Números Reais

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1. NÚMEROS REAIS 
1.1 CONJUNTOS NUMÉRICOS 
O número surgiu da necessidade que as pessoas tinham de contar objetos e coisas. No 
início para contar, eram usados os dedos, pedras, os nós de uma corda, com o passar do tempo, 
este sistema foi se aperfeiçoando até dar origem ao número. 
Devido a necessidade de contar objetos foi estabelecido o primeiro conjunto numérico, 
denominado conjunto dos números naturais e denotado por }{ ,...,...,2,1,0 n=Ν . 
Com a necessidade de realizar subtrações, ou melhor, representar algo que está faltando, o 
conjunto dos números naturais foi estendido, surgindo então o conjunto dos números inteiros: 
Z={ },...,...,2,1,0,1,2,...,..., nn −−− . 
Com o passar do tempo apareceram os números fracionários que eram escritos como uma 
razão de dois números naturais. A palavra razão em matemática significa divisão. Desta forma, 
fica claro que os números inteiros e os números fracionários podem ser expressos como uma 
razão de dois números naturais. Por isso, são chamados de números racionais: 






≠∈∈== 0b e Z,a com, bZ
b
a
xQ , onde em Q só é impossível a divisão por zero. 
Devido tentativas frustradas de representar alguns números através de frações, como por 
exemplo 2 , surgiram os números chamados irracionais Ir , isto é, números não racionais. Onde 
da união dos números racionais com os números irracionais surge o ‘grandioso’ conjunto dos 
números reais: .rQUI=ℜ 
Algumas Notações: 
R = Reais 
R* = R – {0} = {x∈R / x ≠ 0}= Reais não nulos 
*
+R = { x∈R / x>0}, conjunto dos reais positivos. 
+R = { x∈R / x ≥0}, conjunto dos reais não negativos. 
*
−R = { x∈R / x<0}, conjunto dos reais negativos. 
−R = { x∈R / x ≤0}, conjunto dos reais não positivos 
As equações de segundo grau apareceram na matemática aproximadamente 1700 anos 
antes de Cristo. Uma equação era vista como a formulação matemática de um problema real; 
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desta forma, se no processo de resolução aparecia uma raiz quadrada de um número negativo, 
como por exemplo 01 2 =+x , isto era interpretado apenas como uma indicação de que o 
problema original não tinha solução, dado que se .0, 2 ≥ℜ∈ xx Com as equações cúbicas 
estudadas por Cardano e Bombelli, estudiosos foram motivados a estudar e utilizar esses 
números. A partir daí, denominados números complexos. { }1,,/ −=ℜ∈+== ibabiazC 
Através do diagrama de Euler-Venn, pode-se visualizar a relação entre os conjuntos 
numéricos: 
 
 
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS NÚMEROS REAIS 
 
Representaremos os números reais através de uma reta, onde cada ponto da reta será relacionado 
a um número real e vice-versa. 
Tomando o ponto zero da reta como origem, à sua direita os números positivos e à sua esquerda 
os números negativos. 
 
RELAÇÃO DE ORDEM NO CONJUNTO DOS REAIS 
Dados dois números reais, apenas uma das três sentenças é verdadeira: a=b ou a<b ou a>b. Então 
temos: 
0=−⇔= baba ; 0<−⇔< baba ; 0>−⇔> baba 
 
 
0 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 
+ _ 
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Propriedades: 
1. ∀ a,b,c ∈ R (a < b e b < c) ⇒ a < c 
2. ∀ c ∈ R a < b ⇔ a + c < b + c (soma) 
3. Se c > 0 a < b ⇔ ac < bc (produto) 
4. Se c < 0 a < b ⇔ ac > bc (produto) 
1.2 INTERVALOS 
 
Alguns subconjuntos dos números reais são chamados de intervalos. Desta forma, dados dois 
números reais a e b, com a < b, temos: 
 
• Intervalo fechado: [a;b] = }/{ bxaRx ≤≤∈ 
 
• Intervalo aberto: (a;b) = }/{ bxaRx <<∈ 
 
• Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita: [a;b) = }/{ bxaRx <≤∈ 
 
• Intervalo fechado à direita e aberto à esquerda: (a;b] = }/{ bxaRx ≤<∈ 
 
• Outros intervalos: 
 
(a) );(}/{ aooaxRx −=<∈ 
 
(b) ];(}/{ aooaxRx −=≤∈ 
 
(c) );(}/{ ooaaxRx +=>∈ 
 
(d) );[}/{ ooaaxRx +=≥∈ 
 
 (e) );( ooooR +−= 
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Exercício: Com base nas propriedades, resolva as inequações: 
a) 9873 +<+ xx 
 
 
 
 
 
b) 9357 ≤+< x 
 
 
 
 
SOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES 
 
Uma solução de uma inequação é o conjunto dos números reais que verifica a desigualdade. 
Exemplos de inequações: 
• Inequação racional inteira de grau n: 0: 01
2
2 ≥
≤+++ axaxaxa nn K 
• Inequação fracionária: 0
:
:
)(
)(
01
2
2
01
2
2
≥
≤
+++
+++
=
bxbxbxb
axaxaxa
xM
xN
m
m
n
n
K
K
 
Onde ai e bi são os coeficientes e x é a incógnita. 
• Para encontrar a solução de uma inequação racional inteira de grau n, deve-se: 
Passo 1: Transformar a inequação em equação; 
Passo 2: Encontrar as raízes da equação obtida no passo 1; 
Passo 3: Realizar análise de sinal para determinar o conjunto solução da inequação original. 
• Para encontrar a solução de uma inequação fracionária, deve-se: 
Passo 1: Transformar o numerador N(x) e denominador D(x) em equações; 
Passo 2: Encontrar as raízes das equação N(x) e D(x) obtida no passo 1; 
Passo 3: Realizar análise de sinal separadamente em N(x) e D(x). 
Passo 4: Utilizar a regra de sinais da divisão para definir o sinal de N(x) / D(x), onde as raízes 
de D(x) não podem fazer parte do conjunto solução da inequação original. 
EXERCÍCIO: 
1) Resolva as seguintes inequações: 
a) xx 3102 >− � ),5()2,( ∞∪−−∞=s 
b) 2
7
>
x
� 





=






<<ℜ∈=
2
7
,0
2
7
0/ xxs 
c) 5
7
<
+x
x
, x ≠ -7� ( )∞−∪





−∞−= ,7
4
35
, 
d) 0)3)(5( >−+ xx
�
( ) ( )∞∪−∞−= ,35,s 
e) 0)1)(2( ≥−+ xx
�
( ] [ )∞∪−∞−= ,12,s 
f) 0102 >+x � ( )∞−= ,5s 
g) 03 ≤− xx � ( ] [ ]1,01, ∪−∞−=s 
h) 062 ≤−+ xx � [ ]2,3−=s 
i) 0122 ≤+− xx � { }1=s 
j) 012 ≤+− xx �s={ } φ= 
k) 04 2 ≥− x � [ ]2,2−=s 
l) 01 3 <− x �s= ( )∞,1 
m) 1
3
52
≥
−
−
x
x
, x ≠ 3�s { }3 2/ ≥≤ℜ∈= xouxx 
n) 0
12
3
<
−
+
x
x
� 





<<−ℜ∈=
2
1
3/ xxs 
o) 1
1
32
≤
+
−
x
x
�
{ }41/ ≤<−ℜ∈= xxs 
p) 096x 2 ≥+− x � ℜ=s 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.3 VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO REAL 
Dado um número real x, definimos: 



<−
≥
=
0,
0,
xsex
xsex
x 
• Geometricamente o valor absoluto ou módulo de um número real é a distância entre a 
origem e o ponto que representa x na reta. Exemplo: 
5 = 5 e 5− = - (-5) = 5 
Propriedades: 
 Para todos os reais x e y valem as propriedades: 
1. x 0≥ 
2. 2xx = , representa a distância entre 0 (origem) e x. 
3. xx =− 
4. 22
2
xxx == 
5. )0(,.. ≠== y
y
x
y
x
eyxyx 
6. yxyx +≤+ , desigualdade triangular. 
7. yx = ⇔ )( yxouyx −== 
8. Sendo 0>a , axouaxax −==⇔= 
9. Sendo 0>a , axaax <<−⇔< 
10. Sendo ,0>a )( axouaxax −<>⇔> 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIO: 
Encontre a solução para as equações e inequações modulares: 
a) 779 −=+x 
b) 735 =−x 
 
c) 372 >−x 
 
d) |52|17 +=− xx 
 
e) 4,2
|4|
|27|
−≠≤
+
−
x
x
x
 
 
f) 352 >−x 
 
g) 352 <−x 
 
h) |3|5 +<+ xx 
 
i) |32|3 +≥+ xx 
 
j) 2,4
|2|
|23|
−≠≤
+
−
x
x
x
 
 
k) |7x – 2| < 4 
 
Respostas: 
a) não existe solução 
b) 






−=
5
4
,2s
c) ( ) ( )+∞∪∞−= ,52,s 
d ) =s






−
9
4
,
5
6
 
e) 




+∞−= ,
4
1
s 
f) ( ) ( )∞∪∞−= ,41,s 
g) ( )4,1=s 
h) ( )4,−∞−=s 
i) [ ]0,2−=s 
j) 




+∞−∪




−∞−= ,
6
5
2
11
,s 
k) 





−=
7
6
,
7
2
s
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