Unidade 1 - Tipos de ondas

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07/03/2019 Minha Biblioteca: Fundamentos de Física - Vol. 2 - Gravitação, Ondas e Termodinâmica, 10ª edição
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concerto sinfônico, envolve a produção de ondas pelos artistas e a detecção dessas ondas pela plateia. Da
produção à detecção, a informação contida nas ondas pode ser transmitida por diversos meios (como no
caso de uma apresentação ao vivo pela internet) ou gravada e reproduzida (por meio de CDs, DVDs, pen
drives e outros dispositivos atualmente em desenvolvimento nos centros de pesquisa). A importância
econômica do controle de ondas musicais é enorme, e a recompensa para os engenheiros que
desenvolvem novas técnicas pode ser muito generosa.
Neste capítulo, vamos discutir as ondas que se propagam em meios sólidos, como as cordas de um violão. O
próximo capítulo vai tratar das ondas sonoras, como as que são produzidas no ar pelos instrumentos musicais.
Antes, porém, vamos definir os tipos básicos em que podem ser divididas as ondas que fazem parte do nosso dia a
dia.
Tipos de Ondas
As ondas podem ser de três tipos principais:
Ondas mecânicas. Essas ondas são as mais conhecidas, já que estão presentes em toda parte; são, por exemplo,
as ondas do mar, as ondas sonoras e as ondas sísmicas. Todas possuem duas características: são governadas
pelas leis de Newton e existem apenas em meios materiais, como a água, o ar e as rochas.
Ondas eletromagnéticas. Essas ondas podem ser menos conhecidas, mas são muito usadas; entre elas estão a
luz visível e ultravioleta, as ondas de rádio e de televisão, as micro-ondas, os raios X e as ondas de radar. As
ondas eletromagnéticas não precisam de um meio material para existir. A luz das estrelas, por exemplo,
atravessa o vácuo do espaço para chegar até nós. Todas as ondas eletromagnéticas se propagam no vácuo com a
mesma velocidade c = 299.792.458 m/s.
Ondas de matéria. Embora essas ondas sejam estudadas nos laboratórios, provavelmente o leitor não está
familiarizado com elas. Estão associadas a elétrons, prótons e outras partículas elementares e mesmo a átomos e
moléculas. São chamadas de ondas de matéria porque normalmente pensamos nas partículas como elementos
de matéria.
Boa parte do que vamos discutir neste capítulo se aplica a ondas de todos os tipos. Os exemplos, porém, são
todos baseados em ondas mecânicas.
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07/03/2019 Minha Biblioteca: Fundamentos de Física - Vol. 2 - Gravitação, Ondas e Termodinâmica, 10ª edição
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Figura 16-1 (a) Produção de um pulso isolado em uma corda. Com a passagem do pulso, um elemento típico da
corda (indicado por um ponto) se desloca para cima e depois para baixo. Como o movimento do elemento é per?
pendicular à direção de propagação da onda, dizemos que o pulso é uma onda transversal. (b) Produção de uma
onda senoidal. Um ele? mento típico da corda se move repetidamente para cima e para baixo. Essa também é uma
onda transversal.
Ondas Transversais e Longitudinais
Uma onda em uma corda esticada é a mais simples das ondas mecânicas. Quando damos uma sacudidela na ponta
de uma corda esticada, um pulso se propaga ao longo da corda. O pulso é formado porque a corda está sob tração.
Quando puxamos a ponta da corda para cima, a ponta puxa para cima a parte vizinha da corda por causa da tração
que existe entre as duas partes. Quando a parte vizinha se move para cima, ela puxa para cima a parte seguinte da
corda e assim por diante. Enquanto isso, puxamos para baixo a extremidade da corda, o que faz com que as partes
da corda que estão se deslocando para cima sejam puxadas de volta para baixo pelas partes vizinhas, que já se
encontram em movimento descendente. O resultado geral é que a distorção da forma da corda (um pulso, como na
Fig. 16-1a) se propaga ao longo da corda com uma velocidade .
Quando movemos a mão para cima e para baixo continuamente, executando um movimento harmônico simples,
uma onda contínua se propaga ao longo da corda com velocidade . Como o movimento da mão é uma função
senoidal do tempo, a onda tem forma senoidal, como na Fig. 16-1b.
Vamos considerar apenas o caso de uma corda “ideal”, na qual não existem forças de atrito para reduzir a
amplitude da onda enquanto está se propagando. Além disso, vamos supor que a corda é tão comprida que não é
preciso considerar o retorno da onda depois de atingir a outra extremidade.
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Figura 16-2 Uma onda sonora é produzida movendo um êmbolo para a frente e para trás em um tubo com ar. Como
as oscilações de um elemento de ar (representado pelo ponto) são paralelas à direção de propagação da onda, ela é
uma onda longitudinal.
Um modo de estudar as ondas da Fig. 16-1 é examinar a forma de onda, ou seja, a forma assumida pela corda
em um dado instante. Outro modo consiste em observar o movimento de um elemento da corda enquanto oscila para
cima e para baixo por causa da passagem da onda. Usando o segundo método, constatamos que o deslocamento dos
elementos da corda é perpendicular à direção de propagação da onda, como mostra a Fig. 16-1b. Esse movimento é
chamado de transversal, e dizemos que a onda que se propaga em uma corda é uma onda transversal.
Ondas Longitudinais. A Fig. 16-2 mostra como uma onda sonora pode ser produzida por um êmbolo em um
tubo com ar. Quando deslocamos o êmbolo bruscamente para a direita e depois para a esquerda, produzimos um
pulso sonoro que se propaga ao longo do tubo. O movimento do êmbolo para a direita empurra as moléculas de ar
para a direita, aumentando a pressão do ar nessa região. O aumento da pressão do ar empurra as moléculas vizinhas
para a direita, e assim por diante. O movimento do êmbolo para a esquerda reduz a pressão do ar nessa região. A
redução da pressão do ar puxa as moléculas vizinhas para a esquerda, e assim por diante. O movimento do ar e as
variações da pressão do ar se propagam para a direita ao longo do tubo na forma de um pulso.
Quando deslocamos o êmbolo para a frente e para trás executando um movimento harmônico simples, como na
Fig. 16-2, uma onda senoidal se propaga ao longo do tubo. Como o movimento das moléculas de ar é paralelo à
direção de propagação da onda, esse movimento é chamado de longitudinal, e dizemos que a onda que se propaga
no ar é uma onda longitudinal. Neste capítulo, vamos estudar as ondas transversais, principalmente as ondas em
cordas; no Capítulo 17, vamos estudar as ondas longitudinais, principalmente as ondas sonoras.
Tanto as ondas transversais como as ondas longitudinais são chamadas de ondas progressivas quando se
propagam de um lugar a outro, como no caso das ondas na corda da Fig. 16-1 e no tubo da Fig. 16-2. Observe que é
a onda que se propaga e não o meio material (corda ou ar) no qual a onda se move.
Comprimento de Onda e Frequência
Para descrever perfeitamente uma onda em uma corda (e o movimento de qualquer elemento da corda), precisamos
de uma função que reproduza a forma da onda. Isso significa que necessitamos de uma relação como
em que y é o deslocamentotransversal de um elemento da corda e h é uma função do tempo t e da posição x do
elemento na corda. Qualquer forma senoidal como a da onda da Fig. 16-1b pode ser descrita tomando h como uma
função seno ou uma função cosseno; a forma de onda é a mesma para as duas funções. Neste capítulo, vamos usar a
função seno.
Função Senoidal. Imagine uma onda senoidal como a da Fig. 16-1b se propagando no sentido positivo de um
eixo x. Quando a onda passa por elementos (ou seja, por trechos muito pequenos) da corda, os elementos oscilam
paralelamente ao eixo y. Em um instante t, o deslocamento y do elemento da corda situado na posição x é dado por
Como a Eq. 16-2 está escrita em termos de uma posição genérica x e de um tempo genérico t, pode ser usada para
calcular o deslocamento de todos os elementos da corda em um dado instante e a variação com o tempo do
deslocamento de um dado elemento da corda em função do tempo. Assim, pode nos dizer qual é a forma da onda em
um dado instante de tempo e como essa forma varia com o tempo.
Os nomes das grandezas da Eq. 16-2 são mostrados e definidos na Fig. 16-3. Antes de discuti-los, porém, vamos
examinar a Fig. 16-4, que mostra cinco “instantâneos” de uma onda senoidal que se propaga no sentido positivo de
um eixo x. O movimento da
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onda está indicado pelo deslocamento para a direita da seta vertical que aponta para um dos picos
positivos da onda. De instantâneo para instantâneo, a seta se move para a direita juntamente com a forma
da onda, mas a corda se move apenas paralelamente ao eixo y. Para confirmar esse fato, vamos
acompanhar o movimento do elemento da corda em x = 0, pintado de vermelho. No primeiro instantâneo
(Fig. 16-4a), o elemento está com um deslocamento y = 0. No instantâneo seguinte, está com o maior
deslocamento possível para baixo porque um vale (ou máximo negativo) da onda está passando pelo
elemento. Em seguida, sobe de novo para y = 0. No quarto instantâneo, está com o maior deslocamento
possível para cima porque um pico (ou máximo positivo) da onda está passando pelo elemento. No
quinto instantâneo, está novamente em y = 0, tendo completado um ciclo de oscilação.
Figura 16-3 Nomes das grandezas da Eq. 16-2, para uma onda senoidal transversal.
Amplitude e Fase
A amplitude ym de uma onda como a Fig. 16-4 é o valor absoluto do deslocamento máximo sofrido por um
elemento a partir da posição de equilíbrio quando a onda passa por esse elemento. (O índice m significa máximo.)
Como ym é um valor absoluto, é sempre positivo, mesmo que, em vez de ser medido para cima, como na Fig. 16-4a,
seja medido para baixo.
A fase da onda é o argumento kx – ωt do seno da Eq. 16-2. Em um elemento da corda situado em uma dada
posição x, a passagem da onda faz a fase variar linearmente com o tempo t. Isso significa que o valor do seno
também varia, oscilando entre +1 e –1. O valor extremo positivo (+1) corresponde à passagem de um pico da onda;
nesse instante, o valor de y na posição x é ym. O valor extremo negativo (–1) corresponde à passagem de um vale da
onda; nesse instante, o valor de y na posição x é –ym. Assim, a função seno e a variação da fase da onda com o
tempo correspondem à oscilação de um elemento da corda, e a amplitude da onda determina os extremos do
deslocamento.
Atenção: Depois de calcular uma fase, não convém arredondar o resultado antes de calcular o valor da função
seno, pois isso pode introduzir um erro significativo no resultado final.
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07/03/2019 Minha Biblioteca: Fundamentos de Física - Vol. 2 - Gravitação, Ondas e Termodinâmica, 10ª edição
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Figura 16-4 Cinco “instantâneos” de uma onda que está se propagando em uma corda no sen? tido positivo de um
eixo x. A amplitude ym está indicada. Um comprimento de onda λ típico, medido a partir de uma posição arbitrária x1,
também está indicado.
Comprimento de Onda e Número de Onda
O comprimento de onda λ de uma onda é a distância (medida paralelamente à direção de propagação da onda)
entre repetições da forma de onda. Um comprimento de onda típico está indicado na Fig. 16-4a, que é um
instantâneo da onda no instante t = 0. Nesse instante, a Eq. 16-2 nos dá, como descrição da forma da onda, a função
Por definição, o deslocamento y é o mesmo nas duas extremidades do comprimento de onda, ou seja, em x = x1 e
x = x1 + λ. Assim, de acordo com a Eq. 16-3,
Uma função seno se repete pela primeira vez quando o ângulo (ou argumento) aumenta de 2π rad; assim, na Eq. 16-
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07/03/2019 Minha Biblioteca: Fundamentos de Física - Vol. 2 - Gravitação, Ondas e Termodinâmica, 10ª edição
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O parâmetro k é chamado de número de onda; a unidade de número de onda do SI é o radiano por metro ou m–1.
(Observe que, nesse caso, o símbolo k não representa uma constante elástica, como em capítulos anteriores.)
Observe que a onda da Fig. 16-4 se move para a direita de λ/4 de um instantâneo para o instantâneo seguinte.
Assim, no quinto instantâneo, a onda se moveu para a direita de um comprimento de onda λ.
Figura 16-5 Gráfico do deslocamento do ele? mento da corda situado em x = 0 em função do tempo, quando a onda
senoidal da Fig. 16-4 passa pelo elemento. A amplitude ym está indicada. Um período T típico, medido a partir de um
instante de tempo arbitrário t1, também está indicado.
Período, Frequência Angular e Frequência
A Fig. 16-5 mostra um gráfico do deslocamento y da Eq. 16-2 em função do tempo t para um ponto da corda, o
ponto x = 0. Observandoa corda de perto, veríamos que o elemento da corda que está nessa posição se move para
cima e para baixo, executando um movimento harmônico simples dado pela Eq. 16-2 com x = 0:
em que fizemos uso do fato de que sen(–α) = –sen α para qualquer valor de α. A Fig. 16-5 é um gráfico da Eq. 16-6;
a curva não mostra a forma de onda. (A Fig. 16-4 mostra a forma de onda e é uma imagem da realidade; a Fig. 16-5
é um gráfico de uma função do tempo e, portanto, é uma abstração.)
Definimos o período T de oscilação de uma onda como o tempo que um elemento da corda leva para realizar
uma oscilação completa. Um período típico está indicado no gráfico da Fig. 16-5. Aplicando a Eq. 16-6 às
extremidades desse intervalo de tempo e igualando os resultados, obtemos:
A Eq. (16-7) é satisfeita apenas se ωT = 2π, o que nos dá
O parâmetro ω é chamado de frequência angular da onda; a unidade de frequência angular do SI é o radiano por
segundo (rad/s).
Observe novamente os cinco instantâneos de uma onda progressiva mostrados na Fig. 16-4. Como o intervalo de
tempo entre os instantâneos é T/4, no quinto instantâneo, todos os elementos da corda realizaram uma oscilação
completa.
A frequência f de uma onda é definida como 1/T e está relacionada à frequência angular ω pela equação
Do mesmo modo que a frequência do oscilador harmônico simples do Capítulo 15, a frequência f de uma onda
progressiva é o número de oscilações por unidade de tempo; neste caso, o número de oscilações realizadas por um
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elemento da corda. Como no Capítulo 15, f é medida em hertz ou múltiplos do hertz, como, por exemplo, o quilo-
hertz (kHz).
 Teste 1
A �gura é a superposição dos instantâneos de três ondas progressivas que se propagam em cordas diferentes. As fases das ondas são dadas por (a)
2x – 4t, (b) 4x – 8t e (c) 8x – 16t. Que fase corresponde a que onda na �gura?
Figura 16-6 Uma onda progressiva senoidal no instante t = 0 com uma constante de fase (a) ϕ = 0 e (b) ϕ = π/5 rad.
Constante de Fase
Quando uma onda progressiva senoidal é expressa pela função de onda da Eq. 16-2, a onda nas vizinhanças de x = 0
para t = 0 tem o aspecto mostrado na Fig. 16-6a. Note que, em x = 0, o deslocamento é y = 0 e a inclinação tem o
valor máximo positivo. Podemos generalizar a Eq. 16-2 introduzindo uma constante de fase ϕ na função de onda:
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O valor de ϕ pode ser escolhido de tal forma que a função forneça outro deslocamento e outra inclinação
em x = 0 para t = 0. Assim, por exemplo, a escolha de ϕ = π/5 rad nos dá o deslocamento e a inclinação
mostrados na Fig. 16-6b no instante t = 0. A onda continua a ser é senoidal, com os mesmos valores de
ym, k e ω, mas está deslocada em relação à onda da Fig. 16-6a (para a qual ϕ = 0). Note também o
sentido do deslocamento. Um valor positivo de ϕ faz a curva se deslocar no sentido negativo do eixo x;
um valor negativo de ϕ faz a curva se deslocar no sentido positivo.
Figura 16-7 Dois instantâneos da onda da Fig. 16-4, nos instantes t = 0 e t = Δt. Quando a onda se move para a
direita com velocidade , a curva inteira se desloca de uma distância Δx durante um intervalo de tempo Δt. O ponto
A “viaja” com a forma da onda, mas os elementos da corda se deslocam apenas para cima e para baixo.
A Velocidade de uma Onda Progressiva
A Fig. 16-7 mostra dois instantâneos da onda da Eq. 16-2, separados por um pequeno intervalo de tempo Δt. A onda
está se propagando no sentido positivo de x (para a direita na Fig. 16-7), com toda a forma de onda se deslocando de
uma distância Δx nessa direção durante o intervalo Δt. A razão Δx/Δt (ou, no limite infinitesimal, dx/dt) é a
velocidade v da onda. Como podemos calcular o valor da velocidade?
Quando a onda da Fig. 16-7 se move, cada ponto da forma de onda, como o ponto A assinalado em um dos
picos, conserva seu deslocamento y. (Os pontos da corda não conservam seus deslocamentos, mas os pontos da
forma de onda o fazem.) Se o ponto A conserva seu deslocamento quando se move, a fase da Eq. 16-2, que
determina esse deslocamento, deve permanecer constante:
Observe que, embora o argumento seja constante, tanto x quanto t estão variando. Na verdade, quando t aumenta, x
deve aumentar também para que o argumento permaneça constante. Isso confirma o fato de que a forma de onda se
move no sentido positivo do eixo x.
Para determinar a velocidade v da onda, derivamos a Eq. 16-11 em relação ao tempo, o que nos dá
ou
Usando a Eq. 16-5 (k = 2π/λ) e a Eq. 16-8 (ω = 2π/T), podemos escrever a velocidade da onda na forma
De acordo com a equação v = λ/T, a velocidade da onda é igual a um comprimento de onda por período; a onda se
desloca de uma distância igual a um comprimento de onda em um período de oscilação.
A Eq. 16-2 descreve uma onda que se propaga no sentido positivo do eixo x. Podemos obter a equação de uma
onda que se propaga no sentido oposto substituindo t por –t na Eq. 16-2. Isso corresponde à condição
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que (compare com a Eq. 16-11) requer que x diminua com o tempo. Assim, uma onda que se propaga no sentido
negativo de x é descrita pela equaçãoAnalisando a onda da Eq. 16-15 como fizemos para a onda da Eq. 16-2, descobrimos que a velocidade é dada
por
O sinal negativo (compare com a Eq. 16-12) confirma que a onda está se propagando no sentido negativo do eixo x
e justifica a troca do sinal da variável tempo.
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