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03/07/2020 Disciplina Portal estacio.webaula.com.br/Classroom/index.asp?191C757E76=484220382A4BB7F19DC3C170057D5F6656FE95C153DDA5ED2327AE6189072… 1/13 Matemática Financeira Aula 4: Taxas de juros INTRODUÇÃO Nesta aula, você irá distinguir as taxas: equivalente, nominal/efetiva/proporcional e a taxa real/aparente. Bons estudos! OBJETIVOS 03/07/2020 Disciplina Portal estacio.webaula.com.br/Classroom/index.asp?191C757E76=484220382A4BB7F19DC3C170057D5F6656FE95C153DDA5ED2327AE6189072… 2/13 Determinar taxa equivalente, taxa nominal, taxa proporcional ou efetiva, taxa real, taxa bruta e taxa líquida. 03/07/2020 Disciplina Portal estacio.webaula.com.br/Classroom/index.asp?191C757E76=484220382A4BB7F19DC3C170057D5F6656FE95C153DDA5ED2327AE6189072… 3/13 TAXA EQUIVALENTE Fonte: Taxas equivalentes são aquelas referidas a períodos de tempo diferentes, mas que quando aplicadas a um mesmo capital, pelo mesmo prazo, geram o mesmo montante. Seja o capital C aplicado por um ano a uma taxa anual i . O montante M ao �nal do período de 1 ano será igual a M = C (1 + i ) Consideremos agora, o mesmo capital M aplicado por 12 meses a uma taxa mensal im. O montante M’ ao �nal do período de 12 meses será igual a M’ = C (1 + im)124 Vejamos algumas aplicações desse conceito: Primeira aplicação: Seja: I = 1% a.m. (Período mês) Vamos determinar qual a taxa equivalente ao ano (i % a.a.). (Período ano) SOLUÇÃO (1 + i ) = (1 + I ) (1 + i ) = (1 + 0,01) (1 + i ) = 1,1268 Logo: i = 1,1268 – 1 = 0,1268 ou 12,68% a.a. Segunda aplicação: Vamos determinar qual o montante acumulado no �nal de um ano, a partir de um principal de R$100,00, com uma taxa de juros de 1% a.m., no regime de juros compostos. SOLUÇÃO 𝛼 𝛼 m 𝜶 𝛼 m 12 𝛼 12 𝛼 𝛼 03/07/2020 Disciplina Portal estacio.webaula.com.br/Classroom/index.asp?191C757E76=484220382A4BB7F19DC3C170057D5F6656FE95C153DDA5ED2327AE6189072… 4/13 C = R$100,00 i = 1% a.m. ou i = 0,01 t = 1 ano n = 12 meses M = ? Temos: M = C (1 + i) M = 100 (1 + 0,01) M = 100 x 1,126825 (da Tabela) M = R$112,68 Terceira aplicação: Vamos calcular a taxa ao mês equivalente a 60% ao ano. SOLUÇÃO i = ? % a.m. (Período mês) (i = 60% a.a.)? (Período ano) (1 + i) = (1 + i ) (1 ano = 12 meses, logo expoente 12) (1 + 0,60) = (1 + i ) 1,6 = (1 + i ) Consultando a Tabela de Acumulação de Capital: Na linha n = 12, encontramos 1,60 (aproximado) na coluna i = 4% a.m. Quarta aplicação: Vamos calcular a taxa ao trimestre equivalente a 60% ao ano. SOLUÇÃO i = ? % a.t. (Período trimestre) (i = 60% a.a.)? (Período ano) (1 + i ) = (1 + i ) (1 ano = 4 trimestres, logo expoente 4) (1 + 0,60) = (1 + it) 1,6 = (1 + i ) Consultando a Tabela de Acumulação de Capital: Na linha n = 4, encontramos 1,60 (aproximado) na coluna i = 12% a.m. n 12 m a m 12 m 12 m 12 t a a t 4 4 t 4 t 03/07/2020 Disciplina Portal estacio.webaula.com.br/Classroom/index.asp?191C757E76=484220382A4BB7F19DC3C170057D5F6656FE95C153DDA5ED2327AE6189072… 5/13 Quinta aplicação: Vamos calcular a taxa ao mês equivalente a 60% ao trimestre. SOLUÇÃO I = ? % a.t. (Período ao mês) (i = 60% a.t.)? (Período trimestre) (1 + i ) = (1 + i ) (1 trimestre = 3 meses, logo expoente 3) (1 + 0,60) = (1 + i ) 1,6 = (1 + i ) Consultando a Tabela de Acumulação de Capital: Na linha n = 3, encontramos 1,60 (aproximado) na coluna i = 17% a.m. Saiba+ Seja: i = taxa de juros anual i = taxa de juros semestral i = taxa de juros mensal i = taxa de juros diária Como fazer as conversões das taxas? Podem ser feitas de acordo com as seguintes fórmulas: 1 + i = (1 + i ) [porque 1 mês = 30 dias] 1 + i = (1 + i ) [porque 1 ano = 12 meses] 1 + i = (1 + i ) [porque 1 ano = 2 semestres] 1 + i = (1 + i ) [porque 1 semestre = 6 meses] Todas elas baseadas no mesmo princípio fundamental de que taxas equivalentes aplicadas a um mesmo capital produzem montantes iguais. Não é necessário memorizar todas as fórmulas. Basta veri�car a lei de formação que é bastante clara. Por exemplo, se i = taxa de juro num quadrimestre, poderíamos escrever: 1 + i = (1 + i ) [porque 1 ano = 3 quadrimestres]. Exemplo m t t m 3 m 3 m 3 m a s m d m d 30 a m 12 a s 2 a m 6 q a q 3 03/07/2020 Disciplina Portal estacio.webaula.com.br/Classroom/index.asp?191C757E76=484220382A4BB7F19DC3C170057D5F6656FE95C153DDA5ED2327AE6189072… 6/13 Vamos determinar qual o montante acumulado no �nal de dois anos, a partir de um principal de R$2.000,00, com taxa de juros de 1% a.m., no regime de juros compostos. C = R$2.000,00 i = 1% a.m. ou i = 0,01 t = 2 anos n = 24 meses M = ? Temos: M = C (1 + i) M = 2000 (1 + 0,01) M = 2000 x 1,269735 (da Tabela) M = R$2.539,47 Exercícios! Questão 1 - Qual a taxa anual equivalente a 5% ao semestre? Resposta Correta Questão 2 - Qual a taxa mensal equivalente a 48% ao ano? Resposta Correta Questão 3 - Qual a taxa anual equivalente a 0,5% ao mês? Resposta Correta Questão 4 - Qual a taxa mensal equivalente a 12,62% ao semestre? Resposta Correta Questão 5 - Uma taxa diária de 1%, equivale a que taxa mensal? Resposta Correta TAXA NOMINAL / TAXA PROPORCIONAL OU EFETIVA Fonte: Taxa nominal é aquela que está de�nida em período de tempo diferente do período de capitalização. n 24 03/07/2020 Disciplina Portal estacio.webaula.com.br/Classroom/index.asp?191C757E76=484220382A4BB7F19DC3C170057D5F6656FE95C153DDA5ED2327AE6189072… 7/13 A taxa nominal de juros relativa a uma operação �nanceira pode ser calculada pela expressão: Vejamos algumas aplicações desse conceito: Primeira aplicação: Vamos determinar a taxa de juros nominal de um empréstimo de $100.000,00 que deve ser quitado ao �nal de um ano, pelo valor monetário de $150.000,00. SOLUÇÃO Juros pagos = J = $150.000 - $100.000 = $50.000,00 Segunda aplicação: Vamos determinar o montante (M) obtido ao �nal de um ano de uma aplicação de R$10.000,00 à taxa i = 36% ao ano com capitalização mensal. SOLUÇÃO Como a taxa i está de�nida em um período de tempo diferente do período de capitalização (i é anual e a capitalização, mensal) dizemos que i é uma taxa nominal. Assim, a taxa que será realmente aplicada neste exemplo é a taxa proporcional mensal 36/12 = 3% a.m., que será a taxa efetiva. Logo: i = 36% a.a. com capitalização mensal → i = 3% a.m. C = 10000 t = 1 ano → n = 12 (meses) → porque a taxa i está em % ao mês M = C (1 + i) M = 10000 (1 + 0,03) M = 10000 (1,03) M = 10000 . 1,425761 (da Tabela Financeira: linha n = 2, coluna 3%) p n 12 12 03/07/2020 Disciplina Portal estacio.webaula.com.br/Classroom/index.asp?191C757E76=484220382A4BB7F19DC3C170057D5F6656FE95C153DDA5ED2327AE6189072… 8/13 M = 14257,61 é o montante ao �m de 1 ano. Observação: O denominador é 12 porque a taxa i é anual e a capitalização é mensal. Terceira aplicação: O capital de R$10.000,00 será aplicado por 1 ano. Vamos determinar a que taxa anual deverá ser aplicado para gerar o mesmo montante da aplicação à taxa composta de 3% ao mês. SOLUÇÃO Obs.: a taxa composta de 3% ao mês indica tratar-se de juros compostos, ou seja, a cada mês será aplicado um porcentual de 3% sobre o montante. I = taxa anual C = 10000 t = 1 ano = 12 meses i = ? Solução: - Vamos calcular o montante à taxa de 3% ao mês. M = C (1 + i) M = 10000 (1 + 0,03) M = 10000 (1,03) - Vamos calcular o montante à taxa de I % ao ano: M = 10000 (1 + I) Igualando: 10000 (1,03) = 10000 (1 + I) 1,03 = 1 + I - Pela Tabela: 1,425761 = 1 + I I = 0,425761 ou 42,5761 % a.a. Exercícios! Questão 1 - Determine as taxas mensal, trimestral e semestral equivalentes a 36% a.a. Em seguida, compare os valores obtidos com as respectivas taxas proporcionais. n 12 12 12 12 03/07/2020 Disciplina Portal estacio.webaula.com.br/Classroom/index.asp?191C757E76=484220382A4BB7F19DC3C170057D5F6656FE95C153DDA5ED2327AE6189072… 9/13 Resposta Correta Questão 2 - Um capital de $10.000,00 foi aplicado durante 5 anos à taxa de juros de 3% a.a. Diga: a) Quais os juros totais produzidos.b) O valor atingido pelo capital ao �nal de 5 anos. Resposta Correta Questão 3 - Que taxa nominal de juros anual, capitalizada trimestralmente, produz juros totais iguais a 60% do capital ao �nal de 5 anos? Resposta Correta Questão 4 - Quanto devo aplicar numa instituição �nanceira, em caderneta de poupança, que paga uma taxa de juros de 6% a.a., para obter $10.000,00 ao �nal de 5 anos? Resposta Correta TAXA REAL Fonte: Taxa real é a taxa de remuneração do capital, descontada a taxa de in�ação. A taxa real expurga o efeito da in�ação. Um aspecto interessante sobre a taxa real de juros é que ela pode ser negativa! Vamos encontrar uma relação entre a taxa de juros nominal e real. Para isto, vamos supor que um determinado capital C é aplicado por um período de tempo unitário, a uma certa taxa nominal i . O montante M ao �nal do período, será dado por: M = C(1 + i ) Consideremos agora que, durante o mesmo período, a taxa de in�ação (desvalorização da moeda) foi igual a j. O capital corrigido por esta taxa acarretaria um montante: M = C(1 + j) Vejamos algumas aplicações desse conceito: Primeira aplicação: O capital de R$10.000,00 produziu em 1 ano o montante de R$13.500,00. Tendo neste período havido uma in�ação de 30%, vamos determinar qual a taxa real do juros e qual a taxa de remuneração do capital. n 1 1 n 2 03/07/2020 Disciplina Portal estacio.webaula.com.br/Classroom/index.asp?191C757E76=484220382A4BB7F19DC3C170057D5F6656FE95C153DDA5ED2327AE618907… 10/13 SOLUÇÃO T = 30% T = taxa real de juros real J = M - C J = 13.500 - 10.000 = 3.500 i = 35% (taxa de juros) Como (1 + i ) = (1 + r) . (1 + j) Logo, T = 1,0385 - 1 = 0,0385 ou 3,85% Atenção! T ou r é a taxa real I ou i é a taxa de juros T ou j é a taxa de in�ação Segunda aplicação: Numa operação �nanceira com taxas pré-�xadas, um banco empresta $120.000,00 para ser pago em um ano com $150.000,00. Sendo a in�ação durante o período do empréstimo igual a 10%, vamos calcular as taxas nominal e real deste empréstimo. i r n r r n j 03/07/2020 Disciplina Portal estacio.webaula.com.br/Classroom/index.asp?191C757E76=484220382A4BB7F19DC3C170057D5F6656FE95C153DDA5ED2327AE618907… 11/13 SOLUÇÃO Teremos que a taxa nominal será igual a: i = (150.000 – 120.000)/120.000 = 30.000/120.000 = 0,25 = 25% Portanto: i = 25% Como a taxa de in�ação no período é igual a j = 10% = 0,10, substituindo na fórmula anterior, vem: (1 + i ) = (1+r). (1 + j) (1 + 0,25) = (1 + r).(1 + 0,10) 1,25 = (1 + r).1,10 1 + r = 1,25/1,10 = 1,1364 Portanto, r = 1,1364 – 1 = 0,1364 = 13,64% Se a taxa de in�ação no período fosse igual a 30%, teríamos para a taxa real de juros: (1 + 0,25) = (1 + r).(1 + 0,30) 1,25 = (1 + r).1,30 1 + r = 1,25/1,30 = 0,9615 Portanto, r = 0,9615 – 1 = -,0385 = -3,85% e, portanto, teríamos uma taxa real de juros negativa! Exercício! $100.000,00 foi emprestado para ser quitado por $150.000,00 ao �nal de um ano. Se a in�ação no período foi de 20%, qual a taxa real do empréstimo? Resposta Correta TAXA BRUTA E TAXA LÍQUIDA Denomina-se taxa bruta de uma aplicação �nanceira a taxa de juros obtida considerando o valor da aplicação e o valor do resgate bruto, sem levar em conta o desconto do imposto de renda, que é retido pela instituição �nanceira. Denomina-se taxa líquida de uma aplicação �nanceira a taxa de juros obtida considerando o valor da aplicação e o valor do resgate líquido, já levando em conta o desconto do imposto de renda, que é retido pela instituição �nanceira. Assim, taxa bruta é sempre maior que a taxa líquida. n n n 03/07/2020 Disciplina Portal estacio.webaula.com.br/Classroom/index.asp?191C757E76=484220382A4BB7F19DC3C170057D5F6656FE95C153DDA5ED2327AE618907… 12/13 TAXA PREFIXADA / PÓS-FIXADA A diferença básica entre ambas as taxas, pre�xada e pós-�xada, se concentra na forma de compor a taxa: O crédito pre�xado opera com juros estáveis, que considera a in�ação, o ganho da �nanceira e mais uma margem de garantia para qualquer eventualidade. O pós-�xado conta com taxas menores, que equivalem apenas aos juros. Os outros dois componentes (risco da economia e in�ação) �cam por conta do devedor, que, além do juro, arca com a correção por um indicador de in�ação, como TR ou variação cambial. Portanto, aí está centrado o risco do negócio: Fonte: Mesmo com a estabilidade econômica, tanto o dólar quanto a in�ação podem apresentar variações, o que pode transformar os �nanciamentos pós-�xados em operações arriscadas. O consumidor pode sair ganhando na parte �xa da taxa de juros, mas em caso de qualquer oscilação mais forte na parte variável, pode acabar pagando mais pelo crédito pós-�xado. Exemplo! Um exemplo de aplicação pós-�xada é a Caderneta de Poupança, que permite ao investidor aplicar pequenas somas com rendimentos a cada 30 dias. A remuneração é composta por TR (taxa referencial) da data de aniversário da aplicação + 0,5% ao mês. A caderneta de poupança é uma aplicação pós-�xada. Os ganhos são isentos de imposto de renda, mas se o aplicador resgatar antes da data de aniversário da aplicação, perde toda a rentabilidade do período (do montante resgatado e não do saldo). ATIVIDADES Questão 1 - Calcule as taxas mensal e diária proporcionais à taxa de 3,6% ao trimestre. 1,3% a.m. – 0,06% a.d. 1,2% a.m. – 0,04% a.d. 1,4% a.m. – 0,08% a.d. 1,1% a.m. – 0,02% a.d. Justi�cativa Questão 2 - Calcule a taxa efetiva mensal equivalente a uma taxa nominal de 8,5% ao ano, capitalizados mensalmente. 0,68% 0,32% 0,85825% 0,70337% Justi�cativa 03/07/2020 Disciplina Portal estacio.webaula.com.br/Classroom/index.asp?191C757E76=484220382A4BB7F19DC3C170057D5F6656FE95C153DDA5ED2327AE618907… 13/13 Questão 3 - Calcule a taxa diária equivalente à taxa de 9% ao semestre. 1,05% 0,05% 0,065% 0,85% Justi�cativa Glossário
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