Fundamentos de Física Vol.2 - Halliday Capítulo 15

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Halliday 
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Fundamentos de Física 
Volume 2 
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Capítulo 15 
Oscilações 
15.1 Movimento oscilatório 
Movimento oscilatório é um movimento periódico no 
tempo, ou seja, um movimento que se repete a 
intervalos regulares. 
 
Exemplos: 
• Uma linha de transmissão começa a oscilar quando 
é fustigada pelo vento. 
• As oscilações causadas por terremotos podem fazer 
edifícios balançarem. 
 
Às vezes as oscilações são tão fortes que provocam o 
colapso de sistemas. 
15.2 Movimento Harmônico Simples 
A figura mostra uma sequência de 
instantâneos de um sistema oscilatório 
simples. Uma partícula se move 
repetidamente para um lado e para outro 
em relação ao ponto x = 0. 
 
O tempo necessário para completar uma 
oscilação é o período T. Em um intervalo 
de tempo T, o sistema passa de x = +xm 
para x = –xm e volta à posição inicial 
x = xm. 
 
O comprimento da seta do vetor 
velocidade é proporcional à velocidade 
escalar do sistema em cada ponto da 
oscilação. Em x = ±xm, a velocidade é 
zero. 
A frequência de uma oscilação é o número de oscilações por 
segundo. 
 
O símbolo de frequência é f e a unidade de frequência do SI é o 
hertz (Hz). 
 
A frequência está relacionada ao período através da equação 
f
T 1=
15.2 Movimento Harmônico Simples 
Todo movimento que se repete a intervalos regulares é 
chamado de movimento periódico ou movimento harmônico. 
 
Se o movimento é uma função senoidal do tempo, é chamado 
de movimento harmônico simples (MHS). 
 
O MHS pode ser descrito pela função 
 
 
 
)cos()( φω += txtx m
 
onde 
• xm é a amplitude (deslocamento máximo do sistema) 
• t é o tempo 
• ω é a frequência angular 
• φ é a constante de fase ou ângulo de fase 
15.2 Movimento Harmônico Simples 
 
A figura (a) mostra o deslocamento de 
dois sistemas em MHS com amplitudes 
diferentes e períodos iguais. 
 
A figura (b) mostra o deslocamento de 
dois sistemas em MHS com amplitudes 
iguais e períodos diferentes. 
 
O valor da constante de fase φ depende 
dos valores do deslocamento e da 
velocidade do sistema no instante t = 0. 
 
A figura (c) mostra o deslocamento de 
dois sistemas em MHS com amplitudes e 
períodos iguais e fases diferentes. 
15.2 Movimento Harmônico Simples 
No caso de um movimento oscilatório de período T, 
)()( Ttxtx +=
Como a função cosseno se repete quando o argumento 
aumenta de 2π, 
f
T
T
tTt
ππω
πω
πωω
22
2
2)(
==→
=→
+=+
no qualω é a frequência angular, cuja unidade no SI é o 
radiano por segundo (rad/s). 
15.2 Movimento Harmônico Simples 
15.2 Movimento Harmônico Simples 
A velocidade do MHS é dada por 
 
 
O valor máximo (amplitude) da velocidade é 
ωxm. A velocidade está defasada de π/2 em 
relação ao deslocamento. 
 
A aceleração do MHS é dada por 
 
A amplitude da aceleração é ω2xm. 
 
A aceleração é proporcional ao deslocamento, mas tem o sinal 
oposto. 
15.3 A Lei do MHS 
De acordo com a 2a lei de Newton, 
kxxmmaF −=−== )( 2ω
O MHS é o movimento executado por um sistema 
submetido a uma força proporcional ao deslocamento 
do sistema, com o sinal oposto ao do deslocamento. 
15.3 A Lei do MHS 
O sistema bloco-mola mostrado 
na figura constitui um oscilador 
linear que descreve um MHS. 
 
A constante elástica da mola, k, 
está relacionada à frequência 
angular ω e ao período T do 
oscilador por meio das equações 
 
Exemplo: Lei do MHS 
Exemplo: Lei do MHS (continuação) 
Exemplo: Lei do MHS (continuação) 
Exemplo: Lei do MHS (continuação) 
Exemplo: Lei do MHS (continuação) 
Exemplo: Lei do MHS (continuação) 
15.4: A Energia do MHS 
A energia potencial de um oscilador 
linear está associada à mola. 
A energia cinética de um oscilador 
linear está associada à velocidade 
do bloco. 
A energia total é a soma das duas 
energias. 
Exemplo: Amortecedores de massa 
Exemplo: Amortecedores de massa (continuação) 
na qual κ é a constante de torção, que 
depende do comprimento, diâmetro 
e material do fio. 
O período T das oscilações é dado por 
15.4: Um Oscilador Harmônico Angular 
A figura mostra um exemplo de oscilador 
harmônico angular, o chamado pêndulo de 
torção, formado por um disco que gira em 
um plano horizontal sustentado por um fio. 
 
O torque associado a um deslocamento 
angularθ é dado por 
κθτ −=
,κ= 2
IT π na qual I é o momento de inércia do 
disco. 
Exemplo: Oscilador angular 
15.6: Pêndulos 
Em um pêndulo simples, uma partícula 
de massa m está suspensa por uma das 
extremidades de um fio de comprimento 
L, cuja outra extremidade está fixa. 
 
O torque associado a um deslocamento 
angular θ é dado por 
( sen )gL F Iτ θ α= − =
em que α é a aceleração angular da 
partícula. Assim, 
2
mgL
I
LT
g
α θ
π
= −
=
Essas equações valem apenas para pequenos deslocamentos. 
15.6: Pêndulos 
Um pêndulo físico pode ter uma 
distribuição complicada de massa. Se o 
centro de massa C está a uma distância h 
do ponto fixo, como na figura, temos, para 
pequenas amplitudes de oscilação, um 
movimento harmônico simples. 
 
O período T das oscilações é dado por 
mgh
IT π2=
sendo que I é o momento de inércia do pêndulo em relação 
ao ponto O. 
A aproximação usada para calcular a aceleração angular do 
pêndulo simples consiste em supor que sen θ ≅ θ. Vamos 
investigar até que valor de θ essa aproximação é razoável. 
θ (graus) θ (radianos) sen θ 
 5 0,087 0,087 (erro < 1%) 
 10 0,174 0,174 (erro < 1% 
 15 0,262 0,259 (erro ≈ 1%) 
 20 0,349 0,342 (erro ≈ 2%) 
 
Conclusão: O erro é menor que 1% para θ < 10°. 
 
15.6: Pêndulos 
Exemplo: Pêndulo 
Exemplo: Pêndulo (continuação) 
15.7: MHS e movimento circular uniforme 
Considere um ponto P' que descreve um 
movimento circular uniforme com velocidade 
angular ω. 
 
A projeção do ponto P' no eixo x é um ponto 
P cujo movimento pode ser descrito pela 
equação 
( ) cos( ),mx t x tω ϕ= + 
que é a equação do MHS. 
 
O MHS é, portanto, a projeção do 
movimento circular uniforme no diâmetro 
da circunferência na qual acontece o 
movimento circular. 
15.8: MHS Amortecido 
Em uma oscilação amortecida, o 
movimento do oscilador é reduzido 
por uma força externa. 
 
Exemplo: Um bloco de massa m 
oscila verticalmente preso a uma 
mola de constante elástica, k. Uma 
barra liga o bloco a uma placa 
imersa em um líquido. O líquido 
exerce uma força de arrasto sobre a 
placa e, portanto, sobre todo o 
sistema. 
 
 
 
A força de amortecimento, Fa, é muitas 
vezes proporcional à velocidade v, ou 
seja, 
15.8: MHS Amortecido 
−=aF bv
De acordo com a 2a lei de Newton, temos: 
02
2
=++ kx
dt
dxb
dt
xdm
cuja solução é 
)'cos()( 2 φω +=
−
textx m
bt
m
onde ω’ é a frequência angular, dada por 
2
2
4
'
m
b
m
k −=ω
15.8: MHS Amortecido 
A figura mostra a função 
deslocamento x(t) de um 
oscilador amortecido. A 
amplitude das oscilações 
diminui exponencialmente 
com o tempo. 
)'cos()( 2 φω +=
−
textx m
bt
m
Exemplo: MHS amortecido 
Exemplo: MHS amortecido (continuação) 
Exemplo: MHS amortecido (continuação) 
15.9: Oscilações forçadas e ressonância 
Quando um oscilador é submetido a uma força externa que 
é periódica, passa a apresentar oscilações forçadas. 
 
Exemplo: Um balanço empurrado por uma força periódica 
de frequência angular ωe. 
 
O comportamento de um oscilador submetido a oscilações 
forçadas envolve duas frequências: 
 
 Ι. ω, a frequência angular natural do oscilador; 
 
 ΙΙ. ωe, a frequência angular da força aplicada. 
15.9: Oscilações forçadase ressonância 
A ressonância acontece quando a 
frequência das oscilações forçadas, 
ωe, é igual à frequência natural ω. 
 
Essa é a situação na qual a amplitude 
da velocidade é máxima e também, 
aproximadamente, a amplitude para a 
qual o deslocamento é máximo. A figura 
ao lado mostra a amplitude do 
deslocamento em função da razão 
entre as duas frequências. 
Exemplo: Em setembro de 1985, muitos edifícios da Cidade do 
México desabaram quando a cidade foi sacudida por um 
terremoto. Isso aconteceu porque a frequência natural desses 
edifícios estava próxima da frequência das ondas sísmicas. 
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	Capítulo 15
	15.1 Movimento oscilatório
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