Lista 2 -Gabarito

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Profa. Dra. Helena Caseli Lógica
Conteúdo baseado em (NICOLETTI, 2017)
2a Lista de Exerćıcios
1. Considerando as regras de inferência: (1) represente as sentenças a seguir, que estão em ĺıngua natural,
como proposições da Lógica Proposicional e (2) diga a qual regra de inferência elas se referem.
(a) Se eu estudo, então eu aprendo. Se eu aprendo, então eu vou bem na prova. Logo, Se eu estudo,
então eu vou bem na prova.
α→ β, β → γ |= α→ γ
silogismo hipotético (regra da cadeia)
(b) Se hoje é terça-feira, então hoje tem novela. Hoje é terça-feira. Logo, hoje tem novela.
α→ β, α |= β
modus ponens
(c) Se hoje é terça-feira, então hoje tem novela. Hoje não tem novela. Logo, hoje não é terça-feira.
α→ β,¬β |= ¬α
modus tollens
(d) Ana é feliz. Logo, Ana é feliz ou Ana é bailarina.
α |= α ∨ β
adição
(e) Se eu estou feliz, então eu trabalho. Se eu estou infeliz, então eu trabalho. Logo, eu trabalho.
α→ β,¬α→ β |= β
de casos
(f) Se eu sigo uma dieta saudável, então eu emagreço. Logo, se eu não emagreço, então eu não sigo
uma dieta saudável.
α→ β |= ¬β → ¬α
contraposição
(g) Chove ou faz sol. Não faz sol. Portanto, chove.
α ∨ β,¬β |= α
silogismo disjuntivo
(h) Ana é feliz e Ana é bailarina. Logo, Ana é bailarina.
α ∧ β |= α
simplificação
(i) Ana é bailarina. Ana é artesã. Portanto, Ana é bailarina e artesã.
α, β |= α ∧ β
conjunção
(j) Se hoje é segunda-feira, então eu trabalho. Se hoje é sábado, então eu jogo bola. Hoje é segunda-
feira ou sábado. Portanto, eu trabalho ou eu jogo bola.
α→ β, γ → δ, α ∨ γ |= β ∨ δ
dilema construtivo
(k) Se hoje é segunda-feira, então eu trabalho. Se hoje é sábado, então eu jogo bola. Eu não trabalho
ou eu não jogo bola. Portanto, hoje não é segunda-feira ou hoje não é sábado.
α→ β, γ → δ,¬β ∨ ¬δ |= ¬α ∨ ¬γ
dilema destrutivo
(l) Hoje é domingo. Hoje não é domingo. Logo, sou feliz.
α,¬α |= β
da inconsistência
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2. Use a tabela-verdade para verificar se os argumentos a seguir são válidos
OBS.: Alguns exerćıcios foram baseados no curso do Prof. Dr. Silvio do Lago Pereira – DTI /
FATEC-SP
(a) Se neva, então faz frio. Não está nevando. Logo, não está frio.
O argumento é:
p: neva
q: faz frio
p→ q,¬p ` ¬q
p ¬p q ¬q p→ q ((p→ q) ∧ ¬p) → ¬q
V F V F V V
V F F V F V
F V V F V F
F V F V V V
Para o argumento ser válido, a fórmula na última coluna da tabela acima deveria ser uma tau-
tologia, o que não é verdade. Assim, o argumento é inválido, pois quando I[p] = F e I[q] = V, ¬q
não é uma consequência lógica das premissas.
(b) Se eu durmo tarde, então não acordo cedo. Acordo cedo. Logo, não durmo tarde.
O argumento é:
p: eu durmo tarde
q: eu acordo cedo
p→ ¬q, q ` ¬p
p ¬p q ¬q p→ ¬q ((p→ ¬q) ∧ q) → ¬p
V F V F F V
V F F V V V
F V V F V V
F V F V V V
Argumento válido, pois a fórmula na última coluna da tabela acima é uma tautologia, ou seja,
¬p é uma consequência lógica das premissas.
(c) Gosto de dançar ou cantar. Não gosto de dançar. Logo, gosto de cantar.
O argumento é:
p: eu gosto de dançar
q: eu gosto de cantar
p ∨ q,¬p ` q
p ¬p q p ∨ q ((p ∨ q) ∧ ¬p) → q
V F V V V
V F F V V
F V V V V
F V F F V
Argumento válido, pois a fórmula na última coluna da tabela acima é uma tautologia, ou seja, q
é uma consequência lógica das premissas.
Cont.
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(d) Sócrates está disposto a visitar Platão ou não?
Se Platão está disposto a visitar Sócrates, então Sócrates está disposto a visitar Platão. Por outro
lado, se Sócrates está disposto a visitar Platão, então Platão não está disposto a visitar Sócrates;
mas se Sócrates não está disposto a visitar Platão, então Platão está disposto a visitar Sócrates.
O argumeno é:
p: Platão está disposto a visitar Sócrates
q: Sócrates está disposto a visitar Platão
p→ q, q → ¬p,¬q → p ` q
p ¬p q ¬q p→ q q → ¬p ¬q → p ((p→ q) ∧ (q → ¬p) ∧ (¬q → p)) → q
V F V F V F V V
V F F V F V V V
F V V F V V V V
F V F V V V F V
Sócrates está disposto a visitar Platão, pois o argumento é válido.
3. Identifique os átomos, construa o argumento e verifique a validade para as situações:
(a) Se Deus existe, então a vida tem significado.
Deus existe.
Portanto,
A vida tem significado.
p: Deus existe
q: a vida tem significado
Argumento: p→ q, p ` q
Tem-se C1: p→ q Premissa
C2: p Premissa
Deduz-se C3: ¬p ∨ q C1 + De Morgan
C4: q C2 + C3 + silogismo disjuntivo
(b) Deus não existe.
Se Deus existisse, a vida teria significado.
Portanto,
A vida não tem significado.
p: Deus existe
q: a vida tem significado
Argumento: ¬p,¬p→ ¬q ` ¬q
Tem-se C1: ¬p Premissa
C2: ¬p→ ¬q Premissa
Deduz-se C3: ¬¬p ∨ ¬q C2 + De Morgan
C4: p ∨ ¬q C3 + dupla negação
C5: ¬q C1 + C4 + silogismo disjuntivo
(c) Como hoje não é quinta-feira, deve ser sexta-feira.
Logo, hoje é quinta-feira ou sexta-feira.
p: hoje é quinta-feira
Cont.
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q: hoje é sexta-feira
Argumento: ¬p, q ` p ∨ q
Tem-se C1: ¬p Premissa
C2: q Premissa
Deduz-se C3: p ∨ q C2 + adição
(d) Se hoje for quinta-feira, então amanhã será sexta-feira.
Se amanhã for sexta-feira, então depois de amanhã será sábado.
Consequentemente, se hoje for quinta-feira, então depois de amanhã será sábado.
p: hoje é quinta-feira
q: amanhã será sexta-feira
r: depois de amanhã será sábado
Argumento: p→ q, q → r ` p→ r
Tem-se C1: p→ q Premissa
C2: q → r Premissa
Deduz-se C3 p Hipótese condicional
C4: q C1 + C3 + modus ponens
C5: r C2 + C4 + modus ponens
C6: p→ r C3 + C5 + introduccão da condicional
(e) Hoje é um fim de semana se e somente se hoje for sábado ou domingo.
Portanto, hoje é um fim de semana, desde que hoje seja sábado.
p: hoje é fim de semana
q: hoje é sábado
r: hoje é domingo
Argumento: p↔ (q ∨ r) ` q → p
Tem-se C1: p↔ (q ∨ r) Premissa
Deduz-se C2: (p→ (q ∨ r)) ∧ ((q ∨ r) → p) C1 + equivalência da bicondicional
C3: (q ∨ r) → p C2 + simplificação
C4: ¬(q ∨ r) ∨ p C3 + equivalência da condicional
C5: (¬q ∧ ¬r) ∨ p C4 + De Morgan
C6: (¬q ∨ p) ∧ (¬r ∨ p) C5 + distributiva
C7: ¬q ∨ p C6 + simplificação
C8: q → p C7 + equivalência da condicional
(f) Hoje é um fim de semana se e somente se hoje for sábado ou domingo.
Hoje não é sábado. Hoje não é domingo.
Portanto, hoje não é um fim de semana.
p: hoje é fim de semana
q: hoje é sábado
r: hoje é domingo
Argumento: p↔ (q ∨ r),¬q,¬r ` ¬p
Cont.
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Tem-se C1: p↔ (q ∨ r) Premissa
C2: ¬q Premissa
C3 ¬r Premissa
Deduz-se C4: ¬p ∨ q C2 + C3 + ção
C5: ¬(q ∨ r) C4 + De Morgan
C6: (p→ (q ∨ r)) ∧ ((q ∨ r) → p) C1 + equivalência da bicondicional
C7: p→ (q ∨ r) C6 + simplificação
C8: ¬p C7 + modus tollens
(g) Ela não está em casa ou não está atendendo ao telefone.
Mas se ela não está em casa, então ela foi sequestrada. Se ela não está atendendo ao telefone, ela
está correndo algum outro perigo.
Portanto, ou ela foi sequestrada ou ela está correndo um outro perigo.
p: ela está em casa
q: ela está atendendo o telefone
r: ela foi sequestrada
s: ela está correndo perigo
Argumento: ¬p ∨ ¬q,¬p→ r,¬q → s ` r ∨ s
Tem-se C1: ¬p ∨ ¬q Premissa
C2: ¬p→ r Premissa
C3 ¬q → s Premissa
Deduz-se C4: ¬(r ∨ s) Hipótese absurdo
C5: ¬r ∧ ¬s C4 + De Morgan
C6: p→ ¬q C1 + equivalência da condicional
C7: ¬r C5 + simplificação
C8: ¬s C5 + simplificação
C9: p C2 + C3 + modus tollens
C10: ¬q C6 + C9 + modus ponens
C11: s C3 + C10 + modus ponens
C12: ¬s ∧ s C8 + C11 + conjunção
C13: r ∨ s C4 + C12 + redução ao absurdo
4. Considere as seguintes premissas:
Se o universo é finito, então a vida é curta. p→ q
Se a vida vale a pena, então a vida é complexa. r → s
Se a vida é curta ou complexa, então a vida tem sentido. (q ∨ s) →t
A vida não tem sentido. ¬t
p: o universo é finito
q: a vida é curta
r: a vida vale a pena
s: a vida é complexa
t: a vida tem sentido
Verifique se as conclusões a seguir decorrem das premissas, ou seja, se as premissas e a conclusão
formam argumentos válidos. Para isso use regras de inferência e equivalências lógicas e as estratégias
vistas em aula: prova direta, prova condicional e prova indireta.
(a) Se o universo é finito e a vida vale a pena, então a vida tem sentido.
p→ q, r → s, (q ∨ s) → t,¬t ` (p ∧ r) → t
Cont.
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Tem-se C1: p→ q Premissa
C2: r → s Premissa
C3: (q ∨ s) → t Premissa
C4: ¬t Premissa
Deduz-se C5: p ∧ r Hipótese condicional
C6: p C5 + simplificação
C7: q C1 + C6 + modus ponens
C8: q ∨ s C7 + adição
C9: t C3 +C8 + modus ponens
C10: (p ∧ r) → t C5 - C9 + introdução da condicional
(b) A vida não é curta.
p→ q, r → s, (q ∨ s) → t,¬t ` ¬q
Tem-se C1: p→ q Premissa
C2: r → s Premissa
C3: (q ∨ s) → t Premissa
C4: ¬t Premissa
Deduz-se C5: ¬(q ∨ s) C3 + C4 + modus ponens
C6: ¬q ∧ ¬s C5 + De morgan
C7: ¬s C6 + simplificação
C8: ¬q C6 + simplificação
(c) A vida não é complexa ou o universo não é finito.
p→ q, r → s, (q ∨ s) → t,¬t ` ¬s ∨ ¬p
Tem-se C1: p→ q Premissa
C2: r → s Premissa
C3: (q ∨ s) → t Premissa
C4: ¬t Premissa
Deduz-se C5: ¬(q ∨ s) C3 + C4 + modus tollens
C6: ¬q ∧ ¬s C5 + De morgan
C7: ¬s C6 + simplificação
C8: ¬s ∨ ¬p C7 + adição
(d) A vida vale a pena se e somente se a vida tem sentido.
p→ q, r → s, (q ∨ s) → t,¬t ` r ↔ t
Cont.
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Tem-se C1: p→ q Premissa
C2: r → s Premissa
C3: (q ∨ s) → t Premissa
C4: ¬t Premissa
Deduz-se C5: ¬(r ↔ t) Hipótese absurdo
C6: ¬(q ∨ s) C3 + C4 + modus tollens
C7: (q ∨ s) → t C6 + De morgan
C8: ¬s C7 + simplificação
C9: ¬((r → t) ∧ (t→ r)) C5 + equivalência da bicondicional
C10: ¬((¬r ∨ t) ∧ (¬t ∨ r)) C9 + equivalência da condicional
C11: ¬(¬r ∨ t) ∨ ¬(¬t ∨ r) C10 + De morgan
C12: (¬¬r ∧ ¬t) ∨ (¬¬t ∧ ¬r) C11 + De morgan
C13: (r ∧ ¬t) ∨ (t ∧ ¬r) C12 + dupla negação
C14: ((r ∧ ¬t) ∨ t) ∧ ((r ∧ ¬t) ∨ ¬r) C13 + distributiva
C15: (r ∨ t) ∧ (¬t ∨ t) ∧ (r ∨ ¬r) ∧ (¬t ∨ ¬r) C14 + distributiva
C16: r ∨ t C15 + simplificação
C17: r C4 + C16 + silogismo disjuntivo
C18: s C2 + C17 + modus ponens
C19: s ∧ ¬s C8 + C18 + conjunção
C20: r ↔ t C5 + C19 + redução ao absurdo
5. Dadas as premissas:
Eu não como muito ou eu engordo. ¬p ∨ q
Se chove, então a temperatura cai. r → s
Se eu engordo ou a temperatura cai, então assisto TV. (q ∨ s) → t
Não assisto TV. ¬t
p: eu como muito
q: eu engordo
r: chove
s: a temperatura cai
t: assisto TV
Verifique se as conclusões a seguir decorrem das premissas, ou seja, se as premissas e a conclusão foram
argumentos válidos. Para isso use regras de inferência e equivalência lógicas e as estratégias vistas em
aula: prova direta, prova condicional e prova indireta.
(a) Se eu não como muito e chove, então assisto TV.
¬p ∨ q, r → s, (q ∨ s) → t,¬t ` (¬p ∧ r) → t
Tem-se C1: ¬p ∨ q Premissa
C2: r → s Premissa
C3: (q ∨ s) → t Premissa
C4: ¬t Premissa
Deduz-se C5: ¬p ∧ r Hipótese condicional
C6: r C5 + simplificação
C7: s C2 + C6 + modus ponens
C8: q ∨ s C7 + adição
C9: t C3 + C8 + modus ponens
C10: (¬p ∧ r) → t C5 + C9 + introdução da condicional
Cont.
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(b) Se a temperatura cai ou eu engordo, então eu não como muito.
¬p ∨ q, r → s, (q ∨ s) → t,¬t ` (s ∨ q) → ¬p
Tem-se C1: ¬p ∨ q Premissa
C2: r → s Premissa
C3: (q ∨ s) → t Premissa
C4: ¬t Premissa
Deduz-se C5: s ∨ q Hipótese condicional
C6: ¬(q ∨ s) C3 + C4 + modus tollens
C7: ¬q ∧ ¬s C6 + De Morgan
C8: ¬q C7 + simplificação
C9: ¬p C1 + C8 + silogismo disjuntivo
C10: (s ∨ q) → ¬p C5 + C9 + introdução da condicional
The End.