potencial-eletrico

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POTENCIAL ELÉTRICO
O potencial elétrico pode ser definido como sendo uma propriedade 
do espaço onde há um campo elétrico e onde existe a possibilidade de se 
ter energia potencial elétrica. Sabemos que uma carga pontual cria um 
campo elétrico e que o potencial elétrico depende da carga que cria esse 
campo e da posição relativa à carga elétrica.
Quando estudamos os conceitos de campo elétrico, vimos que 
ele pode ser produzido, ou melhor, criado, por uma carga elétrica 
puntiforme. O campo elétrico pode ser determinado em um ponto 
quando colocamos nele uma carga de prova e caso ela fique sujeita a 
uma força elétrica, dizemos que ali há campo elétrico. Determinamos 
a intensidade do campo elétrico através da divisão entre o valor da 
força e o módulo da carga de prova.
Existe na eletrostática outra grandeza similar ao campo elétrico, 
mas de característica escalar: o potencial elétrico. Ao invés de 
comparar a intensidade da força elétrica sofrida por uma carga de 
prova e o módulo dessa carga, o potencial elétrico, em um ponto 
qualquer do espaço, pode ser calculado com uma experiência bem 
parecida, mas na qual se divide a energia potencial elétrica de uma 
carga de prova pelo valor desta carga.
Como já havíamos notado no caso do campo elétrico, o potencial 
elétrico, num determinado ponto do espaço, não depende da carga de 
prova, mas, sim, da carga geradora. Se aumentarmos ou diminuirmos a 
intensidade da carga de prova, apenas fazemos variar proporcionalmente 
sua energia potencial elétrica, mantendo constante o potencial naquele 
ponto. Desse modo, podemos concluir que:
“Potencial elétrico é uma grandeza escalar que mede a 
energia potencial elétrica por unidade de carga de prova, ou 
seja, é a constante de proporcionalidade na razão entre energia 
potencial elétrica e carga de prova.”
Se lembrarmos da energia cinética estudada na parte de mecânica, 
podemos inferir que para um corpo adquirir energia cinética é preciso 
que haja uma energia potencial armazenada de alguma forma. 
Quando esta energia está ligada relacionada à atuação de um campo 
elétrico, é chamada Energia Potencial Elétrica ou Eletrostática, 
simbolizada por Ep.
p
Qq
E K
d
� �
A unidade usada para a Ep é o joule (J).
Pode-se dizer que a carga geradora produz um campo elétrico 
que pode ser descrito por uma grandeza chamada Potencial Elétrico 
(ou eletrostático).
De uma maneira análoga ao Campo Elétrico, o potencial pode ser 
descrito como o quociente entre a energia potencial elétrica e a carga 
de prova q. Ou seja:
pEv
q
�
Logo:
pEv
q
Qq
K Qq 1dv K
q d q
Q
v K
d
�
�
� � � �
� �
A unidade adotada, no SI para o potencial elétrico é o volt (V), em 
uma justa homenagem ao físico italiano Alessandro Volta, e a unidade 
designa Joule por coulomb (J/C).
Agora, se tivermos várias cargas interagindo em um determinado 
campo temos que o potencial resultante no ponto P é dado pela soma 
dos potenciais parciais assim obtidos, levando em consideração os 
respectivos sinais, já que cada potencial será transformado em uma 
grandeza escalar.
vresultante = v1 + v2 ... + vn
http://slideplayer.com.br/slide/278102/1/images/7/
Potencial+el%C3%A9trico+no+campo+com+v%C3%A1rias+cargas.jpg
Um modo muito utilizado para se representar potenciais é 
através de superfícies equipotenciais, que são linhas ou superfícies 
perpendiculares às linhas de força, ou seja, linhas que representam 
um mesmo potencial.
Se analisarmos o caso particular onde o campo é gerado por 
apenas uma carga, estas linhas equipotenciais serão circunferências, 
pois o valor do potencial diminui uniformemente em função do 
aumento da distância (levando-se em conta uma representação em 
duas dimensões, pois caso a representação fosse tridimensional, os 
equipotenciais seriam representados por esferas ocas, o que constitui 
o chamado efeito casca de cebola, onde quanto mais interna for a 
casca, maior seu potencial).
http://4.bp.blogspot.com/-R1HdXuY9z8Y/TbgXRx-rCKI/AAAAAAAAZos/
aLyM9EaRwK8/s1600/equipot+1.png
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TRABALHO DE UMA FORÇA ELÉTRICA
A energia elétrica pode ser percebida através do trabalho da força 
elétrica. O trabalho é o produto da força exercida sobre um corpo pelo 
deslocamento deste corpo na direção desta força. Sendo assim, o trabalho 
da força elétrica num campo elétrico é dado pela definição abaixo.
Se imaginarmos dois pontos em um campo elétrico, cada um 
deles terá energia potencial dada por:
Ep
1
 = q ⋅ v1 e Ep
2
 = q ⋅ v2
Sendo o trabalho realizado entre os dois pontos:
τ1,2 = F ⋅ ∆d
Mas sabemos que, quando a força considerada é a eletrostática, então:
1,2 1 22
1 2
1,2 p1 p12
1 2
1,2 1 2
Qq
K (d d )
(d d )
Qq
K E E
(d d )
Portanto:
q (v v )
� � � �
�
� � � �
�
� � � �
CAMPO E POTENCIAL DO CONDUTOR 
EM EQUILÍBRIO ELETROSTÁTICO
Um bom condutor possui elétrons livres. Se esses elétrons não 
apresentarem nenhum movimento ordenado, diremos que o condutor 
está em equilíbrio eletrostático. Para que isso ocorra, o campo elétrico 
no interior do condutor deve ser nulo pois se o campo fosse diferente 
de zero, provocaria movimento dos elétrons.
“No interior de um condutor em equilíbrio, o campo elétrico 
é nulo.”
Na superfície do condutor pode haver campo elétrico não nulo, 
desde que ele seja perpendicular à superfície.
A necessidade de o campo ser perpendicular à superfície decorre 
do fato de o condutor estar em equilíbrio. Se o campo fosse inclinado 
em relação à superfície, haveria uma componente tangencial tE

 que 
provocaria o movimento das cargas.
Consideremos agora quatro pontos quaisquer A, B, C e D 
pertencentes a um condutor em equilíbrio eletrostático.
Se os potenciais de A, B, C e D fossem diferentes, haveria 
movimentação de elétrons livres do potencial mais baixo para o 
potencial mais alto o que contraria a hipótese de equilíbrio. Portanto 
concluímos que os pontos A, B, C e D devem ter o mesmo potencial:
Condutor em equilíbrio eletrostático
VA = VB = VC = VD
D
CB
A
http://www.alfaconnection.pro.br/images/ELE100102a.gif
“Todos os pontos de um condutor em equilíbrio eletrostático 
devem ter o mesmo potencial”
GRÁFICOS E x D e V x D
http://osfundamentosdafisica.blogspot.com.br/2016/05/cursos-do-blog-eletricidade.html
DISTRIBUIÇÃO DE CARGAS
Quando um condutor está eletrizado, tem um excesso de cargas 
positivas ou negativas. Na situação de equilíbrio essas cargas tendem a 
se afastar o máximo possível e assim ficam na superfície do condutor. 
Se o condutor for esférico e isolado (longe da influência de outros 
condutores) as cargas distribuem-se uniformemente pela superfície. 
Mas se o condutor tiver outra forma, as cargas concentram-se mais 
nas regiões mais pontudas.
http://alunosonline.uol.com.br/upload/conteudo_legenda/condutor%20em%20
equilibrio%20eletrostatico.jpg
http://4.bp.blogspot.com/-PV9pei33rbc/TcFc9yU9JoI/AAAAAAAAZsU/8shTwHYljFw/
s1600/QUATRO.png
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Para caracterizar essas diferenças define-se a densidade superficial 
de cargas. Se uma “pequena” superfície de área contiver uma carga 
Q, a densidade de cargas nessa superfície é definida por:
m
Q
A
� �
Assim, no caso do condutor esférico isolado, a densidade é 
constante ao longo da superfície. Porém, para condutores de outras 
formas, a densidade é maior nas pontas.
BLINDAGEM ELETROSTÁTICA
A blindagem eletrostática ocorre quando o excesso de cargas em 
um condutor distribui-se uniformemente em sua superfície e o campo 
elétrico em seu interior fica nulo.
Um condutor, quando carregado, tende a espalhar suas cargas 
uniformemente por toda a sua superfície. Se esse condutor for uma 
esfera oca, por exemplo, as cargas irão se espalhar pela superfície 
externa, pois a repulsão entre as cargas fazem com que elas se 
mantenham o mais longe possível umas das outras. Os efeitos de 
campo elétrico criados no interior do condutor acabam se anulando, 
obtendo assim um campo elétrico nulo. 
O mesmo acontecequando o condutor não está carregado, mas 
está em uma região que possui um campo elétrico causado por um 
agente externo. Seu interior fica livre da ação desse campo externo, 
fica blindado. Esse efeito é conhecido como blindagem eletrostática.
A blindagem eletrostática foi comprovada, em 1936, por Michael 
Faraday (1821-1867) através de um experimento que ficou conhecido 
como a gaiola de Faraday. Nesse experimento, esse estudioso entrou 
em uma gaiola e sentou-se em uma cadeira feita de material isolante. 
Em seguida, essa gaiola foi conectada a uma fonte de eletricidade e 
submetida a uma descarga elétrica, porém nada aconteceu com ele. 
Com isso, Faraday conseguiu provar que um corpo no interior de um 
condutor fica isolado e não recebe descargas elétricas em virtude da 
distribuição de cargas na superfície.
Esse fenômeno é muito utilizado para proteger equipamentos que 
não podem ser submetidos a influências elétricas externas, como é o 
caso de aparelhos eletrônicos. Se esses aparelhos forem submetidos 
a um campo elétrico externo, os seus componentes poderão ser 
danificados. Além disso, é também graças à blindagem eletrostática 
que, se um carro ou um avião forem atingidos por um raio, as pessoas 
em seu interior não sofrerão nenhum dano, pois a estrutura metálica 
faz a blindagem eletrostática de seu interior.
EXERCÍCIOS DE
FIXAÇÃO
01. A figura a seguir ilustra, graficamente, o comportamento do 
Potencial Elétrico V, em função da Distância até o centro, de uma 
esfera condutora de raio R, eletrizada com carga positiva Q e em 
equilíbrio eletrostático. Considere a origem do sistema de coordenadas 
localizado no centro da esfera. 
Com base no gráfico e em seus conhecimentos de eletrostática, 
analise as seguintes afirmativas:
I. O potencial elétrico no interior da esfera é nulo. 
II. O potencial elétrico no interior da esfera é igual em todos os 
pontos. 
III. O campo elétrico no interior da esfera é nulo. 
Estão corretas as afirmativas:
a) I e II, apenas. 
b) II e III, apenas. 
c) I e III, apenas. 
d) I, II e III. 
05. Seja o sistema composto por duas cargas elétricas mantidas fixas 
a uma distância d e cujas massas são desprezíveis. A energia potencial 
do sistema é 
a) inversamente proporcional a 1/d². 
b) proporcional a d². 
c) proporcional a 1/d. 
d) proporcional a d. 
03. A intensidade do campo elétrico (E)

 e do potencial elétrico (V) 
em um ponto P gerado pela carga puntiforme Q são, respectivamente, 
N
50
C
 e 100 V. A distância d que a carga puntiforme se encontra do 
ponto P, imersa no ar, é 
a) 1,0 m b) 2,0 m c) 3,0 m d) 4,0 m e) 5,0 m
04. Na região dentro de um capacitor de placas paralelas, para o qual 
desprezam-se os efeitos de borda, atua um campo elétrico uniforme. 
Uma carga de prova (q) movimenta-se sob a ação deste campo. 
Considerando que o meio é o vácuo, e que as placas têm potenciais 
elétricos iguais em módulo, assinale o que for correto.
 
01) O trabalho da força elétrica ao deslocar a carga de prova do ponto 
P para o ponto Q é nulo, porém para deslocá-la de P para R, não 
o é. 
02) As linhas de força são perpendiculares às superfícies equipotenciais 
em cada ponto do campo elétrico E.

 
04) Se entre as placas do capacitor for introduzido um dielétrico 
com constante dielétrica maior que a do vácuo, sua capacitância 
aumentará, bem como o valor do campo elétrico entre as placas. 
08) Se a carga de prova (q) for negativa, ela irá se movimentar 
espontaneamente da placa A para a placa B. 
16) Durante o movimento da carga de prova (q) ocorre transformação 
de energia potencial em energia cinética. 
05. O esquema abaixo representa um campo elétrico uniforme E,

 
no qual as linhas verticais correspondem às superfícies equipotenciais. 
Uma carga elétrica puntiforme, de intensidade 400 mC, colocada no 
ponto A, passa pelo ponto B após algum tempo.
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POTENCIAL ELÉTRICO
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Determine, em joules, o trabalho realizado pela força elétrica para 
deslocar essa carga entre os pontos A e B. 
06. Uma carga elétrica puntiforme Q > 0 está fixa em uma região do 
espaço e cria um campo elétrico ao seu redor. Outra carga elétrica 
puntiforme q, também positiva, é colocada em determinada posição 
desse campo elétrico, podendo mover-se dentro dele. A malha 
quadriculada representada na figura está contida em um plano xy, 
que também contém as cargas.
Quando na posição A, q fica sujeita a uma força eletrostática de 
módulo F exercida por Q.
a) Calcule o módulo da força eletrostática entre Q e q, em função 
apenas de F, quando q estiver na posição B. 
b) Adotando 2 1,4= e sendo K a constante eletrostática do meio 
onde se encontram as cargas, calcule o trabalho realizado pela 
força elétrica quando a carga q é transportada de A para B. 
07. Os gráficos abaixo apresentam a relação entre duas grandezas físicas 
com a distância. As duas grandezas físicas em questão estão relacionadas 
a uma esfera condutora, de raio R, carregada positivamente.
Com base em seus conhecimentos a respeito de eletrostática analise 
as afirmações abaixo:
I. O gráfico X versus d apresenta a relação entre o Campo Elétrico 
com a distância a partir do centro do condutor esférico.
II. O gráfico Y versus d apresenta a relação entre o Potencial Elétrico 
com a distância a partir do centro do condutor esférico.
III. A esfera condutora é obrigatoriamente maciça.
IV. A relação entre o Campo Elétrico e a distância é 1E ,
d
a que é a 
mesma entre o Potencial Elétrico e a distância, 
1
V .
d
a
Assinale a alternativa CORRETA. 
a) Apenas as afirmações III e IV são verdadeiras. 
b) Apenas as afirmações II e III são verdadeiras. 
c) Apenas as afirmações I e II são verdadeiras. 
d) Apenas as afirmações I e IV são verdadeiras. 
e) Todas as afirmações são verdadeiras. 
08.
Uma carga elétrica de intensidade Q = 10,0 mC, no vácuo, gera um 
campo elétrico em dois pontos A e B, conforme figura acima. Sabendo-
se que a constante eletrostática do vácuo é 9 2 20k 9 10 Nm / C= ⋅ 
o trabalho realizado pela força elétrica para transferir uma carga 
q = 2,00 mC do ponto B até o ponto A é, em mJ, igual a 
a) 90,0 b) 180 c) 270 d) 100 e) 200
09. A tecnologia dos aparelhos eletroeletrônicos está baseada nos 
fenômenos de interação das partículas carregadas com campos 
elétricos e magnéticos. A figura representa as linhas de campo de um 
campo elétrico. 
Assim, analise as afirmativas: 
I. O campo é mais intenso na região A. 
II. O potencial elétrico é maior na região B. 
III. Uma partícula com carga negativa pode ser a fonte desse campo. 
Está(ão) correta(s):
a) apenas I. 
b) apenas II. 
c) apenas III. 
d) apenas II e III. 
e) I, II e III. 
10. Em um laboratório, um pesquisador colocou uma esfera 
eletricamente carregada em uma câmara na qual foi feito vácuo.
O potencial e o módulo do campo elétrico medidos a certa distância 
dessa esfera valem, respectivamente, 600 V e 200 V/m.
Determine o valor da carga elétrica da esfera.
EXERCÍCIOS DE
TREINAMENTO
01. Considere as seguintes afirmações a respeito de uma esfera 
homogênea carregada em equilíbrio eletrostático:
I. As cargas elétricas se distribuem pela superfície da esfera, 
independentemente de seu sinal.
II. Na superfície dessa esfera o campo elétrico é nulo.
III. Na superfície dessa esfera o campo elétrico é normal à superfície 
e no seu interior ele é nulo.
IV. A diferença de potencial elétrico entre dois pontos quaisquer da 
sua superfície é nula.
A respeito dessas afirmações, pode-se dizer que: 
a) Todas estão corretas 
b) Apenas I está correta 
c) I, III e IV estão corretas 
d) II, III e IV estão corretas 
02. Um condutor P, de raio 4,0 cm e carregado com carga 8,0 nC, 
está inicialmente muito distante de outros condutores e no vácuo. 
Esse condutor é a seguir colocado concentricamente com um outro 
condutor T, que é esférico, oco e neutro. As superfícies internas e 
externa de T têm raios 8,0 cm e 10,0 cm,respectivamente.
Determine a diferença de potencial entre P e T, quando P estiver no 
interior de T. 
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a) 154,8 · 102 V
b) 16 · 101 V
c) 9,0 · 102 V
d) 9,8 · 101 V
e) 180,0 · 102 V
Na questão a seguir, quando necessário, use:
- Aceleração da gravidade: g = 10 m/s²
- Calor específico da água: c = 1,0 cal/g ºC; 
- ° = ° =sen 45 cos 45 2 2. 
03. Duas partículas eletrizadas A e B, localizadas num plano isolante e 
horizontal a estão em repouso e interligadas por um fio ideal, também 
isolante, de comprimento l igual a 3cm, conforme ilustrado na figura 
abaixo.
A partícula A está fixa e B pode mover-se, sem quaisquer resistências 
sobre o plano. Quando B, que tem massa igual a 20 g, está em 
repouso, verifica-se que a força tensora no fio vale 9 N. Imprime-se 
certa velocidade na partícula B, que passa a descrever um movimento 
circular uniforme em torno de A, de tal forma que a força tensora no 
fio se altera para 15 N. Desprezando as ações gravitacionais, enquanto 
a tensão no fio permanecer igual a 15 N. pode-se afirmar que a 
energia do sistema, constituído das partículas A e B, será, em J, de:
a) 0,09 b) 0,18 c) 0,27 d) 0,36
04. Na questão a seguir, quando necessário, use:
- Aceleração da gravidade: g = 10m/s²;
- sen 19º = cos 71º = 0,3
- sen 71º = cos 19º = 0,9
- Velocidade da luz no vácuo: c = 3,0 · 108 m/s; 
- Constante de Planck: h = 6,6 · 10 -34 J·s; 
- 1 e V = 1,6 · 10-19 J, 
- Potencial elétrico no infinito: zero.
RAIOS CAUSAM 130 MORTES POR ANO NO BRASIL: 
SAIBA COMO PREVENIR
Começou a temporada de raios e o Brasil é o lugar onde eles mais 
caem no mundo.
Os raios são fenômenos da natureza impressionantes, mas causam 
mortes e prejuízos. Todos os anos morrem em média 130 pessoas no 
país atingidas por essas descargas elétricas. (...)
(...) Segundo as pesquisas feitas pelo grupo de eletricidade 
atmosférica do INPE, o número de mortes por raios é maior do que 
por deslizamentos e enchentes. E é na primavera e no verão, época 
com mais tempestades, que a preocupação aumenta (...)
Disponível em: ww1.g1.globo.com/bom-dia-brasil. Acesso em:16 fev.2017.
Como se pode verificar na notícia acima, os raios causam mortes 
e, além disso, constantemente há outros prejuízos ligados a eles: 
destruição de linhas de transmissão de energia e telefonia, incêndios 
florestais, dentre outros.
As nuvens se eletrizam devido às partículas de gelo que começam a 
descer muito rapidamente, criando correntes de ar bastante bruscas, 
o que provoca fricção entre gotas de água e de gelo, responsável 
pela formação e, consequentemente, a acumulação de eletricidade 
estática. Quando se acumula carga elétrica negativa demasiadamente 
na zona inferior da nuvem (este é o caso mais comum) ocorre uma 
descarga elétrica em direção ao solo (que por indução eletrostática 
adquiriu cargas positivas).
Considere que a base de uma nuvem de tempestade, eletricamente 
carregada com carga de módulo igual a 2,0 · 10² C, situa-se a 500 m 
acima do solo. O ar mantém-se isolante até que o campo elétrico 
entre a base da nuvem e o solo atinja o valor de 5,0 · 106 V/m. 
Nesse instante a nuvem se descarrega por meio de um raio que dura 
0,10 s. Considerando que o campo elétrico na região onde ocorreu o 
raio seja uniforme, a energia liberada neste raio é, em joules, igual a 
a) 5,00 · 108 b) 4,00 · 1010 c) 2,50 · 1011 d) 1,50 · 1015
05. Têm-se duas cargas elétricas puntiformes de mesmo valor e sinais 
contrários, fixas no vácuo e afastadas por uma distância d. Sabendo-se 
que o módulo do campo elétrico vale E e o valor do potencial elétrico 
vale V, no ponto médio entre as cargas, tem-se:
a) E ≠ 0 e V ≠ 0
b) E ≠ 0 e V = 0
c) E = 0 e V = 0
d) E = 0 e V ≠ 0
e) E = 2V/d
06. Uma partícula com carga elétrica de 5,0 x 10-6 C é acelerada entre 
duas placas planas e paralelas, entre as quais existe uma diferença 
de potencial de 100 V. Por um orifício na placa, a partícula escapa e 
penetra em um campo magnético de indução magnética uniforme de 
valor igual a 2,0 x 10-2 T, descrevendo uma trajetória circular de raio 
igual a 20cm. Admitindo que a partícula parte do repouso de uma das 
placas e que a força gravitacional seja desprezível, qual é a massa da 
partícula?
a) 1,4 x 10-14 kg
b) 2,0 x 10-14 kg
c) 4,0 x 10-14 kg
d) 2,0 x 10-14 kg
e) 4,0 x 10-14 kg
07. Analise a figura a seguir.
As cargas pontuais Q1 = +q0 e Q2 = -q0 estão equidistantes da carga Q3, 
que também possui módulo igual a q0, mas seu sinal é desconhecido. 
A carga Q3 está fixada no ponto P sobre o eixo y, conforme indica 
a figura acima. Considerando D = 2,0 m e kq0
2 (k é a constante 
eletrostática), qual a expressão do módulo da força elétrica resultante 
em Q3, em newtons, e em função de y?
a) 2
20y
y 1+
 
b) 
2 3
20
(y 1)+
 
c) 
2
20
y 1+
 
d) 
2 3
20y
(y 1)+
 
e) Depende do sinal de Q3.
08. São dadas duas cargas, conforme a figura:
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POTENCIAL ELÉTRICO
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Considerando E1 o módulo do campo elétrico devido à carga Q1, 
E2 o módulo do campo elétrico devido à carga Q2, V1 o potencial 
elétrico devido à carga Q1 e V2 o potencial elétrico devido à carga Q2. 
Considere Ep o campo elétrico e Vp o potencial resultantes no ponto P. 
Julgue as expressões abaixo como verdadeiras (V) ou falsas (F).
( ) Ep = E1 + E2
( ) Vp = V1 + V2
( ) p 1 2E E E= +
  
( ) p 1 2V V V= +
  
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
a) V – V – F – F b) V – F – F – V c) F – F – V – V d) F – V – V – F 
09. Uma esfera condutora de um metro de diâmetro está eletrizada 
negativamente e encontra-se em equilíbrio eletrostático no vácuo 
completamente isolada de outros corpos.
Sabendo que a uma distância de 40 m de seu centro o campo 
elétrico é de 900 V/m, qual é a intensidade do campo elétrico e do 
potencial elétrico a uma distância de 20 cm do centro dessa esfera, 
respectivamente?
(Considere a constante eletrostática de 9 x 109 N.m2 /C2)
a) 3,6 x 107 V/m / – 7,2 x 106 V
b) 0 V/m / – 7,2 x 106 V
c) 3,6 x 107 V/m / – 2,88 x 106 V
d) 0 V/m / – 2,88 x 106 V
10. Duas cargas pontuais, ambas iguais +Q, estão fixas nas posições 
de coordenadas (a,0) e (-a,0) em relação ao referencial cartesiano XOY 
mostrado na figura abaixo.
Uma terceira carga pontual –Q é abandonada (sem velocidade inicial) 
na posição de coordenadas (0,b) e passa a se mover sob a ação, 
exclusivamente, das forças de origem elétrica exercidas sobre ela pelas 
cargas +Q. Sendo K a constante eletrostática, o valor máximo da 
energia cinética adquirida pela carga –Q é:
e) 2KQ
a
f) 
2KQ
b
g) 
2
2 2
KQ
a b+
h) 
22KQ
b
i) 
2
2 2
2KQ
a b+
11. Duas esferas metálicas de raios RA e RB, com RA < RB, estão no 
vácuo e isoladas eletricamente uma da outra. Cada uma é eletrizada 
com uma mesma quantidade de carga positiva. Posteriormente, as 
esferas são interligadas por meio de um fio condutor de capacitância 
desprezível e, após atingir o equilíbrio eletrostático, a esfera A possuirá 
uma carga QA e um potencial VA, e a esfera B uma carga QB e um 
potencial VB. Baseado nas informações anteriores, podemos, então, 
afirmar que 
a) VA < VB, e QA = QB,
b) VA = VB, e QA = QB,
c) VA < VB, e QA < QB,
d) VA = VB, e QA < QB,
e) VA > VB, e QA = QB,
12. Raios X são produzidos em tubos de vácuo nos quais elétrons são 
acelerados por uma ddp de 4,0 · 104 V e, em seguida, submetidos a 
uma intensa desaceleração ao colidir com um alvo metálico.
Assim, um valor possível para o comprimento de onda, em angstrons, 
desses raios X é, 
a) 0,15 b) 0,20 c) 0,25 d) 0,35 
13. A figura abaixo ilustra um campo elétrico uniforme, de módulo E, 
que atua na direção da diagonal BD de um quadrado de lado l.
Se o potencial elétrico é nulo no vértice D, pode-se afirmar que a ddp 
entre o vértice A e o ponto O, intersecção das diagonais do quadrado, é:
a) nula 
b) 
2 E
2
l 
c) 2El 
d) El 
14. A figura abaixo representa as linhas de força de um determinado 
campo elétrico.Sendo VA, VB e VC os potenciais eletrostáticos em três pontos A, B e 
C, respectivamente, com 0 < VA – VC < VB - VC, pode-se afirmar que a 
posição desses pontos é melhor representada na alternativa 
a) 
b) 
c) 
d) 
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POTENCIAL ELÉTRICO
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15. Na figura, A e B representam duas placas metálicas; a diferença 
de potencial entre elas é VB – VA = 2,0 x 10
4 V. As linhas tracejadas 
1 e 2 representam duas possíveis trajetórias de um elétron, no plano 
da figura.
Considere a carga do elétron igual a -1,6 x 10-19 C e as seguintes 
afirmações com relação à energia cinética de um elétron que sai do 
ponto X na placa A e atinge a placa B: 
I. Se o elétron tiver velocidade inicial nula, sua energia cinética, ao 
atingir a placa B, será 3,2 x 10-15 J. 
II. A variação da energia cinética do elétron é a mesma, 
independentemente de ele ter percorrido as trajetórias 1 ou 2.
III. O trabalho realizado pela força elétrica sobre o elétron na trajetória 
2 é maior do que o realizado sobre o elétron na trajetória 1.
Apenas é correto o que se afirma em 
a) I. b) II. c) III. d) I e II. e) I e III. 
16. Três esferas puntiformes, eletrizadas com cargas elétricas 
q1 = q2 = +Q e q3 = -2Q, estão fixas e dispostas sobre uma circunferência 
de raio r e centro C, em uma região onde a constante eletrostática é 
igual a k0, conforme representado na figura.
Considere VC o potencial eletrostático e EC o módulo do campo 
elétrico no ponto C devido às três cargas. Os valores de VC e ECsão, 
respectivamente, 
a) zero e 0
2
4 k Q
r
⋅ ⋅ 
b) 04 k Q
r
⋅ ⋅ e 0
2
k Q
r
⋅ 
c) zero e zero 
d) 02 k Q
r
⋅ ⋅ e 0
2
2 k Q
r
⋅ ⋅ 
e) zero e 0
2
2 k Q
r
⋅ ⋅ 
17. Considere a energia potencial elétrica armazenada em dois 
sistemas compostos por: (i) duas cargas elétricas de mesmo sinal; (ii) 
duas cargas de sinais opostos. A energia potencial no primeiro e no 
segundo sistema, respectivamente, 
a) aumenta com a distância crescente entre as cargas e diminui com 
a redução da separação. 
b) diminui com a distância decrescente entre as cargas e não 
depende da separação. 
c) aumenta com a distância crescente entre as cargas e não depende 
da separação. 
d) diminui com o aumento da distância entre as cargas e aumenta 
se a separação cresce. 
18. Um sistema de cargas pontuais é formado por duas cargas positivas 
+q e uma negativa -q, todas de mesma intensidade, cada qual fixa em 
um dos vértices de um triângulo equilátero de lado r. Se substituirmos 
a carga negativa por uma positiva de mesma intensidade, qual será 
a variação da energia potencial elétrica do sistema? A constante de 
Coulomb é denotada por k. 
a) 2kq² / r
b) -2kq² / r
c) -4kq² / r
d) 4kq² / r
e) kq² / r
19.
Verificou-se que, numa dada região, o potencial elétrico V segue o 
comportamento descrito pelo gráfico V x r acima. 
(Considere que a carga elétrica do elétron é -1,6 · 10-19 C) 
Baseado nesse gráfico, considere as seguintes afirmativas: 
1. A força elétrica que age sobre uma carga q = 4mC q 4 C= m 
colocada na posição r = 8 cm vale 2,5 · 10-7N. 
2. O campo elétrico, para r = 2,5 cm, possui módulo E = 0,1 N/C. 
3. Entre 10 cm e 20cm, o campo elétrico é uniforme. 
4. Ao se transferir um elétron de r = 10 cm, para r = 20cm, a energia 
potencial elétrica aumenta de 8,0 · 10-22 J. 
Assinale a alternativa correta. 
a) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras. 
b) Somente as afirmativas 2 e 4 são verdadeiras. 
c) Somente as afirmativas 1, 3 e 4 são verdadeiras. 
d) Somente as afirmativas 2, 3 e 4 são verdadeiras. 
e) As afirmativas 1, 2, 3 e 4 são verdadeiras. 
20. Duas partículas com cargas Q e -Q têm posições iniciais 
(x, y, z) = (0, 0, R) e (0, 0, 0), respectivamente. A carga -Q está fixa 
enquanto uma força (variável) leva a carga Q, em velocidade muito 
baixa e constante, até a nova posição (0, 0, 2R) Considere a constante 
eletrostática k conhecida.
a) Calcule a diferença de energia potencial do sistema entre a 
posição final e a posição inicial.
b) O trabalho total realizado pelas forças eletrostáticas nas cargas Q 
e -Q, ao longo do processo descrito no item anterior, é positivo, 
nulo ou negativo? Justifique. 
21. Um sistema A é formado por cargas elétricas positivas e negativas 
situadas em posições fixas. A energia eletrostática total do sistema é 
54mJ. Seja um outro sistema B similar ao sistema A, exceto por duas 
diferenças: as cargas em B têm o dobro do valor das cargas em A; as 
distâncias entre as cargas em B são o triplo das distâncias em A.
Calcule em mJ a energia eletrostática do sistema B. 
a) 18 b) 54 c) 72 d) 108 e) 162
22. Uma carga Q está fixa no espaço, a uma distância d dela existe um 
ponto P, no qual é colocada uma carga de prova q0. Considerando-se 
esses dados, verifica-se que no ponto P 
a) o potencial elétrico devido a Q diminui com inverso de d. 
b) a força elétrica tem direção radial e aproximando de Q. 
c) o campo elétrico depende apenas do módulo da carga Q. 
d) a energia potencial elétrica das cargas depende com o inverso 
de d². 
46
POTENCIAL ELÉTRICO
PROMILITARES.COM.BR
23. Considere uma esfera condutora carregada com carga Q, que 
possua um raio R. O potencial elétrico dividido pela constante 
eletrostática no vácuo dessa esfera em função da distância d, medida 
a partir do seu centro, está descrito no gráfico a seguir.
Qual é o valor da carga elétrica Q, em Coulomb? 
a) 2,0 x 104 b) 4,0 x 103 c) 0,5 x 106 d) 2,0 x 106
24. Considere uma casca condutora esférica eletricamente carregada 
e em equilíbrio eletrostático. A respeito dessa casca, são feitas as 
seguintes afirmações.
I. A superfície externa desse condutor define uma superfície 
equipotencial.
II. O campo elétrico em qualquer ponto da superfície externa do 
condutor é perpendicular à superfície.
III. O campo elétrico em qualquer ponto do espaço interior à casca 
é nulo.
Quais estão corretas? 
a) Apenas I. 
b) Apenas II. 
c) Apenas I e III. 
d) Apenas II e III. 
e) I, II e III. 
25. Uma esfera condutora descarregada (potencial elétri≈Ω nulo), 
de raio R1 = 5,0 cm, isolada, encontra-se distante de outra esfera 
condutora, de raio R2 = 10,0 cm, carreg§§ada com carga elétrica Q = 
3,0 mC (potencial elétrico não nulo), também isolada.
Em seguida, liga-se uma esfera à outra, por meio de um fio condutor 
longo, até que se estabeleça o equilíbrio eletrostático entre elas. Nesse 
processo, a carga elétrica total é conservada e o potencial elétrico em 
cada condutor esférico isolado descrito pela equação qV k
r
= , onde 
k é a constante de Coulomb, q é a sua carga elétrica e r o seu raio.
Supondo que nenhuma carga elétrica se acumule no fio condutor, 
determine a carga elétrica final em cada uma das esferas. 
EXERCÍCIOS DE
COMBATE
01. Uma partícula com carga elétrica de 5,0×10-6C é acelerada entre 
duas placas planas e paralelas, entre as quais existe uma diferença 
de potencial de 100V. Por um orifício na placa, a partícula escapa e 
penetra em um campo magnético de indução magnética uniforme 
de valor igual a 2,0×10-2 T, descrevendo uma trajetória circular de raio 
igual a 20 cm. Admitindo que a partícula parte do repouso de uma 
das placas e que a força gravitacional seja desprezível, qual é a massa 
da partícula?
a) 1,4×10-14 kg
b) 2,0×10-14 kg
c) 4,0×10-14 kg
d) 2,0×10-13 kg
e) 4,0×10-13 kg
02. Observe a figura a seguir.
A figura acima mostra uma região de vácuo onde uma partícula 
puntiforme, de carga elétrica positiva q1 e massa m, está sendo lançada 
com velocidade v0 em sentido ao centro de um núcleo atômico fixo de 
carga q2. Sendo k0 a constante eletrostática no vácuo e sabendo que a 
partícula q1 está muito longe do núcleo, qual será a distância mínima 
de aproximação, x entre as cargas?
a) 0 1 2
2
0
K q q
mv
b) 0 1 2
2
0
2K q q
mv
c) 0 1 2
2
0
K q q
2mv
d) 0 1 2
2
0
K q q
mv
e) 0 1 2
2
0
K q q
2mv
03. Considere que U é a energia potencial elétrica de duas partículascom cargas +2Q e -2Q fixas a uma distância R uma da outra. Uma 
nova partícula de carga +Q é agregada a este sistema entre as duas 
partículas iniciais, conforme representado na figura a seguir. A energia 
potencial elétrica desta nova configuração do sistema é:
+2Q –2Q+Q
R/2 R/2
a) zero
b) U/4
c) U/2
d) U
e) 3U
04. Na figura a seguir, Q = 20 µC e q = 1,5 µC são cargas puntiformes 
no vácuo. O trabalho realizado pela força elétrica em levar a carga q 
do ponto A para o B é: Dado: (k = 9⋅109 N⋅m2/C2)
Q
Aq
B
30 cm
10 cm
a) 1,8 J
b) 2,7 J
c) 3,6 J
d) 4,5 J
e) 5,4 J
05. Sejam duas cargas q, iguais, de –5×10–6C, fixas no espaço, 
separadas por uma distância d = 4 cm, conforme indica a figura 
abaixo: suponha que no ponto C seja colocada uma terceira carga 
de 3×10–5 C, trazida lentamente desde o infinito. O trabalho ou a 
variação da energia potencial elétrica da configuração (em joules), 
após posicionamento da terceira carga é de, aproximadamente, dado: 
k = 9⋅109 N⋅m2/C2
4 cm
q
C
q
4 cm
d = 4 cm
a) –55,47
b) –77,47
c) –95,47
d) –107,47
e) –128,47
06. Em um experimento de Millikan (determinação da carga do elétron 
com gotas de óleo), sabe-se que cada gota tem uma massa de 1,60 pg 
e possui uma carga excedente de quatro elétrons. Suponha que as 
gotas são mantidas em repouso entre as duas placas horizontais 
separadas de 1,8 cm. A diferença de potencial entre as placas deve 
ser, em volts, igual a:
47
POTENCIAL ELÉTRICO
PROMILITARES.COM.BR
Dados: carga elementar e = 1,6×10-19 C; 1 pg = 10-12 g; g = 10 m/s2
a) 45,0
b) 90,0
c) 250
d) 450
e) 600
07. Analise a figura abaixo.
Uma casca esférica metálica fina, isolada, de raio R = 4,00 cm e carga 
Q, produz um potencial elétrico igual a 10,0 V no ponto P, distante 
156 cm da superfície da casca (ver figura). Suponha agora que o raio 
da casca esférica foi alterado para um valor quatro vezes menor. Nessa 
nova configuração, a ddp entre o centro da casca e o ponto P, em 
quilovolts, será:
a) 0,01
b) 0,39
c) 0,51
d) 1,59
e) 2,00
08. 
Um corpo de carga positiva, inicialmente em repouso sobre uma 
rampa plana isolante com atrito, está apoiado em uma mola, 
comprimindo-a. Após ser liberado, o corpo entra em movimento e 
atravessa uma região do espaço com diferença de potencial V, sendo 
acelerado. Para que o corpo chegue ao final da rampa com velocidade 
nula, a distância d indicada na figura é:
Dados:
- deformação inicial da mola comprimida: x
- massa do corpo: m;
- carga do corpo: +Q;
- aceleração da gravidade: g;
- coeficiente de atrito dinâmico entre o corpo e a rampa: m;
- ângulo de inclinação da rampa: θ;
- constante elástica da mola: K.
Considerações:
- despreze os efeitos de borda;
- a carga do corpo permanece constante ao longo da trajetória. 
a) 2Kx 2QV
2(1 )mgsen( )
�
� � �
b) 
2Kx QV
2(1 )mg sen( )
�
� � �
c) 
2Kx
QV
2
2(1 )mg cos( )
�
� � �
d) 
2Kx 2QV
2mg(sen( ) cos( ))
�
� � � �
e) 2Kx 2QV
2mg(sen( ) cos( ))
�
� � � �
09. A região entre duas placas metálicas, planas e paralelas, está 
esquematizada na figura abaixo.
A
4
3
2
1
0
0 1 2 3 4 5 x(mm)
y(mm)
B
C
Note e adote:
O sistema está 
em vácuo.
Carga do elétron = 
1,6⋅10-19C
As linhas tracejadas representam o campo elétrico uniforme existente 
entre as placas. A distância entre as placas é 5 mm e a diferença de 
potencial entre elas é 300 V. As coordenadas dos pontos A, B e C são 
mostradas na figura. Determine:
a) os módulos EA, EB e EC do campo elétrico nos pontos A, B e C, 
respectivamente;
b) as diferenças de potencial VAB e VBC entre os pontos A e B e 
entre os pontos B e C, respectivamente;
c) o trabalho W realizado pela força elétrica sobre um elétron que se 
desloca do ponto C ao ponto A.
10. Um sistema é composto por quatro cargas elétricas puntiformes 
fixadas nos vértices de um quadrado, conforme ilustrado na figura 
abaixo.
As cargas q1 e q2 são desconhecidas. No centro O do quadrado o vetor 
campo elétrico devido às quatro cargas, tem a direção e o sentido 
indicados na figura.
A partir da análise deste campo elétrico, pode-se afirmar que o 
potencial elétrico em O:
a) é positivo.
b) é negativo.
c) é nulo.
d) pode ser positivo.
DESAFIO PRO
Se precisar, utilize os valores das constantes aqui relacionadas.
- Constante dos gases: = ⋅R 8J (mol K).
- Pressão atmosférica ao nível do mar: =0P 100 kPa.
- Massa molecular do =2CO 44 u.
- Calor latente do gelo: 80cal g.
- Calor específico do gelo: ⋅0,5cal (g K).
- = × 71cal 4 10 erg.
- Aceleração da gravidade: = 2g 10,0m s . 
1 Assinale a alternativa que expressa o trabalho necessário para colocar cada uma de quatro cargas elétricas iguais, q, 
nos vértices de um retângulo de altura a e base = πε0k 1/ 4 , sendo 
= πε0k 1/ 4 , em que ε0 é a permissividade elétrica do vácuo. 
a) 
+ 2k(4 2)q
2a
 
b) 
+ 2k(8 2 2)q
2a
 
c) 
+ 2k(16 3 2)q
6a
 
d) 
+ 2k(20 3 2)q
6a
 
e) 
+ 2k(12 3 2)q
2a
 
48
POTENCIAL ELÉTRICO
PROMILITARES.COM.BR
2
Uma partícula de carga +Q e massa m move-se dentro de um 
túnel estreito no plano xy, sem atrito, sujeita à força provocada 
pelo campo elétrico (E,0), seguindo a trajetória conforme 
apresentado na figura acima. Sabe-se que:
— a partícula entra no túnel com velocidade (v,0) no ponto de 
coordenadas (0,0);
— a trajetória da partícula forçada pelo túnel é um quarto de 
circunferência de raio R;
— não há influência da força da gravidade.
Ao passar por um ponto genérico dentro do túnel, determine, 
em função da abscissa x:
a) o módulo da velocidade da partícula;
b) as componentes vx e vy do vetor velocidade da partícula;
c) o módulo da aceleração tangencial da partícula;
d) o módulo da reação normal exercida pela parede do túnel 
sobre a partícula;
e) o raio instantâneo da trajetória da partícula imediatamente 
após deixar o túnel. 
3 A figura mostra duas cascas esféricas condutoras concêntricas no vácuo, descarregadas, em que a e c são, 
respectivamente, seus raios internos, e b e d seus respectivos 
raios externos. A seguir, uma carga pontual negativa é fixada 
no centro das cascas. Estabelecido o equilíbrio eletrostático, 
a respeito do potencial nas superfícies externas das cascas 
e do sinal da carga na superfície de raio d, podemos afirmar, 
respectivamente, que;
 
a) ( ) ( )>V b V d e a carga é positiva. 
b) ( ) ( )=V b V d e a carga é positiva. 
c) ( ) ( )=V b V d e a carga é negativa. 
d) ( ) ( )>V b V d e a carga é negativa. 
e) ( ) ( )<V b V d e a carga é negativa. 
4 Considere as cargas elétricas ql = 1 C, situada em x = – 2 m, e q2 = – 2 C, situada em x = – 8 m. Então, o lugar geométrico dos 
pontos de potencial nulo é 
a) uma esfera que corta o eixo x nos pontos 
x = – 4 m e x = 4m. 
b) uma esfera que corta o eixo x nos pontos 
x = – 16 m e x = 16 m. 
c) um elipsoide que corta o eixo x nos pontos 
x = – 4 m e x = 16 m. 
d) um hiperboloide que corta o eixo x no ponto 
x = – 4 m. 
e) um plano perpendicular ao eixo x que o corta no ponto 
x = – 4 m. 
5 Três esferas condutoras, de raio a e carga Q, ocupam os vértices de um triângulo equilátero de lado b > a, conforme 
mostra a figura (1). Considere as figuras (2), (3) e (4), em que, 
respectivamente, cada uma das esferas se liga e desliga da Terra, 
uma de cada vez. Determine, nas situações (2), (3) e (4), a carga 
das esferas Q1, Q2, e Q3, respectivamente, em função de a,b e Q.
 
 
GABARITO
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. B
02. C
03. B
04. SOMA:18
05. 32·10–3 J
06. a) 

=
   ⇒ = ⇒ = ⇒ =         =

222
A A A
B A
2
B
k Q q
F
d F' d F' d F
 F'
F d F 2k Q q 2d
F'
d b) 
= − ⇒ = − ⇒ = − ⇒
   − = − ⇒ = − ⇒ = ⇒             
−   = ⇒ = ⇒   
   
=
A B
AB pot pot AB AB
A B
AB AB AB
AB AB
AB
kQ q kQ q kQ q kQ q
W E E W W 
d d 4d 4 d 2
kQ q 1 1 kQ q 1 2 kQ q 2 2
W W W 
d 4 d 4 8 d 84 2
kQ q 2 1,4 kQ q 6
W W 
d 8 d 80
3kQ q
W .
40 d
07. C
08. A
09. C
10. Q = 2×10–7 C.
EXERCÍCIOSDE TREINAMENTO
01. C
02. C
03. D
04. C
05. B
06. E
07. B
08. D
09. D
10. B
11. D
12. D
13. A
14. C
15. D
16. E
17. D
18. D
19. D
20. a) 
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
∆ = − ∴ ∆ =p p
k Q q k Q q k Q q
E E
2R R 2R
b) O trabalho total realizado pelas forças eletrostáticas é zero, pois as 
cargas se afastam pela aplicação de uma força variável externa que 
equilibra as forças eletrostáticas sendo a força resultante nula, pois o 
deslocamento se dá em velocidade constante. 
21. C
22. A
23. A
24. E
25. 
= m
+ = → = →  = m
1
1 1 1
2
Q 1 C
Q 2Q 3 3Q 3
Q 2 C
 
EXERCÍCIOS DE COMBATE
01. E
02. B
03. D
04. A
05. C
06. D
07. D
08. E
09. DISCURSIVA
10. B
DESAFIO PRO
01. C
02. a) 2
2QEx
u v .
m
= +
b) 
2 2
2
x x
2
y y
2Q Ex R x
u ucos u v .
m R
2Q Ex x
u usen u v .
m R
 −
= θ ⇒ = + ⋅


 = θ ⇒ = + ⋅
c) 
2 2
t t t t
2 2
t
R x
F ma QEcos ma QE ma 
R
Q E
a R x .
m R
−
= ⇒ θ = ⇒ = ⇒
= ⋅ −
d) 
2
r c
2
2
2
m u
N F m a N F sen 
R
x m 2Q Ex x 2Q Ex m v
 N Q E v N Q E 
R R m R R R
3Q Ex m v
N .
R
− = ⇒ − θ = ⇒
  = + + ⇒ = + + ⇒  
   
+
=
e) 
2
2
c
2
2
2
m u m 2Q E R
F R Q E Q E v 
R' R' m
m 2Q E R 2Q E R m v
R' v R' 
Q E m Q E
mv
R' 2R .
Q E
 = ⇒ = ⇒ = + ⇒ 
 
+ = + ⇒ = ⇒ 
 
= +
03. E
04. A
05. (2) 
+ + =
+ + =
−
=
−
=
3,1 2,1esf1
1
1
1
V V V 0
Q Q Q
k k k 0
a a b
Q 2Q
a b
2Qa
Q
b
(3) 
2
2
2
Q 2Qa Q
a b b
Qa 2a
Q 1
b b
= + −
 = − 
 
(4) 
3
2 2
3
2
3
2
2
3 2
Q 2Qa Qa 2a
1
a b b b
Q Qa 2a
2 1
a b b
Q Qa 2a
3
a b b
Qa 2a
Q 3
b b
 = − − 
 
 = − + 
 
 = − 
 
 = − 
 