Resistência dos Materiais - POLÍGRAFO M1-Rev07

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CENTRO TECNOLÓGICO ESTADUAL PAROBÉ 
ESCOLA TÉCNICA ESTADUAL PAROBÉ 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – SILVIO PAVANI – 2.015 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
MÓDULO I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Data: AGOSTO / 2015 
Professor: Silvio Pavani 
Revisão 01 
 
 
 
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Índice 
 
 
1. Legislação e Normas Técnicas 
............................................................................................................................ 03 
2. Introdução a Resistência dos Materiais 
............................................................................................................................ 04 
3. Solicitação I 
............................................................................................................................ 17 
4. Efeito I 
............................................................................................................................ 27 
5. Relações (Lei de Hook) 
............................................................................................................................ 32 
6. Coeficiente de Segurança 
............................................................................................................................ 37 
7. Solicitação II 
............................................................................................................................ 46 
8. Cisalhamento em Elementos de Máquinas 
............................................................................................................................ 51 
9. Bibliografia 
............................................................................................................................ 59 
 
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1. LEGISLAÇÃO E NORMAS TÉCNICAS 
 
 A grande variedade de materiais disponíveis, com características diversas e a 
necessidade de estabelecer – se valores padrões de comparação, fez com que fossem 
criadas entidades encarregadas de padronizar e normalizar, possibilitando critérios únicos 
de comparação. 
 As normas elaboradas pelas associações nacionais contam com a colaboração de 
técnicos e engenheiros que representam fabricantes, distribuidores, institutos de pesquisa, 
entidades profissionais e órgão do governo. 
 Abaixo alguns exemplos de associações nacionais de normalização: 
 
Brasil: ABNT Associação Brasileira de Normas Técnicas; 
Estados Unidos: ANSI American National Standards Institute; 
 (Instituto Nacional Americano de Normalização) 
Alemanha: DIN Deutsches Institut für Normung; 
 (Instituto Alemão para Normalização) 
Japão: JIS Japan Industry Standards; 
 (Normas Industriais Japonesas) 
Inglaterra: BSI British Standards Institution 
 (Instituto Britânico de Normalização) 
França: ANNOR Association Française de Normalization 
 (Associação Francesa de Normalização) 
 
 Além das associações nacionais, existem também associações de normalização que 
atuam em áreas específicas no setor produtivo. Algumas das associações mais importantes 
são: 
 
ASME: American Society of Mechanical Engineer 
 (Sociedade Americana dos Engenheiros Mecânicos) 
ASN: American Society for Metals 
 (Sociedade Americana para Metais) 
AISI: American Iron and Steel Institute 
 (Instituto Americano para Aço e Ferro) 
ASTM: American Society for Testing Materials 
 (Sociedade Americana para Testes de Materiais) 
SAE: Society of Automotive Engineers 
 (Sociedade dos Engenheiros de Automóveis) 
 
Normas Internas ou Normas de Empresas 
 
 Algumas normas são elaboradas pelas próprias empresas. Têm por objetivo orientar a 
elaboração de projetos e de seus componentes; a realização dos processos de fabricação, a 
organização dos sistemas de compras e vendas e outras operações de interesse da 
empresa. 
 Embora de uso interno, as normas de empresas algumas vezes são utilizadas de 
maneira mais ampla. As Normas da Petrobrás, por exemplo, além do uso específico pela 
empresa, também são seguidas por suas fornecedoras. 
 
 
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2. INTRODUÇÃO A RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
2.1. A IMPORTÂNCIA DA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 A parte da mecânica aplicada que trata do estudo das “Deformações” dos corpos e 
das “Tensões” (forças interiores), que se desenvolvem no seu interior, quando postos sob a 
ação das “Forças Exteriores” ou “Cargas”, denominamos de “MECÂNICA dos MATERIAIS”. 
 A carga (P) aplicada na extremidade do corpo, figura 1, produzirá sempre a 
“deformação” λ (lamda) ou Δl (variação de comprimento) e a “tensão” (σ - sigma), ou seja, o 
esforço interno no material. A tensão (σ) é que equilibra ou tenta equilibrar a ação da carga 
aplicada (P). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ao conjunto das “Propriedades Físicas Gerais” (densidade, por exemplo), obtidas como 
resultado de “Testes Experimentais” e do estudo teórico do “Comportamento Elástico dos 
Corpos” podemos denominar de “CARACTERÍSTICAS DOS MATERIAIS”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O estudo conjunto da Mecânica dos Materiais e Características dos Materiais 
denominamos de RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS. 
 
2.2. OBJETIVOS 
 O “Técnico” usa os seus conhecimentos de Resistência dos Materiais para analisar e 
calcular peça por peça de uma máquina, de tal forma que cada uma, durante o seu 
funcionamento, tenha a “resistência” e “rigidez” necessária, para não “romper” nem 
“deformar” excessivamente, nas condições normais de trabalho. 
 Nosso objetivo neste curso é exatamente o de examinar as fases desta análise de 
cálculo. 
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2.3. DEFINIÇÕES 
a) Forças Exteriores: São Cargas que atuam sobre uma peça; 
b) Esforço Interno: (Tensão σ) são as reações internas da peça contra a atuação da carga. 
c) Deformações (λ) ou variação de comprimento (Δl): É a diferença do comprimento inicial (l) 
da peça e comprimento final (lf) da peça sob ação de uma carga (P); 
d) Carga: É uma porção de força externa aplicada numa peça ou estrutura; 
e) Solicitações: É a forma como reagem as peças sob ação das forças; 
 
As solicitações podem ser classificadas em: 
 
‘ TRAÇÃO 
 COMPRESSÃO 
Solicitações Simples CISALHAMENTO 
 (Estáticas) FLEXÃO 
 TORÇÃO 
 
 Compostas - Combinação de duas ou mais solicitações simples 
 
 
 
2.4. AÇOS 
Entendemos como AÇOS os materiais obtidos pela liga de ferro (Fe) e carbono (C), 
contendo de 0,008% até 2,0% de carbono. 
 
Normalmente são encontrados nos aços carbono, porcentagens variadas de fósforo (P) e 
enxofre (S), consideradas “prejudiciais” e silício (Si) e manganês (Mn) considerados 
“benéficos”. Podem ainda apresentarem como impurezas, pequenas quantidades de outros 
elementos, como o alumínio (Al) e hidrogênio (H). Nenhum destes elementos, para efeito de 
classificação é considerado como elemento de liga no aço carbono; por isso dizemos que 
este aço não tem elemento de liga, a não ser a combinação de ferro (Fe) e carbono (C). 
 
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2.4.1.- Principais Elementos de Adição: 
2.4.1.1- Classificação dos Elementos de Adição 
- O Aço além do ferro e do carbono possui outros elementos, que podem ser classificados 
e divididos em três grupos. 
 
1º Grupo – Elementos Resultantes da Elaboração. 
Elementos 
de Adição 2º Grupo – Impurezas 
 
 3º Grupo – Elementos de Liga 
 
 
1º Grupo – Elementos Resultantes da Elaboração. 
 Pertencem a este grupo os elementos como o Manganês (Mn), o Silício(Si), o Alumínio (Al) 
ou Titânio (Ti), cuja presença no aço, como decorrência dos processos de fabricação e que, 
embora em pequenas percentagens, sempre existem nos aços. 
 
 
2º Grupo – Impurezas 
 São constituídas pelos elementos que sendo componentes das matérias primas usadas, ou 
introduzidas durante os processos de fabricação, devem ser reduzidas as menores 
porcentagens possíveis, por serem prejudiciais a qualidade do aço. 
 São constituídas principalmente por elementos não metálicos como o enxofre (S), fósforo 
(P), oxigênio (O), etc.; mas também por diversos metais, como o cobre (Cu), níquel (Ni), 
chumbo (Pb), estanho (Sn), etc. 
 Sabemos que entre as matérias primas usadas para a fabricação do aço, uma boa 
percentagem é de “sucata”, ou seja, uma quantidade de peças de aço (de diversas ligas) é 
adicionada junto com o ferro (Fe) e o carbono (C) para formar o aço. Poderão dar ao aço 
propriedades desejáveis para o fim a que se destina. 
 
 
3º Grupo – Elementos de Liga 
 Também denominados de “elementos especiais”, são aqueles que são adicionados 
intencionalmente ao aço, para lhe conferir propriedades particulares. 
 O seu valor percentual está em geral compreendido entre dois limites. Se nenhum 
elemento atinge a porcentagem de 5% o aço diz-se de “baixo teor em elementos de liga”, se 
a porcentagem ultrapassa os 5% são classificados de “médio ou alto” teor de elementos de 
liga. 
 
 
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2.4.1.2- Especificação dos Elementos de Adição Pertencentes a cada Grupo 
 
 
 | 
 | 
 | | Carbono (C) 
 | 1º Grupo | Manganês (Mn) 
 | Elementos Resultantes | Silício (Si) 
 | da Elaboração | Titânio (Ti) 
 | 
 | 
 | | | Enxofre (S) 
 | | Não | Fósforo (P) 
 | | == | Oxigênio (O) 
 | | Metais | Nitrogênio (N) 
 | 2º Grupo | | etc. 
 | Impurezas | 
 | | | Cobre (Cu) 
 | | | Níquel (Ni) | Dependendo 
 | | Metais == | Chumbo (Pb) | da Sucata 
Elementos | | | Estanho (Sn) | Usada 
 | | | etc. 
de | | 
 | 
Adição | 
 | 
 | | Manganês (Mn) 
 | | Silício (Si) 
 | | Titânio (Ti) 
 | | Nitrogênio (N) 
 | | Cobre (Cu) 
 | | Níquel (Ni) 
 | | Cromo (Cr) 
 | 3º Grupo | Molibdênio (Mo) 
 | | Vanádio (V) 
 | Elementos | Zircônio (Zr) 
 | de | Selênio (Se) 
 | Liga | Alumínio (Al) 
 | | Cobalto (Co) 
 | | Tantálio (Ta) 
 | | Tungstênio (W) 
 | | Boro (B) 
 | | Chumbo (Pb) 
 
 
 
 
 
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2.4.1.3- Ação Específica dos Elementos de Adição 
Vamos descrever, para cada um dos elementos de adição existentes ou adicionados 
aos aços de construção, um resumo de sua ação específica, a sua influência sobre os 
tratamentos térmicos e a influência destes elementos e destes tratamentos térmicos sobre 
as características de comportamento mecânico dos aços. 
 
2.4.1.3.1- Carbono (C) 
É o elemento que define o aço e estabelece suas propriedades básicas. Aumenta a 
dureza e a resistência e diminui a ductilidade e plasticidade 
O teor de carbono (C) varia entre 0,10% a 1,5% aproximadamente. Porcentagens que 
oscilam entre 0,10% a 0,70 % C, classificam-no como Aços de Construção. Porcentagens 
entre 0,50% a 1,50% C constituem os “Aços para Ferramentas”. 
A percentagem de carbono (C) influi apenas na dureza do aço, enquanto as outras 
propriedades dependem do grau de pureza, que definem a qualidade do aço. As impurezas 
provenientes quer da matéria prima ou consequente dos processos de fabricação, são 
constituídas principalmente pelo enxofre (S), fósforo (P), silício (Si) e manganês (Mn). 
 
2.4.1.3.2- Manganês (Mn) 
É um elemento que se apresenta em todos os aços, em pequenas porcentagens, devido 
aos processos de fabricação. Faz aumentar moderadamente a temperabilidade e controla a 
fragilidade dos aços devido ao enxofre. 
Aumenta a dureza e a resistência, assim como a resistência ao desgaste. Aumenta a 
velocidade de penetração do carbono na cementação. As deformações produzidas pela 
têmpera são diminuídas pela adição de manganês (Mn). Associado ao silício (Si), serve para 
fabricar aços especiais para molas. 
Somente é considerado como elemento de liga nos aços, quando a porcentagem média 
excede a 0,6% de manganês (Mn). 
 
2.4.1.3.3- Silício (Si) 
O silício como o manganês (Mn), acha-se presente em todos os aços em pequenas 
proporções, até 0,35% pois é empregado como desoxidante durante o processo de 
fabricação do aço. 
Aumenta a resistência mecânica dos aços de baixa liga e melhora a resistência à 
oxidação em altas temperaturas. 
É empregado também como elemento de liga, por sua ação de aumentar a 
temperabilidade e penetração de têmpera. 
Faz aumentar o coeficiente de elasticidade o que torna sua presença inconveniente nos 
aços destinados a receberem deformação por estampagem. 
Os “aços silício (Si) resistem muito bem ao desgaste, empregando-se em ferramentas 
para trabalhos em pedreiras. São usados também na fabricação de molas, atingindo os aços 
especiais, para este efeito, altos valores de carga de ruptura. Os aços – silício (Si) são muito 
usados para chapas de núcleo de transformadores e motores elétricos, com carbono até 
0,10% e porcentagens de silício (Si) até 4,0% por possuírem boa permeabilidade magnética; 
prestando-se muito bem para imantação por corrente alternada, magnetizando e perdendo 
rapidamente o magnetismo. 
Para ser considerado como elemento de liga, a porcentagem de silício (Si) deve ser 
superior a 0,4% Si, sendo então considerado como “aço – silício”. 
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2.4.1.3.4- Titânio (Ti) 
É usado para desoxidação e como estabilizador dos aços inoxidáveis austeníticos (linha 
300), prevenindo à corrosão intergranular e a tendência à fragilidade. 
Aumenta a dureza e a resistência dos aços de baixo teor de carbono (C). 
Porcentagens de 2,0% de titânio (Ti) tornam os aços com 0,5% C (carbono) não 
temperáveis. 
 
2.4.1.3.5- Enxofre (S) 
É um elemento prejudicial aos aços tornando-os frágeis e quebradiços ao rubro (quando 
incandescentes), de modo que o seu teor deve ser mantido o mais baixo possível. A 
presença do enxofre (S) faz com que os aços tenham características mecânicas inferiores. A 
porcentagem máxima admissível é em torno de 0,05% S (enxofre). 
Num caso especial, é considerado elemento benéfico, pois sua adição em porcentagem 
de até 0,35% é usada na produção dos aços de “corte livre”, para permitir altas velocidades 
de corte, pois aumenta a facilidade de usinagem e os cavacos se destacam em pequenos 
pedaços, devido à fragilidade destes aços. São também chamados “aços para tornos 
automáticos” (CNC), por serem usados para a fabricação em série de pequenas peças. 
 
2.4.1.3.6- Fósforo (P) 
É uma impureza normal existente nos aços, porém considerada de natureza nociva. Por 
esta razão nos aços de alta qualidade, desejam-se limites máximos entre 0,03% a 0,05%. 
Aumenta a resistência e dureza dos aços de baixa percentagem de carbono; melhora 
nestes aços a sua usinabilidade, dando origem aos aços de “corte – livre”. 
Melhora ligeiramente a resistência à corrosão. 
 
2.4.1.3.7- Oxigênio (O) 
Como o nitrogênio (N), o oxigênio (O) é prejudicial ao aço. 
O oxigênio (O) endurece o aço, tornando-o frágil, diminuindo consequentemente sua 
tenacidade. 
Durante os processos de fabricação, adicionam-se elementos de liga, que possuem 
maior afinidade pelo oxigênio (O) do que o ferro (Fe), de forma que a combinação daquele 
elemento com o oxigênio (O) torna-o inofensivo. 
 
2.4.1.3.8- Nitrogênio (N) 
Em princípio o nitrogênio (N) tem muitas vezes uma influência nociva sobre o aço, 
causando principalmente dureza e fragilidade. 
Atualmente o nitrogênio(N) deixou de ser considerado elemento nocivo, pois se verificou 
que em muitos casos melhora certas propriedades dos aços. Aumenta a resistência ao calor 
e à fadiga dos aços austeníticos. 
O nitrogênio (N) é também usado num processo de endurecimento superficial chamado 
de nitretação. 
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2.4.1.3.9- Cobre (Cu) 
Em porcentagens de 0,10% a 0,20% de cobre (Cu) aumenta a profundidade de têmpera. 
Aumenta à resistência a ruptura, à tração e o limite de elasticidade. Tem pouca influência 
sobre a ductilidade. 
Em porcentagem de 0,5% melhora a resistência à corrosão atmosférica. 
Aumenta a resistência à ação corrosiva dos ácidos, sendo às vezes usados nos aços 
cromo – níquel resistentes à corrosão. 
 
 
2.4.1.3.10- Níquel (Ni) 
Constituem um dos elementos de liga mais importante, e um dos primeiros a serem 
utilizados nos aços. 
Os aços são classificados e apresentam propriedades sensivelmente diferentes, quando 
a porcentagem é menor ou maior de 25% de níquel (Ni). 
Aumenta a resistência à tração, a tenacidade e a resistência ao choque, especialmente a 
baixas temperaturas. Eleva a resistência à corrosão a temperatura ambiente e a altas 
temperaturas. 
Os aços – níquel com baixa porcentagem de carbono (0,15% C) e 2% de níquel (Ni) 
presta-se novamente bem para a cementação. 
As ligas com altas porcentagens de níquel (Ni) e cromo (Cr) são os elementos básicos 
dos aços inoxidáveis. 
As ligas com fortes percentagens de níquel (Ni) apresentam reduzido coeficiente de 
dilatação pelo calor, como o Invar (35,5% de Ni) e a Platinite (46% de Ni), sendo usados 
para régua padrão, peças para relógios, etc. 
 
 
2.4.1.3.11- Cromo (Cr) 
Junto com o níquel (Ni), constituem um dos elementos mais importantes na fabricação 
dos aços de alta qualidade. O cromo aumenta consideravelmente a resistência temperatura 
ambiente e a altas temperaturas; aumenta a dureza e o limite de escoamento do aço, do que 
resulta uma grande resistência ao desgaste e alta capacidade de corte. 
Aumenta a penetração da têmpera, assim como a resistência a corrosão e a oxidação. 
É largamente utilizado na fabricação dos aços inoxidáveis, onde entrará como único 
elemento de liga, ou associado ao níquel (Ni). 
Os aços – cromo (Cr) melhoram consideravelmente as suas propriedades pelo 
tratamento de revenido após o tratamento de têmpera. 
 
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2.4.1.3.12- Molibdênio (Mo) 
A ação do molibdênio (Mo) é muito intensa, pois mesmo com pequenas percentagens 
obtém – se efeitos consideráveis. O molibdênio (Mo) atua sobre propriedades muito diversas 
do aço, e o seu emprego generaliza – se cada vez mais, pela contribuição efetiva e 
econômica para características pretendidas, sendo invariavelmente usado em complemento 
de outros elementos de liga (pois o molibdênio (Mo) isoladamente, tende a diminuir a 
tenacidade dos aços). 
Dá boa resistência à tração, alta tenacidade e boa ductilidade. Em conjunto com o níquel 
(Ni) e o cromo (Cr), nos inoxidáveis, melhora ainda a resistência à corrosão, melhora a 
resistência ao choque e a resistência à fluência a quente, sobretudo nas porcentagens de 
0,5% e confere boas propriedades mecânicas para utilização em temperaturas elevadas, 
pelo qual é muito utilizado nos aços ferramentas, especialmente nas de corte rápido. 
Oferecem também boa resistência ao desgaste. 
De modo geral, os efeitos produzidos pelo Mo (molibdênio) nos aços assemelham-se as 
produzidas pelo Tungstênio (W), porém seu efeito é muito mais intenso. 
 
2.4.1.3.13- Vanádio (V) 
Uma das principais características da adição do vanádio (V) nos aços é torná-lo 
insensível ao super aquecimento, melhorando as suas características de forjamento e 
usinagem. 
Aumenta o limite de escoamento e resistência, sem diminuir, entretanto, como seria de 
esperar, o alongamento. 
Geralmente são adicionados com outros elementos, sendo o mais comum o cromo (Cr). 
É elemento importante em todos os aços rápidos. 
O vanádio (V) aliado ao molibdênio (Mo) melhora a resistência à fluência. Oferecem 
também boa resistência ao desgaste. 
Também são empregados para peças sujeitas a fadiga, como as molas, especialmente 
junto ao cromo (Cr). 
 
2.4.1.3.14- Alumínio (Al) 
O alumínio (Al) é empregado nos aços, principalmente como desoxidante durante o 
processo de fabricação. Devido a grande afinidade pelo oxigênio (O), é um elemento 
importante nos aços que vão ser submetidos à nitretação, pois facilita a penetração do 
nitrogênio (N). 
Como elemento de liga, o alumínio (Al) aumenta a resistência do aço contra á oxidação e 
ao calor. 
Melhora a resistência ao choque dos aços de construção. 
 
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2.4.1.3.15- Cobalto (Co) 
Aumenta a resistência do aço. Emprega-se especialmente nos aços ferramentas com W 
(tungstênio) e o cromo (Cr) em teores de 3% a 10%. Aumenta a dureza e contribui para a 
melhoria acentuada da capacidade de corte a altas temperaturas. 
Emprega-se para ímãs e ligado ao cromo (Cr) e ao níquel (Ni) nos aços “superinvar” de 
baixo coeficiente de dilatação. 
Sempre é empregado em conjunto com outros elementos, como o cromo (Cr), molibdênio 
(Mo), tungstênio (W), vanádio (V), etc. 
 
2.4.1.3.16- Tungstênio (W) 
Aumenta consideravelmente à dureza e resistência do aço a temperatura ambiente e em 
especialmente a altas temperaturas. 
Forma carbonetos muito estáveis e resistentes ao desgaste, pelo que é 
extraordinariamente importante, seu efeito, nos aços para ferramentas, onde é empregado, 
sendo o elemento básico dos aços rápidos. 
Os aços ao tungstênio (W) podem ser temperados em água sem rachar, e resistem bem 
ao revenido. O seu emprego em teores elevados deve ser acompanhado por aumento do 
teor de carbono, afim de que os aços não percam a sua capacidade de têmpera. 
Mantém uma dureza elevada à temperatura bastante alta (500ºC), por esta razão, na 
fabricação de estampas e matrizes são comumente usados. 
É muito caro, o que torna pouco econômico o seu uso em muitos casos em que as suas 
excelentes propriedades mecânicas os tornariam recomendáveis. 
 
2.4.1.3.17- Boro (B) 
É um elemento muito interessante, incorporado recentemente na tecnologia de 
fabricação do aço. 
A sua ação mais importante é o extraordinário aumento da temperabilidade do aço, que 
se obtém, mesmo com teores bastante baixos, em torno de 0,004%. 
Melhora a resistência à fadiga e as suas características de laminação, forjamento e 
usinagem. 
 
2.4.1.3.18- Chumbo (Pb) 
O objetivo da adição de chumbo (Pb) no aço é de melhorar a usinabilidade dos aços - 
carbono, além de melhorar o acabamento. 
O cavaco formado é frágil e descontínuo. 
 
 
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2.5 - PROPRIEDADES: 
2.5.1 - Importância das Propriedades Mecânicas 
As Propriedades Mecânicas dos metais são as que permitem comparar e julgar 
a superioridade de uns sobre os outros, para determinar aplicações mecânicas ou 
estruturais. 
 
 As principais propriedades dos metais, como a coesão, elasticidade e 
plasticidade, isoladamente não têm grande valor, pois existem alguns materiais que 
possuem uma ou outra destas propriedades, superiores aos metais. 
 
O conjunto de propriedades é que tornam os metais superiores, pela excelente 
combinação de propriedades, que podemos obter, por meio de ligas e tratamentos 
térmicos adequados. 
 
 O que geralmente necessitamos são as propriedades que devem possuir, para 
satisfazerem determinadas condições de funcionamento, vida e custos. 
 
2.5.2- Definição das Propriedades Mecânicas 
O estudo do comportamento dos materiais, quando sujeitos a açãodas cargas. 
 
2.5.3- Classificação das Propriedades Mecânicas 
 
2.5.3.1- RESISTÊNCIA: É a capacidade do corpo de resistir à ruptura, quando 
submetido à ação das cargas, sem levar em conta as 
deformações produzidas. 
 
2.5.3.2- RIGIDEZ: É a capacidade do corpo de resistir á deformação, quando 
submetido à ação das cargas. 
A rigidez representa maior ou menor dificuldade de ser deformado. 
É medida por meio do Módulo de Elasticidade (E). 
 
2.5.3.3- ELASTICIDADE: É a capacidade de voltar a adquirir a forma primitiva, quando 
cessa a ação da carga que deforma o corpo elástico. 
 
2.5.3.4- DUCTIBILIDADE: É um fenômeno de “plasticidade” ou seja: a capacidade de 
manterem as deformações permanentes (plásticas), sem 
romperem, quando sob a ação das cargas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2.5.3.5 - TENACIDADE: Definimos como “tenazes” (figura 57), os materiais que 
possuem elasticidade pronunciada e visível. 
A ruptura dos materiais tenazes somente produz-se depois de 
uma visível e pronunciada deformação, elástica e plástica. 
O aço e o alumínio são exemplos de materiais tenazes. 
 
 
 
 
 
2.5.3.6 - FRAGILIDADE: Definimos como frágeis (figura 58) os materiais que possuem 
elasticidade, mas não plasticidade. 
A ruptura dos materiais frágeis produz-se bruscamente, 
após a deformação elástica. O ferro fundido e o bronze são 
exemplos de materiais frágeis. O vidro e o giz são também 
materiais frágeis. 
Os materiais frágeis resistem mal aos choques. 
Também denominamos estes materiais de quebradiços. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2.5.3.7 - RESILIÊNCIA: Definimos a resiliência (figura 59), como a capacidade de 
suportar choques importantes sem romper ou sofrer 
deformações permanentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.5.3.8 - DUREZA: Definimos dureza como a resistência que um corpo apresenta ao 
ser riscado ou penetrado por outro corpo, ou melhor, a maior ou 
menor resistência à penetração em relação a outro corpo tomado 
como elemento de comparação. 
 
2.5.3.9- FLUÊNCIA: Definimos como fluência, a deformação lenta e progressiva, com o 
transcurso do tempo, que se produz nos materiais, quando 
sujeitos a ação de pequenas cargas e até mesmo devido ao seu 
peso próprio, dependendo também da temperatura. 
 
2.5.3.10- FADIGA: Definimos como fadiga ao fenômeno de ruptura do material, pela 
repetição da solicitação, embora o valor da carga aplicada seja 
muito inferior ao da carga de ruptura. Dizemos que o material 
rompeu por cansaço ou fadiga. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.5.3.11- MALEABILIDADE: Capacidade de sofrer deformações plásticas em 
compressão, sem se romper. Capacidade de se deixar 
transformar em lâminas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2.6 - FERRO FUNDIDO 
O FERRO FUNDIDO de primeira fusão ou gusa (3,5% - 4,5%C) é o produto obtido 
diretamente do ALTO FORNO, pela redução do minério de ferro com carvão coque e 
fundente. 
 
MINÉRIO DE FERRO: É a matéria prima básica para a produção do ferro gusa. 
CARVÃO COQUE: Combustível obtido do carvão mineral (produz o coque) 
representando 60% na produção do ferro fundido. 
FUNDENTE: Material que ajuda o minério de ferro a se fundir (calcário). 
 
O FERRO GUSA é um material duro e quebradiço, formado por uma liga de ferro 
(Fe) e carbono (C) - alto teor, silício (Si), manganês (Mn), fósforo (P) e enxofre (S). 
O FERRO FUNDIDO de Segunda fusão ou apenas ferro fundido (2,0% - 4,5% C) é o 
produto obtido pela refusão, em forno cubilô ou rotativo e elétrico, ferro gusa junto 
com sucata de ferro fundido, aço e adição de outros elementos que visão melhorar 
suas propriedades. 
O emprego de sucata de ferro (Fe), oportunamente dosada (até 50%) e os métodos 
modernos de separação e eliminação de escórias, proporcionam ferros fundidos com 
r> 60 kgf/mm². 
As impurezas do minério de ferro e do carvão deixam no ferro fundido pequenas % 
de Silício (Si), Manganês (Mn), Enxofre (S), Fósforo (P). 
O silício (Si) e o manganês (Mn) melhoram as qualidades do ferro fundido, 
enquanto o enxofre (S) e o fósforo (P) as prejudicam. 
O minério de manganês (Mn) ajuda a diminuir os efeitos nocivos do enxofre (S) que 
é uma impureza que torna o ferro (Fe) mais frágil. Esse minério é também um 
desoxidante, isto é, elimina o oxigênio (O) que contamina posteriormente o aço. 
O carbono (C) nos ferros fundidos está presente sob a forma de: 
Cementita - Fe3C – Carbono Combinado. 
Grafita – C – Carbono em estado livre. 
O ferro fundido é o que chamamos de uma liga ternária. Isso quer dizer que ele é 
composto de três elementos, ferro (Fe), carbono (2% a 6,7%C) e silício (1% a 3% Si). 
Existe ainda o ferro fundido ligado (ferro fundido cinzento, ferro fundido branco, ferro 
fundido maleável e ferro fundido nodular), ao quais outros elementos de liga são 
acrescentados para dar alguma propriedade especial à liga básica. 
Os aços com mais de 1,7% de carbono (C), na prática, também são considerados 
ferro fundido. 
No comércio o limite máximo do teor de carbono (C) é de 4,5%. 
 
 
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3. SOLICITAÇÃO I 
3.1. – TRAÇÃO 
 Uma peça sujeita as cargas paralelas ou coincidentes com seu eixo 
longitudinal, estará sujeita a “tração”, quando o sentido da carga estiver dirigido 
desde a parte média da peça para os extremos ou desde um extremo para o exterior. 
Teoricamente as fibras se “distendem”; praticamente a peça aumenta de 
comprimento, diminuindo sua seção transversal. O eixo da peça que era reto deverá 
continuar reto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A carga (P) na figura 9, produz uma solicitação de tração na haste (A), 
aumentando o seu comprimento. 
 O suporte de fixação (B) na figura 10 é usado para fixar a peça (C) na mesa (D); 
o aperto para a fixação é conseguido por meio da porca (E) que produzirá tração no 
corpo do parafuso (F), aumentando o seu comprimento produzindo, portanto, tração. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3.2. – COMPRESSÃO 
Uma peça apoiada por sua base, com uma carga (P), aplicada em sua parte superior, 
paralela ao eixo vertical e dirigida para baixo estará 
sujeita a uma solicitação de “Compressão”. Como 
mostra na figura 11. 
As conseqüências do efeito da carga (P) 
consideram-se teoricamente como um 
“encurtamento” das fibras verticais. Praticamente, 
o corpo sofre uma diminuição em sua altura, 
aumentando a sua seção transversal. 
A carga (P) aplicada na cabeça do êmbolo (figura 
13) produz um esforço de compressão na biela (A) ao transmitir o esforço para o eixo 
manivela (B) e volante (C). 
 
 
 
 
 
 
 
O pino (G) na figura 10 sofre uma solicitação de compressão ao ser aplicada à carga 
(P), no parafuso de aperto (F). 
 
3.3. – ESFORÇOS SOLICITANTES 
 Os esforços encontrados em qualquer seção transversal de uma barra, 
chamados esforços solicitantes, são produzidos pelos esforços externos, que se 
propagam ao longo da barra. 
 Os esforços solicitantes podem ser (Figura 2): 
Força Normal (N) – tem a direção da barra; 
Força Cortante (Q) – tem a direção perpendicular ao eixo da barra; 
Momento Fletor (Mf) – atua no plano perpendicular à seção transversal; 
Momento de Torção (Mt) – atua no plano da seção transversal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3.4 – TENSÃO 
 “Tensão”, da mesma forma que a “pressão”, é um termo usado em “Mecânica 
dos Materiais” para indicar a intensidade de uma força, que atuasobre a unidade de 
superfície. 
 
 “TENSÃO” é um esforço interno, por unidade de superfície, que tende a 
resistir a mudanças de dimensões e forma dos corpos. 
 
 “TENSÃO” é uma força por unidade de superfície, ou “força” divido por 
área. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A “TENSÃO” é expressa em kgf, aplicados por unidade de superfície em cm², ou seja: 
 
 
 
 
 
 
Teremos então que: 
 
 
 
 
TENSÃO EM 
²
kgf
cm
 = QUOCIENTE DE 
P
S
 
²

EM kgf
EM cm
 
TENSÃO = 
FORÇA
SUPERFÍCIE
 = 
P
S
 
 
TENSÃO = 
²
kgf
cm
 
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 A palavra “tensão” é uma das mais importantes e, talvez a mais usada em 
Resistência dos Materiais. O valor da tensão a que está submetida uma peça de 
máquina ou estrutura, é uma indicação básica para julgarmos se a peça pode ou não 
suportar a carga que lhe será aplicada, se terá de aumentar ou diminuir suas 
dimensões, ou se vai ou não romper. 
A “TENSÃO” geralmente é representada pelas letras gregas σ (sigma) ou ζ (tau). 
σt – Na tração 
σc – Na compressão 
ζc – No Cisalhamento 
 
3.4.1 – Classificações das Tensões 
 As tensões podem ser classificadas de acordo com as reações internas que 
produzem nos corpos. 
 
As três tensões simples que estudaremos inicialmente são: 
TENSÕES NORMAIS (σ) DE TRAÇÃO, quando a peça distende. 
TENSÕES NORMAIS (σ) DE COMPRESSÃO, quando a peça encurta. 
TENSÕES TRASNSVERSIAS (ζ) DE CISALHAMENTO, quando a peça tende a ser 
cisalhada ou cortada. 
 
 
Nas Tensões Simples de: 
 
TRAÇÃO   =
P
S
t 
 
COMPRESSÃO   =
P
S
c 
 
CISALHAMENTO  =
P
S
c 
 
 
Sempre dividimos a carga (P) pela superfície (S). 
 
 
 
 
 
 
 
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3.5 - SOLICITAÇÕES: 
 Um sistema de forças pode ser aplicado num corpo de diferentes maneiras, atingindo, 
portanto, diversos tipos de solicitações, tais como tração, compressão, cisalhamento, 
flexão e torção. 
 
 Quando cada tipo se apresenta isoladamente, diz-se que a solicitação é simples. No 
caso de dois ou mais tipos agirem contemporaneamente a solicitação é composta. 
 
3.5.1 - Tração – solicitação que tende a alongar a peça no sentido da reta de ação da 
resultante do sistema de forças. 
 
 
 
3.5.2 - Compressão – solicitação que tende a encurtar a peça no sentido da reta de 
ação da resultante do sistema de forças. 
 
 
 
3.5.3 - Cisalhamento – solicitação que tende a deslocar paralelamente, em sentido 
oposto, duas seções contíguas de uma peça. 
 
 
 
 
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3.5.4 - Flexão – solicitação que tende a modificar o eixo geométrico de uma peça. 
 
 
 
 
3.5.5 - Torção – solicitação que tende a girar as seções de uma peça, uma em 
relação às outras. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3.5.6 – Simbologia das Tensões das Solicitações: 
 
 
 
 
Observações: 
 
 (sigma) e  (tau) são letras gregas. 
 
A tensão admissível (

) representa a tensão limite com o qual se pode projetar sem 
perigo de surpresas desagradáveis, isto é, a tensão abaixo da qual seguramente vale a lei 
de Hook. 
 
A tensão de trabalho (σ) é a tensão a que a peça está verdadeiramente submetida 
ou a que se pretende que esteja. 
 
 A tensão (σ) é a relação entre a força normal (P) e a área (S). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
σ é a força aplicada em cada quadradinho de área unitária 
 
σ = 
P
S
[kgf/cm²] 
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3.6 - EXERCÍCIOS - TENSÃO: 
01) Calcular a tensão de tração em cada uma das seções transversais circulares S1, S2, S3 e 
S4 da peça cônica da figura 45, submetidas a uma carga de tração [P= 600 kgf]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
02) Calcular a tensão de tração a que está submetido um cabo de aço da figura 44, com 
diâmetro (D) = 6 mm, ao aplicarmos uma carga [P= 200 kgf]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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03) Na haste da figura 43 está aplicada uma carga de tração [P = 2.800 kgf]. As dimensões 
da seção transversal (S), corte AA, são: a= 40 mm e b = 0,02 m. Calcular a tensão de 
tração (σt) a que está submetido o material por ação da carga (P) aplicada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
04) A peça da figura 51, com seção retangular nas dimensões a=100 mm e b = 0,04 m, 
suporta uma carga de compressão (P) = 12 toneladas força. Calcular a tensão de 
compressão (σc). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
05) A peça da figura abaixo foi submetida ao ensaio de compressão e sofreu ruptura com 
carga (P) de 32 toneladas força. Calcular a tensão de ruptura à compressão (σcr) do 
material. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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06) No dispositivo da figura abaixo, calcular a tensão de trabalho (σ) no núcleo do parafuso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
07) Calcular a tensão de trabalho (σ) no elo da figura abaixo, com uma carga (P) de 200 kgf 
e o fio do elo com 5 mm de diâmetro (d). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4 – EFEITO I 
 
4.1 – CONCEITO DE DEFORMAÇÃO 
 A aplicação de uma carga em qualquer material de construção fará com que o 
deforme. 
 O termo “Deformação” é usado como termo geral, para indicar a mudança na forma e 
dimensões dos corpos. 
 
 
4.2 – TIPOS DE DEFORMAÇÃO 
 
 Podemos distinguir basicamente dois tipos de deformação, Elástica e Plástica. 
 
DEFORMAÇÃO ELÁSTICA: É a reação interior que permite ao corpo deformado recuperar 
sua forma primitiva, uma vez que cesse a força deformante. 
 
DEFORMAÇÃO PLÁSTICA: É a incapacidade de reação interior do material para eliminar a 
deformação produzida, permanecendo, portanto indefinidamente deformado. 
 
 
4.3 – DEFORMAÇÃO: 
 
 A experiência ensina que a ação de qualquer força sobre um corpo altera a sua 
forma, isto é, provoca deformação. 
 Com aumento da intensidade da força, há um aumento da deformação. 
 No ensaio de tração, um fio solicitado por uma força de pequena intensidade sofrerá 
uma deformação transitória e retomará ao seu comprimento inicial quando a força for 
removida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Aumentando a intensidade da força, o fio sofrerá uma deformação permanente. 
 O ponto que separa os dois tipos de deformações é o limite de elasticidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4.4 – DEFORMAÇÃO ESPECÍFICA LONGITUDINAL (ξ) ALONGAMENTO UNITÁRIO 
 É a relação que existe entre a deformação medida em um corpo e o seu comprimento 
inicial ( l ), sendo as medidas feitas na direção da tensão, ou seja, o Alongamento unitário (ξ) 
é a relação entre o alongamento total (∆l) e o comprimento inicial ( l ). 
 
 
 
 
 
 
ξ= ALONGAMENTO UNITÁRIO [cm/cm] 
∆l = VARIAÇÃO DO COMPRIMENTO [cm] (∆l = lf-l ) 
l = COMPRIMENTO INICIAL [cm] 
 
 
 
Observe que a deformação unitária é medida em cm (mm, m, etc.) de deformação por cada 
unidade de comprimento em cm (mm, m, etc.). 
 
 O Alongamento Unitário (ξ) pode ser expresso também em porcentagem (%), para 
tanto é só multiplicar o resultado da operação por cem (x100%) e acrescentar o sinal de por 
cento (%). 
 
4.4.1 – EXEMPLO 
Uma barra de comprimento inicial ( l ) =10 cm, após a deformação, por ação da carga (P), 
está com o comprimento ( lf ) =12,4 cm. Qual será a sua deformação total ( ξ )? 
 
a) Dadosdo problema: 
l= 10,0cm 
lf =12,4 cm 
ξ = ? 
 
b) Fórmula Geral: 
 
 
c) Variação do Comprimento (∆l): 
∆l = lf-l 
∆l =12,4 cm – 10,0 cm 
∆l = 2,4 cm 
 
d) Alongamento Unitário (ξ): 
ξ= ∆l / l 
ξ= 2,4 cm / 10,0 cm 
ξ= 0,24 
 
e) Alongamento unitário em porcentagem (ξ%) 
ξ%= ξ * 100% 
ξ%= 0,24 * 100%   ξ%= 24% 
[ ]


l cm
l cm
 



l
l
 
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4.4.2 – EXERCÍCIOS – ALONGAMENTO UNITÁRIO: 
01) Um fio de 5.000 mm de comprimento (l) e 0,02 cm² de área (S) sofre um alongamento 
total ( Δl ) de 1 mm para uma carga (P) de 75 kgf. Calcular o alongamento unitário (ξ). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
02) Um fio de comprimento (l) de 30 cm e diâmetro (d) de 1 mm submetido ao ensaio de 
tração e, com uma carga (P) de 40 kgf, obteve-se um alongamento total ( Δl ) de 0,08 
cm. Calcular o alongamento unitário (ξ), o alongamento percentual (ξ%), tensão (σ) e 
módulo de elasticidade (E). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
03) Uma barra de aço de 250 mm de comprimento (l) e seção quadrada de 0,05 m de lado 
(a), foi submetida a uma força axial (P) de tração de 50 kgf. Experimentalmente 
determinou-se a percentagem de alongamento unitário longitudinal (ξ%) de 0,1%. 
Calcular o seu comprimento final (lf). 
 
04) Uma barra de seção circular de diâmetro (d) 1.1/4” está sujeita a uma força de tração (P) 
de 5.000 kgf. Sabendo-se que seu comprimento inicial ( l ) é de 8” e seu módulo de 
elasticidade (E) é de 0,8*106 kgf / cm², determine a sua tensão normal (σ), a sua 
deformação específica (ξ) e a variação de comprimento (∆l). 
 
 
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4.5 – DEFORMAÇÃO ESPECÍFICA TRANSVERSAL (ξt) - LEI DE POISSON 
 Poisson determinou experimentalmente a deformação que as peças sofrem nas 
direções perpendiculares a da aplicação da tensão normal. 
 Deformação específica transversal (ξt) é a relação entre a deformação apresentada e 
o seu comprimento respectivo, ambos medidos em direção perpendicular à tensão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ξt = DEFORMAÇÃO ESPECÍFICA TRANSVERSAL [cm/cm] 
∆D = VARIAÇÃO DO DIÂMETRO [cm] - (∆D = Df - D) 
D = DIÂMETRO INICIAL (cm) 
 
 As deformações específicas longitudinais e transversais são proporcionais em um 
mesmo material. 
ξ e ξt tem sempre sinais contrários. 
 
 
 
 
 
 
 - μ = Coeficiente de Poisson 
ξt= DEFORMAÇÃO ESPECÍFICA TRANSVERSAL [cm/cm] 
ξ= ALONGAMENTO UNITÁRIO [cm/cm] 
 
Em uma mesma seção transversal a deformação específica transversal é constante 
para qualquer direção perpendicular ao eixo. 
 
 
[ ]


D cm
t
D cm
 



 
t
 
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4.5.1 – EXEMPLO 
Uma barra de diâmetro inicial (D) = 3 cm, está tracionada com uma força axial (P) de 50 KN. 
Determinar a deformação específica transversal (ξt) sabendo que seu diâmetro final (df) ficou 
em 2,9994144 cm. 
 
a) Dados do problema: 
D= 3,0cm 
Df =2,9994144 cm 
ξt = ? 
 
 
a) Fórmula Geral: 
 
 
c) Variação do Diâmetro (ΔD): 
∆D = Df - D 
∆D = 2,9994144cm – 3,0 cm 
∆D = - 5,856*10-4 cm  - 0,0005856 cm 
 
d) Deformação Específica Transversal (ξt): 
 
ξt = ∆D / D 
ξt = -5,856*10-4 cm / 3,0 cm 
ξt = -1,952*10-4  - 0,0001952 
 
e) Alongamento unitário em porcentagem (ξt%) 
ξt% = ξt * 100% 
ξt% = -1,952*10
-4* 100%  - 0,0001952 * 100% 
ξt% = -0,01962% 
 
 
 
4.5.2 – EXERCÍCIOS – DEFORMAÇÃO ESPECÍFICA TRANSVERSAL (ξt) 
01) Uma barra de latão de seção circular com diâmetro (d) de 40 mm está tracionada com 
uma força axial (P) de 60kN. Determinar a diminuição de seu diâmetro (ΔD) e seu 
alongamento unitário (ξ), sabendo-se que seu módulo de elasticidade longitudinal (E) é 
de 1,08 * 104 kN /cm² e seu coeficiente de Poisson (µ) é de 0,3. 
 
 
02) Uma barra de seção quadrada com 60 mm de lado (a) e 300 mm de comprimento (l) 
suporta uma força de compressão (P) de 200kN. Sendo o seu módulo de elasticidade 
(E) de 2,4 * 104 kN / cm² e seu coeficiente de Poisson (µ) de - 0,2, qual é a sua variação 
de altura (Δa). 
 
 
 
 
 



D
t
D
 
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - SILVIO PAVANI -Data: AGOSTO / 2015 
 
5 – RELAÇÕES 
5.1 - DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO 
 O ensaio de tração consiste em aplicar num corpo de prova uma força axial com o 
objetivo de deformá-lo até que se produza sua ruptura. 
 
O ensaio é feito com auxílio do extensômetro, esquematizado a baixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Aumentando-se a tensão, a deformação também vai aumentando e os resultados da 
experiência podem ser mostrados por um gráfico, marcando em abscissas as deformações 
(alongamento unitário) e em ordenadas as tensões. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 – Zona elástica  deformação transitória 
2 – Zona plástica  deformação permanente 
1 – Zona de ruptura 
O gráfico representa o caso típico do aço doce 
 (baixo teor de carbono) 
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - SILVIO PAVANI -Data: AGOSTO / 2015 
 
 Até o ponto (P), o gráfico é uma reta. Neste trecho é válida a lei de HOOK, que diz: 
 
 O ponto (P) é o limite de elasticidade e a tensão correspondente é a tensão de 
proporcionalidade (kp). 
 No trecho (PE) ainda se verifica a elasticidade, mas já não é pura, pois se tem um 
misto de deformações elásticas e deformações permanentes. 
 
De fato, cessando as solicitações o corpo 
de prova não readquire completamente o 
formato primitivo, mas tenderá a este, 
permanecendo parcialmente deformado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Depois do ponto (E) a tensão sofre oscilações desordenadas enquanto o material vai 
se deformando com grande fluidez. Este fenômeno é chamado de escoamento e a tensão 
correspondente tensão de escoamento ( ke ). 
 
 Convém frisar que o escoamento é característico nos aços doces e outros materiais. 
Ele marca o início das grandes deformações permanentes. 
 Continuando o ensaio, nota-se que a curva toma um aspecto definido até atingir o 
ponto (R), onde se verifica a ruptura do corpo. Este ponto é o limite de ruptura e a tensão 
atingida é a tensão de ruptura( kr ) 
 Todos os materiais apresentam, com variantes mais ou menos acentuadas, o 
mesmo comportamento, e o diagrama terá sempre aspecto semelhante, apesar de alguns 
trechos se confundirem para alguns materiais e se evidenciarem para outros. 
 No aço duro, por exemplo, não se verifica o escoamento enquanto o chumbo e o 
estanho são caracterizados por isto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As deformações são diretamente proporcionais às tensões que as produzem. 
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - SILVIO PAVANI -Data: AGOSTO / 2015 
 
5.2 – MÓDULO DE ELASTICIDADE (E) COEFICIENTE DE PROPORCIONALIDADE 
 
É a medida da “resistência à deformação”, é a medida da “rigidez” do material. Quanto maior 
for o valor do Módulo de Elasticidade (E), menor deformação sofrerá o material. O módulo 
de elasticidade do material fornece a relação entre a tensão de tração aplicada a um corpo 
deste material e o alongamento (ou encurtamento, no caso de compressão) por unidade de 
comprimento. Essa grandeza tem a mesma dimensão da tensão e pressão, tendo, por isso 
como unidade o kgf/cm², kgf/mm², e no Sistema Internacional de medidas (SI) o pascal (Pa). 
 
 
 
 
 
 
E= MÓDULO DE ELASTICIDADE (kgf/cm²) 
σ= TENSÃO (kgf/cm²) 
ξ= ALONGAMENTO UNITÁRIO (
2 2
/
kgf kgf
cm cm
) 
 
Exemplos de valores para o Módulo de Elasticidade: 
Aço Fundido: 2.000.000 kgf/cm² 
Aço Doce: 2.200.000 kgf/cm² 
Alumínio: 700.000 kgf/cm² 
Ferro Fundido: 800.000 kgf/cm² 
 
- Alterando a fórmula do Módulo de Elasticidade temos: ξ= σ / E 
 
- Usando a fórmula do Alongamento unitário temos: ξ= ∆l/l. 
- Combinando as duas fórmulas ξ= ∆l/l e ξ= σ / E teremos: 
 
l
l E

∆l = VARIAÇÃO DO COMPRIMENTO [cm] (∆l = lf-l ) 
P= Força (carga aplicada) (kgf) 
l = Comprimento Inicial (cm) 
E= Módulo De Elasticidade (kgf/cm²) 
S= Área (superfície) (cm²) 
 
E = 


 
*
*
 
P l
l
E S
 [cm] 
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5.2.1 - EXERCÍCIOS – ALONGAMENTO UNITÁRIO (ε) x MÓDULO DE ELASTICIDADE (E) 
01) Calcular o alongamento total (Δl) de um fio de aço doce com diâmetro (d) de 2 mm e 
comprimento (l) de 0,2 m ao ser solicitado com uma carga (P) de 30000 gramas força. 
 
02) Calcular o alongamento total (∆l) de um fio de cobre com diâmetro (d) de 2 mm e 
comprimento (l) de 500 mm quando lhe é aplicado uma carga (P) de 20kgf. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
03) Calcular a força (P) necessária para alongar (∆l) de 1 mm um fio de cobre de 
comprimento (l) de 2 m e diâmetro (d) de 4 mm. 
 
04) Calcular as deformações λ1, λ2 e λ3 (∆l) das três hastes da figura 27, todas com a mesma 
seção transversal (S) = 2cm² e comprimento inicial (l) = 70 cm, quando aplicarmos uma 
carga de tração (P) = 4000 kgf. Para aço doce, latão para fio máquina (E= 1050000 
kgf/cm²) e alumínio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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05) No problema 5, para que as deformações de todas as hastes sejam iguais as do aço 
(∆l1= λ1= 0,06364 cm) = (∆l2= λ2) = (∆l3= λ3), quais deverão ser as seções transversais S2 
da haste de latão fio máquina e S3 da haste do alumínio. 
 
06) Calcular o encurtamento (∆l) dos pés com 80 cm de altura (l) sendo o diâmetro externo 
(D) do tubo do pé igual a 5 cm e o diâmetro interno (d) do tubo do pé igual a 4 cm de 
uma mesa que está submetida a uma carga (P) de 12 toneladas força. O material do 
tubo dos pés é de aço meio carbono. 
 
 
 
 
 
07) Qual o valor do módulo de elasticidade (E) do material de uma peça, com seção (S) = 5 
cm², comprimento (l) = 120 cm, que ao aplicarmos uma carga de tração (P) = 12000 kgf, 
apresenta uma deformação (∆l) de 0,136cm. 
 
08) Qual o aumento de comprimento (∆l) que sofre a coluna de uma prensa com capacidade 
(P) = 300 toneladas força, diâmetro (d) das colunas 11cm e o comprimento (l) = 220 cm, 
sendo construída de aço estrutural. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
09) Se desejarmos reduzir a deformação (∆l) pela metade de seu valor, ou seja, ∆l =∆l ÷ 2. 
Qual será o diâmetro (D1) da coluna. 
 
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6 – COEFICIENTE DE SEGURANÇA 
 No dimensionamento dos elementos de máquinas admitem-se apenas deformações 
elásticas. Os cálculos podem ser de verificação ou de dimensionamento. 
 No primeiro caso escolhem-se as dimensões e depois se verifica se a Tensão de 
Trabalho (k) não ultrapassou a Tensão Admissível ( k ). 
 No segundo caso, o processo é inverso: as dimensões são calculadas admitindo-se a 
tensão de trabalho (k), com critério de segurança. 
 A Tensão de Trabalho Admissível ( k ) fixada deve ser bem inferior à tensão de ruptura 
(kr). Seu valor é determinado dividindo-se a tensão de ruptura (kr) por um coeficiente n 
chamado de segurança (Fator de Segurança). 
 
 k = Tensão de trabalho admissível (kgf/cm²) 
 rk = Tensão de ruptura (kgf/cm²) 
 n = Fator de Segurança 
 
A escolha do Fator de Segurança (n) requer muito bom senso por parte do projetista, 
entretanto, numa primeira aproximação, pode-se adotar o seguinte: 
 
 
n = A*B*C*D 
 
 
 rk = Tensão de ruptura (kgf/cm²) 
 pk = Tensão de proporcionalidade (kgf/cm²) 
 
2,0 – para materiais comuns 
1,5 – para Aço Ni Cr, forjado, temperado. 
 
FATOR B 
1,0 – para carga contínua 
2,0 – para carga intermitente 
3,0 – para carga alternada 
 
FATOR C 
1,0 – para carga aplicada lenta e gradualmente 
2,0 – para carga aplicada repentinamente (CHOQUE) 
 
FATOR D: 
Fator que considera as possíveis cargas acidentais, imperfeições do material, etc. 
Para materiais de boa procedência, sem sobre - carga: 
 
1,5 – para os aços 
2,0 – para o ferro fundido 
 
k = 
rk
n
 
FATOR A= 
r
p
k
k
 = 
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6.1 – TENSÕES ADMISSÍVEIS SEGUNDO BACH: 
As tensões admissíveis segundo BACH para os aços carbono podem ser obtidas na tabela 
da página 3.15 do Prontuário do Projetista. 
Nesta tabela foram considerados três tipos de carregamento: 
a) CARREGAMENTO ESTÁTICO ( I ) 
A carga aplicada se mantém constante (exemplo: Vigas das estruturas). 
 
 
 
 
 
 
 
b) CARREGAMENTO INTERMITENTE ( II ) 
A carga é aplicada periodicamente (exemplo: Dentes de engrenagem). 
 
 
 
 
 
 
 
c) CARREGAMENTO ALTERNADO ( III ) 
A carga aplicada varia continuamente de sentido (exemplo: eixos à flexão). 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBSERVAÇÃO: 
 Os aços distinguem-se em laminados e trefilados. Os aços trefilados apresentam 
características técnicas superiores aos laminados. 
 As barras, as chapas e os perfis são obtidos a quente nos laminadores, enquanto os 
trefilados são obtidos a frio por meio de fieiras. 
A fieira é uma ferramenta cilíndrica que contém um furo no centro por onde passa o fio, e 
cujo diâmetro vai diminuindo. Assim seu perfil apresenta o formato de um funil. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6.2 – EXERCÍCIOS – COEFICIENTE DE SEGURANÇA 
01) Calcular a força (P) capaz de romper um arame de aço trefilado ABNT 1030 de diâmetro 
(d) = 2,00 mm. 
 
02) Calcular o diâmetro (d) do arame de uma corrente de aço ABNT 1040 laminado 
destinada a resistir a uma carga (P) intermitente de 1 tonelada força. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) No dispositivo da figura abaixo com carregamento estático, a bucha é de aço ABNT 1010 
laminado e o parafuso é de aço ABNT 1030 laminado. Calcular os diâmetros do parafuso 
(do), interno da bucha (d) e externo da bucha (D) quando a porca exerce uma força axial 
(P) de 02 toneladas força. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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04) Escolher o cabo de aço para um elevador de baixa velocidade, cabine de 300 kgf e 
carga máxima de 700 kgf. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
05) Dimensionar a seção (S) dos montantes da prensa manual, com uma carga máxima 
(Ptotal) igual a 3,2 toneladas força, sendo construída de ferro fundido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Baseado no problema 5, considerar as seguinte dimensões para o perfil “H”: 
 
 
 
 b = 4 cm 
 H = 3 cm 
 d = 6 cm 
 
 
 
Conforme a fórmula do PROTEC Projetista página 3.22, S= Hd–b*(H-h), calcular a 
espessura da alma “h”. 
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6.3 – TENSÕES ADMISSÍVEIS PARA SOLDA: 
 Para o esforço de tração em uma solda de topo em V ou X, vale a seguinte fórmula 
experimental: 
 
FÓRMULA GERAL: 
 
t =
*( 1,6)
P
S b
 
 
 
t = Tensão Admissível de Tração (kgf/cm²) 
P = Força (kgf/cm²) 
S = Espessura (cm) 
b = Comprimento do Cordão de Solda (cm) 
1,6 = Constante 
 
 
 
 
 
 
Onde os valores da Tensão Admissível ( t ) para solda a arco são os seguintes: 
a) Carregamento I (Estático)  t = 900 kgf/cm² 
b) Carregamento II (Intermitente) t = 600 kgf/cm² 
c) Carregamento III (Alternado)  t = 250 kgf/cm² 
 
 
6.3.1 – EXERCÍCIOS – TENSÃO ADMISSÍVEL PARA SOLDA 
01) Calcular o comprimento (b) do cordão de solda para uma altura (s) de 0,5 cm e 
uma carga de tração de 500 kgf com carregamento intermitente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6.4 – RESERVATÓRIOS DE PAREDES FINAS: 
6.4.1- RESERVATÓRIOS CILÍNDRICOS: 
 Reservatórios cilíndricos de paredes finas nada mais são do que tubos com as 
extremidades fechadas por tampos planos, planos flangeados, toriesféricos, cônicos, 
toricônicos, semi–esféricos, etc. 
 
 
 
 Podemos notar que a ação da pressão sobre as paredes longitudinais do reservatório 
exerce o mesmo efeito que nos tubos, e que a ação da pressão nas paredes de fechamento 
faz com que a tendência do reservatório seja de aumentar o seu comprimento, sugerindo o 
aparecimento de tensões na direção do eixo do reservatório chamadas de tensões 
longitudinais (σ longitudinal) e tensões na direção transversal do eixo do reservatório 
chamadas de tensões circunferênciais (σ circunferêncial), que poderíamos calcular fazendo 
um corte transversal no reservatório. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.4.1.2 – FÓRMULAS PARA RESERVATÓRIOS CILÍNDRICOS: 
Tensão Circunferêncial (σcirc) 
 
 σcirc= 
*pi ri
t
 S= 
*
t
pi ri

 
 
σcir =Tensão Admissível (kgf/cm²) S= Espessura da parede (cm) 
pi = Pressão interna (kgf/cm²) pi= Pressão interna (kgf/cm²) 
ri = Raio interno (cm) [D/2] ri= raio interno (cm) [D/2] 
t = Espessura da parede (cm) σt =Tensão Admissível (kgf/cm²) 
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Tensão Longitudinal (σlong) 
 
 σlong= 
*
2*
pi ri
t
 S= 
*
2* t
pi ri

 
 
σlong =Tensão Admissível (kgf/cm²) S= Espessura da parede (cm) 
pi = Pressão interna (kgf/cm²) pi= Pressão interna (kgf/cm²) 
ri = Raio interno (cm) [D/2] ri= raio interno (cm) [D/2] 
t = Espessura da parede (cm) σt =Tensão Admissível (kgf/cm²) 
 
6.4.2 - RESERVATÓRIOS ESFÉRICOS: 
 Quando submetido à pressão um reservatório esférico de parede fina desenvolve 
tensões circunferenciais em todas as direções, pois todas as direções formam 
circunferências. Um elemento de área da parede deste reservatório seria representado: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.4.2.1 – FÓRMULAS PARA RESERVATÓRIOS ESFÉRICOS: 
Tensão Circunferêncial (σcirc) 
 σcirc= 
*
2*
pi ri
t
 S= 
*
2* t
pi ri

 
 
σcir =Tensão Admissível (kgf/cm²) S= Espessura da parede (cm) 
pi = Pressão interna (kgf/cm²) pi= Pressão interna (kgf/cm²) 
ri = Raio interno (cm) [D/2] ri= raio interno (cm) [D/2] 
t = Espessura da parede (cm) σt =Tensão Admissível (kgf/cm²) 
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6.4.3 – EXERCÍCIOS – RESERVATÓRIO DE PAREDE FINA 
01) Calcular a espessura (s) de um tubo de ferro fundido com diâmetro médio (d) de 70 mm, 
destinado a suportar uma pressão interna máxima (Pi) de 40 kgf/cm². 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
02) Calcular a espessura das chapas de aço ABNT 1020 de um reservatório esférico de gás, 
com pressão interna máxima (Pi) de 20 kgf/cm² e de diâmetro (d) igual a 2,00 metros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
03) Calcular a espessura (s) do tubo de aço ABNT 1010 com diâmetro interno (di) de 150 
mm e o número de parafusos w 5/8” para suportar uma pressão interna (Pi) de 40 
kgf/cm². 
 
 
 
 
 
 
 
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04) O tanque de um compressor de ar é formado por um cilindro fechado nas extremidades 
por calotas semiesféricas. O diâmetro interno (di) do cilindro é de 60 cm e a pressão 
interna (Pi) é de 35 kgf/cm². Se o material com que é feito o cilindro e os tampos é de 
aço com limite de escoamento (σe) igual a 2.400 kgf/cm² e o coeficiente de segurança (n) 
adotado de 3,5, pede-se para determinar a espessura (s) da parede do cilindro e das 
calotas desprezando-se os efeitos da ligação com as calotas. 
OBS.: Num cálculo mais rigoroso seria necessário levar em conta e dimensionar a 
ligação. 
 
 
 
 
 
 
 
05) Um tanque de gasolina com eixo vertical está cheio a partir da extremidade inferior (h) 
com 12 metros de líquido, tendo a gasolina peso específico(γ)de 7,4 kN/m³. O tanque 
tem o diâmetro interno (di) de 26 metros e sendo o limite de escoamento do material 240 
MPa, calcular com a segurança n = 2, a espessura (s) necessária da parede na sua 
parte mais baixa. Qual seria esta espessura (s1) se a eficiência da ligação da solda da 
parede e do fundo fosse de 85%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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7 – SOLICITAÇÃO II: 
 A figura 1 representa, de uma forma ampliada, um conjunto de moléculas de um 
corpo em repouso, simbolicamente representadas por pequenos círculos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A figura 2 mostra as mesmas moléculas submetidas a um esforço de tração (σt), e 
como conseqüência, aumentou de comprimento no sentido da força (P) aplicada, ficando 
deformadas, adquirindo a forma de pequenas ovais. É uma solicitação de Tração. 
 A figura 3 mostra as mesmas moléculas, submetidas agora, a um esforço de 
compressão (ζc), mostrando as moléculas achatadas no sentido da força (P). É uma 
solicitação de Compressão. 
 
 Ambas as solicitações, dentro dos limites elásticos dos materiais (Lei de HOOK), 
tracionam ou comprimem as moléculas, sem, no entanto, romperem à estrutura molecular. 
 
 Vamos agora colocar as nossas moléculas entre as peças (A e B) da figura 4. Ao 
movimentarmos a peça (A) no sentido da força (T) e na direção da linha (a-b) da figura 5, as 
moléculas colocadas nesta linha (a-b) deformam-se proporcionalmente ao valor (T). A este 
tipo de “solicitação” denominamos de CISALHAMENTO. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A figura 5 indica uma solicitação de cisalhamento dentro do período elástico, que é o 
caso de peças que devem suportar, com segurança, este tipo de solicitação. 
 
 
 
 
 
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 Naturalmente que a deformação que sofre o material é proporcional ao valor da força 
aplicada, e dentro dos limites de elasticidade (Lei de HOOK), é diretamente proporcional ao 
valor da força (T). 
Se o valor da força (T) for aumentado, até que o material entre no período plástico e 
após a ruptura, pela completa separação das moléculas no plano (a-b), dizemos que a peça 
foi cisalhada ou produziu-se o “CORTE”, como indicado na figura 6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A figura 6 indica uma solicitação de cisalhamento dentro do período de ruptura, que é 
o caso do corte de materiais (tesoura, guilhotina, punções, etc.). 
 
 
7.1 – DEFINIÇÃO DE CISALHAMENTO: 
 Dizemos que a seção de uma peça está “solicitada” por “CISALHAMENTO”, quando 
suporta ou está submetida a duas forças opostas (que atuam tangencialmente), contidas na 
seção considerada. Que tendem a separá-la em duas partes. Deslizando uma sobre a outra, 
segundo o plano de seção de corte. 
 A noção de cisalhamento não se relaciona propriamente ao corpo; mas sim a uma 
seção determinada deste corpo. 
 É comum, também, a denominação de “ESFORÇO CORTANTE” para a solicitação de 
“Cisalhamento”. 
 
 
7.2 – EXEMPLOS DE CISALHAMENTO: 
 O melhor exemplo de cisalhamento é de uma tesoura, figura 8, ou de uma cisalha, 
figura 9, onde as duas navalhas permitem aplicar o esforço de cisalhamento, dentro de um 
plano definido, contendo a seção cisalhada. 
 
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 O princípio básico de cisalhamento ou “cisalhamento ideal” está apresentado na figura 
10; é uma chapa (A) apoiada no fio da lâmina fixa (1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A figura 11 esquematiza ação das forças (T), quando a lâmina (2) entra em contato 
com a chapa. Elas estarão numa situação de equilíbrio, com a condição de que as duas 
forças estejam contidas no mesmo plano da seção. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Outro exemplo é o da figura 12, em que uma peça engastada e fixa numa prensa, 
com ofio da lâmina deslizando no plano da seção engastada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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7.3 – EXEMPLOS DE CISALHAMENTO CONSIDERADOS IDEAIS: 
 A seção cisalhada pode não ser plana, mas cilíndrica. Um exemplo é o punção da 
figura 13, que permite cisalhar uma superfície cilíndrica. 
 
 
 Praticamente quando cisalhamos uma chapa, figura 14, estas serão amassadas em 
parte, devido à pressão das lâminas. Depois se separam em duas partes, que deslizam uma 
em relação à outra, segundo o plano de corte (a-b). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O fenômeno de cisalhamento é acompanhado de um amassamento e flexão. 
Da mesma forma, as forças (T) que se exercem sobre um rebite, figura 15, ou sobre 
uma chaveta, figura 16, não estão aplicadas ou não passam pelo mesmo plano de ação (ou 
plano de corte), produzindo, portanto, também amassamento e flexão. 
Admitiremos, no entanto, que estejam suficientemente próximas, e, portanto 
cisalhando segundo uma única seção reta (a-b). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Da mesma forma, no parafuso de fixação das chapas da figura 17; admitiremos que 
tende a cisalhar segundo as duas seções retas (a-b e c-d). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim também o pino de articulação da figura 18, que tende a cisalhar segundo os 
planos (a-b e c-d). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os momentos, em relação ao centro de gravidade da seção (S) não são nulos, 
apresentam também movimento de flexão. 
 
Nestes diversos exemplos (com exceção dos apresentados nas figuras 6, 8, 9, 10, 11, 
12, 13 e 14), o cisalhamento não é perfeito na seção de corte “S”, porque os esforços estão 
repartidos além da seção. 
 
 
 
 
 
 
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8. – CISALHAMENTO EM ELEMENTOS DE MÁQUINAS: 
 No cisalhamento, como já foi visto, a peça é solicitada por duas forças 
próximas, paralelas e de sentidos contrários. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A seção (S) resiste a força cortante (P) que é paralela à linha de ação desta 
força e quando o limite de resistência é ultrapassado há um deslizamento nesta área. 
 A força que age em cada quadradinho de área unitária da superfície (S) é a 
tensão de cisalhamento ( c ). 
 
 
c = 
P
S
 
 
c = Tensão de Cisalhamento [ kgf/cm² ] ou [ kgf/mm² ] 
P= Força (carga aplicada) [kgf] 
S= Área (superfície) [cm²] ou [mm²] 
 
 O dimensionamento de peças submetidas a cisalhamento é feito tomando-se 
como base os valores das tensões admissíveis ( c ) fornecidos pela tabela de BACH. (Vide 
Prontuário do Projetista página 3.15) 
 
 Faltando maiores informações, pode-se tomar a seguinte fórmula: 
 
c = 
2
3
.σt 
 
ou 
 
c = 
3
4
.σt 
 
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8.1 – FLUXOGRAMA PARA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE CISALHAMENTO 
 
 
 
 
 
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8.2 – CÁLCULO DO CISALHAMENTO PARA SOLDA: 
 Para o esforço de cisalhamento numa solda angular vale a seguinte fórmula 
experimental: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c =
0,75*( 0,8)*( 0,1 )
P
l a s 
 
 
 
c = Tensão Admissível de Cisalhamento [ kgf/cm² ] ou [ kgf/mm² ] 
P= Força (carga aplicada) (kgf) 
l = Comprimento de solda (cm) 
a= altura do cordão de solda (cm) 
s= largura do cordão de solda (cm) 
0,75 = constante 
Valores da tensão admissível c para solda a arco: 
 
Carga Estática: (Carregamento I) 750 kgf/cm² 
Carga Intermitente: (Carregamento II) 500 kgf/cm² 
Carga Alternada: (Carregamento III) 200 kgf/cm² 
 
 
 
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8.3 – REBITES: 
 
 Destacam-se três tipos de rebitagem: 
a) De força: União de chapas ou cantoneiras (poucos rebites de maior diâmetro). 
Exemplo: Estruturas Metálicas. 
 
b) De estanque: calefação sem grandes esforços (mais rebites de menor diâmetro). 
Exemplo: Caixa de Água. 
 
c) De força e estanque: Para calderaria (mais rebites de maior diâmetro). 
Exemplo: Vasos de Pressão. 
 
Os rebites podem ser de aço doce, alumínio ou cobre. 
 
 
8.3.1 – JUNTAS REBITADAS: 
 Nas juntas rebitadas, além do cálculo da seção (S) transversal (ou diâmetro do rebite) 
para resistir ao esforço de cisalhamento, teremos de calcular e evitar o cisalhamento da 
chapa pelo rebite. 
 Teremos de manter uma distância (b) MÍNIMA, entre o centro do rebite a extremidade 
da chapa, FIGURA 45. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na realidade, a condição que deve ser satisfeita é a de que a resistência oferecida 
pelas duas seções cisalhadas (S1) da chapa, deve ser no mínimo igual à resistência 
oferecida pela seção transversal (S) do rebite. 
 
Ou 
 
 
 
 
 
 
 
 
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8.3.1.1 – ESFORÇO DE CISALHAMENTO SOBRE O REBITE: 
 De acordo com a fórmula básica  = T / S ( = P
S
) a carga (T) sobre o rebite ( r ) é 
igual a: 
 
 
Tr= Sr* r 
 
 
Tr= Carga sobre o Rebite ) [kgf] 
Sr= Seção do Rebite (superfície) [cm²] 
r = Tensão de Cisalhamento do Rebite [ kgf/cm² ] ou [ kgf/mm² ] 
 
 
8.3.1.2 – ESFORÇO DE CISALHAMENTO SOBRE A CHAPA: 
 Para as DUAS seções (S1) da chapa ( c ) atrás do rebite, sujeitas ao cisalhamento 
será: 
 
 
Tc= 2*S1* c 
 
 
Tc= Carga sobre a Chapa atrás do Rebite [kgf] 
S1= Seção da Chapa atrás do Rebite (superfície) [cm²] 
c = Tensão de Cisalhamento da Chapa atrás do Rebite [ kgf/cm² ] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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8.4 – EXERCÍCIOS SOBRE CISALHAMENTO DE ELEMENTOS DE MÁQUINAS: 
01) Calcular a carga (P) para cortar na transversal uma chapa retangular, figura abaixo, com 
500 mm de comprimento, 5 centímetros de largura (l) e 4 mm de espessura (s), 
fabricada de aço ABNT 1020 laminado, para as duas fórmulas do cisalhamento. 
 
 
 
 
 
02) Calcular a carga (P) para cortar uma chapa, conforme a figura abaixo, em um só golpe 
de uma prensa, com bitola USSG 14 fabricada de aço ABNT 1030 laminado, para as 
duas fórmulas do cisalhamento. 
 
 
 
 
 
 
03) No dispositivo de segurança, conforme a figura abaixo, o arame de aço ABNT 1040 
trefilado, deverá quebrar-se com uma força tangencial de 50 kgf. Calcular o diâmetro do 
arame para as duas fórmulas do cisalhamento. 
 
 
 
 
04) Calcular o comprimento de solda (l) para suportar um esforço de cisalhamento numa 
solda angular de 1.000 kgf, carga (P) intermitente, sabendo que a largura (s) é de 5 mm 
e a altura (a) é de 3,5 mm. 
 
 
 
 
 
05) Calcular o diâmetro do rebite aço ABNT 1010 trefilado, da figura abaixo, e a medida (b) 
da chapa de aço ABNT 1010 laminado, para um carregamento estático de 200 kgf. 
 
 
 
 
 
 
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06) Considere que o pino da junta da figura abaixo possui um diâmetro (d) igual a 12,5 mm e 
a força (P) é igual a 37,50 kN que age no sistema. Admita a distribuição de tensões de 
cisalhamento uniforme. Qual o valor destas tensões no plano a-a’ e b-b’. 
 
 
 
 
 
 
 
 
07) Ao se aplicar uma força (P) de 72 kN, a peça de madeira se rompe ao longo da 
superfície tracejada. Determine a tensão (ζC) de cisalhamento média na superfície de 
ruptura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
08) Sabendo que a tensão ao cisalhamento (ζC) de uma chapa de aço é de 330 MPa, 
determine: 
a) A força (P) necessária para produzir por punção um furo de 30 mm de diâmetro (d) em 
uma chapa com 9 mm de espessura (e). 
 
b) A tensão normal (σc)correspondente na haste do furador. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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09) A placa indicada na figura abaixo é presa a base por meio de 03 parafusos de aço. A 
tensão de (ζC) do aço é de 331 MPa e a força (P) aplicada é de 106,7 kN. Utilizando-se 
um coeficiente de segurança (n) de 3,5. Determine o diâmetro (d) do parafuso a ser 
usado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10) A ligação AB está sujeita à uma força de tração de 27 kN. Determine: 
a) O diâmetro (d) do pino no qual a tensão média ( c ) permitida é de 100 MPa. 
b) A largura (b) da barra para a qual a máxima tensão normal (
_
C ) será de 120 MPa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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9. - BIBLIOGRAFIA 
Mecânica dos Materiais; James M. Gere; 5° Edição; 2003; Editora THOMSON 
Resistência dos Materiais; R.C. Hibberler; 7° Edição; 2010; Editora PEARSON 
Mecânica Técnica e Resistência dos Mat.; Sarkis Melconian; 18° Edição; 2007; Editora ÉRICA 
Ciência dos Materiais; James F. Shackelford; 6° Edição; 2013; Editora PEARSON 
Resistência dos Materiais; Manoel H.C. Botelho; 2° Edição; 2008; Editora BLUCHER 
Resistência dos Materiais – Volume I; Stephen P.Timoshenko; 4° Edição; 1967; Editora Livro 
Técnico 
 
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR: 
Projetista de Máquinas Eng. Francesco Provenza PRO-TEC F. PROVENZA 
Apostila de Resistência dos Materiais Eng. Prof. Paulo F. Tonding 1977 
Apostila de Resistência dos Materiais Eng. Prof. Silvio Pavani 12° Edição 2015 
Construções Metálicas Eng. Francesco Provenza PRO-TEC 1990 F. PROVENZA 
Resistência dos Materiais Eng. Hiran R. de Souza PRO-TEC 1995 F. PROVENZA