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Universidade Federal de Campina Grande — UFCG
Centro de Educação e Saúde — CES
Introdução à lógica e à linguagem matemática
Prof. Josyclesio Lima
Lista de Exerćıcios II
Nome:
Questão 1 Mostre que as implicações indicadas em cada item da aula 10 são válidas:
a) [(p→ q) ∧ p]→ q (Modus Ponens - Racioćınio direto)
b) [(p→ q)∧ ∼ q]→∼ q (Modus Tollens - Racioćınio indireto)
c) (p ∧ q)→ p ou (p ∧ q)→ q (Simplificação)
d) p→ (p ∨ q) (Adição)
e) [(p ∨ q) ∧ (∼ p)]→ q ou [(p ∨ q) ∧ (∼ q)]→ p (Silogismo disjuntivo - um ou outro)
f) [(p→ q) ∧ (q → r)]→ (p→ r) (Transitividade da implicação)
Questão 2 Mostre que as equivalências indicadas em cada item da aula 11 são válidas:
a) ∼ (∼ p)⇔ p (Lei da dupla negação)
b) p ∧ q ⇔ q ∧ p (Lei comutativa da conjunção)
c) p ∨ q ⇔ q ∨ p (Lei comutativa da disjunção)
d) (p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r) (Lei associativa da conjunção)
e) (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r) (Lei associativa da disjunção)
f) p ∧ (q ∨ r)⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) (Lei da distribuição)
g) p ∨ (q ∧ r)⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) (Lei da distribuição)
h) p ∨ p⇔ p (Lei de absorção)
i) p ∧ p⇔ p (Lei de absorção)
Questão 3 Verifique se é válida a afirmação: “A terra é redonda se, e somente se, 2 + 3 6= 6, implica que
se a terra é redonda, então 2 + 3 = 6”.
Questão 4 Escreva a contrária, a rećıproca e a contrapositiva, de cada uma das afirmações abaixo:
a) Se fizer sol, irei jogar;
b) Se chover não irei ao cinema;
c) Se não fizer sol, não jogarei;
d) Se me fizerem rir, serei feliz.
Questão 5 Em cada um dos exerćıcios seguintes, forneça ou a proposição que falta ou uma justificativa
conforme o caso. Em seguida, converta cada um dos argumentos em uma prova simbólica e forneça uma
justificativa para cada passo.
a) Para eu trazer meu guarda-chuva é necessário chover. Quando chove sempre uso chapéu. Hoje eu
não uso chapéu. Portanto, não está chovendo, e assim não trouxe meu guarda-chuva.
b) Para trazer meu guarda-chuva é suficiente chover. Para usar chapéu é necessário chover. Eu estou
usando chapéu hoje. Portanto, deve estar chovendo, e então eu trouxe meu guarda-chuva.
c) Você não pode ser feliz e rico. Portanto, ou você não é feliz, ou não é rico. Você é feliz. Portanto,
você não é rico.
Questão 6 Encontre qual é a conclusão que podemos chegar a partir da premissa dada, formalize o
argumento, encontre qual é a regra de inferência utilizada e justifique os motivos pelos quais desconsiderou
as demais:
a) Premissa: Estou indo a Marte.
1. Estou indo a Marte e sou o rei da Ingraterra;
2. Estou indo a Marte ou sou o rei da Inglaterra;
3. Sou o rei da Inglaterra;
4. Eu não sou o rei da Inglaterra.
b) Premissa: Estou indo a Marte, mas não a Júpiter.
1. Eu não estou indo a Júpiter;
2. Eu não estou indo a Marte;
3. Eu estou indo a Júpiter;
2
4. Eu estou indo a Marte.
c) Premissa 1: Se eu for a Júpiter, vou passar por Io. Premissa 2: Se eu não for para Mater, vou para
Júpiter.
1. Se eu não for a Io, eu não vou a Júpiter;
2. Se eu passar em Io, eu não vou a Marte;
3. Se eu não passar em Io, eu não vou a Marte;
4. Se eu não for a Marte, não passarei em Io;
5. Nenhuma das opções.
Questão 7 Dados os passos a seguir, esboce um argumento lógico.
a)
1. p→ (q ∨ r) Premissa 1
2. p Premissa 2
3. ∼ r Premissa 3
4. 1, 2−Modus Ponens
5. 3, 4− Silogismo Disjuntivo.
b)
1. (p ∨ r)→ (s ∨ t) Premissa 1
2. p Premissa 2
3. 2−Adição
4. 1, 3−Modus Ponens
5. 4− Simplificação.
c)
1. r ∧ (∼ s) Premissa 1
2. (∼ p)→ s Premissa 2
3. p→ q Premissa 3
4. 2− Equivalência condicional e disjunção
5. 4−Dupla negação
6. 1, 5− Simplificação
7. 3, 4−Modus Ponens.
d)
1. a→ (b ∧ c) Premissa 1
2. ∼ b Premissa 2
3. 2−Adição
4. 3−De Morgan
5. 1, 4−Modus Tollens.
3
e)
1. a→ (b ∧ c) Premissa 1
2. ∼ b Premissa 2
3. ∼ (b ∧ c)→ (∼ a) 1− Contrapositiva
4. 2−Adição
5. 4−De Morgan
6. 3, 5−Modus Ponens.
f)
1. s→ r Premissa 1
2. (p ∨ q)→∼ r Premissa 2
3. ∼ s→ (∼ q → r) Premissa 3
4. p Premissa 4
5. 4−Adição
6. 4, 2−Modus Ponens
7. 1, 6−Modus Tollens
8. 3, 7−Modus Ponens
9. 6, 8−Modus Tollens.
Questão 8 Prove que:
a) Primissa 1: (∼ p ∨ r)→∼ q; Premissa 2: q; Conclusão: p ∧ (∼ r)
b) Primissa 1: (p→ q)→ r; Premissa 2: ∼ (q ∨ r); Conclusão: p
c) Primissa 1: (p→ q)→ (p→ r); Premissa 2: q ∧ p; Conclusão: r
d) Primissa 1: p→ (q → r); Premissa 2: q; Conclusão: p→ r
e) Primissa 1: (p∨ ∼ q)→ r; Premissa 2: s→ (t ∧ u); Premissa 3: s ∧ q Conclusão: r ∧ u.
Sucesso!
Bom trabalho!
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