Aula sobre Relações de Equivalências [Valor Presente - Valor Futuro - Série Uniforme - Correção Monetária]

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Matemática Financeira: Relações de 
Equivalências no Fluxo de Caixa, 
Valor Presente, Valor Futuro, Série Valor Presente, Valor Futuro, Série 
Uniforme de Pagamentos e Correção 
Monetária
Prof. Me. Macáliston Gonçalves Da Silva
(DA SILVA, M. G.)
macaliston@ulbra.edu.br
Comportamento destes juros, quando solicitado um capital P = $
100,00, a uma taxa de juros i = 10% ao ano, por um período n = 10
anos:
250
300
Juros Simples vs Compostos
)1( niPF ×+×=
50
100
150
200
250
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Período (anos)
V
al
or
 (
R
$)
Juros Simples
Juros Composto
Última Última 
AulaAula
PiPJ n −+×= )1(
niPJ ××=
niPF )1( +×=
Fluxo de Caixa
n
P
0
F
P = Principal
F
n
0
p p p p p
0
p
1 543 n2
F = Montante
p = parcela
Período de CapitalizaçãoPeríodo de Capitalização: valores serão somente realizados ao final do período
Fluxo de Caixa
Represente o seguinte fluxo de caixa de um projeto:
O projeto consiste de um investimento de $800 hoje e $500
daqui a um ano e renderá $2000 em 4 anos e $1500 dentro de 5
anos.
2000
anos.
0 1 5432
800
500
2000
1500
Equivalência entre P (Valor Presente) e F (Valor Futuro)
� Investindo hoje uma quantia P, qual será o montante F que eu
terei após n períodos (juros compostos)?
niPF )1( +×=
� Qual valor deverá ser investido hoje (P) para se obter um
montante F após n períodos, dada uma taxa de juros compostos
i ?
ni
F
P
)1( +
= 1−= n
P
F
i
Equivalência entre P (Valor Presente) e F (Valor Futuro)
� Carlos solicitou um empréstimo de R$ 6000,00 a uma taxa de juros
compostos de 3% ao mês para saldar em um ano. Quanto ele deverá
pagar ao final do ano de empréstimo? (BASE MÊS)
niPF )1( +×= iPF )1( +×=
F=?
P = 6.000
12
0
F = 6000 (1+0,03)12
F = R$ 8554,56F = R$ 8554,56
Equivalência entre P (Valor Presente) e p (Série Uniforme)
� Permite calcular um valor presente P equivalente a uma
série uniforme p (pagamentos ou recebimentos), dada a
taxa de juros compostos i.



 −+×=
ni
pP
1)1(








−+
+××=
1)1(
)1(
n
n
i
ii
Pp




 +×
−+×=
nii
i
pP
)1(
1)1(
Equivalência entre P (Valor Presente) e p (Série Uniforme)
� Você recebeu uma oferta para aquisição de uma máquina através de um
financiamento em 36 meses. Considerando que o pagamento máximo
mensal que você pode admitir é de R$500,00 e que você pode dar uma
entrada de R$3000,00, qual é o valor da máquina que você poderá
comprar dado que a taxa (juros compostos) é de 2% a.m.?
R$15744,42Máquina =
Equivalência entre F (Valor Futuro) e p (Série Uniforme)
� Permite calcular um valor futuro F equivalente a uma série
uniforme p (pagamentos ou recebimentos), dada a taxa de
juros compostos i.



 −+×= ipF
n 1)1(






−+
×=
1)1( ni
i
Fp





 −+×=
i
i
pF
1)1(
Correção Monetária
A contínua desvalorização da moeda exige que novos métodos
sejam incorporados à análise, para que seja possível representar
esta desvalorização.
Desta forma, a correção monetária é o método que a matemáticaDesta forma, a correção monetária é o método que a matemática
financeira utiliza para levar em conta a desvalorização, reduzindo
a mesma.
•• PréPré--FixadaFixada
•• PósPós--FixadaFixada
Correção Monetária Pré-Fixada
� Nestes casos, aa inflaçãoinflação éé consideradaconsiderada nana análiseanálise através da correção
monetária, que aumenta a taxa percentual, passando a incluir na
mesma a taxa de juros e a correção monetária pré-fixada, conforme
segue:
( ) ( ) ( )iTRi +×+=+ 111 *
onde: 
taxa global de juros (ou inflacionada)
taxa referencial (correção monetária)
taxa real de juros
=*i
=TR
=i
Correção Monetária Pós-Fixada
�Nessa situação, aa correçãocorreção monetáriamonetária ficafica emem
abertoaberto e seus valores só serão conhecidos com o
decorrer do tempo, à medida em que os índices de
inflação (ou de correção) vão sendo publicados.inflação (ou de correção) vão sendo publicados.
�Esse tipo de prática exige a indexação dos valores
do fluxo de caixa. Esses índices (IGPM, CUB, OURO,
DÓLAR, entre outros) funcionarão como deflatores
enxugando a inflação.
Correção Monetária
� Uma financeira oferece duas modalidades alternativas de
financiamento:
a. Com correção monetária pós-fixada mais 12% a.a.
b. Com correção monetária pré-fixada : 102% ao ano
Qual a taxa de correção monetária (TR) prevista pelaQual a taxa de correção monetária (TR) prevista pela
financeira?
TR TR = 80,36% ao ano de correção monetária= 80,36% ao ano de correção monetária
1 - Numa operação financeira com taxas pré-fixadas, um banco empresta para
uma empresa de engenharia R$120.000,00 para serem pagos em um ano no
valor final de R$150.000,00. Sendo a inflação (TR) durante o período do
empréstimo igual a 10%, pede-se para calcular as taxas de juros da instituição
e a global deste empréstimo.
Exercício
2 - Se a taxa de inflação no período (do exercício 1) fosse igual a 30%, qual
seria a taxa de juros bancária?
Lembre que a taxa global de juros (i*) é 25%.
Exercício
3 – Qual será o valor de cada parcela mensal de um financiamento de
R$614,46, financiado em 10 parcelas mensais sem entrada, a uma taxa de
juros compostos de 10% a.m.? (Parcelas Iguais)
Exercício
4 – Um engenheiro deseja acumular um capital para investir no seu negócio.
Qual será o montante de uma série de 10 depósitos mensais postecipados de
R$100,00, aplicados a uma taxa de juros compostos de 10% a.m.?
Exercício