APRESE~2

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FENÔMENOS DE TRANSPORTE 
Prof. Dr. Mara Nilza Estanislau Reis 
 
 
 
 
 
 
UNIDADE III 
 
UNIDADE III 
 
 
 
 
 
3.1 Volume de controle e superfície de controle. 
3.2 Trajetória e linha de corrente. 
3.3 Campo de Velocidade. 
3.4 Escoamentos uni, bi e tridimensionais. 
3.5 Regime de Escoamento. 
3.6 Equações básicas da conservação de massa, energia 
e quantidade de movimento. 
 
 
 
 
 
 
3.7 Teorema de transporte de Reynolds para um volume 
de controle. 
3.8 Equação de balanço de massa para um volume de 
controle. 
3.9 1ª lei da termodinâmica para um volume de 
controle. 
3.10 Equação de Bernoulli para fluidos ideais e reais. 
3.11 Medidores de vazão e velocidade. 
 
 
 
UNIDADE III 
 
 
 
3.12 Perda de carga contínua e localizada. 
3.13 Potência da máquina hidráulica e noção de 
rendimento. 
 
 
 
 
 
UNIDADE III 
 
SEJAM BEM-VINDOS AO CURSO DE 
FENÔMENOS DE TRANSPORTE! 
Ao final desta unidade, você deverá ser capaz de: 
 
Interpretar a equação de Bernoulli; 
Identificar as formas da equação de Bernoulli; 
Listar as hipóteses associadas à equação de 
Bernoulli; 
SEJAM BEM-VINDOS AO CURSO DE 
FENÔMENOS DE TRANSPORTE! 
Denominar cada um dos termos da equação de 
Bernoulli; 
Entender o desenvolvimento e aplicar a 
Equação de Bernoulli; 
 
SEJAM BEM-VINDOS AO CURSO DE 
FENÔMENOS DE TRANSPORTE! 
Apresentar a equação de Bernoulli 
comentando seus parâmetros e enfatizando a 
condição em que ela é válida; 
Descrever os modelos matemáticos do 
comportamento dos fluidos em escoamento 
através da equação de Bernoulli; 
SEJAM BEM-VINDOS AO CURSO DE 
FENÔMENOS DE TRANSPORTE! 
Deduzir o teorema de Torricelli; 
Descrever o equacionamento do medidor 
Venturi. 
 
 
EQUAÇÃO DA ENERGIA – 
Equação de Bernoulli 
 
 
EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
Qual é a expressão matemática da 
equação de Bernoulli? 
EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
Daniel Bernoulli, mediante considerações de 
energia aplicada ao escoamento de fluidos, 
conseguiu estabelecer a equação fundamental 
da Hidrodinâmica. Tal equação é uma relação 
entre a pressão, a velocidade e a altura em 
pontos de uma linha de corrente. 
EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
Quais são as condições para a aplicação 
da equação de Bernoulli? 
EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
A equação de Bernoulli é uma das equações 
mais importantes e úteis da Mecânica dos 
Fluidos tendo as seguintes restrições para sua 
aplicação: 
RESTRIÇÕES: 
Escoamento em regime permanente; 
Escoamento incompressível (massa específica 
constante); 
Sem forças de cisalhamento (forças de atrito 
desprezíveis); 
EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
Volume de controle limitado por linhas de 
corrente (tubo de corrente); 
Não existe transferência de calor para o fluido 
nem trabalho exercido por máquinas; 
Não existe variação da energia interna. 
 
EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
 
Para estas restrições, a equação da energia pode 
ser simplificada. 
EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
 


 SCC
sistema
AdVede
t
WQ


..
EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
AdVugz
V
de
t
WQ
SCC

 











 


2
2
EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
AdVugz
V
de
t
WQ
SCC

 








 


2
2
Levando em consideração duas superfícies de 
controle e o regime permanente: 
EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
AdVugz
V
WQ
SC

 





  2
2
EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
    
11
2
1
22
2
2
22222221111111
12
22
AdV
V
AdV
V
pugzAVpugzAVWQ
AA






















 

Colocando a vazão mássica em evidência: 
EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
    
11
2
1
22
2
2
2222211111
12
22
AdV
V
AdV
V
mugzmugzWQ
AA






















 

EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
Definindo-se o coeficiente de energia cinética de 
forma que: 
AdV
V
AdV
V
AA



















  22
22
 : é o fator de correção da energia cinética. 
EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
Pode-se escrever a equação da energia de uma 
forma mais compacta: 
m
VV
ppuugzgzWQ 









22
2
1
1
2
2
211221212 
EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
Para escoamento em regime turbulento,  é 
aproximadamente igual à unidade. Para 
escoamento em regime laminar,  = 2. 
 
Dividindo-se a equação pela vazão mássica, 
tem-se: 
EQUAÇÃO DE BERNOULLI 









22
2
1
1
2
2
211221212
VV
ppuugzgz
m
W
m
Q





Reescrevendo-se a equação: 
EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
 
m
Q
uu
m
WV
pgz
V
pgz
























12
2
2
2222
2
1
1111
22

EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
Os termos entre parênteses do lado esquerdo 
da equação representam a energia mecânica 
por unidade de massa em cada seção 
transversal do escoamento. 
EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
O termo 
representa a potência de eixo (por unidade de 
massa) fornecida ou retirada do fluido (Hs) 
 
m
W

EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
Pela convenção de sinais adotada, esta energia 
é positiva quando se trata de energia retirada 
do fluido (como no caso de uma turbina) e 
negativa quando fornecida ao fluido (como no 
caso de uma bomba). 
EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
e o termo 
 
representa a conversão irreversível de energia 
mecânica em energia térmica não desejada e a 
perda de energia por transferência de calor. 
 
.
12 )(
m
Q
uu


EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
Para escoamentos de fluidos incompressíveis 
para os quais se pode desprezar os efeitos de 
atrito (fluidos ideais), têm que: 
.
12 )(
m
Q
uu


EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
A equação de Bernoulli pode ser dada então 
por: 
sH
V
pgz
V
pgz 


















22
2
2
2222
2
1
1111 
EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
Quando não há nenhuma potência de eixo, 
toda a energia mecânica se conserva. 
A equação é dada por: 


















22
2
2
2222
2
1
1111
V
pgz
V
pgz 
EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
teconsH
V
pgz tan
2
2









 
Equação de Bernoulli para fluidos ideais 
 
A energia em qualquer ponto da massa fluida 
em um escoamento incompressível em regime 
permanente é constante. 
EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
Cada termo da equação de Bernoulli tem 
dimensões de energia por unidade de peso. 
EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
A soma de todas as energias por unidade de 
peso é denominada energia total por unidade de 
peso (H). Pelo princípio da conservação da 
energia, a energia total não muda no sistema. 
Desta forma a equação do Bernoulli pode ser 
escrita. 
EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
Como cada termo da equação de Bernoulli é o 
resultado de dividir uma expressão de energia 
pelo peso do elemento de fluido, rigorosamente 
o resultado representa a energia possuída pelo 
fluido por unidade de peso de fluido que escoa 
no sistema. 
EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
Fisicamente, o que representa cada 
termo da equação de Bernoulli? 
EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
A soma destes três termos recebe o nome de 
cota ou altura piezométrica. 
* P representa a pressão termodinâmica (pressão estática) 
ALTURA DE PRESSÃO = * ALTURA DA VELOCIDADE 
(associado a energia cinética) 
= 
ALTURA POTENCIAL 
(associado a energia 
potencial) = z ou de 
ELEVAÇÃO 
ALTURA TOTAL = H 
g
P

g
V
2
2

EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
Qual é a dimensão da carga? 
EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
A Equação de Bernoulli representa a energia 
contida no fluido por unidade de peso de fluido 
que escoa no sistema. 
 A dimensão de cada termo é comprimento 
(L). 
A unidade de cada termo no SI é metro. 
 
EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
Por isto os termos da Equação de Bernoulli se 
conhecem como alturas em relação a um nível 
de referência. 
 
EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
Quando se escreve a Equação de Bernoulli é 
essencial que a pressão nos pontos de 
referência se expressem ambas como pressões 
absolutas ou como pressões manométricas 
(relativas).EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
Na maioria dos problemas pode ser 
conveniente utilizar a pressão manométrica já 
que partes do sistema pode estar expostas à 
atmosfera tendo então pressão nula. 
 
EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
Quando a equação de Bernoulli é combinada 
com a equação da continuidade podem ser 
utilizadas para determinar as velocidades e 
pressões em pontos no escoamento conectados 
por uma linha de corrente. 
EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
Não podem existir dispositivos mecânicos 
(bombas, ventiladores, turbinas) entre as seções 
de interesse que possam agregar ou absorver 
energia do sistema já que a equação estabelece 
que a energia total do fluido é constante. 
EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
Todas estas condições são impossíveis de 
satisfazer em qualquer instante de tempo num 
fluido real. 
Afortunadamente para muitas aplicações reais a 
equação de Bernoulli fornece resultados 
satisfatórios. 
EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
O que é a carga mecânica total? 
O que é a carga piezométrica? 
EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
Para um fluido ideal sem trabalho de eixo, a 
energia mecânica total se conserva. A energia 
total por unidade de peso do fluido é a carga 
total do escoamento. 
A linha energética representa a altura de carga 
total. 
Fonte: WHITE (2011) 
EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
Conforme mostrado na equação de Bernoulli, a 
altura da linha energética permanece constante 
para o escoamento sem atrito, quando nenhum 
trabalho é realizado sobre ou pelo fluido. 
EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
A linha piezométrica representa a soma das 
alturas de carga devidas à elevação e à 
pressão estática. A diferença entre as alturas 
da linha energética e da linha piezométrica 
representa a altura de carga dinâmica (de 
velocidade). 
Fonte: WHITE (2011) 
EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
Linhas Energética e Piezométrica para 
Escoamento Unidimensional em um Duto 
Fonte: WHITE (2011) 
EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
:
g
P

Energia de pressão por unidade de peso 
do fluido ou carga devida à pressão 
estática local. 
z: Energia de posição por unidade de peso 
do fluido ou carga de elevação. 
EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
Energia cinética por unidade de peso do 
fluido ou carga devida à pressão dinâmica 
local. 
H: Energia total por unidade de peso do 
fluido ou carga total do escoamento. 
g
V
2
2

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 
 
 FOX, Robert W., McDONALD, Alan T. Introdução à 
Mecânica dos Fluidos, 8 ed., Rio de Janeiro: Livros 
Técnicos e Científicos Editora Ltda, 2014. 872 p. 
ÇENGEL, Yunus A.; CIMBALA, John M. Mecânica dos 
fluidos – Fundamentos e aplicações. 3 ed., Porto 
Alegre: AMGH Editora Ltda, 2015.990 p. 
 
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 
 
 FILHO, Washington B. Fenômenos de Transporte 
para Engenharia. 2 ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e 
Científicos Editora Ltda, 2012. 342 p. 
LIVI, Celso P. Fundamentos de Fenômenos de 
Transporte – Um texto para Cursos Básicos.2 ed. Rio 
de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda, 
2012. 237 p. 
ATÉ A NOSSA PRÓXIMA AULA. 
Muito obrigada pela atenção.