Mecânica dos Solos Aplicada

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Mecânica dos Solos Aplicada
Percolação
Prof. Saulo Gutemberg Silva Ribeiro - DSc
Curso de Especialização em Engenharia de Barragens (M.Eng.) – 1/2021
Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais – Diretoria de Educação Continuada
Mecânica dos Solos Aplicada – MSA
Prof. Saulo Gutemberg Silva Ribeiro - DSc
Engenharia de Barragens
1Prof. Saulo Ribeiro - DSc
Ementa
• Origem e Natureza dos Solos 
• Caracterização dos Solos
• Classificação dos Solos
• Tensões no Solo
• Percolação
• Compressibilidade - Adensamento
• Resistência ao Cisalhamento dos Solos
• Compactação 
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Analogia solo-mola, na qual num primeiro 
instante há aplicação de uma carga e a 
válvula está fechada.
Para geotecnia a água pode ser considerada 
como sendo incompressível. Desta forma, a 
carga é suportada pela água e a mola não 
sofre deformação.
A
P
u =
ws PPP +=
P = carga total;
Ps = carga suportada pela mola;
Pw = carga suportada pela água.
Ps = 0 e Pw = P
Fundamentos do Adensamento
Das (2007)
Válvula aberta:
No início, a água flui para fora do solo devido ao 
excesso de poropressão gerado, a mola passa a 
ser gradualmente comprimida.
A
P
u =
ws PPP +=
Ps > 0 e Pw < P
P = carga total;
Ps = carga suportada pela mola;
Pw = carga suportada pela água.
Fundamentos do Adensamento
Das (2007)
3
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Válvula aberta:
Após certo tempo, a água para de escapar, 
sendo alcançado novo equilíbrio.
A mola suporta toda a carga.
A
P
u =
ws PPP +=
P = carga total;
Ps = carga suportada pela mola;
Pw = carga suportada pela água.
Ps = P e Pw = 0
Fundamentos do Adensamento
Adensamento Primário
Adensamento Secundário
Poro
Pressão
Tensão Efetiva
VerticalIn
cr
em
en
to
s 
d
e 
Te
n
sã
o
A
d
en
sa
m
en
to Recalque Elástico
Adaptado de Lambe e Whitman (1969).
Conceitos Iniciais
Dissipação de poropressões geradas
Efeitos viscosos
Não drenado
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Argila
Areia

Hdr
N.A.
Profundidade
No instante t = 0
u' +=
0
Condição Inicial – Geração de Poropressão
Altura de 
Drenagem
Drenagem topo e base.
Hdr
No instante 0 < t < ∞
Condição Intermediária – Dissipação de Poropressão
0'
u' +=
u
Drenagem topo e base.
Argila
Areia

Hdr
N.A.
Profundidade
Altura de 
Drenagem Hdr
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No instante t = ∞
u' +=
0u ='=
Condição Final – Dissipação Plena de Poropressão
(Longo Prazo)
Argila
Areia

Hdr
N.A.
Profundidade
Altura de 
Drenagem Hdr
Recalques Diferenciais - Trincas em Barragens
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theconstructor.org/
Abatimento
Abatimento no 
fundo do vale.
Abatimento 
a jusante.
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Recalques por Enchimento do Reservatório
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Quando o nível do reservatório estava na el. 645m, surgiram 
trincas na transição a montante do núcleo (Divino, 2010).
Divino (2010)
Estudo Comportamento Tensão Deformação
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Irapé - Cemig
Aires (2006).
Solo Argilo-arenoso
Solo Areno-argiloso
Material Terroso com Cascalho
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Modelagem Núcleo Argiloso
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Aires (2006).
Solo Argilo-arenoso
Solo Areno-argiloso
Material Terroso com Cascalho
Geração de Poropressão na Construção do Núcleo
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Geração de poropressão máxima da ordem de 40 kPa, muito baixa, dissipação 
concomitante com a construção.
J2
“Cascalho”
“Cascalho”
J2
“Cascalho”
J1
Simulação numérica, 
núcleo de Irapé (Cemig).
Apresentado em Aires (2006).
“Cascalho”
“Cascalho”
“Cascalho” “Cascalho” “Cascalho”
J2 J2 J2
J1 J1
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Concentração e Alívio de Tensões no Núcleo
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Tensões (σ1)– Face Jusante Núcleo
Tensões (σ1) – Face Montante Núcleo
Alívio
Concentração
Alívio
Alívio
Simulação numérica, núcleo de Irapé (Cemig).
Imagens apresentadas em Aires (2006).
Tração
Ensaio de adensamento em execução.
Os parâmetros de adensamento são obtidos em ensaios de 
Adensamento Unidimensional ou Ensaio Edométrico. 
Neste ensaio o solo é lateralmente confinado e axialmente 
carregado.
O ensaio era prescrito pela norma NBR 12007/1990 (cancelada 
em 20jul15, verificação em 07mai21).
Ensaio de Adensamento Unidimensional
Geohalo
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Representação da montagem de uma célula 
de adensamento – edometríco.
A amostra (compactada ou indeformada) saturada 
(inundada) é submetida a valores crescentes de 
tensão vertical em sucessivos estágios de 
carregamento.
Por estar contida lateralmente, a amostra não sofre 
deformações radiais. Tem-se o aumento da tensão 
horizontal numa relação K0.
O ensaio é executado com a medição de 
deslocamentos verticais e o volume de água expulso.
Ensaio de Adensamento Unidimensional
Pedras Porosas
Extensômetro
F
Anel Confinante
Linha de Drenagem
Solo
Procedimento do Ensaio
Durante o carregamento controlado, são realizadas leituras dos 
deslocamentos verticais da mostra em função do tempo, por 
meio de um extensômetro, o que dá origem à curva de 
recalque.
Plotam-se os gráficos com as leituras efetuadas da variação da 
altura ou recalque versus tensões aplicadas.
Repetem-se os processos com outros níveis de tensão. 
Normalmente, na última fase ocorre o descarregamento da 
amostra. 
(SARATHY GEOTECH)
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Exemplo – Ensaio de Adensamento
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Casagrande – Log de t Taylor – Raiz de t
Secundário
Primário
Secundário
Primário
Índice de Vazios
1º Calcular a altura de sólidos (Hs):
ws
s
ws
s
s
AG
M
AG
W
H

=

=
Ws = peso seco do corpo de prova;
Ms = massa seca do corpo de prova;
A = área da seção do corpo de prova;
Gs = peso específico relativo dos sólidos;
γw = peso específico da água;
ρw = densidade da água;
(Das, 2007)
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2º Calcular a altura inicial de Vazios (HV):
3º Calcular o índice de vazios inicial (e0):
sv HHH −=
s
v
s
vv
0
H
H
A
A
H
H
Vs
V
e ===
H é a altura inicial do corpo de prova.
Índice de Vazios
(GEOHOHAI)(Das, 2007)
4º Calcular a alteração em e0 em função do 
primeiro incremento de carga σ’1;
5º Calcular o novo índice de vazios após o 
adensamento provocado pelo primeiro 
incremente de carga;
6º Prosseguir com os cálculos para os demais 
incrementos.
s
1
1
H
H
e

=
101 eee −=
s
2
12
H
H
ee

−=
Índice de Vazios
σ’1
Índice de vazios, e
Tensão efetiva, σ’
σ’2
Curva típica – Final 
do primário.
Escala logarítmica
(Das, 2007)
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Interpretação do Gráfico de Compressão
Final do adensamento primário de cada 
etapa de carregamento.
A ilustração mostra uma alteração no 
comportamento inicial, entre 20 e 30 kPa, 
seguido da curva de compressão virgem 
até a tensão de 3.200 kPa. 
O gráfico mostra um comportamento 
diferencial na fase de descarregamento, 
com inclinação semelhante ao da fase 
inicial. 
Representação típica de uma curva e versus log(σ’)
Compressão
Virgem
Descarregamento
“Pré-adensamento”
No ensaio de adensamento, tem sido denominada “Tensão de Pré-adensamento” de um 
solo, a tensão na qual se dá a mudança de comportamento na curva típica (e versus log σ’), 
indicando a tensão vertical efetiva na qual aquele solo foi submetido no passado.
Tensão de Pré-Adensamento – História de Tensões
“Pré-Adensado”
“Normalmente 
Adensado”
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• Obter na curva índice de vazios x logaritmo 
da tensão efetiva o ponto de maior 
curvatura ou menor raio (R);
• Traçar uma tangente (t) e uma horizontal 
(h) por R; 
• Determinar e traçar a bissetriz (b) do 
ângulo formado entre (h) e (t); 
• A abscissa do ponto de intersecção, da 
bissetriz com o prolongamento da reta 
virgem corresponde à pressão de pré-
adensamento sugerida pelo autor/ensaio. 
Método de Casagrande
PRÉ-ADENSAMENTO
PRESSÃO DE 
ÍN
D
ID
E 
D
E 
V
A
ZI
O
S 
(e
)
10 100 1000
PRESSÃO (kPa)
MÍNIMO DE CURVATURA
PONTO DE RAIO
t
R
h
b
RETA VIRGEM
• Traçar uma horizontal pela ordenada 
correspondente ao índice de vazios inicial; 
• Prolongar a reta virgem e determinar o ponto 
de interseção (P); 
• Traçar uma reta vertical por (P) até interceptar 
a curva (Q); 
• Traçar uma horizontal por (Q) até interceptar o 
prolongamento da reta virgem (R). 
• A abscissa correspondente define a pressão de 
pré-adensamento. 
PRÉ-ADENSAMENTO
PRESSÃO DE 
ÍN
D
ID
E 
D
E 
V
A
ZI
O
S 
(e
)
10 100 1000
PRESSÃO (kPa)
e0 P
Q R
Método de Pacheco Silva
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Parâmetros de Compressibilidade
Índice de Compressão - Cc
Reta Virgem
Cc
Cs
Índice de Descompressão - Cs
Coeficiente de Compressibilidade - av
Coeficiente de Compressibilidade Volumétrico - mv
av =
ei − ef
∆σ′v
εvol =
ei − ef
1 + ei
mv =
εvol
∆σ′v
mv =
av
1 + ei
Escala Natural Escala Logarítmica
Pré-Adensamento
Cr
Índice de Recompressão - Cr
Deformação Volumétrica:
Descompressão
Módulo Edométrico – Módulo de Elasticidade
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Kulhawy e Mayne (1990)
Bowles (1997)
Módulo Edométrico
Módulo Edométrico: 
Eed =
∆σ′v
εvol
E′ = Eed
1 + ν 1 − 2ν
1 − ν
Módulo Elasticidade (deformabilidade): 
mv =
εvol
∆σ′v
Coeficiente de Compressibilidade Volumétrico: 
εz = εvolEnsaio de Adensamento tem-se:
Módulo de Elasticidade
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Segundo Skempton (1944):
)10LL.(009,0Cc −=
38,2
s
02,1
sc
G
e1
G.141,0C 




 +
=
sc G.
100
(%)LL
.2343,0C 





=
0
0
c
n275,4747,371
n
C
−
=
Segundo Rendon-Herrero (1983):
Segundo Nagaraj e Murty (1985):
Segundo Park e Koumoto (2004):
Correlações – Índice de Compressão
Citado em Das (2007).
Coeficiente angular da reta de descompressão no gráfico e x logσ’v .
cs C
10
1
a
5
1
C 
Segundo Nagaraj e Murty (1985):
ss G.
100
(%)LL
.0463,0C 





=
sc G.
100
(%)LL
.2343,0C 





=
cs C
5
1
C 
Correlações – Índice de Descompressão
Cs
Cc
=
𝜅
𝜆
=
0,003
0,069
=
1
23
Citado em Das (2007).
λ=0,069
κ=0,003
Cc = 2,303. λ
Cs = 2,303.κ
Cc =0,16
Cs = 0,07
Trecho Virgem
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0e1
e
HS
+

=
]'log)''[log(Ce 0v0vc  −+=







+
+
=
0v
0v
0
c
'
''
log
e1
HC
S
Recalque no Final do Adensamento
Recalque:
Cs
Cr
Trecho inicial com inclinação 
semelhante à descompressão.
Transição
Recompressão
Nos trechos de recompressão e descompressão adotar os respectivos coeficientes.
Descompressão
H – espessura da camada compressível
σ’v0 – tensão efetiva vertical inicial média.
O resultado de um ensaio de adensamento está apresentado ao lado. 
Determine a tensão de pré-adensamento (σ’vm), o índice de 
compressão (Cc), o índice de descompressão (Cs), o coeficiente de 
compressibilidade (av) e o coeficiente de compressibilidade 
volumétrico (mv), neste caso, para o nível de 1000 kPa. 
Dados do ensaio:
Peso específico relativo dos grãos (Gs)=2,69
Índice de vazios inicial (e0)= 0,7651
Densidade seca (ρd)= 1,524 g/cm³
Pressão 
(kN/m²)
Índices de 
Vazios (e)
0 0,7651
25 0,7397
50 0,7236
100 0,6993
200 0,669
400 0,6256
800 0,5622
1600 0,4791
3200 0,385
800 0,4124
200 0,4532
25 0,5237
Exercício – Laboratório
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Aplicando o procedimento de 
Pacheco Silva, tem-se:
Exercício - Tensão de Pré-Adensamento
σ′vm = 300 kPa
300
( )
( )
27,0
)800log(1600log
4791,05622,0
CC 
−
−
=
Pressão 
(kN/m²)
Índices de 
Vazios (e)
0 0,7651
25 0,7397
50 0,7236
100 0,6993
200 0,669
400 0,6256
800 0,5622
1600 0,4791
3200 0,385
800 0,4124
200 0,4532
25 0,5237
Exercício - Índice de Compressão
Cc = 0,27
0,5622
0,4791
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( )
( )
08,0
)50log(300log
44,050,0
CS 
−
−
=
Exercício - Índice de Descompressão
Cs = 0,08
Exercício - Coeficiente de Compressibilidade e
Coeficiente de Compressibilidade Volumétrico
0,56
av =
ei − ef
∆σ′v
=
0,56 − 0,51
1200 − 800
= 1,25x10−4 kPa−1
mv =
av
1 + ei
=
1,25x10−4
1 + 0,56
= 8x10−5 kPa−1
1200800
0,51
Nota: valores obtidos para faixa de tensão 800 
a 1200 kPa.
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Exercício - Campo
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Um aterro extenso com 3,5 metros de altura (60 kPa) será construído sobre um rejeito argiloso saturado 
(H=20 m). Determine o recalque final por adensamento primário.
Solução:
H = 20 m
Aterro - 60 kPa
Ponto Médio
σ′v0 = γsat. h − γw. hw
NA
σ′v0 = 20.10 − 10.10 = 100 kPa
30 kPa (história de tensão)
γsat = 20 kN/m
3
10 m
Parâmetros do Ensaio
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Cc = 2,303. λ = 0,45
Índice de Vazios Alcançado:
e1 = 2,047 − 0,45. log 130 = 1,096
Cs = 2,303.κ = 0,035
Expansão: e2 = e1 + Cs. log
σ′1
σ′2
e2 = 1,096 + 0,035. log
130
100
= 1,10
1,0961,10
12
Compressão Virgem
Descompressão
37
38
20
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Determinação do Recalque
Prof. Saulo Ribeiro - DSc 39
S =
Cs.H
1+e2
log
σ′1
σ′2
+
Cc.H
1+e1
log
σ′3
σ′1
S =
0,035.20
1+1,10
log
130
100
+
0,45.20
1+1,096
log
160
130
S =0,038+0,387=0,425 m
Trecho de Recompressão
Trecho Virgem
1,0961,10
1
2
3
e3 = e1 − Cc. log
σ′3
σ′1
e3 = 1,096 − 0,45. log
160
130
= 1,055
1,055
Simulação Numérica
Fase Normalmente Adensada
Prof. Saulo Ribeiro - DSc 40
1,153
1,14
e100 = 2,047 − 0,45. log 100 = 1,14
39
40
21
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Simulação Numérica
Estudo da História e Descarregamento (“erosão”)
Prof. Saulo Ribeiro - DSc 41
Y = 10 m
Ín
d
ic
e
 d
e
 V
a
z
io
s
Etapa
1,09
1,1
1,11
1,12
1,13
1,14
1,15
1,16
1,17
21 22 23
Simulação Numérica
Pré-Adensamento
Prof. Saulo Ribeiro - DSc 42
1,096
1,14
T
e
n
s
ã
o
 E
fe
ti
v
a
 Y
 (
k
P
a
)
Etapa
100
110
120
130
21 22 23
1,10Analítico
Sigma 2019 R2
História
Normalmente 
Adensado
Descarregamento
História
Normalmente 
Adensado
Descarregamento
41
42
22
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Simulação Numérica
Construção do Aterro
Prof. Saulo Ribeiro - DSc 43
Simulação Numérica
Construção do Aterro
Prof. Saulo Ribeiro - DSc 44
Y = 10 m
Ín
d
ic
e
 d
e
 V
a
z
io
s
Etapa
1,04
1,05
1,06
1,07
1,08
1,09
1,1
1,11
1,12
1,13
1,14
1,15
1,16
1,17
21 22 23 24
1,096
1,14
1,10
História
Normalmente 
Adensado
Descarregamento
Aterro
1,055
Erro numérico da ordem 
de 0,01; desprezível.
T
e
n
s
ã
o
 E
fe
ti
v
a
 Y
 (
k
P
a
)
Etapa
100
110
120
130
140
150
160
170
21 22 23 24
História
Normalmente 
Adensado
Descarregamento
Aterro
Observa-se uma 
tensão vertical 
remanescente.
Congruência na 
solução final.
Analítico
Numérico
43
44
23
Mecânica dos Solos Aplicada
Percolação
Prof. Saulo Gutemberg Silva Ribeiro - DSc
Curso de Especialização em Engenharia de Barragens (M.Eng.) – 1/2021
Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais – Diretoria de Educação Continuada
Recalque
Prof. Saulo Ribeiro - DSc 45
(m)
S = 0,425 m
Analítico:
Sigma/W
2019 R2
S = 0,51 m
Numérico:
Módulo de Deformabilidade – E’
Prof. Saulo Ribeiro - DSc 46
σ’v (kPa) ei ef av (kPa
-1) mv (kPa
-1) εvol σ’v med (kPa) Eed (kPa) E’ (kPa)
25 - 1,418 - - - - - -
50 1,418 1,298 4,80E-03 1,98E-03 0,050 37,5 504 336
100 1,298 1,143 3,10E-03 1,35E-03 0,067 75,0 741 494
200 1,143 0,973 1,70E-03 7,93E-04 0,079 150,0 1261 841
400 0,973 0,839 6,70E-04 3,40E-04 0,068 300,0 2945 1964
800 0,839 0,723 2,90E-04 1,58E-04 0,063 600,0 6343 4229
1600 0,723 0,619 1,30E-04 7,54E-05 0,060 1200,0 13257 8839
ν = 0,333
8839 kPa
4226 kPa
1964 kPa
841 kPa
494 kPa
336 kPa
Eed =
∆σ′v
εvol
E′ = Eed
1 + ν 1 − 2ν
1 − ν
εvol =
ei − ef
1 + ei
Nota: o processo pode ser refinado por meio da equação 
de tendência, usando faixas menores de tensão.
45
46
24
Mecânica dos Solos Aplicada
Percolação
Prof. Saulo Gutemberg Silva Ribeiro - DSc
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Módulo de Deformabilidade – E’ – via Sobrecarga
Prof. Saulo Ribeiro - DSc 47
Procedimento para sobrecarga ampla:
Aplicar o acréscimo de tensão sobre a tensão inicial: 
Determinar os índices de vazios inicial e final:
Determinar a deformação volumétrica:
Determinar o módulo edométrico:
Determinar o módulo de deformabilidade:
σ′vf = σ′vi + ∆q
ef=e0 − λ. ln σ′vfei=e0 − λ. ln σ′vi
εvol =
ei − ef
1 + ei
Eed =
Δq
εvol
E′ = Eed
1 + ν 1 − 2ν
1 − ν
Avaliação do Módulo de Deformabilidade – E’
Prof. Saulo Ribeiro - DSc 48
e=2,047 − 0,197. ln σ′v
Δq = 1, 60, 150 e 300 kPa
ν = 0,333
47
48
25
Mecânica dos Solos Aplicada
Percolação
Prof. Saulo Gutemberg Silva Ribeiro - DSc
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Comparação dos Métodos
Prof. Saulo Ribeiro - DSc 49
Faixas de 
Laboratório
Técnica da 
Sobrecarga 
Ampla
Δq (kPa)
Adensamento Secundário
Prof. Saulo Ribeiro - DSc 50
Cα =
∆e
log
t2
t1
Cα =
∆e
log t2 − logt1
Ss = C′α. H. log
t2
t1
Recalque Secundário:
C′α =
Cα
1 + ep
Índice de Compressão Secundária:
Fim do adensamento primário.
49
50
26
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Percolação
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Valores Típicos
Prof. Saulo Ribeiro - DSc 51
De acordo com Das (2007) o recalque de 
compressão secundária é mais importantes que o 
adensamento primário em solos orgânicos e 
inorgânicos altamente compressíveis.
Material C’α
Argilas Sobreadensadas ≤ 0,001
Argilas Normalmente Adensadas 0,005 a 0,03
Solo Orgânico ≥ 0,04
Citado em Das (2007)
Exercício – Recalque Secundário
• Para o modelo ao lado, estime o recalque por adensamento 
secundário devido ao aterro, para 100 anos.
• Dados: 
• Final do adensamento primário igual a 20 anos;
• Hs da amostra do ensaio de adensamento igual a 8 mm;
• Considerar o ensaio de 1600 kPa, índice de vazios para o final do 
adensamento primário igual a 0,62 (ep).
• Teor de umidade da amostra igual a 51%.
Prof. Saulo Ribeiro - DSc 52
ep = 0,62
Tensão = 1600 kPaws
s
ws
s
s
AG
M
AG
W
H

=

=
51
52
27
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Percolação
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Exercício – Recalque Secundário
Prof. Saulo Ribeiro - DSc 53
t1 t2
ΔH = 0,1 mm
1600 kPa
Primário Secundário
∆e =
∆H
Hs
∆e =
0,1
8
= 0,0125
cα =
∆e
log
t2
t1
cα =
0,0125
log
1000
10
cα =6,25x10
−3
Exercício – Recalque Secundário
Prof. Saulo Ribeiro - DSc 54
C′α =
Cα
1 + ep
cα =6,25x10
−3
ep = 0,62
C′α =
6,25x10−3
1 + 0,62
c′α =3,9x10
−3
c′α =3,9x10
−3
w = 51%
Ss = C′α. H. log
t2
t1
Ss = 3,9𝑥10
−3. 20. log
100
20
Ss = 55 mm
53
54
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Percolação
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Taxa Temporal de Adensamento
Terzaghi (1925, citado em Das, 2007) propôs a primeira teoria para considerar a taxa de 
adensamento unidimensional para solos de argila saturada.
Hipóteses:
1 – O sistema argila-água é homogêneo;
2 – A saturação é completa;
3 – A compressibilidade da água é desprezível;
4 – A compressibilidadedos grãos de solo é desprezível, mas os grãos se rearranjam;
5 – O escoamento da água ocorre somente em uma direção, na direção de compressão;
6 – A Lei de Darcy é válida.
Formulação
Prof. Saulo Ribeiro - DSc 56
Camada de argila 
submetida ao 
adensamento.
Percolação 
unidimensional 
durante o 
adensamento.
A vazão de saída de água menos a vazão de entrada 
de água é igual à variação de volume.
vz +
𝜕vz
𝜕z
dz dx. dy − vzdx. dy =
𝜕V
𝜕t
V = volume do elemento de solo.
Pela lei de Darcy, tem-se:
vz = k. i = −k
𝜕h
𝜕z
= −
k
γw
𝜕u
𝜕z
u é o excesso de poropressão provocado 
pelo aumento da tensão.
𝜕vz
𝜕z
dx. dy. dz =
𝜕V
𝜕t
55
56
29
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Percolação
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Formulação
Prof. Saulo Ribeiro - DSc 57
vz = k. i = −k
𝜕h
𝜕z
= −
k
γw
𝜕u
𝜕z
𝜕vz
𝜕z
dx. dy. dz =
𝜕V
𝜕t
−
k
γw
𝜕2u
𝜕z2
=
1
dx. dy. dz
𝜕V
𝜕t
Durante o adensamento a taxa de variação de volume é igual a taxa de variação do volume de vazios.
𝜕V
𝜕t
=
𝜕Vv
𝜕t
=
𝜕 Vs+eVs
𝜕t
=
𝜕Vs
𝜕t
+ Vs
𝜕e
𝜕t
+ e
𝜕Vs
𝜕t
𝜕Vs
𝜕t
= 0 Vs =
V
1 + e0
=
dx. dy. dz
1 + e0
𝜕V
𝜕t
=
dx. dy. dz
1 + e0
𝜕e
𝜕t
−
k
γw
𝜕2u
𝜕z2
=
1
1 + 𝑒0
𝜕e
𝜕t
=0 =0
−
k
γw
𝜕2u
𝜕z2
=
1
dx. dy. dz
𝜕V
𝜕t
Equação de Terzaghi
Prof. Saulo Ribeiro - DSc 58
𝜕e = av𝜕 ∆σ′ = −av𝜕u
av – coeficiente de compressibilidade (cte. para 
uma faixa pequena de aumento de pressão)
−
k
γw
𝜕2u
𝜕z2
=
av
1 + e0
𝜕u
𝜕t
= −mv
𝜕u
𝜕t
mv – coeficiente de compressibilidade volumétrico
mv =
av
1 + e0
𝜕u
𝜕t
= cv
𝜕2u
𝜕z2
cv – coeficiente de adensamento
cv =
k
γwmv
Equação da teoria de adensamento de Terzagui: 
−
k
γw
𝜕2u
𝜕z2
=
1
1 + 𝑒0
𝜕e
𝜕t
57
58
30
Mecânica dos Solos Aplicada
Percolação
Prof. Saulo Gutemberg Silva Ribeiro - DSc
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Solução da Equação Diferencial do Adensamento
Prof. Saulo Ribeiro - DSc 59
Condições de contorno e inicial:
z = 0, u = 0
z = 2.Hdr, u = 0
t = 0, u = u0

=
=
−














=
m
0m
T²M
dr
0 ve
H
Mz
sen
M
u2
u
em que,
m = número inteiro
M = (π/2). (2m + 1)
u0 = excesso de poropressão inicial
Tv – fator tempo 
Tv =
cvt
Hdr
2
Grau de adensamento a uma distância z a qualquer tempo t: 
Uz =
u0−uz
u0
=1 −
uz
u0
uz é o excesso de poropressão
no tempo t.
Das (2007)
Grau Médio de Adensamento
Prof. Saulo Ribeiro - DSc 60
Grau médio de adensamento para toda profundidade a qualquer tempo:
0
H2
0
dr)t(
u
uzdz
H2
1
1
S
S
U
dr






−==
U – grau médio de adensamento
S(t) – recalque da camada no tempo t
S – recalque primário final

=
=
−














=
m
0m
T²M
dr
0 ve
H
Mz
sen
M
u2
u

=
=
−
−=
m
0m
T²M ve
²M
2
1U
59
60
31
Mecânica dos Solos Aplicada
Percolação
Prof. Saulo Gutemberg Silva Ribeiro - DSc
Curso de Especialização em Engenharia de Barragens (M.Eng.) – 1/2021
Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais – Diretoria de Educação Continuada
Grau Médio de Adensamento - Tabela
Prof. Saulo Ribeiro - DSc 61
Das (2007)
Coeficiente de Adensamento - Método de Casagrande
• Método Logaritmo do Tempo
• 1 – Estenda as partes retas das curvas de adensamento 
primário e secundário para que se cruzem em A.
• 2 – Selecione t1 e t2 de forma que t2 seja 4.t1. A diferença de 
deslocamento entre t2 e t1 será x.
• 3 – Trace uma linha horizontal DE com distância BD igual a x. d0
representa 0% de adensamento.
• 4 – A ordenada do ponto F, na curva de adensamento, 
representa o deslocamento a 50% do adensamento primário e 
a sua abscissa, o tempo correspondente, t50.
• 5 – Para 50% do grau de adensamento o fator tempo, Tv, é igual 
a 0,197.
Prof. Saulo Ribeiro - DSc 62
1
2
3
2
3
1
4
4
4
T50 =
cvt50
Hdr
2 cv =
0,197Hdr
2
t50
5
4
61
62
32
Mecânica dos Solos Aplicada
Percolação
Prof. Saulo Gutemberg Silva Ribeiro - DSc
Curso de Especialização em Engenharia de Barragens (M.Eng.) – 1/2021
Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais – Diretoria de Educação Continuada
Coeficiente de Adensamento - Método de Taylor
• Método da Raiz Quadrada do Tempo
• 1 – Trace uma linha AB, ajustada à parte inicial da curva 
de adensamento e ao trecho reto.
• 2 – Trace uma linha AC de forma que OC = 1,15.OB. 
• 3 – A abscissa do ponto D, interseção de AC com a curva 
de adensamento, fornece a raiz quadrada do tempo para 
90% de adensamento.
• 4 – Para 90% de adensamento, tem-se T90 = 0,848.
Prof. Saulo Ribeiro - DSc 63
1
1
1
2
2
3
3
T90 =
cvt90
Hdr
2
cv =
0,848Hdr
2
t90
4
Trabalho Orientado 6
• Determine os coeficientes de 
adensamento dos ensaios 
com níveis de tensões 200 e 
400 kPa. 
• Adote os métodos de Taylor e 
Casagrande. Considerar Hdr
iguais a 1,70 e 1,57 cm, 
respectivamente.
• Dica: amplie o gráfico ao lado 
na faixa indicada.
Prof. Saulo Ribeiro - DSc 64
63
64
33
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Percolação
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Trabalho Orientado 6
Prof. Saulo Ribeiro - DSc 65
Exercício – Tempo de Recalque
• Determine a curva tempo versus porcentagem de 
adensamento, considerando que o mesmo foi 
construído instantaneamente. Idem para tempo versus
recalque. Considere drenagem topo e base.
Prof. Saulo Ribeiro - DSc 66
U (%) T t (dias) t (anos)
10 0,00785 29 0,1
20 0,0314 117 0,3
30 0,0707 264 0,7
40 0,126 470 1,3
50 0,197 736 2,0
60 0,286 1068 2,9
70 0,403 1505 4,1
80 0,567 2117 5,8
90 0,848 3166 8,7
99 1,781 6649 18,2
cv = 3,1e-3 cm
2/s
cv = 2,68e-2 m
2/dia
Hdr = 10 m
t = T
Hdr
2
cv
Solo Permeável
Colchão Drenante
65
66
34
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Exercício – Tempo de Recalque
Prof. Saulo Ribeiro - DSc 67
S(final) = 0,425 mRecalque Final: 
0
H2
0
dr)t(
u
uzdz
H2
1
1
S
S
U
dr






−==
S(t) = U. Sfinal
U (%) T t (dias) t (anos) Recalque (cm)
10 0,00785 29 0,1 4,3
20 0,0314 117 0,3 8,5
30 0,0707 264 0,7 12,8
40 0,126 470 1,3 17,0
50 0,197 736 2,0 21,3
60 0,286 1068 2,9 25,5
70 0,403 1505 4,1 29,8
80 0,567 2117 5,8 34,0
90 0,848 3166 8,7 38,3
99 1,781 6649 18,2 42,1
100 42,5
≈ 20 anos
Bibliografia
• Aires, A. D. B. (2006). Estudo Tensão Deformação da Barragem de Irapé. Dissertação, Mestrado, 
Nugeo/UFOP.
• Bowles, J. E. (1997). Foundation Analysis and Design. McGraw Hill.
• Das, Braja M. (2007). Fundamentos de Engenharia Geotécnica. Thomson. 6ª Edição.
• Divino, P. L. (2010). Comportamento de Enrocamentos em Barragens – Estudo de Caso da 
Barragem de Emborcação. Dissertação, Mestrado Nugeo/UFOP.
• Kulhawy, F.H. e Mayne, P.W. (1990). Manual on Estimating Soil Properties for Foundation Design. 
Electric Power Research Institute. California.
• Lambe, T. W. e Whitman, R. V. (1969). Soil Mechanics. John Wiley & Sons. 
68Prof. Saulo Ribeiro - DSc
67
68