MecânicaGeral Atividades e Exercícios

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MECÂNICA GERAL
Gabarito
Dinâmica do movimento dos corpos rígidos e
movimento giroscópico3
ATIVIDADE PARA AVALIAÇÃO
(5 pontos) Determine o momento angular orbital da Terra, sabendo que sua massa é de
e que a distância média até o Sol é de (considere que sua
órbita é circular).
1.
(5 pontos) Considere que o momento de inércia do rotor principal de um helicóptero é de
. Determine a intensidade do torque que o motor deve aplicar nesse rotor
de modo a acelerá-lo uniformemente desde o repouso até sua velocidade de operação,
, em .
2.
Considerando que a órbita seja circular, os vetores de posição e de velocidade são
perpendiculares.
Então, , onde é a massa da Terra, é o raio da órbita e é a velocidade. Mas
, onde (duração do ano). Então, .
1.
Sabemos que , onde é o torque necessário para causar uma aceleração angular num
objeto cujo momento de inércia é . No caso apresentado,
. E como , decorre
imediatamente que .
2.
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MECÂNICA GERAL
1. [5,0 pontos] (1,25 por alternativa correta) O elemento de comprimento pode ser expresso, em
coordenadas cilíndricas , assim: . Selecione a(s) alternativa(s) que
representa(m) corretamente as componentes do tensor de métrica:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
2. [5,0 pontos] Considere uma partícula movendo-se num plano ao longo da trajetória dada por 
 e , onde é um sistema de coordenadas polar e 
 representa o tempo. Determine o módulo do vetor de velocidade, 
 (não é necessário fornecer a unidade).
Gabarito
1. Alternativas a), b), c) e e)
Uma maneira de resolver esse problema é reescrever na forma matricial, como exposto na questão
anterior. Outra, mais fácil, é procurar os elementos do tensor de métrica diretamente da forma bilinear 
: o fator que multiplica é 1, então ; o fator que multiplica é ,
então ; o fator que multiplica é 1, então . E como não há termos cruzados do tipo 
, \etc, os termos cruzados do tensor de métrica são todos nulos: para todos os 
 (particularmente, , que é uma das alternativas apresentadas). Resumindo,
2. Resposta: 3,00
Mecânica Geral4
ATIVIDADE PARA AVALIAÇÃO
1.
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MECÂNICA GERAL
Formulação Lagrangeana e oscilações lineares5
ATIVIDADE PARA AVALIAÇÃO
Considere novamente o movimento de um projétil, desta vez relativamente a um sistema cilíndrico
de coordenadas , conforme ilustrado abaixo. Nessa situação, as energias cinética e
potencial gravitacional podem ser assim escritas em termos dessas coordenadas:
onde é a massa do projétil e é a aceleração da gravidade.
Assinale a(s) alternativa(s) abaixo que apresenta(m) relação(ões) verdadeira(s) sobre esse
cenário:
1.
a.
b.
c.
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Gabarito
d.
e.
f.
Considere uma conta livre para mover-se ao longo de um arame com formato parabólico dado por 
, onde é uma constante e é um sistema cartesiano de coordenadas com e 
 horizontais e apontando para cima, qual é a equação de movimento da conta, obtida ao aplicar a
equação de Lagrange?
2.
a.
b.
c.
d.
e.
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Alternativas corretas: , e 
Lembrando que , seguem as relações:
1.
Alternativa 
Como há apenas um grau de liberdade, há apenas uma equação de Euler-Lagrange, da qual
obtemos a equação do movimento. Para isso, precisamos determinar as derivadas de 
 pertinentes à equação:
Finalmente, usando os resultados (1) e (2) na equação de Euler-Lagrange apresentada no
enunciado, obtemos a equação de movimento associada à variável : 
.
2.
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MECÂNICA GERAL
1) Associe corretamente as medidas equivalentes:
(a) 
(b) 
(c) 
(d) 
(e) 
(f) 
(g) 
(h) 
2) O tacômetro de um carro de passeio indica 2500 rotações por minuto. Qual é a velocidade angular,
em rad/s?
3) Qual é a velocidade angular de rotação da Terra, em rad/s? Para responder essa pergunta, considere
que a Terra dá uma volta em torno do seu próprio eixo em 23 horas, 56 minutos e 4 segundos. Esse é o
chamado "dia sideral''.
4) Uma roda denteada opera com aceleração angular constante de .Qual é sua velocidade
angular a quatro segundos atrás, sabendo que nesse intervalo ela girou ?
5) A matriz abaixo representa uma rotação em torno de qual eixo?
Rotações, força centrífuga e força de Coriolis
EXERCÍCIOS DE APOIO
Apenas para praticar. Não vale nota.
1
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a) 
b) 
c) 
d) Não representa uma rotação.
6) A matriz abaixo representa uma rotação em torno de qual eixo?
a) 
b) 
c) 
d) Não representa uma rotação
7) A matriz abaixo representa que tipo de rotação (assinale uma ou mais alternativas):
a) Duas rotações consecutivas, cada uma de , em torno do eixo 
b) Uma rotação de em torno do eixo 
c) Uma rotação de em torno do eixo 
d) Uma rotação de em torno do eixo , seguida de outra, também de , em torno do eixo 
e) Uma rotação de em torno do eixo , seguida de outra, de , também em torno do eixo .
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8) Suponha que aproximemos a Terra por uma esfera de raio e considere que ela dá
uma volta em torno do seu próprio eixo em 23 horas, 56 minutos e 4 segundos (dia sideral). Nesse caso,
qual é a velocidade linear, com relação ao seu centro de massa, de um ponto qualquer sobre o
equador?
9) Duas rodas denteadas, de raios , estão conectadas por uma correia, de modo que
ambas giram sem deslizar. Determine a velocidade angular da roda menor, sabendo que a roda maior
gira a 
10) Um automóvel move-se à velocidade ao passar por uma poça de óleo na pista.
Nesse momento, os pneus perdem momentaneamente o contato com a pista e, como consequência,
giram em falso.
a) Determine o vetor velocidade angular da roda, sabendo que o ponto mais inferior dela tem
velocidade linear de .
b) Determine o vetor velocidade linear do topo do pneu.
c) Determine o vetor velocidade linear do ponto mais à direita do pneu.
Forças Inerciais
11) O Porsche 918 Spyder é um dos carros com maior capacidade de aceleração: partindo do repouso,
ele atinge em .Nesse processo, o motorista, de , percebe-se como um
sistema de referência não-inercial.Qual é a intensidade da força de inércia associada a esse sistema de
referência?
Dica: o motorista está em repouso no referencial não-inercial mencionado.
12) Numa competição de arrancada, o motorista de um Camaro acelera uniformemente a 
com relação à pista quando vê seu adversário, num Corvette, ultrapassando-o com aceleração uniforme
de , conforme observado pelo piloto do Camaro.
a) Qual é a aceleração do Corvette, conforme medido pelos organizadores da corrida (em repouso
com relação à pista)?
b) Qual é a intensidade da força de inércia sobre o motorista do Corvette, sabendo que sua massa é
de ?
13) Um homem de resolve pesar-se com uma balança de molas num elevador, enquanto sobe
até seu apartamento, e leu na escala da balança. Qual é a aceleração do elevador? Considere
que a aceleração da gravidade é de 
14) Um bloco de massa encontra-se em repouso sobre um plano com inclinação de com
relação à horizontal. Esse plano inclinado, inicialmente em repouso, é colocado em movimento com
aceleração de magnitude constante . Se o coeficiente de atrito estático entre o bloco e o plano
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inclinadoé de , para que valor de o bloco começará a deslizar para cima?
15) Um garoto levado, ao avistar um macaco numa árvore, aponta seu estilingue e atira uma manona
nele.
O macaco esperto, que já havia sido alvo em ocasião similar no passado, desta vez deixa-se cair até o
próximo galho no exato momento em que o menino atira, na esperança de livrar-se do tiro. Só que não:
a gravidade, atuando tanto nele como na mamona, faz com que ele seja atingido durante a queda (mais
um dia de aprendizagem para o macaco). Lembrando que a trajetória da mamona é parabólica no
referencial do garoto, analise o problema a partir do referencial do macaco e responda: qual é a
trajetória que o macaco observa? Escolha uma das opções abaixo.
a) Reta
b) Parábola
c) Curva
d) Catenária
e) Hipérbole
16) Um estudante de engenharia, viajando na caçamba de uma caminhonete por uma estrada
horizontal, passa seu tempo brincando de jogar uma bolinha para cima e, em seguida, pegá-la antes que
ela caia no assoalho do veículo. Nesse processo, o estudante percebe que, durante as frenagens que
precedem os pedágios, jogar a bolinha verticalmente não surte o efeito desejado: ao invés de regressar
para sua mão, a bolinha cai mais à frente do veículo. Para compensar esse efeito, ele deve jogar a
bolinha de maneira oblíqua, para trás. Ao perceber que esse efeito se deve à presença de uma força de
inércia (haja vista que a caminhonete está desacelerando), o estudante incrementa sua diversão com
um pouco de cálculo, determinando a relação entre o ângulo, com relação à vertical, segundo o qual ele
deve jogar a bolinha para que ela retorne para sua mão, e a aceleração do veículo. Após estabelecer
essa relação, o estudante observou que era necessário jogar a bolinha obliquamente para trás, com
relação à vertical.
Finalmente, com base nessa medida, ele estimou a (des)aceleração da caminhonete.Qual foi o valor que
ele obteve? Considere que a aceleração da gravidade é de e ignore a resistência do ar e o
fato de que é proibido viajar assim.
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Forças centrífuga e de Coriolis
17) O avião de caça F-16 Fighting Falcon é um dos mais ágeis do mundo. Ele é capaz de realizar uma
curva de raio a . Usando o avião como sistema de referência não-inercial, responda:
a) Qual é a intensidade da força centrífuga sentida pelo piloto, sabendo que sua massa é de
?
b) Qual é a intensidade da força de Coriolis sentida pelo piloto?
c) Ao mover o braço para para alcançar o painel, à velocidade de com relação ao avião,
ele sente a ação da força de Coriolis, impedindo-o de fazer isso: ao mover o braço no sentido do
centro de curvatura de sua trajetória, a força de Coriolis é tangencial à trajetória do voo e opõe-se a
ela.Qual é a intensidade dessa força, sabendo que seu braço tem massa de ?
18) Considere um balde cilíndrico, cheio de água, girando com velocidade angular constante em torno
do eixo vertical, na situação de equilíbrio em que a água gira juntamente com o balde. Nesse caso, a
superfície da água assume a forma de um parabolóide de revolução (https://en.wikipedia.org
/wiki/Paraboloid) , caracterizado pelo fato de que a altura da superfície é proporcional ao quadrado da
distância radial desde o centro do balde. Ou seja, .
Você pode demonstrar isso usando o fato de que um fluido em equilíbrio não pode suportar forças
tangenciais à sua superfície (ou seja, no referencial \emph{não-inercial} do balde, as forças atuantes na
superfície tem de ser normais a ela). Faça esse cálculo e determine a diferença de altura entre a
superfície da água no centro do balde ( ), onde ela está mais baixa, e nas paredes dele ( ).
Ou seja, determine . Para isso, considere que o raio do balde é de , que sua
velocidade angular é de e que a aceleração da gravidade é de .
19) Considere uma massa de ar em rotação em torno de um centro de alta pressão (esse fenômeno é
chamado anti-ciclone (https://en.wikipedia.org/wiki/Anticyclone) ) na latitude sul, com
velocidade horizontal . Calcule a magnitude da força de Coriolis que age sobre um volume de
 dessa massa de ar, cuja densidade é , no ponto da trajetória em que a massa de ar
desloca-se no sentido sul. Considere que a Terra dá uma volta em torno do seu próprio eixo em 23
horas, 56 minutos e 4 segundos (esse é o chamado ``dia sideral'').
20) Um atirador de elite é um especialista em tiros de longa distância (o recorde atual de distância é de
).Para acertar um alvo a essa distância, não basta mirá-lo: além disso, o atirador deve
aplicar uma série de correções, visando compensar a ação da gravidade, do vento e até mesmo da força
de Coriolis. Sabendo que a velocidade do projétil expelido por uma arma dessas é de aproximadamente
, determine o deslocamento lateral, em centímetros, devido à aceleração de Coriolis,
sofrido pelo projétil ao percorrer a distância acima. Para isso, considere que o dia tem duração de 23
horas, 56 minutos e 4 segundos (este é o chamado ``dia sideral''), que o tiro foi dado sobre o trópico de
capricórnio (https://pt.wikipedia.org/wiki/Tr%5C%C3%5C%B3pico_de_Capric%5C%C3%5C%B3rnio)
(latitude sul), no sentido norte (nesse caso, o projétil desvia-se para oeste) e que o projétil não
perde velocidade ao longo do seu trajeto até o alvo.
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1)
a) 
b)
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h)
2)
Resposta: 
3)
Resposta: 
A Terra gira em (dia sideral, em segundos). Então, sua velocidade angular é
.
MOSTRAR GABARITO
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4)
Resposta: 
Como a aceleração é constante, vale , onde e são o ângulo e a velocidade
angular em , e é a aceleração angular. Escolhendo como sendo o
instante "quatro segundos atrás" mencionado no enunciado, é o instante atual. Nesse caso,
 e podemos escrever: .
5)
Resposta:
A matriz pode ser escrita na forma
com .
Por isso representa uma rotação de em torno do eixo (a linha/coluna que contém o elemento
unitário).
6)
Resposta: Não representa uma rotação.
A matriz não pode ser escrita na forma
, devido à incompatibilidade de sinais entre os elementos . Por isso, essa matriz não
representa uma rotação.
7) 
itens A), B) e E).
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A matriz pode ser escrita na forma com .Por isso representa uma rotação
de em torno do eixo (a linha/coluna que contém o elemento unitário) [item B)].Ela também pode
ser a representação de qualquer sequência de rotações, sempre em torno do mesmo eixo, cuja soma
dos ângulos resulte em . Por exemplo, [item A)] ou [item E)].
8)
A velocidade angular da Terra relaciona-se com a velocidade linear na superfície através da
equação , onde é o raio da Terra. Como , segue daí
que . 
9) 
Para que não haja deslizamento entre as rodas, a velocidade linear de ambas no ponto de contato deve
ser a mesma. Ou seja, . Escolha a roda 1 como a menor, por exemplo.
Então, (ou ).
10) 
a) 
b) 
c) 
a) O centro da roda move-se a (com relação ao solo). Então, a velocidade do
ponto que toca o chão, relativamente ao centro da roda, é de para a direita (
). Como o raio da roda é de , então a velocidade angular da roda é .
A roda gira no sentido anti-horário. Então, pela regra da mão direita, é paralelo a . Ou seja,
.
b) A velocidade do ponto superior da roda é igual à soma da velocidade do centro da roda, relativamente
ao solo, com a velocidade linear de qualquer ponto na superfície do pneu, que já determinamos ser
.
Então, , para a esquerda, no sentido de . Então, a velocidade é 
.
c) A velocidade do ponto mais à direita, relativamente ao centro da roda, é . Então, a velocidade
resultante é .
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11) 
O sistema de referência do piloto sofre uma aceleração de .
Então, a intensidade da força de inércia sobre o piloto de masssa é , ou
.
12)
a) 
b) 
a) É a soma da aceleração do Camaro, com relação à pista, com a aceleração do Corvette, com relação
ao Camaro: .
b) O piloto do Corvette, em repouso no referencial não-inercial do carro, percebe a força de inércia
.
13) 
As forças que atuam sobre o homem são o peso ( ) e a normal ( ), e observa-se que sua aceleração (
), medida no referencial elevador, é zero: . Se o elevador fosse um referencial inercial, a
segunda lei de Newton ficaria assim: , onde é a massa do homem (isso é
verdadeiro quando o elevador sobe ou desce com velocidade constante, ou quando está parado).
Entretanto, é sabido que o elevador sofre uma aceleração desconhecida , de modo que é necessário
corrigir o membro esquerdo da equação anterior, adicionando a ela a força de inércia . Obtemos:
, onde .
Portanto, . A força-peso é simplesmente , onde é a aceleração da
gravidade.
Quanto à normal, ela é expressa pela balança em termos de uma massa , lida em seu visor:
 (nesse problema, ). Assim, . Usando os
valores apresentados no enunciado, concluímos que .
14) 
O sistema não-inercial em questão é o plano inclinado, que sofre aceleração horizontal. Estamos
interessados na situação em que a força de atrito estático assume seu valor máximo e que, ainda assim,
haja equilíbrio de todas as forças presentes, de tal maneira que a aceleração do bloco, relativamente ao
plano inclinado, seja nula: . As forças presentes são peso ( ), normal ( ), atrito ( ) e a força
de inércia , conforme ilustradas na figura abaixo. Com essas informações podemos escrever a
segunda lei de Newton para as direções horizontal ( ) e vertical ( ):
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A força de atrito estático máximo é dada por , onde é o coeficiente de atrito estático, e a
força de inércia é (lembre-se: é a aceleração do plano inclinado e é a massa do
bloco). Usando essas informações na equação para , obtemos . Em seguida, usamos essa expressão
na equação para e, após alguma manipulação, encontramos:
Finalmente, resta aplicar aí os valores , e para concluir que (note que esse
resultado é independente da massa do bloco).
15) item a)
Vamos resolver esse problema de duas formas: primeiramente, a partir do referencial (inercial) do garoto
e, depois, a partir do referencial do macaco.
Referencial do garoto: considere a figura abaixo, que ilustra o cenário apresentado. Nela, é o
vetor de posição do macaco, medido a partir do referencial do garoto, é o vetor de posição da
mamona, também com relação ao garoto, e é o vetor de posição da mamona, desta vez medido a
partir do macaco.
Observe que .
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Sabemos que o macaco cai verticalmente, de modo que (movimento
uniformemente variado), onde é a posição inicial (no instante em que o garoto atira a mamona), é a
aceleração da gravidade, representa o tempo e é um versor vertical. Além disso, podemos também
afirmar que (movimento uniforme na horizontal e
uniformemente variado na vertical), onde é a velocidade com que a mamona é atirada. Perceba que
não conhecemos nem nem , mas logo ficará claro que eles são desnecessários para o nosso
propósito.
Usando as expressões de e na de , obtemos:
onde e são as coordenadas da mamona, conforme observada pelo macaco, e e são as
componentes de (ou seja, ).
Agora, isolando a partir de , encontramos que . Levando essa
expressão em e simplificando, concluímos que . No sistema de referência
cartesiano do macaco, essa é a equação de uma reta com coeficiente angular e coeficiente linear
nulo. Dito de outra forma, a mamona passa pela origem desse sistema de coordenadas, que é
justamente onde está o macaco.Ou seja, ele é atingido. Assim, o macaco vê a mamona aproximando-se
dele em linha reta, até atingí-lo.
Referencial do macaco: a única força presente sobre a mamona é o peso, isto é, , onde é
a massa da mamona. Como o macaco sofre aceleração , a força de inércia que precisamos considerar
é (atenção: é a massa da mamona). Assim, a resultante de forças sobre a mamona é
. Ou seja, o macaco não detecta uma aceleração sobre a mamona e, deste
modo, ela segue uma trajetória retilínea.
16)
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No referencial (não-inercial) da caminhonete, o diagrama de forças sobre a bolinha é esse:
Nessa ilustração, a caminhonete viaja da direita para a esquerda e sofre uma aceleração para a direita
(de modo a reduzir sua velocidade ao aproximar da praça de pedágio).
Analisando a figura, concluímos que a resultante de forças é diagonal, formando um ângulo com a
horizontal. Por outro lado, podemos atirar a bolinha para cima de modo que sua velocidade inicial 
forme um ângulo com a horizontal. Se nossa intenção é que a bolinha volte para as mãos do
estudante, precisamos escolher . Mas podemos afirmar, analisando o diagrama, que
, onde é a aceleração da gravidade e 
é a aceleração da caminhonete (\ie, do referencial não-inercial). Usando e (o ângulo dado no
enunciado é medido a partir da vertical), concluímos que .
17)
a)
b) 
c) 
a) A força centrífuga é dada pela expressão , onde é a massa do piloto,
 é a velocidade do avião e é o raio da trajetória. Então, a intensidade da força
centrífuga é de .
b) A força de Coriolis sobre o piloto é nula, já que, no referencial do avião, ele está em repouso (isto é,
).
c) A força de Coriolis é dada pela expressão , onde é a massa do braço do piloto, é a
velocidade com que ele move o braço, é a velocidade angular do avião em sua trajetória circular e é
o ângulo entre e . , pois o enunciado afirma que o movimento ocorre rumo ao centro; no
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plano da trajetória ( , por outro lado, é perpendicular a esse plano). Além disso, .
Então, usando os valores , e , concluímos que a intensidade da força de
Coriolis é de .
18)
No sistema de referência (não-inercial) do balde, cada ponto da superfície da água está em equilíbrio:
Podemos, então, escrever a segunda lei de Newton para as direções horizontal ( ) e vertical ( ):
onde é a força de inércia que, nesse caso, é a força centrífuga: , onde é a massa de
um pequeno volume de água posicionado à distância do eixo de rotação, ao redor do qual o balde gira
com velocidade angular . é a força normal e é o peso desse pequeno volume d'água.
A equação para nos permite escrever , e usando esse resultando, bem como a
expressão de , na equação para , e manipulando, concluímos que .
Considere agora que é a curva que caracteriza o perfil da superfície da água. Então,
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Usando os valores apresentados no enunciado, obtemos .
19)
.
A expressão para a força de Coriolis é , onde é a massa de ar envolvida, é a
magnitude da velocidade dessa massa de ar, medida no referencial da Terra, que gira com velocidade
angular . é o ângulo entre os vetores e .
A figura abaixo ilustra as orientações de e de , da qual podemos deduzir que , onde
 é a latitude (o ângulo entre o equador e o paralelo em questão). Note que
.
A massa pode ser escrita em termos do volume e da densidade . Assim, temos .
Resta inserir aí os valores , , , e
 para obter a intensidade da força de Coriolis: .
20)
A aceleração devido à força de Coriolis é expressa por , onde é a magnitude da
velocidade do projétil, medidano referencial da Terra, que gira com velocidade angular . é o ângulo
entre os vetores e .
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A orientação dos vetores e é similar à da questão anterior, de modo que a conclusão lá vale aqui,
isto é, , onde é a latitude. Então, usando ,
 e , obtemos .
Pela regra da mão direita, aplicada ao produto , presente na versão vetorial da expressão para a
aceleração de Coriolis, nos permite concluir que essa aceleração ocorre no sentido Leste-Oeste.
Podemos, então, tratar o movimento rumo ao alvo e o desvio devido à força de Coriolis como
independentes, de modo que o deslocamento lateral pode ser obtido pela expressão do movimento
uniformemente variado: , onde é o tempo de voo do projétil, durante o qual ele está sujeito à
força de Coriolis.
. Então, o desvio lateral é de aproximadamente .
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MECÂNICA GERAL
Movimento dos corpos rígidos, momentos de
inércia e teorema dos eixos paralelos2
EXERCÍCIOS DE APOIO
Apenas para praticar. Não vale nota.
Determine o momento de inércia de um objeto puntual de massa 1.00 kg orbitando um eixo, a 2.00
m dele.
Resposta: 
O momento de inércia de uma partícula de massa com relação a um eixo à distância é
.
Usando e nessa expressão, obtemos .
1.
Determine o momento de inércia de dois objetos puntuais, cada um com massa 1.00 kg e que
orbitam um eixo, a 2.00 m dele.
Resposta: 
O momento de inércia de um sistema de partículas é dado por , onde a somatória é
feita nas partículas presentes. é a massa da i-ésima partícula e , sua distância com relação
ao eixo com relação ao qual se quer calcular .
Então, no caso particular deste problema, temos: , pois
 e .
Consequentemente, .
2.
Determine o momento de inércia de um cilindro oco de cobre, cuja altura é de 20,0 cm e os raios
interno e externo são 10,0 cm e 12,0 cm, respectivamente. A densidade do cobre é de
 (cf. webelements (https://www.webelements.com/copper/) ) 
Dica: consulte a expressão do momento de inércia numa tabela como esta
(https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_moments_of_inertia) .
Resposta: 
O momento de inércia de um cilindro oco com relação ao seu eixo de simetria é dado por
 (consulte uma tabela como esta (https://en.wikipedia.org
/wiki/List_of_moments_of_inertia) ).
3.
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Já conhecemos e , então só precisamos determinar a massa .
Isso pode ser feito determinando o volume do cilindro oco: , onde 
 é sua altura.
Então, , onde é a
densidade do cobre. Assim, concluimos que .
Determine o momento de inércia de um aro (um anel fino) de raio 2.00 m e massa 0,500 kg
Resposta: 
Considere o elemento de comprimento desse aro, ao qual podemos associar um elemento de
massa , onde é a densidade linear de massa do aro, m é sua massa e r,
seu raio.
Todos os elementos desse aro estão à distância r do eixo de interesse, que passa pelo centro,
de modo que o elemento de momento de inércia é simplesmente . Assim,
onde usamos na última passagem. Agora, usando r = 2.00 m e m = 0,500 kg,
obtemos 
4.
Use o teorema dos eixos paralelos para determinar o momento de inércia de uma placa metálica
fina, de massa 3.00 kg e arestas , com relação a um eixo perpendicular à
placa e que passe por um de seus vértices.
Resposta: 
O momento de inércia de uma placa fina de dimensões a e b, perpendiculares ao eixo que passa
pelo centro de massa (e que coincide com o centro geométrico, supondo que a densidade da placa
seja uniforme), é dado por , onde m é a massa da placa. Você pode
consultar essa expressão em tabelas como esta (https://en.wikipedia.org
/wiki/List_of_moments_of_inertia) , mas vamos determiná-la ao invés disso.
Para isso, primeiramente imaginamos um plano cartesiano com origem no centro da placa e
alinhado com suas arestas. Na figura abaixo, à esquerda, por exemplo, fizemos isso de tal maneira
que a placa ocupa a região retangular dada por e .
5.
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2 of 6 26/10/2018 19:13
Em seguida, imaginamos um elemento de área na posição , e associamos a ele o
elemento de massa , onde é a densidade da placa, supostamente
uniforme. Esse elemento de área está à distância do eixo que passa pelo centro de
massa, perpendicularmente ao plano da placa. Com essas informações, podemos escrever um
elemento de momento de inércia: . E dessa maneira resta-
nos integrar para obter a expressão do momento de inércia:
Mas estamos interessados no momento de inércia com relação ao eixo paralelo a esse, mas que
passa por uma das arestas. Para resolver essa questão, precisamos utilizar o teorema dos eixos
paralelos, que estabelece , onde é o momento de inércia procurado e é a
distância do eixo de interesse até o eixo que passa, paralelamente a esse, pelo centro de massa.
Mas (distância do centro até um vértice), então,
. Usando a = 0,300 m,
b = 0,400 m e m = 3.00 kg, concluimos que .
Sugestão: experimente calcular novamente o momento de inércia, mas desta vez posicione a
origem do plano cartesiano diretamente numa das arestas da placa, como ilustrado acima, à direita
(a integral é bem mais simples, aliás). Nesse caso, como as distâncias são medidas a partir da
aresta, o resultado será diretamente a expressão e você não precisará do
teorema dos eixos paralelos.
Contudo, esse não é um método muito útil, pois é trabalhoso. Ao invés dele, prefira utilizar uma
expressão tabelada e corrigí-la com o teorema dos eixos paralelos.
Considere que o rotor principal de um helicóptero seja composto por três pás, cada uma delas com
comprimento l = 5.00 m, largura w = 15.0 cm, espessura desprezível (quando comparada com l e
w) e massa m = 50,0 kg (distribuída uniformemente), unidas pelas respectivas extremidades.
Determine o momento de inércia desse rotor, sabendo que o momento de inércia com relação ao
centro de massa de uma placa retangular delgada de massa m, comprimento l e largura w é dada
por .
Resposta: 
Usando o teorema dos eixos paralelos, podemos afirmar que o momento de inércia de cada pá,
6.
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3 of 6 26/10/2018 19:13
com relação à sua extremidade (à distância do centro de massa), é
.
Como há três pás, o momento de inércia do rotor é . Usando os valores
apresentados no enunciado, concluimos que .
Considere o corpo extenso homogêneo abaixo, de massa M = 2.00 kg e dimensões R = 5.00 cm e
H = 10,0 cm.
Resposta
7.
Determine o momento de inércia com relação ao eixo z. Dica: divida o objeto em fatias
circulares e some-os todos (isto é, integre os elementos de momento de inércia compostos por
cilindros de alturas infinitesimais).
a.
Determine o momento de inércia com relação ao eixo z'.b.
a.
b.
Podemos imaginar esse objeto como uma sobreposição de discos de raio r (que varia com z)
e altura dz, como ilustrado abaixo. Deste modo, cada disco tem um momento de inércia
a.
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. Note que a massa do disco é uma pequena parcela da massa do objeto
todo, que podemos escrever como , onde é a densidade (constante) do objeto e
 é o volume do disco, que por sua vez é dado por . Assim, se somarmos o
momento de inércia de cada disco, fazendo , teremos:
Como o objeto é simétrico com relação ao plano , podemos calcular a integral acima desde
 até e multiplicá-la por dois:
Falta determinar a relação entre (distância até o eixo de rotação) e .
Observando a figura acima, vemos que em , ; e em , . Usando
esses dois pontos para definir a geratriz do cone, concluímos que .Assim, aintegral acima fica:
lembrando que , onde V é o volume do objeto, que por sua vez é igual ao dobro do
volume do cone de altura e área da base :
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5 of 6 26/10/2018 19:13
Assim,
Usando M = 2.00 kg e R = 0,0500 m (enunciado), obtemos . 
Como o objeto é homogêneo, o centro de massa coincide com o centro geométrico, por onde
passa o eixo z. Ou seja, calculado acima é o momento de inércia com relação ao eixo que
passa pelo centro de massa. E como o eixo z' é paralelo ao z, podemos utilizar o teorema dos
eixos paralelos, bastando para isso observar que a distância entre eles é R:
b.
MOSTRAR GABARITO
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6 of 6 26/10/2018 19:13
MECÂNICA GERAL
Dinâmica do movimento dos corpos rígidos e
movimento giroscópico3
EXERCÍCIOS DE APOIO
Apenas para praticar. Não vale nota.
Considere um sistema de referência inercial e o sistema de coordenadas retangulares, munido da
base ortonormal tradicional . Nesse sistema, uma partícula puntual de move-se sobre
a reta com velocidade .
1.
Determine a intensidade do momento angular dessa partícula com relação à origem do
sistema de referência.
a.
Determine a intensidade do momento angular dessa partícula com relação à posição
.
b.
Considere um sistema de referência inercial e o sistema de coordenadas retangulares, munido da
base ortonormal tradicional . Nesse sistema, num instante qualquer, uma partícula puntual
de localiza-se na posição e move-se com velocidade . Determine o
vetor momento angular dessa partícula com relação à origem do sistema de referência.
2.
Determine a intensidade do momento angular de uma esfera homogênea de massa e raio
 que gira com velocidade angular de .
3.
O momento de inércia $I$ de um certo objeto, numa base ortonormal , é dado por
em . Determine o momento angular desse objeto, sabendo que sua velocidade angular é
de .
Observação: note que não é paralelo a nesse caso. Isso acontece porque não é paralelo a
qualquer um dos eixos principais ( , ou ).
4.
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1 of 11 01/11/2018 19:55
Torque
Determine a intensidade do torque associado à força de aplicada perpendicularmente à
extremidade do corpo de uma chave de boca de .
5.
Considere um sistema de referência inercial e o sistema de coordenadas retangulares, munido da
base ortonormal tradicional . Nesse sistema, num instante qualquer, uma partícula puntual
localiza-se na posição e está sujeita à força , move-se com velocidade
. Determine o vetor torque, com relação à origem do sistema de referência, sobre
essa partícula.
Conservação do momento angular
6.
Dois patinadores de massa , deslizando sobre uma pista de gelo com atrito desprezível,
aproximam-se com velocidades iguais e opostas de (com relação ao centro de massa),
seguindo retas paralelas separadas por uma distância de . Quando os patinadores ficam lado a
lado, eles dão os braços e passam a girar em conjunto. Determine a velocidade angular dessa
rotação.
Dica: o torque com relação ao centro de massa dos dois patinadores é nulo, de modo que o
momento angular é conservado. Antes da colisão, podemos escrevê-lo mais convenientemente por
meio da expressão ; após a colisão, a expressão é mais conveniente.
7.
Um disco de massa , uniformemente distribuída, e raio desliza ao longo de uma mesa de
ar com velocidade de (isto é, ele desliza sem atrito), rumo a um outro disco, idêntico ao
primeiro, conforme ilustrado abaixo.
8.
Determine o momento angular do primeiro disco, com relação ao centro do segundo disco.a.
Determine o momento angular do sistema composto pelos dois discos, com relação ao centro
de massa esse sistema.
b.
O primeiro disco, ao colidir com o segundo, adere a ele devido à ação de uma cola
instantânea colocada nas bordas do disco, de modo que o sistema passa a girar com
velocidade angular constante em torno do centro de massa.Determine essa velocidade
angular.
Dica: essa questão é similar à anterior, exceto que nesse caso o centro de massa não está
c.
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2 of 11 01/11/2018 19:55
em repouso.
Uma bolinha presa a um fio de massa desprezível gira em torno de um eixo vertical com
velocidade escalar constante, mantendo-se a uma distância de do eixo (veja ilustração
abaixo). O ângulo entre o fio e a vertical é igual a . O fio passa sem atrito através de um
orifício numa placa, e é puxado lentamente para cima até que o ângulo passe a ser de .
Determine a razão entre as velocidades angulares nas duas situações.
9.
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3 of 11 01/11/2018 19:55
Determine o torque necessário para acelerar uniformemente uma roda denteada de alumínio do
repouso até em . Considere que essa roda denteada pode ser aproximada por um
cilindro de raio e altura . A densidade do alumínio é de (cf.
webelements.com (https://www.webelements.com/aluminium/) ).
10.
Uma força é aplicada tangencialmente à borda de uma polia que tem de raio e momento de
inércia de em relação ao seu eixo. A força tem módulo variável com o tempo,
segundo a relação , com F em newtons e t em segundos. A polia está
inicialmente em repouso.
Em , qual é sua aceleração angular?
11.
Um cilindro de alumínio, de massa m e raio R, é liberado do topo de um plano inclinado ( com
relação à horizontal). Determine a aceleração do centro de massa desse cilindro, sabendo que o
atrito estático entre o cilindro e o plano é suficiente para que ele gire sem escorregar. Considere
que a aceleração da gravidade é de .
12.
Duas crianças, de massas e , penduram-se nas duas extremidades de uma corda,
que passa por uma polia de ferro pendurada no teto. Determine a intensidade da aceleração
vertical sofrida pelas crianças. Para isso, considere que a polia pode ser aproximada por um
cilindro sólido de raio e altura , que o atrito entre a corda e a polia é suficiente
para que não haja deslizamento entre eles e que não haja atrito no eixo da polia. A densidade do
ferro é de (cf. webelements.com (https://www.webelements.com/aluminium/)
) e a aceleração da gravidade é de .
Observação: se não levássemos em consideração a dinâmica da polia, obteríamos 
como resposta para esse problema. Compare esse valor com o que você obteve.
Energia
13.
Uma pequena esfera homogênea, de raio , rola sem deslizar por uma mesa horizontal, com
velocidade linear de , e sobe por uma rampa. Qual é a altura máxima que o centro de
massa dessa esfera, medida a partir do nível da mesa, atinge antes de regressar? A aceleração da
gravidade é de .
14.
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4 of 11 01/11/2018 19:55
Um objeto esférico homogêneo, de raio e massa , parte do repouso e rola pelo
telhado de uma casa, cuja inclinação é igual a , sem deslizar. Determine a intensidade da força
de atrito responsável por fazer esse objeto girar.
15.
MOSTRAR GABARITO
a) 
Vetorialmente, , em unidades do SI.
, em que usamos o fato de que
b) .
Nesse caso, . Consequentemente, . Note, portanto, que não podemos falar em
momento angular sem fazer referência ao ponto com relação ao qual ele é calculado. Quando essa
informação é omitida, geralmente o ponto em questão é o centro de massa.
1.
. No AVA, 
,
em que utilizamos as identidades e .
2.
 ou 
, onde é o momento de inércia da esfera, dado por e é a
velocidade angular. é a massa da esfera e , seu raio.
Consequentemente, .
3.
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5 of 11 01/11/2018 19:55
. No AVA, , sem as aspas.
Primeiramente, escrevemos na forma matricial: . Em seguida,
Finalmente,interpretamos como o vetor .
4.
. Atenção: é incorreto usar (joule) no lugar de .
. Como , . Atenção: é incorreto usar (joule) no
lugar de .
5.
. No AVA, 
. A velocidade é irrelevante.
6.
Imagine que os patinadores movem-se na direção , de tal maneira que não há movimento na
direção , e que o centro de massa define a origem do sistema de coordenadas.
7.
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6 of 11 01/11/2018 19:55
Então, imediatamente antes de os patinadores darem os braços, o patinador que vem da esquerda
estará na posição (ou, se preferir, ) com velocidade para a direita
(ou, se preferir, de ). Logo, o momento angular desse patinador será de
. Similarmente, o patinador que vem da esquerda estará na
posição (isto é, ) com velocidade para a direita ( ).Logo, o momento angular desse
patinador será de . Assim, o momento angular total
anteriormente à colisão (isto é, a eles darem os braços) será
.
Logo após a colisão, os patinadores giram como um só objeto, cujo momento de inércia é
 (cada um deles, com massa , está à distância do eixo de rotação). Nessa nova
situação, o momento angular pode ser expresso por . Mas como não há
torques externos (pois não há forças externas, já que não há atrito entre os patins e o gelo), o
momento angular com relação ao centro de massa (esse que acabamos de calcular) é conservado.
Em outras palavras, podemos afirmar que .
8.
 (a unidade \unit{J.s} também é correta)
O primeiro disco aproxima-se do segundo com um parâmetro de impacto de 
(``parâmetro de impacto'' é o nome comumente dado à distância entre os centros de massa de
cada disco, perpendicularmente ao movimento). Então, imediatamente antes de a colisão
ocorrer, os vetores de posição e de velocidade são perpendiculares. Logo,
, onde usamos e 
a.
O centro de massa move-se à metade da velocidade do disco 1, o que significa que, com
relação a ele, o primeiro disco tem velocidade e o segundo, . A
distância entre o centro de massa do sistema e o centro de massa do primeiro disco,
perpendicularmente a , é simplesmente o raio do disco, . Então, . O mesmo
vale para o segundo disco: . Logo,
.
b.
Após a colisão, os dois discos giram como se fossem um só objeto cujo momento de inércia é
, com o qual podemos escrever , onde é a velocidade angular dessa rotação.
, em que usamos a expressão para o momento de inércia
de um disco homogêneo, com relação ao seu eixo de simetria, e aplicamos o teorema dos
eixos paralelos para determinar o momento de inércia com relação a um eixo na periferia,
distante do centro (isto é, o ponto de adesão entre os dois discos). Mas como não há forças
c.
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7 of 11 01/11/2018 19:55
externas, também não há torques externos e, consequentemente, o momento angular com
relação ao centro de massa do sistema é conservado. Dito de outra forma, podemos afirmar
que 
2,08 ou 0,481
Considere o diagrama de força livre da bolinha abaixo (no centro):
Para qualquer ângulo , valem (na direção vertical) e (horizontal),
onde é a expressão para a força centrípeta, exercida pela projeção horizontal da tensão no
fio.
Dividindo essas duas expressões e simplificando, obtemos .
Se descrevermos o movimento com relação ao centro da trajetória circular da bolinha (ponto O na
ilustração acima, à esquerda), o torque total será nulo, pois e P se anulam e é anti-paralelo
ao vetor de posição (isto é, ).
Nesse caso, o momento angular é conservado e vale .
Agora, considere dois ângulos e , aos quais estão associados e , respectivamente.
Como é uma constante do movimento, podemos afirmar que
Finalmente, usando os dois ângulos dados no enunciado, concluímos que (ou
, caso tenha rotulado os ângulos de maneira inversa à daqui).
9.
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8 of 11 01/11/2018 19:55
O torque relaciona-se com a aceleração angular desta forma: , onde é o
momento de inércia de um disco de raio e massa . A massa do cilindro é dada por
, onde é a altura e , sua densidade. Consequentemente,
.
A aceleração angular é simplesmente .Então,
.
10.
Como a força é aplicada perpendicularmente ao raio da polia, . E como , então
. Em , . Assim, nesse instante.
11.
A figura abaixo ilustra as forças que atuam sobre o cilindro. A partir dela, a segunda lei de Newton
para a translação do centro de massa nos dá: (na direção perpendicular ao
plano inclinado) e (paralelamente ao plano inclinado), onde é a força
normal, é a força peso (m é a massa do cilindro e g, a aceleração da gravidade), é o ângulo de
inclinação do plano, medido com relação à horizontal, e é a aceleração procurada.
Além disso, a segunda lei de Newton para a rotação do cilindro em torno de seu centro de massa
dá: , onde é o raio de cilindro, é a força de atrito, responsável por fazer o cilindro
girar, e é a aceleração angular. Perceba que não exerce torque é aplicada diretamente no
centro de massa, e que também não exercem torque, pois sua linha de atuação passa pelo
centro de massa (isto é, o braço de alavanca é zero).
Como o cilindro rola sem deslizar, as acelerações linear () e angular ( ) estão relacionadas:
 (``condição de não deslizamento''). Usando essa condição na segunda lei de Newton para
a rotação, obtemos . Levando esse resultado à segunda lei de Newton para a
translação, e simplificando, obtemos . Como (momento de
inércia de um cilindro), concluimos que . Usando aí os valores apresentados no
enunciado, obtemos .
12.
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9 of 11 01/11/2018 19:55
A figura abaixo ilustra as forças presentes, em que são as
massas das crianças. A segunda lei de Newton, aplicada em cada uma das crianças e na polia,
resulta:
onde e são as massas e os pesos, respectivamente, de cada criança, são as
tensões no cabo, é a aceleração sofrida pelas crianças (é a mesma para as duas devido á
condição de que o cabo não estica ou contrai), é o raio da polia e , seu momento de inércia.
Usando a condição de não deslizamento entre o cabo e a polia, relação , na equação (4),
obtemos . Em seguida, somando (2) e (3), usando essa última relação e
resolvendo para , obtemos
, 
em que usamos , sendo a massa da polia. Mas , onde 
e são a altura e a densidade da polia, respectivamente. Então, .
13.
 (100% do valor do item) ou (80% do valor do item).
Considere a figura abaixo, que ilustra as duas situações: inicial (A) e final (B).
A energia mecânica é a soma das energias (i) cinética de translação do centro de massa, (ii)
cinética de rotação em torno do centro de massa e (iii) potencial gravitacional.
Em A temos essas três formas de energia, então: , onde , e
 são a massa, o raio e o momento de inércia da esfera, respectivamente. é a
14.
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10 of 11 01/11/2018 19:55
velocidade de translação do centro de massa, é a velocidade angular de rotação e é a
aceleração da gravidade. Note que, nessa expressão, escolhemos, convenientemente, medir a
energia potencial gravitacional a partir do nível da mesa.
Na situação final , a esfera está parada (não gira nem desloca-se), de modo que a energia está
toda na forma potencial gravitacional: , onde é a altura que caracteriza essa situação
(veja a figura).
Como não há deslizamento, . Além disso, por esse mesmo motivo a força de atrito,
responsável por fazer girar a esfera, não realiza trabalho. Consequentemente, a energia é
conservada (pois a força gravitacional é conservativa). Então, . Usando as expressões
anteriores para a energia mecânica em A e B e resolvendo para h, concluimos que
. Ou seja, .
O problema apresentado aqui é o mesmo da questão 14, exceto pelo formato do objeto, que aqui é
esférico.Isso significa que podemos reutilizar os resultados obtidos lá, desde que o façamos sem
considerar a expressão do momento de inércia naquele caso, já que aqui a expressão é outra.
Especificamente, na questão 14 o momento de inércia era o de um cilindro; aqui, é o de uma
esfera: .Então vejamos: naquele problema havíamos obtido que
onde e são as acelerações linear e angular do objeto. é a força de atrito, é a massa do
objeto, é seu momento de inércia, é seu raio e é a aceleração da gravidade. Perceba que
recuperamos daquela questão as expressões nas quais ainda não havíamos substituído por
alguma expressão de e .
Usando essas duas expressões, mais a condição de não deslizamento, , concluímos que
.
15.
Exercícios de apoio - Semana 3: MECÂNICA G... https://cursos.univesp.br/courses/1838/pages/e...
11 of 11 01/11/2018 19:55
MECÂNICA GERAL
 
Dinâmica Newtoniana em termos em
coordenadas generalizadas4
EXERCÍCIOS DE APOIO
Apenas para praticar. Não vale nota.
O elemento de comprimento pode ser expresso, em coordenadas polares , assim: 
. Selecione a(s) alternativa(s) que representa(m) componente(s) do tensor de
métrica (não necessariamente todas).Para isso, note que a expressão acima para é uma forma
compacta de: 
 
 
 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
 
 
 
1.
O elemento de comprimento pode ser expresso, em coordenadas esféricas , assim: 
. Selecione a(s) alternativa(s) que representa(m)
corretamente as componentes do tensor de métrica: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
 
 
 
2.
O elemento de comprimento pode ser expresso, em coordenadas polares ,
assim: . Selecione a(s) alternativa(s) que representa(m) corretamente
as componentes do tensor de métrica: 
 
a) 
3.
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
 
Observação: é comum utilizar (ou ), com índice em cima, para representar coordenadas
generalizadas quando é importante diferenciar vetores ("vetores contra variantes'') de covetores
(``vetores covariantes''). Quando essa distinção é evidente ou desnecessária, podemos utilizar
também (ou ), com índice embaixo. Note ainda que, como consequência, passamos a
identificar os elementos do tensor de métrica por índices numéricos, e eles foram colocados
embaixo porque o tensor de métrica tem característica covariante, o que costuma ser indicado por
índices inferiores. 
 
 
 
O elemento de comprimento pode ser expresso, em coordenadas cilíndricas 
, assim: . Selecione a(s)
alternativa(s) que representa(m) corretamente as componentes do tensor de métrica: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
 
 
 
4.
O elemento de comprimento pode ser expresso, em coordenadas esféricas 
, assim: . Selecione
a(s) alternativa(s) que representa(m) corretamente as componentes do tensor de métrica: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
 
 
 
5.
O elemento de comprimento pode ser expresso, em coordenadas afins , assim: 
 
. 
 
Selecione a(s) alternativa(s) que representa(m) corretamente as componentes do tensor de
métrica: 
 
6.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
 
 
Comprimento de uma curva 
 
 
Uma circunferência de raio pode ser representada, em coordenadas polares, pela curva 
, com . Determine o comprimento dessa curva. Para isso,
proceda assim: 
 
a) Determine a derivada de cada componente da curva com relação ao parâmetro . 
b) Identifique as componentes do tensor de métrica associado às coordenadas polares (veja os
exercícios anteriores). 
c) Monte a expressão , , em que é o comprimento
procurado. Note que quando , o que simplifica bastante essa expressão. 
d) Resolva a expressão anterior para determinar . 
e) Compare o resultado com aquele que você esperaria se resolvesse o problema utilizando seus
conhecimentos de geometria. 
 
 
 
 
7.
Considere a seguinte curva em coordenadas esféricas: , com .
Determine o comprimento do arco . 
 
 
8.
Determine o comprimento da curva , parametrizada por , quando varia
continuamente de 1 até 2. Considere que . 
 
 
 
9.
Determine o comprimento da curva , com , sabendo que , 
 e . 
 
 
 
Bases 
 
10.
Considere as coordenadas polares , que se relacionam com as coordenadas cartesianas 
 por meio das equações: 
 
Note como escrevemos as coordenadas de um sistema como uma função das coordenadas do
outro. Por exemplo, não é apenas um número; ao invés disso, ele depende da escolha de e ,
de tal maneira que é, na verdade, uma função de e . Matematicamente, escrevemos assim: 
.
Utilize as expressões acima para determinar os vetores da base contra variante: e 
. Selecione as alternativas corretas: 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
 
 
 
11.
Considere as coordenadas polares , que relacionam-se com as coordenadas cartesianas 
 por meio das equações: 
 
Utilize as expressões acima para determinar os vetores da base contra variante (os 
, em que ). Selecione as alternativas corretas: 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
 
 
 
 
12.
Considere as coordenadas polares , que se relacionam com as coordenadas cartesianas 
 por meio das equações: 
13.
 
 
Utilize as expressões acima para determinar os produtos escalares . Selecione as
alternativas corretas: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
 
 
Considere as coordenadas polares , que se relacionam com as coordenadas cartesianas 
 por meio das equações: 
 
Utilize as expressões acima para determinar os produtos escalares . Selecione as
alternativas corretas: 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
 
 
 
14.
Considere o sistema de coordenadas assim relacionado com o sistema cartesiano : 
 
Determine os vetores da base contra variante, , como uma combinação linear dos
vetores da base ortonormal . 
 
 
a) e 
15.
 
b) e 
 
c) e 
d) e 
 
Finalmente, determine também os vetores da base covariante, , e verifique as
identidades . 
 
 
 
Velocidade
 
 
Considere uma partícula movendo-se num plano ao longo da trajetória dada por e 
, em que é um sistema de coordenadas polar e representa o
tempo. Determine as componentes contra variantes do vetor de velocidade . Em
outras palavras, determine . 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
Note que o cenário descrito nesta questão é o de uma partícula que que se afasta da origem do
sistema de referência com velocidade radial constante de .
 
 
16.
Considere uma partícula movendo-se num plano ao longo da trajetória dada por e 
 
, em que é um sistema de coordenadas polar e representa o
tempo. 
 
Determine as componentes covariantes do vetor de velocidade . 
 
a) 
 
b) 
17.
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
 
 
 
 
Considere uma partícula movendo-se num plano ao longo da trajetória dada por e 
, em que é um sistema de coordenadas polar e representa o
tempo. Determine as componentes contra variantes do vetor de velocidade . 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
Note que o cenário descrito nesta questão é o de uma partícula que gira em torno da origem do
sistema de referência com velocidade angular constante de . 
 
 
 
18.
Considere uma partícula movendo-se num plano ao longo da trajetória dada por e 
, em que é um sistema de coordenadas polar e representa o
tempo. Determine as componentes covariantes do vetor de velocidade (é comum
omitir o símbolo de somatória quando um índice aparece repetido na expressão, uma vez
sobrescrito e outra vez subscrito, como é o caso de . Assim, podemos escrever . Essa
é a chamada "convenção de Einstein''). 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
 
19.
 
 
Considere uma partícula movendo-se num plano ao longo da trajetória dada por e 
, em que é um sistema de coordenadas polar e representa o
tempo. Determine o módulo do vetor de velocidade, (não é necessário fornecer a
unidade). 
 
 
20.
Considere uma partícula de massa movendo-se num plano ao longo da trajetória dada
por e , em que é um sistema de coordenadas
polar e representa o tempo (em segundos). Determine a energia cinética dessa partícula, 
. Considere ainda que 
tenha sido construído de modo que seja dado em metros, desorte que a velocidade é dada 
 (consequentemente, a energia cinética é dada em joules). 
 
 
 
21.
MOSTRAR GABARITO
Alternativas a), b) e c). 
 
Basta comparar as duas expressões matriciais acima para concluir que , e 
. Equivalentemente, podemos escrever , e . 
 
 
 
 
 
1.
Alternativas a), b) e c) 
 
Procedamos como na questão anterior: o fator que multiplica é 1, então ; o fator que
multiplica é , então ; o fator que multiplica é , então 
. E, como não há termos cruzados do tipo , etc. para todos os 
.Resumindo, 
 
 
 
 
 
2.
Alternativas a), b) e c) 
 
Procedamos como na questão anterior: o fator que multiplica é 1, então (usamos o
índice de para simplificar os índices de ); o fator que multiplica é , então 
3.
 (cuidado para não confundir índices sobrescritos com expoentes). E, como não há
termos cruzados do tipo , para todos os . Resumindo, 
 
 
 
Alternativas a), b) e c) 
 
Procedamos como na questão anterior: o fator que multiplica é 1, então ; o fator que
multiplica é , então ; o fator que multiplica é 1, então . E,
como não há termos cruzados do tipo , para todos os . Resumindo, 
 
 
 
 
 
 
 
4.
Alternativas a), b) e c) 
 
Procedamos como na questão anterior: o fator que multiplica é 1, então ; o fator que
multiplica é , então ; o fator que multiplica é , então 
. E, como não há termos cruzados do tipo , para todos os .
Resumindo, 
 
 
 
 
5.
Alternativas a), b) e c) 
 
Procedendo como nas questões anteriores, vemos que . A novidade aqui é
que há termos cruzados , e . O fator que multiplica é , então
o termo . Perceba que é igual à metade do fator que multiplica . Isso
acontece porque, na verdade, advém da soma , que
surge no produto matricial (veja a primeira questão). Além disso, (isso é verdade para
todos os elementos de : ). Analogamente, o fator que multiplica é , então
. Finalmente, o fator que multiplica é , então .
Resumindo, 
 
6.
 
 
 
 
 
Resposta: 12,6 
 
a) e . 
 
b) , e . 
 
c) A soma pode se simplificada, antes de a escrevermos, observando que 
, de sorte que a somatória fica . Mas,
como o cálculo é todo feito sobre a curva, sabemos que . Então, a somatória fica
simplesmente . 
Assim, podemos escrever . 
 
d) A integral é imediata: 
e) O resultado acima coincide com aquele que obtemos da geometria: , em que é o raio. 
 
 
 
7.
Resposta: 2,45 
 
, e 
. Para as coordenadas esféricas, , 
 e , em que a última igualdade em e só valem
sobre a curva, pois ali e . Além disso, para , o que simplifica
bastante os cálculos: 
 
 
 
 
 
 
8.
Assim, 
 
 
 
 
 
 
Resposta: 0,693 
 
 e . 
 
 e para . 
 
Então, 
 
 
 
 
 
 
9.
Resposta: 10.0
 e . , e 
sobre a curva. Então, 
 
 
 
 
Assim, . 
 
 
 
 
10.
Alternativas a) e b) 
 
 
11.
 
 
 
 
Alternativas a) e b) 
 
 
 
 
 
12.
Alternativas a) e b) 
 
a) 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
d) Já calculado acima. 
 
e) Não há . 
 
 
 
13.
Alternativas a) e b) 
 
Pela definição, , e . Você também pode usar
os e , determinados nas questões anteriores, e checar explicitamente essas identidades. 
 
 
 
14.
Alternativas a) 
 
 
 
 
 
15.
Alternativas a) e b) 
 
 e . Nesse contexto, 
tem um papel bastante similar ao , usado no cálculo do comprimento de arcos. A diferença é que 
 é qualquer parâmetro que possa ser usado para descrever a curva, enquanto é um parâmetro
específico: o tempo. 
 
 
 
 
16.
Alternativas a) e b). 
 
Lembrando que, em coordenadas polares, e , 
 
 
 
 
 
 
 
 
17.
 e . 
 
Além disso, 
 
 
 
Entretanto, o enunciado solicita apenas as componentes contra variantes (índice em cima), de
modo que, embora e sejam igualdades válidas, não são alternativas corretas, pois
são componentes covariantes (índice embaixo). 
 
 
 
 
18.
Alternativas a) e b) 
 
 e . 
 
Consequentemente, 
 
 
 
 
19.
 
 
Resposta: 8,00
 
 e . 
 
Consequentemente, 
 
 
 
 
Então, . 
 
 
 
20.
Resposta: 16,0 ou 
A trajetória seguida pelo objeto é aquela descrita na questão anterior, de modo que podemos
emprestar dela a velocidade: . Logo, . 
 
21.
MECÂNICA GERAL
Formulação Lagrangeana e oscilações lineares5
EXERCÍCIOS DE APOIO
Apenas para praticar. Não vale nota.
Quantos graus de liberdade tem uma partícula puntual livre para mover-se no espaço?1.
0a.
1b.
2c.
3d.
4e.
Quantos graus de liberdade tem uma partícula puntual confinada a mover-se num plano?2.
0a.
1b.
2c.
3d.
4e.
Quantos graus de liberdade tem uma partícula puntual livre para mover-se numa curva?3.
0a.
1b.
2c.
3d.
4e.
Quantos graus de liberdade tem duas partículas puntuais livre para mover no espaço?4.
2a.
3b.
4c.
5d.
6e.
7f.
Considere um jogo de 15 bolas de bilhar dispostas numa mesa de sinuca. Quantas coordenadas
generalizadas são necessárias para descrevê-las? Ignore o movimento de rotação de cada bola.
5.
2a.
Exercícios de Apoio - Semana 5: MECÂNICA G... https://cursos.univesp.br/courses/1838/pages/e...
1 of 19 14/11/2018 17:37
3b.
15c.
30d.
45e.
Considere os dois objetos ilustrados abaixo, conectados por uma mola e livres para mover apenas
no sentido do sistema de coordenadas cartesiano ilustrado. Devido a essa limitação, o sistema
tem apenas 2 graus de liberdade. Quais das três alternativas abaixo representam pares de
coordenadas possíveis?
Isto é, quais pares de coordenadas podem ser utilizados para especificar completamente a
configuração (posição) dos dois objetos?
6.
a.
b.
c.
d.
e.
Exercícios de Apoio - Semana 5: MECÂNICA G... https://cursos.univesp.br/courses/1838/pages/e...
2 of 19 14/11/2018 17:37
Obsevação: nesse contexto é irrelevante se você coloca os índices em cima ou embaixo.
Ou seja, .
f.
Considere os dois objetos ilustrados abaixo, conectados por uma mola e livres para mover no
plano .
Quantos são os graus de liberdade?
7.
0a.
1b.
2c.
3d.
4e.
Considere o movimento de um projétil, relativamente a um eixo cartesiano de coordenadas
 no qual o eixo aponta para cima. Nessa situação, as energias cinética e potencial
gravitacional podem ser assim escritas em termos dessas coordenadas:
onde é a massa do projétil e é a aceleração da gravidade.
Assinale a(s) alternativa(s) abaixo que apresenta(m) relação(ões) verdadeira(s) sobre esse
cenário:
8.
a.
Exercícios de Apoio - Semana 5: MECÂNICA G... https://cursos.univesp.br/courses/1838/pages/e...
3 of 19 14/11/2018 17:37
b.
c.
d.
e.
f.
Considere uma conta livre para mover-se ao longo de um arame com formato parabólico dado por
, onde é uma constante e é um sistema cartesiano de coordenadas com e 
horizontais e apontando para cima. Quantos são os graus de liberdade da conta?
9.
0a.
1b.
2c.
3d.
4e.
Ainda sobre o cenário da conta presa a um arame parabólico: como a conta está limitada ao
arame, apenas a coordenada pode assumir valores arbitrários, enquanto e assumem valores
restritos a certas regras. Essas regras são as equações de vínculo, e há duas nesse caso,
responsáveis por reduzir os graus de liberdade de três para um:
10.
Exercícios de Apoio - Semana 5: MECÂNICA G... https://cursos.univesp.br/courses/1838/pages/e...
4 of 19 14/11/2018 17:37
Quais alternativas abaixo representam essas duas equações de vínculo na forma
, onde é uma constante?
Observação: a forma não é relevante para esse problema, mas quando você quiser
utilizar as equações de vínculo em conjunção com os multiplicadores de Lagrange, para
determinar as forças de vínculo, é importante saber colocar as equações de vínculo nessa forma.
a.
b.
c.
d.
e.
Ainda sobre o cenário da conta presa a um arame parabólico, qual é a expressão da energia
cinética, escrita em termos do único grau de liberdade? Represente a massa da conta por .
11.
a.
b.
c.
d.
Ainda sobre o cenário da conta presa a um arame parabólico, qual é a expressão da energia
potencial gravitacional, escrita em termos do único grau de liberdade?
Represente a aceleração da gravidade por .
12.
a.
b.
c.
Exercícios de Apoio - Semana 5:MECÂNICA G... https://cursos.univesp.br/courses/1838/pages/e...
5 of 19 14/11/2018 17:37
d.
e.
Ainda sobre o cenário da conta presa a um arame parabólico, qual é a expressão da lagrangeana,
escrita em termos do único grau de liberdade?
13.
a.
b.
c.
d.
e.
Até agora supusemos que as forças presentes, , são conservativas (continuamos ignorando as
forças responsáveis por manter os vínculos válidos), o que significa que elas derivam de alguma
função escalar: a energia potencial . Matematicamente, . Mas esse nem sempre é o
caso: forças dissipativas como o atrito, por exemplo, não derivam de um potencial. Para dar conta
dessas situações, usamos uma versão mais genérica da equação de Lagrange, que chamaremos
de "forma 2'':
onde é a energia cinética e é a força generalizada conjugada à coordenada .
Verifique você mesmo: mostre que a "forma 1'' da equação de Lagrange,
reduz-se à "forma 2'', equação (3), desde que assumamos que:
1.
2. . Ou seja, é uma função apenas das coordenadas (nesse caso, ).
14.
Exercícios de Apoio - Semana 5: MECÂNICA G... https://cursos.univesp.br/courses/1838/pages/e...
6 of 19 14/11/2018 17:37
Ainda sobre o cenário da conta presa a um arame parabólico, como apenas é livre para assumir
valores arbitrários, temos apenas uma equação de movimento (um grau de liberdade):
O valor de não é tão óbvio, como pode parecer. Realmente, pode não ser a componente 
da força que atua sobre a conta (nesse caso, a força gravitacional apenas).
Uma maneira de determinar é avaliar o trabalho executado por sobre a conta quando
imaginamos pequenas variações na coordenada (por ser imaginário, é chamado de
deslocamento virtual), ao mesmo tempo em que mantemos fixas as demais coordenadas: e .
É importante que esses deslocamentos sejam consistentes com os vínculos presentes. Por
exemplo, devido à equação de vínculo , . Além disso, devido à equação de vínculo
, só pode ocorrer na presença de um .
Que expressão relaciona esses deslocamentos virtuais?
Dica: recorde-se, do Cálculo Diferencial, que uma pequena variação numa função qualquer
depende de uma pequena variação em , assim: .
15.
a.
b.
c.
d.
e.
Ainda sobre o cenário da conta presa a um arame parabólico, podemos agora determinar . Para
isso, usamos a expressão
que relaciona o trabalho de defronte um deslocamento virtual genérico.
Imagine um deslocamento . Como é perpendicular à gravidade, não há trabalho
associado a esse deslocamento. Entretanto, devido à equação de vínculo , um
deslocamento assim causa um deslocamento (para cima) paralelo à força da gravidade.
Consequentemente, a força da gravidade (magnitude ), que opõe-se a esse deslocamento,
16.
Exercícios de Apoio - Semana 5: MECÂNICA G... https://cursos.univesp.br/courses/1838/pages/e...
7 of 19 14/11/2018 17:37
realiza trabalho (atenção para o sinal negativo, que decorre do fato de que a força da
gravidade aponta no sentido oposto ao deslocamento ).
Agora, imagine um deslocamento . Mas isso não pode acontecer, devido à equação de
vínculo . Logo, a gravidade não realiza trabalho sobre a conta devido a um deslocamento
virtual .
E como não há outras variáveis a considerar, somamos as contribuições de e para o
trabalho para obter: 
Mas como vimos na questão anterior, depende de , de modo que podemos reescrever a
expressão acima em termos de e, por comparação com a equação (5), concluímos que:
a.
b.
c.
d.
e.
Ainda sobre o cenário da conta presa a um arame parabólico, considere agora que, além de estar
sujeita à gravidade, puxamos a conta com um fio, mantendo sempre a mesma tensão
.
Determine nesse caso.
17.
a.
b.
Exercícios de Apoio - Semana 5: MECÂNICA G... https://cursos.univesp.br/courses/1838/pages/e...
8 of 19 14/11/2018 17:37
Dica: determine o trabalho virtual associado aos deslocamentos (apenas a força ) e ( e
a força gravitacional), utilize as equações de vínculo e compare esse resultado com a expressão
 (aqui ignoramos a coordenada , que não contribui). Atenção para o sinal
de .
c.
d.
Considere novamente o cenário da conta presa a um arame parabólico e puxada por um fio.
Determine a equação de movimento da conta utilizando a "forma 2'' da equação de Lagrange.
Observação: note que se fizermos (isto é, se removermos o fio), obteremos a
equação de movimento do caso anterior, sem fio.
18.
a.
b.
c.
d.
Uma conta de massa encontra-se presa a um arame em formato senoidal: , onde
 é um sistema cartesiano de coordenadas com e horizontais e apontando para cima.
Determine a expressão da energia cinética.
19.
a.
b.
c.
d.
e.
Exercícios de Apoio - Semana 5: MECÂNICA G... https://cursos.univesp.br/courses/1838/pages/e...
9 of 19 14/11/2018 17:37
Considere novamente o cenário da conta presa a um arame senoidal . Determine a
expressão da energia potencial gravitacional.
20.
a.
b.
c.
d.
e.
Considere novamente o cenário da conta presa a um arame senoidal . Utilize a "forma
1'' da equação de Lagrange para determinar a equação de movimento
21.
a.
b.
c.
d.
Uma conta de massa encontra-se presa a um arame de formato hiperbólico: , onde é
uma constante. Determine a energia cinética dessa conta.
22.
a.
b.
c.
d.
Exercícios de Apoio - Semana 5: MECÂNICA G... https://cursos.univesp.br/courses/1838/pages/e...
10 of 19 14/11/2018 17:37
Uma conta de massa encontra-se presa a um arame em formato hiperbólico: , onde 
é uma constante. Determine a força generalizada conjugada à coordenada supondo que a
gravidade (aceleração ) aja no sentido oposto à orientação do eixo (em outras palavras, o eixo
 aponta para cima).
Observação: você pode resolver essa questão de duas formas: utilizando a técnica dos
deslocamentos virtuais ou escrevendo a energia potencial gravitacional em termos de e
utilizando a relação (que só vale porque a força gravitacional é conservativa).
23.
a.
b.
c.
d.
e.
Determine as equações de movimento do pêndulo elástico, isto é, um pêndulo simples no qual o fio
é substituído por uma mola. Utilize como coordenadas (veja a ilustração abaixo) e represente
a massa do objeto suspenso por , a constante elástica da mola por , seu comprimento natural
por e a aceleração da gravidade por .
24.
Exercícios de Apoio - Semana 5: MECÂNICA G... https://cursos.univesp.br/courses/1838/pages/e...
11 of 19 14/11/2018 17:37
Uma palavra de esperança: é provável que, ao longo desses exercícios, você tenha tido o
sentimento de decepção ao perceber que, apesar de o formalismo Lagrangeano facilitar a
determinação das equações de movimento, ele não ajuda em nada na solução dessas equações.
Isso acontece porque não existe um procedimento único para isso. Na verdade, pode nem ser
possível encontrar uma forma fechada (isto é, uma fórmula) para as equações horárias (as
soluções das equações de movimento). Realmente, é comum precisar apelar para soluções
numéricas, com o auxílio de computadores. Caso você esteja curioso sobre isso, este artigo
(http://people.duke.edu/~hpgavin/cee541/LagrangesEqns.pdf) pode ser bastante instrutivo.
a.
b.
c.
d.
MOSTRAR GABARITO
Alternativa d)
A quantidade de graus de liberdade tem a ver com a quantidade de coordenadas que precisamos
ter à mão para localizar, sem dúvida, uma partícula no espaço. Como nesse caso a partícula pode
estar em qualquer lugar do espaço, é conveniente imaginar um sistema de coordenadas
cartesianas para fazer referência à sua posição. Nesse caso, precisamos conhecer as
coordenadas , e . Ou seja, precisamos de três coordenadas. Por isso, três graus de liberdade.
1.
Alternativa c)
Compare com a situação da questão anterior: agora, se associarmos o plano mencionado no
enunciado com o plano , imediatamente percebemos que , pois a partícula está confinada
a esse plano. Por isso, só precisamos saber e para localizá-la sem dúvida nesse plano.
Portanto, apenas duas coordenadas são necessárias. Ou seja, dois graus de liberdade. Outra
forma de chegar a essa conclusão é começarcom o fato de que uma partícula livre no espaço
tridimensional tem três graus de liberdade ( ). Mas ela não é livre; ao invés disso, sua
posição está condicionada a uma equação: a equação de vínculo. Chamemos a quantidade de
equações de vínculo por . Então, e, deste modo, a quantidade de graus de liberdade
2.
Exercícios de Apoio - Semana 5: MECÂNICA G... https://cursos.univesp.br/courses/1838/pages/e...
12 of 19 14/11/2018 17:37
dessa partícula não-livre é .
Alternativa b)
Por simplicidade, imagine que a curva mencionada é uma reta. Nesse caso, podemos escolher um
sistema cartesiano em que essa reta resida no plano . Assim, podemos afirmar que e que e 
relacionam-se por uma equação dessa forma: , onde , e são constantes (essa é
a equação implícita de uma reta). Logo, temos equações de vínculo. Então, a quantidade
de graus de liberada da partícula confinada na reta é ( é a quantidade de
graus de liberdade de uma partícula livre no espaço tridimensional). Outra forma de avaliar esse
cenário, que agora pode ser facilmente estendido para qualquer curva, é o seguinte: escolha um
ponto sobre a curva e chame-o de referência, isto é, meça as distâncias sobre a curva a partir
desse ponto. Procedendo assim, podemos localizar univocamente um ponto dessa curva pela
distância orientada sobre a curva. Ou seja, só precisamos de um número, ou coordenada, para
localizar o ponto (e a partícula sobre ele). Logo, temos apenas um grau de liberdade.
3.
Alternativa e)
Cada partícula livre tem graus de liberdade. Portanto, o sistema composto por duas
partículas livres tem graus de liberdade. Afinal, precisamos conhecer as três coordenadas
da primeira partícula, , e as três coordenadas da segunda partícula, . São
seis números; seis coordenadas; seis graus de liberdade.
4.
Alternativa d)
Cada bola de bilhar tem dois graus de liberdade, pois está confinada ao plano da mesa. Então, o
sistema composto pelas 15 bolas tem graus de liberdade.
5.
Alternativa corretas: a), b) e c)
Procure imaginar quantas informações (números) você precisa para levar esse sistema de uma
posição para a outra (a posição original pode ser chamada de "referência'').
Vejamos item a item:
6.
Esse item propõe que, primeiramente, posicionemos o objeto de massa especificando a 
coordenada e, em seguida, afastando ou aproximando ao especificar a coordenada .
Essa é uma possibilidade, de modo que é um conjunto de coordenadas que especifica
a configuração desse sistema.
a.
Esse item propõe que, primeiramente, determinemos a distância entre os objetos e e,
em seguida, a posição do objeto a partir da referência (eixo ). Isso de fato especifica uma
configuração do sistema, de modo que é um conjunto válido de coordenadas
b.
Exercícios de Apoio - Semana 5: MECÂNICA G... https://cursos.univesp.br/courses/1838/pages/e...
13 of 19 14/11/2018 17:37
generalizadas para esse sistema.
Esse item propõe que, primeiramente, determinemos a distância entre e o centro de
massa do sistema e, em seguida, a posição de a partir da referência (eixo ). Essa
escolha pode parecer não especificar a configuração do sistema, mas acontece que o centro
de massa relaciona as posições de com , de modo que, uma vez conhecida a distância
, a posição de , seja via ou via , fica especificada. Portanto, é um conjunto
válido de coordenadas generalizadas.
c.
 e sequer aparecem na figura (exceto por rotular os eixos horizontal e vertical). Portanto,
 não é capaz de especificar uma configuração qualquer do sistema.
d.
Embora e especifiquem as posições de e com relação ao centro de massa,
elas não especificam a posição do centro de massa no sistema de coordenadas , de modo
que, de fato, não podemos, com essas coordenadas, especificar as posições de e .
Logo, não é um conjunto válido de coordenadas generalizadas.
e.
 especifica a distância de até o centro de massa e especifica a posição de , mas
não conseguimos especificar a distância de até . Por isso, não é um conjunto
generalizado de coordenadas generalizadas.
f.
Alternativa e)
Imagine o que podemos fazer com esse sistema: podemos movê-lo horizontalmente (eg,
coordenada do centro de massa) e verticalmente (coordenada ), podemos ainda girá-lo em
torno do centro coordenada , digamos) e, finalmente, podemos alterar a distância entre os
objetos, sem mover o centro de massa (coordenada ). Então, é um conjunto de quatro
coordenadas generalizadas que é capaz de descrever a configuração desse sistema. Portanto, há
quatro graus de liberdade.
Outra estratégia é a seguinte: como cada objeto tem graus de liberdade (pois estão no
plano ), o sistema tem graus de liberdade. Note que, embora haja uma mola
conectando os dois objetos, ela não impõe uma restrição à distância entre os dois objetos. Ou seja,
não há equações de vínculo. Note que se houvesse uma barra rígida ligando os dois objetos, ao
invés da mola, teríamos uma equação de vínculo e, por isso, um grau de liberdade a menos.
7.
Alternativa corretas: a), b), c) e d)8.
Exercícios de Apoio - Semana 5: MECÂNICA G... https://cursos.univesp.br/courses/1838/pages/e...
14 of 19 14/11/2018 17:37
Atenção: a última expressão não faz parte da equação de Euler-Lagrange.
A posição da conta sobre o arame pode ser univocamente especificada pela sua distância até o
vértice da parábola (ponto mais baixo do arame). Portanto, há apenas um grau de liberdade.
Método alternativo: se a conta fosse livre, ela teria graus de liberdade. Mas ela está sujeita
a equações de vínculo: e . Portanto, ela tem grau de
liberdade.
9.
Alternativa corretas: a) e b)
A primeira equação de vínculo é dada no enunciado, , que pode ser reescrita assim:
Essa expressão tem a forma , com e . A segunda
equação de vínculo vem do fato de que a curva pertence ao plano : disso decorre que
, que também tem a forma , com e .
10.
Alternativa a)
Geralmente é mais fácil começar pelas coordenadas cartesianas . Nesse caso, a energia
cinética da conta já é bem conhecida: . Porém, vimos na questão anterior
que e , e daí decorre que e . Usando essas expressões em , obtemos:
Seria igualmente válido escrever em termos apenas de ao invés de , mas nesse caso a
11.
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expressão seria mais complexa.
Alternativa corretas: a) e b)
Novamente, pensando inicialmente em termos das coordenadas cartesianas, sabemos que a
energia potencial gravitacional pode ser assim expressa no sistema de coordenadas da questão:
. Mas , então . As duas expressões de são válidas.
12.
Alternativa a)
Utilizando as expressões de e , obtidos nas duas questões anteriores, na definição da função
lagrangeana, , obtemos a resposta: .
13.
Comece com a "forma 1'' e a definição de lagrangeana:
Entre a segunda e terceira equações usamos o fato de que .
Entre a terceira e última equações usamos a substituição (forças conservativas).
14.
Como , uma pequena variação em causa uma pequena variação em , e a relação
entre elas, em primeira ordem, é linear: . Como , segue
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imediatamente que .
Alternativa a)
Na questão anterior, vimos que . Então, .
Comparando essa expressão com (5), identificamos . Perceba que isso não
significa que haja uma força paralela a (de fato, não há).
16.
Alternativa a)
O único deslocamento que precisamos considerar é (pois depende de ). Há duas forças
atuando: a da gravidade e . Ao longo do deslocamento , apenas realiza trabalho, de modo
que essa contribuição para o trabalho é . Porém, o deslocamento causa um
deslocamento , ao longo do qual então tanto a força da gravidade quanto realizam trabalho:
 é a contribuição da gravidade (a mesma que na questão anterior) e é a
contribuição de . Então, o trabalho total é . Mas como
, concluímos que e, por