Tensões e Deformações

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Tensões são as parcelas de forças interiores de 
um corpo, que atuam na unidade de superfície de 
uma seção qualquer desse corpo (1mm2, 1cm2, 
1m2). As unidades de tensão são: Pa= N/m2, 
t/cm2, kg/cm2 e kg/mm2. 
 
Dependendo da direção da força em relação a 
área de atuação temos as seguintes tensões: 
 Tensão Normal (σ): Atuam na direção 
perpendicular à seção transversal da 
peça, podendo ser tensão de compressão, 
σ c (-) ou tensão de tração, σt (+). 
 
 
 
 
 
 
 Tensões Cisalhantes ou de Corte (δ): 
Atua tangencialmente à seção 
transversal. 
 
 
 
Cálculo das tensões 
A tensão calculada com a carga máxima que o 
corpo suporta (Fmax)e a seção transversal 
original (Ao) do mesmo, denomina-se TENSÃO 
DE RUPTURA. 
 
 
Resistência 
Um elemento estrutural pode ser levado à 
ruptura de diversas maneiras, de modo que se 
pode distinguir diversas espécies de resistências 
a serem oferecidas por estes elementos, sendo 
elas resistentes à tração, compressão, 
cisalhamento ou corte, flexão, flambagem e 
torção. 
Tensões e Deformações 
 Resistência à tração: verificar-se em 
tirantes, hastes de treliças, pendurais, 
armaduras de concreto armado, etc. 
 
 
 Resistência à compressão: verifica-
se em paredes, pilares, apoios, fundações, 
etc. 
 
 
 Resistência à cisalhamento: verifica-
se no corte de chapas, nos rebites, pinos, 
parafusos, nós de tesoura de telhados, 
etc. 
 
 
 
 
 
 Resistência à flexão: verifica-se em 
vigas, postes engastados, etc. 
 
 
 Resistência à flambagem: verifica-se 
nos elementos estruturais solicitados à 
compressão e que apresentem seção 
transversal com dimensões reduzidas 
quando comparadas com o comprimento. 
Exemplo: colunas, escoras, pilares, hastes 
e outros elementos estruturais com 
cargas de compressão atuando 
paralelamente ao eixo longitudinal da 
peça. 
 
 
 Resistência a torção: Ocorre com 
menor frequência em elementos de 
construção. A torção produz um 
deslocamento angular de uma seção 
transversal em relação a outra. A 
resistência à torção está relacionada à 
resistência ao cisalhamento. Verificase 
em vigas com cargas excêntricas, vigas 
curvas, eixos, parafusos, etc. 
 
 
Determinação das resistências 
As resistências dos materiais de construção são 
determinadas em “Máquinas Universais de 
Ensaios”, obedecendo procedimentos rotineiros, 
que são padronizados pela ABNT (Associação 
Brasileira de Normas Técnicas). 
Os valores obtidos variam de acordo com o 
material, de material para material, e de acordo 
com o tipo de carga aplicada. 
Em algumas estruturas, como por exemplo 
pontes, deve-se considerar, além da resistência 
estática a resistência do material à fadiga, 
aplicando-se cargas variáveis, alternadas e 
oscilantes. 
 
 Tensões admissíveis ou de projeto 
(𝜎adm): Nas aplicações práticas só pode 
ser admitido uma fração das resistências 
máximas ou de ruptura apresentadas 
pelos diversos materiais. 
 
Onde: 𝜎adm. = Tensão admissível, 𝜎rup = Tensão 
de ruptura e 𝛾 = Coeficiente de segurança. 
 
Coeficiente de segurança 
Depende da consistência da qualidade do 
material, da sua durabilidade, do seu 
comportamento elástico, da espécie de carga e 
de solicitação, do tipo de estrutura e 
importância dos elementos estruturais, da 
precisão na avaliação dos esforços e seus modos 
de atuarem sobre os elementos construtivos e 
qualidade da mão de obra e controle da qualidade 
dos serviços. 
 Aço..................... 𝛾 = 1,5 a 2; 
 Ferro fundido..... 𝛾 = 4 a 8; 
 Madeira.............. 𝛾 = 2,5 a 7,5; 
 Alvenaria............ 𝛾 = 5 a 20. 
 
Tensões 
Na falta de valores de tensão admissível 
determinados especificamente para o material 
que se vai utilizar, as Tabelas a seguir 
fornecem os valores médios para diversos 
materiais de construção. 
 
Tensões admissíveis 
 
Propriedades mecânicas e 
tensões admissíveis de algumas madeiras brasileiras 
 
Conversão de unidades 
no sistema métrico 
 
 
 
Exemplo 01 
Um prisma de madeira de pinho com seção 6x6 
cm é comprimido paralelamente às fibras. 
Verifica-se a ruptura quando a carga atinge 
18,8 t. 
a. Qual a resistência à compressão dessa 
madeira? 
b. E a 𝜎𝑎𝑑𝑚 quando 𝛾 = 4? 
Resolução: 
Tensão de ruptura: 
 
Tensão admissível: 
 
 
Exemplo 02 
A carga de ruptura por tração de uma barra 
redonda de aço, com diâmetro de 20 mm, é de 
12.500 kg. 
a. Qual é a resistência à tração desse aço? 
b. Qual é o coeficiente de segurança 
existente quando 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 14 kg/mm²? 
 
Resolução: 
 
 
Exemplo 03 
De acordo com a figura abaixo, determinar: 
 
a. A distância b para a qual a tensão de 
cisalhamento média nas superfícies 
tracejadas seja de 620 kN/m2; 
b. A tensão média normal de contato pino-
madeira. 
Resolução: 
Distância B = 18,14cm 
Tensão média de contato do pino com a madeira 
= 1,8 kN/cm2 
Deformações 
Todo corpo sujeito a forças externas, sofre 
deformação. As deformações lineares, que 
ocorrem na tração e na compressão, são 
expressas em função da variação de 
comprimento (ΔL) e do comprimento original (L), 
resultando assim, na expressão deformação 
relativa (ε): 
 
 
Tração e compressão 
 
As deformações no cisalhamento são angulares 
 
 Deformação elástica: Se cessada a 
aplicação da força, o corpo retoma seu 
estado inicial, diz-se que o corpo é 
ELÁSTICO, a exemplo do aço, borracha, 
madeira (até certo limite), etc. 
 Deformação plástica: Se cessada a 
força, o corpo permanece em sua forma 
atual, o material é PLÁSTICO, a 
exemplo do chumbo, argila, etc. 
 Deformação transversal: 
Simultaneamente a deformação 
longitudinal (ε) ocorre também 
deformação transversal (εd). Na tração 
ocorre contração transversal e na 
compressão ocorre alongamento 
transversal. 
 
 
Os ensaios mostram que a relação entre a 
deformação longitudinal e a transversal é 
aproximadamente constante. Esta relação é 
denominada COEFICIENTE DE POISSON (m), 
matematicamente representada por: 
 
Curva de tensão e deformação 
Ductilidade é à propriedade apresentada pelos 
materiais que têm grandes alongamentos de 
ruptura, ou seja, apresentam grandes 
deformações antes de romperem (caso do aço e 
do alumínio). Se a ruptura ocorre de súbito, já 
com pequenos alongamentos, diz-se que o 
material é quebradiço ou frágil, sendo sensível a 
pancadas e solicitações do tipo vibratório (caso 
do ferro fundido e do concreto). 
 
 
Em laboratório, são realizados testes para 
obter o comportamento dos diversos materiais. 
Nas “Máquinas Universais de Ensaios” pode-se 
medir as deformações correspondentes aos 
diversos tipos de esforços externos até à 
ruptura. Os dados obtidos possibilitam traçar o 
diagrama tensão-deformação para cada 
material. 
 
A forma típica do diagrama tensão x 
deformação para o aço estrutural aparece na 
Figura abaixo onde as deformações axiais estão 
representadas no eixo horizontal, sendo as 
tensões correspondentes dadas pelas ordenadas 
dos pontos OADCDE. 
 
De O até A, as tensões são diretamente 
proporcionais às deformações e o diagrama é 
linear. A partir deste ponto, a proporcionalidade 
já não existe mais e o ponto A é chamado limite 
de proporcionalidade. 
Com o aumento da carga, as deformações 
crescem mais rapidamente do que as tensões, 
até um ponto B, onde uma deformação 
considerável começa a aparecer, sem que haja 
aumento apreciável da força de tração. Este 
fenômeno é conhecido como escoamento do 
material e a tensão no ponto B é denominada 
tensão de escoamento ou ponto de escoamento. 
Na região BC, diz-se que o material se tornou 
plástico e o material pode realmente, deformar-
se plasticamente, da ordem de 10 a 15 vezes o 
alongamento ocorrido até o limite da 
proporcionalidade. 
No ponto C, o material começa a oferecer 
resistênciaadicional ao aumento da carga, 
acarretando acréscimo de tensão para um 
aumento da deformação, atingindo o valor 
máximo ou tensão máxima, no ponto D. Além 
deste ponto, a deformação aumenta ocorrendo 
diminuição da carga até que aconteça, 
finalmente, a ruptura do corpo-de-prova no 
ponto E do diagrama. 
Durante o alongamento da barra, há uma 
contração lateral, que resulta na diminuição da 
área de seção transversal. Isto não tem 
nenhum efeito no diagrama tensão x deformação 
até o ponto C, porém, deste ponto em diante, a 
diminuição da área afeta de maneira apreciável 
o cálculo da tensão. 
Ocorre estrangulamento (estricção) na barra, 
no caso de ser considerado no cálculo de σ, 
tomando-se a área real da seção reduzida, fará 
com que a curva do diagrama tensão x 
deformação verdadeiro siga a linha interrompida 
CE’ da Figura. 
A carga total que a barra suporta diminui 
depois de atingir a tensão máxima, linha DE, 
porém tal diminuição decorre da redução da área 
e não por perda da resistência do material. 
Este resiste realmente a um acréscimo de 
tensão até o ponto de ruptura. Entretanto, 
para fins práticos, o diagrama tensão x 
deformação convencional, OABCDE, baseado na 
seção transversal original, dá informações 
satisfatórias para fins de projeto. 
O alongamento total até à ruptura é dado por: 
 
 
Lei de Hook e Módulo de Elasticidade 
No intervalo em que o diagrama tensão-
deformação se desenvolve retilineamente, as 
tensões são proporcionais às deformações. 
Matematicamente pode ser traduzida: 
 
Onde α é o COEFICIENTE DE 
ELASTICIDADE, número que expressa o 
alongamento da peça (ΔL) por unidade de 
tensão (σ). 
E é denominado MÓDULO DE ELASTICIDADE, 
que substituído na equação anterior obtêm-se a 
expressão clássica de HOOKE: 
 
O módulo de Elasticidade (E) é definido como 
sendo a tesão imaginária (ideal, e medida em 
kg/cm 2) que na tração seria capaz de duplicar 
o comprimento original da peça. 
Valores aproximados de Módulo de Elasticidade 
(em kg/cm2) para alguns materiais são os 
seguintes: 
 
 
Variação do Comprimento Devido à 
Variações de Temperatura 
O aquecimento das estruturas causa 
DILATAÇÃO das mesmas, enquanto o 
arrefecimento causa CONTRAÇÃO. Estas 
deformações podem causar tensões internas nos 
materiais dos elementos estruturais, 
semelhantes àquelas devido à esforços externos. 
Para evitar tensões adicionais nas estruturas, 
deve-se empregar apoios móveis e/ou juntas de 
dilatação. 
 
 
A dilatação ou compressão das peças 
estruturais pode ser calculada pela equação: 
 
Onde: 
 L = comprimento do elemento estrutural; 
 ∆𝑡 = variação de temperatura do 
elemento estrutural; 
 𝛼t = coeficiente de dilatação térmica. 
 
O coeficiente de dilatação térmica (αt), indica a 
variação de comprimento do elemento estrutural 
para cada 1 °C de mudança de temperatura do 
mesmo. 
Alguns valores aproximados de αt, são: 
 Ferro fundido e concreto... 0,000010 °C-1; 
 Alvenaria de tijolo.............. 0,000005 °C-1; 
 Madeira................................. 0,000003 °C-1; 
 
Exemplo 04 
Uma barra de aço circular com 5m de 
comprimento e 22,6 mm de diâmetro, solicitada 
por uma força de tração de 8.000kg, apresenta 
num comprimento de 20 cm um alongamento de 
0,19 mm. Calcular: 
a. A tensão atuante (σ); 
b. O alongamento relativo (𝜀); 
c. Módulo de elasticidade (E); 
d. Determinar a resistência de ruptura; 
e. Determinar o alongamento percentual. 
Dados: Carga de ruptura igual a 16.600 kg 
distância entre as referências 24,6 cm. 
 
 
 
Resolução: 
a. A tensão atuante (σ) = 1994 𝑘𝑔/𝑐𝑚² 
b. O alongamento relativo (𝜀) = 0,00095 
c. Módulo de elasticidade (E) = 2.105.263 
𝑘𝑔/𝑐𝑚² 
d. Determinar a resistência de ruptura = 
4.138 𝑘𝑔/𝑐𝑚² 
e. Determinar o alongamento percentual = 
23%