SLIDES - Oscilações 2013 -Capítulo 15

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Oscilações 
Exemplos de Movimento Periódico 
Relógios 
-xm xm 0 
-xm xm 0 -xm 
xm 
0 
Oscilações Sismógrafo 
Tacoma Narrows Bridge 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ponte_Tacoma_Narrows 
http://www.youtube.com/watch?v=3mclp9QmCGs 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ponte_Tacoma_Narrows
http://www.youtube.com/watch?v=3mclp9QmCGs
Em 7 de Novembro de 1940, caiu aponte pênsil de 1600 metros (Tacoma 
Narrows), apenas poucos meses após a sua inauguração. 
De madrugada, os ventos atingiram os 70km/h, fazendo a estrutura 
oscilar muito, deslizando a alta velocidade. A polícia fechou então a ponte 
ao tráfego. Às 9h30 a ponte oscila em 8 ou 9 segmentos com 
amplitude de 0,9m e frequência de 36 ciclos por minuto. Às 
10h00 dá-se um afrouxamento da ligação do cabo de suspensão norte ao 
tabuleiro, o que faz a ponte entrar num modo de vibração torcional a 14 
ciclos por minuto. O eixo da via, os dois pilares e o meio da ponte são 
nodos.4 . A partir daí a situação não se alterou muito durante cerca de 
uma hora, até que às 11h00 se desprende um primeiro pedaço de 
pavimento e às 11h10 a ponte entra em colapso, caindo no rio. 
Os grandes defeitos da ponte foram a sua enorme falta de rigidez 
transversal e torcional, pois estava ausente o reticulado por baixo do 
tabuleiro, e a frente aerodinâmica do perfil4 . Não houve vítimas deste 
acidente. 
Uma nova ponte foi construída no local, e ainda se encontra em 
funcionamento. 
 
Tacoma Narrows Bridge 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Tacoma 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Tacoma
O maior desastre foi em 1850 onde 11º Infantaria 
da França,o pelotão passava por uma ponte 
suspensa sobre o rio Remo onde o pelotão 
marchou ritmadamente com parte da banda 
também,resultado,a ponte começou a balançar e 
quebrou uma de suas pontas,como chovia muito e 
a maré estava muito alta,a maioria dos integrantes 
da Infantaria morreram,poucos conseguiram 
chegar a margem e se salvar. 
The Angers Bridge 
Capítulo 15 Página 87 Halliday 
Cap 13, 12ª ed 
MHS 
Movimento 
Harmônico 
Simples 
t (s) 
x
 (
m
) 
-xm xm 0 
Frequência 
 Uma propriedade importante do movimento oscilatório é 
a frequência. 
 É o número de oscilações completas por segundo. 
 Sua unidade no SI é o hertz (Hz) 
 1 hertz=1 Hz= 1 oscilação pro segundo = 1 s-1; 


s 10
 tempode unidadepor 
oscilações de númedo
f
f
Hz
s
oscilações
1
10
10


s10
Hz45,0
5,4

Período 
 Uma grandeza relacionada a frequência é o período T do movimento, 
que é o tempo necessário para completar uma oscilação completa (ou 
um ciclo). 
f
T
1

Tempo de uma 
oscilação 
Foto e efeito estroboscópio 
Em qual ponto o objeto está mais veloz? 
Longa exposição 
Cinema 
Teste 
 Qual a maior Amplitude? 
 Qual a maior frequência? 
 Qual o maior período? 
A B 
Movimento Harmônico 
Simples (MHS) 
Esta equação descreve a posição x 
em função do tempo de um 
oscilador harmônico simples (OHS) 
     txtx m cos
Deslocamento 
Amplitude 
Fase 
Frequência 
Angular 
Constante de Fase 
Ângulo de fase 
Ou diferença de fase 
Frequência angular 
 Considere o oscilador em um instante t e em um 
instante t+T 
 
f
T


 2
2

Teste: Encontre a equação do MHS 
   ______cos___  ttx
Círculo trigonométrico 
cos 
sen 
1 
1 -1 
-1 
Círculo Trigonométrico 
PI 
Deslocamento 
Mesmo período e frequência 
 Amplitude diferente 
Período e frequência diferentes (Ta=2Tv) 
 Amplitudes iguais 
Período e frequência iguais 
Amplitudes iguais 
Fases diferentes 
   txtx m cos)(
 mxx )0(
 
)1cos(
1cos


ar

   mm xx   0cos
 
  









 T
T
xTxTx
Tt
mm 2
2
cos2cos)2(
2 Para
  mm xx  5cos
  









 T
T
xTxTx
Tt
mm 5,3
2
cos5,3cos)5,3(
5,3 Para
  05,8cos  mx
  









 T
T
xTxTx
Tt
mm 25,5
2
cos25,5cos)5,3(
25,5 Para
  05,11cos  mx
TESTE1, PÁGINA 89: Uma partícula em oscilação harmônica simples de período T (como 
na fig 15-1) está em -xm no instante t=0. A partícula está em –xm, em +xm em 0, entre entre 
–xm e 0 ou entre 0 e +xm no instante (a) t=2,00 T, (b) t=3,50 T e (c) t=5,25 T? 
Deslocamento, velocidade e aceleração 
vm 
am x)x(aou 2 IMPORTANTE 
1 
2 
3 
4 
5 1 
2 
3 
4 
5/1 
Para entender a aceleração, pensar 
sempre na 2ª Lei de Newton 
Lei do Movimento Harmônico Simples 
 O MHS é o movimento executado por uma partícula 
sujeita a uma força proporcional ao deslocamento da 
partícula e de sinal oposto 
 F=-kx (exemplo: Lei de Hooke. Massa-mola) 
 Uma vez conhecida a forma como a aceleração de uma 
partícula varia com o tempo, podemos usar a segunda lei 
de Newton para descobrir qual é a força que deve agir 
sobre a partícula para que ela adquira essa aceleração. 
 Combinando a segunda lei de Newton (F=ma) com a 
aceleração do oscilador harmônico obtemos a r elação 
do OHS. 
 
xxa 2)(  IMPORTANTE 
OHS linear – massa mola 
)angular frequência(
m
k
 )período(2
k
m
T 
)frequência(
2
1
m
k
f


Importante 
Depende da mola (constante elástica) 
e 
da massa do oscilador 
Escreva a equação do oscilador. 
Teste 
Escreva a função do 
movimento de cada 
oscilador 
   ______cos___1  ttx
   ______cos___2  ttx
   ______cos___3  ttx
Problema 11 página 107 
 A função abaixo descreve o movimento harmônico 
simples de uma corpo. Em t= 2,0 segundos, quais 
são: 
 (a) o deslocamento, 
 (b) a velocidade, 
 (c) a aceleração e 
 (d) a fase do movimento? 
 (e) a frequência e 
 (f) o período do movimento 
      3/3cos0,6   tmtx
PÁGINA 107 
xxa 2)(  IMPORTANTE 
Energia, próxima aula. 
ENERGIA DO MHS – EM 
FUNÇÃO DO TEMPO 
Energia potencial 
2
2
1
kxU    2cos
2
1
  txk m    tkxm
22 cos
2
1
Energia cinética 
2
2
1
mvU    2cos
2
1
  txk m    tsenxk m
222
2
1
1 
2 
3 4 
5 1 
2 
3 
4 
5/1 
Em quais instantes a energia 
cinética é igual a energia 
potencial? 
Energia Mecânica: 
Em = U + K 
1 
2 
3 
4 
Energia 
PÁGINA 107 
Pêndulos 
Ver livro Sears Zemansky, 12º edição capítulo 13 
MHS e movimento circular 
Problemas 
Problemas do Sears... 
Lista de Exercícios-Capítulo 15 
 Perguntas: 1-5,9,10 
 Problemas: 1-8,11-17,27-36,40,80,81