Relações diferenciais - quantidade de movimento e energia

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Relações diferenciais – quantidade de movimento linear e energia 
 
Quantidade de movimento linear 
Vamos considerar agora a aplicação da lei básica da quantidade de movimento linear 
em relação ao escoamento de um fluido, no intuito de se pesquisar detalhes ponto a 
ponto através de uma região infinitesimal. 
A partir de um volume de controle elementar, vimos a seguinte definição: 
 
𝐹 = 
𝜕
𝜕𝑡
𝑉𝜌𝑑𝑉𝑜𝑙 + (�̇� 𝑉 ) − (�̇� 𝑉 ) 
 
Como o elemento é demasiadamente pequeno, ele pode ser reduzido a um termo 
diferencial: 
𝐹 = 
𝜕
𝜕𝑡
(𝜌𝑉)𝑑𝑉𝑜𝑙 + (�̇� 𝑉 ) − (�̇� 𝑉 ) 
 
Observe que dvol = dxdydz, e que estamos considerando o vetor velocidade sem o 
símbolo de vetorial. 
Os fluxos que ocorrem em um elemento cúbico elementar (três entradas e três saídas) 
podem ser assim definidos: 
Direção x: 
 Entrada: 𝜌𝑢𝑉𝑑𝑦𝑑𝑧 
 Saída: 𝜌𝑢𝑉 + (𝜌𝑢𝑉)𝑑𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑧 
Direção y: 
 Entrada: 𝜌𝑣𝑉𝑑𝑥𝑑𝑧 
 Saída: 𝜌𝑣𝑉 + (𝜌𝑣𝑉)𝑑𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑧 
Direção z: 
 Entrada: 𝜌𝑤𝑉𝑑𝑥𝑑𝑦 
 Saída: 𝜌𝑤𝑉 + (𝜌𝑤𝑉)𝑑𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦 
Aplicando esses fluxos na equação, temos: 
𝐹 = 
𝜕
𝜕𝑡
(𝜌𝑉) +
𝜕
𝜕𝑥
(𝜌𝑢𝑉) +
𝜕
𝜕𝑥
(𝜌𝑣𝑉) +
𝜕
𝜕𝑥
(𝜌𝑤𝑉) 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 
 
O termo entre colchetes pode ser trabalhado da seguinte forma: 
 
𝜕
𝜕𝑡
(𝜌𝑉) +
𝜕
𝜕𝑥
(𝜌𝑢𝑉) +
𝜕
𝜕𝑥
(𝜌𝑣𝑉) +
𝜕
𝜕𝑥
(𝜌𝑤𝑉)
= 𝑉
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+ ∇(𝜌𝑉) + 𝜌 
𝜕𝑉
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑉
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑉
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑉
𝜕𝑧
 
 
O termo que está entre colchetes é a equação da continuidade (conservação de massa) 
e o termo entre parênteses é a aceleração total. Portanto, temos: 
 
𝐹 = 𝜌
𝑑𝑉
𝑑𝑡
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 
 
Em relação às forças há que se considerar forças de campo (tais como gravidade, 
magnetismo, eletromagnéticas, entre outras) e forças de superfície (como as viscosas, 
em decorrência do escoamento e da viscosidade). Considerando a força de campo de 
gravidade, temos: 
𝑑𝐹 = 𝜌𝑔𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 
 
As forças de superfície são mais complexas, uma vez que não se trata de um vetor e, 
sim, de um tensor, ou seja, elas possuem nove componentes, e dependem de cálculo de 
análise tensorial. São os gradientes dessas tensões (tanto normais, de pressão, quanto 
tangenciais, viscosas) que ocasionam forças líquidas sobre a superfície de controle 
diferencial. 
A imagem a seguir demonstra a condição de análise tensorial em um cubo, para 
exemplificação. 
 
 
Após todos os desenvolvimentos de cálculo, algebrismos e análises tensoriais (as quais 
omitiremos aqui, no intuito de simplificar), obtém-se a seguinte equação diferencial 
básica da quantidade de movimento linear para um elemento infinitesimal: 
 
𝜌𝑔 − ∇𝑝 + ∇τ = 𝜌
𝑑𝑉
𝑑𝑡
 
 
Essa equação é vetorial, ela possui três componentes, sendo cada um com nove termos. 
Escrevendo a equação, conforme sua componente em relação à x, observamos a 
complexidade dela, apesar da forma simplificada como ela nos aparece anteriormente. 
 
𝜌𝑔 −
𝜕𝑝
𝜕𝑥
+
𝜕τ
𝜕𝑥
+
𝜕τ
𝜕𝑦
+
𝜕τ
𝜕𝑧
= 𝜌
𝜕𝑢
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑢
𝜕𝑧
 
 
Relacionando ainda a relação das tensões superficiais com a viscosidade (para fluidos 
Newtonianos), e ainda com densidade e viscosidade dinâmica constantes, chegamos 
às seguintes equações: 
 
𝜌𝑔 −
𝜕𝑝
𝜕𝑥
+ 𝜇
𝜕 𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕²𝑢
𝜕𝑦²
+
𝜕²𝑢
𝜕𝑧²
= 𝜌
𝜕𝑢
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑢
𝜕𝑧
 
𝜌𝑔 −
𝜕𝑝
𝜕𝑦
+ 𝜇
𝜕 𝑣
𝜕𝑥
+
𝜕²𝑣
𝜕𝑦²
+
𝜕²𝑣
𝜕𝑧²
= 𝜌
𝜕𝑣
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑣
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑣
𝜕𝑧
 
𝜌𝑔 −
𝜕𝑝
𝜕𝑧
+ 𝜇
𝜕 𝑤
𝜕𝑥
+
𝜕²𝑤
𝜕𝑦²
+
𝜕²𝑤
𝜕𝑧²
= 𝜌
𝜕𝑤
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑤
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑤
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑤
𝜕𝑧
 
 
As equações acima são conhecidas como equações de Navier-Stokes. São equações 
diferenciais parciais não lineares de segunda ordem, cuja solução analítica não é, ainda, 
possível. Mas foram encontradas soluções para problemas de escoamentos viscosos 
considerando-se algumas premissas simplificadoras, simulações numéricas baseada 
em hipóteses, as quais são modeladas computacionalmente. À essas três equações se 
soma a equação da continuidade, a fim de satisfazer as quatro incógnitas: p, u, v e w. 
 
Equação diferencial da energia: 
Baseando-se nos mesmos princípios de dedução das equações anteriores (continuidade 
e quantidade de movimento) e considerando as características de análise de energia 
(por exemplo, troca térmica por condução, trabalho realizado pelas tensões viscosas, 
etc), tem-se a seguinte equação: 
 
𝜌
𝜕𝑢
𝜕𝑡
+ 𝑝(∇𝑉) = ∇(𝑘∇𝑇) + ∅ 
 
A equação anterior é válida para um fluido Newtoniano sob condições gerais de 
escoamento não permanente, compressível, viscoso e com condução de calor. Como 
visto não abrange ainda todos os outros aspectos de energia que possam estar 
envolvidos no escoamento. Na equação, k é a condutividade térmica do fluido, T é a 
temperatura, e o último termo representa uma abreviação para uma função de 
dissipação viscosa. Essa função tem a seguinte forma para um fluido incompressível: 
 
∅ = 𝜇 2
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 2
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+
𝜕𝑤
𝜕𝑧
+
𝜕𝑣
𝜕𝑥
+
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+
𝜕𝑤
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣
𝜕𝑧
+
𝜕𝑢
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑥