Modelação Numérica de Aquíferos

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Eldorado Estevão Francisco Uamusse 
 
 
 
 
 
 
Modelação Numérica de Aquíferos: Modelos de Fluxo e de Transporte de Massa 
 
Licenciatura em Geologia com Habilitações em Geologia de Engenharia e Hidrogeologia 
 
 
 
 
 
 
 
Universidade Pedagógica 
Beira 
2018 
 
 
Índice: 
1.0. Introdução ........................................................................................................................ 3 
2.0. Modelação Numérica de Aquíferos: Modelos de Fluxo e de Transporte de Massa ........ 4 
2.1. Modelo Conceptual ...................................................................................................... 4 
2.2. Condições de Fronteira ................................................................................................ 5 
2.3. Classificação dos modelos matemáticos ...................................................................... 6 
2.3.1. Modelos analíticos ................................................................................................ 6 
2.3.2. Modelos numéricos .............................................................................................. 6 
2.4. Modelos de fluxos subterrâneos pelos métodos das diferenças finitas e elementos 
finitos 7 
2.4.1. Método de elementos finitos................................................................................. 7 
2.4.2. Método das diferenças finitas ............................................................................... 8 
2.5. Modelo de transporte de Massa ................................................................................... 9 
3.0. Conclusão ...................................................................................................................... 13 
4.0. Bibliografia .................................................................................................................... 14 
 
3 
 
 
1.0.Introdução 
Como cumprimento das actividades curriculares e créditos me foi atribuído este tema na 
cadeira de Gestão de Recursos Hídricos que trata acerca de modelos numéricos de aquíferos, 
sendo que para sua execução recorreu-se a artigos científicos, como dissertações e livros, bem 
como revistas. No presente trabalho foi conceitualizado o modelo com vista a compreender 
melhor o tema em epigrafe, após essa conceitualização são definidos os objectivos dos 
modelos bem como o seu uso. Sendo que para dar enfâse ao modelo numérico de fluxo e 
transporte de massas foi necessário descrever o modelo conceptual bem como as condições de 
fronteira, pois esses constituem a etapa crucial para a compreensão dos modelos numéricos 
computacionais. Seguidamente são classificados os modelos matemáticos, e por fim são 
retratados os modelos de fluxos subterrâneos pelos métodos de diferenças finitas e elementos 
finitos e o modelo de transporte de massas. 
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2.0.Modelação Numérica de Aquíferos: Modelos de Fluxo e de Transporte de Massa 
Actualmente segundo (Scanlon et al. 2003) citado por (VIEGAS, 2015) os modelos 
matemáticos são uma das ferramentas mais empregues na gestão dos recursos hídricos 
subterrâneos. 
Segundo (FEITOSA & FILHO, 2008) o uso desses modelos ajuda a sistematizar as 
informações de campo e identificar áreas onde maiores informações são necessárias. Além 
disso, pode alertar sobre detalhes não considerados previamente e oferecem uma das melhores 
maneiras de fazer previsões sobre as consequências das acções que serão realizadas sobre os 
recursos hídricos subterrâneos. a modelagem tornou-se uma ferramenta essencial para 
auxiliar, tanto na avaliação, como no planeamento e gestão dos recursos hídricos 
subterrâneos. 
Os modelos de acordo com (FEITOSA & FILHO, 2008), de um modo geral, são uma 
representação simplificada do mundo real. Os fenómenos são muitas vezes complexos, o que 
exige a sua simplificação para se iniciar o processo de modelação. Os modelos devem ser 
vistos como ferramentas de compreensão dos fenómenos e de decisão sobre alterações dos 
sistemas que se analisam. 
Um modelo matemático é uma representação através de equações matemáticas. E no caso da 
hidrogeologia, são utilizadas as equações que regem o fluxo subterrâneo. 
Segundo (FEITOSA & FILHO, 2008), geralmente, os modelos podem ter dois objectivos: 
previsão e interpretação. 
 Na previsão, o modelo é usado para prever a resposta do aquífero a determinadas 
acções. 
 Na interpretação, procura-se entender o funcionamento do aquífero e sistematizar as 
informações. 
2.1.Modelo Conceptual 
Segundo (FEITOSA & FILHO, 2008) para a simulação acoplada, por meio de modelos 
computacionais, do modelo de fluxo e transporte de poluentes em aquíferos é preciso 
construir primeiramente o modelo conceitual. 
Antes da construção do modelo conceitual é importante definir quais são os objectivos que se 
quer atingir, por exemplo: optimizar o gerenciamento dos recursos de água subterrânea, 
análise de fluxo, delineação das áreas de protecção do aquífero devido às poluções, etc. 
Logo é definido o modelo conceitual, para isso é preciso fazer o análise do perfil 
estratigráfico fornecido pelos piezómetros e pelos poços instalados na zona de estudo; dos 
testes de bombeamento no aquífero; dos mapas potencio-métricos; da precipitação; 
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evapotranspiração; infiltração e das vazões dos cursos das águas superficiais. Nesta fase da 
modelagem deve-se determinar a geometria do reservatório, as condições iniciais e de 
fronteira, os parâmetros hidrodinâmicos, as condições de recarga, as vazões dos 
bombeamentos, e, finalmente, as interconexões hidráulicas com águas superficiais ou com 
outros sistemas aquíferos. 
O objectivo do modelo conceitual é simplificar as informações de campo, para permitir a 
implementação do modelo computacional. No modelo conceitual, procura-se conciliar a 
representação da realidade hidrogeologia, da forma mais fiel possível, com algumas 
simplificações que facilitem a aplicação do modelo numérico. 
Depois da determinação do modelo conceitual a próxima fase é a escolha de um modelo 
numérico que expresse o modelo conceitual. Esta fase é desenvolvida com ajuda dos pacotes 
computacionais, como MODFLOW, MT3DMS, entre outros. 
2.2.Condições de Fronteira 
As condições de fronteira correspondem a restrições impostas na rede do modelo numérico 
com o objectivo de representarem a interface existente entre o domínio da área modelada e o 
ambiente envolvente. Estas condições são formulações matemáticas que especificam variáveis 
dependentes (níveis piezométricos) ou derivadas das variáveis dependentes (fluxos) nas 
fronteiras do modelo. 
A sua imposição pode tirar vantagem da existência de fronteiras físicas ou hidráulicas na área 
a ser modelada, particularmente aquando da presença de corpos de água superficial (ribeiras, 
rios, lagos) ou de formações/perturbações geológicas (falhas). 
Segundo Anderson & Woessner (1992) citado por (VIEGAS, 2015), no momento da sua 
aplicação deve-se ter em consideração as seguintes noções: 
1) Localização e orientação de acordo com as características físicas que se pretende 
representar; 
2) Imposição o mais afastado possível de zonas de interesse relevante, a fim de se evitar 
perturbações em casos de alterações no interior do domínio da área modelada; 
3) Atribuição o mais representativa (realista) possível. 
 
Os diferentes tipos de condição de fronteira que podem ser aplicados são (Diersch 2014) 
citado por (VIEGAS, 2015): 
 Dirichlet ou 1º Tipo; 
 Neumann ou 2º Tipo; 
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 Cauchy ou 3º Tipo; 
 4º Tipo (entrada e saída de um caudal do domínio do modelo através de uma fonte 
pontual). 
As condições de fronteira de Dirichlet são usadas quando a variável de estado (potencial 
hidráulico) permanece constante ao longo do tempo, enquanto as de Neumann são empregues 
em situações de fluxo constante. As condições de fronteira de Cauchy são usadas quando 
existem trocas de fluidosentre aquíferos e outros meios (aquíferos, ribeiras, etc.), em função 
da diferença de potencial hidráulico existente entre eles e do coeficiente de transferência 
(parâmetro hidráulico que regula a entrada ou saída de água através de uma fronteira semi-
permeável) (VIEGAS, 2015). 
As condições de fronteira podem ser limitadas através da imposição de restrições, nas quais 
são aplicadas limites máximos e mínimos. 
2.3.Classificação dos modelos matemáticos 
Os modelos matemáticos de acordo com (FEITOSA & FILHO, 2008) podem ser classificados 
como analíticos e numéricos. 
2.3.1. Modelos analíticos 
As ferramentas e modelos analíticos segundo (FOSTER, HIRATA, & et al, 2006) aplicam 
fórmulas analíticas relativamente simples para simular o fluxo da água subterrânea, 
normalmente em duas dimensões. Os modelos analíticos são limitados a várias premissas 
(como a homogeneidade das propriedades e da espessura do aquífero, a extensão infinita do 
aquífero etc.) que impedem sua utilização em condições de campo mais complexas. São, 
contudo, uma boa opção para áreas com dados hidrogeologicos limitados e sistemas aquíferos 
relativamente uniformes. 
2.3.2. Modelos numéricos 
Os modelos numéricos segundo (FOSTER, HIRATA, & et al, 2006) são tecnicamente 
superiores porque podem simular variações complexas na geometria, nas propriedades e nos 
padrões de recarga do aquífero, fornecendo portanto resultados mais próximos da realidade. 
No entanto, requerem mais dados e consomem mais tempo. A modelagem numérica é 
recomendada para áreas que dispõem de boa quantidade de dados hidrogeologicos e em que 
as condições hidrogeologicas não podem ser simplificadas ao ponto exigido para a utilização 
dos códigos analíticos. Além disso, os modelos numéricos podem ser facilmente usados para 
avaliar os efeitos das incertezas sobre a forma e o tamanho das áreas de protecção e como 
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ferramentas de previsão para estimar futuras condições de extracção e impactos do sistema 
hidrológico. 
 
Os modelos segundo (FEITOSA & FILHO, 2008) podem ser divididos em: 
 Modelos de fluxo; 
 Modelos de transporte de massa. 
A quantificação do fluxo subterrâneo e do transporte de contaminantes em águas subterrâneas 
é útil para a gestão e gerenciamento ambiental, protecção e descontaminação dos recursos 
hídricos subterrâneos. A quantificação feita por medidas de campo é precisa mais não muito 
utilizada com exclusividade, devido aos seus altos custos e aos longos prazos que necessita 
para caracterizar o comportamento dos modelos de transporte e fluxo, neste sentido, a 
quantificação por modelagem e simulação numérica é utilizada com maior frequência pelas 
empresas de consultoria ambiental e órgãos governamentais. 
 
2.4.Modelos de fluxos subterrâneos pelos métodos das diferenças finitas e 
elementos finitos 
Esses modelos fazem simulações do escoamento da água levando em conta os fluxos naturais 
dos aquíferos, suas recargas e os bombeamentos a que está submetido (FEITOSA & FILHO, 
2008). 
2.4.1. Método de elementos finitos 
O método dos elementos finitos (MEF) consiste em se dividir a região que está sendo 
estudada num certo número de pequenos elementos (não infinitesimais), que são conectados a 
um conjunto de nós, geralmente colocados nos vértices ou nas arestas dos elementos. No caso 
unidimensional, estes elementos são segmentos. No caso bidimensional os elementos podem 
ter a forma de qualquer tipo de polígono, embora o mais difundido seja o elemento triangular. 
No caso tridimensional, pode ser usado qualquer tipo de poliedro. 
O método apresenta as seguintes vantagens: 
 Flexibilidade para diferentes tipos de problema; 
 Facilidade para modelar contornos irregulares; e 
 Capacidade de representar meios heterogéneos e anisotrópicos. 
 
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Figura 1 - Região discreteada em elementos finitos (Cirilo e Cabral, 1989) citado por (FEITOSA & 
FILHO, 2008). 
Dentro de cada elemento, a variável dependente, geralmente a carga hidráulica, é aproximada 
por uma função de interpolação que pode ser de diversos tipos, sendo que as mais usadas são 
funções lineares ou quadráticas. Esta função de interpolação é definida em relação aos valores 
que a carga hidráulica assume nos nós associados com cada elemento. O problema original é, 
então, transformado numa integração onde todos os elementos são combinados, formando-se 
um sistema de equações onde as incógnitas são os valores da carga hidráulica nos nós. 
A ideia fundamental do método de elementos finitos consiste em substituir-se a solução 
exacta de uma equação diferencial parcial por uma solução aproximada contínua por partes. 
Esta função de aproximação não satisfaz à equação original de uma forma exacta e, então, 
haverá um resíduo. Este resíduo é forçado a ser nulo em média, através de um factor de 
ponderação. No método de elementos finitos, o bombeamento ou recarga com poços é 
associado ao nó se a posição do poço coincidir com a posição do nó, ou, então, a vazão é 
dividida proporcionalmente aos nós adjacentes, no caso do poço estar dentro do elemento. Em 
diferenças finitas, a água é extraída ou recarregada na célula, ao invés de ser no nó, o que 
aumenta as imprecisões. Em geral, os dois métodos dão resultados semelhantes, mas, nas 
proximidades de poços o MEF dá resultados mais próximos dos valores reais. 
 
2.4.2. Método das diferenças finitas 
É o método numérico mais usados actualmente para resolução de equações diferenciais. 
O métodos de diferenças finitas usam grades rectangulares com espaços variáveis para a 
discretização do sistema. São fáceis de entender, estáveis do ponto de vista computacional e 
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amplamente usados, embora possam apresentar dificuldades em ajustar-se a fronteiras 
geológicas complexas (FOSTER, HIRATA, & et al, 2006). 
 
Os modelos numéricos em diferenças finitas têm por objectivo o cálculo do valor da carga 
hidráulica em cada nó. 
Geralmente, neste método, a região é aproximada por uma malha formada por rectângulos. Os 
espaçamentos podem ser constantes, podem variar ao longo de cada eixo ou podem variar de 
um eixo para outro (FEITOSA & FILHO, 2008). 
 
Figura 2 - Malha em diferenças finitas para estudo bidimensional (FEITOSA & FILHO, 2008). 
2.5.Modelo de transporte de Massa 
Os modelos de transporte de massa de acordo com (FEITOSA & FILHO, 2008) analisam o 
transporte e espalhamento de uma substância poluente que atingiu um aquífero. Ou melhor, 
refere-se ao transporte de um soluto, isto é, da massa de uma substância que se move com a 
água nos interstícios do meio poroso. Os mecanismos que atuam no transporte de um poluente 
em um meio poroso são: 
 Os fluxos advectivo, dispersivo e difusivo; 
 Interacções sólido-soluto; 
 Reacções químicas; 
 Fenómenos de decaimento. 
Todos podem ser encarados como fenómenos tipo fonte-sumidouro para o soluto. 
 
Fluxo advectivo 
10 
 
 
Este tipo de transporte de contaminantes é realizado ao longo das linhas de fluxo das águas 
subterrâneas. É gerado devido à existência do gradiente hidráulico nos aquíferos. Este 
transporte é governado pela lei de Darcy. 
O fluxo de massa poluente é estabelecido por: 
Onde: 
dM/dt = massa de contaminantes transportados em um intervalo de tempo dt [MT
-1
]. 
C = concentração de contaminantes nas águas subterrâneas [ML
-3
]. 
dQ = volume de água subterrânea que flui através de uma área dA num intervalo de tempo 
infinitesimal dt [L3 T
-1
]. 
i = gradiente hidráulico [-]. 
K = condutividade hidráulica do meio poroso [L T
-1
]. 
Fazendo um balanço do volume infinitesimal de massa do meio poroso em um determinado 
intervalo de tempo e considerando que não existem fontes ou bombeamentos extractivos de 
massa poluente e assumindo um campo de velocidade constante a equação de fluxo 
unidireccional é: 
 
Onde: 
Vx = velocidade real do fluxo das águas subterrâneas [LT
-1
]. 
C (x, t) = concentração da massa do contaminantena água subterrânea [ML
-3
]. 
t = é o tempo [T]. 
Essa é a expressão mais simples de transporte de massa de contaminantes devido ao 
transporte advectivo. 
 
Fluxo dispersivo 
É o fluxo resultante das variações (ou desvios) da velocidade nas vizinhanças do ponto 
considerado dentro do Elemento de Volume Representativo e que produz o espalhamento da 
substância. Este processo esta relacionado com a dispersão mecânica (FEITOSA & FILHO, 
2008). 
Este processo de dispersão mecânica é produzido porque todas as partículas da água 
subterrânea não se movimentam uniformemente no meio poroso, gerando uma diluição do 
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contaminante. A dispersão é estabelecida na direcção do fluxo subterrâneo (dispersão 
longitudinal) e na direcção transversal (dispersão transversal). As causas principais de 
dispersão são: 
 A fricção entre as partículas da água com as paredes da matriz do meio poroso. Isto 
envolve que as partículas viajam mais rapidamente quando não são submetidas na 
matriz porosa. 
 Os caminhos tortuosos que limitam o tempo de trânsito. 
 A dimensão dos poros da matriz porosa condicionada a velocidade do fluxo. 
Os solutos que migram nas águas subterrâneas tendem a misturar e dispersar-se como 
resultado de dois processos fundamentais: 
 Dispersão mecânica devido às variações na velocidade do fluxo subterrâneo. 
 Difusão molecular. 
 
O efeito da dispersão mecânica em conjunto com a difusão molecular é chamado como o 
processo de dispersão hidrodinâmica ou macro dispersão 
 
Fluxo difusivo 
A difusão em soluções é o processo pelo qual constituintes iónicos ou moleculares se movem 
na direcção dos seus gradientes de concentração. Também chamada de difusão molecular, é 
um processo que determina o movimento de um soluto (massa de contaminante) nos fluxos 
das águas subterrâneas a partir de áreas de maior concentração para áreas de menor 
concentração. A difusão de uma substância pode ocorrer na ausência de qualquer movimento 
hidráulico e só deixa de existir quando se anulam os seus gradientes de concentração. 
 
O fluxo total de um poluente (soluto) é a soma dos fluxos advectivo, dispersivo e difusivo. Em 
meio não saturado, usa-se os valores de teor de humidade e em meios saturados usa-se o valor 
da porosidade (FEITOSA & FILHO, 2008). 
De acordo com (FEITOSA & FILHO, 2008) pelo facto da equação do transporte de poluente 
ser bem mais difícil de resolver do que a equação de fluxo, e algumas vezes ocorrer 
problemas de dispersão numérica e de oscilações dos resultados. Alguns modeladores 
preferem só analisar o transporte advectivo, pois a modelagem fica bem mais simples e para 
os casos em que a advecção é dominante, os resultados são bem satisfatórios. 
Uma das formas de analisar o transporte advectivo, é seguir a trilha da partícula (particle 
tracking) e estabelecer as linhas de caminhamento dos poluentes. Neste método, após resolver 
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as equações de fluxo, analisa-se o movimento de partículas imaginárias infinitamente 
pequenas colocadas no campo de velocidades do aquífero (FEITOSA & FILHO, 2008). 
 
13 
 
 
3.0.Conclusão 
No decurso do trabalho chegou a conclusão que um modelo para as águas subterrâneas são 
representações matemáticas dos processos físicos-químicos do fluxo subterrâneo e transporte 
de poluentes nos aquíferos. O modelo da dinâmica do fluxo subterrâneo junto com o modelo 
do fenómeno de transporte de poluentes é baseado na avaliação das informações da geologia, 
hidrologia de superfície e hidrologia subterrânea. E que esta modelagem envolve várias etapas 
sequenciadas que vão desde a definição dos objectivos até a apresentação dos resultados. 
Antes da escolha do modelo numéricos é necessário determinar o modelo conceitual. E antes 
da construção do modelo conceitual é importante definir quais são os objectivos que se quer 
atingir. Os modelos podem ter como objectivos: prever a resposta do aquífero a determinadas 
e procura-se entender o funcionamento do aquífero e sistematizar as informações. As 
condições de fronteira correspondem a restrições impostas na rede do modelo numérico com o 
objectivo de representarem a interface existente entre o domínio da área modelada e o 
ambiente envolvente. Os modelos de fluxo de águas subterrâneas podem ser de diferenças 
finitas e elemento finito, e esses, modelos fazem simulações do escoamento da água levando 
em conta os fluxos naturais dos aquíferos, suas recargas e os bombeamentos a que está 
submetido. Enquanto que os modelos de transporte de massas analisam o transporte e 
espalhamento de uma substância poluente que atingiu um aquífero. E que pelo facto da 
equação do transporte de poluente ser bem mais difícil de resolver do que a equação de fluxo, 
e algumas vezes ocorrer problemas de dispersão numérica e de oscilações dos resultados. 
Alguns modeladores preferem só analisar o transporte advectivo, pois a modelagem fica bem 
mais simples e para os casos em que a advecção é dominante, os resultados são bem 
satisfatórios. 
 
 
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4.0.Bibliografia 
FEITOSA, A. A., & FILHO, J. Hidrogeologia – Conceitos e Aplicações (3
o
 ed.). Rio de 
Janeiro: CPRM. 2008. 
FOSTER, S., HIRATA, R., & et al. Proteção da Qualidade da Água Subterrânea: um guia 
para empresas de abastecimento de água, órgãos municipais e agências ambientais. 
São Paulo: Servmar Ltda. 2006. 
VIEGAS, J. M. Modelação do Balanço Hídrico do Sistema Aquífero da Campina de Faro. 
Algarve: UA. 2015.