Fatoração-Resumo

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Fatoração. 
Trinômio quadrado perfeito: 
F1) Quadrado da soma de dois termos: 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)2 
F2) Quadrado da diferença de dois termos: 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = (𝑎 − 𝑏)2 
Como saber se um polinômio é um trinômio quadrado perfeito? 
Faça o seguinte: 
1) Calcular a raiz quadrada dos termos que estão elevados ao quadrado. 
2) Multiplicar os valores encontrados por 2. 
3) Comparar o valor encontrado com termo que sobrou. Se forem iguais, é um 
quadrado perfeito. 
Exemplo 1: Fatorar o polinômio 𝑥2 + 4𝑥 + 4. 
√𝑥2 = 𝑥 e √4 = 2. Multiplicando por 2 os termos calculados: 2 ∙ 𝑥 ∙ 2 = 4𝑥. Isso 
confirma que o polinômio é um trinômio quadrado perfeito. 
Então a fatoração fica assim 𝑥2 + 4𝑥 + 4 = (𝑥 + 2)2 (quadrado da soma). 
 
Exemplo 2: Fatorar o polinômio 𝑥2 − 5𝑥𝑦 + 16𝑦2 
√𝑥2 = 𝑥 e √16𝑦2 = 4𝑦. Multiplicando por 2 os termos calculados: 2 ∙ 𝑥 ∙ 4𝑦 = 8𝑥𝑦. 
Como 8𝑥𝑦 ≠ 5𝑥𝑦, não é um quadrado perfeito e não se pode fazer a fatoração. 
 
Diferença de dois quadrados. 
F3) 𝑎2 − 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏) ∙ (𝑎 − 𝑏) 
Para fatorar é só calcular a raiz quadrada dos dois termos. 
Exemplo 3: Fatorar o polinômio 9𝑥2 − 16𝑦2. 
√9𝑥2 = 3𝑥 e √16𝑦2 = 4𝑦. Fatoração: 9𝑥2 − 16𝑦2 = (3𝑥 + 4𝑦)(3𝑥 − 4𝑦). 
 
Cubo perfeito. 
F4) Cubo da soma: 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3 = (𝑎 + 𝑏)3. 
F5) Cubo da diferença: 𝑎3 − 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 − 𝑏3 = (𝑎 − 𝑏)3. 
 
Exemplo 4: Fatorar o polinômio 8𝑥3 + 36𝑥2 + 54𝑥 + 27. 
Primeiro, calcular a raiz cúbica: √8𝑥3
3
= 2𝑥 e √27
3
= 3. 
Depois, confirmar os outros termos: 
3 ∙ (2𝑥)2 ∙ 3 = 3 ∙ 4𝑥2 ∙ 3 = 36𝑥2 e 3 ∙ 2𝑥 ∙ 32 = 3 ∙ 2𝑥 ∙ 9 = 54𝑥. É um cubo perfeito. 
Fatoração: 8𝑥3 + 36𝑥2 + 54𝑥 + 27 = (2𝑥 + 3)3 
 
Exemplo 5: Fatorar o polinômio 𝑎3 − 9𝑎2 + 27𝑎 − 27. 
Calcular as raízes cúbicas: √𝑎3
3
= 𝑎 e √27
3
= 3. 
Confirmando os outros termos: 3 ∙ 𝑎2 ∙ 3 = 9𝑎2 e 3 ∙ 𝑎 ∙ 32 = 3 ∙ 𝑎 ∙ 9 = 27𝑎. É um cubo 
perfeito. 
Fatoração: 𝑎3 − 9𝑎2 + 27𝑎 − 27 = (𝑎 − 3)3. 
 
Diferença de dois cubos. 
F6) 𝑎3 − 𝑏3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2) 
Exemplo 6: Fatorar 8𝑥3 − 27𝑦3 
Primeiro, calcular as raízes cúbicas: √8𝑥3
3
= 2𝑥 e √27𝑦3
3 = 3𝑦 
Fatoração: 8𝑥3 − 27𝑦3 = (2𝑥 − 3𝑦)((2𝑥)2 + 2𝑥 ∙ 3𝑦 + (3𝑦)2) 
8𝑥3 − 27𝑦3 = (2𝑥 − 3𝑦)(4𝑥2 + 6𝑥𝑦 + 9𝑦2) 
 
Soma de dois cubos. 
F7) 𝑎3 + 𝑏3 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2) 
Exemplo 7: Fatorar 27 + 𝑥3. 
Calcular as raízes cúbicas: √27
3
= 3e √𝑥3
3
= 𝑥. 
Fatoração: 27 + 𝑥3 = (3 + 𝑥)(9 − 3𝑥 + 𝑥2).