01. Conjuntos numéricos

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Conjuntos numéricos
APRESENTAÇÃO
Ao estudarmos conjuntos estamos considerando uma “coleção” de objetos, chamados de 
elementos, que estão reunidos por um motivo comum. Por exemplo, podemos reunir uma 
caneta, uma meia e uma bola que têm em comum a característica “cor azul”, mas também 
podemos formar um conjunto de vogais ou estabelecer conjuntos formados por números. 
Estes recebem o nome de conjuntos numéricos e alguns deles são muito utilizados na resolução 
de problemas, por isso recebem nomes especiais: naturais, inteiros, racionais, irracionais, reais e 
complexos.
Nesta Unidade de Aprendizagem, abordaremos a noção de conjuntos, a sua definição, as suas 
representações e as principais relações entre eles.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Definir o que é conjunto numérico em matemática.•
Listar os tipos de representação de conjuntos e os conjuntos numéricos.•
Relacionar os conjuntos de acordo com as suas propriedades.•
DESAFIO
Vamos ao desafio!
Uma escola precisa renovar os livros de sua biblioteca e deseja aproveitar este momento para 
conhecer o perfil de seus alunos e, assim, estimular o hábito de leitura. 
Para tanto, foi realizada uma pesquisa envolvendo 500 alunos da 4ª a 9ª séries. O objetivo 
principal era identificar o que os alunos estavam lendo. Os resultados da pesquisa foram: 
. 80 alunos só locam na biblioteca os livros didáticos da série que cursam; 
. 50 alunos leem somente revistas em quadrinhos; 
. 110 alunos locam somente livros de ficção; 
. 20 alunos locam somente livros de suspense; 
. 50 alunos locam somente livros de romance; 
. 190 alunos locam livros de ficção e livros de suspense.
Considerando o resultado dessa pesquisa, são feitas as seguintes afirmações: 
 
I - A média de locação de livros não didáticos é de 2 por semestre. 
II - A biblioteca dispõe de um acervo de 1000 livros, sendo 500 didáticos, 300 revistas em 
quadrinhos, 50 livros de suspense, 50 de ficção, 50 de drama e 50 de romance. 
III - Sempre há fila de espera em alguns gêneros de livros não didáticos.
A partir de todos os resultados e afirmações apresentados com a pesquisa realizada entre os 
alunos, você deve identificar o perfil de leitura deles e, assim, propor que gênero(s) de livro a 
escola deve comprar para eliminar a fila de espera e possibilitar que os alunos leiam mais.
INFOGRÁFICO
 O infográfico apresenta uma tabela com os conjuntos numéricos que temos e um diagrama, que 
mostra a relação de subconjunto entre eles.
CONTEÚDO DO LIVRO
Conjuntos numéricos são relevantes no estudo da Matemática. Um conjunto pode ser entendido 
como qualquer coleção bem definida de objetos, sendo estes conhecidos como os elementos ou 
membros do conjunto.
Acompanhe o capítulo Conjuntos numéricos do livro Fundamentos de;Matemática. Esta obra 
foi escolhida como base teórica da nossa Unidade de Aprendizagem.
Boa leitura.
FUNDAMENTOS 
DE MATEMÁTICA 
Mariana Sacrini Ayres Ferraz
Rute Henrique da Silva Ferreira
Conjuntos numéricos
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir o que são conjuntos numéricos em matemática.
 � Representar conjuntos por meio dos diagramas de Venn.
 � Realizar operações com conjuntos.
Introdução
Os conjuntos são bastante importantes em matemática. Talvez os mais 
famosos sejam os conjuntos numéricos, como os reais, os inteiros e os 
naturais. Embora eles tenham muitas aplicações puramente matemáticas, 
muitas áreas se beneficiam de suas teorias, como quando temos que di-
vidir grupos que tenham características similares ou não, ou parcialmente 
similares, e problemas de reconhecimento de padrões.
Neste capítulo, você aprenderá a definição de conjuntos, como 
representá-los e suas propriedades.
Conjuntos numéricos
Um conjunto pode ser definido como uma coleção de entidades, as quais são 
seus elementos. Ou seja, é uma coleção de elementos que estão relacionados 
segundo alguma regra. Por exemplo, os elementos poderiam ser números, 
frutas, pessoas, carros, etc. Já a regra à qual os elementos obedecem deve 
ser bem-definida — por exemplo, poderíamos ter um conjunto de palavras 
pertencentes à língua portuguesa.
Geralmente, são utilizadas letras maiúsculas para se especificar os conjun-
tos, como A, B, W, …, e letras minúsculas para os elementos de um conjunto, 
como a, b, c ,z,... Por exemplo:
g, h ∈ A,
que significa que os elementos g e h pertencem ao conjunto A. O símbolo ∈ pode 
ser interpretado como “é um elemento de”. Para a negativa dessa afirmação, 
usa-se ∉, o que significa “não é um elemento de”.
Notação
Para se descrever os elementos de um conjunto, geralmente são utilizadas 
chaves {} e vírgulas para separar os elementos. Por exemplo:
{–2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}.
Para conjuntos com número de elementos muito grandes, a notação acima 
não seria a mais indicada, pois geraria imensas listas. Assim, uma maneira de 
se descrever os conjuntos é utilizar uma letra, como x. Por exemplo:
B = {x│x é um inteiro e |x| < 6},
o qual lemos como “B é um conjunto dos elementos x, tal que x é um inteiro 
e tem módulo menor que 6. Equivalentemente, podemos escrever: 
B = {x│x ∈ Z, |x| < 6}.
Aqui, o símbolo | significa “tal que”, Z representa o conjunto dos inteiros, 
e a vírgula é interpretada como “e”.
Veja os três conjuntos a seguir:
A = {x|x2 – 3x + 2 = 0},
B = {1, 2},
C = {2, 1, 2, 2, 1}.
Eles são iguais?
A resposta é sim. Para conjuntos, não importa a ordem de seus elementos, nem se 
eles são repetidos. Dessa maneira, no caso dos três conjuntos mostrados aqui, eles 
são considerados iguais, ou seja, A = B = C.
Conjuntos numéricos2
Subconjuntos
Suponha que tenhamos dois conjuntos, A e B. Se a ∈ A, implica que a ∈ B. 
Podemos dizer que A é um subconjunto de B e, alternativamente, que A está 
contido em B, A ⊆ B, ou que B contém A, B ⊇ A. Por exemplo, se P = {2, 4, 6} 
e S = {"inteiros pares"}, então, temos que P ⊆ S.
Se dois conjuntos são iguais, cada conjunto está contido no outro, Assim, 
A = B "se, e somente se” A ⊆ B e B ⊆ A.
Para os subconjuntos, temos o seguinte teorema: sejam A, B e C conjuntos 
quaisquer, então:
1. A ⊆ A;
2. Se A ⊆ B e B ⊆ A, então A = B;
3. Se A ⊆ B e B ⊆ C, então A = C.
Conjuntos numéricos especiais
Alguns conjuntos são muito usados e, assim, acabaram recebendo tratamento 
especial. Veja a seguir.
 � N: conjunto dos números naturais, ou inteiros positivos, com o zero 
— N = {0, 1, 2, 3, 4, …}.
 � Z: conjunto dos números inteiros, ou seja, todos os números inteiros 
positivos, negativos e o zero — Z ={…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …}.
 � Q: conjunto dos números racionais, números reais com dígitos decimais 
finitos. Números que podem ser escritos em forma de fração de números 
inteiros, resultando assim em decimais com dígitos finitos – 𝑄 = , 
p, q ϵ Z e q ≠ 0 .
 � I: Conjunto dos números irracionais, números que não podem ser 
escritos em forma de fração de números inteiros, resultando assim 
em decimais com dígitos infinitos — por exemplo, raízes não exatas 
, o número 𝜋 e o número de Euler 𝑒.
 � R: conjunto dos números reais, o qual inclui os racionais e os irracio-
nais — R = Q ∪ I.
 � C: conjunto dos números complexos, pares (a, b) de números reais, ou 
seja, números da forma z = a + bi, onde a e b são números reais e i2 = –1.
3Conjuntos numéricos
Em teoria de conjuntos, a notação * é utilizada quando desejamos excluir o número 
zero do conjunto. Por exemplo:
 � N* = {1, 2, 3, 4, ...};
 � Z* = {..., –3, –2, –1, 1, 2, 3, ...}.
A partir dessa descrição, podemos pensar N como uma parte de Z, Z como 
uma parte de Q e Q como uma parte de R. Em Q, equações do tipo x2 – 3 = 0 
ou o cálculo da área do círculo, por exemplo, não podem ser resolvidas. Temos 
então um novo conjunto, os irracionais e esse conjunto I pode ser entendido 
como uma parte de R.
No entanto, alguns problemas não podem ser resolvidos apenas em R, o que 
motivou o desenvolvimentodos números complexos. Por exemplo, a equação 
x2 + 1 = 0 não tem solução em R, mas, em C, veremos que ela tem solução. 
Na teoria de conjuntos um número complexo é um par ordenado de nú-
meros reais (a, b) em que estão definidas igualdade, adição e multiplicação 
(DANTE, 2002):
(a, b) = (c, d) ↔ a = c e b = d
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
(a, b) ∙ (c, d) = (ac – bd, ad + bc)
Os números reais pertencem a C e são aqueles pares em que temos b = 0, 
ou seja, o número real 5 pode ser escrito como o par (5, 0). Também é dado 
um nome especial para o par (0, 1), unidade imaginária. Ele é indicado por i, 
e, usando a definição de multiplicação de complexos, temos:
i2 = (0,1) ∙ (0,1) = (0 ∙ 0 ‒ 1 ∙ 1, 0 ∙ 1 + 1 ∙ 0) = ( ‒ 1, 0) = ‒ 1
Essa definição nos permite calcular, em C, raízes quadradas de números 
negativos. Por exemplo:
Conjuntos numéricos4
Os números complexos podem ser representados na forma algébrica ou na 
forma trigonométrica. Veja a seguir algumas definições e exemplos envolvendo 
números complexos.
Forma algébrica de um número complexo: z = a + bi
(‒2, 3) = ‒2 + 3i
(0, ‒1) = 0 ‒ 1i = –i
Conjugado de um número complexo: z = a – bi
z = 2 + 3i → z = 2 – 3i
z = 5 – 2i → z = 5 + 2i
Interpretação geométrica de um número complexo
Como cada número complexo está associado a um par (𝑎,𝑏), que por sua vez 
está associado a um único ponto no plano, podemos representá-los como um 
ponto P no sistema de coordenadas cartesianas. O ângulo θ formado pelo 
segmento Oz e o eixo x é chamado de argumento, e ρ é o módulo de z, que 
definimos na Figura 1.
Figura 1. Gráfico do módulo de z.
Fonte: Adaptada de Dante (2002).
5Conjuntos numéricos
Módulo de um número complexo
O módulo de um número complexo é a distância da origem do sistema de 
coordenadas até o ponto z. Aplicando o teorema de Pitágoras, . 
Vejamos um exemplo:
Forma trigonométrica de um número complexo
A partir da representação geométrica de um número complexo, considerando-
-se seu módulo, o ângulo formado pelo segmento Oz e o eixo x e as noções 
de seno e cosseno, temos:
z = a = bi → |z| (cos θ + isen θ)
Vejamos um exemplo:
Resolução de equações com raiz complexa
x2 – 2x + 10 = 0
∆ = b2 – 4ac = 4 – 4 ∙ 1 ∙ 10 = –36 → não possui raiz real
Usando números complexos, temos: 
Assim, as raízes da equação são 1 + 3i e 1 – 3i.
Conjuntos numéricos6
A equação x2 + 1 = 0, mencionada anteriormente no capítulo, pode ser 
resolvida da seguinte forma:
Sua solução, então, é:
x = ±i
Conjunto universo e conjunto vazio
O conjunto universo normalmente é denotado pela letra U. Ele seria composto 
por todos os elementos e conjuntos em um dado contexto. Já o conjunto vazio 
não contém qualquer elemento e é representado por chaves vazias {}, ou pelo 
símbolo ∅. Por exemplo:
Se U = Z, então {x│x2 = 10} = ∅.
Conjuntos disjuntos
Conjuntos disjuntos são aqueles que não têm elementos em comum. Por 
exemplo, suponha os três conjuntos a seguir:
A = {1, 4, 5},
B = {5, 6, 8, 10} e
C = {10, 14}.
Os conjuntos A e C são considerados disjuntos, mas A e B não, pois eles 
têm elementos em comum. Os conjuntos B e C também não são disjuntos.
7Conjuntos numéricos
Diagramas de Venn
Uma maneira de representar conjuntos é usando os diagramas de Venn. Nesses 
diagramas, os conjuntos são representados por áreas delimitadas no espaço, 
geralmente círculos e elipses. Assim, o conjunto universal U é representado 
por um retângulo, em que estão os outros conjuntos. A Figura 2 mostra três 
exemplos de diagramas de Venn. Em (a), há um exemplo em que o conjunto 
A está contido no conjunto B; em (b), os conjuntos A e B são disjuntos; em (c), 
os conjuntos A e B sobrepõem-se parcialmente.
Figura 2. Exemplos de diagramas de Venn.
Fonte: Adaptada de Lipschutz e Lipson (2013).
Os diagramas de Venn também servem para ilustrar os conjuntos numéricos 
descritos na seção anterior, como mostra a Figura 3.
Figura 3. Representação dos conjuntos numéricos.
N
Números Naturais
Z
Números Inteiros
Q
Números Racionais
I
R = Q ∪ I
Números
Irracionais
C
Números Complexos
Conjuntos numéricos8
A figura a seguir representa um diagrama de Venn de dois conjuntos A e B.
O conjunto universal U foi dividido em quatro regiões chamadas de i, ii, iii e iv. O que 
pode ser dito sobre os conjuntos A e B:
a) se a região ii for vazia?
b) se a região iii for vazia?
Se a região ii for vazia, então A não contém elementos que não estão em B. Assim, 
A é um subconjunto de B, e o diagrama deveria ser redesenhado como na Figura 2a.
Agora, se a região iii for vazia, então A e B não têm elementos em comum, sendo 
disjuntos. Assim, o diagrama deveria ser redesenhado como na Figura 2b.
Para desenhar um diagrama de Venn, pode-se usar uma técnica que contém 
dois passos, descrita a seguir. Primeiramente, supomos os seguintes conjuntos:
U = {1, 2, 3, …, 12}
A = {2, 3, 7, 8, 9}
B = {2,8}
C = {4, 6, 7, 10}
Para desenhar o diagrama desses conjuntos, você deve seguir os passos:
a) desenhe um diagrama genérico com os conjuntos.
b) insira os elementos em suas devidas regiões.
c) redesenhe o diagrama, eliminando regiões vazias.
9Conjuntos numéricos
Assim, o primeiro passo geraria um diagrama como mostrado na Figura 4a. 
A partir daí, preencheremos as regiões com os elementos dos conjuntos. Analise 
elemento a elemento, checando se ele pertence a mais de um conjunto. Assim, 
o resultado ficaria como o mostrado na Figura 4b.
Figura 4. Passos para desenhar um diagrama de Venn. (a) Diagrama genérico. (b) Diagrama 
genérico preenchido. (c) Diagrama redesenhado, eliminando os espaços vazios.
Operações com conjuntos
Algumas operações podem ser feitas com conjuntos, como união, interseção 
e complementar. 
A união de dois conjuntos A e B representa um conjunto com todos os 
elementos de A ou B, ou seja: 
A ∪ B = {x|x ∈ A ou x ∈ B}
A Figura 5a mostra um diagrama de Venn, em que o conjunto A ∪ B está 
sombreado.
Conjuntos numéricos10
A interseção de dois conjuntos A e B representa um conjunto que pertence 
a ambos, A e B, ou seja: 
A ∩ B = {x|x ∈ A e x ∈ B}
A Figura 5b mostra um diagrama de Venn, em que o conjunto A ∩ B está 
sombreado.
Figura 5. Diagramas de Venn representando as operações de união e interseção entre 
conjuntos.
Fonte: Adaptada de Lipschutz e Lipson (2013).
Suponha os conjuntos:
A = {1, 2, 3},
B = {3, 4, 5} e
C = {6, 7}.
Temos que:
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}
A ∩ B = {3}
B ∪ C = {3, 4, 5, 6, 7}
B ∩ C = ∅
A ∪ C = {1, 2, 3, 6, 7}
A ∩ C = ∅
11Conjuntos numéricos
O complementar de um conjunto A é o conjunto de elementos que pertencem 
a U, mas que não pertencem a A, ou seja: 
AC = {x|x ∈ U, x ∉ A}
A Figura 6 mostra um diagrama de Venn do complementar de um conjunto 
A.
O complementar relativo de um conjunto B relativamente a um conjunto 
A, ou a diferença de A por B, é o conjunto de elementos que pertencem a A, 
mas não a B, ou seja:
A\B = {x ∈ A, x ∉ B}
Essa expressão é lida como “A menos B”. A Figura 6b mostra um diagrama 
de Venn de A\B.
A diferença simétrica de dois conjuntos, A e B, são os elementos que 
pertencem a um ou outro conjunto, mas não a ambos, ou seja:
A ⊕ B = (A ∪ B)(A ∩ B)
Podemos escrever também:
A ⊕ B = (A\B) ∪ (B\A)
A Figura 6c mostra um diagrama de Venn de A ⊕ B.
Figura 6. Diagramas de Venn representando complementar, complementar relativo e 
diferença simétrica.
Fonte: Lipschutz e Lipson (2013, p. 6).
Conjuntos numéricos12
Em um grupo com 100 esportistas, 41 jogavam basquete, 20 jogavam basquete e 
corriam, 22 praticavam corrida e natação, 18 jogavam basquete e nadavam, e 11 
praticavam os 3 esportes. O número de pessoas que corriam era igual ao número de 
pessoas que nadavam.
a) Quantas pessoas nadavam e não jogavam basquete?
b) Quantas pessoas corriam ou nadavam e não jogavam basquete?
c) Quantos jogavam basquete e não corriam?
Com as informações dadas, podemos desenhar o seguinte diagrama:
onde:
 � B: jogam basquete;
 � C: correm;
 � N: nadam;
 � BC: jogam basquete e correm;
 � BN: jogam basquete e nadam;� NC: nadam e correm;
 � BNC: jogam basquete, nadam e correm.
As letras x e y representam o número de pessoas em C, n(C) = x, e em N, n(N) = y. 
Observando o diagrama, temos que:
n(C) = 9 + 11 + 11 + x = 31 + x
e
n(N) = 7 + 11 + 11 + y = 29 + y
Sabemos, também, que n(C) = n(N). Assim:
31 + x = 29 + y
x = y – 2
13Conjuntos numéricos
Temos, também, que o total de esportistas é 100. Dessa maneira, podemos somar 
todas as partes do diagrama desenhado:
14 + 9 + 11 + 7 + 11 + x + y = 100
52 + x + y = 100
x + y = 48
Juntando com a equação encontrada anteriormente, ficamos com:
y – 2 + y = 48
2y = 50
y = 25
x = 23
Assim, agora temos todas as partes do diagrama e podemos responder as questões.
a) O número de pessoas que nadavam e não jogavam basquete:
 N + NC = y + 11 = 25 + 11 = 36
b) O número de pessoas que corriam ou nadavam e não jogavam basquete:
 N + NC + C = x + 11 + y = 23 + 11 + 25 = 59
c) O número de pessoas que jogavam basquete e não corriam:
 B + BN = 14 + 7 = 21
DANTE, L. R. Matemática: contexto e aplicações. São Paulo: Ática, 2002.
LIPSCHUTZ, S.; LIPSON, M. Matemática discreta. 3. ed. Porto Alegre: Bookman, 2013. 
(Coleção Schaum).
Conjuntos numéricos14
DICA DO PROFESSOR
Agora, vamos assistir um vídeo sobre os conjuntos numéricos e as relações que podem se 
estabelecer entre eles.
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EXERCÍCIOS
1) Considerando os conjuntos A = { x, y, z } , B={ z, y, z, x } , C={ y, x, y, z } e D={ y, z, x, 
y } , escolha a alternativa correta:
A) O conjunto A é igual ao B e o conjunto C é igual ao D.
B) Não há conjuntos iguais.
C) Todos os conjuntos (A, B, C e D) são iguais.
D) O conjunto A é igual ao C e o conjuto B é igual ao D.
E) Apenas os conjuntos A, B e D são iguais.
2) Marque a opção que apresenta uma representação de conjunto correta: 
A) A=[ 1,2,3] .
B) b={ A,B,C} .
C) B=x.y.z.
D) T={ a,b,c,d} .
E) B: x,y,z.
3) Considere o conjunto A = {{ 1, 2, 3 } , { 4, 5 } , { 6, 7, 8 }} . A opção correta que lista os 
elementos de A é:
A) A tem oito elementos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
B) A tem três elementos, os conjuntos { 1, 2, 3} , { 1, 2, 3, 4, 5} e { 6, 7, 8} .
C) A tem dois elementos, os conjuntos { 1, 2, 3} , { 4, 5, 6, 7, 8} .
D) A tem três elementos, os conjuntos { 1, 2, 3} , { 4, 5} e { 6, 7, 8} .
E) A tem oito elementos, os conjuntos { 1} , { 2} , { 3} , { 4} , { 5} , { 6} , { 7} , { 8} .
4) Em uma pesquisa com 120 pessoas, foi descoberto que: 65 leem a revista Newsweek; 
20 leem Newsweek e Time; 45 leem Time; 25 leem Newsweek e Fortune; 42 leem 
Fortune, 15 leem Time e Fortune e 20 pessoas não leem nenhuma das três revistas. O 
número de pessoas que leem as três revistas é: 
A) 20.
B) 8.
C) 0.
D) 12.
E) 17.
5) Em uma pesquisa com 120 pessoas, foi descoberto que: 65 leem a revista Newsweek; 
20 leem Newsweek e Time; 45 leem Time; 25 leem Newsweek e Fortune; 42 leem 
Fortune, 15 leem Time e Fortune e 20 pessoas não leem nenhuma das três revistas. O 
número de pessoas que leem somente uma das três revistas é: 
A) 28.
B) 18.
C) 10.
D) 20.
E) 56.
NA PRÁTICA
Muitas vezes associamos o estudo de conjuntos numéricos a problemas algébricos envolvendo a 
resolução de equações ou o domínio de funções. Mas essa ideia pode estar presente em 
problemas aplicados, auxiliando na interpretação de dados e na tomada de decisões. Veja no 
exemplo a seguir como reunir os clientes de um estabelecimento comercial em conjuntos. Ou 
seja, agrupá-los, observando as características em comum, pode facilitar a tomada de decisão do 
proprietário do estabelecimento.
SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Aprendendo Matemática Discreta com Exercícios
Acompanhe os exercícios resolvidos nas páginas 72 a 83 do livro Aprendendo Matemática 
Discreta com Exercícios, de Paulo Blauth Menezes, Laira Vieira Toscani e Javier Garcia Lopez, 
para uma melhor compreensão do conteúdo.
Conjuntos Numéricos
Assista a aula do professor Ítalo Benfica a respeito dos conjuntos numéricos.
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Representação de um Conjunto
Veja a explicação do prof. Abraão Lincoln sobre representação de um conjunto por extensão, 
compreensão e diagramas.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!