desenhar em escala o mecanismo do Problema 1.1 e determinar grafi-
camente a velocidade de deslizamento entre as peças 2 e 3. Usar um módulo de
velocidades de 1 em = 10 cm/min.
1.3 Se w2 = 20 rad/min para o mecanismo apresentado na Fig. 1.15, usando
uma construção gráfica, determinar as velocidades· angulares da peça 3 para uma
volta completa da came, empregando acréscimos de 60" a partir da posição em que
w3 = O. Plotar w3 em função do ângulo de rotação 8 da came. Usar os módulos
de Icm = I rad/min para w3 e Icm = 5° para 8.
1.4 Provar que, para o mecanismo mostrado na Fig. 1.13, as velocidades
angulares das peças conduzida e condutora são inversamente proporcionais aos
segmentos determinados na linha de centros por sua interseção com a linha de
transmissão .
. 1.5 Provar que, para as polias e correia mostradas na Fig. 1.14, as velocidades
angulares das polias são inversamente proporcionais aos segmentos determinados
na linha de centros por sua interseção com a linha de transmissão.
1.6 No mecanismo da Fig. 1.13, a manivela 2 tem 1,90 cm de comprimento
e gira a uma velocidade angular constante de 15 rad/s. A barra 3 tem 3,SOcm de
comprimento e a barra 4 tem 2,50em de comprimento. A distância entre os centros
02 e 04 é de 5,IOem. Determinar, graficamente, a velocidade angular da peça 4
quando a manivela 2 tiver girado de 45° no sentido anti-horário, a partir da hori-
zontal. Dizer se w4 é constante ou não.
1.7 Uma polia de 10 em de diâmetro aciona outra de 20 cm de diâmetro
através de uma correia. Se a velocidade angular da polia condutora é de 65 rad/s
e a distância entre os centros das polias é de 40 cm, determinar, graficamente, a
velocidade angular da polia conduzida. Sua velocidade será constante?
Sistemas Articulados
..... ..•••........
2.1 Mecanismo de Quatro Barras. Um dos mecanismos mais simples e mais
úteis é o mecanismo de quatro barras ou quadrilátero articulado, mostrado na
Fig. 2.1. A peça I é o suporte, geralmente estacionária. A manivela 2 é a peça
acionadora que pode girar ou apenas oscilar. Em ambos os casos a peça 4 irá
oscilar. Se a peça2 gira, o mecanismo transforma movimento de rotação em osci-
lação. Se a manivela oscila, o mecanismo então multiplica o movimento de osci-
lação.
Enquanto a peça 2 gira, não há perigo de travamento do mecanismo. Entre-
tanto se a manivela 2 oscila, deve-se tomar cuidado no dimensionamento dos
comprimentos das peças para evitar pontos mortos de modo que o mecanismo não
pare em suas posições extremas. Estes pontos mortos ocorrerão quando a linha
de ação da força acionadora tiver a mesma direção da peça 4, conforme está indi-
cado na Fig. 2.2.
Se o mecanismo de quatro barras for projetado de modo que a peça 2 possa
girar completamente mas a peça 4 seja a acionadora, ocorrerão pontos mortos e
será necessário o uso de um volante para evitar a parada nesses pontos mortos.
Além dos possíveis pontos mortos em um mecanismo de quatro barras, é
necessário considerar- se o ângulo de transmissão que é o existente entre a peça de
ligação 3 e a peça 4, conforme mostrado na Fig. 2.3a como ângulo y .
.•..
z . .•.. .•...•..
/11 rl ~.11
Pode-se deduzir uma equação para o ângulo de transmissão aplicando a Lei
dos Co-senos aos triângulos A0204 e AB04:
Em geral, o ângulo de transmissão máximo não deve ser maior do que 140"
e o mínimo não deve ser inferior a 40" se o mecanismo for empregado para trans-
mitir grandes forças. Se o ângulo de transmissão se tornar menor do que 40°, o
mecanismo tenderá a parar devido ao atrito nas articulações; também as peças
3 e 4 tenderão a ficar alinhadas e podem bloquear o mecanismo. É muito impor-
tante verificar os ângulos de transmissão quando o mecanismo for projetado para
trabalhar próximo às configurações correspondentes aos pontos mortos. A Fig. 2.3b
mostra os ângulos de transmissão mínimo e máximo, y' e y", respectivamente,
para um mecanismo de quatro barras. Neste mecanismo, a peça 2 gira e a peça 4
oscila.
o mecanismo de quatro barras pode tomar outras formas como a mostrada
na Fig. 2.4. Na Fig. 2.4a o mecanismo está cruzado, isto é, quando as peças 2 e 4
giram, o fazem em sentido opostos.
Este mecanismo tem o mesmo tipo de movimento que o da Fig. 2.1.
Na Fig. 2.4b as peças opostas têm o mesmo comprimento e, portanto, sempre
permanecem paralelas; as peças 2 e 4 têm movimento de rotação. Este tipo de
mecanismo é característico das rodas motrizes de ·uma locomotiva a vapor. A Fig.
2.4c mostra outro arranjo no qual a peça motriz e a conduzida giram continuamente.
Esta forma de quadrilátero articulado é a base para o mecanismo de manivela
dupla e corrediça, que será abordado no item relativo a mecanismos de retorno
rápido. Se a peça 2 girar a uma rotação constante, a peça 4 terá uma velocidade
angular não uniforme. A fim de se evitar o travamento do mecanismo, deve se
manter certas relações entre os comprimentos das peças:
02A e 04B > 0204
(02A - 0204) + AB > 04B
(04B - 0~04) + 02A > AB
A segunda e a terceira relações se originam dos triângulos 04A' B' e 02A" B",
respectivamente, e do fato de que a soma de dois lados de em triângulo deve ser
maior que o terceiro lado.
A Fig. 2.41 mostra um arranjo onde a peça 4 da Fig. 2.1 foi substituída por
um bloco deslizante. O movimento dos dois mecanismos é idêntico.
O mecanismo de quatro barras é muitas vezes denominado de manivela-balancim
quando a peça 2 gira e a peça 4 oscila conforme mostrado na Fig. 2.4a. Do mesmo
modo, o termo manivela dupla significa que ambas as peças 2 e 4 têm movimento
de rotação como a Fig. 2.4b e c. O termo balancim duplo indica que as peças 2 e 4
têm movimento de oscilação, mostrado na Fig. 2.2.
Pode-se aplicar a Lei de Grashoff como uma maneira de determinar se o
mecanismo irá operar como manivela balancim, manivela dupla ou balancim duplo.
Esta leP estabelece que se ª-.s,ºm.a.. dos comprimentos da maior e da menor peça
fuJ:menor do qUR a soma dos comprimentos das outras duas, o mecanismo formará :
I. Dois mecanismos tipo manivela balancim, diferentes, quando a menor
peça for a manivela e qualquer das peças adjacentes for a peça fixa.
2. Um mecanismo manivela dupla quando a menor peça for a fixa.
3. Um balancim duplo quando a peça oposta à menor for a peça fixa.
Também, se a soma dos comprimentos da maior e da menor for maior do que
a soma dos comprimentos das outras duas, somente resultarão balancins duplos.
Também, se a soma da maior e da menor peça for igual à soma das outras duas,
os quatro mecanismos possíveis são similares aos dos casos I, 2 e 3 acima. Entre
tanto, neste último caso a linha de centros do mecanismo pode ficar alinhada com
as peças de modo que a manivela conduzida possa mudar o sentido de rotação "a
não ser que algo seja feito para evitá-Io. Tal mecanismo é apresentado na Fig. 2.4b
onde as peças podem ficar alinhadas com a linha de centros 0204. Nesta posição,
o sentido de rotação da peça 4 pode mudar a não ser que a inércia desta peça a leve
a ultrapassar este ponto.
2,2 Mecanismo Cursor-Manivela, Este mecanismo é amplamente utilizado
e encontra sua maior aplicação no motor de combustão interna. A Fig. 2.5a
mostra um esboço em que a peça 1 é o bloco do motor (considerado fixo), a peça 2
é a manivela, a peça 3 a biela e a peça 4 o êmbolo. Sobre a peça 4 atua a pressão
dos gases, no motor de combustão interna. A força é transmitida à manivela,
através da biela. Pode-se ver que haverá dois pontos mortos durante o ciclo, um
em cada posição extrema do curso do êmbolo. Para evitar a parada do mecanismo
nesses pontos mortos é necessário o emprego de um volante solidário à manivela.
Este mecanismo também é usado em compressores de ar onde um motor elétrico
aciona a manivela que por sua vez impulsiona o êmbolo que comprime o ar.
Considerando o mecanismo cursor-manivela, é necessário calcular o deslo-
camento do cursor e sua velocidade e aceleração correspondentes. As equações
de deslocamento, velocidade e aceleração são obtidas usando-se a Fig. 2.5b.
x = R + L- R cos (J - Lcos </J
= R(l - cos (J) + l.(l - cos </J)
= R(1- cos (J) + L[l--Jl - (R/L)2 sen2(J]
A fim de simplificar a expressão acima, o radical pode ser aproximado substi-
tuindo-o de acordo com a série
onde B = (R/L) sen (J.
Em geral, o uso dos dois primeiros termos da série já possibilita uma precisão
suficiente.
Portanto,
J (R)2 - -, 1 (R)21- L sen2(J = 1- 2 L sen (J
dx [ R ]V = dt = Rw sen (J + 2 L sen 2(J
d
2
x [ R ]A = dt2 = RW2 cos (J +L cos 2(J
~
(a)
~ 1 .
(b)
~ 1 .
(e)
É possível fixar-se outra peça, sem ser a peça 1, no mecanismo curso r manivela
e assim obterem-se três inversões, que são mostradas na Fig. 2.6. Na Fig. 2.6a
fixa-se a manivela e todas as demais peças podem se mover. Este mecanismo era
usado em antigos motores de avião e eram conhecidos como motores rotativos
porque a manivela era estacionária e os cilindros giravam em torno da manivela.
Uma aplicação mais moderna desta inversão aparece no mecanismo Whitworth que
será apresentado no item relativo a mecanismos de retorno rápido. A Fig. 2.6b
mostra uma inversão onde a biela é a peça fixa. Esta inversão é empregada em
máquinas a vapor auxiliares e é também a base do mecanismo de plaina limadora,
a ser apresentada mais adiante. A terceira inversão, onde o curso r é a peça fixa, é
usadas, às vezes, em bombas de água manuais.
Pode se conseguir uma variação'do mecanismo cursor-manivela aumentado-se
o diâmetro do moente até que ele fique maior do que o munhão da manivelà. Este
moente aumentado constitui um excêntrico e substitui a manivela do mecanismo
original. A Fig. 2.7 mostra um desenho em que o ponto A é o centro do excêntrico
e o ponto D o seu centro de rotação. O movimento deste mecanismo equivale ao
de um mecanismo cursor-manivela com uma manivela de comprimento DA. Uma
desvantagem séria deste mecanismo, entretanto, é o problema da lubrificação
adequada entre o excêntrico e a biela. Isto limita a potência que pode ser trans-
mitida.
2.3 Garfo Escocês. Este mecanismo é capaz de gerar movimento harmônico
simples. Antigamente era empregado em bombas a vapor, mas agora é usado
como um mecanismo de uma mesa vibradorae como gerador de seno e co-seno
para mecanismos de cômputo. A Fig. 2.8a apresenta um esboço desse mecanismo
e a Fig. 2.8b mostra como é gerado o movimento harmônico simples. O raio r
a uma velocidade angular constante wr e a projeção do ponto P sobre o eixo x
(ou eixo y) se desloca com movimento harmônico simples. O deslocamento, medido
da direita para a esquerda, a partir da interseção da trajetória de P com o eixo x é
dxV = {[t = rWr sen wrt = rWr sen (}r
Highlight
Highlight
Highlight
Outro mecanismo capaz de gerar movimento harmônico simples é a carne
circular com seguidor radial de face plana, que será apresentado no próximo capítulo.
2.4 Mecanismos de Retorno Rápido. Estes mecanismos são usados em máquinas
opera trizes para dar lhes um curso de corte lento e um curso de retorno rápido
para uma velocidade angular constante da manivela motriz. Em geral são sistemas
articulados simples tais como o mecanismo de quatro barras e o mecanismo cursor-
manivela. Pode-se usar também uma inversão do mecanismo cursor-manivela
combinado com o mecanismo cursor manivela convencional. No projeto de
mecanismos de retorno rápido, a razão entre os ângulos descritos pela manivela
motriz durante o curso de corte e o curso de retorno é de suma importância e (,
conhecido como razão de tempos. Esta razão deve ser maior do que a unidade e
seu valor deve ser o maior possível para que haja um retorno rápido da ferramenta de
corte. Como um exemplo, no mecanismo da Fig. 2.11, rx é o ângulo descrito pela
manivela durante o curso de corte e p é o correspondente ao curso de retorno.
Supondo se que a manivela opera a uma veloCidade de rotação constante, a razão
de tempos é, portanto, rx/P que é muito maior do que a unidade.
Há diversos tipos de mecanismos de retorno rápido que são descritos a seguir:
Mecanismo de manivela dupla e cursor. Este mecanismo é derivado do meca-
nismo de quatro barras e está mostrado na Fig. 2.9. Para uma velocidade angular
constante da peça 2, a peça 4 rodará com velocidade de rotação não uniforme.
O cursor 6 irá subir com velocidade aproximadamente constante durante a maior
parte do avanço para dar um curso de avanço lento e um retorno rápido quando a
manivela 2 girar no sentido anti-horário.
Mecanismo Whitworth. É uma variação da primeira inversão do mecanismo
cursor-manivela em que a manivela é a peça fixa. A Fig. 2.10 mostra um esboço do
mecanismo e as peças 2 e 4 fazem voltas completas.
Mecanismo de plaina limadora. Este mecanismo é uma variação da segunda
inversão do mecanismo cursor-manivela em que a biela é a peça fixa. A Fig. 2.11
apresenta este mecanismo onde a peça 2 gira e a peça 4 oscila.
Se a distância °2°4 for diminuída até ficar menor que a manivela, este meca-
nismo se transformará no Whitworth.
CUl"ID de
~
corte
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
Manivela deslocada. O mecanismo curso r-manivela pode ter a manivela deslo-
cada conforme mostrado na Fig. 2.12. Isto possibilitará um movimento de retomo
rápido. Entretanto, o efeito do retomo rápido é muito pequeno e o mecanismo deve
ser empregado somente onde o espaço for limitado e o mecanismo tiver que ser
simples. •
2.5 Alavanca Articulada. Este mecanismo tem muitas aplicações onde se
necessita vencer uma grande resistência com uma pequena força motriz. A Fig. 2.13
mostra o esboço do mecanismo; as peças 4 e 5 têm o mesmo comprimento. À
medida que os ângulos IX diminuem e as peças 4 e 5 se tomam quase alinhadas, a
força F necessária para superar uma dada resistência P decresce conforme indicado
pela seguinte relação
FP = 2 tglX.
Pode-se ver que para uma determinada força F quando IX tende a zero, P tende
para infinito. Um britador utiliza este mecanismo para vencer um grande resis-
tência com uma pequena força. Este mecanismo pode ser usado estática ou dinami-
camente, como se vê em muitos dispositivos de fixação de peças.
2.6 Junta de Olclham. Este mecanismo possibilita um meio de ligarem-se dois
eixos paralelos que possuam um pequeno desalinhamento, de modo que possa
haver transmissão de velocidade angular constante entre o eixo motriz e o conduzido.
A Fig. 2.14 mostra um esboço desta junta. Este mecanismo é uma inversão do
garfo escocês.
2.7 Mecanismos Traçadores de Retas. Como o nome indica, estes mecanismos
são projetados de modo que um ponto de uma das peças se mova em linha reta.
Dependendo do mecanismo, esta linha reta poderá ser aproximada ou teoricamente
exata.
Um exemplo de um mecanismo traçador de retas aproximadas l.'o mecanismo
de Watt, mostrado na Fig. 2.15. O ponto P está localizado de tal modo que os
segmentos AP e BP são inversamente proporcionais aos comprimentos 02A e O4B.
Portanto, se as peças 2 e 4 tiverem o mesmo comprimento, o ponto P deverá estar
no meio da peça 3. O ponto P descreverá uma trajetória na forma de um 8. Parte
desta trajetória se aproximará muito de uma linha reta.
O mecanismo Peaucellier é um que pode gerar uma linha reta exata. A Fig. 2.16
mostra um esboço onde as peças 3 e 4 são iguàis. As péças 5, 6, 7 e 8 também são
iguais e a peça 2 tem seu comprimento igual à distância 0204' O ponto P descre-
verá uma trajetória que é uma linha reta exata. .
Os mecanismos traçadores de reta têm muitas aplicações; entre estas, os meca-
nismos de indicadores de motores e de disjuntores elétricos são duas aplicações
notáveis.
2.8 Pantógrafo. Este mecanismo é usado como um dispositivo de copiar.
Quando um ponto do mecanismo seguir uma determinada trajetória, outro ponto
do mecanismo, porém de outra peça, descreverá uma trajetória semelhante à anterior,
em uma escala previamente escolhida. A Fig. 2.17 apresenta um esboço do meca-
nismo. As peças 2, 3,4 e 5 formam um paralelogramo e o ponto P está situado numa
extensão da peça 4. O ponto Q está localizado sobre a peça 5, na interseção com a
linha que liga O a P. Quando o ponto P descrever'uma curva, o ponto Q traçará
uma trajetória semelhante, em escala reduzida.
-------
Este mecanismo encontra muita aplicação em instrumentos copiadores,
particularmente em máquinas de gravação ou máquinas copiadoras. Um emprego
desta máquina é a confecção de matrizes ou moldes. O ponto P serve como um
ponteiro e segue o perfil de um gabarito enquanto a ferramenta colocada no ponto Q
usina a matriz, em uma escala menor.
2.9 Rotores de Câmara. Este mecanismo se apresenta sob diversas formas,
que podem se enquadrar em duas classificações. O primeiro tipo consiste de dois
lóbulos que operam dentro de uma câmara. O soprador Roots, mostrado na
Fig. 2.18, é um exemplo deste tipo. Os rotores são ciclóides e são acionados por
um par de engrenagens iguais, acopladas, situadas atrás da câmara. Em uma apli-
cação moderna o soprador. Roots possui três lóbulos em cada rotor: é usado em
superalimentadores de baixa pressão para motores Diesel.
o outro tipo de rotores de câmara tem somente um rotor situado excentrica-
mente dentro da câmara e geralmente é uma variação do mecanismo cursor-manivela.
A Fig. 2.19 mostra um mecanismo deste tipo projetado originalmertte para uma
máquina a vapor, mas sua aplicação atual é em bombas.
Outro exemplo do segundo tipo de rotores de câmara está apresentado na
Fig. 2.20 que ilustra o princípio do motor Wallkel. Neste mecanismo. os gases
em expansão atuam sobre o rotor que gira exentricamente e transmite torque ao
eixo de saída por intermédio do excêntrico que faz parte do eixo. A defasagem
entre as rotações do rotor e do excêntrico é assegurada por um par de engrenagens
composto de uma engrenagem de dentes internos e outra de dentes externos (não
mostradas na figura), de modo que o movimento orbital do rotor é controlado
adequadamente.
2.10 Junta de Hooke. Esta junta é usada para interligar dois eixos que se
cruzam. Também conhecida por junta universal, encontra larga aplicação em
veículos automóveis. Um esboço desta junta está mostrado na Fig. 2.21 e um modelo
comercial é apresentado na Fig. 2.21. Na Fig. 2.21, a peça 2 é a motriz e a 4 é a
conduzida. A peca 3 é uma cruzeta Que li~a os dois garfos Pode-se ver2 que,
emboraos dois eixos completem uma volta durante o mesmo tempo, a razão das
velocidades angulares dos dois eixos não será constante, varia!t4º GOITlO uma função
qQ~I1g11JQ-'J~ntrç os eixos e do ângulo de rotação e do eixo motriz. A relação é
dada por
cos f3
-I -.senz-p-se-n-1-·O
Fig. 2.22 Junta universal tipo Hookc (Cortesia de Mechanics Universal Joint Division. Borg-Warner
Corp.)
Uma representação gráfica desta equação em coordenadas polares para um
quarto de volta do eixo motriz, mostrada na Fig. 2.23, indica claramente o efeito
de um grande ângulo f3 entre os eixos. É possível a ligação entre dois eixos por
intermédio de duas juntas de Hooke e um eixo intermediário. de modo que a razào
de velocidades não uniforme do primeiro acoplamento será anulada pela segunda
junta. A Fig. 2.24 indica esta aplicação quando os dois eixos 2 e 4, que serão ligados,
não são coplanares. A ligação deve ser realizada de tal modo que o eixo motriz 2 e
o conduzido 4 façam ângulos iguais P com o eixo intermediário 3. Também os
garfos do eixo 3 devem ser posicionados de modo que um garfo fique no plano
determinado pelos eixos 2 e 3 e o outro fique no plano dos eixos 3 e 4. Se os dois
eixos a serem ligados estiverem no mesmo plano. entào os garfos du eixo interme-
diário serão paralelos. Uma aplicação deste último caso é o sistema Hotchkiss de
transmissão, usado na maioria dos veículos atualmente.
2.11 Juntas Universais Homocinéticas. Engenheiros pesquisaram durante
muitos anos uma junta universal capaz de transmitir movimento a uma razão de
velocidades angulares constante. Diversas juntas, aplicando o princípio de Hooke,
foram propostas e uma delas, surgida em 1870, possuía um eixo intermediário
de comprimento nulo. Entretanto, pelo que se conhece, juntas deste tipo nunca
tiveram emprego comercial.
Com o desenvolvimento da tração dianteira para veículos automóveis, aumen-
tou a necessidade de uma junta universal que fosse capaz de transmitir movimento
com uma razão de velocidades angulares constante. É verdade que poderiam ser
usados duas juntas de Hooke e um eixo intermediário, porém, isto não seria comple-
tamente satisfatório. Em uma transmissão do tipo empregado nos veículos de
tração dianteira, onde o ângulo p é, às vezes, muito grande, as condições modifi-
cantes tornam-na quase impossível de obter ràzão de velocidades constante. A
necessidade de uma junta homocinética foi satisfeita pela introdução, nos EUA, das
juntas Weiss e Rzeppa e na França, '<.iajunta Tracta. A junta Weiss foi patenteada
pela primeira vez em 1925, a Rzeppa em 1928 e a Tracta em 1933. O funcionamento
destas juntas não é baseado no mesmo princípio da junta de Hooke.
Uma junta Bendix-Weiss está apresentada na Fig. 2.25. Conforme mostrado
na figura, as ranhuras que são simétricas em relação à linha de centros dos eixos,
são formadas nas superfícies dos dentes dos garfos. Quatro esferas são colocadas
entre esses dentes no ponto onde os eixos das ranhuras de um garfo cruzam os eixos
das ranhuras do outro garfo. A transmissão de potência é feita do eixo motriz
para o conduzido, através dessas esferas. Uma quinta esfera, com -um entalhe,
proporciona a montagem das peças em um conjunto assim como suporta as forças
axiais. Em funcionamento, as esferas mudarão automaticamente suas posições
à medida que o ângulo entre os eixos variar, de modo que o plano que contém os
centros das esferas sempre esteja na bissetriz do ângulo formado pelos dois eixos.
Pode-se provar3 que desta condição resultará uma razão de velocidades angulares
constante. A Fig. 2.28 mostra uma fotografia da junta Bendix- Weiss.
Uma junta Rzeppa, tipo sino, está mostrada na Fig. 2.26. Esta junta consiste
de um alojamento esférico e uma pista interna dotados de ranhuras. Seis esferas
de aço são colocadas nessas ranhuras e transmitem o torque do eixo motriz para o
conduzido. As ranhuras são concêntricas em relação ao ponto O, cruzamento das
linhas de centro dos eixos. As seis esferas são conduzidas por uma gaiola cuja
posição é controlada por uma haste. Uma extremidade desta haste se encaixa num
alojamento colocado na extremidade do eixo B e a outra desliza num furo situado
na extremidade do eixo A. Um alargamento esférico no corpo da haste se articula
com a gaiola. Se o eixo Bfor defletido em relação ao eixo A, deverá girar em torno
de O, porque o conjunto tem este ponto como centro de rotação. Através do movi-
mento do eixo B a haste será acionada comandando a gaiola e portanto as esfe~as,
em um giro de aproximadamente metade do ângulo descrito pelo eixo B. Embora seja
possível demonstrar geometricamente que o ângulo entre os eixos~m como bissetor
o plano que passa pelos centros das esferas para um e somente um ângulo (diferente
de zero) entre os eixos. dependendo das proporções do mecanismo-guia, os erros
serão tão pequenos, para outros ângulos até 40° mais ou menos, que serão conside-
rados desprezíveis. POl:tanto. para todos os fins práticos, o plano dos centros das
esferas é o bissetor do ângulo entre os doís eixos e a junta transmite movimento
com uma razão de velocidades angulares constante. A Fig. 2.28 apresenta uma
fotografia da junta Rzeppa.
Uma junta Tracta, mostrada na Fig. 2.29, consiste de quatro peças: dois eixos
com as extremidades em forma de garfo e duas peças hemisféricas, uma delas tem
uma corrediça e a outra uma ranhura para receber a corrediça. Além disso, no
lado hemisférico de cada peça há uma ranhura que permite a ligação com o garfo
de cada eixo. Os dentes dos garfos abrangem um ângulo maior do que 1800 de
modo a serem autobloqueantes quando montados. A corrediça e a ranhura que
recebe a corrediça fazem 900 com as ranhuras onde se encaixam os garfos. Através
do encaixe entre a corrediça e a ranhura das peças hemisféricas, quando a junta
está montada, os eixos das peças hemisféricas devem sempre permanecer no mesmo
plano. Com a junta montada, os garfos ficam livres para girar em torno dos eixos
das peças hemisféricas, que estão no plano da corrediça e da ranhura.
Em aplicações industriais a junta é mantida em alinhamento adequado por
meio de dois alojamentos esféricos não mostrados na figura. Com a junta montada,
estes alojamentos proporcionam uma cobertura das peças da junta, articulúvei e
que suporta os eixos de modo que suas linhas de centro sempre se cruzem em um
ponto equidistante dos centros das peças hemisféricas. Com este alinhamento a
junta Tracta transmitirei movimento com razão de velocidades constante. A Fig.
2.28 apresenta uma fotografia desta junta.
2.12 Mecanismos de Movimento Intermitente. Há muitos exemplos onde é
necessário transformar movimento contínuo em intermitente. Um dus primeiros
exemplos é o mecanismo de comando do movimento da mesa de uma máquina
operatriz a fim de apresentar uma nova peça diante da ferramenta para usinagem.
Há diversas maneiras de se conseguir este tipo de movimento.
Roda de genebra. Este mecanismo é muito útil na geração de movimento
intermitente porque diminui o choque de acoplamento. A Fig. 2.29 mostra um
esboço onde o prato I, que gira continuamente, possui um pino acionador P que se
encaixa em um sulco na peça conduzida 2. Na figura, a peça 2 gira de um quarto
de volta para cada volta do prato I. O sulco da peça 2 deve ser tangente à trajetória
do ponto P no instante do acoplamento para reduzir o choque. Isto significa que
o ângulo 01 PO 2 será um ângulo reto. Pode-se ver também que o ângulo p é a metade
do ângulo descrito pela peça 2 durante a mudança de estação. No caso, o ângulo
p é 45°.
É necessário um dispositivo de fixação para não deixar a peça 2 girar a não ser
quando acionada pelo pino P. Uma das maneiras mais simples de se conseguir
isso é montando um disco de fixação sobre a peça I. A superfície convexa do disco
coincide com a côncava da peça 2 exceto durante o período de troca de estação.
É necessário cortar uma parte do disco de fixação para permitir o movimento da
peça 2 quando estiver sendo acionada pela peça I. Esse corte, no disco de fixação,
corresponde a um arco de valorigual a duas vezes o ângulo IX.
Se um dos sulcos da peça 2 for fechado, então o prato I dará somente um número
limitado de voltas antes que o pino P esbarre no sulco fechado, interrompendo o
movimento.
Mecanismo de catraca. Este mecanismo é empregado para gerar movimento
circular intermitente a partir de uma peça oscilante ou alternativa. A Fig. 2.30
apresenta os detalhes. A roda dentada 4 recebe movimento intermitente através
do braço 2 e do dente acionador 3. Um dente-retém, 5 impedirá a rotação da roda 4
quando o braço 2 girar no sentido horário preparando-se para outro curso. A linha
de ação PN, entre o dente 3 e os dentes da roda 4, deve passar entre os centros
O e A como indica a figura a fim de que o dente 3 permaneça em contato com a roda
dentada. A linha de ação (não mostrada) entre o dente-retém 5 e a roda dentada
deve passar entre os centros O e B. Este mecanismo tem muitas aplicações, parti-
cularmente em contadores.
Engrenamento intermitente. Este mecanismo encontra aplicação em aciona-
mentos onde as cargas são leves e o choque for de importância secundária. A roda
motriz possui um dente e a conduzida um número de vãos de dentes para a obtenção
do movimento intermitente desejado. A Fig. 2.31 apresenta este mecanismo. Um
dispositivo de freiamento deve ser empregado na roda 2 para evitar sua, rotação
quando o dente da engrenagem 1 não estiver acoplado com a peça 2. Um modo
de fixar a peça 2 é mostrado na figura: a superfície convexa da roda 1 coincide com a
superfície côncava entre os vãos de dentes da peça 2.
Mecanismo de escape. Neste tipo de mecanismo uma roda dentada, sujeita a
um torque, tem movimento de rotação intermitente por ação de um pêndulo.
Devido a isto, o mecanismo pode ser empregado como um marcador de tempo e
deste modo encontra sua maior aplicação em relógios. Uma segunda aplicação
é o seu uso como um comando para controlar deslocamento, torque ou velocidade.
Há muitos tipos de escapes, porém, o que é usado em relógios devido à sua
grande precisão é o escape com roda de balanço, mostrado na Fig. 2.32.
A roda de balanço e a mola de cabelo constituem um pêndulo torsional com um
período fixo (tempo de oscilação de um ciclo). A roda_~ es~~_~acionadapor
uma mola mestrª~J!m. _trem de engr~nagens (não mostrado) e possÜrmovimentó~~JºtªçªºintermiteIlte no ~~Iltido_borÍlriocornandado pela _alayaDca. Para cada
oscilação completa da roda de balanço, a âncora libera a roda de escape para girar
de um ângulo correspondente a um dente. A roda de escape, portanto, conta o
número de vezes que a roda de balanço oscila e também, através da âncora, fornece
energia à roda de balanço para compensar perdas por atrito e de resistência do ar.
A fim de estudar o movimento deste mecanismo durante um ciclo, conside-
remos a âncora mantida encostada no pino-batente_ da esquerda pelo dente A da
roda de escape atuando sobre a lingüeta da esquerda. A roda de balanço gira no
sentido anti-horário de modo que o rubi se choca com a âncora girando-a no sentido
horário. O movimento da âncora faz com que a lingüeta da esquerda libere o dente A
da roda de escape. Esta roda então gira no sentido horário e a parte superior do
dente A impulsiona a lingüeta da esquerda, ao deslizar por baixo desta. Com este
impulso a âncora começa agora a acionar o rubi, dando assim energia à roda de
balanço para manter o seu movimento.
Depois que a roda de escape girar um pequeno ângulo, voltará ao repouso
novamente quando o dente B topar com a lingüeta da direita que tinha sido baixada
devido à rotação da âncora. Esta âncora bate no pino da direita e pára, mas a roda
de balanço continua girando até que sua energia seja absorvida pela mola de cabelo,
por atrito no mancal e pela resistência do ar.
Roda de balanço
e mola de cabelo
(não mostrada)
Roda de escape
'1 / (acionada pela
/ mola mestra e
trem de engrenagens)
A força do dente B da roda de escape sobre a lingüeta da direita mantém a
âncora bloqueada, de encontro ao pino-batente da direita. A roda de balanço
completa a sua oscilação e inverte o sentido, retomando com movimento no sentido
horário. O rubi agora bate no lado esquerdo do entalhe da âncora impulsionando-a
no sentido anti-horário. Esta ação libera o dente B, que por sua vez impulsiona
a âncora através da lingüeta da direita. Depois de girar um pequeno ângulo a roda
de escape voltará ao repouso novamente quando o dente seguinte topar com a
lingüeta da esquerda.
O escape de roda de balanço é também conhecido como escape de âncora
independente porque a roda de balanço fica livre de seu contato com a âncora
durante a maior parte de sua oscilação. Devido a esta liberdade relativa da roda
de balanço, o escape tem uma precisão de ± 1%.
Para informação adicional sobre mecanismos de escape e suas aplicações
deve-se consultar uma das muitas referências sobre o assunt04•
4 A. L. Rawlings. The Science of Clocks and Watches. 2." ed. Pitman. 1948. T. K. Stecle. "Clock-
Escapement Mechanisms". Product Engineering. Janeiro, 1957. pg. 179.
2.13 Síntese. Nos sistemas articulados, estudados neste capítulo, eram dadas
as dimensões do mecanismo e o problema consistia em analisar o movimento
produzido pelo sistema. Um assunto completamente diferente, entretanto, é tentar
dimensionar um mecanismo para dar esse movimento. Este procedimento é conhe-
cido por síntese de mecanismos. Indubitavelmente muitos problemas de síntese
têm sido resolvidos por tentativas, mas foi somente nos anos recentes que foram
desenvolvidas soluções racionais.
Muitos métodos de síntese foram propostos, gráficos e analíticos, e somente o
seu estudo já seria uma matéria. No capítulo 9, Introdução à Síntese, são apresen-
tados diversos métodos para ilustrar os princípios envolvidos.
2.1 No mecanismo de quatro barras, mostrado na Fig. 2.1, faça O2 O4 = 50mm,
02A = 62mm, AB = 38mm e 04B igual a 44mm, 69mm e 19mm. Desenhe os
três mecanismos em escala e determine para cada um se as peças 2 e 4 giram ou
oscilam. No caso de oscilação determine as posições-limite.
2.2 No mecanismo de quatro barras, mostrado na Fig. 2.1, a peça 2 gira e a peça
4 oscila segundo um ângulo de 75°. A peça 4 tem 114mm de comprimento e quando
está em uma posição extrema, a distância 02B 1..'de J02mm e na outra posição
extrema é de 229mm. Determine os comprimentos das peças 2 e 3 e desenhe o
mecanismo em escala, como verificação. Determine os valores máximo e minimo
do ângulo de transmissão.
2.3 Se no mecanismo de manivela dupla, mostrado na Fig. 2.4c, 02A =
= 76,2mm, AB = 102mm e O4B = 127mm, qual deve ser o comprimento máximo
de 0204 para um funcionamento adequado do mecanismo?
O.A = 2~ mm--r
AB= 75mm E
R = 75mm E
N
101_
2.4 No mecanismo de quatro barras, mostrado na Fig. 2.33, a guia é fixa e
sua linha de centro é um arco circular de raio R. Desenhe o mecanismo em escala
e, por construção gráfica, determine a velocidade angular do bloco 4, para a fase
mostrada. A velocidade angular 0)2 é 1 rad/s. Indique o sentido de 0)4'
2.5 Considerando o mecanismo cursor-manivela, mostrado na Fig. 2.5h,
deduza as equações para o deslocamento, a velocidade e a aceler.ação do cursor em
função de R, L, O, O) e 4>. Não faça aproximações. Considere O) constante.
2.6 A equação aproximada para o deslocamento do cursor, no mecanismo
cursor-manivela, é x = R( I - cos O) + (R2/2 L) sen2 0, sendo O = wt porque w
é constante. Deduza as equações para a velocidade e a aceleração do cursor se
O) não for constante.
2.7 Escreva um programa de computador para calcular o deslocamento, a
velocidade e a aceleração do cursor do. mecanismo cursor-manivela mostrado na
Fig. 2.5. Use a equação exata e a aproximada. Faça R = 50mm, L = 100mm,
"2 = 2 400 rpm. Calcule o deslocamento, a velocidade e a aceleração, para uma
volta da manivela, com intervalos de 10" para o ângulo O ..
2.8 Um mecanismo cursor-manivela tem uma manivela de comprimento
R = 50mm e opera a 250 rad/s. Calcule os valores máximos da velocidade e da
aceleração e determine os ângulos da manivela em que ocorrem esses máximos.
Use bielasde comprimentos 200, 230 e 250mm. Utilize as equações aproximadas
e considere O) constante.
2.9 Escreva um programa de computador para comparar o movimento har-
mônico simples do Garfo Escocês (Fig. 2.8) como movimento do cursor do meca-
nismo cursor-manivela. Use" = I 800 rpm, R = 50mm e L = 100mm para o
cursor-manivela e r = 50mm para o Garfo Escocês. Calcule o deslocamento,
a velocidade e a aceleração para cada valor de O, variando-o de Oa 360" no sentido
anti-horário. Empregue as equações aproximadas para o mecanismo cursor-
manivela e considere w constante.
2.10 No mecanismo da Fig. 2.34, despreze o efeito da biela (considere infi-
nito o comprimento da biela) e determine uma expressão para o movimento relativo
entre os dois cursores. Esta relação deve ser uma função do tempo e constar de um
único termo trigonométrico.
I
I
~6
j
I
O,A = 75mm
O,B = 125mm
2.11 Se peça 2 do Garfo Escocês, mostrado na Fig. 2.8a gira a 100 rpm, deter-
mine a velocidade máxima e a aceleração máxima da peça 4 para um curso de lOmm.
2.12 A Fig. 2.35 apresenta um mecanismo Garfo Escocês modificado, no
qual a linha de centro da guia é um arco circular de raio r. O raio da manivela é R.
Deduza uma expressão para o deslocamento x do garfo (peça 4) em função de lJ, R e
r. Indique o deslocamento no desenho.
4
mm
1
2.13 Considerando o mecanismo de retorno rápido de manivela dupla e cursor
mostrado na Fig. 2.9, determine a velocidade do cursor 6 para uma volta completa
da manivela 2, usando intervalos de 45° para o ângulo de rotação desta manivela.
A velocidade de rotação da peça 2 é de 100 rpm. Use a escala 1:3 para o desenho e
faça 0204 = 76mm, 02A = 114mm, AB = 140mm, BC = 216mm, 04B = 152mm,
04C = 152mm e CD = 470mm. Determine w4 graficamente usando o princípio
da transmissão de movimento e então calcule a velocidade do cursor 6 empregando
a equação do mecanismo cursor-manivela.
2.14 Utilizando as dimensões do mecanismo do problema 2.13, determine
graficamente o comprimento do curso da peça 6 e a razão entre os tempos de avanço
e de retorno (razão de tempo). Use a escala de 1:4 para o desenho.
2.15 Para o mecanismo Whitwortk mostrado na Fig. 2.10, determine o compri-
mento do cursor da peça 6 e a razão entre os tempos de avanço e de retorno. Use a
escala de 1:4 para o desenho. Faça 0204 = 64mm, 02A = 127mm, 04B =
= 127mm e BC = 457mm.
2.16 Para o mecanismo cursor-manivela, mostrado na Fig. 2.11, determine
graficamente o comprimento do curso e a razão entre os tempos ~deavanço e de
retorno. Use a escala de 1:4 para o desenho. Faça 0204 = 406mm, 02A =
= 152mm, 04B = 660mm, BC = 305mm e a distância de 04 à trajetória de C
igual a 635mm.
2.17 Projete um mecanismo Whitworth que tenha um comprimento de curso
de 3üSmm e uma razão de tempos de 11/7. Use a escala de 1:4 para o desenho.
2.18 Projete um mecanismo de plaina limadora que tenha um comprimento
de curso de 3üSmm e uma razão de tempos de 11/7. Use a escala de 1:4 para o
desenho.
2.19 Para o mecanismo de retorno rápido, apresentado na Fig. 2~36, deduza
uma expressão para o deslocamento x do cursor S em função unicamente do ângulo
() da peça motriz 2 e das distâncias constantes mostradas na figura.
L
O,A = 18,8mm
O.B = 87,5mm
2.20 A Fig. 2.37 representa um mecanismo de retorno rápido no qual a peça 2
é a motriz. A peça 5 se desloca para a direita durante o curso de trabalho e para
a esquerda durante o curso de retorno rápido. Desenhe o mecanismo em escala e
determine graficamente (a) a razão de velocidades angulares W4/W2 para a fase mos-
trada na figura, e (b) a razão de tempos do mecanismo.
2.21 Deduza as equações de deslocamento, velocidade e aceleração para o
mecanismo de manivela deslocada mostrado na Fig. 2.12. As equações devem ter
forma semelhante às das equações 2.2, 2.3 e 2.4.
C8ntroda
.JL"r manivela
f..-+ 200 mm -+-curlO = 300 mm-1
P'125mm. Io_o I o_o_--J~-ffi- " .1
fia. 1.38
2.22 Calcule os comprimentos da manivela e da biela para um mecanismo de
manivela deslocada que satisfaça às condições apresentadas na Fig. 2.38.
2.23 Para o mecanismo de manivela deslocada, mostrado na Fig. 2.39, calcule
(a) o comprimento do curso do bloco 4, (b) a distância 02B quando o bloco estiver
na posição extrema esquerda e (c) a razão de tempos.
50mm 1 ..L... _
02A = 75mm
AB= 175mm
2.24 Considerando somente as peças 4, 5 e 6 do mecanismo de alavanca artir
culado, mostrado na Fig. 2.13, escreva um programa de computador para mostrar
as forças desenvolvidas neste mecanismo. Considere F uma força constante de
45 N. Sugestão: Use a equação 2.8 e varie IX de 10" até perto de 0°.
2.25 Plote a trajetória do ponto P do mecanismo traçador de retas de Watt,
mostrado na Fig. 2.15. Faça 02A = 5lmm, 04B = 76mm, AP = 38mm, BP =
= 25mm e as peças 2 e 4 perpendiculares à peça 3.
2.26 Considerando a Fig. 2.15, determine graficamente as dimensões do
mecanismo traçador de retas de Watt para que o trecho reto da trajetória do ponto P
tenha um comprimento de aproximadamente I27mm.
2.27 Prove que o ponto P do mecanismo Peaucellier, mostrado na Fig. 2.16,
traça uma linha reta verdadeira.
2.28 Prove que os pontos P e Q do pantógrafo mostrado na Fig. 2.17 se deslo-
cam em trajetórias semelhantes.
2.29 No pantógra[o representado .na Fig. 2.40, o ponto Q traça um segmento
de reta de 76mm enquanto P traça um segmento de 203mm. Se o valor máximo
da distância OP for 394mm, projete um pantógrafo para dar o movimento desejado
usando uma escala de 1:3 para o desenho. Desenhe o mecanismo nas suas duas
posições extremas e determine os comprimentos das peças.
2.30 Uma junta de Hooke liga dois eixos a 135° (fJ = 45°) conforme mostrado
na Fig. 2.21. Calcule as velocidades angulares máxima e mínima do eixo conduzido,
para uma rotação constante do eixo motriz de 100 rpm.
2.31 Deduza as equações de deslocamento e velocidade angulares da peça
conduzida de um mecanismo Roda de Genebra (Fig. 2.29). O movimento se inicia
quando o pino acionador entra no sulco da peça conduzida e cessa quando o pino
sai desse sulco. Determine fJ = f(rx), dfJ/arx = f(rx) e use (dfJ/drx) (drx/d.) = dfJ/d.
para determinar uma equação para a velocidade angular da peça conduzida.
2.32 Usando as equações deduzidas no problema 2.31, escreva um programa
de computador e calcule os valores de fI e w2 para rx variando de 60° a 0° em intervalos
de 100. Faça rx = 600no primeiro ponto de contato, 0IP = 45mm, °1°2 = 89mm
e nl = 1 000 rpm (constante).
2.33 Desenhe um mecanismo Roda de Genebra para satisfazer às seguintes
condições: a peça motriz gira continuamente enquanto a conduzida gira intermi-
tentemente, completando um quarto de volta para cada volta da motriz. A distân-
cia entre os centros das peças motriz e conduzida é de 89mm. O diâmetro do pino
acionador é de 9,5mm. Os diâmetros dos eixos das peças motriz e conduzida são
16mm e 25mm, com rasgos de chavetas de 4,8 x 4,8mm e 6,4 x 6,4mm, respecti-
vamente. Desenhe o cubo de cada peça. O cubo da peça motriz deve aparecer por
trás do prato. Os diâmetros dos cubos são 1,75 vezes os diâmetros dos furos.
Determine os ângulos rx e fJ
Carnes
..:....
000
o
o
o
••••••
As carnes desempenham um papel muito importante na maquinaria moderna
e são extensivamente usadas em motores de combustão interna, máquinas opera-
trizes, computadores mecânicos, instrumentos e muitas outras aplicações. Uma
carne pode ser projetada de duas maneiras: (a) partindo-se-dQffiOvimentodes.ejildo
para o seguidor.J)IQjelar,l. carne para dar este movimento, ou (b)p,-\tl~~
Jorma 4,! carne. determinar que características de deslocamento, velocidade e acele-
ração serão __ºJ'Jidª~pelo .çQlltqmº da .çª-J:!le.
O primeiro método é um bom exemplo de síntese. De fato, projetar um meca-
nismo de carnes para o movimento desejado é uma aplicação de síntese que sempre
poderá ser resolvida. Entretanto, depois de projetada a carne pode ser difícil a sua
fabricação. Esta dificuldade de fabricação é eliminada no segundo método fazendo
a carne simétrica e usando para o contorno, formas que possam ser geradas.'Este é o tipo usado na indústria automobilística onde as carnes devem ser produzidas
com precisão e a baixo custo. .
Somente será abordado o projeto de carnes com movimento específico. Para
os tipos empregados em automóveis onde o contorno é especificado, o leitor poderá
consultar a referência abaixol. As carnes com movimento especificado podem ser
projetadas e;raficamente e em certos casos, analiticamente. Será abordado em
primeiro lugar o método gráfico.
3.1 (ame de Disco com Seguidor Radial. A Fig. 3.1 mostra uma carne de
disco com um seguidor radial de face plana. Quando a carne gira com velocidade
angular constante na direção indicada, o seguidor se desloca para cima de uma dis-
tância aproximadamente de 20mm, de acordo com a escala marcada na haste,
durante meia-volta da carne. O movimento de retorno é o mesmo. A fim de deter-
minar graficamente o contorno da carne, será necessário inverter o mecanismo e
manter a carne estacionária enquanto o seguidor gira ao seu redor. Isto não afetará
o movimento relativo entre a carne e o seguidor e o procedimento é o seguinte:
1. Girar o seguidor em torno do centro da carne no sentido oposto ao da
rotação da carne.
2. Deslocar o seguidor radialmente de acordo com o indicado na escala para
cada ângulo de rotação.
3. Desenhar o contorno da carne tangente ao polígono formado pelas várias
posições da face do seguidor.
Infelizmente, para este último passo, não há um processo gráfico para deter-
minar o ponto de contato entre a carne e o seguidor. Este ponto deve ser determi-
nado a olho empregando-se a curva francesa. O comprimento da face do seguidor
deve ser determinado por tentativas. Ocasionalmente pode ser escolhida uma
escala de deslocamentos combinada com o raio mínimo da carne de modo a se
obter um contorno com uma ponta ou aresta. Esta aresta pode ser eliminada modi-
ficando-se a escala de deslocamentos ou aumentando-se o raio mínimo da carne.
6
FIg. 3.1 Carne de disco com seguidor radial de face plana.
9 3
Deslocamento
Fig. 3.2 (a) Carne de disco com seguidor radial de rolete. (b) Carne de disco com seguidor deslocado.
de rolete.
A Fig. 3.2a mostra o mesmo tipo de carne com um seguidor de rolete. Com este
tipo de seguidor o centro do role te se deslocará com o movimento desejado. Os
princípios de construção são idênticos aos do seguidor de face plana com exceção
de que o contorno da carne é tangente às várias posições do rolete. Na Fig. 3.2a
pode-se ver, também, que a linha de ação entre a carne e o seguidor não pode estar
ao longo do eixo do seguidor, exceto quando este estiver em repouso (sem movimento
de subida ou retorno). Isto produz uma força lateral no seguidor e pode causar uma
deOexão ou quebra de sua haste. O ângulo existente entre a linha de ação e a linha
de centros do seguidor é conhecido por ângulo de pressão e seu valor máximo deve
ser o menor possível, especialmente em mecanismos de pequeno porte. Atualmente,
esse valor máximo é de 30°. Embora seja possível medir o ângulo de pressão máximo
na construção gráfica de uma carne, muitas vezes é difícil determiná-lo analitica-
camente. Por esta razão será apresentado, mais adiante, um nomograma para deter-
minação do ângulo de pressão máxima em projetos analíticos de carnes. O ângulo
de pressão é constante para qualquer seguidor radial de face plana. O seguidor
mostrado na Fig. 3.1 tem a face perpendicular ao eixo da haste, de modo que o
ângulo de pressão é zero e a força lateral exercida sobre o seguidor é desprezível
comparada com a existente nos seguidores com rolete. Pode-se reduzir o ângulo
de pressão aumentando-se o raio mínimo da carne de modo que a trajetória do
seguidor em relação à carne seja maior para a mesma elevação. Isto equivale a
aumentar o comprimento de um plano inclinado para a mesma elevação, a fim de
reduzir o ângulo de inclinação do plano. Também, numa carne com seguidor de
rolete, o raio de curvatura da superfície primitiva deve ser maior do que o raio do
rolete senão a superfície da carne se tornará ponteaguda.
Às vezes, as hastes dos seguidores de face plana ou de rolete são desloca das
lateralmente ao invés de serem radiais conforme mostrado nas Figs. 3.1 e 3.2a.
Isto é feito por razões estruturais ou no caso do seguidor de rolete, com a finalidade
de reduzir o ângulo de pressão no curso de elevação. Deve-se notar, entretanto,
que embora o ângulo de pressão seja reduzido durante o curso de elevação, no curso
de retorno ele será aumentado. A Fig. 3.2b mostra uma carne e um seguidor
deslocado, com a mesma escala de deslocamento e o mesmo raio mínimo usados na
Fig. 3.2a. Se a direção do movimento de um seguidor deslocado, de face plana,
for paralela a uma linha radial da carne, resultará a mesma carne obtida com um
seguidor radial. Entretanto, o comprimento da face do seguidor deve ser aumentado
devido ao deslocamento haste.
3.2 Carne de Disco com Seguidor Oscilante. A Fig. 3.3 mostra uma carne de
disco com um seguidor de face plana, oscilante. Usando o mesmo princípio de
construção empregado para a carne de disco com seguidor radial, gira-se o seguidor
em torno da carne. Ao mesmo tempo o seguidor deve ser girado. em torno de seu
centro de rotação, segundo os deslocamentos angulares correspondentes à cada
posição indicada na escala. Hú diversas maneiras de se girar o seguidor em torno
de seu centro. O método indicado na Fig. 3.3 é usar a interseção de dois arcos de
circunferências (por exemplo, o ponto 3') para determinar um ponto da face do
seguidor em sua nova posição, após girar em torno de seu centro e em torno da carne.
O primeiro desses dois arcos tem como raio a distância do centro da carne até a
posição 3 da escala de deslocamento e como centro de curvatura o centro de rotação
da carne. O segundo arco é traçado com centro de curvatura situado no centro de
rotação do seg~idor após ter girado até a posição 3 e usando para o raio a distância
do centro do seguidor até a escala de deslocamento. A interseção desses dois arcos
será o ponto 3'. Devido ao número infinito de retas que podem passar pelo ponto 3',
é necessário ter-se uma informação adicional para determinar a posição correta
da face do seguidor correspondente ao ponto 3'. Conforme mostrado na figura,
isto foi conseguido por uma circunferência tangente ao prolongamento da face do
seguidor na posição zero. Na figura, houve coincidência dessa circunferência com o
diâmetro externo do cubo do seguidor. Essa circunferência é, então, traçada em cada
posição do centro do seguidor. Para se determinar a posição 3 da face do seguidor
traça-se uma reta que passa pelo ponto 3' e é tangente à circunferência do cub"
do seguidor em sua posição 3. Repetindo-se este processo, obtém-se um poligono
formado pelas diversas posições da face do seguidor. A partir deste polígono
desenha-se o contorno da carne.
A Fig. 3.4 mostra uma came de disco com seguidor oscilante, com rolete. O
procedimento para a determinação dos pontos 1',2',3' etc. é semelhante ao indicado
na Fig. 3.3. Entretanto, neste caso, estes pontos são as posições do centro do rolete
determinadas pela rotação do seguidor em torno da carne. Taçam-se as circun-
ferências correspondentes à cada posição do rolete e o contorno da carne é tangente
a essas circunferências. Deve-se notar que num projeto real seriam usadas divisões
menores de modo a minimizar o erro do contorno da carne. Deve-se mencionar
também que o mesmo procedimento pode ser empregado no projeto de uma carne
com seguidor oscilante, de rolete, como o usado para uma carne com seguidor radial
deslocado.
Embora a maioria das carnes em uso seja dos tipos já mencionados, há muitos
outros, alguns dos quais encontram grande aplicação. Nas seções seguintes serào
abordados três desses tipos.
3.3 Carne de Retorno Comandado. Em uma carne de disco c um seguidor radial.
freqüentemente é necessário que o retorno do seguidor seja comandado pela carne
e não sob a ação da gravidade ou de uma mola. A Fig. 3.5 mostra um mecanismo
deste tipo em que a carne comanda o movimento do seguidor nãosomente durante
a elevação como também no curso de retorno. Necessariamente. o movimento de
retorno deve ser o mesmo que o de elevação, porém, no sentido oposto. Esta carne
também é chamada de carne de diâmetro constante.
Este tipo de carne pode também ser projetado empregando dois seguidores de
rolete no lugar dos seguidores de face plana. Se for necessário ter-se um movimento
de retorno independente do movimento de elevação, devem-se usar dois discos,
um para a elevação e outro para o retorno. Estas carnes duplas podem ser usadas
com seguidores de rolete ou de face plana.
3.4 Carne Cilíndrico. Este tipo de carne encontra muitas aplicações, particular-
mente em máquinas opera trizes. Talvez o exemplo mais comum, entretanto,
seja a alavanca niveladora do molinete de vara de pescar. A Fig. 3.6 mostra um
desenho onde o cilindro gira em torno de seu eixo e aciona um seguidor que é guiado
por uma ranhura exist~nte na superfície do cilindro.
3.5 Carne Invertido. Às vezes é vantajoso inverter o papel da carne e do seguidor
e deixar que o seguidor comande a carne. Esta inversão encontra aplicação em
máquinas de costura e outros mecanismos de natureza semelhante. A Fig. 3.7
mostra o esboço de uma carne de placa onde o braço oscila, causando um movimento
alternativo do bloco por ação de um role te dentro da ranhura da carne.
r-Retaguarda ~ Frente '1
Bloco t
Antes de se determinar o contorno de uma came é necessano selecionar o
movimento segundo o qual se deslocará o seguidor, de acordo com as exigências
do sistema. Se a velocidade de operação deve ser baixa, o movimento pode ser
qualquer um dos movimentos comuns, por exemplo, parabólico (aceleração e
desaceleração constantes), parabólico com velocidade constante, harmônico simples
ou cicloidal.
O movimento parabólico possui a mais baixa aceleração teórica para valores
determinados de elevação do seguidor e rotação da came, dentre os movimentos
citados e por esta razão tem sido empregado em muitos contornos de cames.
Entretanto, em trabalhos a baixas velocidades isto tem pouco significado. O
movimento parabólico pode ou não ter intervalos iguais de aceleração e desacele-
ração, dependendo das exigências do problema. O movimento parabólico também
pode ser modificado para incluir um intervalo de velocidade constante entre a
aceleração e a desaceleração; este movimento é muitas vezes denominado de
velocidade constante modificada.
O movimento harmônico simples apresenta uma vantagem de, ao empregar
um seguidor radial de rolete, proporcionar um ângulo de pressão máximo menor
do que no movimento parabólico com intervalos de tempo iguais ou no movimento
cicloidal. Isto permitirá que o seguidor tenha apoios menos rígidos e maior trecho
em balanço. Também menos potência será necessária para operar a came. Por
estas razões o movimento harmônico simples é o preferido entre os outros tipos.
Depois de selecionar o movimento do seguidor, é necessário determinar-se
a escala de deslocamentos e marcá-Ia sobre a haste do seguidor, conforme mostrado
na Fig. 3.1. As elevações podem ser calculadas, porém, são determinadas com mais
facilidade gra(icamente, plotando-se uma curva deslocamento-tempo .
..PÍot~ 'ofgráfico deslocamento-tempo é necessário determinar primeiro
o ponto de inflexão se o movimento for parabólico ou uma modificação deste.
Para os movimentos harmônico simples e cicloidal, o ponto de inflexão é deter-
minado automaticamente pelo método de geração da curva. O ponto de inflexão
de um movimento parabólico estará no meio da escala de deslocamentos e da escala
de tempos se os intervalos forem iguais. A determinação dos pontos de inflexão
de um movimento parabólico modificado é um pouco mais complicada, como será
visto a seguir.
Consideremos um ponto deslocando-se com movimento uniforme modificado,
onde parte do repouso com aceleração constante, em seguida passa a ter velocidade
constante e finalmente chega ao repouso com desaceleração constante. Os pontos
de inflexão podem ser determinados especificando-se os intervalos de tempo ou de
deslocamento correspondentes a cada tipo de movimento. A Fig. 3.8 indica uma
construção gráfica para determinar os pontos de inflexão A e B quando são dados
os intervalos de tempo. A Fig. 3.9 mostra a construção para intervalos de desloca-
mento. Das relações S = +At2, V = At e S = Vt, é possível provar a validade
da construção mostrada nas Figs. 3.8 e 3.9.
0k-.!lJ I I J Tempotou~'l~,~-Lt;j êngulo8dacame
Depois que os pontos de inflexão foram determinados, como por exemplo
na Fig. 3.9, o trecho OA, de aceleração constante,#a curva do deslocamento pode
ser construido conforme indicado na Fig. 3.10, onde o deslocamento L (correspon-
dente a Sl da Fig. 3.9) está dividido no mesmo número de partes da escala de tempo,
neste caso quatro. O trecho desacelerado BC da curva na Fig. 3.9 será construido
de modo semelhante para o deslocamento SJ e o correspondente intervalo de tempo.
}'
o'
1 2 3 4
Tempo t ou ângulo 8 da came
Fig. 3.10 Movimento parabólico.
A Fig. 3.11 mostra o movimento harmônico simples [S = r (1 - cos w,t)]
para um deslocamento L com seis divisões na escala do tempo. Nesta figura deve-se
notar que se a carne gira de meia-volta enquanto o seguidor se move segundo o deslo-
camento L) a velocidade angular wr do raio girante r se iguala à velocidade angular
W da carne e a equação do deslocamento do seguidor pode ser escrita como
S = r (1 - cos wt) = r (1 - cos O). Se a carne gira somente de um quarto de volta
para o deslocamento L. wr = 2w e S = r (1 -- cos 20). Portanto, pode-se ver que
a relação entre wr e w é expressa por
wr 1800
w ângulo de rotação da carne para elevação L do seguidor
2 3 4 5
Tempo t ou ângulo () da came
Uma carne circular (excêntrico) proporcionará um movimento harmônico
simples a um seguidor radial de face plana porque o ponto de contato entre estas
duas peças e o centro geométrico da carne estarão sempre na direção do movimento
do seguidor.
A Fig. 3.12 mostra a construção para o movimento cicloidal
para um deslocamento L com seis divisões na escala de tempo. O mio do círculo
gerador é L/2n. A circunferência deste círculo é dividida no mesmo número de
partes que a escala de tempo, neste caso seis. Os seis pontos marcados na circun-
ferência são projetados horizontalmente sobre o diâmetro vertical do círculo.
Estes pontos são então projetados paralelamente à diretriz DA até as linhas corres-
pondentes marcadas no eixo do tempo.
Para carnes de alta velocidade a seleção do movimento do seguidor deve ser
baseada não só nos deslocamentos mas também nas forças que atuam sobre o sistema
como resultado do movimento selecionado. Por muitos anos o projeto de carnes
dizia respeito somente ao movimento de um seguidor em um curso determinado,
durante um certo tempo. As velocidades eram baixas de modo que as forças de
inércia eram insignificantes. Com a tendência de uso de velocidades mais altas nas
máquinas, entretanto, tornou-se necessário considerar as características dinâmicas
do sistema e selecionar um contorno de came que minimizasse o carregamento
dinâmico.
Tempotou
ângulo 8 da came
Como um exemplo da importância do carregamento dinâmico, consideremos
o movimento parabólico. Em relação às forças de inércia este movimento parece-
ria ser desejável por causa de sua baixa aceleração. Entretanto, não se pode ignorar
o fato de que a aceleração cresce de zero a seu valor constante quase que instan-
taneamente, resultando em uma alta taxa de aplicação da carga. Determina-se a
taxa de variação da aceleração pela terceira derivada do deslocamento, conhecida
por "jerk" ou segunda aceleração. Portanto, o "jerk" ou a segunda aceleração é uma
indicação da característica de impacto do carregamento: pode-se dizer que o
impacto tem a segunda aceleração igual ao infinito. A falta de rigidez e as folgas do
sistema também tendem a aumentar o efeito da carga de impacto. No movimento
parabólico onde a segunda aceleração é infinita, este impacto ocorre duas vezes
durante o ciclo e tem o efeito