Potencial elétrico - exercício

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• Potencial Elétrico 
1) Um cilindro isolante de raio 5R e comprimento infinito possui uma densidade 
de cargas volumétrica 𝜌 constante. Determine a diferença de potencial entre 
os pontos A e B, onde o ponto A está situado na superfície do cilindro e o 
ponto B está localizado em: 
(a) A uma distância 2R do eixo central do cilindro. 
(b) A uma distância 10R do eixo central do cilindro. 
 
Passo I: Definir um elemento infinitesimal do cilindro. 
 
 𝑑𝑉 = 𝑟𝑑𝜙𝑑𝑧𝑑𝑟 ; 𝜌 = 
𝑑𝑞
𝑑𝑉
 ∴ dq = 𝜌dV 
 
Seção transversal do cilindro de raio 5R e comprimento infinito. 
 
A diferença de potencial entre dois pontos quaisquer de uma região 
onde existe um campo elétrico é dada por: 
 
𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 = − ∫ 𝐸 ∙ 𝑑𝑠
𝐵
𝐴
 
1
 
 
 (a) Distância 2R do eixo do cilindro: 
 
É necessário conhecer o campo elétrico em r<5R, aplicando a Lei 
de Gauss: 
 
 
Analisando a carga envolvida por 5R, temos: 
 
 𝑄 = ∫ ∫ ∫ 𝜌𝑟𝑑𝜙𝑑𝑧𝑑𝑟 
2𝜋
0
𝐿
0
𝑟
0
= 2𝜋𝐿𝜌 ∫ 𝑟𝑑𝑟
𝑟
𝑜
= 2𝜋𝐿𝜌
𝑟2
2
= 𝜋𝐿𝜌𝑟2 
 
Através de uma superfície gaussiana de formato cilíndrico e raio r, 
temos: 
 
 
𝜀0E∫𝑑𝐴 = 𝑞𝑒𝑛𝑣 𝜀0E2𝜋(𝑟)𝐿 = 𝜋𝐿𝜌𝑟
2 𝐸 =
𝜌𝑟
2𝜀0
 
 
Portanto obtivemos o campo elétrico que aponta na direção radial 
e constante. 
Dado o campo elétrico conseguiremos calcular a diferença de 
potencial. 
 
𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 = −∫ 𝐸 ∙ 𝑑𝑠
𝐵
𝐴
 , a simetria radial da secção fornece o mesmo 
potencial elétrico e forma uma superfície equipotencial ao longo de 
um raio r, portanto, ds=dr. 
 
𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 = −∫
𝜌𝑟
2𝜀0
𝑑𝑟
2𝑅
5𝑅
 𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 = −
𝜌
2𝜀0
∫ 𝑟𝑑𝑟
2𝑅
5𝑅
 
 
𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 = −
𝜌
2𝜀0
(
4𝑅2
2
−
25𝑅2
2
) 𝑽𝑩 − 𝑽𝑨 =
𝟐𝟏𝑹𝟐𝝆
𝟒𝜺𝟎
 
 
 
 
 
 
 
 
Secção da superfície 
2
 
 
(b) Distância 10R do eixo do cilindro: 
 
O ponto está fora do cilindro, então devemos considerar como 
carga envolvida a carga total do cilindro: 
 
 
Analisando a carga envolvida por 10R = 5R, temos: 
 
 𝑄 = ∫ ∫ ∫ 𝜌𝑟𝑑𝜙𝑑𝑧𝑑𝑟 
2𝜋
0
𝐿
0
𝑟
0
= 2𝜋𝐿𝜌 ∫ 𝑟𝑑𝑟
𝑟
𝑜
= 2𝜋𝐿𝜌
𝑟2
2
= 𝜋𝐿𝜌𝑟2 
 
𝑄 = 25𝑅2𝜋𝐿𝜌 
 
Através da Lei de Gauss: 
 
𝜀0E ∫ 𝑑𝐴 = 𝑞𝑒𝑛𝑣 𝜀0E2𝜋(𝑟)𝐿 = 𝜋𝐿𝜌25𝑅
2 𝐸 =
𝜌25𝑅²
2𝑟𝜀0
 
 
Dado o campo elétrico conseguiremos calcular a diferença de 
potencial. 
 
𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 = − ∫ 𝐸 ∙ 𝑑𝑠
𝐵
𝐴
 
 
𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 = − ∫
𝜌25𝑅²
2𝑟𝜀0
𝑑𝑟
10𝑅
5𝑅
 𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 = −
25𝑅²𝜌
2𝜀0
∫
1
𝑟
𝑑𝑟
10𝑅
5𝑅
 
 
𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 = −
25𝑅²𝜌
2𝜀0
((𝑙𝑛 (10𝑅) − 𝑙𝑛 (5𝑅))) = 
 
 
 𝑽𝑩 − 𝑽𝑨 =
𝟐𝟓𝑹𝟐𝝆
𝟐𝜺𝟎
𝒍𝒏 (𝟐) 
 
 
 
 
 
 
 
3