CEMAT_ Aulas

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1
MET 1831 CEMAT – 2009.1
Profa. Ivani de S. Bott
bott@puc-rio.br
OBS: Estas notas de aula foram feitas com base na apostila do 
Prof. Sidnei Paciornik
2
1. Introdução 
Objetivo. Os materiais na Engenharia. Os materiais de Engenharia. 
2. Ligação Atômica. Uma revisão. 
Modelos de átomos. Ligações químicas. 
3. Ordenação Atômica dos Materiais. 
Cristalinidade. Estrutura cristalina. Sistemas cristalinos. Indexação de pontos, direções e planos em cristais. 
Difração de R-X. 
4. Desordem atômica dos Materiais. 
Cristais perfeitos, imperfeitos e materiais amorfos. Defeitos na rede cristalina : pontuais, lineares, superficiais e 
volumétricos. Vibrações atômicas. Difusão. 
5. Diagramas de Fase. 
Definição de fase. Diagramas de fase de substâncias puras ou elementos. Diagrama isomorfo. Regra da alavanca. 
Diagrama eutético. Diagrama ferro-carbono. 
6. Propriedades Mecânicas. 
Propriedades vs. estrutura. Diagrama tensão e deformação de engenharia e real. 
Caracterização mecânica dos materiais: limite de resistência, limite de escoamento, ductilidade. 
7. Os Materiais Metálicos. 
Deformação elástica. Deformação plástica. Escoamento e encruamento. Endurecimento, recuperação, 
recristalização e crescimento de grão. Fratura. Fadiga. Fluência. Efeitos de Radiação. 
8. Os Materiais Cerâmicos. 
Estrutura cristalina e fases amorfas. Comportamento mecânico, elétrico e óptico. 
9. Os Materiais Poliméricos. 
Estrutura. Reações de Polimerização. Termoplásticos e termofixos. Aditivos. Propriedades mecânicas. 
10. Os Materiais Compósitos. 
Classificação. Propriedades mecânicas. Regra das Misturas. 
PROGRAMA - MET 1831 
mailto:bott@puc-rio.br
mailto:bott@puc-rio.br
mailto:bott@puc-rio.br
3
AVALIAÇÃO Critério 5 
PROGRAMA - MET 1831 
BIBLIOGRAFIA PRINCIPAL W.D.Callister, Materials 
Science and Engineering - An Introduction, John Wiley, 1994 
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR : 
Sidnei Paciornik, APOSTILA, Ciência e Engenharia de Materiais, DCMM PUC-
Rio. Endereço WEB: http://www.dcmm.puc-rio.br/dcmm_download.php
J.F.Shackelford, Introduction to Materials Science for Engineers. Macmillan 
Publish-ing Company, 1985. 
4
CRONOGRAMA 2009.1
Mês Dia Mês Dia
Março 3 14
5 19
10 21 Exercícios
12 26P2
17 28
19 Junho 02
24 04
26 09
31 11
Abril 02 Exercícios 16
07 P1 18
09 Feriado 23
14 25
16 30Exercícios
21feriado Julho 02 P3
23feriado 07 Revisão 
28 09 P4
30
Maio 05
07
12
http://www.dcmm.puc-rio.br/dcmm_download.php
http://www.dcmm.puc-rio.br/dcmm_download.php
http://www.dcmm.puc-rio.br/dcmm_download.php
5
Ciência e Engenharia de Materiais ???
•Como definir MATERIAIS ????
•O que diferencia os materiais ?
•Como selecionamos materiais ?
•Como classificamos os materiais ? 
Introdução 
6
7
Como definir MATERIAIS ????
8
• Tipos de materiais
 Metais
Fe, Au, aço (liga Fe-C), latão (liga Cu, Zn)
 Cerâmicas
Vidros, argilas, cimento
 Polímeros
Plásticos, polietileno (-C2H4-)n, neoprene
 Compósitos
Fibra de vidro, concreto, madeira
 Semicondutores
Si, GaAs, InGaAsP
9
Metais
• Propriedades básicas
 Fortes e podem ser moldados
 Dúcteis (deformam antes de quebrar)
 Superfície “metálica”
 Bons condutores de corrente elétrica e de calor
10
Os metais na tabela periódica
11
Cerâmicas e vidros
• Propriedades básicas
 São uma combinação de metais com O, N, C, P, S
 São altamente resistentes a temperatura (refratários)
 São isolantes térmicos e elétricos
 São frágeis (quebram sem deformar)
 São menos densas do que metais
 Podem ser transparentes
12
As cerâmicas na tabela periódica 
Cerâmicas são formadas por combinação de metais 
(quadrados mais claros) com os elementos C, N, O, P e S. 
Si e Ge são semicondutores mas são usados em cerâmicas de forma equivalente a metais
13
Polímeros
• Propriedades básicas
 São sintéticos - feitos pelo homem
 Altamente moldáveis - plásticos
 São formados pela combinação de unidades - “meros”
 São formados por um número bem limitado de elementos. 
C e H, O (acrílicos), N (nylons), F (fluor-plásticos) e Si 
(silicones).
 São leves e não frágeis
 Em geral são menos resistentes do que metais e cerâmicas
14
Os polímeros na tabela periódica
15
Compósitos
• O que são ?
 Combinação de metais, cerâmicas e polímeros
 Preservam as propriedades “boas” dos componentes e 
possuem propriedades superiores às de cada componente 
separado.
Fibra de Vidro Madeira Concreto
16
Semicondutores
• Propriedades básicas
 Todos os componentes 
eletrônicos do computador
 Condutividade finamente 
controlada pela presença de 
impurezas - dopantes.
 Podem ser combinados entre 
si para gerar propriedades 
eletrônicas e óticas “sob 
medida”.
 São a base da tecnologia de 
opto-eletrônica - lasers, 
detetores, circuitos integrados 
óticos e células solares.
17
Os semicondutores na tabela periódica
Quando combinados entre si (coluna III-V e II-VI) os metais (quadrados 
claros) assumem propriedades semicondutoras.
18
Ciência e Engenharia de Materiais
Aplicações
Propriedades
Microestrutura e Composição
(Atômica ou Molecular)
Síntese e
Processamento
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Matéria Prima
Bruta
Matéria Prima
Básica
Matéria Prima
Industrial
Bens
de consumo
Sucata
+
Resíduos 
BIOSFERA
Terra
Ciclo dos Materiais
20
Pasta de dente
Sabão em pó
Papel
Calcáreo
CaCO3 (2000 x)
O que tem em comum entre esses produtos?
21
Papel
Filme Fotográfico
Madeira
O que tem em comum entre esses produtos?
22
Garrafas coloridasTubos de vidro LenteComputador
Pedra de quartzo
Fibras de vidro
Quartzo
O que tem em comum entre esses produtos?
23
O que diferencia os materiais ?
• As propriedades “cotidianas” dos materiais 
 dependem da estrutura em escala atômica e
 da microestrutura - estrutura em escala intermediária
Fibras de vidro em uma 
matriz de polímero.
Alumínio
(estrutura cúbica)
Magnésio
(estrutura hexagonal)
24
Microestrutura – policristalino 
Vários cristais 
25
Como selecionamos materiais ? 
26
Seleção de Materiais
• Ex: Cilindro de armazenamento de gases
 Requerimento: resistir a altas pressões (14MPa)
Resistência
Metais 
Cerâmicas
Polímeros
Semicondutores
Compósitos
Flexibilidade Custo
27
Seleção de Materiais
• Ex: Vaso de pressão de uma aeronave
 Requerimento: resistir a altas pressões e ser leve
 Aqui o custo é menos importante do que a funcionalidade
Prefere-se um material leve e forte, mesmo sendo caro.
Metais 
Cerâmicas
Polímeros
Semicondutores
Compósitos
Resistência Flexibilidade Leveza
28
Ligação Atômica 
29
Covalente
Metálica Secundária
Iônica
Metais
Polímeros
Semicondutores
Cerâmicas e vidros
Podemos classificar quanto a ligação atômica !?
30
Ligação Atômica
• Porque estudar a estrutura atômica ?
 As propriedades macroscópicas dos materiais dependem 
essencialmente do tipo de ligação entre os átomos.
 O tipo de ligação depende fundamentalmente dos elétrons.
 Os elétrons são influenciados pelos prótons e neutrons que 
formam o núcleo atômico.
 Os prótons e neutrons caracterizam quimicamente o 
elemento e seus isótopos.
31
Estrutura Atômica
Elétrons “girando” em volta do
núcleo em níveis de energia
discretos.
Mpróton = Mneutron = 1.66x10
-24g= 1 amu
amu = atomic mass unit 
unidade atômica de massa
Em uma grama teremos
1g
1.66x1024
g
amu
 6.023x1023amu
NA= Número de Avogadro
Núcleo contendo 
prótons - dão o número atômico
neutrons - dão o número isotópico
Responsáveis pela 
ligação atômica
praticamente toda a 
massa do átomo está 
no núcleo.
Melétron = 0.911x10-27g
Mpróton = 1822 Melétron => 
32
Estrutura Atômica
Exemplo: 
Sodio (Na)
numero atomico 11
11 elétrons
• Cada camada pode ter um total de 2n2 eletrons.
•A maior parte dos átomos “se esforça” para atingir 8 eletrons na sua camada 
mais externa.
• No caso do Na, é muito mais fácil perder 1 elétron do que pegar 7 eletrons 
para a camada n = 3
• Existem 8 eletrons na camada n = 2• Elétrons da camada mais externa são chamados de elétrons de valência
elétron
Núcleo
(protons + neutrons)
Camada 
(indexeda por n)
Elétron de Valência
33
• possuem estados de energia discretos
• tendem a ocupar os estados de energia disponíveis mais baixos 
3
Elétrons...
Fig. 2.5, Callister adaptado
ESTADO DE ENERGIA DO ELETRON
34
Orbitais e níveis de energia
• Os elétrons são atraídos pelos prótons
• Os elétrons se distribuem em orbitais
 Níveis de energia bem definidos
Os elétrons não podem assumir níveis intermediários
Para trocar de nível, os elétrons tem que receber a energia exata 
que diferencia dois níveis.
 A energia é função da distância dos elétrons ao núcleo
Quanto mais perto do núcleo mais ligado o elétron
Quanto mais longe do núcleo menos ligado
 Se o elétron recebe energia suficiente, ele é arrancado, se 
torna um elétron livre e o átomo é ionizado
35
Classificação das Ligações
• Ligações Primárias ou Fortes
 Iônica
 Covalente
 Metálica
• Ligações Secundárias ou Fracas
 van der Waals
Dipolo permanente
Dipolo induzido
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-0.10
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0 5 10 15 20 25 30
Distância
F
o
rç
a
FAtr . 
KQ1Q2
a2
Força de atração
(entre os íons)
Espaçamento Interatômico
a
a0
-0.10
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0 5 10 15 20 25 30
Distância
F
o
rç
a
Força de repulsão
(entre as nuvens
eletrônicas)
FRe p.  e
a

-0.10
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0 5 10 15 20 25 30
Distância
F
o
rç
a
Força de atração
Força de repulsão
-0.10
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0 5 10 15 20 25 30
Distância
F
o
rç
a
Força resultante
Força resultante = 0
Distância de Equilíbrio
Na distância de equilíbrio, a força de atração entre os íons é compensada pela força de repulsão entre as nuvens eletrônicas
nm nm
37
Força e Energia de Ligação
Força de
ligação
Energia 
de ligação
a0
a
a
F = dE/da
O ponto em que a força de ligação 
é zero corresponde ao ponto de 
mínima energia.
Configuração estável
Valores típicos para a0 são da ordem de 
0.3nm (0.3x10-9m)
Valores típicos para a energia de ligação 
são entre 600 e 1500 kJ/mol
A energia de ligação está diretamente 
relacionada com o ponto de fusão do 
material.
38
Ligação Iônica
• Formada entre dois átomos que se ionizam
Na Cl • O Sódio tem apenas um elétron na última 
camada. Este elétron é fracamente ligado 
porque os outros 10 elétrons blindam a 
atração do núcleo.
• O Cloro tem 7 elétrons na última camada. 
Se adquirir mais um elétron forma uma 
configuração mais estável.
• O Sódio perde um elétron e se ioniza, 
ficando com carga positiva (cátion).
• O Cloro ganha o elétron e também se 
ioniza, ficando Negativo (âNion).
• Os íons se ligam devido à atração 
Coulombiana entre cargas opostas.
• Note a diferença entre o raio atômico e o 
raio iônico.
Cl-Na+
39
Espaçamento interatômico em um sólido iônico
• Energia Potencial : Utotal = Uatração (+,–) + Urepulsão (–, –)
Potencial Repulsão  1/rm
Atração Coulombiana 
Potencial  1/r
Potencial Total
40
Cl-
Na+
41
Raio Atômico, Iônico e Covalente
• Raio atômico é o raio de um átomo na condição neutra, 
normalmente medido entre primeiros vizinhos de um material 
puro deste tipo de átomo.
• Raio iônico é o raio do átomo após sua ionização, depende do 
tipo de ionização
• Raio covalente é o raio que um átomo teria na condição de 
ligação covalente.
Raio (nm) Na Cl
Covalente 0,154 0,099
Atômico 0,190 -
Iônico 0,060 (+1) 0,181 (-1)
0,026 (+7)
42
Propriedades Sólidos Iônicos
• Formados por atração Coulombiana entre íons.
 grupos I cátions alcalinos emparelhados com ânions haletos 
do grupo VII, p. ex. Na+ Cl-.
• Alta energia coesiva (2-4 eV/ atom).
 Alto Ponto de fusão e de ebulição 
• Baixa condutividade Elétrica
 Não existem elétrons livres para carregar a corrente 
43
Comentários sobre forças e energia-01
• Força de repulsão possui origem quântica. Princípio de 
Exclusão de Pauli: duas partículas não podem ocupar o 
mesmo estado quântico.
• Força de atração possui origem eletrostática, interação 
Coulombiana, interações dipolares, interações entre 
elétrons na última camada.
• Energia de ligação é a energia associada com a 
formação da ligação partindo da condição inicial que 
os átomos (íons) estão inicialmente separados de uma 
distância infinita.
44
Comentários sobre forças e energia-02
• Sempre que uma ligação é formada, o sistema 
apresenta uma redução de energia.
• A energia é mínima na condição interatômica de 
equilíbrio (poço de potencial).
• Quanto mais fundo o poço, mais estável é a ligação, 
maior é o ponto de fusão/ebulição do material.
2
2
__
da
Ed
da
dF
deelasticidademódulo 
45
Expansão térmica
• Os átomos estão constantemente vibrando ao redor da 
posição de equilíbrio.
• A distância interatômica de equilíbrio, ao, só é bem 
definida quando a temperatura é 0 K.
• Normalmente o poço de potencial não é simétrico e a 
distância interatômica média aumenta gerando a 
EXPANSÃO TÉRMICA.
46
separação Interatômica
r 
Expansão Térmica
• A curva encontra-se na forma de um 
poço de energia potencial, e o 
espaçamento interatômico em condições 
de equilíbrio a uma temperatura de 0 K, 
ro, corresponde ao ponto mínimo no poço 
de energia potencial.
• um incremento na temperatura, aumenta 
a energia vibracional fazendo que a 
distância interatômica média aumente.
47
Expansão Térmica
• A expansão térmica se deve à curva do poço de energia potencial ser assimétrica, e não às 
maiores amplitudes vibracionais dos átomos em função da elevação da temperatura. 
• Se a curva da energia potencial fosse simétrica não existiria qualquer variação liquida ou 
global na separação interatômica e, consequentemente, não existiria qualquer expansão 
térmica.
48
Expansão Térmica
A temperatura de fusão e o coeficiente de expansão térmica (a) são 
função da força de ligação, magnitude das vibrações térmicas.
49
Direcionalidade e Coordenação
• A ligação iônica é não direcional
 A força de ligação é igual em todas as direções.
 Para formar um material 3D é necessário que cada íon de 
um tipo esteja cercado de íons do outro tipo
Na+
Cl-
•Número de Coordenação (NC)
•Número de vizinhos mais 
próximos de um dado átomo
50
Exemplo
• Calcule a força de atração entre Na+ e Cl- em uma 
molécula de NaCl
K= 9 x 109 V.m/C
Q1 = Q2 = 1 x 1.6 x 10
-19C
 a = RNa+ + RCl- = 0.098nm + 0.181nm = 0.278 nm
 F 
KQ1Q2
a2

9x109V.m / C 1.6x1019C 1.6x1019C 
0.278x109m 
2
F  2.98x109V .C /m  2.98x109 J / m  2.98x109N
F 
KQ1Q2
a2
51
Exemplo
• Calcule a força de atração em uma molécula de Na2O
Neste caso temos Na+ (valência 1) e O2- (valência 2)
 onde Z1 e Z2 são as valências
 a = RNa+ + RO2- = 0.098nm + 0.132nm = 0.231 nm
     
 
Nx
mx
CxCxCmVx
F 9
29
19199
1064.8
10231.0
106.1)2(106.1)1(/.109 



F 
KZ1qZ2q
a2
52
Ligação Covalente
• Gerada pelo compartilhamento de elétrons de valência 
entre os átomos.
 Elétrons de valência são os elétrons dos orbitais mais 
externos.
 Ex: Mólecula de Cl2
Um elétron de cada átomo é compartilhado com o outro, gerando 
uma camada completa para ambos.
Cl - Cl
53
Ligação covalente (cont.)
 A ligação covalente é direcional e forma ângulos bem 
definidos
 Tem uma grande faixa de energias de ligação => pontos de 
fusão
 Energias da ordem de centenas de kJ/mol
 Ex: Carbono na estrutura do diamante  3550°C
 Ex: Bismuto  270°C
54
Diamante 
55
Exemplo em polímeros
• Etileno e Polietileno
Na mólecula de etileno 
(C2H4), os carbonos 
compartilham dois pares de 
elétrons.
A ligação covalente dupla 
pode se romper em duas 
simples permitindo a ligação 
com outros “meros” para 
formar uma longa mólecula 
de polietileno.
Molécula de
etileno
Mero de etilenoMolécula de
polietileno
56
Ligação Metálica
 Nos metais, existe uma grande quantidade de elétrons quase 
livres, os elétrons de condução, que não estão presos a 
nenhum átomo em particular.
 Estes elétrons são compartilhados pelos átomos, formando 
uma nuvem eletrônica, responsável pela alta condutividade 
elétrica e térmica destes materiais.
 A ligação metálica é não direcional, semelhante à ligação 
iônica.
 Na ligação metálica há compartilhamento de elétrons, 
semelhante à ligação covalente.
 As energias de ligação também são da ordem de centenas 
de kJ/mol.
57
Ligação Metálica
58
Ligações Secundárias
 É possível obter ligação sem troca ou compartilhamento de 
elétrons nas ligações secundárias ou de van der Waals.
 A ligação é gerada por pequenas assimetrias na distribuição 
de cargas do átomos, que criam dipolos.
Um dipolo é um par de cargas opostas que mantém uma distância 
entre si.
Dipolo permanente ( moléculas polares) 
Dipolo induzido
59
Dipolos Permanentes e Induzidos
• Dipolo Permanente
 Gerados pela estrutura da 
molécula. 
 Energias de ligação 
 20kJ/mol
Ex: Pontes de Hidrogênio em 
H2O
• Dipolo Induzido
 A separação de cargas é pequena
 Energias de ligação são muito 
pequenas ( 1kJ/mol)
O
H H
Átomos isolados 
de Ar
(os centros das cargas 
positivas e negativas 
coincidem)
+ +
Átomos deformados 
pela presença do outro
+- +-
Magnitude do dipolo
Os átomos se ligam pela atração entre os dipolos induzidos
60
Comentários
 As ligações covalente e iônica não são “puras” mas sim 
uma mistura com proporções que depedem, essencialmente, 
da diferença de eletronegatividade dos átomos envolvidos.
Covalente
Metálica Secundária
Iônica
Metais
Polímeros
Semicondutores
Cerâmicas e vidros
Material Ligação Pt.Fusão (°C)
NaCl Iônica 801
C (diamante) Covalente 3550
Polietileno Cov./Sec. 120
Cu Metálica 1085
Ar Sec. (ind.) -189
H2O Sec. (perm.) 0
61
Coesão - O que segura a estrutura de um cristal?
Esta coesão se deve exclusivamente à interação eletrostática atrativa entre 
as cargas negativas dos elétrons e as cargas positivas dos núcleos
…..com conhecimento das distribuições espacial e da velocidade dos 
elétrons, e dos núcleos, pode se calcular as energias de de ligação
62
Para estabelecer uma ligação deste tipo entre átomos, é preciso otimizar 4 
condições
(iv) enquanto estas condições abaixam a energia potencial, é preciso 
também manter a energia cinética baixa
(i) Manter a separação entre os núcleos positivos para minimizar a 
repulsão Coulombiana
(ii) Manter a separação entre os elétrons negativos para minimizar a 
repulsão Coulombiana
(iii) Manter a proximidade entre os elétrons negativos e os núcleos positivos
para maximizar a atração Coulombiana
Mas confinamento ou localização aumentam a 
energia cinética
63
Gases Inertes - ligações fracas
Metais Alcalinos - ligações de força intermediária
Metais de Transição - ligações fortes
Elementos Tetravalentes (Si,C) - ligações muito fortes
Compostos Iônicos - ligações fortes
64
Ligações nos gases inertes (nobres)
Os átomos dos gases inertes possuem camadas eletrônicas completamente 
preenchidas e portanto exibem altas energias de ionização (~11eV) e uma 
distribuição de carga que exibe simetria esférica 
ao (nm) eV/atom TM Eion (eV)
Ne 0.313 0.02 24K 21.56
Ar 0.376 0.08 84K 15.76
Kr 0.401 0.116 117K 14.00
Xe 0.435 0.17 161K 12.13
Dois átomos de um gás inerte, a uma separação de R>> raio atômico 
possuem, portanto, “nuvens rígidas” de elétrons. Estes átomos são 
elétricamente neutros (a carga dos elétrons sendo equilibrada pela carga do 
núcleo) e assim não interagem ... 
65
Distância Interatômica
Força Intermolecular
66
Distância Interatômica 
• Fatores que controlam a distância interatômica 
Diametro dos átomos involvidos
 Forças de Repulsão e Atração
 Ação de forças externas, p.ex., mecanica, térmica, ou elétrica
67
F
o
rç
a
s
 In
te
rm
o
le
cu
la
re
s
Distância 
Interatômica
Força Atrativa
Força Repulsiva
Força Resultante
Posição de Equilíbrio
68
Rigidez
• A rigidez do material é proporcional a taxa de variação da força em função 
da quantidade de deslocamento
• É medida pela inclinação da curva próxima a posição de equilíbrio.
F
o
rç
a
 In
te
rm
o
le
cu
la
r 
Força resultante 
Posição de equilíbrio ,
Forca resultante = 0
Distância 
Interatômica
Inclinação 
69
Generalizações 
com base nas Ligações Atômicas
Propriedades
Densidade
Rigidez
Expansão Térmica
Condutividade
Fatores
Peso Atômico, raio atômico, 
empacotamento 
Forças Interatômicas 
Força da ligação e Tf
Movimento dos elétrons livres 
70
• possuem estados de energia discretos
• tendem a ocupar os estados de energia disponíveis mais baixos 
Elétrons...
Fig. 2.5, Callister 
ESTADO DE ENERGIA DO ELETRON
71
Estados Eletrônicos de um sólido cristalino
Átomos Individuais 
na fase gasosa
Sólido
Estados bem definidosBandas de Energia 
Aumento 
da densidade 
de átomos
72
Bandas de Condução e Valência
1s
2s
2p
Energia 
do 
elétron
Átomo Sólido Cristalino
B
a
n
d
a
 p
ro
ib
id
a
 
E
g
Banda de Condução
(estados vazios)
Banda de Valencia
(estados preenchidos)
73
Forcas de ligação e bandas de energia em sólidos
FORÇAS DE LIGAÇÃO EM SÓLIDOS 
LIGAÇÃO IÔNICA – haletos alcalinos tais como NaCl, LiF, KBr, KCl são sólidos iônicos 
formados por ligações iônicas, estáveis e cristais duros, alta temperatura de evaporação. Bons 
isolantes. 
transferência completa dos eletrons de valencia
LIGAÇÃO COVALENTE - Semicondutores tais como Si, Ge, ZnS e isolantes tal como 
diamantes são formados por ligações covalentes, onde cada átomo compartilha seus elétrons de 
valência com seus átomos vizinhos, duros, alto ponto de fusão, isolantes.
elétrons de valência compartilhados entre os átomos vizinhos
74
LIGAÇÃO METÁLICA- Elétrons de Valencia contribuem como um todo para o cristal
A força de ligação é a atração entre os íons positivos e a nuvem eletrônica. A forca de ligação 
metálica é menos resistente que a iônica e a covalente, são bons condutores.
Compartilhamento de elétrons de valência em todo o cristal 
LIGAÇÃO MOLECULAR- p.ex. Sólidos organicos , gelo. As forças de ligação são as forças de 
de van de Waals. Ligação fraca, baixo ponto de fusão e ebulição.
Observe : 
•Sómente elétrons de valencia participam da formação da ligação !
• Quando sólidos são formados a partir de átomos ou moléculas isolados, a energia total
do sistema é reduzido
75
• comprimento da ligação , r
• Energia de ligação , Eo
F 
F 
r 
• Temperatura de fusão, Tf
Eo= 
“energia de ligação”
Energia (r)
ro
r
Comprimento normal 
r
maior Tf
menor Tf
Energia (r)
ro
Tf será alta se Eo for alta
Propriedade a partir da energia de ligação: Tf
76
• E ~ curvatura em ro
• Módulo de Elasticidade E
area A da seção 
transversal 
DL
comp,Lo
F
Não deformado
deformado
DLF
Ao
= E
Lo
Módulo de Elasticidade
Mod de elasticidade grande 
Modulo de Elasticidade pequeno
Energia
r
ro
Comprimento normal E será grande se Eo for grande 
Propriedade a partir da energia de ligação: E
77
• Coeficiente de expansão térmica, a
• a ~ simetria em ro
a será maior se Eo for menor
DL
comp, Lo
frio, T 1
aquecido, T 2
= a (T2 -T1 )
DL
Lo
coef. expansão térmica
r
Baixo a
Alto a
Energia
ro
Propriedade a partir da energia de ligação : a
78
Cerâmicas
(Ionica & covalente):
Metais
Ligação Metálica
Polímeros
(Covalente & Secundaria):
Alta Energia de ligação 
Alta Tf
alto E
pequeno a
Energia de ligação variável 
moderada Tf
moderada E
moderada a
Propriedades Direcionais
Ligações Secundárias dominam 
baixa Tf
baixo E
alto a
Resumo das ligações Primárias
1
Estrutura Cristalina
O cristal IDEAL 
2
Cubo com 6 quadrados idênticos 
Tetraedro: 4 triangulos equilaterais identicos 
Octaedro: 8 triangulos equilateraisidenticos 
Romboedro: 6 paralelogramas identicos
com lados de mesmo comprimento
Formas Geométricas 
3
Prisma Hexagonal : 2 hexagonos e 6 retangulos
Piramide de base quadrada :
4 triangulos e 1 quadrado
4
Agua marinha – Hexagonal 
Cristal de Quartzo 
Cristal de Gipsita 
http://www.doitpoms.ac.uk/tlplib/atomic-scale-structure/images/cleavage_of_gypsum.jpg
5
Aço hipereutetóide 
Material Policristalino 
6
Aço hipereutetóide 
Material Policristalino 
7
Vidro não pode ser
clivado porque é
amorfo
8
O Cristal Perfeito - Estrutura Cristalina
Muitos materiais - metais, algumas cerâmicas, alguns polímeros - ao se 
solidificarem, se organizam numa rede geométrica 3D - a rede cristalina.
Estes materiais cristalinos, têm uma estrutura altamente organizada, em 
contraposição aos materiais amorfos, nos quais não há ordem de longo 
alcance.
Fronteira entre dois cristais de TiO2.
Note a organização geométrica dos átomos.
Carbono amorfo.
Note a desorganização na posição dos átomos.
2nm
Cristal 1
Cristal 2
Fronteira
Imagens obtidas com Microscópio Eletrônico de Transmissão (MET).
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/fb/Vitrification1.jpg
9
Célula Unitária
 Como a rede cristalina tem uma estrutura repetitiva, é 
possível descrevê-la a partir de uma estrutura básica, como 
um “tijolo”, que é repetida por todo o espaço.
Célula Unitária
Menor “tijolo” que repetido 
reproduz a rede cristalina
Células Não-Unitárias
10
Os 7 Sistemas Cristalinos
 Só existem 7 tipos de células unitárias que preenchem 
totalmente o espaço
Cúbica
a=b=c, 9°
Ortorrômbica
abc, 9°
Tetragonal
a=bc, 9°
Romboédrica
a=b=c, 9°
Monoclínica
abc, 9° 
Hexagonal*
a=bc, 9°°
Triclínica
abc, 9°
11
Sistemas Cristalinos e Redes de Bravais
 Os sistemas cristalinos são apenas entidades geométricas. 
Quando posicionamos átomos dentro destes sistemas formamos 
redes (ou estruturas) cristalinas.
 Existem apenas 14 redes que permitem preencher o espaço 3D.
 Nós vamos estudar apenas as redes mais simples: 
a cúbica simples - cs (sc - simple cubic)
a cúbica de corpo centrado - ccc (bcc - body centered cubic)
a cúbica de face centrada - cfc (fcc - face centered cubic)
a hexagonal compacta - hc (hcp - hexagonal close packed)
12
As 14 Redes de Bravais
Cúbica Simples Cúbica de 
Corpo Centrado
Cúbica de Face 
Centrada
Tetragonal 
Simples
Tetragonal de 
Corpo Centrado
Ortorrrômbica 
Simples
Ortorrrômbica de 
Corpo Centrado
Ortorrrômbica de 
Base Centrada
Ortorrrômbica de 
Face Centrada
Romboédrica 
Simples
Hexagonal Monoclínica 
Simples
Monoclínica de 
Base Centrada
Triclínica
13
Estruturas Cristalinas dos Metais
 Como a ligação metálica é não direcional não há grandes 
restrições quanto ao número e posição de átomos vizinhos. 
Assim, os metais terão NC alto e empilhamento compacto.
 A maior parte dos metais se estrutura nas redes cfc, ccc e hc
 Daqui prá frente representaremos os átomos como esferas 
rígidas que se tocam. As esferas estarão centradas nos 
pontos da rede cristalina.
14
A rede ccc
A rede cúbica de corpo centrado é uma rede cúbica na qual 
existe um átomo em cada vértice e um átomo no centro do 
cubo. Os átomos se tocam ao longo da diagonal.
Número de átomos na célula unitária
Na= 1 + 8x(1/8) = 2
Relação entre a e r
4R = a3 => a = 4R/3 NC = 8
1/8 de átomo1 átomo inteiro
R
a
Fator de empacotamento atômico
(APF - atomic packing factor)
3
3
3
3
4
)(
)1()(
)(
)(
a
RátomosN
a
átomoVátomosN
célulaVolume
átomosVolume
FEA




68,0
8
3
33
64
3
8
3
4
3
4
2
3
3
3
3








 

R
R
R
R
FEAccc
15
Numero de Coordenação para o CCC
Total de 8 atomos vizinhos mais proximos 
Numero de Coordenação = 8
4
8
7
32
6
5
1
16
A rede cfc
A rede cúbica de face centrada é uma rede cúbica na qual 
existe um átomo em cada vértice e um átomo no centro de cada 
face do cubo. Os átomos se tocam ao longo das diagonais das 
faces do cubo.
1/8 de átomo
1/2 átomo
Número de átomos na célula unitária
Na= 6x1/2 + 8x(1/8) = 4
Relação entre a e r
4R = a2 => a = 2R2 NC = 12
Fator de empacotamento atômico
FEAcfc = Volume dos átomos = 0,74
Volume da célula
A rede cfc é a mais compacta
R
a
17
• Número de Coordenação
• Número de vizinhos mais próximos 
• Empacotamento fechado : 12
18
• Número de Coordenação
• Número de vizinhos mais próximos 
• Empacotamento fechado : 12
19
• Número de Coordenação
• Número de vizinhos mais próximos 
• Empacotamento fechado : 12
20
• Número de Coordenação
• Número de vizinhos mais próximos 
• Empacotamento fechado : 12
21
Numero de Coordenação para o CFC
1 4
32
8
7
6
5
12 11
1092R
R22
R22
Total 12 atomos vizinhos 
No de Coordenação = 12
22
23
24
25
26
27
28
Camada B 
Camada C
Camada A 
Camada A 
29
30
31
32
• Os espaços intersticiais são caracterizados pelo seu 
número de coordenação =número de vizinhos mais próximos
Vazio Tetraédrico 
No de Coordenação =4
Vazio Octaédrico
No de Coordenação =6
Isto é válido tanto para o CCC quanto para o CFC
Espaços Intersticiais
33
Octaédrico Tetraédrico
CFC
CCC
CFC
CCC
Espaços Intersticiais
34
Estrutura Relação r/R F.E.
Octaédrico Tetraédrico
CFC 0,414 0,225 0,74
CCC 0,154 0,291 0,68
35
• A rede HS ( hexagonal simples)
A rede hexagonal simples pode ser representada por 
um prisma com base hexagonal, com átomos na base e 
topo 
36
A rede hc 
A rede hexagonal compacta pode ser representada por um 
prisma com base hexagonal, com átomos na base e topo e um 
plano de átomos no meio da altura.
a
c
c/2
Número de átomos na célula 
hexagonal
Na= 12x1/6 + 2x(1/2) + 3 = 6
Relação entre a e r
2R = a 
FEAhc = 0,74 NC =12
A rede hc é tão compacta quanto a cfc
Razão c/a ideal
c/a =8/3 = 1,633
no entanto este valor varia 
em metais reais
37
A rede hc (cont.)
 Cálculo da razão c/a
a2 = d2 +(c/2)2
a/2
d
30º
dcos30° = a/2
d3/2 = a/2
d = a/3
a2 = a2/3 +c 2/4
c2 = 8a2/3
c/a= 8/3 = 1,633
c/2
a
aa
a d
38
A rede hc (cont.)
 Cálculo do fator de empacotamento atômico
a
60º
h
74,0
23823
8
82323
3
8
4
3
6
4
3
6
4
3
2
2
3
2
6
8
3
4
6
3
3
3322
2
.
.
33















r
r
FEA
raaacaV
a
aa
hb
A
cAcAAlturaAV
rrV
V
V
FEA
célula
triang
trianghexágonobasecélula
átomos
célula
átomos
39
Empilhamento ótimo
O fator de empilhamento de 0.74, obtido nas redes cfc e hc, é 
o maior possível para empilhar esferas em 3D.
A A A
A
A A A A
A A A A
AAA
A A A
A
B B
B
B B B
B B B
B B
B
C C C
C
C C
C C
C C C
C
cfc
hc
40
Cristalografia
• Para poder descrever a estrutura cristalina é necessário 
escolher uma notação para posições, direções e planos.
• Posições
 São definidas dentro de um cubo com aresta unitária.
0,0,0
1,0,0
0,1,0
0,0,1
0,1/2,0
1/2,1/2,0
1/2,1/2,1/2
41
Direções cristalográficas 
 As direções são definidas a partir da origem.
 Suas coordenadas são dadas pelos pontos que cruzam o 
cubo unitário. Se estes pontos forem fraccionais multiplica-
se para obter números inteiros.
[1 0 0]
[0 1 0]
[0 0 1]
[1 1 0]
[1 1 1]
[1 -1 1]
11 1 
[1/2 1 0]=[1 2 0]
[0 1 1/2]=[0 2 1]
42
Exemplo 1: Determine as coordenadas da seguinte direção cristalografica
a
b
c
Ao longo do eixo x: 1 a
x
y
z
Ao longo do eixo y: 1 b
Ao longo do eixo : 1 c
[1 1 1]
43
a
b
c
x
y
z
Exemplo 2: desenhe a direção
1 comprimento do vetor unitário ao longo de x
-1 comprimento do vetor unitário ao longo de y
[1 0]1
0 comprimento do vetor unitário ao longo de z
Origem 
]011[
44
x
y
z
O
A
1/2, 1/2, 1
[1 1 2]
OA=1/2 a + 1/2 b + 1 c
P
Q
x
y
z
PQ = -1 a -1 b + 1 c
-1, -1, 1
Direções
[ 1 1 1 ]
_ _
45
• Famílias de direções
 Formadas por posições semelhantes dentro daestrutura 
cristalina.
<111> = [111],[111],[111],[111],[111],[111],[111],[111]
• Ângulo entre direções no sistema cúbico
 Dado pelo produto escalar entre as direções, tratadas como 
vetores.
Direções cristalográficas (cont.)


D  u

a  v

b w

c 

D '  u'

a  v'

b  w'

c 

D 

D ' 

D 

D ' cos
cos 

D 

D '

D 

D '

uu' vv' ww'
u2  v2  w2 u' 2 v' 2 w' 2
Ex: [100] e [010]
Ex: [111] e [210]
0
222222
900
010001
001001
cos 


 
0
222222
2,39
5
3
012111
011121
cos 


 
46
Planos cristalográficos
• A notação para os planos utiliza os índices de Miller, 
que são obtidos da seguinte maneira:
 Obtém-se as intersecções do plano com os eixos.
 Obtém-se o inverso das intersecções.
Multiplica-se para obter os menores números inteiros.
1/2
1
Intersecções: 1/2, 1
Inversos: 2, 0 ,1
Índices de Miller: (201)
Em sistemas cúbicos o plano (hkl)
é normal a direção [hkl]
47
Planos cristalográficos (cont.)
• 11, 
• 1, 1, 0
• (110)
• 1/2, 
• 0, 2, 0
• (020)
• 1, -1, 1
• 1, -1, 1
• (111)
• 11, 1
• 1, 1, 1
• (111)
• 1, -1, 
• 1, -1, 0
• (110)
?
Quando as 
intersecções com 
os eixos não são 
óbvias, deve-se 
deslocar o plano 
até obter as 
intersecções 
corretas.
• 1, 
• 0, 1, 0
• (010)
48
z
x
y
a b
c
4. Indices de Miller (110)
exemplo a b c
z
x
y
a b
c
4. Indices de Miller (200)
1. Interceção 1 1 
2. Reciproco 1/1 1/1 1/
1 1 0
3. Redução 1 1 0
1. Interceção 1/2  
2. Reciproco 1/½ 1/ 1/
2 0 0
3. Redução 2 0 0
exemplo a b c
49
z
x
y
a b
c



4. Indice de Miller (634)
exemplo
1. Interceção 1/2 1 3/4
a b c
2. Reciproco 1/½ 1/1 1/¾
2 1 4/3
3. Redução 6 3 4
50
x
y
z
x
y
z
x
y
z
x
y
z
x
y
z
x
y
z
(1,0,0) (1,1,0) (1,1,1)
(2,0,1) (2,1,0) (1,1,1)
51
(1 1 0)
_
( 1 1 0 )
( 1 0 1 )
( 0 1 1 )
_
( 0 1 1 )
( 1 0 1 )
_
{ 1 1 0 }
Família de Planos {110} no CFC
(x, y, z) ou (h, k, l) 
52
[ UVW ] Miller
[u v t w] Miller-Bravais
(a1 a2 a3 c)
no plano basal c=0
Na direção a1 os índices são [100]
onde U = 1
V = 0
W = 0
Direções no Sistema HEXAGONAL 
53
A transformação de 3 para 4 índices
[UVW] para [u v t w] requer a utilização das formulas :
u = 1/3 (2U-V)
v = 1/3 (2V-U)
t = - (u + v)  u + t + v = 0
w = W
54
Existem as seguintes relações entre estes índices: 
para converter de 4 para 3 índices
U = u – t 
V = v – t 
W = w
55
Planos da Rede Hexagonal
a1
a2
a3
c
1
-1
• , 1, -1, 
• 0, 1, -1, 0
• (0 1 1 0)
Face do prisma
Índices de Miller-Bravais
• 4 coordenadas
56
Planos do HC
• Basal 
• Prismático 
57
a2
a3
a1
z
exemplo a1 a2 a3 c
4. Indice Miller-Bravais (1011)
1. Interceção 1  -1 1
2. Reciproco 1 1/
1 0 
-1
-1
1
1
3. Redução 1 0 -1 1
58
Planos são geralmente expressos 
Famílias de planos equivalentes 
Direções 
Pontos da Rede 
Observe que a direção não é
necessáriamente perpendicular ao plano 
Índices de Miller, direções e pontos podem ter valores negativos, 
p.ex. 
Também podem ter multiplicidades,
p.ex. Para um cristal cúbico existem 6 planos 
 l,k,h
 l,k,h
 l,k,h
z,y,x
 l,k,h
 lkh ,,
 1,1,1
 0,0,1
 
)1,0,0()1,0,0(
)0,1,0()0,1,0(
)0,0,1(0,0,1
Convenções
59
Resumo
• Direções 
 [uvw]
• Famílias de direções
 <uvw>
• Planos
 (hkl) (índices de Miller)
 Na hexagonal (hkil) (índices de Miller-Bravais)
 i = - (h + k)
• Famílias de planos
 {hkl} 
60
61
Densidade 
• Sejam as duas células abaixo, onde cada uma delas 
possui o mesmo volume 
Se cada átomo tem a mesma massa qual célula pesa 
mais e porque ? 
A célula com maior número de átomos tem mais massa por unidade 
de volume esta propriedade da matéria é chamada
DENSIDADE (massa/volume)
62
Densidade Atômica Planar
• Análogo ao fator de empacotamento atômico, que 
corresponde à densidade volumétrica de átomos, 
podemos definir a densidade atômica planar
 DAP = Área Total de Átomos/Área do Plano
• Exemplo
 Calcule a DAP dos planos {100} na rede CFC
1/4 de átomo
1 átomo
Número total de átomos = 1 + 4*1/4 = 2
Área total de átomo = 2 x Área de 1 átomo = 2R2
Área do Plano = a2 e 4R = a2 => a = 2R2
DAP = 2R2/a2 = 2R2/8R2 = /4785
63
Densidade Atômica Linear
• Análogo à DAP podemos definir a densidade atômica 
linear
 DAL = Comprimento Total de Átomos/Comprimento 
de uma direção
• Exemplo
 Calcule a DAL das direções <100> na rede CFC
1/2 átomo
Comprimento total de átomo = 2 x Raio de 1 átomo = 2R
Comprimento da Direção = a e 4R = a2 => a = 2R2
DAL = 2R/a = 2R/ 2R2 = 1/2 77
64
Planos e Direções Compactas
• Como já vimos, as redes CFC e HC são as mais densas 
do ponto de vista volumétrico.
• Por outro lado, em cada rede, existem planos e direções 
com valores diferentes de DAP e DAL.
• Em cada rede, existe um certo número de planos e 
direções compactos (maior valor de DAP e DAL)
 As direções compactas estão contidas em planos compactos
 Estes planos e direções serão fundamentais na deformação 
mecânica de materiais. 
 A deformação mecânica normalmente se dá através do 
deslizamento de planos.
65
Sistemas de deslizamento
• O deslizamento ocorrerá mais facilmente em certos 
planos e direções do que em outros.
• Em geral, o deslizamento ocorrerá paralelo a planos 
compactos, que preservam sua integridade.
• Dentro de um plano de deslizamento existirão direções 
preferenciais para o deslizamento.
• A combinação entre os planos e as direções forma os 
sistemas de deslizamento (slip systems), característicos 
das diferentes estruturas cristalinas.
66
Sistemas de deslizamento (cont.)
Distância
Plano não 
denso
Plano 
denso Distância
 O deslizamento é mais 
provável em planos e 
direções compactas porque 
nestes casos a distância que 
a rede precisa se deslocar é 
mínima.
 Dependendo da simetria da 
estrutura, outros sistemas de 
deslizamento podem estar 
presentes.
67
Sistemas de deslizamento (cont.)
Estrutura 
Cristalina
Planos de 
Deslizamento
Direções de 
Deslizamento
Número de 
Sistemas de 
Deslizamento
Geometria da 
Célula Unitária
Exemplos
CCC
{110}
{211}
{321}
<111>
6x2 = 12
12
24
-Fe, Mo, 
W
CFC {111} <110> 4x3 = 12
Al, Cu, 
-Fe, Ni
HC
{0001}
{1010}
{1011}
<1120>
3
3
6
Cd, Mg, -
Ti, Zn
A tabela mostra os sistemas de deslizamento das 3 redes básicas. Em vermelho aparecem os sistemas 
principais. Em cinza aparecem os secundários. Por exemplo: Como a rede CFC tem 4 vezes mais 
sistemas primários que a HC, ela será muito mais dúctil.
68
Determinação da estrutura cristalina 
69
Determinação da estrutura
• Pergunta básica
 Como se pode determinar experimentalmente a estrutura 
cristalina de um material ?
• Uma boa resposta
 Estudar os efeitos causados pelo material sobre um feixe 
de radiação.
• Qual radiação seria mais sensível à estrutura ?
 Radiação cujo comprimento de onda seja semelhante ao 
espaçamento interplanar (da ordem de 0.1 nm).
 Difração de raios-x.
70
O espectro eletromagnético
raios gama
raios-x
luz visível
microondas
ondas de rádioUV infravermelho
Comprimento de onda (nm)
Como os raios-x têm comprimento de onda da ordem 
da distância entre os átomos, eles sofrem difração 
quando são transmitidos ou refletidos por um cristal.
71
Difração (revisão ?)
• Difração é um fenômeno de interferência
 
 
+
=
+
=
Interferência Construtiva
Interferência Destrutiva
72
• Considerando apenas 
a camada atômica 
superficial, podemos 
ver que 
•A e B estão em fase e viajam a mesma distância x=y 
Isto só ocorre quando entrada = saída
73
A lei de Bragg
Raios-Xincidentes
Raios-X
difratados
Diferença de caminho dos dois raios:
AB + BC = 2AB = 2d sen
Condição para interferência construtiva
2d sen = n 
Onde n é um número inteiro e
 é o comprimento de onda do raio-x
A C
B
  d
 
= distância
interplanar
Planos
atômicos
74
’
’
Um outro conjunto de planos terá um outro espaçamento interplanar d’, e formará um outro 
ângulo ’, com os raios-X incidentes. Em geral, para esta nova condição satisfazer a lei de 
Bragg, precisaremos de outro comprimento de onda.
75
• O angulo 2 é o angulo entre o feixe incidente 
e ofeixe difratado
É importante observar que a Lei de Bragg não depende do espaçamento
entre os átomos, mas do espaçamento INTERPLANAR
76
• Distancia Interplanar 
l + k + h
a
 = d
222
hkl
77
Métodos de difração de raios-X
Laue
 Uma amostra mono-cristalina é exposta a raios-X com vários comprimentos de 
onda (poli-cromático).
 A lei de Bragg é satisfeita por diferentes conjuntos de planos, para diferentes 
comprimentos de onda.
 Para cada condição satisfeita, haverá uma forte intensidade difratada em um 
dado ângulo.
Fonte de 
raios-X
policromático
Colimador
Mono-cristal
Filme ou detetor
180°-2
78
Métodos de difração de raios-X
Difratômetro (ou método do pó)
 Uma amostra poli-cristalina é exposta a raios-X monocromático. O 
ângulo de incidência varia continuamente.
 Para certos ângulos, a Lei de Bragg é satisfeita para algum plano de 
algum dos mono-cristais, em orientação aleatória.
Amostra
policristalina
(pó)
Fonte de 
raios-X
monocromático
Colimador Colimador
Detetor
79
Espectro de Difração 
(110)
(200)
(211)
z
x
y
a b
c
Angulo de difração 2
Espectro de difração para o Ferro – (CCC) 
In
te
n
s
id
a
d
e
 (
re
la
ti
v
a
)
z
x
y
a b
c
z
x
y
a b
c
É como uma impressão digital ….
80
• Ex: Espectro de difração para Al
 = 0,1542 nm (CuK)
In
te
n
si
d
a
d
e 
(u
.a
)
Ângulo (2)
Uma amostra desconhecida é analisada e seus picos comparados com 
os de materiais conhecidos e tabelados, permitindo assim a 
identificação do material.
81
A lei de Bragg (cont.)
• A lei de Bragg relaciona quatro variáveis:
 2d sen = n 
  - o comprimento de onda dos raios-X
– pode assumir apenas um valor (monocromático)
– pode assumir muitos valores - raios-X “brancos” (policromáticos)
 d - o espaçamento entre os planos
– pode assumir diferentes valores, em função do conjunto de planos que difrata o feixe 
de raios-X
  - o ângulo de incidência dos raios-X
– pode variar continuamente dentro de uma faixa
– pode variar aleatoriamente em função da posição relativa dos diversos mono-cristais 
que formam uma amostra poli-cristalina
 n - a ordem da difração
82
Defeitos Cristalinos 
O cristal REAL 
83
Defeitos na Estrutura Cristalina
• Os cristais descritos até agora são todos ideais ou seja, 
não possuem defeitos.
• Os cristais reais apresentam inúmeros defeitos, que são 
classificados por sua “dimensionalidade”.
 Defeitos Pontuais (dimensão zero)
 Vacâncias
 Impurezas intersticiais e substitucionais
 Defeitos Lineares (dimensão um)
 Discordâncias (dislocations)
 Defeitos Planares (dimensão dois)
 Interfaces e fronteiras de grão
 Defeitos Volumétricos (dimensão tres)
 Vazios, fraturas, inclusões e outras fases.
84
Defeitos Pontuais 
85
Defeitos Pontuais
• Devido à agitação térmica, os átomos de um cristal real estão 
sempre vibrando.
• Quanto maior a energia térmica (ou temperatura), maior será a 
chance de átomos sairem de suas posições, deixando um vazio 
em seu lugar.
• Por outro lado, dentro da rede cristalina existem inúmeros 
interstícios, espaços vazios entre os átomos, nos quais é 
possível alojar outros átomos.
• Finalmente, é praticamente impossível obter um material 
infinitamente puro. Sempre haverá impurezas presentes na rede 
cristalina.
86
Visualização de Defeitos Pontuais
Vacância
ausência de 
átomo
Auto-intersticial
átomo da própria 
rede ocupando um 
interstício
Impureza
Intersticial
átomo diferente 
ocupando um 
interstício
Impureza
Substitucional
átomo diferente 
ocupando uma 
vacância
87
• Para formar defeitos é necessário dispor de energia.
• Normalmente esta energia é dada na forma de energia 
térmica. Isto quer dizer que quanto maior a temperatura, 
maior será a concentração de defeitos.
• Para muitos tipos de defeitos vale o seguinte:
 onde CD é a concentração de defeitos
 QD é a energia de ativação para o defeito
 k é a constante de Boltzmann
 T é a temperatura absoluta em Kelvin
Concentração de defeitos
CD 
ND
N
 exp
QD
kT




88
Conc. de defeitos (cont.)
• Ex: Concentração de vacâncias em cobre a 200ºC e a 1080ºC 
(Tf = 1084ºC)
 Dados:QD = 0,9 eV/atom (1 elétron-volt = 1,6 x 10
-19 J)
k = 8,62 x 10-5 eV/atom-K
 T1 = 200 + 273 = 473 K
 CD = exp (-0,9 / 8,62 x 10
-5 x 473) = 2,59 x10-10
 T2 = 1080 + 273 = 1353 K
 CD = exp (-0,9 / 8,62 x 10-5 x 1353) = 0,445 x10
-3
 ou 1/2 vacância para cada 1000 átomos no volume 
 ou 1/2 vacância para cada 10 átomos em cada direção.
89
O Gráfico de Arrhenius
• Gráfico de CD versus T
CD 
ND
N
 exp
QD
kT




CD
T
ln CD 
QD
k




.
1
T
ln(CD)
1/T

QD = k tan()
A partir de um gráfico experimental de 
ln(CD) versus 1/T é possível determinar a 
energia de ativação.
90
Impurezas
• Impurezas poderão assumir dois tipos de posição na rede 
cristalina de outro material
 Interstícios - espaços vazios na rede
 Substituindo um átomo do material
• Impureza intersticial - um exemplo fundamental
 Carbono em -Ferro (aço)
Átomo de Carbono 
ocupando um interstício 
na estrutura ccc do 
Ferro
Rint = a/2 - RFe a = 4RFe/3
RFe = 0,124 nm Rint = 0,0192 nm
Mas RC = 0,077 nm =>
RC / Rint = 4.01
Ou seja, o C está altamente 
comprimido nesta posição, o que 
implica em baixissima solubilidade 
(< 0,022 at % )
91
Soluções Sólidas
• A presença de impurezas substitucionais gera uma mistura 
entre os átomos das impurezas e os do material, gerando uma 
solução sólida.
Água
Álcool
Mistura em nível
molecular = Solvente
= Soluto
Solução Líquida Solução Sólida
92
As regras de Hume-Rothery
• Para que haja total miscibilidade entre dois metais, é 
preciso que eles satisfaçam as seguintes condições
 Seus raios atômicos não difiram de mais de 15%
 Tenham a mesma estrutura cristalina
 Tenham eletronegatividades similares
 Tenham a mesma valência
93
Difusão
94
Difusão
• Como já vimos, devido à presença de vacâncias e 
interstícios, é possível haver movimento de átomos de 
um material dentro de outro material.
Cu Ni
Posição
C
o
n
ce
n
tr
aç
ão
 (
%
)
100
0
Posição
C
o
n
ce
n
tr
aç
ão
 (
%
)
100
0
Cu NiSolução
Tempo
Temperatura
95
96
Formação de Vazios 
97
Difusão Intersticial 
98
Auto-intersticial 
99
Elemento Impureza 
100
As leis de Fick
• 1ª Lei
 O fluxo da impureza na direção x é proporcional ao 
gradiente de concentração nesta direção.
Jx = Fluxo de átomos através 
da área A [átomos/m2.s]
D = coeficiente de difusão ou 
difusividade [m2/s]
Jx  D
c
x
101
Difusão em Estado Estacionário
• Estado estacionário => J constante no tempo
Ex: Difusão de átomos de um gás através de uma placa 
metálica, com a concentração dos dois lados mantida 
constante.
J
Ca Cb xa xb
Posição x
Ca
Cb
Jx  D
c
x
 D
Cb Ca
xb  xa
102
Exemplo
• Exemplo 5.1 (Callister) - Calcular J para :
 Uma placa de ferro exposta a uma atmosfera rica em carbono de um 
lado, e pobre do outro.
 Temperatura de 700ºC
 Concentração de carbono
 1,2 kg/m3 a uma profundidade de 5 mm
 0,8 kg/m3 a uma profundidade de 10 mm
 Difusividade = 3 x 10-11 m2/s
  
smkgJ
m
mkg
sm
xx
CC
DJ
x
ab
ab
x
./104,2
10105
/)8,02,1(
)/103(
29
23
3
211










103
As Leis de Fick (cont.)
• 2ª Lei
 A taxa de variação da concentração com o tempo,é igual ao gradiente 
do fluxo
 Se a difusividade não depende de x
 Esta equação diferencial de segunda ordem só pode ser resolvida se 
forem fornecidas as condições de fronteira.
cx
t


x
D
cx
x




cx
t
 D
 2cx
x2
104
Exemplo
• Sólido muito comprido (“semi-infinito”) em cuja superfície se 
mantém uma impureza com concentração constante.
 Condições de contorno
 t = 0 => C = C0 , 0  x  
 t > 0 => C = Cs , x = 0 (concentração constante na superfície)
C = C0 , x = 
x0 t = 0
105
Exemplo (cont.)
 A solução da equação diferencial com estas condições de contorno é
 onde Cx é a concentração a uma profundidade x depois de um tempo t 
e
 onde erf(x/2Dt) é a função erro da Gaussiana 
x0 t > 0
Cx  C0
Cs  C0
 1  erf
x
2 Dt




106
Exemplo (cont.)
• Função erf(z)
x
Cs
C0
Cx
Cx  C0
Cs  C0
 1  erf
x
2 Dt




107
Aplicação - Carbonetação
• Exemplo 5.2 - Callister
 É possível endurecer uma camada superficial de uma peça de aço 
através da difusão de carbono. Isto é obtido expondo a peça a uma 
atmosfera rica em hidrocarbonetos (ex. CH4) a alta temperatura.
 Dados
Concentração inicial de C no aço C0 = 0,25wt%
Concentração na superfície (constante) Cs = 1,20wt%
Temperatura T = 950ºC => D = 1,6 x 10-11 m2/s
 Pergunta: Quanto tempo é preciso para atingir uma concentração Cx = 0,80wt% 
a uma profundidade de 0.5mm (5 x 10-4 m)?

























t
erf
t
erf
CC
CC
s
x
5,62
4210,0
106,1(2
105
1
25,020,1
25,080,0
11
4
0
0
108
Carbonetação (cont.)
 Para determinar t deve-se consultar a tabela de erf(z) e interpolar para o 
valor 0.4210
– z = 0,35 => erf(z) = 0,3794
– z = ? => erf(z) = 0,4210
– z = 0,40 => erf(z) = 0,4284
– Obtém-se z = 0,392
Assim
– 0,4120 = erf(62,5/t) = erf(0,392)
– 0,392 = 62.5/t
– t = 25400 s = 7,1 h
Ou seja, após 7 horas, a uma temperatura de 
950ºC e uma concentração externa constante de 
1,2wt%, obtém-se uma concentração de 0,8wt% 
de Carbono a uma profundidade de 0.5mm.
Camada Carbonetada
109
Mecanismos de difusão
• Pode haver difusão de átomos do próprio material, auto-
difusão, ou de impurezas, interdifusão.
• Ambas podem ocorrer através da ocupação do espaço 
vazio deixado por vacâncias.
• A interdifusão também pode ocorrer através da ocupação 
de interstícios. Este mecanismo é mais veloz porque os 
átomos das impurezas são menores e existem mais 
interstícios do que vacâncias.
• Tudo isto indica uma dependência da difusão com o tipo 
de impureza, o tipo de material e a temperatura.
110
Fatores que influenciam a difusão
• Tipo de impureza e tipo de material
Impureza Material D0(m
2
/s) Qd (eV/átomo) 
Difusividade 
(T=500ºC) 
Difusividade 
(T=900ºC) 
Fe -Fe 2,0x10
-4
 2,49 1,1x10
-20
 3,9x10
-15
 
Fe -Fe 5,0x10
-5
 2,94 1,1x10
--17
 7,8x10
-16
 
C  -Fe 6,2x10
-7
 0,83 2,3x10
-12
 1,6x10
-10
 
C  -Fe 1,0x10
-5
 1,40 9,2x10
-12
 7,0x10
-11
 
Cu Cu 7,8x10
-5
 2,18 4,4x10
-19
 
Zn Cu 3,4x10
-5
 1,98 4,3 x10
-18
 
Al Al 1,7x10
-4
 1,47 4,1 x10
-14
 
Cu Al 6,5x10
-5
 1,40 4,8 x10
-14
 
Mg Al 1,2x10
-4
 1,35 1,8 x10
-13
 
Cu Ni 2,7x10
-5
 2,64 1,5 x10
-22
 
 
 
111
Fatores que influenciam a difusão
• Temperatura
 Como os mecanismos satisfazem um gráfico de Arrhenius, 
a difusividade terá a mesma dependência com a 
temperatura.
 onde D0 é uma constante independente de T
Qd é a energia de ativação para difusão (J/mol, eV/átomo)
R é a constante universal dos gases perfeitos 
(8,31 J/mol.K ou 8,62 x 10-5 eV/átomo.K)
T é a temperatura em K
D  D0 exp
Qd
RT




    












TR
Q
DD d
1
.lnln 0
112
Gráficos de Arrhenius para D
Ni em Fe cfc
Cu em Al
Zn em Cu
C em Fe cfc
Temperatura, 1000/K
Temperatura, °C
D
if
u
si
v
id
ad
e 
(m
2
/s
)
113
114
Exemplo: o diamante Hope e o rubi Rosser Reeves
O diamante Hope (44,5 carats), o qual é quase carbono puro. 
O rubi Reeves (138 carats), o qual é basicamente óxido de 
aluminio (Al2O3). 
Um carat é equivalente a uma massa de 0,200 g.
Determine
(a) o número de átomos de carbono no diamante 
(b) o número de moléculas de Al2O3 no ruby . 
115
m = (44,5 carats)[(0,200 g)/(1 carat)] = 8,90 g
moles
molg
g
massa
m
n 741,0
/011,12
90,8
 molpor 

átomosN
molatomosmolNnN A
23
23
1046,4
)/10022,6)( 741,0( . 


116
(b)
m = (138 carats)[(0,200 g)/(1 carat)] = 27,6 g.
101,9612u(15,9994u) 3 (26,9815u) 2 molecular massa
Massa de 2 áts de Al Massa de 3 áts de O 
Cálculos como este na parte (a) revelam que o Rubi Rosser Reeves 
contém 0,271 moles ou 1,63 x 1023 moléculas de Al2O3
1
Defeitos LINEARES 
2
Discordâncias
• São defeitos lineares. Existe uma linha separando a 
seção perfeita, da seção deformada do material.
• São responsáveis pelo comportamento mecânico dos 
materiais quando submetidos a cisalhamento.
• São responsáveis pelo fato de que os metais são cerca 
de 10 vezes mais “moles” do que deveriam.
• Existem dois tipos fundamentais de discordâncias:
 Discordância em linha (edge dislocation)
 Discordância em hélice (screw dislocation)
3
Discordância em linha
A discordância em linha 
corresponde à borda (edge) 
do plano extra.
Discordância 
em linha
Plano Extra
4
DEFEITOS LINEARES
Discordâncias são mudanças abruptas na ordem regular dos 
átomos ao longo de uma linha (linha de discordância) no 
sólido.
5
O circuito e o vetor de Burgers
Cristal Perfeito
Cristal c/ 
discordância em linha
O circuito se fecha. O circuito não se fecha. O vetor necessário para 
fechar o circuito é o vetor de Burgers, b, que 
caracteriza a discordância.
Neste caso b é perpendicular à discordância
6
Discordância em Hélice
Discordância
Vetor de Burgers, b
Neste caso o vetor de 
Burgers é paralelo à 
discordância.
Uma boa analogia para o 
efeito deste tipo de 
discordância é 
“rasgar a lista telefônica”
7
Discordância mista
Linha da discordância
O vetor de Burgers mantém uma 
direção fixa no espaço.
Na extremidade inferior esquerda, onde 
a discordância é pura hélice, b é 
paralelo à discordância.
Na extremidade superior direita, onde a 
discordância é pura linha, b é 
perpendicular à discordância.
8
Discordâncias
9
Discordâncias e deformação mecânica
• Uma das maneiras de representar o que acontece 
quando um material se deforma é imaginar o 
deslizamento de um plano atômico em relação a outro 
plano adjacente.
Rompimento de diversas 
ligações atômicas 
simultaneamente.
Plano de 
deslizamento
(slip plane)
Baseado nesta representação, é 
possível fazer uma estimativa teórica 
da tensão cisalhante crítica.
10
Discordâncias e def. mec. (cont.)
 A tensão cisalhante crítica é o valor máximo, acima do 
qual o cristal começa a cisalhar.
 No entanto, os valores teóricos são muito maiores do que 
os valores obtidos experimentalmente.
 Esta discrepância só foi entendida quando se descobriu a 
presença das discordâncias.
 As discordâncias reduzem a tensão necessária para 
cisalhamento, ao introduzir um processo seqüencial, e não 
simultâneo, para o rompimento das ligações atômicas no 
plano de deslizamento.
11
Discordâncias e def. mec. (cont.)
1 2 3
4 5 6
tensão cisalhante
tensão cisalhante
tensão cisalhante
tensão cisalhante
12



Direção do movimento
Linha:
mov. na direção
da tensão
Hélice:
mov. normal a 
direção da tensão.
O efeito final 
é o mesmo.
Discordâncias e def. mec. (cont.)
13
Fronteiras de grão e interfaces
• Um material poli-cristalino é formado por muitos 
mono-cristais em orientações diferentes.
• A fronteira entre os monocristais é uma parede, que 
corresponde a um defeito bi-dimensional.
14
Fronteira de baixo ângulo
 Fronteira em que ocorre 
apenas uma rotação em 
relação a um eixo contido 
no plano da interface(tilt 
boundaries).
 O ângulo de rotação é 
pequeno (< 15º).
 Pode ser representada 
por uma sequência de 
discordâncias em linha.
15
Modelo de Contorno de Grão 
16
17
Vazios em fluência 
18
Recristalização AlMg
19
Corrosão intergranular em aço INOX 316
20
Contorno de grão na Perlita 
21
Podemos classificar 
quanto ao tamanho 
22
Bi-cristal 
Contorno de baixo angulo 
23
Empilhamento de discordâncias 
Aço inox
HC
24
Interação Discordâncias – Contorno de Grão
25
Recristalização 
Liga de AlMg
26
Microscopia de Campo de íons
Platina Tungstenio 
27
Contorno de grão
Alto angulo >15º
Baixo angulo < 15º
28
Outro tipo de contorno
29
Macla (twin)
• Fronteira de alta simetria onde um grão é o espelho do 
outro. 
Formadas pela 
aplicação de 
tensão mecânica 
ou em tratamentos 
térmicos de 
recozimento 
(annealing)
Plano de 
macla (twin 
plane)
30
Outras fronteiras
• Fronteira de grande ângulo
 Fronteira de rotação com ângulos maiores do que 15º
 Mais difícil de interpretar (unidades estruturais).
• Falha de empilhamento:
 cfc - deveria ser ...ABCABC... e vira ...ABCBCA...
 hc - deveria ser ...ABABAB... e vira ...ABBABA...
• Fronteiras magnéticas ou parede de spin
 Em materiais magnéticos, separam regiões com 
orientações de magnetização diferentes.
31
Diagramas de Fase 
32
DEFINIÇÕES
•Componente – metal puro 
•Solvente - hospedeiro (ou componente em maior quantidade)
•Soluto - elemento dissolvido (ou componente em menor quantidade)
•Sistema - conjunto de ligas possíveis do mesmo componente
•Solubilidade limite - concentração máxima de soluto que pode ser dissolvido 
a uma dad temperatura.
•Fase – parte com características físicas e química homogêneas 
33
Conceito Metal Puro 99,99999% 
Impurezas Elementos de liga 
Solução sólida Segunda fase 
f ( impureza, T, %) 
Não há formação de novas estruturas
O soluto esta uniformente distribuído na rede
34
Solução Sólida
de Ni e Cu 
Para uma liga de 
CuZn
com 30% de Zn
uma segunda fase se 
forma em função do 
limite de solubilidade 
do Zn no Cu
35
Grau de Liberdade = é o número de variáveis tais como temperatura, pressão, e/ou
concentração dos componentes de uma fase, a qual deve ser arbitrariamente fixada de
modo que a condição do sistema possa ser perfeitamente definida.
Analogia algébrica
• É sabido que um sistema de duas equações pode ser resolvido para duas incógnitas
•Porém se o sistema contém tres incógnitas e sómente duas equações, uma desta
variáveis independentes deve ser definida de modo a resolver as outras duas.
NESTE CASO O SISTEMA POSSUI UM GRAU DE LIBERDADE
Portanto
GRAU DE LIBERDADE (F) = NÚMERO DE VARIÁVEIS – O NÚMERO DE EQUAÇÕES
Regras das fases 
36
Variáveis 
As variáveis involvidas no diagrama de fases são : 
TEMPERATURA, PRESSÃO, E FRAÇÃO MOLAR DE COMPONENTE 
DENTRO DE CADA FASE
•Uma vez que a soma da fração molar dos componentes é igual a unidade, é 
possível determinar a fração molar de um componente se o resto é conhecido.
•Portanto cada fase tem um número de variáveis independentes igual ao 
número de componentes menos um. 
Resultado o sistema tem um número de variáveis independentes igual ao
número de fases x (número de componentes –1) + temperatura + pressão ou variáveis =
= P (C-1) + 2
37
Equações;
As equações usadas são um resultado direto da relação de energia livre de 
Gibbs. 
Se 3 fases estão em equilíbrio a variação em energia livre de cada componente 
da fase é zero.
Por exemplo: Seja um sistema binário de componentes A e B e considere um 
ponto no qual as tres fases , ,  estão em equilíbrio. 
A equação resultante para o componente A será dGA
 = dGA
 e dGA
 = dGA
 .
Observe que o número de equações para o componente A é igual ao número de 
fases menos um. Portanto 
o número total de equações = número de componentes x (o número de fases –1)
ou 
Equações = C (P-1)
38
F = variáveis - equações
F = [P(C-1) + 2] - [C(P-1)]
F = PC - P + 2 - PC + C
F = C - P + 2
Obs: se a pressão é mantida constante a 
regra das fases se torna 
F = C - P + 1
Portanto o grau de liberdade F ( número de variáveis termodinâmicas
que podem ser especificadas de forma independente )
39
Regra das Fases
F = C – P + 2
F = graus de liberdade 
C = No. de componentes do sistema
P = No. de fases em equilíbrio 
Se pressão e temperatura são variáveis 
F = C – P + 1 Se a pressão é mantida constante 
40
F = C – P + 1
F =2
F =1
C=2
F= 3-P
Na reação 
eutética P =3
(L, , )
F=0
Reação 
invariante 
41
Ex: Aplique a regra das fases nos pontos indicados
A B
L
L+S
S
a
b
c
d
F = C-P+1
Ponto a F=2 -1+1 = 2
Ponto b F=2 -2+1 = 1
Ponto c F=2 -1+1 = 2
Ponto d F=1 -2+1 = 0
42
Ex.
A 200oC uma liga de 50% de Pb –50% Sn existe na região bifásica como um
Sólido rico em Pb e um líquido rico em Sn.
a) Calcule os graus de liberdade para esta liga e comente sobre o significado
prático.
43
Usando a eq. F+P = C+N
E considerando a pressão constante de 1atm N=1
Portanto F+P = C+1
C=2 ( dois componentes Pb e Sn) 
P=2 ( duas fases) sólido e líquido 
Portanto F= C + 1 – P
F= 2 +1 –2 = 1
F=1
Isto significa que esta mistura bifásica pode ser
retida no resfriamento ou aquecimento.
A mudança de temperatura “utiliza” a liberdade
do sistema e deve ser acompanhada com
mudanças na composição.
44
b) Calcule o número de graus de liberdade para uma solução sólida de Sn
monofásica, dissolvida em Pb
F = C –P + 1
F = 2 –1 + 1
F=2
45
Diagramas de fase
• Diagramas de fase são mapas que permitem prever a 
microestrutura de um material em função da temperatura 
e composição de cada componente.
• Fase é uma porção homogênea do material que tem 
propriedades físicas ou químicas uniformes:
Ex: Mistura água/gelo - duas fases
Quimicamente idênticas - H2O
Fisicamente distintas - líquida/sólida
Ex: Mistura água/açúcar com açúcar precipitado – duas fases
Quimicamente distintas - solução H2O/açúcar e açúcar puro
Fisicamente distintas - solução em fase líquida e fase sólida
46
Exemplos
Material Poli-cristalino com 
fronteiras de grão aparentes.
Uma única fase
Micro-estrutura da perlita
Duas fases • Ferrita = -Fe (região clara)
• Cementita = Fe3C (região escura)
47
Limite de solubilidade
• Corresponde a concentração máxima que se pode 
atingir de um soluto dentro de um solvente.
• O limite de solubilidade depende da temperatura. Em 
geral, cresce com a temperatura.
Solução líquida
(água açucarada)
Solução líquida
+ açúcar sólido
100
60
80
40
20
0
T
em
p
er
a
tu
ra
 (
ºC
)
25 10050 750
25100 5075 0
Composição (wt%)
Açúcar
Água
Limite de
solubilidade
48
Diagramas binários
T
em
p
er
a
tu
ra
 (
ºC
)
L = Líquido
 = alfa
 + L
Composição (wt% Ni)
Linha
solidus
Linha
liquidus
30 40 50
1250ºC
B
C0 CCL
A
B
Ponto A
60% Ni
1100ºC
Ponto B
35% Ni
1250ºC
49
Interpretação dos diagramas
• Fases presentes
 Para uma coordenada qualquer do diagrama, verifica-se quais fases 
estão presentes
 Ponto A => apenas fase alfa
 Ponto B => fase alfa e fase líquida
• Composição de cada fase
 Para uma coordenada qualquer do diagrama, verifica-se quantas fases 
existem
Uma fase => trivial => composição lida direto do gráfico.
Duas fases => Usa-se o método da linha de conexão (tie-line)
– A tie-line se extende de uma fronteira a outra
– Marca-se as intersecções entre a tie-line e as fronteiras e verifica-se as concentrações 
correspondentes no eixo horizontal
50
Regra da Alavanca
51
Regra da Alavanca: Porcentagem em peso de fases
• Soma das porcentagens em peso :
• Conservação de massa:
• Combinando as equações:
 
WL W  1
 
Co  WLCL WC
• Interpretação geometrica
moment equilibrium:
 1 W
solving gives Lever Rule
 
WLR  WS
no momento de equilíbrio
Resolvendo para regra da alavanca 
52
Diagrama Cu-Ni : porcentagem de fases
• Regra 3: Conhecendo T e Co, entãosaberemos:
-- a quantidade de cada fase em porcentagem em peso (wt%).
• Exemplos:
em TB: Ambos  e L
em TA : sómente Liquido (L) 
WL = 100wt%, W  = 0
em TD: Sómente Solido ()
WL = 0, W  = 100wt%
Co = 35wt%Ni
WL 
S
R S
W 
R
R S
 


43 35
43 32
73 %
= 27%
53
Quantidade de fases em uma região bi-fásica
)()( 00 CCfCCf LL  
1 ffL
braço do totalidade
braço do oposto lado
CC
CC
f
L
L 




 0
f
fL
Tie-Line (isoterma) : alavanca
Composição da liga C0: apoio
fL: peso no ponto liquidus 
f: peso no ponto solidus 
A balança está equilibrada quando

L
54
Ex. Seja uma liga com 50% A e 1kg de peso/massa. A
temperatura é reduzida lentamente até que a composição da
solução líquida seja 18% B e da solução sólida 66% em peso de
B. Calcule a quantidade de cada fase.
A B C
A B
T
30 50 80
L
S
L+ST1
55
Interpretação (cont.)
30 40 50
1250ºC
B
C0 CCL
tie-line
• Fase líquida
CL = 32 wt% Ni - 68wt% Cu 
• Fase alfa (solução sólida)
C = 43 wt% Ni - 57 wt% Cu
• Composição de cada fase (cont.)
56
Interpretação (cont.)
• Determinação das frações de cada fase
Uma fase => trivial => 100% da própria fase
Duas fases => Regra da Alavanca (lever rule)
30 40 50
1250ºC
B
C0 CCL
tie-line
73,0
3243
3543
0








L
L
CC
CC
W


270
3243
3235
0
,







L
L
CC
CC
W


57
Lógica da regra da alavanca
• A regra da alavanca nada mais é do que a solução de duas 
equações simultâneas de balanço de massa
 Com apenas duas fases presentes, a soma das suas frações tem 
que ser 1
 W + WL = 1
 A massa de um dos componentes (p.ex. Ni) que está presente em 
ambas as fases deve ser igual a massa deste componente na liga como 
um todo
 WC + WLCL = C0
• A regra da alavanca, na verdade, deveria ser chamada de regra 
da alavanca invertida.
58
Diagramas de fase e microestrutura
• Até agora nós estudamos diagramas de fase isomorfos, 
nos quais existe uma faixa de temperaturas em que há 
completa miscibilidade de um constituinte no outro.
• Outra condição implicitamente utilizada até agora é de 
que os diagramas são de equilíbrio. Isto quer dizer que 
qualquer variação de temperatura ocorre lentamente o 
suficiente para permitir um rearranjo entre as fases 
através de processos difusionais. Também quer dizer 
que as fases presentes a uma dada temperatura são 
estáveis.
59
Diagramas de fase e microestrutura
• Evolução microestrutural
T
em
p
er
at
u
ra
Composição
L

 + L
CL3 CL2 CL1 C3 C2 C1
100% Líquido
C0 constituinte B
90% Líquido - 10% alfa
CL1 const. B - C1 const. B
60% Líquido - 40% alfa
CL2 const. B - C2 const. B
10% Líquido - 90% alfa
CL3 const. B - C3 const. B
100% Sólido - alfa
C0 constituinte B
60
Não-equilíbrio e segregação
• Durante o resfriamento, ocorrem mudanças na 
composição das duas fases. 
 Estas mudanças dependem de difusão, que é um processo 
lento na solução sólida.
 Na prática não vale a pena manter taxas tão lentas de 
resfriamento, o que implica que as estruturas obtidas não 
são exatamente as descritas até agora.
 Assim, a região central de cada grão vai ser rica no 
constituinte de alto ponto de fusão. A concentração do 
outro constituinte aumenta em direção ao contorno de grão.
 Isto implica em uma maior sensibilidade das fronteiras à 
temperatura. No aquecimento elas derreterão e o material se 
esfacelará.
61
Sistemas binários eutéticos
Composição (wt% Ag)
T
em
p
er
at
u
ra
 (
°C
)
Líquido
 + L

 + L
 +CE CE CE
Reação Eutética (a 780°C)
L (71,9% Ag) (7,9% Ag) +(91,2% Ag)
A temperatura de fusão do eutético é mais 
baixa que as dos seus constituintes.
62Exemplo: Solda (Pb-Sn)
• Para uma liga de 40%wt Sn-60%wt Pb a 150°C
 Quais são as fases presentes, suas composições e proporções ?
Composição (wt% Sn)
T
em
p
er
at
u
ra
 (
°C
)
C C
Fases Presentes:
 e 
Composições:
C  11% Sn
C  99% Sn
Proporções:
W = (C- C)/(C- C)
=,
W = 1 - W,
 + 
63
Microestrutura em eutéticos
• Composição eutética
Microestrutura eutética:
Camadas finas alternadas de fases  e 
Microestrutura eutética:
Camadas finas alternadas das fases  e 
(pequena variação em relação a T1) 
100% Líquido com a 
composição eutética
A transição eutética é rápida. Assim, não 
há tempo para ocorrer difusão 
substancial. A segregação de átomos de 
tipo A e B tem que se dar em pequena 
escala de distâncias.
Composição
T
em
p
er
at
u
ra
 (
°C
)
64
Microestrutura em eutéticos (cont.)
• Composição hipereutética 
Composição 
T
em
p
er
at
u
ra
 (
°C
)
10% de 1 em uma matriz 
de L1
100% Líquido com a 
composição de 80% B
67% de 2 em uma matriz 
de L2 (60% B)
67% de 3 (90% B) em 
uma matriz de 
microestrutura eutética = 
17% 3 (30% B) + 83% 
3 (90% B)
65
Microestrutura em eutéticos (cont.)
• A microestrutura para uma composição hipoeutética é 
simétrica à da hipereutética
Fase  (ou ) primária, 
formada por solidificação 
paulatina a partir da fase 
líquida, acima da 
temperatura eutética 
(proeutética)
Estrutura eutética
66
Microestrutura em eutéticos (cont.)
• Composição abaixo da eutética
50% de 1 em uma matriz de L1
100% Líquido com a 
composição de 20% B
100% de  (20% B)
5% de 3 em uma matriz de 3
1% de 2 em uma matriz de 
(precipitado nos contornos ou 
dentro dos grãos)
Composição (wt% B)
T
em
p
eratu
ra (°C
)
67
Fases do Diagrama Fe-C 
Cementita, (D011) Structure
estrutura crsitalina ortorrombica
Efeito da % de C 
Nas dimensões da rede martensítica 
68
Diagrama Eutetóide
• Diagrama semelhante a um eutético, no qual ocorre 
uma transição tipo eutética no estado sólido.
 
0,77
0,022


T(°C) L

(austenita)
 + Fe3C
 + Fe3C
 + L
400
800
1200
1600
0,77
4,302,11
727°C
1148°C
912°C
1394°C
1538°C
1 2 3 4 5 6 6,7
Concentração (wt% C)
Cementita
(Fe3C)
(Fe)
69
Diag. Fe-C - Características básicas
• Fases do Ferro puro
 Tamb - 912°C =>Fe na forma de Ferrita (-Fe, CCC)
 912°C-1394°C =>Fe na forma de Austenita (-Fe, CFC)
 1394°C-1538°C =>Fe na forma de delta Ferrita (-Fe, 
CCC) - nenhum valor tecnológico
• Solubilidade do C em Fe
 Na fase  - máximo de 0,022%
 Na fase  - máximo de 2,11%
• Cementita - Fe3C
 Composto estável que se forma nas fases  e  quando a solubilidade 
máxima é excedida, até 6,7 wt% C.
 É dura e quebradiça. A resistência de aços é aumentada pela sua 
presença.
70
Diag. Fe-C - Características básicas
• Reação eutética
 A 1148°C ocorre a reação 
L (4,3% C) <=>  (2,11% C) + Fe3C (6,7% C)
• Reação eutetóide
 A 727°C ocorre a reação
 (0,77% C) <=>  (0,022% C) + Fe3C (6,7% C)
que é extremamente importante no tratamento térmico de 
aços.
• Classificação de ligas ferrosas
 0-0,008wt% C - Ferro puro
 0,008-2,11wt% C - aços (na prática < 1,0 wt%)
 2,11-6,7wt% C - ferros fundidos (na prática < 4,5wt%)
71
Evolução microestrutural 
• Concentração eutetóide

 


Perlita
( + Fe3C)

 + Fe3C
0.77 wt% C

727°C
Inicialmente, temos apenas a fase . 
A uma temperatura imediatamente 
abaixo da eutetóide toda a fase  se 
transforma em perlita (ferrita + Fe3C) 
de acordo com a reação eutetóide. 
Estas duas fases tem concentrações de 
carbono muito diferentes. Esta reação é 
rápida. Não há tempo para haver grande 
difusão de carbono. 
As fases se organizam como lamelas 
alternadas de ferrita e cementita.
72
Evolução microestrutural (cont.)
• Concentração hipo-eutetóide
Inicialmente, temos apenas a fase . 
Em seguida começa a surgir fase 
nas fronteiras de grão da fase . 
A uma temperatura imediatamente 
acima da eutética a fase  já cresceu, 
ocupando completamente as fronteiras 
da fase . A concentração da fase  é 
0.022 wt% C. A concentração da 
fase  é 0.77 wt% C, eutetóide.
A uma temperatura imediatamente 
abaixo da eutetóidetoda a fase  se 
transforma em perlita (ferrita 
eutetóide + Fe3C). 
A fase , que não muda, é 
denominada ferrita pro-eutetóide.


 + Fe3C

727°C
 




 



Fe3C
pro-eutetóide
perlita
C0
73
Evolução microestrutural (cont.)
• Concentração hiper-eutetóide
Inicialmente, temos apenas a fase . Em 
seguida começa a surgir fase Fe3C nas 
fronteiras de grão da fase . A 
concentração da Fe3C é constante igual 
a 6.7 wt% C. 
A concentração da austenita cai com a 
temperatura seguindo a linha que separa 
o campo+Fe3C do campo . A uma 
temperatura imediatamente acima da 
eutetóide a concentração da fase  é 
0.77 wt% C, eutétóide.
A uma temperatura imediatamente 
abaixo da eutetóide toda a fase  se 
transforma em perlita. A fase Fe3C, que 
não muda, é denominada cementita 
pro-eutetóide.


 + Fe3C

727°C
 


 

Fe3C
Fe3Cpro-eutetóide
perlita
C1
Fe3C
74
Exemplos de microestruturas
Aço hipo-eutetóide com 0.38 wt% C,
composto por ferrita pro-eutetóide (fase
clara) e perlita [fase com lamelas claras
(ferrita) e escuras (cementita)]. 635x.
Aço hiper-eutetóide com 1.40 wt% C,
composto por cementita pro-eutetóide (fase
clara) e perlita. 1000x.
75
Proporções das fases
C0 C1
6.70.770.022
T U V X
Wp 
T
T U

C0  0.022
0.77  0.022
Fração de perlita
W ' 
U
T U

0.77  C0
0.77  0.022
Fração de ferrita pro-eutetóide
Wp 
X
V  X

6.7  C1
6.7  0.77
Fração de perlita
Fração de cementita pro-eutetóide
WFe
3
C 
V
V  X

C1  0.77
6.7  0.77
 Hipo-eutetóide  Hiper-eutetóide
76
Glossário
• Austenita = -Fe = fase 
• Ferrita = -Fe = fase 
• Cementita = Fe3C (6.7 wt% C em Fe)
• Perlita = Ferrita e Cementita em lamelas alternadas
• Hipo = menor que - Hiper = maior que
• Ferrita pro-eutetóide = Ferrita que se forma a T >Teutetóide
p/composição hipo-eutetóide (<0.77 wt%C)
• Cementita pro-eutetóide = Cementita que se forma a 
T >Teutetóide p/composição hiper-eutetóide.
77
Propriedades Mecânicas 
78
Elongamento (mm)
T
e
n
s
ã
o
 (
M
P
a
)
Curva se para Cobre Recozido
79
Curva Tensão-Deformação 
Teste de Tração 
80
Curva Tensão-Deformação 
Teste de Tração 
81
• Uma amostra “padronizada”
é colocada em uma máquina
e uma força axial é aplicada
–Um extensometro é usado para
medir o deslocamento.
• A amostra deve ser longa e fina
e sem cantos vivos.
Curva Tensão-Deformação 
Teste de Tração 
82
Base de medida, 2 in.
Seção reduzida , 2,25 in.
diametro, 0,5 in.
diametro, 0,75 in.
raio 3/8 in.
Dimensões da amostra 
Curva Tensão-Deformação
Teste de Tração 
83
Tensão e Deformação são calculadas a 
partir deste teste
Base de medida 
Extensômetro
F
F
Curva Tensão-Deformação
Teste de Tração 
84
• A deformação é medida na zona do meio usando
um extensômetro
Curva Tensão-Deformação
•A amostra é presa na máquina pelas extremidades 
• A carga F é medida a medida que o material é 
deformado 
F
F
Teste de Tração 
85
Curva Tensão-Deformação
Qual é a tensão medida neste teste ? 
Esta tensão é definida como a força P 
dividida pela área perpendicular a esta força.
Seja A a área na seção entre as extremidades 
do extensômetro 
A
P
s
Teste de Tração 
86
Curva Tensão-Deformação
• Quando sómente a área da seção transversal inicial Ao é usada a
tensão é chamada de tensão nominal ou tensão de engenharia.
• A área da seção transversal A, geralmente reduz durante o teste.
Se a área é medida a cada momento do teste, obtemos a tensão
verdadeira, assim a tensão verdadeira é sempre maior que a
tensão nominal.
Teste de Tração 
87
s 
F
A
Resistência é expressa em unidades de Força/Área = 
tensão 
Tensão de Escoamento 
Tensão Limite (Limite de Resistência) 
Tensão de Fratura 
Tensão Compressiva
• O simbolo para representar tensão é a letra grega s (sigma)
Tensão é sinônimo de Resistência
Curva Tensão-Deformação
Teste de Tração 
88
Exemplos de situações onde a tensão Normal está atuante
Cabos de pontes em suspensão.
Pernas das cadeira fazem marcas no assoalho ?
(tensão compressiva do pinho vs carvalho)
Operações de conformação e fabricação
Curva Tensão-Deformação
Teste de Tração 
89
•A amostra mudará de comprimento e isto será medido como 
elongação por unidade comprimento.
•Deformação é adimensional 
• Para a maioria dos metais carregados abaixo do ponto de 
escoamento a deformação é muito pequena.
Por exemplo, uma barra de aço com 1cm de diâmetro suporta uma 
carga de 1000kg, terá uma carga de tensão uniaxial de 12,7MPa e a 
deformação será sómente e= 0,0001m/m 
Deformação
Curva Tensão-Deformação
Teste de Tração 
90
• Deformação é frequentemente descrita por m/m
(strain)
Ex: para uma deformação 
e= 0.0001 = 100 m/m= 100 strain
Alguma vezes a deformação é expressa como
porcentagem, quando a deformação é grande.
Curva Tensão-Deformação
Teste de Tração 
91
Deformação : é meramente uma razão e
e

 




 
 o
o
o o
Onde 
l comprimento inicial 
l0 comprimento final 
Curva Tensão-Deformação
Teste de Tração 
92
Curva Tensão-Deformação
Teste de Tração 
93
• Energia para quebrar uma unidade do material, 
ou energia absorvida na fratura 
• É aproximadament a aréa sobre a curva tensão-
deformação.
Tenacidade
Teste de Tração 
94
Baixa tencidade (polímeros) 
e
T
e
n
s
ã
o
 d
e
 E
n
g
e
n
h
a
ri
a
s Pouca Tenacidade (cerâmicas)
Alta Tenacidade (metais,compósitos ) 
Deformação de engenharia 
Tenacidade
Curva Tensão-Deformação
Teste de Tração 
95
Resiliência
É a capacidade de absorver energia quando deformada
elásticamente e recuperar esta energia quando
descarregada.
Curva Tensão-Deformação
Teste de Tração 
96
• Deformação Plástica
 
%EL 
L f Lo
Lo
x100
Medida de dutilidade
Curva Tensão-Deformação
Teste de Tração 
97
• Deformação Plástica
• OBS: %RA e %EL são comparáveis 
- Razão: o deslizamento cristalino não muda o volume do 
material 
- % RA > %EL, possível se vazios internos se formam no pescoço
100x
A
AA
RA
o
fo 
%
• Outra medida de dutilidade
Teste de Tração 
98
• Deformação Plástica
menor %EL, frágil se %EL<5%
Grande %EL, dúctil %EL >5%
T
e
n
s
ã
o
 d
e
 E
n
g
e
n
h
a
ri
a
s
Deformação de engenharia e
Curva Tensão-Deformação
Teste de Tração 
99
E
’
E
D
C
B
A
0 e
sLimite de 
resistência 
`Linear
Plástica Encruamento Empescoçamento 
Significante 
Curva Tensão-Deformação - típica de um aço 
Tensão de 
escoamento
Limite de 
proporcionalidade
Teste de Tração 
100
A parte linear: 
Robert Hooke 1678 - Ut tensio sic vis (tal como estica tal como a 
força) 
Thomas Young (1807) – sugeriu que a razão tensão/deformação dá 
a medida da rigidez do material. 
Esta razão é chamada módulo de Young
ou
módulo de elasticidade E.
Curva Tensão-Deformação
Teste de Tração 
101
Material Módulo (E) 
Aço 205 GPa
CoCrMo 210 GPa
Ti6Al4V 110 GPa
Polietileno (AD) 1.4 GPa
Acrílico 2.8 GPa
Ossos 10-25 GPa
Curva Tensão-Deformação
Teste de Tração 
102
E
’
E
D
C
B
A
0 e
sLimite de 
resistência 
`Linear
Plástica Encruamento Empescoçamento 
Significante 
Tensão de 
escoamento
Limite de 
proporcionalidade
Curva Tensão-Deformação
Teste de Tração 
103
• Para um aço estrutural existe uma região plástica onde existe
pouco ou nenhum aumento na tensão a medida que a amostra
alonga durante o teste.
• Deformação pode ser de 10-15 vezes a deformação no limite
proporcional.
• Metais com este comportamento são considerado duteis
Parte Plástica : 
Curva Tensão-Deformação
Teste de Tração 
104
E
’
E
D
C
B
A
0 e
sLimite de 
resistência 
`Linear
Plástica Encruamento Empescoçamento 
Significante 
Tensão de 
escoamento
Limite de 
proporcionalidade
empescoçamento
Curva Tensão-Deformação
Teste de Tração 
105
Região Encruada :
Após sofrer alta deformação na região BC o metal começa a
encruar. Mudanças