Modelagem de Sistemas Discretos TP 02_II

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Modelagem de Sistemas Discretos
Universidade Veiga de Almeida – UVA
Curso de Engenharia de Produção
Profª Izabel Saldanha Matsuzaki, MSc. 
2) Sistemas de Filas
2.4.7) Características operacionais de um
sistema de filas
A partir dessas informações e considerando que a taxa de atendimento é de 1 
cliente por minuto, calcule as características operacionais do sistema de filas 
da Burguer Queen.
clientes
clientes
minutos
minutos
Disciplina: Modelagem de Sistemas Discretos.
Prof. Izabel Saldanha Matsuzaki
2) Sistemas de Filas
2.4.7) Características operacionais de um
sistema de filas
Disciplina: Modelagem de Sistemas Discretos.
Prof. Izabel Saldanha Matsuzaki
Para o exemplo do sistema de fila da Burguer Queen, vários aspectos
importantes foram observados pelo gerente, tais como:
• e 75% dos clientes que chegam na fila precisam esperar até serem
atendidos;
• O número médio de clientes esperando na fila é de 2,25 clientes;
• Os clientes esperam, em média, 3 minutos antes de começar a fazer um
pedido, o que aparentemente é longo para uma empresa que tem como
premissa um serviço rápido;
2) Sistemas de Filas
Disciplina: Modelagem de Sistemas Discretos.
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2) Sistemas de Filas
Disciplina: Modelagem de Sistemas Discretos.
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Sendo λ = 10 solicitações/hora e µ = 12 solicitações/hora
a) 𝑃 ?
𝑃 1
𝜆
𝜇 1
10
12 0,1667 𝑜𝑢 16,67%
b) 𝐿 ?
𝐿
𝜆
𝜇 𝜇 𝜆
10
12. 12 10 4,1667 𝑠𝑜𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑎çõ𝑒𝑠
c)𝑊 ?
𝑊
𝐿
𝜆
4,1667
10 0,41667 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 25 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
d)𝑊 ?
𝑊 𝑊
1
𝜇 0,41667
1
12 0,5 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 30 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
e) 𝑃 ?
𝑃
𝜆
𝜇
10
12 0,8333 𝑜𝑢 83,33%
2) Sistemas de Filas
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2) Sistemas de Filas
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Sendo λ = 2,5 carros/hora e µ = 5 carros/hora
a) 𝐿 ? / 𝐿 ?
𝐿
𝜆
𝜇 𝜇 𝜆
2,5
5. 5 2,5 0,5 𝑐𝑎𝑟𝑟𝑜𝑠
𝐿 𝐿
𝜆
𝜇 0,5
2,5
5 1 𝑐𝑎𝑟𝑟𝑜
b)𝑊 ?
𝑊
𝐿
𝜆
0,5
2,5 0,2 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 12 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
c)𝑊 ?
𝑊 𝑊
1
𝜇 0,2
1
5 0,4 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 24 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
e) 𝑃 ?
𝑃
𝜆
𝜇
2,5
5 0,5 𝑜𝑢 50%
2) Sistemas de Filas
2.4.7) Características operacionais de um
sistema de filas
Disciplina: Modelagem de Sistemas Discretos.
Prof. Izabel Saldanha Matsuzaki
Como melhorar a operação desta fila de espera?
A) Aumentando o ritmo de atendimento (µ), através de uma
mudança criativa de projeto ou usando novas tecnologias;
A partir disso, para realizar melhorias neste sistema os analistas se
concentram em melhorar o atendimento;
Supondo que o gerente da Burguer Queen e os analistas de produção
concluíram que são desejáveis estabelecer melhorias para a redução dos
tempos de espera.
B) Adicionando um ou mais canais de serviço para que mais
clientes possam ser atendidos, simultaneamente.
2) Sistemas de Filas
2.4.7) Características operacionais de um
sistema de filas
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Trabalhando com a alternativa A:
A gerência da Burger Queen decide empregar um encarregado de pedidos que
ajudará o atendente na caixa registradora.
O cliente chega no processo de serviço/atendimento para fazer seu pedido ao
atendente.
À medida que o pedido é feito, o atendente anuncia o pedido através de um
sistema de intercomunicação, e o encarregado de pedidos começa a montagem
do pedido.
Quando o pedido estiver completo, o atendente recebe o pagamento enquanto o
encarregado continua/finaliza a montagem do pedido para entrega.
2) Sistemas de Filas
2.4.7) Características operacionais de um
sistema de filas
Disciplina: Modelagem de Sistemas Discretos.
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Trabalhando com a alternativa A:
Essa mudança permite ao gerente estimar que o ritmo de
atendimento/serviço poderá aumentar de 60 clientes por hora para 75
clientes por hora;
A partir dessas informações, quais seriam as novas características
operacionais do sistema?
2) Sistemas de Filas
2.4.7) Características operacionais de um
sistema de filas
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Trabalhando com a alternativa A:
clientes
clientes
minutos
0,4
0,9 clientes
1,5 clientes
1,2 minutos
2 minutos
0,6 ou 60%
2) Sistemas de Filas
2.4.7) Características operacionais de um
sistema de filas
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Trabalhando com a alternativa B:
2.4.6) Modelo de Fila de Múltiplos canais com
Chegadas de Poisson e tempos de serviço exponencial
Consiste em dois ou mais canais de atendimento, os quais se assume
serem idênticos em termos de capacidade de serviço.
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2.4.6) Modelo de Fila de Múltiplos canais com
Chegadas de Poisson e tempos de serviço exponencial
Clientes 
deixam o 
sistema 
depois de 
serem 
atendidos
Clientes se 
dirigem ao 
próximo canal 
disponível
Fila de espera
Chegada de 
clientes
Sistema
Canal 1
Servidor A
Servidor B
Canal 1
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2.4.6) Modelo de Fila de Múltiplos canais com
Chegadas de Poisson e tempos de serviço exponencial
As condições que devem ser assumidas são:
1. As chegadas seguem uma distribuição de probabilidade de Poisson.
2. O tempo de serviço para cada canal segue uma distribuição de
probabilidade exponencial.
3. O ritmo de atendimento µ é o mesmo para cada canal.
4. A espera após a chegada no sistema ocorre em uma fila única e
depois o cliente/unidade segue ao primeiro canal aberto para o
serviço.
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2.4.6) Modelo de Fila de Múltiplos canais com
Chegadas de Poisson e tempos de serviço exponencial
Então, satisfeitas as condições anteriores, para que seja possível calcular
as características operacionais do sistema de filas de multicanais e,
considerando:
• λ = a taxa de chegada para o sistema;
• µ = a taxa de serviço/atendimento para cada canal;
• K = o número de canais do sistema.
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2.4.6) Modelo de Fila de Múltiplos canais com
Chegadas de Poisson e tempos de serviço exponencial
1º) A probabilidade que não haja cliente no sistema:
2º) O número médio de clientes/unidades esperando na fila:
3º) O número médio de clientes/unidades no sistema:
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2.4.6) Modelo de Fila de Múltiplos canais com
Chegadas de Poisson e tempos de serviço exponencial
4º) O tempo médio que um cliente/unidade espera na fila:
5º) O tempo médio que um cliente/unidade gasta no sistema:
6º) A probabilidade que um cliente/unidade que chega precisa esperar por 
serviço/atendimento:
2) Sistemas de Filas
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2.4.6) Modelo de Fila de Múltiplos canais com
Chegadas de Poisson e tempos de serviço exponencial
ATENÇÃO: Uma vez que µ é a taxa de serviço para cada canal, 
Kµ é a taxa de serviço para o sistema de múltiplos canais.
A partir dessas informações e considerando o exemplo do Fast Food Burguer
Queen, ou seja, 𝜆 0,75 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠/𝑚𝑖𝑛 , 𝜇 1 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒/𝑚𝑖𝑛 calcule as
características operacionais para esta alternativa (com 2 canais):
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2.4.6) Modelo de Fila de Múltiplos canais com
Chegadas de Poisson e tempos de serviço exponencial
1
2) Sistemas de Filas
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2.4.7) ANÁLISE
Indicadores Apenas 1 canal de atendimento
Alterando a taxa de 
atendimento para 1,25 
cliente por minuto
2 canais de 
atendimento
𝑃 0,25 0,4 0,4545
𝐿 2,25 0,9 0,1227
𝐿 31,5 0,8727
𝑊 3 1,2 0,1636
𝑊 4 2 1,1636
𝑃 0,75 0,6 0,2045
2) Sistemas de Filas
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2.4.7) ANÁLISE
1. O tempo médio que um cliente gasta no sistema (tempo de espera mais tempo de 
serviço) reduziu consideravelmente de 4 para 2 e por último para 1,1636 minutos.
2. O número médio de clientes que esperam na fila também reduziu de 2,25 para 0,9 e 
depois para 0,1227 clientes. 
3. O tempo médio que um cliente gasta na fila foi reduzido de 3 para 1,2 e depois para 
0,1636 minuto. 
4. A probabilidade que um cliente tenha que esperar até ser atendido também reduziu 
significativamente de 75% para 60% e depois para 20,45%. 
Possível solução adotada pela empresa: a partir das informações apresentadas à alta
administração foi decidido que para períodos em que a taxa de chegada de clientes na
Burguer Queen for de 45 clientes/hora, a gerência abrirá dois canais de atendimento
de pedidos com um atendente em cada.
2) Sistemas de Filas
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2.4.8) Algumas expressões gerais para o sistema de
filas de espera: Fórmula de Little
𝐿 𝜆.𝑊
𝐿 𝜆.𝑊
John D. C. Little através de seu estudo apresentou a existência de
várias relações entre alguns indicadores operacionais, sendo eles:
𝐿 , 𝐿, 𝑊 , 𝑊
Além disso, identificou que essas relações se aplicam a vários 
sistemas de fila de espera. Duas dessas relações também 
chamadas de equações de fluxo de Little são:
(1)
(2)
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2.4.8) Algumas relações gerais para o sistema de filas
de espera: Fórmula de Little
𝑊
𝐿
𝜆
A partir da segunda equação, pode‐se obter :
Outra expressão que se aplica aos modelos de fila – como já
pode ser verificado, tanto no sistema com apenas 1 canal quanto
para o sistema de múltiplos canais – é a equação:
𝑊 𝑊
1
𝜇
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2.4.8) Algumas relações gerais para o sistema de filas
de espera: Fórmula de Little
Importância das Equações de Fluxo de Little:
Elas se aplicam a qualquer modelo de fila de espera,
independentemente das chegadas seguirem uma distribuição de
probabilidade de Poisson e dos tempos de serviço/ atendimento
seguirem uma distribuição exponencial.
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2.4.8) Algumas relações gerais para o sistema de filas
de espera: Fórmula de Little
Exemplo:
Suponha que em um estudo nos balcões de atendimento da
empresa Verde Linhas Aéreas, um analista concluiu que as
chegadas seguem uma distribuição de probabilidade de Poisson
com uma taxa de chegada de 24 clientes por hora. No entanto, o
analista descobriu que os tempos de serviço seguem uma
distribuição de probabilidade normal, ao invés de uma
exponencial. A taxa de serviço observada foi de 30 clientes por
hora. Em uma análise dos tempos reais de espera dos clientes,
observou‐se que um cliente gasta em média 4,5 minutos no
sistema. Utilizando as expressões de Little calcule: a) o tempo
que um cliente espera na fila; b) o número de clientes no
sistema; c) o número de clientes na fila de espera;
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Disciplina: Modelagem de Sistemas Discretos.
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2.5) Análise Econômica das Filas
Modelo de Custo Total para Filas
Por definição, podemos utilizar como variáveis:
𝑇𝐶 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜
𝑐 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
𝐿 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑚é𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑛𝑜 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
𝑐 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑜 𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖ç𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑐𝑎𝑛𝑎𝑙
𝑘 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑛𝑎𝑖𝑠
A partir dessas variáveis pode‐se obter o Custo total que é a soma do
custo de espera e do custo de serviço, ou seja,
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2.5) Análise Econômica das Filas
Modelo de Custo Total para Filas
𝑇𝐶 𝑐 . 𝐿 𝑐 .𝑘
O custo do serviço é geralmente mais fácil de determinar. Esse custo é o
custo relevante associado à operação de cada canal de serviço, isto é,
inclui os salários, benefícios e quaisquer outros custos diretos do
servidor associado à operação do canal de serviço.
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2.5) Análise Econômica das Filas
2) Sistemas de Filas
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2.5) Análise Econômica das Filas
Exercício:
Supondo que o custo unitário do servidor associado ao canal de
atendimento do Burguer Queen foi estimado em R$7 por hora.
Adicionalmente, a empresa atribuiu um valor de R$10 reais por hora
para o tempo de espera de um cliente. A partir dessas informações,
calcule o custo total para os sistemas de canal único e de dois canais de
atendimento.
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2.6) Exercício
1º) Uma estação de serviço espera um usuário a cada 4 minutos
em média. O serviço dura em média 3 minutos. Assumindo
entrada Poisson e serviço exponencial, responda:
a) Qual o número médio de usuários esperando serviço?
b) Quanto tempo um usuário esperará para ser servido?
• “Bata a porta” Interior Design fornece assistência de decoração para casa
e escritório para seus clientes. Em operação normal, uma média de 2,5
clientes chega a cada hora. Um consultor de design está disponível para
responder às perguntas dos clientes e fazer recomendações de produtos.
O consultor calcula a média de 10 minutos com cada cliente.
• a. Calcule as características operacionais da fila de espera do cliente,
assumindo chegadas de Poisson e tempos de serviço exponenciais.
• b. As metas de serviço determinam que um cliente que chega não deve
esperar pelo serviço mais do que uma média de 5 minutos. Este objetivo
está sendo cumprido? Se não, qual ação você recomenda?
• c. Se o consultor puder reduzir o tempo médio gasto por cliente para 8
minutos, qual é a taxa média de serviço? A meta do serviço será
cumprida?
2) Sistemas de Filas
Exercícios:
2) Sistemas de Filas
Exercícios:
Refira‐se à situação da “Bata a porta” Interior Design no Problema anterior. A 
gerência de “Bata a porta” gostaria de avaliar duas alternativas:
• Usar um consultor com um tempo médio de atendimento de 8 minutos por 
cliente.
• Expandir para dois consultores, cada um com um tempo médio de 
atendimento de 10 minutos por cliente.
Se os consultores receberem US$ 16 por hora e o tempo de espera do cliente 
for avaliado em US$ 25 por hora para o tempo de espera anterior ao serviço, a 
“Bata a porta” deve expandir para o sistema de dois consultores? Explique.
Referências
• CHWIF, Leonardo; MEDINA, Afonso C. Modelagem e
simulação de eventos discretos: teoria & aplicações. 4.
ed. São Paulo: Elsevier/Campus, 2015
• ARENALES, Marcos; ARMENTANO, Vinícius; MORABITO,
Reinaldo; YANASSE, Horácio. Pesquisa Operacional: para
cursos de engenharia. Rio de Janeiro: Elsevier, 2007.
Disciplina: Modelagem de Sistemas Discretos.
Prof. Izabel Saldanha Matsuzaki