Gabarito da Atividade para avaliação - Semana 5_ MECÂNICA GERAL - FMG002

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MECÂNICA GERAL
Formulação Lagrangeana e oscilações lineares5
ATIVIDADE PARA AVALIAÇÃO
 
Considere novamente o movimento de um projétil, desta vez relativamente a um sistema
cilíndrico de coordenadas LaTeX: (r,\theta,z), conforme ilustrado abaixo. Nessa situação,
as energias cinética e potencial gravitacional podem ser assim escritas em termos
dessas coordenadas: 
onde é a massa do projétil e LaTeX: g é a aceleração da gravidade. 
1.
Assinale a(s) alternativa(s) abaixo que apresenta(m) relação(ões) verdadeira(s) sobre esse
cenário:
 
 
a.
LaTeX: \frac{\partial L}{\partial \dot z} = m\dot z 
 
b.
 
 
c.
LaTeX: \frac{\partial L}{\partial z} = m\dot z - mg 
 
d.
LaTeX: \frac{\partial L}{\partial \dot z} = m\dot z \ddot z 
 
e.
 
 
 
 
f.
Considere uma conta livre para mover-se ao longo de um arame com formato parabólico
dado por LaTeX: z = ax^2, onde LaTeX: a é uma constante e LaTeX: (x,y,z) é um
sistema cartesiano de coordenadas com LaTeX: x e horizontais e apontando para
cima, qual é a equação de movimento da conta, obtida ao aplicar a equação de Lagrange? 
LaTeX: \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot x} - \frac{\partial L}{\partial x} = 0?
2.
 
 
Gabarito 
LaTeX: m\ddot x(1 + 4a^2x^2) + 4ma^2 x \dot x^2 + 2mgax = 0 
 
a.
 
 
b.
 
 
c.
 
 
d.
e.
Alternativas corretas: , LaTeX: \frac{\partial L}{\partial \dot z} = m\dot z e 
Lembrando que , seguem as relações: 
1.
Alternativa LaTeX: m\ddot x(1 + 4a^2x^2) + 4ma^2 x \dot x^2 + 2mgax = 0 
Como há apenas um grau de liberdade, há apenas uma equação de Euler-Lagrange, da qual
2.
obtemos a equação do movimento. Para isso, precisamos determinar as derivadas de 
 pertinentes à equação: 
LaTeX: \frac{\partial L}{\partial x}= 
LaTeX: \frac{\partial L}{\partial \dot x}= 
LaTeX: \frac12 m \frac{\partial \dot x^2}{\partial \dot x} (1 + 4a^2 x^2) - \frac{\partial}
{\partial\dot x} \left(mga^2x^2\right)=
 LaTeX: m (1 + 4a^2 x^2) \dot x \nonumber 
 LaTeX: \frac{d}{dt}\left[m (1 + 4a^2 x^2) \dot x\right]= 
Finalmente, usando os resultados (1) e (2) na equação de Euler-Lagrange apresentada no
enunciado, obtemos a equação de movimento associada à variável LaTeX: x: 
LaTeX: m\ddot x(1 + 4a^2x^2) + 4ma^2 x \dot x^2 + 2mgax = 0.