ATIVIDADE 25

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A seguir, listamos 
algumas orientações 
com a intenção de ajudar na melhor compreensão dos assuntos aqui abordados. Sabemos que 
existem inúmeras adversidades ao longo do processo de estudo e por isso, entendemos que 
cada um seguirá essas orientações sempre que for possível e que elas precisam de adaptar à 
realidade individual de cada um. 
 
COLÉGIO PEDRO II 
CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO II 
 
 
CADERNO TEÓRICO 
8º 
Semana 14 
EQUIPE DE MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
Qualquer dúvida ou dificuldade que tenha, sinta-se à vontade para entrar em contato 
pelos nossos meios de comunicação. Estamos a disposição para auxiliar em qualquer etapa 
desse processo de aprendizagem. 
 
1. Organize seu tempo: Apesar de ter horários flexíveis para estudar é preciso estabelecer 
horários para os estudos e afazeres, transformando-os assim em uma rotina. Essa é uma 
forma de não se desorganizar e se manter focado. 
 
3. Tenha um ambiente de estudo: Ainda no tema de organização e disciplina, é necessário 
se organizar para não se atrasar na matéria e acabar se desmotivando. Criar um ambiente 
só para os estudos pode ser a solução pois os estudos serão tratados como algo mais sério 
do que antes. 
 
 7. Não deixe pra última hora: Além de aumentar as chances da qualidade do estudo ou do 
trabalho cair, nunca se sabe se sua internet ou seu computador vai estar funcionando no 
último minuto do prazo da entrega de um trabalho, por exemplo. 
 
 8. Realize as atividades e exames nos prazos indicados: É aconselhável que realize a 
tempo as atividades e os testes propostos pelos professores ao longo do curso. 
 
 
 
 
 
Para que você entenda o objetivo desse material, apresentamos os temas abordados e o que 
desejamos que você desenvolva de aprendizagens. 
 
Tema(s) Objetivo(s) 
• Sistemas de 
equações do 1º 
grau. 
 
• Resolver sistemas de equações do 1º grau utilizando 
os métodos de substituição e de adição. 
• Explorar problemas envolvendo sistemas de 
equações do 1º grau. 
 
 
 
 
ORIENTAÇÕES GERAIS 
 
DESCRIÇÃO DOS CONTEÚDOS ABORDADOS NESSE MATERIAL 
 
Sistemas de equações do 1º grau 
Vamos analisar a seguinte situação. 
 
Considere: 
 𝒙	 - número de vitórias do time de Cássio 
 𝒚	 - número de vitórias do time de Leonardo 
Vamos escrever as equações que representam as informações acima: 
Informação de Cássio 
O time de Leonardo perde uma vitória, ou seja, 𝒚 − 𝟏. 
 O time de Cássio ganha uma vitória, ou seja, 𝒙 + 𝟏. 
 O número de vitórias se iguala, então temos a equação 
𝒚 − 𝟏 = 𝒙 + 𝟏 
Informação de Leonardo 
 O time de Leonardo recebe uma vitória, ou seja, 𝒚 + 𝟏. 
 O time de Cássio perde uma vitória, ou seja, 𝒙 − 𝟏. 
 O número de vitórias do time de Leonardo passa a ser o dobro do número de 
vitórias do time de Cássio, então temos a equação 
 
𝒚 + 𝟏 = 𝟐(𝒙 − 𝟏) 
 
Observe que o problema gera duas equações de primeiro grau com duas incógnitas, 
que geram o que chamamos de sistema de equações do primeiro grau. 
 
Exemplo 1: Um grupo de amigos foi a uma mercearia e comprou mangas e abacaxis 
para uma sobremesa. 
 
A manga e o abacaxi custam R$ 3,00 e R$ 5,00 a unidade, respectivamente. Sabendo 
que o grupo gastou R$ 44,00 na compra, quantas mangas foram compradas? 
 
Solução: 
Vamos indicar por 𝒙	a quantidade de mangas e por 𝒚 a quantidade de abacaxis. Assim, 
podemos representar essa situação em linguagem algébrica da seguinte forma: 
Quando somamos a quantidade de mangas com a quantidade de abacaxis comprados, 
temos o total de frutas, o que é representado por 
𝒙 + 𝒚 = 𝟏𝟐 
Quando multiplicamos o valor da unidade pela quantidade de unidades compradas de 
cada furta e somamos, temos o total gasto 
𝟑𝒙 + 𝟓𝒚 = 𝟒𝟒 
Portanto o sistema formado será dado por 
. 𝒙 + 𝒚 = 𝟏𝟐𝟑𝒙 + 𝟓𝒚 = 𝟒𝟒 
Vamos resolver este sistema usando o método da substituição. 
O primeiro passo é escolher a equação mais simples e isolar uma das incógnitas: 
𝒙 + 𝒚 = 𝟏𝟐 ⇔ 𝒚 = 𝟏𝟐 − 𝒙 
Agora substituímos a expressão 𝟏𝟐 − 𝒙 no lugar de 𝒚, na segunda equação: 
 
 
𝟑𝒙 + 𝟓𝒚 = 𝟒𝟒 
⇒ 𝟑𝒙 + 𝟓(𝟏𝟐 − 𝒙) = 𝟒𝟒	
⇒ 𝟑𝒙 + 𝟔𝟎 − 𝟓𝒙 = 𝟒𝟒 
⇒ 𝟑𝒙 − 𝟓𝒙 = 𝟒𝟒 − 𝟔𝟎	
⇒ −𝟐𝒙 = −𝟏𝟔		. (−𝟏)	
⇒ 𝟐𝒙 = 𝟏𝟔	
⇒ 𝒙 = 𝟖	
 
Portanto, o grupo comprou 8 mangas. 
Se quisermos saber a quantidade de abacaxis, basta voltarmos à primeira equação e 
substituir 𝒙 por 8 para encontrar o valor de 𝒚, que será 4. 
 
 
Exemplo 2: Resolva o sistema abaixo pelo método de adição. 
.𝒙 + 𝒚 = 𝟏𝟔𝒙 − 𝒚 = 𝟐 
Lembre-se que podemos somar elementos iguais aos dois membros de uma equação. 
Portanto, quando temos duas equações podemos “somar” uma com a outra, ou seja, 
somamos o primeiro membro de uma com o primeiro membro da outra, e fazemos o 
mesmo com os membros da direita. Isto é útil quando a soma causa o 
cancelamento de uma das incógnitas. 
.𝒙 + 𝒚 = 𝟏𝟔𝒙 − 𝒚 = 𝟐 
𝟐𝒙 + 𝟎𝒚 = 𝟏𝟖	
⇒															
Encontrado o valor de uma das incógnitas, basta substituí-la em qualquer das duas 
equações originais para encontrar o valor da outra: 
𝒙 + 𝒚 = 𝟏𝟔		 ⇒ 		𝟗 + 𝒚 = 𝟏𝟔		 ⇒ 		𝒚 = 𝟏𝟔 − 𝟗		 ⇒															 
 
 
 
 
 
𝒙 = 𝟗 
𝒚 = 𝟕		 
 
Exemplo 3: Jonas possui R$ 130,00 em cédulas de R$ 10,00 e R$ 20,00, em um total 
de 9 cédulas. Quantas cédulas de cada espécie possui Jonas? 
Solução: 
Indicando por 𝒙 o número de cédulas de R$ 10,00 e por 𝒚 o número de cédulas de R$ 
20,00, podemos escrever um sistema de duas equações do 1° grau com duas incógnitas 
que represente essa situação. Veja: 
. 𝒙 + 𝒚 = 𝟗𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟎𝒚 = 𝟏𝟑𝟎 
Podemos usar qualquer um dos métodos para resolver (substituição ou adição), mas 
vamos utilizar o método da adição, mesmo que a soma não cancele nenhuma das 
incógnitas. Quando isto ocorre, devemos primeiro multiplicar uma das equações para 
que haja o cancelamento de uma das incógnitas quando formos somar. 
Observe que se multiplicarmos a primeira equação por −𝟏𝟎 atingimos nosso objetivo: 
.𝒙 + 𝒚 = 𝟗		. (−𝟏𝟎)𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟎𝒚 = 𝟏𝟑𝟎 				⇒ 				 .
−𝟏𝟎𝒙 − 𝟏𝟎𝒚 = −𝟗𝟎
			𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟎𝒚 = 𝟏𝟑𝟎 
 𝟏𝟎𝒚 = 𝟒𝟎 
 ⇒ 
Substituímos o valor de 𝒚 na equação mais simples para encontrar o valor de 𝒙:	
𝒙 + 𝒚 = 	𝟗	 ⇒ 		𝒙 + 𝟒 = 𝟗		 ⇒ 		𝒙 = 𝟗	 − 	𝟒 ⇒															 
 
Exemplo 4: Vamos resolver o sistema gerado na situação apresentada no início do 
texto. 
Solução: 
O primeiro passo é organizar as equações. 
𝒚 − 𝟏 = 𝒙 + 𝟏		 ⇒ 		−𝒙 + 𝒚 = 𝟐	 
𝒚 + 𝟏 = 𝟐(𝒙 − 𝟏) ⇒ 𝒚 + 𝟏 = 𝟐𝒙 − 𝟐 ⇒ 	𝟐𝒙 − 𝒚 = 𝟑 
Então, 
.−𝒙 + 𝒚 = 𝟐𝟐𝒙 − 𝒚 = 𝟑													 
 
Substituímos o valor de 𝒙 na equação mais simples para encontrar o valor de 𝒚:	
−𝒙 + 𝒚 = 𝟐		 ⇒ 		−𝟓 + 𝒚 = 𝟐		 ⇒ 		𝒚 = 𝟐 + 𝟓		 ⇒															 
Portanto, o time de Cássio obteve 5 vitórias, enquanto o time de Leonardo obteve 7. 
 
𝒚 = 𝟒 
𝒙 = 𝟓 
𝒙 = 𝟓 
𝒚 = 𝟕 
 
Questionário 
 
1. Resolva os sistemas de equações pelo método que achar mais conveniente. 
a) . 𝒙 + 𝒚 = −𝟐𝟐𝒙 − 𝒚 = 𝟐𝟔 
b) . 𝒙 − 𝒚 = 𝟎𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟓 
c) .𝟒𝒙 − 𝟓𝒚 = 𝟕𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟗 
d) .𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟔𝒙 − 𝒚 = 𝟐 
 
2. O perímetro de um terreno retangular é 22 m, e a medida da frente é 5 m maior que 
a medida do fundo. Marque o sistema que representa algebricamente este problema. 
a) .𝒙 + 𝒚 = 𝟐𝟐𝒙 − 𝒚 = 𝟓 
b) .𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟐𝟐𝒙 = 𝟓𝒚 
c) .𝒙 + 𝒚 = 𝟏𝟏𝒙 − 𝒚 = 𝟓 
d) .𝒙 + 𝒚 = 𝟐𝟐𝒙 + 𝒚 = 𝟓 
 
3. Em qual dos sistemas temos 𝒙 = 𝟐 e 𝒚 = −𝟑? 
a) .𝟑𝒙 − 𝒚 = 𝟗𝒙 + 𝒚 = 𝟓 
b) .𝟑𝒙 + 𝒚 = 𝟗𝒙 − 𝒚 = 𝟓 
c) .𝟑𝒙 + 𝒚 = 𝟗𝒙 + 𝒚 = 𝟓 
d) .𝟑𝒙 − 𝒚 = 𝟗𝒙 − 𝒚 = 𝟓 
 
 
 
 
4. Uma tábua de 3,5 metros de comprimento deve ser cortada em dois pedaços de tal 
modo que o comprimento do pedaço maior seja ao igual ao triplo do comprimento do 
menor menos 0,5 metro. Então o pedaço maior deve medir: 
a) 2,25 m 
b) 2,5 m 
c) 2,75 m 
d) 3 m 
 
5. Em uma fazenda em que só há galinhas e vacas, há um total de 36 cabeçase 102 
pés. Quantas galinhas há nessa fazenda? 
a) 15 
b) 21 
c) 29 
d) 30