Estácio Matemática Financeira Tema1

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DEFINIÇÃO
Matemática Financeira. Valor do dinheiro no tempo. Conceitos fundamentais: capital, montante,
juros, taxas e fluxos de caixa – relação nos diferentes regimes de capitalização e nas modalidades
de desconto. Equivalência de capitais: comparação de valores em distintos instantes de tempo.
PROPÓSITO
Analisar valores monetários em diferentes instantes de tempo – fundamental para uma boa gestão
de finanças pessoais e corporativas.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar, certifique-se de ter em mãos uma calculadora que seja capaz de realizar, além
das operações básicas, potenciação e logaritmos. A calculadora de seu smartphone ou
computador deve servir.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Identificar a relação entre Capital, Montante, prazos e os diversos tipos de taxas de juros no
Regime de Capitalização Simples
MÓDULO 2
Identificar a relação entre Capital, Montante, prazos e os diversos tipos de taxas de juros no
Regime de Capitalização Composta
MÓDULO 3
Reconhecer os diferentes tipos de descontos e sua aplicabilidade
MÓDULO 4
Comparar valores monetários em diferentes instantes de tempo
MÓDULO 1
 Identificar a relação entre Capital, Montante, prazos e os diversos tipos de taxas de juros no
Regime de Capitalização Simples
INTRODUÇÃO
Vamos apresentar o Regime de Capitalização Simples, cujos conceitos são a base para o que
iremos estudar nos demais módulos. Começaremos abordando os principais conceitos que
utilizaremos ao longo dos diversos módulos: Capital, Montante, Prazos e Taxas de Juros.
CONCEITOS FUNDAMENTAIS
Os juros correspondem à remuneração do capital em uma operação de crédito, ou seja, são o
valor pago pelo tomador de um empréstimo ao credor, para compensá-lo pelo capital cedido por
um determinado prazo.
Assim, quando alguém toma dinheiro emprestado, para quitar a dívida contraída, é preciso
devolver, na data acordada para o pagamento (Prazo), o valor do empréstimo (Capital) acrescido
da remuneração do credor (Juros). À soma desses dois valores dá-se o nome de Montante.
O esquema acima ilustra uma operação de crédito. No instante inicial (t=0), o credor cede um
capital ao tomador, que no prazo acordado (t=n) o devolve com juros.
A soma do capital (C) com os juros (J) recebe o nome de Montante (M):
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Da mesma forma que na operação de crédito, os juros podem ser aplicados a uma operação de
investimento. Quando você realiza uma aplicação financeira, o capital investido gera juros,
produzindo um montante ao final do período de investimento.
Suponha que uma pessoa pegue 1.000 reais emprestados em um banco. Depois de algum tempo,
essa pessoa quita a dívida pagando ao banco 1.010 reais.
Vamos calcular:
Os juros
Como vimos que o Montante (M) é igual à soma do Capital (C) e dos Juros (J), temos:
Nessa operação:
Logo:
A taxa de juros
Como vimos que o Montante (M) é igual à soma do Capital (C) e dos Juros (J), temos:
Podemos determinar o valor percentual ao qual esses juros correspondem, fazendo:
Ou seja, os juros pagos corresponderam a 1% do capital.
VOCÊ SABERIA DIZER SE ESSES JUROS SÃO
ALTOS OU BAIXOS? REFLITA UM POUCO.
Nesta análise, vamos imaginar duas situações, o empréstimo teve prazo de:
1 ano
Nesse caso, todos certamente considerariam os juros bem baixos (1% ao ano).

1 dia
Nesse, entretanto, o considerariam bem elevados (1% ao dia).
Observamos, então, que, para avaliar os juros, é preciso conhecer o prazo a que se referem.
OS JUROS DE UMA OPERAÇÃO PODEM,
PORTANTO, SER EXPRESSOS COMO UM
PERCENTUAL DO CAPITAL EM DETERMINADO
PRAZO. A ISSO CHAMAMOS DE TAXA DE JUROS.
TAXA DE JUROS
Dado o que acabamos de ver, definimos taxa de juros (do inglês interest rate) como a razão entre
os Juros e o Capital, expressa em porcentagem e referida a um determinado prazo:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Os prazos mais comuns aos quais a taxa de juros se refere podem ser:
Prazo Abreviação
ao dia a.d.
ao mês a.m.
ao bimestre a.b.
ao trimestre a.t.
ao quadrimestre a.q.
ao semestre a.s.
ano ano a.a.
ao período a.p.
Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
AO PERÍODO
Esse se refere a um período genérico em que a operação é realizada.
Fiquem atentos às abreviações, pois, de agora em diante, as usaremos bastante.
Suponha que um investidor aplicou 2.500 reais em um CDB e resgatou, 1 ano após a aplicação,
2.750 reais. Vejamos como calcular:
Os juros
Nessa operação:
Logo:
A taxa de juros
Para calcularmos a taxa de juros, fazemos:
A taxa de juros fica expressa ao ano (a.a.), pois o período da aplicação foi de 1 ano.
Notem que há uma distinção entre Juros e Taxa de Juros! Como vimos, eles não são a mesma
coisa. Os juros são expressos em unidades monetárias: reais, dólares, euros etc. Já as taxas de
juros são expressas em percentual e referidas a um período (dia, mês, ano etc.).
Assista ao vídeo e entenda um pouco mais sobre juros e taxa de juros.
REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
Um Regime de Capitalização consiste na forma como os juros, incidindo periodicamente sobre o
capital, se acumulam.
No Regime de Capitalização Simples, ou Juros Simples, somente o Capital Inicial rende
juros. Assim, o valor dos juros que são acrescidos ao capital é calculado com base apenas
no capital inicialmente investido.
Fonte: Shutterstock
Em cada período de capitalização simples, o valor dos juros a serem incorporados na operação é
igual a:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se um investidor aplica um capital (C) por n períodos em um regime de capitalização simples a
uma taxa de juros igual a i ao período, temos que os juros calculados serão:
APÓS O 1º PERÍODO: C×I
APÓS O 2º PERÍODO: C×I
... ...
APÓS O N-ÉSIMO PERÍODO: C×I
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E teremos um Montante (M) igual a:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Essas são as expressões para os juros e montante no Regime de Capitalização Simples.
LEMBRE-SE QUE O NÚMERO DE PERÍODOS (N) E
A TAXA DE JUROS (I) DEVEM ESTAR NA MESMA
UNIDADE DE TEMPO! SE N ESTÁ EXPRESSO EM
MESES, ENTÃO I DEVE SER “AO MÊS”; SE N
ESTIVER EM ANOS, I DEVE SER “AO ANO”, E
ASSIM POR DIANTE!
 EXEMPLO
Qual o montante de um empréstimo de R$ 2.000,00 a ser pago em 3 anos, a juros simples de
15% ao ano?
Para juros simples, temos que:
No enunciado, são dados:
Como ambos, i e n, estão expressos na mesma unidade de tempo, podemos substituir seus
valores na expressão e obtemos o seguinte montante:
Podemos resumir o que se passou durante o período na tabela abaixo:
Instante Juros Montante
t = 0 - 2.000
t = 1 ano 2.000 x 15% = 300 2.000 + 300 = 2300
t = 2 anos 2.000 x 15% = 300 2.300 + 300 = 2.600
t = 3 anos 2.000 x 15% 300 2.600 + 300 = 2.900
Repare que os juros anuais são sempre iguais a 300 reais, uma vez que são obtidos pela
aplicação da taxa de juros de 15% sobre o capital inicial de 2.000 reais.
TAXAS PROPORCIONAIS E EQUIVALENTES
EM JUROS SIMPLES
Quando podemos dizer que duas taxas são equivalentes?
Quando são aplicadas ao mesmo capital (C) durante o mesmo prazo (n), produzem o mesmo
montante (M). No caso de juros simples, as taxas equivalentes são proporcionais.
Isso significa que a taxa anual será doze vezes maior que a mensal e duas vezes maior do que a
semestral, por exemplo.
 EXEMPLO
Uma taxa de juros simples de 1% a.m. é equivalente a uma taxa de 3% a.t., pois a taxa trimestral
será 3 vezes maior do que a taxa mensal, uma vez que há 3 meses em um trimestre.
Assim, aplicar um capital de 100 reais por 3 meses a uma taxa de juros simples de 1% a.m.
corresponde a aplicar os mesmos 100 reais por um trimestre a uma taxa de 3% a.t.:
MÃO NA MASSA
1. VOCÊ FOI AO BANCO SOLICITAR UM EMPRÉSTIMO DE R$ 1.000,00 POR
UM MÊS, E O BANCO COBROU UMA TAXA DE JUROS DE 1,5% A.M.
QUANTO VOCÊ PAGARÁ DE JUROSNESSA OPERAÇÃO?
A) R$ 20,00
B) R$ 15,00
C) R$ 25,00
D) R$ 10,00
2. UM PRODUTO CUSTOU R$ 144,00, JÁ COM DESCONTO DE 20% SOBRE
SEU PREÇO À VISTA. SE O COMPRADOR O TIVESSE ADQUIRIDO COM
PAGAMENTO APÓS UM MÊS, PAGARIA 5% DE JUROS SOBRE O PREÇO À
VISTA. QUANTO TERIA PAGO SE COMPRASSE A PRAZO?
A) R$ 189,00
B) R$ 180,00
C) R$ 190,00
D) R$ 179,00
3. UM BANCO APLICA R$ 100.000,00 À TAXA DE JUROS SIMPLES DE 15%
A.M. POR N MESES. APÓS ESSE PERÍODO, ELE REAPLICA O MONTANTE
OBTIDO À TAXA DE JUROS SIMPLES DE 20% A.M., POR 4 MESES,
OBTENDO UM MONTANTE FINAL DE R$ 234.000,00. QUAL É O PRAZO DA
SEGUNDA APLICAÇÃO?
A) 5 meses.
B) 3 meses.
C) 2 meses.
D) 4 meses.
4. UM CAPITAL DE R$ 6.000,00, APLICADO A JUROS SIMPLES DE 60% AO
ANO, RENDEU R$ 900,00. QUAL É O PRAZO DA APLICAÇÃO?
A) 5 meses.
B) 3 meses.
C) 2 meses.
D) 4 meses.
5. QUAL É O CAPITAL QUE, INVESTIDO POR 4 MESES A UMA TAXA DE
JUROS SIMPLES DE 2% A.M., GERA UM MONTANTE DE R$ 1.080,00?
A) R$ 3.000,00
B) R$ 5.000,00
C) R$ 2.000,00
D) R$ 1.000,00
6. CALCULE AS TAXAS DE JUROS SIMPLES MENSAIS EQUIVALENTES ÀS
SEGUINTES TAXAS:
I - 24% A.A.
II - 6% A.S.
III -16% A.Q.
IV - 9% A.T.
V -3% A.B.
ASSINALE A ALTERNATIVA COM A SEQUÊNCIA DE RESULTADOS
CORRETA:
A) I - 2%a.m., II - 1%a.m., III - 4%a.m., IV - 3%a.m., V - 1,5% a.m.
B) I - 1% a.m., II - 2% a.m., III - 4% a.m., IV - 3% a.m., V - 1,5% a.m.
C) I - 2% a.m., II - 1% a.m., III - 3% a.m., IV - 1,5% a.m., V - 4% a.m.
D) I - 1% a.m., II - 1% a.m., III - 1,5% a.m., IV - 4% a.m., V - 1,5% a.m.
GABARITO
1. Você foi ao banco solicitar um empréstimo de R$ 1.000,00 por um mês, e o banco cobrou
uma taxa de juros de 1,5% a.m. Quanto você pagará de juros nessa operação?
Sabemos que a taxa de juros é obtida fazendo:
i = J
C
→ J = C × i
Como, no nosso exemplo, C = R$ 1.000,00 e i =1,5% a.m., temos:
J = 1 . 000 × 1, 5 % = 1 . 000 × 0, 015 = R $ 15, 00
Lembrem-se bem dessa última expressão (J=C.i), que nos permite calcular os juros de uma
operação. Basta aplicar a Taxa de Juros ao Capital.
2. Um produto custou R$ 144,00, já com desconto de 20% sobre seu preço à vista. Se o
comprador o tivesse adquirido com pagamento após um mês, pagaria 5% de juros sobre o
preço à vista. Quanto teria pago se comprasse a prazo?
Seja P o preço do produto. Com um desconto de 20%, o comprador pagou R$ 144,00, ou seja:
P × �1 − 20 % � = 144
P × 0, 80 = 144 → P = 144
0,80
= R $ 180, 00
Se comprasse a prazo, pagaria esse preço, acrescido de juros de 5%. Vamos calcular os juros:
J = C × i
J = 180 × 5 % = 180 × 5
100
= R $ 9, 00
m, o comprador teria pago:
180 + 9 = R $ 189, 00
3. Um banco aplica R$ 100.000,00 à taxa de juros simples de 15% a.m. por n meses. Após
esse período, ele reaplica o montante obtido à taxa de juros simples de 20% a.m., por 4
meses, obtendo um montante final de R$ 234.000,00. Qual é o prazo da segunda aplicação?
Após n meses da primeira aplicação, o investidor terá um montante de:
M_1 = 100 . 000 × �1 + 0, 15 × � �
Esse será o capital aplicado na segunda operação, gerando um montante igual a:
M2 = M1 × �1 + 0, 20 × 4�
M2 = 100 . 000 × �1 + 0, 15 × n� × �1 + 0, 20 × 4�
234 . 000 = 100 . 000 × �1 + 0, 15 × n� × 1, 80
1 + 0, 15 × n = 234.000
100.000×1,80
1 + 0, 15 × n = 1, 30
0, 15 × n = 0, 30
n =
0,30
0,15
= 2 meses
A resposta encontrada está em meses, pois utilizamos uma taxa de juros expressa ao mês.
4. Um capital de R$ 6.000,00, aplicado a juros simples de 60% ao ano, rendeu R$ 900,00.
Qual é o prazo da aplicação?
Para juros simples, temos:
J = C × i × n
C = 6 . 000
i = 60 % a . a . = 0, 60
J = 900
Logo, substituindo na expressão, temos:
900 = 6 . 000 × 0, 60 × n
n = 900
6.000×0,60
= 0, 25 anos
O resultado é expresso em anos, pois a taxa de juros utilizada á anual (ao ano). Para calcular o
período em meses, basta multiplicarmos o valor obtido por 12.
5. Qual é o capital que, investido por 4 meses a uma taxa de juros simples de 2% a.m., gera
um montante de R$ 1.080,00?
Para juros simples, temos:
M = C × i × n
M = 1 . 080
i = 2 % a . m . = 0, 02
n = 4 meses
Logo, substituindo na expressão, temos:
1 . 080 = C × �1 + 0, 02 × 4� = C × 1, 08
C = 1.080
1,08
= R $ 1 . 000, 00
6. Calcule as taxas de juros simples mensais equivalentes às seguintes taxas:
I - 24% a.a.
II - 6% a.s.
III -16% a.q.
IV - 9% a.t.
V -3% a.b.
Assinale a alternativa com a sequência de resultados correta:
Em juros simples, as taxas equivalentes são proporcionais. Assim, para determinarmos as taxas
de juros simples mensais em cada um dos itens do enunciado, fazemos:
ia =
24%
12
= 2% a . m . ib =
6%
6
= 1%a . m . ic =
16%
4
= 4%a . m .
id =
9%
3
= 3% a . m . ie =
3%
2
= 1, 5% a . m .
TEORIA NA PRÁTICA
O regime de capitalização simples é incomum no mercado financeiro, mas podemos encontrar
exemplos em empréstimos informais, como entre amigos ou familiares.
Imagine que João empresta R$ 1.000,00 a seu amigo Paulo, que se compromete a devolver R$
1.050,00 após um ano. Quando chega a data do pagamento, Paulo diz que está com dificuldade,
mas pagará R$ 1.100,00 após mais um ano. Ou seja, Paulo paga R$ 50 a João por cada ano do
empréstimo ou 5% do valor emprestado (R$ 1.000,00).
Esse é um exemplo de capitalização simples: a taxa de juros de 5% incide sempre sobre o valor
inicial (R$ 1.000,00), e não sobre o valor acrescido de juros (R$ 1.050,00 ao final do primeiro ano).
Estamos usando a expressão J=C×i, com C= R$ 1.000 e i = 5%. É importante reforçar que
podemos escrever a taxa de juros de duas formas: i = 5% ou i = 0,05.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. CALCULE O MONTANTE QUE UM CAPITAL DE R$ 2.000,00 GERA A UMA
TAXA DE JUROS SIMPLES DE 2% A.M., DEPOIS DE CINCO MESES E MEIO:
A) R$ 220,00
B) R$ 22.000,00
C) R$ 2.105,00
D) R$ 2.220,00
2. UM JOVEM APLICA R$ 2.500,00 A JUROS SIMPLES PELO PRAZO DE 2
MESES, RESGATANDO, AO FINAL DO PRAZO, R$ 2.657,50. A TAXA ANUAL
DA APLICAÇÃO FOI DE:.
A) 3,15%
B) 37,8%
C) 13,0%
D) 9,6%
GABARITO
1. Calcule o montante que um capital de R$ 2.000,00 gera a uma taxa de juros simples de
2% a.m., depois de cinco meses e meio:
A alternativa "D " está correta.
Para juros simples, temos:
� = � × �1 + � × ��
� = 2 . 000
� = 2 % � .� . = 0, 02
� = 5, 5 �����
Como i e n estão expressos em meses, podemos substituir seus valores na expressão para
calcularmos o Montante.
� = 2 . 000 × �1 + 0, 02 × 5, 5� = 2 . 220
2. Um jovem aplica R$ 2.500,00 a juros simples pelo prazo de 2 meses, resgatando, ao final
do prazo, R$ 2.657,50. A taxa anual da aplicação foi de:.
A alternativa "B " está correta.
Os juros do período foram de:
� = 2 . 657, 50 − 2 . 500 = 157, 50
Em juros simples, temos que:
� = � × � × �
157,50=2.500×i×2
� =
157,50
2.500×2
= 0, 0315 = 3, 15 % � .� .
A questão pede a taxa anual. Como em juros simples as taxas equivalentes são proporcionais, a
taxa anual é obtida multiplicando-se a taxa mensal por 12. Assim:
������ = 3, 15% × 12 = 37, 8%� . � .
MÓDULO 2
 Identificar a relação entre Capital, Montante, prazos e os diversos tipos de taxas de juros no
Regime de Capitalização Composta
INTRODUÇÃO
O presente módulo apresentará o Regime de Capitalização Composta, o mais utilizado no
mercado financeiro.
REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
No Regime de Capitalização Simples, os juros de cada período de capitalização são calculados
exclusivamente sobre o Capital Inicial da operação. No entanto, a maioria das operações
financeiras não são estruturadas no Regime Simples.
No Regime de Capitalização composta, ou Juros Compostos, a cada período de capitalização, os
juros são incorporados ao capital do período anterior para servirem como base de cálculo dos
juros no próximo período.
Chamando o Capital Inicial da operação de C, observamos que esse capital passa por uma série
de aumentos sucessivos a uma taxa i. Como aumentar um valor em equivale a multiplicá-lo
por ( ), se a taxa de juros é igual a i, a cada período de capitalização, o capital é
multiplicado por ( ).
Ao finalde n períodos, temos um montante final igual a:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo, da relação entre Montante, Capital e Juros, temos:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo a expressão que encontramos para o Montante nessa última equação, temos:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 EXEMPLO
Quais são os juros e o valor futuro de uma aplicação de R$ 1.200,00, após 3 meses, a uma taxa
composta de 1% a.m.?
Notem a nomenclatura utilizada. O enunciado pede os juros e o Valor Futuro da aplicação.
Muitas vezes, o Capital e o Montante são chamados de Valor Presente (VP) e Valor Futuro (VF) da
operação financeira, respectivamente. Então, vemos que a questão nos pede o Montante e os
Juros. Vamos lá!
Para juros compostos, temos que:
Logo:
Agora vamos calcular os juros da operação. Para isso, fazemos:
Vejam que para calcular os juros não precisamos usar a fórmula . Bastou
que calculássemos o Montante e subtraíssemos o Capital.
TAXAS EFETIVAS E NOMINAIS
Nem sempre a taxa de juros estará expressa na mesma unidade de tempo do período de
capitalização, ou seja, o período em que os juros são incorporados ao capital.
Nesse caso, existem dois tipos de taxas:
EFETIVAS
Quando os períodos coincidem.
Taxas Efetivas
5% a.m. com capitalização mensal
4% a.a com capitalização anual
10% a.s.
1% a.d.
NOMINAIS
Nas situações em que a taxa de juros está expressa em unidade de tempo diferente da unidade
de tempo do período de capitalização.
Taxas Nominais
10% a.b. com capitalização mensal
12% a.a. com capitalização semestral
6% a.m. com capitalização diária
8% a.s. com capitalização trimestral
Notem que quando nada é dito sobre o período de capitalização, inferimos que se trata de taxa de
juros efetiva.
MAIS IMPORTANTE AINDA, NAS FÓRMULAS QUE
DESENVOLVEMOS PARA JUROS COMPOSTOS,
DEVEMOS SEMPRE UTILIZAR TAXAS EFETIVAS!
CASO TENHA SIDO INFORMADA UMA TAXA
NOMINAL, DEVEMOS CONVERTÊ-LA PARA A
TAXA EFETIVA ANTES DE APLICAR A FÓRMULA.
E como fazemos isso? Simples. As taxas efetiva e nominal são taxas proporcionais.
Vamos converter, então, as taxas nominais da tabela anterior em taxas efetivas:
Taxas Nominais Taxas Efetivas
10% a.b. com capitalização mensal
12% a.a. com capitalização semestral
6% a.m. com capitalização diária
8% a.s. com capitalização trimestral
TAXAS EQUIVALENTES
Taxas equivalentes são aquelas que, aplicadas ao mesmo capital (C) e pelo mesmo período (n),
produzem o mesmo montante (M). No entanto, à diferença dos juros simples, as taxas
proporcionais não são equivalentes para juros compostos!
Para encontramos taxas equivalentes em juros compostos, usamos a seguinte fórmula, em que as
taxas são sempre efetivas, nunca nominais:
Onde n1 e n2 representam o mesmo período de tempo, mas estão expressos na unidade de suas
taxas correspondentes.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 EXEMPLO
A taxa composta mensal equivalente a 12% ao ano, pode ser determinada da seguinte forma:
Note que a taxa mensal equivalente a 12% a.a. não é 1% a.a. como nos juros simples! Em juros
compostos, taxas proporcionais não são equivalentes.
Fonte: Shutterstock
TAXA REAL E TAXA APARENTE
Como estamos falando do valor do dinheiro no tempo, não podemos deixar de falar de inflação. A
inflação é o termo usado para designar a alta geral dos preços em uma economia. O seu oposto é
a deflação, uma queda geral dos preços na economia.
Também podemos compreender a inflação como uma redução no poder de compra da moeda,
pois, com os preços mais altos, a mesma quantidade de dinheiro compra menos produtos.
Sabemos, portanto, que a inflação altera o valor do dinheiro no tempo, exatamente como fazem os
juros. Assim, quando aplicamos um determinado capital, o montante recebido ao final da operação
não tem o mesmo poder de compra que teria no início da operação, pois foi corroído pela inflação.
Dessa forma, a taxa de juros que recebemos na aplicação é uma taxa aparente, pois não leva em
consideração as perdas ocasionadas pela inflação. Se o efeito da inflação for descontado dessa
taxa aparente, obtemos a taxa real da operação.
Por conseguinte, temos duas novas definições:
Taxa real
É a taxa que representa o ganho efetivo do investimento;
É obtida descontando-se o efeito da inflação.

Taxa aparente
É a taxa nominal da operação financeira;
Possui embutida em si a inflação.
TAXA REAL
Taxa obtida pelo desconto da inflação na taxa aparente . Representa o verdadeiro ganho
financeiro da operação.
TAXA APARENTE
Taxa contratada em uma operação financeira, por vezes chamada de taxa nominal.
A relação entre as três taxas: taxa aparente, taxa de inflação e taxa real é dada por:
ÇÃ
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Nesta fórmula, as três taxas são taxas efetivas expressas no mesmo período. Em outras palavras,
se estamos falando de um período de 1 ano, as três taxas devem ser taxas efetivas anuais.
Portanto, antes de usarmos a fórmula, devemos converter as taxas para as mesmas unidades de
tempo.
 EXEMPLO
A taxa de juros oferecida por uma aplicação financeira de 1 ano foi de 6% a.a. Nesse período, a
inflação acumulada foi de 3% a.a. Assim, podemos calcular a taxa real, uma vez que a taxa de
inflação é de 3% a.a., e a taxa aparente é igual a 6% a.a. Temos:
çã
Assista ao vídeo e entenda de forma mais detalhada a diferença entre taxa real e taxa aparente e
veja um exemplo de como na compra de um produto, podemos confundi-las.
TAXAS PREFIXADAS E PÓS-FIXADAS
Vimos que as taxas de juros reais podem ser negativas e nenhum investidor quer ver seu dinheiro
render menos do que a inflação. Pensando nisso, o mercado financeiro desenvolveu os títulos
chamados de pós-fixados.
Nesses títulos, negocia-se a taxa de juros reais. Funciona da seguinte maneira:
No início da operação, o tomador e o credor acordam o valor de juros reais que serão pagos e um
fator de atualização monetária – como, por exemplo, o Índice de Preços ao Consumidor Amplo
(IPCA) – que será usado para compensar a inflação.
Assim, no início da operação, como não se sabe o valor da inflação futura, também não há como
saber o valor do montante a ser pago para resgatar o título. Sobre esse tipo de operação, diz-se
que está “em aberto”.
Quando o título vence, apura-se o valor do fator de atualização monetária (ou correção monetária)
e calcula-se a taxa pós-fixada da operação, combinando o fator de atualização com a taxa de
juros acordada no início da operação.
Chamando a taxa pós de ó , a taxa de correção monetária de e a taxa de juros acordada no
início da operação de , temos:
ÍNDICE DE PREÇOS AO CONSUMIDOR AMPLO
(IPCA)
Divulgado mensalmente pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), este
índice serve como a medida oficial de inflação no Brasil. Existem outros índices que medem
a inflação, como o Índice Geral de Preços do Mercado (IGP-M) e o Índice Nacional de
Preços ao Consumidor (INPC).
Ó
Fator de atualização monetária
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, em oposição aos títulos prefixados, quando se conhece a priori o valor do montante ao
final da operação, nos títulos pós-fixados só se conhece o montante final na data do vencimento
do título, ou seja, a posteriori.
MÃO NA MASSA
1. APLICAM-SE R$ 1.000,00 DURANTE 2 MESES, A UMA TAXA DE JUROS
COMPOSTOS DE 1% AO MÊS. AO CALCULARMOS OS JUROS DESSA
OPERAÇÃO, OBTEREMOS:
A) R$ 20,00
B) R$ 20,05
C) R$ 20,10
D) R$ 20,01
2. POR QUANTOS MESES DEVO APLICAR R$ 1.000,00 A UMA TAXA DE
JUROS COMPOSTOS DE 0,5% A.M. PARA OBTER R$ 10.000,00?
A) 460 meses
B) 450 meses
C) 412 meses
D) 462 meses
3. QUAL É O MONTANTE GERADO POR UM CAPITAL DE R$ 55.000,00,
APLICADO À TAXA DE 36% A.A. POR UM ANO, COM CAPITALIZAÇÃO
MENSAL COMPOSTA?
A) R$ 78.416,85
B) R$ 87.416,85C) R$ 78.410,58
D) R$ 87.614,85
4. QUAL A TAXA EFETIVA ANUAL EQUIVALENTE A 10% AO ANO, COM
CAPITALIZAÇÃO SEMESTRAL?
A) 10,15% a.a.
B) 10,25% a.a.
C) 10,55% a.a.
D) 10,45% a.a.
5. SE A TAXA DE JUROS NOMINAL FOR DE 10% A.A., E A TAXA DE
INFLAÇÃO FOR DE 4% A.A., QUANTO VALE A TAXA DE JUROS REAL?
A) 8,5% a.a.
B) 5,5% a.a.
C) 6,5% a.a.
D) 5,8% a.a.
6. UM INVESTIMENTO DE R$ 1.000 POR UM ANO É REMUNERADO COM
50% A TÍTULO DE JUROS, MAIS A INFLAÇÃO DO PERÍODO, QUE FICOU EM
20%. QUAL FOI O MONTANTE FINAL DA OPERAÇÃO?
A) R$ 1.300,00
B) R$ 1.500,00
C) R$ 1.800,00
D) R$ 1.600,00
GABARITO
1. Aplicam-se R$ 1.000,00 durante 2 meses, a uma taxa de juros compostos de 1% ao mês.
Ao calcularmos os juros dessa operação, obteremos:
Para juros compostos, temos:
� = � × ��1 + ��
�
− 1�
� = 1 . 000� = 1 % � .� . = 0, 01 � = 2 �����
Lembre-se sempre que a taxa de juros e o número de períodos devem sempre estar expressos na
mesma unidade de tempo (neste caso, meses). Logo:
� = 1 . 000 × ��1 + 0, 01�
2
− 1�
� = 1 . 000 × �1, 0201 − 1� = � $ 20, 10
2. Por quantos meses devo aplicar R$ 1.000,00 a uma taxa de juros compostos de 0,5% a.m.
para obter R$ 10.000,00?
Para resolver esse exercício, precisaremos recordar uma propriedade dos logaritmos, pois
queremos calcular o número de períodos n, que está no expoente da fórmula.
A propriedade dos logaritmos que nos será muito útil é a seguinte:
��� �� = � × ��� �
Ou seja, quando aplicamos o logaritmo a uma potência qualquer, nesse caso ab, o expoente
passa para a frente do logaritmo, multiplicando-o.
Vamos ao cálculo. Para juros compostos, temos que:
� = � × �1 + ��
�
� = 1 . 000 � = 10 . 000 � = 0, 5 % � .� . = 0, 005
Logo:
10 . 000 = 1 . 000 × �1 + 0, 005�
�
1, 005� = 10.000
1.000
= 1 . 000
��� 1, 005� = ��� 1 . 000
Usando a propriedade do logaritmo:
� × log 1, 005 = log 1 . 000
� =
log 1.000
log 1,005
≅ 462 �����
Como a taxa de juros estava expressa ao mês, encontramos n igualmente expresso em meses.
3. Qual é o montante gerado por um capital de R$ 55.000,00, aplicado à taxa de 36% a.a. por
um ano, com capitalização mensal composta?
O enunciado fala em 36% ao ano, com capitalização mensal, ou seja, trata-se de uma taxa
nominal, pois o prazo da taxa difere do período de capitalização. A taxa efetiva mensal
correspondente será dada por:
�� =
36%�
12
= 3% � .� .
Agora, podemos usar a fórmula dos juros compostos:
� = � × �1 + ��
�
São dados:
� = 55 . 000 � = 3 % � .� . = 0, 03 � = 1 ��� = 12 �����
Note que a taxa efetiva que calculamos é mensal, o que implica em usar n expresso em meses.
Logo:
� = 55 . 000 × �1 + 0, 03�
12
= � $ 78 . 416, 85
4. Qual a taxa efetiva anual equivalente a 10% ao ano, com capitalização semestral?
O enunciado fala em 10% ao ano, com capitalização semestral, ou seja, trata-se de uma taxa
nominal, pois o prazo da taxa difere do período de capitalização. A taxa efetiva semestral
correspondente será dada por:
�� =
10%
2
= 5%� . � .
No entanto, o enunciado nos pede a taxa efetiva anual. Temos, então, que calcular a taxa anual
equivalente a 5% a.s.:
�� = �1 + ���
2 ���������
1��� − 1
�� = �1 + 0, 05�
2
− 1 = 10, 25%� . � .
5. Se a taxa de juros nominal for de 10% a.a., e a taxa de inflação for de 4% a.a., quanto vale
a taxa de juros real?
Estamos vendo um exemplo em que a nomenclatura “taxa nominal” está sendo usada como
sinônimo de taxa aparente. As taxas se relacionam da seguinte forma:
1 + ��������� = �1 + ������çã�� × �1 + ������
�1 + 0, 10� = �1 + 0, 04� × �1 + ������
1 + ����� =
1,10
1,04
= 1, 058
����� = 0, 058 × 100% = 5, 8% � . � .
As taxas aparentes, ou nominais, não podem ser negativas, mas isso não ocorre com as taxas de
juros reais. Quando a inflação é superior à taxa aparente, a taxa real fica negativa. Isso significa
que os juros auferidos não compensaram as perdas com a inflação. Nesse caso, há uma perda
real.
6. Um investimento de R$ 1.000 por um ano é remunerado com 50% a título de juros, mais a
inflação do período, que ficou em 20%. Qual foi o montante final da operação?
Vamos aos cálculos:
�1 + ��ó�� = �1 + ���� × �1 + �������
�1 + ��ó�� = �1 + 0, 20� × �1 + 0, 50� = 1, 80
��ó� = 0, 80 × 100% = 80% � . � .
Como o valor do empréstimo era de 1.000 reais, temos que o valor final será dado por:
M=1.000×(1+80%)=R$ 1.800,00
� = 1 . 000 × �1 + 80 % � = � $ 1 . 800, 00
Os títulos pós-fixados não precisam, necessariamente, ser corrigidos pela inflação. Também são
muito comuns os títulos corrigidos pela taxa de câmbio ou juros que não são conhecidos no início
da operação, como as taxas do CDI ou do Selic. As duas últimas também são conhecidas como
taxas “over”. A lógica, no entanto, é a mesma.
TEORIA NA PRÁTICA
A capitalização composta é a mais usada no mercado financeiro. Se você tem recursos investidos,
ela trabalha a seu favor, fazendo o investimento crescer mais rapidamente. Uma dívida, porém,
também irá crescer rapidamente.
Imagine que você entrou em R$ 100,00 no cheque especial do seu banco, que cobra juros
(compostos) de incríveis 12,5% ao mês.
Se a capitalização fosse por juros simples, em um ano, essa dívida se transformaria em R$
250,00, o que já não é pouco.
Para obter esse resultado, calculamos inicialmente os juros mensais, usando a expressão J=C×i,
com C = R$ 100 e i = 12,5%: obtemos, então, R$ 12,50.
Depois, multiplicamos por 12 o número de meses. Com capitalização composta, porém, esse valor
chega a R$ 410,99! Podemos usar uma calculadora financeira para obter esse resultado: fazemos
i = 12,5; n = 12; PV = -100; PMT = 0; e pedimos, então, o cálculo de FV.
Taxas de 12,5% eram comuns nos bancos brasileiros até poucos anos atrás, mas o Banco Central
do Brasil definiu que a taxa não pode ser maior que 8% ao mês, o que ainda é bastante alto: uma
dívida de R$ 100,00 chega a quanto após 12 meses?
Cuidado com o cheque especial!
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. UM FUNDO DE INVESTIMENTO RECEBE UMA APLICAÇÃO DE R$
10.000,00 E OFERECE UMA TAXA EFETIVA DE 5% A.A. COM
CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA. QUAIS SERÃO OS JUROS AUFERIDOS APÓS
36 MESES?
A) R$ 1.576,25
B) R$ 1.500,00
C) 11.576,25
D) 67.918,16
2. A INFLAÇÃO ACUMULADA NOS ÚLTIMOS SEIS MESES FOI DE 3%. UM
INVESTIMENTO RENDEU 6% NO MESMO PERÍODO. CALCULE A TAXA DE
RENDIMENTO ANUAL REAL DESSE INVESTIMENTO:
A) 3%
B) 6%
C) 2,91%
D) 5,91%
GABARITO
1. Um fundo de investimento recebe uma aplicação de R$ 10.000,00 e oferece uma taxa
efetiva de 5% a.a. com capitalização composta. Quais serão os juros auferidos após 36
meses?
A alternativa "A " está correta.
Para juros compostos, temos:
� = � . ��1 + ��
�
− 1�
� = 10 . 000� = 5 % � . � . = 0, 05� = 36 ����� = 3 ����
Lembremos sempre de colocar a taxa de juros e o número de períodos expressos na mesma
unidade de tempo! Logo:
� = 10 . 000 . ��1 + 0, 05�
3
− 1� = 1 . 576, 25
2. A inflação acumulada nos últimos seis meses foi de 3%. Um investimento rendeu 6% no
mesmo período. Calcule a taxa de rendimento anual real desse investimento:
A alternativa "D " está correta.
Vamos aos cálculos:
�1 + ���������� = �1 + ������çã�� × �1 + ������
1 + 6% = �1 + 3%� × �1 + ������
1 + ����� =
1,06
1,03
= 1, 02913
����� = 0, 029 = 2, 913% � . � .
Note que a resposta é uma taxa semestral, pois as taxas que usamos são semestrais. Para
calcular a taxa equivalente anual, fazemos:
������ = �1 + �����������
2
− 1
������ = �1 + 2, 913%�
2
− 1 = 0, 0591 = 5, 91% � . � .
MÓDULO 3
 Reconhecer os diferentes tipos de descontos e sua aplicabilidade 
INTRODUÇÃO
Neste módulo, vamos estudar os descontos, operações que trazem valores futuros para instantes
anteriores do tempo. Elas podem ser operações racionais ou comerciais.
DESCAPITALIZAÇÃO OU DESCONTO
RACIONAL
A Descapitalização é a operação inversa da Capitalização.
Na Capitalização, os Juros (J) são incorporados a um Capital (C) para formar um Montante (M), ou
seja, ao Valor Presente (VP) somam-se juros para formar um Valor Futuro (VF).
Já na Descapitalização,os juros são retirados de um Valor Futuro para o cálculo do Valor
Presente.
Assim, o desconto racional corresponde aos juros que seriam incorporados ao Capital na
operação de capitalização.
DESCONTO COMERCIAL
Para entendermos os descontos comerciais, precisamos ver o que são os Títulos de Crédito.
Títulos de Crédito são papeis emitidos por um ente qualquer (Devedor), onde consta uma
promessa de se pagar um valor (Valor de Face) em uma determinada data (Vencimento) a um
outro ente (Credor).
Fonte: Shutterstock
 EXEMPLO
Como exemplos de títulos de Crédito, podemos citar: Duplicatas, Notas Promissórias, Letras de
Câmbio, Cheque pré-datado, etc. Há pequenas diferenças entre esses diversos títulos: na
duplicata, o Credor emite o Título, sendo, portanto, o Emissor. Já na Nota Promissória e no
Cheque, o Emissor é o devedor.
A característica comum a esses títulos e que os torna relevantes no nosso estudo é a
possibilidade de serem “descontados”.
Há duas situações que podem ocorrer com os descontos de títulos de crédito:
Fonte: Shutterstock
O devedor pode antecipar o pagamento da dívida, ou seja, resgatar o título antes do vencimento.
Fonte: Shutterstock
O credor pode necessitar o recebimento do valor da dívida antes do prazo e, para isso, “vende” o
título de crédito a um terceiro.
Em qualquer das duas situações, haverá um “desconto” sobre o Valor de Face do título. No
primeiro caso, o desconto servirá para recompensar o devedor pelo pagamento antecipado. No
segundo caso, o “desconto” será a remuneração do terceiro que “comprou” o título. Essas duas
operações são chamadas de Operações de Desconto.
 ATENÇÃO
Cuidado com a Nomenclatura! Quando um devedor antecipa um pagamento ou um credor “vende”
um título de crédito, dizemos que eles estão RESGATANDO ou DESCONTANDO o título.
Nessas operações, obtém-se o Valor Presente do Título (ou Valor Atual, ou Valor Descontado, ou
Valor Líquido, ou Valor de Resgate), retirando-se do seu Valor de Face (ou Valor Futuro, ou Valor
Nominal, ou Valor no Vencimento) o Valor do Desconto.
Assim, temos a seguinte relação:
VP=VF-DESCONTO
OU
DESCONTO=VF-VP
 EXEMPLO
Imaginemos agora a seguinte situação: você possui uma duplicata com Valor Nominal (VF) igual a
1.100 reais, vencendo em 1 ano. Contudo, você não quer esperar todo esse tempo para receber o
Valor de Face da duplicata e decide antecipar seu recebimento, descontando o título em um
banco.
O banco vai, então, oferecer um valor por esse título (VP), baseado no que ele quer receber de
remuneração pela operação.
Suponhamos que o banco lhe ofereça a compra do título por 900 reais. Nesse caso, temos o
seguinte valor para o desconto:
Repararam que, na operação de descapitalização, o valor do desconto estava diretamente
ligado à taxa de juros da operação de capitalização correspondente?
Essa é uma situação típica de pagamento antecipado de dívidas.
Já no desconto comercial, o valor vai depender de negociação entre o credor, que deseja
antecipar o recebimento do título, e o banco que vai descontá-lo.
Vamos ressaltar mais uma vez a nomenclatura que é utilizada nos descontos:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Agora, veremos as 4 formas distintas de cálculo de descontos: o desconto comercial simples, o
desconto racional simples, o desconto racional composto e o desconto comercial composto.
DESCONTO COMERCIAL SIMPLES OU
DESCONTO BANCÁRIO, OU DESCONTO
“POR FORA” (D)
Esse é o desconto mais utilizado pelas Instituições Financeiras (bancos, empresas de factoring
etc.) para o desconto de duplicatas e títulos de crédito em geral. Ele é um desconto comercial, ou
seja, não se trata de uma operação de descapitalização, e é calculado com base no Regime
Simples.
Reservaremos a letra maiúscula ‘ ’ para representar o desconto comercial simples.
Como vimos, esses títulos de crédito possuem duas informações principais: o seu Valor Nominal (
) e a data de vencimento, ou o prazo para o vencimento ( ).
Usando essas informações, mais uma taxa de desconto comercial simples ( ) oferecida pelo
banco, podemos calcular o valor do desconto através da seguinte expressão:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Notem a semelhança com a expressão que utilizamos para o cálculo dos juros simples.
Como vimos, o valor atual de um título ( ) é dado pela diferença entre o Valor Nominal ( ) e
o desconto ( ). Logo, temos:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
DESCONTO RACIONAL SIMPLES OU “POR
DENTRO” (D)
Este é o desconto utilizado em operações de descapitalização sob o Regime Simples ou linear.
Reservaremos a letra minúscula ‘ ’ para representar esse desconto, e chamaremos de a taxa
de desconto racional simples.
A expressão do desconto é dada por:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A diferença em relação ao desconto comercial simples está no fato de que o desconto comercial é
calculado sobre o valor de face ( ), enquanto o desconto racional é calculado sobre o valor
atual do título ( ).
Novamente, sabemos que o valor atual de um título é dado pela diferença entre o valor de face e o
desconto. Logo:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
OU
Note, da expressão acima, que a taxa de desconto racional é a própria taxa da operação de
capitalização no regime simples, ou seja, estamos realmente falando de uma operação de
descapitalização.
Assista ao vídeo e entenda melhor o que é Desconto Racional Composto ou “por dentro” (DRC).
Veja também exemplos de sua aplicabilidade e qual a sua importância.
DESCONTO RACIONAL COMPOSTO OU
“POR DENTRO” (DRC)
Este é o desconto mais utilizado nas operações de descapitalização, pois a maioria das operações
de capitalização são efetuadas sob o regime composto.
Sabemos, do nosso estudo da capitalização composta, que:
Como vimos que o desconto é sempre dado pela diferença entre o Valor Nominal (VF) e o Valor
Atual (VP), temos:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO OU
“POR FORA” (DCC)
De forma similar ao desconto racional simples, esta forma de cálculo é utilizada em operações de
desconto de títulos pelas instituições financeiras, porém com menos frequência do que o seu
similar simples. Neste caso, temos:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como o desconto é dado pela diferença entre VF e VP, temos:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÃO NA MASSA
1. SUPONHA QUE VOCÊ POSSUI UM TÍTULO DE VALOR NOMINAL (VF)
IGUAL A R$ 1.100,00 E COM VENCIMENTO EM 1 ANO. ALÉM DISSO, A TAXA
DE JUROS ANUAL PRATICADA NO MERCADO É DE 10% A.A. QUAL É O
VALOR ATUAL (VP) DESSE TÍTULO?
A) R$ 900,00
B) R$ 1.000,00
C) R$ 1.050,00
D) R$ 950,00
2. QUAL É O VALOR DE DESCONTO COMERCIAL SIMPLES DE UM
TÍTULO COM VALOR DE FACE DE R$ 15.000,00 E VENCIMENTO EM 3
MESES, SE A TAXA DE DESCONTO É DE 60% AO ANO?
A) R$ 2.000,00
B) R$ 2.050,00
C) R$ 2.150,00
D) R$ 2.250,00
3. QUAL É O VALOR DE DESCONTO RACIONAL SIMPLES DE UM TÍTULO
COM VALOR DE FACE DE R$ 15.000,00 E VENCIMENTO EM 3 MESES, SE A
TAXA DE DESCONTO É DE 60% AO ANO?
A) R$ 1.956,52
B) R$ 1.556,52
C) R$ 1.765,25
D) R$ 1.865,25
4. QUAL É O VALOR DE DESCONTO RACIONAL COMPOSTO DE UM
TÍTULO COM VALOR DE FACE DE R$ 15.000,00 E VENCIMENTO EM 3
MESES, SE A TAXA DE DESCONTO É DE 60% AO ANO?
A) R$ 1.652,90
B) R$ 1.552,90
C) R$ 1.662,90
D) R$ 1.562,90
5. QUAL É O VALOR DE DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO DE UM
TÍTULO COM VALOR DE FACE DE R$ 15.000,00 E VENCIMENTO EM 3
MESES, SE A TAXA DE DESCONTO É DE 60% AO ANO?
A) R$ 3.050,94
B) R$ 3.060,49
C) R$ 3.070,94
D) R$ 3.040,94
6. SUPONHA AGORA QUE O VALOR DO DESCONTO SEJA DE EXATAMENTE
R$ 3.000,00 PARA UM TÍTULO COM VALOR DE FACE DE R$ 15.000,00 E
VENCIMENTO EM 3 MESES. QUAL É A TAXA DE DESCONTO?
A)0,5904
B) 0,6
C) 0,5805
D) 0,9505
GABARITO
1. Suponha que você possui um título de Valor Nominal (VF) igual a R$ 1.100,00 e com
vencimento em 1 ano. Além disso, a taxa de juros anual praticada no mercado é de 10% a.a.
Qual é o Valor Atual (VP) desse título?
O que faremos para calcular o valor atual é a operação inversa da capitalização. Sabemos que:
�� = �� × �1 + ��
Logo:
�� = ��
1+ �
= 1.100
1+10%
= � $ 1 . 000, 00
Também podemos calcular o valor do desconto, caso esse título fosse resgatado
antecipadamente:
�������� = �� − ��
�������� = 1 . 100 − 1 . 000 = � $ 100, 00
2. Qual é o valor de desconto comercial simples de um título com valor de face de R$
15.000,00 e vencimento em 3 meses, se a taxa de desconto é de 60% ao ano?
O desconto comercial “por fora” é dado por:
� = �� × �� × �
�� = 15 . 000
�� = 60 % � . � . = 0, 60
� = 3 ����� = 3/12 ���� = 0, 25 ����
Logo:
� = 15 . 000 × 0, 60 × 0, 25 = � $ 2 . 250, 00
3. Qual é o valor de desconto racional simples de um título com valor de face de R$
15.000,00 e vencimento em 3 meses, se a taxa de desconto é de 60% ao ano?
O desconto racional simples (“por dentro”) é dado por:
� = �� − �� = �� − ��
1+ �� �
�� = 15 . 000
�� = 60 % � . � . = 0, 60
� = 3 ����� = 3/12 ���� = 0, 25 ����
Logo:
� = 15 . 000 − 15.000
1+0,60×0,25
= � $ 1 . 956, 52
4. Qual é o valor de desconto racional composto de um título com valor de face de R$
15.000,00 e vencimento em 3 meses, se a taxa de desconto é de 60% ao ano?
O desconto racional composto é dado por:
��� = �� − �� = �� −
��
�1+ ���
�� = 15 . 000
� = 60 % � . � . = 0, 60
� = 3 ����� = 3/12 ���� = 0, 25 ����
����:
��� = 15 . 000 −
15.000
�1+0,60�0,25
= � $ 1 . 662, 90
5. Qual é o valor de desconto comercial composto de um título com valor de face de R$
15.000,00 e vencimento em 3 meses, se a taxa de desconto é de 60% ao ano?
O desconto comercial composto é dado por:
��� = �� − �� = �� − �� × �1 − ��
�
�� = 15 . 000
� = 60 % � . � . = 0, 60
� = 3 ����� = 3/12 ���� = 0, 25 ����
Logo:
��� = 15 . 000 − 15 . 000 × �1 − 0, 60�
0,25
= � $ 3 . 070, 94
6. Suponha agora que o valor do desconto seja de exatamente R$ 3.000,00 para um título
com valor de face de R$ 15.000,00 e vencimento em 3 meses. Qual é a taxa de desconto?
Novamente, o desconto comercial composto é dado por:
��� = �� − �� = �� − �� × �1 − ��
�
�� = 15 . 000 � = ? � = 3 ����� = 3/12 ���� = 0, 25 ����
Temos agora ��� = 3 . 000 e precisamos calcular o valor de i, a taxa de desconto:
3 . 000 = 15 . 000 − 15 . 000 × �1 − ��
0,25
15 . 000 × �1 − ��
0,25
= 12 . 000
�1 − ��
0,25
= 12.000
15.000
�1 − ��
0�
= 0, 8
��1 − ��
0,25
�
4
= 0, 84
1 − � = 0, 4096
� = 0, 5904
TEORIA NA PRÁTICA
Está chegando a Copa do Mundo e você resolveu comprar uma televisão nova para assistir a
todos os jogos com seus amigos. Você escolheu a melhor TV da loja, mas precisou tomar um
empréstimo.
Você se comprometeu a pagar R$ 10.000,00 ao seu emprestador, 12 meses depois, quando
receberá um bônus no seu trabalho, a uma taxa de juros de 1% ao mês.
Mas você deu sorte e ganhou o bolão da Copa com os amigos do escritório! Foi um bolão
generoso: após apenas um mês do empréstimo, você pôde quitar a dívida.
Usando o desconto racional composto, podemos calcular o valor do desconto que irá obter:
Note que usamos , porque você só recebeu o valor do bolão 1 mês após a compra.
Usamos ainda .
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. QUAL O VALOR DO DESCONTO COMERCIAL SIMPLES DE UM TÍTULO
COM VALOR DE FACE DE R$ 15.000,00 E VENCIMENTO EM 3 MESES,
CONSIDERANDO UMA TAXA DE DESCONTO DE 60% A.A.?
A) R$ 27.000
B) R$ 2.500
C) R$ 2.250
D) R$ 2.125
2. UMA LOJA ANUNCIOU QUE VENDERIA SEUS PRODUTOS COM
PAGAMENTO SOMENTE APÓS TRÊS MESES. JOÃO QUERIA COMPRAR UM
ARTIGO POR R$ 1.000,00 E PROPÔS AO LOJISTA PAGAR À VISTA COM
DESCONTO RACIONAL SIMPLES DE 2% AO MÊS. SE O LOJISTA ACEITAR A
PROPOSTA DE JOÃO, QUANTO ELE PAGARÁ?.
A) R$ 960,00
B) R$ 942,32
C) R$ 980,39
D) R$ 943,40
GABARITO
1. Qual o valor do desconto comercial simples de um título com valor de face de R$
15.000,00 e vencimento em 3 meses, considerando uma taxa de desconto de 60% a.a.?
A alternativa "C " está correta.
Vamos aos cálculos:
� = �� × �� × �
�� = 15 . 000
�� = 60 % � . � . = 0, 60
� = 3 ����� = 3/12 ����
� = 15 . 000 × 0, 60 × 3
12
= � $ 2 . 250
2. Uma loja anunciou que venderia seus produtos com pagamento somente após três
meses. João queria comprar um artigo por R$ 1.000,00 e propôs ao lojista pagar à vista com
desconto racional simples de 2% ao mês. Se o lojista aceitar a proposta de João, quanto ele
pagará?.
A alternativa "D " está correta.
Vamos aos cálculos:
�� = ��
�1+ �� ��
�� = 1.000
�1+0,02×3�
= � $ 943, 40
MÓDULO 4
 Comparar valores monetários em diferentes instantes de tempo
INTRODUÇÃO
Neste módulo, vamos aprender a comparar valores monetários em diferentes instantes de tempo,
ou mesmo comparar diferentes fluxos de caixa, procedimento fundamental para uma boa gestão
financeira.
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS
Da mesma forma que vimos taxas equivalentes, dois capitais são considerados equivalentes se
produzem o mesmo resultado final para o investidor/devedor, mesmo que estejam em diferentes
instantes de tempo.
Vamos imaginar um Capital de 1.000 reais aplicado a uma taxa de juros de 10% a.a. Assim, o
montante ao final de 1 ano será de:
Ou, graficamente:
Portanto, a uma taxa de 10% a.a., é indiferente receber 1.000 reais hoje ou 1.100 reais em um
ano. Dizemos, então, que estes dois capitais são equivalentes, ou seja, 1.000 reais hoje
equivalem a 1.100 reais em um ano, a uma taxa de juros de 10% a.a.
Essa é a ideia por trás da equivalência de capitais: permitir comparar valores monetários que
estão expressos em datas diferentes, sob uma determinada taxa de juros.
Notem que não podemos comparar os capitais apenas observando seus Valores Nominais. Para
compará-los, precisamos avaliá-los na mesma data.
Títulos de Crédito são papeis emitidos por um ente qualquer (Devedor), onde consta uma
promessa de se pagar um valor (Valor de Face) em uma determinada data (Vencimento) a um
outro ente (Credor).
Fonte: Shutterstock
Assim, usamos a Capitalização para avaliar capitais em datas futuras e os Descontos para avaliá-
los em datas passadas.
Vamos agora aprofundar esse estudo de equivalência de capitais, analisando os dois principais
regimes de capitalização e descontos: o Regime de Juros Simples e o Regime de Juros
Compostos.
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS SOB JUROS
SIMPLES
Dizemos que dois capitais C1 e C2 são equivalentes, a uma mesma taxa de juros e para uma
mesma data (data focal), se os seus valores, avaliados na data focal, forem iguais.
Vamos analisar o exemplo:
Como verificamos se os capitais C1 e C2 acima são equivalentes?
Para isso, precisamos definir uma data focal, na qual iremos avaliar os dois capitais. Neste
exemplo, vamos considerar a data focal como sendo 2017.
Como estamos lidando com juros simples, podemos lembrar da seguinte relação de capitalização
em juros simples:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, podemos avaliar o valor do capital em 2017, fazendo:
Como o valor de C1, avaliado em 2017, é igual ao valor de , também avaliado em 2017, temos
que os dois capitais são equivalentes na data focal de 2017, a uma taxa de juros simples de 10%
ao ano.
Da mesma forma, poderíamos ter descapitalizado para trazê-lo à data focal de 2015:
Vamos a mais um exemplo:
Agora, responda: os capitais e acima são equivalentes?
SIM
NÃO
Para verificar se os capitais e são equivalentes, definimos novamente uma data focal, na
qual iremos avaliar os dois capitais. Vamos considerar, agora, a data focal como sendo 2016.
Avaliando o valor do capital em 2016, temos:
Como o valor de , avaliado em 2016, é igual ao valor de , também avaliado em 2016,
temos que os dois capitais são equivalentes na data focal de 2016, a uma taxa de juros simples
de10% ao ano.
Vimos, então, que 1.000 reais em 2015 equivalem, sob juros simples de 10% a.a., a 1.100 reais
em 2016 e a 1.200 reais em 2017.
Apesar disso, notem o que acontece quando comparamos com :
Avaliando o valor do capital em 2017, temos:
Ou seja, os capitais não são equivalentes!
Esse problema não ocorre quando usamos juros compostos.
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS SOB JUROS
COMPOSTOS
Vamos analisar um exemplo similar sob a ótica dos juros compostos. Vamos verificar se os
capitais e são equivalentes:
Para juros compostos, temos:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, podemos avaliar o valor do capital em 2017, fazendo:
Como o valor de , avaliado em 2017, é igual ao valor de , também avaliado em 2017, temos
que os dois capitais são equivalentes a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano.
Vamos a mais um exemplo:
Agora, responda: os capitais e acima são equivalentes?
SIM
NÃO
Avaliando o valor do capital em 2016, temos:
Como o valor de , avaliado em 2016, é igual ao valor de , também avaliado em 2016, temos
que os dois capitais são equivalentes a uma taxa de juros simples de 10% ao ano.
Se compararmos agora com , o que teremos?
Avaliando o valor do capital em 2017, temos:
Ou seja, os capitais são equivalentes.
ESSA É UMA PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DOS
JUROS COMPOSTOS, QUE OS DISTINGUEM DOS
JUROS SIMPLES. SE DOIS CAPITAIS SÃO
EQUIVALENTES EM UMA DETERMINADA DATA
FOCAL E A UMA DETERMINADA TAXA DE JUROS,
ELES SERÃO EQUIVALENTES EM QUALQUER
DATA FOCAL.
Por isso, sempre usaremos juros compostos para analisar equivalência de capitais.
EQUIVALÊNCIA DE FLUXOS DE CAIXA
Da mesma forma que podemos comparar dois valores monetários no tempo, podemos comparar
dois fluxos de caixa. Vamos analisar os dois fluxos:
Fonte: Shutterstock
Fonte: Shutterstock
Trazendo todas as entradas e saídas de caixa para 2018, temos os seguintes valores presentes
para os dois fluxos:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como o valor presente dos dois fluxos de caixa são iguais, dizemos que são equivalentes. E isso
vale para qualquer data focal escolhida.
Por exemplo, poderíamos calcular o valor final dos fluxos da seguinte forma:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assista ao vídeo e entenda melhor como comparar valores monetários em diferentes instantes do
tempo
MÃO NA MASSA
1. UMA DÍVIDA DE R$ 10.000,00, SOB JUROS COMPOSTOS DE 10% AO
ANO, EQUIVALERÁ A QUE VALOR EM 3 ANOS?
A) R$ 13.310,00
B) R$ 13.300,00
C) R$ 13.130,00
D) R$ 13.330,00
2. UMA DÍVIDA DE R$ 10.000,00, SOB JUROS COMPOSTOS DE 5% AO
SEMESTRE, EQUIVALERÁ A QUE VALOR EM 3 ANOS?
A) R$ 13.300,46
B) R$ 13.400,46
C) R$ 13.500,46
D) R$ 13.600,46
3. UMA PESSOA TOMA R$ 2.000,00 EMPRESTADOS, PROMETENDO PAGAR
COM JUROS DE 4% A.M., EM TRÊS PRESTAÇÕES MENSAIS. A PRIMEIRA
PRESTAÇÃO VENCE EM 1 MÊS E SERÁ DE R$ 1.080,00. A SEGUNDA SERÁ
DE R$ 640,00. QUAL É O VALOR DA TERCEIRA PRESTAÇÃO?
A) R$ 466,00
B) R$ 460,00
C) R$ 406,00
D) R$ 416,00
4. UMA PESSOA TOMA R$ 1.000,00 EMPRESTADOS, PROMETENDO PAGAR
COM JUROS DE 3% A.M., EM DUAS PRESTAÇÕES MENSAIS. A PRIMEIRA
VENCE EM 60 DIAS E SERÁ DE R$ 600,00. QUAL É O VALOR DA SEGUNDA
PRESTAÇÃO?
A) R$ 414,73
B) R$ 454,37
C) R$ 474,73
D) R$ 447,37
5. UMA PESSOA TOMA R$ 3.000,00 EMPRESTADOS, PROMETENDO PAGAR
COM JUROS DE 5% AO MÊS, EM DUAS PRESTAÇÕES BIMESTRAIS DE R$
1.500,00. QUAL É O VALOR DA SEGUNDA PRESTAÇÃO?
A) R$ 1.982,67
B) R$ 1.992,77
C) R$ 1.952,67
D) R$ 1.962,77
6. UMA MULTINACIONAL PRECISA REALIZAR 3 PAGAMENTOS ANUAIS DE
R$ 1.000,00 NOS PRÓXIMOS 3 ANOS. SEU DIRETOR FINANCEIRO, NO
ENTANTO, ENTENDE SER MAIS ADEQUADO SUBSTITUIR ESSA DÍVIDA
POR OUTRA EQUIVALENTE, COM 2 PAGAMENTOS IGUAIS AO FINAL DO
SEGUNDO E DO QUARTO ANOS. SE A TAXA DE JUROS É DE 5% A.A.,
QUAL É O VALOR DESSES DOIS PAGAMENTOS?
A) R$ 1.547,40
B) R$ 1.547,50
C) R$ 1.537,40
D) R$ 1.537,50
GABARITO
1. Uma dívida de R$ 10.000,00, sob juros compostos de 10% ao ano, equivalerá a que valor
em 3 anos?
Após 3 anos, o montante da dívida será dado por:
�� = 10 . 000 × �1 + 10 % �
3
= � $ 13 . 310, 00
2. Uma dívida de R$ 10.000,00, sob juros compostos de 5% ao semestre, equivalerá a que
valor em 3 anos?
Após 3 anos, ou 6 semestres, o montante da dívida será dado por:
�� = 10 . 000 × �1 + 5 % �
6
= � $ 13 . 400, 96
3. Uma pessoa toma R$ 2.000,00 emprestados, prometendo pagar com juros de 4% a.m., em
três prestações mensais. A primeira prestação vence em 1 mês e será de R$ 1.080,00. A
segunda será de R$ 640,00. Qual é o valor da terceira prestação?
A figura a seguir ilustra o fluxo de pagamentos do empréstimo:
O valor presente do fluxo de pagamento deve se igualar ao valor inicial da dívida para que haja
equivalência. Logo:
1.080
1+4%
+ 640
�1+4%�2
+ �
�1+4%�3
= 2 . 000
Multiplicando toda a expressão por �1 + 4 % �3, temos:
1 . 080 × �1 + 4%�
2
+ 640 × �1 + 4%� + � = 2 . 000 × �1 + 4%�
3
1 . 168, 128 + 665, 60 + � = 2 . 249, 728
� = � $ 416, 00
4. Uma pessoa toma R$ 1.000,00 emprestados, prometendo pagar com juros de 3% a.m., em
duas prestações mensais. A primeira vence em 60 dias e será de R$ 600,00. Qual é o valor
da segunda prestação?
Podemos usar o mesmo raciocínio do exercício anterior – a diferença principal é que o primeiro
pagamento já ocorre após o segundo mês.
Novamente, o valor presente do fluxo de pagamento deve se igualar ao valor inicial da dívida para
que haja equivalência. Logo:
600
�1+3%�2
+ �
�1+3%�3
= 1 . 000
Multiplicando toda a expressão por �1 + 3 % �3, temos:
600 × �1 + 3%�
+
� = 1 . 000 × �1 + 3%�
3
� = � $ 474, 73
5. Uma pessoa toma R$ 3.000,00 emprestados, prometendo pagar com juros de 5% ao mês,
em duas prestações bimestrais de R$ 1.500,00. Qual é o valor da segunda prestação?
Usaremos novamente o raciocínio dos exercícios anteriores. Basta prestar atenção ao fato de que
os pagamentos são feitos a cada dois meses (bimestrais), mas a taxa de juros ainda é dada ao
mês.
Vamos igualar o valor presente do fluxo de pagamento ao valor inicial da dívida para que haja
equivalência:
1.500
�1+5%�2
+ �
�1+5%�4
= 3 . 000
Multiplicando toda a expressão por �1 + 5 % �
4
, temos:
1 . 500 × �1 + 5%�
2
+ � = 3 . 000 × �1 + 5%�
4
� = � $ 1 . 992, 77
6. Uma multinacional precisa realizar 3 pagamentos anuais de R$ 1.000,00 nos próximos 3
anos. Seu diretor financeiro, no entanto, entende ser mais adequado substituir essa dívida
por outra equivalente, com 2 pagamentos iguais ao final do segundo e do quarto anos. Se a
taxa de juros é de 5% a.a., qual é o valor desses dois pagamentos?
A figura abaixo ilustra os dois fluxos de pagamentos do empréstimo. Em verde, está a situação
atual, e em vermelho, a proposta de substituição da empresa:
Para que os dois fluxos sejam equivalentes, seus valores, em qualquer instante de tempo, devem
ser os mesmos. Para facilitar as contas, vamos igualar o valor dos dois fluxos em � = 2:
� + �
�1+5%�2
= 1 . 000 × �1 + 5%� + 1 . 000 + 1.000
1+5%
� + 0, 907 × � = 1 . 050 + 1 . 000 + 952, 38
1, 907 × � = 3 . 002, 38
� =
3.002,38
1,907
= 1 . 547, 40
TEORIA NA PRÁTICA
O que você prefere: receber R$ 1.000,00 agora ou R$ 1.050,00 daqui a um mês?
Como vimos, isso depende da taxa de juros à qual você tem acesso. Empresas tomam decisões
como essa a todo momento, das mais variadas formas.
Vamos analisar uma peculiaridade brasileira:
Quando um lojista faz uma venda no cartão de crédito, ele costuma receber um mês depois (ou
em “D+30”, como esse arranjo é conhecido). No resto do mundo, é comum que o lojista receba em
apenas dois dias (modelo “D+2”).
No final de 2016, o governo brasileiro propôs aplicar a regra usada no resto do mundo, mas nem
todos os lojistas acharam isso uma boa ideia, e a proposta não foiadiante. Por quê? Receber em
apenas 2 dias não seria melhor do que em 30 dias?
Após estudar este módulo, sabemos que a resposta é: “Não necessariamente!”.
Depende do quanto o lojista vai receber, ou seja, das taxas que os bancos vão cobrar para
operacionalizar a venda no cartão de crédito em “D+2” ou “D+30”.
Se há pagamentos em diferentes instantes do tempo, há taxas de juros embutidas, mesmo que
isso não seja explícito. Preste sempre atenção às taxas de juros “escondidas” dentro de outras
taxas!
Voltando ao exemplo inicial: se a taxa de juros é igual a 5% ao mês, é equivalente receber R$
1.000,00 agora ou R$ 1.050,00 em um mês. Esses valores são equivalentes, como vimos, pois:
Se a taxa de juros for maior que 5% ao mês, é melhor receber daqui a um mês. Por exemplo, a
uma taxa de 6% ao mês, R$ 1.000,00 equivalem a R$ 1.060,00 daqui a um mês, o que é melhor
do que R$ 1.050,00.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. OBSERVE A FIGURA A SEGUIR:
AO CALCULARMOS O VALOR DE P, QUE TORNA AS SAÍDAS DE CAIXA
EQUIVALENTES ÀS ENTRADAS, CONSIDERANDO UMA TAXA DE JUROS DE
4% AO PERÍODO, OBTEREMOS:
A) R$ 280,00
B) R$ 1.000,00
C) R$ 416,00
D) R$ 216,00
2. VOCÊ PODE PAGAR POR DETERMINADO PRODUTO À VISTA, COM
DESCONTO DE 10%, OU PARCELADO EM DUAS PRESTAÇÕES IGUAIS E
MENSAIS. A PRIMEIRA PRESTAÇÃO É PAGA NO ATO DA COMPRA E A
SEGUNDA, UM MÊS DEPOIS. QUAL É A TAXA DE JUROS EMBUTIDA NESSA
OPERAÇÃO?
A) 25% a.m.
B) 20% a.m.
C) 15% a.m.
D) 12,5% a.m.
GABARITO
1. Observe a figura a seguir:
Ao calcularmos o valor de P, que torna as saídas de caixa equivalentes às entradas,
considerando uma taxa de juros de 4% ao período, obteremos:
A alternativa "C " está correta.
Para que sejam equivalentes, o valor futuro das entradas de caixa (setas verdes) deve ser igual ao
valor futuro das saídas de caixa (seta vermelha). Assim, considerando t = 3, temos:
1 . 080 × �1 + 4%�
2
+ 640 × �1 + 4%� + � = 2 . 000 × �1 + 4%�
3
1 . 833, 728 + � = 2 . 249, 728
� = � $ 416, 00
2. Você pode pagar por determinado produto à vista, com desconto de 10%, ou parcelado
em duas prestações iguais e mensais. A primeira prestação é paga no ato da compra e a
segunda, um mês depois. Qual é a taxa de juros embutida nessa operação?
A alternativa "A " está correta.
Temos os seguintes fluxos de pagamentos possíveis:
Como as duas formas de pagamento são equivalentes, os valores presentes dos fluxos precisam
ser iguais. Logo:
� . �1 − 10 % � = 0, 5 .� +
0,5.�
1+ �
0, 90 = 0, 50 +
0,50
1+ �
0,50
1+ �
= 0, 40
1 + � =
0,50
0,40
= 1, 25
� = 0, 25 = 25 % � .� .
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Aqui, você deu seus primeiros passos no campo da Matemática Financeira, e agora sabe calcular
o valor do dinheiro em diferentes instantes do tempo. Isso é fundamental tanto para clientes de
produtos financeiros (qualquer pessoa com conta corrente no banco, por exemplo) quanto para
gerentes financeiros de grandes empresas.
Diversos profissionais trabalham cotidianamente com os conceitos que aprendemos aqui: juros,
capital, fluxos de caixa e regimes de capitalização. Preste atenção e busque aplicações desses
conceitos à sua volta: de promoções em lojas a manchetes de jornais sobre investimento ou
política econômica. Você verá como os assuntos tratados aqui estão presentes em seu dia a dia.
REFERÊNCIAS
ASSAF NETO, A. Matemática Financeira e suas aplicações. 4. ed. São Paulo: Atlas, 1998.
VIEIRA SOBRINHO, J. D. Matemática Financeira. 6. ed. São Paulo: Atlas,1997.
ZIMA, P. Fundamentos de Matemática Financeira. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1995.
CONTEUDISTA
Paulo Roberto Miller Fernandes Vianna Junior
 CURRÍCULO LATTES