Aula 3 - Equação de Bernoulli

Prévia do material em texto

AULA 3 – Equação de Bernoulli 
Prof. Me. Thiago da Silva Santana
Disciplina: Mecânica dos Fluidos
Faculdade Mauá
Engenharia Civil
Princípio da Conservação de Energia
Mecânica dos Fluidos
Vimos a equação de continuidade que, para regime permanente, a 
massa de fluido que flui por uma seção de um tubo de corrente deve 
ser idêntica àquela que o abandona por outra seção qualquer.
Pode-se, então, fazer um balanço das massas ou vazões em massa 
entre seções de entrada ou saída de um certo escoamento.
Com base no fato de que a energia não pode ser criada nem 
destruída, mas apenas transformada, é possível construir uma 
equação que permitirá fazer o balanço das energias, da mesma forma 
como foi feito para as massas, por meio da equação da continuidade.
Princípio da Conservação de Energia
Mecânica dos Fluidos
A equação que permite tal balanço chama-se equação da energia e 
nos permitirá, associada à equação da continuidade, resolver 
inúmeros problemas práticos como, por exemplo: determinação da 
potência de máquinas hidráulicas, determinação de perdas em 
escoamento, transformação de energia etc. 
Princípio da Conservação de Energia
Mecânica dos Fluidos
O princípio da conservação de energia é a aplicação da 1ª Lei da
Termodinâmica a um sistema, e sua utilização por meio de um 
volume de controle - VC. A 1ª Lei da Termodinâmica pode ser escrita 
como:
Onde:
Qc é o calor trocado entre o sistema e o meio, sendo positivo quando 
introduzido no sistema;
W é o trabalho trocado entre o sistema e o meio, sendo positivo 
quando retirado do sistema;
E é a energia do sistema.
Princípio da Conservação de Energia
Mecânica dos Fluidos
A energia ES é a energia total do sistema dada por:
Sendo eint a energia interna específica relacionada à temperatura, v o 
módulo do vetor velocidade e z a altura da partícula fluida de massa 
dm em relação a um nível de referência.
Princípio da Conservação de Energia
Mecânica dos Fluidos
A formulação integral da 1ª Lei da Termodinâmica (conservação de 
energia) para volumes de controle é dada por: 
Equação de Bernoulli 
Mecânica dos Fluidos
A aplicação da equação de Euler a um escoamento em regime 
permanente e sua integração sobre uma linha de corrente fornece a 
equação de Bernoulli, que possui larga aplicação em Mecânica dos 
Fluídos e Hidráulica. Para se chegar à dedução desta equação, deve-
se considerar um volume de controle sob a hipótese de propriedades 
uniformes nas seções de entrada e saída.
Daí tem-se:
Equação de Bernoulli 
Mecânica dos Fluidos
Outras hipóteses são feitas em relação ao escoamento, sendo elas: 
Equação de Bernoulli 
Mecânica dos Fluidos
Fazendo-se todas as considerações anteriores, pode-se escrever a 
equação da seguinte maneira:
A lei da conservação de massa implica em: 
Equação de Bernoulli 
Cancelando-se os termos envolvendo a vazão mássica e a energia 
interna, tem-se: 
As relações apresentadas na equação são conhecidas como equação 
de Bernoulli. E pode-se expressá-la considerando que ao longo do 
escoamento a soma das parcelas é igual a um valor constante. 
Equação de Bernoulli 
Todos os termos da equação possuem dimensão de comprimento e 
estas grandezas são denominadas cargas: 
Mecânica dos Fluidos
Equação de Bernoulli 
Energia cinética (Ec) - Carga cinética
É o estado de energia determinado pelo movimento do fluido. Seja um 
sistema de massa m e velocidade v; a energia cinética será dada por: 
Mecânica dos Fluidos
Equação de Bernoulli 
Energia de pressão (Epr) - Carga de pressão
Essa energia corresponde ao trabalho potencial das forças de pressão 
que atuam no escoamento do fluido.
Seja, por exemplo, o tubo de corrente da figura.
Mecânica dos Fluidos
Equação de Bernoulli 
Admitindo que a pressão seja uniforme na seção, então a força aplicada 
pelo fluido externo no fluido do tubo de corrente, na interface de área A, 
será F = pA.
No intervalo de tempo dt, o fluido irá se deslocar de um ds, sob a ação 
da força F, produzindo um trabalho: 
Equação de Bernoulli 
Energia potencial (Ep ) – carga de posição
É o estado de energia do sistema devido à sua posição no campo da 
gravidade lação a um plano horizontal de referência (PHR).
Essa energia é medida pelo potencial de realização de trabalho do 
sistema.
Seja, por exemplo, um sistema de peso G = mg, cujo centro de 
gravidade está a uma cota z em relação a um PHR.
Mecânica dos Fluidos
Equação de Bernoulli 
Mecânica dos Fluidos
Equação de Bernoulli 
Ressalta-se que, na equação de Bernoulli, interessará somente a 
diferença das energias potenciais de um ponto a outro do fluido, de 
forma que a posição do PHR não alterará a solução dos problemas. 
Isto é, o PHR é adotado arbitrariamente, conforme a conveniência da 
solução do problema.
Mecânica dos Fluidos
Equação de Bernoulli 
Energia mecânica total do fluido (E)
Excluindo-se energias térmicas e levando em conta apenas efeitos 
mecânicos, a energia total de um sistema de fluido será: 
Mecânica dos Fluidos
Equação de Bernoulli 
Mecânica dos Fluidos
A equação de Bernoulli, devido ao grande número de hipóteses 
simplificadoras, dificilmente poderá produzir resultados compatíveis 
com a realidade.
As hipóteses simplificadoras são:
a) regime permanente;
b) sem máquina no trecho de escoamento em estudo. Entenda-se por 
máquina qualquer dispositivo mecânico que forneça ou retire energia 
do fluido,na forma de trabalho. As que fornecem energia ao fluido 
serão denominadas 'bombas' e as que extraem energia do fluido, 
'turbinas';
c) sem perdas por atrito no escoamento do fluido ou fluido ideal;
d) propriedades uniformes nas seções;
e) fluido incompressível;
f) sem trocas de calor. 
Equação de Bernoulli 
Mecânica dos Fluidos
Pelas hipóteses (b), (c) e (f) exclui-se que no trecho de escoamento 
em estudo seja fornecida ou retirada energia do fluido.
Seja o tubo de corrente da figura, entre as seções (1) e (2).
Equação de Bernoulli 
Mecânica dos Fluidos
Deixando passar um intervalo de tempo dt, uma massa infinitesimal 
dm, de fluido a montante da seção (1) atravessa-a e penetra no 
trecho (1)-(2) acrescentando-lhe a energia:
Na seção (2), uma massa dm2 do fluido que pertencia ao trecho (1)-
(2) escoa para fora, levando a sua energia: 
Equação de Bernoulli 
Mecânica dos Fluidos
Como pelas hipóteses (b), (c) e (f) não se fornece nem se retira 
energia do fluido, para que o regime seja permanente é necessário 
que no trecho (1)-(2) não haja variação de energia, o que implica 
obrigatoriamente que:
Equação de Bernoulli 
Mecânica dos Fluidos
Como o fluido é incompressível, 1 = 2 e,comoo regime é 
permanente, dm, = dm2, portanto:
Dividindo a equação por g e lembrando que  = g, tem-se: 
Equação de Bernoulli 
Mecânica dos Fluidos
A Equação de Bernoulli, que permite relacionar cotas, velocidades e
pressões entre duas seções do escoamento do fluido. A seguir, será 
indicado o significado dos termos dessa equação. 
Equação de Bernoulli 
Mecânica dos Fluidos
Note-se, então, que a equação expressa que ao penetrar por (1) uma 
partícula de peso unitário, à qual estão associadas as energias z1, 
v1²/2g e p1/, deverá sair por (2) uma partícula de peso unitário à qual 
estejam associadas as energias z2, v2²/2g e p2/, de forma que a 
soma delas seja idêntica à soma em (1) para manter a energia 
constante no volume entre (1) e (2).
Uma observação importante é que, sendo z uma cota, então será 
medida em unidade de comprimento (por exemplo, em metros); logo, 
tanto v²/2g como p/ também serão medidos dessa forma.
Equação de Bernoulli 
Mecânica dos Fluidos
Resumindo...
Se, entre duas seções do escoamento, o fluido 
for incompressível, não haver atrito, e o regime 
permanente, se não houver máquina nem trocas 
de calor, então as cargas totais se manterão 
constantes em qualquer seção, não havendo 
nem ganhos nem perdas de carga. 
Equação de Bernoulli 
Mecânicados Fluidos
Exemplo
Água escoa em regime permanente no Venturi da figura. No trecho 
considerado, supõem-se as perdas por atrito desprezíveis e as 
propriedades uniformes nas seções. A área (1) é 20cm², enquanto a 
da garganta (2) é10cm². Um manómetro cujo fluido manométrico é 
mercúrio (Hg = 136.000 N/m³) é ligado entre as seções (1) e (2)
e indica o desnível mostrado na figura. Pede-se a vazão da água que 
escoa pelo Venturi.(H2O =10.000 N/m³)
Equação de Bernoulli 
Mecânica dos Fluidos
Equação de Bernoulli 
Mecânica dos Fluidos
Solução
Note-se que as hipóteses impostas pelo problema o enquadram 
perfeitamente no uso da equação de Bernoulli. Logo: 
Equação de Bernoulli 
Mecânica dos Fluidos
Solução
Os centros geométricos das seções (1) e (2) têm a mesma cota z, 
qualquer que seja o PHR adotado. Dessa forma, pode-se escrever:
Equação de Bernoulli 
Mecânica dos Fluidos
Solução
O segundo membro dessa expressão pode ser determinado pelo 
manómetro diferencial instalado, mas antes disso é interessante notar 
que, pela equação da continuidade, sendo A2 < A1 tem-se v2 > v1 e 
como a energia cinética aumenta de (1) para (2),a energia de pressão 
deverá diminuir para que a soma seja constante. Essa observação 
explica o porquê de o manómetro estar desnivelado da esquerda para 
a direita, já que p1 > p2. Partindo do centro geométrico da seção (1) e 
desprezando os trechos comuns aos dois ramos do manómetro, a 
equação manométrica ficará:
Equação de Bernoulli 
Solução
Equação de Bernoulli 
Mecânica dos Fluidos
Solução
Como a equação da energia 
conduz a uma equação com 
duas incógnitas, haverá 
necessidade de outra equação 
que relacione as velocidades, 
que é a equação da 
continuidade. Pela equação da 
continuidade:
Equação de Bernoulli 
Mecânica dos Fluidos
Solução
Note-se que o problema foi resolvido com o auxílio da equação da 
energia (Bernoulli) e da equação da continuidade.
Tal fato acontecerá em quase todos os problemas.
Equação de Bernoulli 
Mecânica dos Fluidos
Exercícios
1. Determinar a velocidade do jato do líquido no orifício do tanque de 
grandes dimensões da figura. Considerar fluido ideal.
Equação de Bernoulli 
Mecânica dos Fluidos
Solução
1. 
Hipóteses de Bernoulli:
Reservatório de grandes dimensões.
Visualmente não há bombas nem turbinas no trecho (1)-(2).
Fluido ideal.
Jato livre. Não vale o princípio da aderência.
Devemos escolher o ponto (1) numa seção onde v, p e z sejam 
conhecidos, e o ponto (2), onde estiver a incógnita, ou vice-versa. 
Equação de Bernoulli 
Mecânica dos Fluidos
Solução
1. 
Observa-se que o PHR é 
arbitrário. Ao ser mudado 
alteram-se z1 e z2, mas a 
solução da equação 
permanece a mesma. 
Equação de Bernoulli 
Mecânica dos Fluidos
Exercícios
2. A pressão no ponto S do sifão da figura não deve cair abaixo de 
25kPa (abs). Desprezando as perdas, determinar:
a) a velocidade do fluido; b) a máxima altura do ponto S em relação ao 
ponto (A). Patm = 100 Kpa;  = 10^4 N/m³.
Equação de Bernoulli 
Mecânica dos Fluidos
Solução
2. a) Como o reservatório e o tubo estão abertos, a pressão nos pontos 
A e B será igual à atm. Considerando que o nível do reservatório não se
altera, Va =0. Temos:
Equação de Bernoulli 
Mecânica dos Fluidos
Solução
2. b) Considerando que a pressão em S é igual à 25kPa (abs) e que a 
velocidade do fluido em B é igual em S (mesmo diâmetro de seção)
Equação de Bernoulli 
Mecânica dos Fluidos
Exercícios
3. Um tubo de Pitot é preso num barco que se desloca a 45 km/h. Qual 
será a altura h alcançada pela água no ramo vertical? 
Equação de Bernoulli 
Mecânica dos Fluidos
Solução
3. Considere que o tubo de Pitot
e a embarcação encontram-se 
sobre mesmo referencial.
Equação de Bernoulli 
Mecânica dos Fluidos
Exercícios
4. Quais são as vazões de óleo em massa e em peso no tubo 
convergente da figura, para elevar uma coluna de 20 cm de óleo no 
ponto (0)?
Dados: desprezar as perdas; óleo = 8.000 N/ m³; g = 10 m/s² 
Equação de Bernoulli 
Mecânica dos Fluidos
Solução
4. Os pontos p0 e p1 estão no mesmo nível, logo z1=z0. E a pressão 
no ponto 1 pode será igual à 0, visto que a não nenhuma coluna de 
água sobre o ponto.
Equação de Bernoulli 
Mecânica dos Fluidos
Solução
4. Será necessário utilizarmos a equação de conservação para isolar a
incógnita Vo. (Q0=Q1)
Equação de Bernoulli 
Mecânica dos Fluidos
Exercícios
5. Dados o dispositivo da figura, calcular a vazão do escoamento no 
conduto. Dados: H2O = 10^4 N/m³; m= 6x10^4 N/m³; p2= 20KPa; 
A=10^-2 m²; g=10m/s². Desprezar as perdas e considerar o diagrama 
de velocidades uniforme.
Equação de Bernoulli 
Mecânica dos Fluidos
Solução
5. Precisamos determinar a velocidade para podermos determinar a 
vazão. Ambas as seções encontram-se no mesmo nível (z1=z2).