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I. INTRODUÇÃO 
Os fenômenos eletromagnéticos que variam no tempo são 
abordados na magnetodinâmica. A equação de maior 
interesse e que caracteriza o domínio da “quase-estática” é: 
 
t
B
E
∂
∂−=×∇
r
r
 (1) 
De acordo com a equação (1), a variação temporal da 
indução magnética B cria um campo elétrico E. A equação 
acima contempla duas importantes leis: a lei de Faraday e a 
lei de Lenz. Sua forma mais conhecida é 
,)(
dt
d
te
Φ−=
 (2) 
 
conhecida como lei de Faraday. O sinal negativo do 
segundo membro da equação (1) é decorrente da lei de 
Lenz. 
 
Para se ter uma idéia da vasta gama de aplicações da 
equação (1), vale citar: 
• a lei de Faraday está relacionada com o princípio de 
conversão de energia para a forma elétrica; 
• a lei de Lenz está relacionada às correntes induzidas que 
circulam em meios condutores. 
 
Os problemas abordados pela magnetodinâmica são, 
praticamente, todos tridimensionais devido à ortogonalidade 
entre os campos vetoriais B e E. 
A penetração de campos em meios condutores 
 
 
II. A PENETRAÇÃO DE CAMPOS EM MEIOS 
CONDUTORES 
 
A teoria da penetração de campos explica o comportamento 
no espaço e no tempo das grandezas eletromagnéticas em 
meios condutores, ferromagnéticos ou não. 
 
Partindo-se das equações de Maxwell, é possível obter 
equações diferenciais parciais de 2ª ordem que expressam 
as variações no espaço e no tempo dos campos vetoriais H, 
B, E e J. 
 
t
P
P
∂
∂=∇
r
r
σµ2
 (3) 
 
σ : a condutividade elétrica do meio onde se analisa o 
fenômeno da penetração; 
µ : a permeabilidade magnética. 
O campo vetorial genérico P assume o papel das variáveis 
H, B, E e J. 
A equação acima é conhecida como a equação da difusão 
para campos eletromagnéticos . 
 
Para facilitar a análise do conjunto de equações que 
descreve o fenômeno de penetração - ou atenuação - de 
campos em meios condutores, são feitas duas hipóteses 
simplificadoras: 
 
• O campo vetorial cuja atenuação está sendo analisada 
varia senoidalmente; 
• A região condutora onde ocorre a atenuação do campo é 
um bloco semi-infinito, limitado pelo plano xy, como 
mostra a ilustração da Fig. 1. 
• A redução do comprimento das setas à medida que 
aumenta a distância da superfície do bloco sugere a 
atenuação do campo P. A inversão na direção das setas 
sugere a primeira inversão de fase da onda senoidal que 
representa o campo genérico P. 
• O campo P se extingue logo após a primeira inversão de 
fase. 
 
 
Figura 1 – Atenuação e inversão de fase do campo P. 
 
III. A EQUAÇÃO DE DIFUSÃO PARA J 
 
Essa escolha baseia-se na importância para a ciência e 
engenharia que se atribui à análise da distribuição das 
correntes induzidas em meios condutores e seus efeitos 
que, na prática, se manifestam através de: 
 
• dissipação de energia sob a forma de calor no meio 
condutor; 
• alteração da distribuição do campo na região condutora e 
em seu entorno, devido à reação do campo magnético 
criado pelas correntes induzidas; 
• produção de forças e torques devido à interação entre os 
campos indutor e induzido. 
 
A equação da difusão quando formulada em termos de J 
assume a forma 
 
t
J
J
∂
∂=∇ σµ2 (4) 
ou 
.02 =
∂
∂−∇
t
J
J σµ (5) 
A profundidade de penetração δ em um meio condutor é 
definida como 
 
,
σµω
δ 2=
 (6) 
 
onde ω é a frequência da pulsação do campo indutor 
externo. A equação (5) reformulada em termos da 
profundidade de penetração assume a seguinte forma: 
 
.0
2
2
2 =−∇ JjJ
δ (7) 
 
onde j é o operador que imprime uma rotação de + 90º. 
 
A solução da equação (7) é muito difícil e, para facilitar a 
análise do fenômeno de circulação de correntes, somente o 
fluxo de correntes induzidas em uma dimensão será 
considerado. 
 
IV. ANÁLISE UNIDIMENSIONAL DE CORRENTES 
INDUZIDAS 
 
Na ilustração, um campo elétrico externo e alternado E0 se 
distribui ao longo de toda a camada de ar adjacente à 
fronteira superior do bloco condutor; E0 possui somente 
uma componente, na direção x. 
 
 
 
Figura 2 – E e J na fronteira ar-condutor. 
 
Devido à continuidade da componente tangencial de E0 
 
• E0 também está presente na parte interna da fronteira, 
como mostra a ilustração; 
• No ar, tem-se σ=0 e, portanto, J0=0. 
• Na parte interna do bloco a condutividade σσσσ não é nula e 
flui uma corrente associada ao campo elétrico E0 é 
.00 EJ σ= (8) [Lei de Ohm] 
------------------------------------------------------------------------------ 
 
 
• J0 possui somente uma componente, Jx, na direção x. 
 
• Jx não varia nas direções x e y, mas varia com a distância 
z da superfície do bloco condutor. 
 
 
Fig. 3 – Jx varia com a profundidade z. 
 
• Essa variação é descrita por uma forma particular da 
equação de difusão: 
.)(
)(
0
2
22
2
=−
∂
∂
zJj
z
zJ
x
x
δ (9) 
 
A solução dessa equação é 
 
).cos(),( δ
δ zwteJtzJ
z
x −=
−
0 (10) 
 
• A equação (10) representa uma onda senoidal com 
amortecimento. 
• A amplitude da onda é J0e-z/t e sua fase é –z/δ. 
• À medida que E e J penetram no bloco, a amplitude da 
onda diminui, ocorrendo também uma mudança na fase, 
como ilustra a Fig. 4. 
 
 
 
Figura 4 - Atenuação e defasagem de J com a profundidade. 
 
Amplitude de Jx 
 
Quando z = δ, a amplitude é 
 
,, 0
0
0 370 Je
J
eJ ≅=
− δ
δ
 (11) 
 
• Na profundidade δ, Jx é somente 37% do valor da 
corrente na superfície do bloco. 
• Jx se torna desprezível para z=3δ, e sua magnitude é algo 
em torno de 5% do seu valor na superfície. 
• Esse fenômeno é conhecido como efeito pelicular . 
Fase de Jx 
 
Para entender melhor a questão do atraso de fase que 
ocorre à medida que se penetra no bloco condutor, vale 
observe novamente a equação (10): 
 
).cos(),( δ
δ zwteJtzJ
z
x −=
−
0 (10) 
 
• O argumento da função cosseno varia à medida que a 
profundidade z aumenta. 
• Essa variação do argumento (wt-z/δ) faz o cosseno variar 
entre -1 e +1. 
• Sejam z1 e z2 duas profundidades tais que 
• Para z=z1, cos(wt-z1/δ)=+1 
• Para z=z2, cos(wt-z2/δ)=-1. A variação de J é: 
 
 
Fig. 5 – Correntes em diferentes profundidades. 
 
• A amplitude de J2 é menor devido à atenuação; 
• A defasagem entre J1 e J2 é de 180 graus. 
 
• Quando se considera o efeito combinado da atenuação 
exponencial e do atraso de fase, a imagem geométrica e 
temporal da equação (10) é a de um movimento 
harmônico amortecido, conforme ilustração da Fig. 6. 
 
 
 
 
Figura 6 – Analogia entre fenômenos. 
 
• Tal imagem é análoga à de uma corda com uma 
extremidade fixada a uma parede e a outra extremidade 
submetida a um movimento variável de sobe e desce. 
• Tem-se assim a propagação de uma onda que se atenua 
e cujo movimento se extingue no ponto de fixação. 
 
• A análise do fenômeno de penetração de campos 
apresentada acima é igualmente válida para os campos 
vetoriais H, B e E. 
 
• A profundidade de penetração δ é a mesma para esses 
outros três campos vetoriais; todos sofrem a mesma 
atenuação e se extinguem na mesma profundidade z. 
 
• Os campos H e B são perpendiculares a J e E. 
 
• Essa ortogonalidade é expressa matematicamente pelo 
operador rotacional que liga [ J com H ] e [ E com B ]. 
 
 
Figura 7 – Ortogonalidade entre campos vetoriais. 
 
 
V. UM SISTEMA DE LEVITAÇÃO MAGNÉTICA 
 
Uma vista tridimensional do acionador empregado em um 
sistema de levitação magnética é apresentada na Fig. 8. 
 
• O acionador é formado por um núcleo em forma de E, um 
enrolamento e uma armadura móvel. O material que 
constitui o núcleo é ferromagnético (µr=2500) e isolante. 
• A armadura móvel possui 1,0 cm de altura e a 
profundidade do dispositivo, na direção z, é de 6,0 cm. O 
comprimento do entreferro é 2,0 milímetros. 
• O acionador é excitado por uma corrente de 5,0 ampères 
que circula em um enrolamento de 600 espiras. 
 
 
Figura 7 – Acionador magnético 
 
 
O modelo bidimensional do acionador é mostrado na Fig. 8. 
 
• O objetivo da análise é examinar como a frequência deoperação afeta o funcionamento do acionador. 
• A força que age no prato móvel é calculada para 
diferentes frequências de operação 
• Também é feita uma análise da distribuição das correntes 
induzidas que surgem no prato. 
• Um item muito importante para a análise é a profundidade 
de penetração - que é definida a partir dos valores da 
condutividade elétrica σ e permeabilidade magnética µ. 
• O meio material que forma o prato móvel é uma liga de 
níquel com 
σ=1,0x106 S/m 
µr=600 
• A condutividade pode ser comparada à do cobre, que é 
57,7x106 S/m. Também a permeabilidade magnética deve 
ser comparada às permeabilidades das ligas de ferro 
doce e ferro-silício que valem 5000 e 7000, 
respectivamente. 
• Ou seja, a região onde é feita a análise da formação de 
correntes induzidas possui condutividade e 
permeabilidade magnética relativamente baixas. Espera-
se, pois, que a profundidade de penetração seja 
relativamente grande. 
 
 
 
 
Figura 8 – Modelo bidimensional do acionador. 
 
 
 
VI. RESULTADOS NUMÉRICOS 
 
(a) Mapeamento da distribuição das correntes induzidas 
 
Na análise bidimensional, as correntes induzidas fluem na 
direção z, ou seja, entrando no plano do papel. 
 
 
 Figura 9 – Efeito da frequência na distribuição de correntes 
induzidas. 
 
• Nesse mapeamento, observa-se um aumento 
considerável das correntes mais intensas nas 
proximidades da borda superior do prato, quando a 
frequência muda de 60 para 120 Hz. Por outro lado, as 
diferenças das distribuições associadas às frequências de 
120 e 300 Hz são quase imperceptíveis. 
• Para operação em corrente alternada, a força líquida que 
age no prato móvel é o resultado da interação de dois 
campos magnéticos. O primeiro é criado pela corrente de 
5,0 ampères que circula no enrolamento principal; o 
núcleo em E, altamente permeável, permite a circulação 
desse campo que cruza o entreferro e procura penetrar no 
prato móvel. O outro campo magnético é criado pelas 
correntes induzidas se opõe à penetração do fluxo 
magnético no prato móvel. 
 
 
 
 
Figura 10 – Efeito da frequência na força que age no prato 
móvel. 
 
Quando a frequência é nula, não existe reação à 
penetração do fluxo no prato móvel; no caso, a força que 
tende a elevar o prato é de 859,95 N. Já na operação em 
corrente alternada, mesmo para frequências bem baixas, o 
campo devido às correntes induzidas – o campo induzido - 
começa a bloquear a penetração do fluxo e a força líquida 
que age sobre o prato cai bruscamente. A observação 
atenta do gráfico mostra que para uma frequência tão baixa 
quanto 3 Hz a força líquida cai para 429,74 N. Esse valor 
representa algo em torno de 50% da força para operação 
em corrente contínua. 
Embora o aumento da frequência de operação tenha uma 
influência pequena no valor da força líquida desse 
acionador, outras grandezas podem sofrer alteração 
considerável. É o que mostra o gráfico da Fig. 11, que 
representa o aumenta das perdas ôhmicas à proporção que 
a frequência de operação aumenta. 
 
 
 
 
Figura 11 – Perdas ôhmicas devido às correntes induzidas. 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
[1] J.P.A. Bastos, Eletromagnetismo para engenharia: 
estática e quase-estática, Editora da UFSC, Florianópolis, 
2004, 1ª ed, p. 227-256. 
[2] 2D Case Study (Static Problems – Translational 
Geometry), E-core actuator, Infolytica Co., Available: 
http://www.infolytica.com/en/markets/appspec/cstudies/E-
core%20actuator_2Dcs.pdf. 
[3] D. Meeker, FEMM 4.0 Magnetics and Electrostatics, 
Reference manual, (2006). Available: http://femm.foster-
miller.net/wiki/HomePage.