Lista 52 - Semelhança de triângulos e Trigonometria no triângulo retângulo

Prévia do material em texto

Vivi te ajuda! @viviteajuda facebook.com/viviteajuda 
	
	 1 
Lista 52 
Semelhança de triângulos e 
Trigonometria no triângulo 
retângulo 
 
Teorema de Tales 
Texto retirado de GALDONNE, Linos. Projeto Apoema Matemática 9. 2ª edição. São Paulo: Editora do Brasil, 2015. Págs. 79 – 81. 
 
 O teorema de Tales está relacionado à ideia de retas paralelas interceptando 
uma ou mais retas transversais, como representado na figura. 
 
 
 
Observações! 
• Feixe de retas paralelas: três ou mais retas distintas de um mesmo plano, 
paralelas entre si. 
• Reta transversal: reta que intersecta todas as retas de um feixe de paralelas. 
 
 Essas retas, que são paralelas, formam um “feixe de paralelas”. Vamos 
considerar duas propriedades importantes relacionadas ao feixe de paralelas e às 
retas transversais. 
 
Primeira propriedade 
 
Se um feixe de paralelas determina segmentos congruentes sobre uma 
transversal, também determina segmentos congruentes sobre qualquer outra 
transversal. 
 
 Essa propriedade pode ser observada na figura a seguir, considerando que as 
retas paralelas estão igualmente espaçadas. 
 
 
 
 De acordo com essa propriedade, se o feixe de paralelas determina segmentos 
congruentes sobre a transversal r, também determinará segmentos congruentes na 
transversal r’. 
Vivi te ajuda! @viviteajuda facebook.com/viviteajuda 
	
	 2 
 Assim, se: 
 AB = BC (ou AB º BC: AB é congruente a BC) 
 então, 
 A’B’ = B’C’ (ou A’B’ º B’C’: A'B' é congruente a B'C'). 
 Uma maneira de provas esse resultado é traçar duas retas paralelas à reta r, 
uma passando pelo ponto A’ e a outra passando pelo ponto B’; como na figura a 
seguir. 
 
 
 
 Ao traçar essas paralelas à reta r, são determinados dois paralelogramos: 
• No paralelogramo AA’PB: AB = A’P 
• No paralelogramo BB’QC: BC = B’Q 
 Como sabemos que AB = BC, então A’P = B’Q. 
• Nos triângulos A’PB’ e B’QC’, os ângulos A’ e B’ são congruentes. 
• Nesses mesmos triângulos, os ângulos P e Q são congruentes. 
• Utilizando o caso de congruência ângulo-lado-ângulo, temos que os dois 
triângulos são congruentes. 
 Portanto, A’B’ = B’C’. 
 Veja um exemplo: 
 
Exemplo 01: 
 A primeira propriedade possibilita a determinação, de forma direta, da medida de x, como na 
figura a seguir, considerando que as retas em vermelho são transversais ao feixe de retas paralelas. 
 
 
 
 
 De acordo com essa propriedade, temos que x = 3,8 cm. 
 
Segunda propriedade 
 
Um feixe de paralelas determina, em duas transversais quaisquer, segmentos 
de medidas proporcionais. 
 
 A demonstração do teorema de Tales considera a primeira propriedade. Assim, 
vamos supor que, na figura a seguir, AB e BC sejam comensuráveis, isto é, que haja 
uma unidade padrão u de medida desses segmentos. Vamos supor que há um 
segmento de comprimento u que “cabe” m vezes em AB e n vezes em BC. 
 
 
Observações! 
• Dois segmentos são comensuráveis quando o 
quociente de suas medidas é um número racional. 
• É possível demonstrar a validade do teorema de Tales, 
mesmo se os segmentos não forem comensuráveis. 
 
Vivi te ajuda! @viviteajuda facebook.com/viviteajuda 
	
	 3 
 Assim, temos: AB
BC
= m . u
n . u
 = m
n
 
 De acordo com a figura, podemos conduzir um feixe de retas paralelas 
igualmente espaçadas. 
Assim, o segmento AB” ficará dividido em m segmentos de comprimento v e o 
segmento B’C ficará dividido em n segmentos de comprimento v. Assim, temos: 
 
A'B'
B'C'
= m .v
n . v
 = m
n
 
 
 Comparando os resultados obtidos, concluímos que: AB
BC
=	 A'B'
B'C'
 . 
 Observe um exemplo. 
 
Exemplo 02: 
 Determine o valor de x na figura abaixo, sendo a, b e c retas paralelas. 
 
 
 
 De acordo com o teorema de Tales, temos que: 
 
AB
BC
=	 A'B'
B'C'
 ® 2x - 3
x + 2
=	 5
6
 
 
 Em uma proporção, sabemos que o produto dos termos extremos é igual ao produto dos 
termos meios, isto é: 
 
6(2x – 3) = 5(x + 2) 
 
12x – 18 = 5x + 10 
 
7x = 28 
 
x = 4 
 
Observações! 
• É imediato, conforme o teorema de Tales e as propriedades de proporção, que os 
segmentos correspondentes nas transversais formem a proporção: 
 
a
a'
 = b
b'
 = c
c'
 
 
• Essa mesma proporção se mantém quando acrescentamos um segmento 
correspondente à soma das medidas dos segmentos: 
 
 
 
Semelhança de triângulos 
Texto retirado de GALDONNE, Linos. Projeto Apoema Matemática 9. 2ª edição. São Paulo: Editora do Brasil, 2015. Págs. 84 – 86. 
 
 A semelhança de triângulos pode ser observada por meio do teorema de Tales. 
Considere três retas paralelas interceptando duas retas transversais, conforme figura 
abaixo. 
a
a'
 = b
b'
 = c
c'
 = a + b + c
a' + b' + c'
 
 
 
Vivi te ajuda! @viviteajuda facebook.com/viviteajuda 
	
	 4 
 
 
 Sabemos que as retas paralelas determinam, nas duas transversais, 
segmentos cujas medidas são proporcionais. Se prolongarmos as duas retas 
transversais, como na figura a seguir, elas se interceptam formando triângulos. 
 
 
 
Dois triângulos são semelhantes se seus ângulos correspondentes forem 
congruentes e os lados correspondentes tiverem medidas proporcionais. 
 
 
 
Observações! 
• Ângulos congruentes são ângulos de mesma medida. 
• Lados homólogos em triângulos semelhantes são os lados correspondentes, isto 
é, os lados opostos aos ângulos de mesma medida. 
 
 Por meio de duas propriedades fundamentais, sobre semelhança de triângulos, 
podemos verificar e caracterizar a semelhança de dois triângulos de maneira mais 
simples. 
 
Primeira propriedade 
 
Se dois triângulos têm dois pares de ângulos respectivamente congruentes, 
então os triângulos são semelhantes. 
 
 Para justificar essa propriedade, admitamos que os triângulos ABC e PQR 
tenham dois ângulos congruentes: A ≡ P e B ≡ Q. 
 
 
• Inicialmente como sabemos que a soma das medidas dos ângulos internos 
de um triângulo é 180º, temos que o terceiro ângulo do triângulo ABC tem 
a mesma medida do terceiro ângulo do triângulo PQR. Assim, podemos 
concluir que C ≡ R. 
Utilizando símbolos para indicar que os dois 
triângulos representados ao lado são 
semelhantes, temos: 
DABC ~ DPQR Û #
A$ ≡ P$
B$ ≡ Q$
C$ ≡ R$
 e AB
PQ
= AC
PR
 = BC
QR
 
 
Vivi te ajuda! @viviteajuda facebook.com/viviteajuda 
	
	 5 
• Vamos sobrepor o triângulo PQR ao triângulo ABC fazendo coincidir os 
vértices A e P e depois fazendo coincidir o vértice B com o vértice Q, como 
representado nas figuras I e II a seguir. 
 
 
• Utilizando o teorema de Tales na Figura I, já que BC e QR são paralelos, 
temos: AB
PQ
= AC
PR
 . 
• Utilizando o teorema de Tales na figura II, já que AC e PR são paralelos, 
temos: AB
PQ
= BC
QR
 . 
 
 De acordo com esses dois resultados, concluímos que AB
PQ
= BC
QR
 = AC
PR
, isto é, os 
lados dos triângulos têm medidas proporcionais. 
 
Segunda propriedade 
 
Toda paralela a um lado de um triângulo, que intercepta os outros dois lados 
em pontos distintos, determina um novo triângulo semelhante ao primeiro. 
 
 
 
 
Observações! 
• Dois triângulos que possuem ângulos correspondentes congruentes são 
semelhantes. 
• Se os lados correspondentes (lados opostos a ângulos de mesma medida) de dois 
triângulos tiverem medidas proporcionais, então os triângulos são semelhantes. 
 
 Veja alguns exemplos. 
 
Exemplo 03: 
 Na figura a seguir, o segmento RS é paralelo ao segmento BC. Dessa maneira, os triângulos 
ABC e ARS são semelhantes. Determine o valor de x. 
 
 
 
Na figura ao lado, o segmento PQ é paralelo ao 
lado BC do triângulo. Dessa forma, temos nos 
triângulos ABC e APQ: 
A$ ≡ A$ (mesmo ângulo). 
B$ ≡ P$ (ângulos correspondentes). 
C$ ≡ Q$ (ângulos correspondentes). 
Assim, os triângulos ABC e APQ são 
semelhantes: DABC ~ DAPQ. 
 
Vivi te ajuda! @viviteajuda facebook.com/viviteajuda 
	
	 6 
 Como os triângulos são semelhantes, os lados correspondentes são de medidas proporcionais: 
 
AB
AR = 
AC
AS 
2x – 2 + 202x - 2 = 
2x + 6 + 30
2x + 6 
 
(2x + 6)(2x + 18) = (2x – 2)(2x + 36) 
 
4x2 + 36 x + 12 x + 108 = 4x2 + 72x – 4x – 72 
 
48x + 108 = 68 x – 72 ® 20 x = 180 ® x = 9 cm 
 
 Podemos também resolver utilizando o teorema de Tales: 
 
2x – 2
20 = 
2x + 6
30 
 
30(2x – 2) = 20(2x + 6) ® 60x – 60 = 40x + 120 ® 20 x = 180 ® x = 9 cm 
 
Exemplo 04: 
 De acordo com as medidas indicadas na figura abaixo, determine o valor da medida 
desconhecida representada pela letra x. 
 
 
 
 Como cada um dos triângulos ADE e BCE tem um ângulo reto e o ângulo E congruente 
(ângulos opostos pelo vértice), o terceiro ângulo tem a mesma medida. Dessa forma, podemos concluir 
que esses triângulos são semelhantes. Assim, temos: 
 
6
12
= 8
x
 ® 6x = 12 . 8 ® x = 16 cm 
 
o triângulo retângulo 
Texto retirado de GALDONNE, Linos. Projeto Apoema Matemática 9. 2ª edição. São Paulo: Editora do Brasil, 2015. Págs. 91 e 92. 
 
 Você já observou um esquadro? 
 
 
 A forma do esquadro lembra a de um triângulo. Observando melhor, o triângulo 
do esquadro tem um ângulo reto. Esse tipo de triângulo é classificado como triângulo 
retângulo. 
Vivi te ajuda! @viviteajuda facebook.com/viviteajuda 
	
	 7 
 Os dois lados que formam o ângulo reto num triângulo retângulo são chamados 
de catetos, ao passo que o lado oposto ao ângulo reto é denominado hipotenusa. 
 
 
 
 Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180º, temos, 
além do ângulo reto, dois ângulos cuja soma das medidas é 90º. Esses dois ângulos 
são ditos complementares. 
 
O teorema de Pitágoras 
Texto retirado de BIANCHINI, Edwaldo. Matemática: 9º ano. 6ª edição. São Paulo: Moderna, 2011. Págs. 135 e 136. 
 
 Considerando como unidade de medida a área de um quadradinho da figura 
abaixo. 
 
 
 
 Nota-se que a área do quadrado maior é igual à soma das áreas dos 
quadrados menores, ou seja: 
 
25 = 9 + 16 
 
 Como 25 = 9 + 16, temos 52 = 32 + 42. 
 Repare que 5, 3 e 4 são as medidas dos lados dos quadrados da figura e, 
consequentemente, as medidas dos respectivos lados do triângulo retângulo. 
 A relação existente entre os quadrados das medidas dos lados desse triângulo 
retângulo é conhecida como teorema de Pitágoras. 
 
Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à 
soma dos quadrados das medidas dos catetos. 
 
 Veja alguns exemplos de aplicações do teorema de Pitágoras. 
 
Exemplo 05: 
 Precisamos calcular a medida x do comprimento de uma escada que está apoiada em uma 
parede, conforme a figura abaixo. 
 
 
Vivi te ajuda! @viviteajuda facebook.com/viviteajuda 
	
	 8 
 Para isso, vamos aplicar o teorema de Pitágoras: 
 
x2 = (4,8)2 + (3,6)2 
 
x2 = 23,04 + 12,96 
 
x2 = 36 
 
x = ±	 36 
 
x = ± 6 
 
 Como x é a medida do comprimento da escada, deve ser um número positivo. Portanto, o 
comprimento da escada é 6 m. 
 
Exemplo 06: 
 Obtenha a medida da diagonal de um quadrado considerando que a medida de seu lado é 
igual a x. 
 
 
 
 Como a diagonal divide o quadrado em dois triângulos retângulos, basta aplicar o teorema de 
Pitágoras. 
 
d2 = x2 + x2 
 
d2 = 2x2 
 
d = 2x2 
 
d = x 2 
 
Exemplo 07: 
 Determine a altura de um triângulo equilátero cujo lado mede 6 cm, como representado abaixo. 
 
 
 
 Como a altura divide o triângulo equilátero em dois triângulos retângulos temos: 
 
62 = h2 + 32 
 
36 = h2 + 9 
 
h2 = 36 – 9 ® h2 = 27 
 
h = 27 ® h = 9 . 3 ® h = 32	. 3 
 
h = 3 3 cm 
 
Exemplo 08: 
 Os três quadrados da figura a seguir foram construídos tendo como medidas dos lados as 
medidas da hipotenusa e dos catetos do triângulo retângulo. Determine a área A do quadrado menor. 
 
 
Vivi te ajuda! @viviteajuda facebook.com/viviteajuda 
	
	 9 
 Pelo teorema de Pitágoras, a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma 
das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos. Assim, temos: 
 
36 + A = 25 
 
36 – 25 = A ® A = 11 cm2 
 
Exemplo 09: 
 Um cabo foi esticado entre os topos de duas construções, como mostrado na figura. 
Observando a distância das bases dessas construções, determine a medida do cabo representado 
pelo segmento AB. 
 
 
 
 De acordo com a figura, considerando que as construções formam 90º com o solo, temos o 
triângulo retângulo destacado em verde. 
 Aplicando o teorema de Pitágoras: 
 
(AB)2 = (25 – 15)2 + 402 
 
(AB)2 = 100 + 1 600 
 
(AB)2 = 1 700 
 
AB = 100 . 17 ® AB = 10 17 m 
 
Razões trigonométricas no triângulo retângulo 
Texto retirado de IEZZI, Gelson. DOLCE, Osvaldo. DEGENSZAJN, David. PÉRIGO, Roberto. Matemática – Volume único. 5ª edição. São 
Paulo: Atual editora, 2011. Págs. 185 – 190. 
 
Seno de um ângulo agudo 
 
 Num triângulo retângulo, o seno de um ângulo agudo é dado pelo quociente 
(razão) entre o cateto oposto a esse ângulo e a hipotenusa. 
 
 
 
sen x = cateto oposto a x 
hipotenusa
 
 
 No caso, temos: 
 
sen B = b 
a
 e sen C = c 
a
 
 
 Veja alguns exemplos. 
 
Exemplo 10: 
 Seja o triângulo ABC de hipotenusa 17 cm e catetos 8 cm e 15 cm. 
 
Vivi te ajuda! @viviteajuda facebook.com/viviteajuda 
	
	 10 
 
 
 Para determinar o seno de cada ângulo agudo, fazemos: 
 
sen B = cateto oposto a	B 
hipotenusa
 = b 
a
 = 8 cm 
17 cm
 @ 0,470 
 
 sen C = cateto oposto a	C 
hipotenusa
 = c 
a
 = 15 cm 
17 cm
 @ 0,882 
 
Exemplo 11: 
 Vamos calcular o seno de cada ângulo do triângulo DEF de catetos 6 cm e 8 cm. 
 Antes precisamos determinar a medida da hipotenusa d: 
 
d = e2+ f2 = 62+ 82 
 
d = 10 cm 
 
 Agora temos: 
 
sen E = e 
d
 = 6
10
 = 3
5
 
 
 sen F = f 
d
 = 8
10
 = 4
5
 
 
 
 
 Observe a seguir o triângulo D’E’F’, com hipotenusa medindo 5 cm e catetos com medidas 
3 cm e 4 cm. 
 
 
 
DDEF ~ DD’E’F’ 
 
sen E = 3 cm
5 cm
 = 3
5
 
 
 sen F = 4 cm
5 cm
 = 4
5
 
 
 Como os triângulos são semelhantes, há congruência entre ângulos que se correspondem: 
 
E º E' e F º F' 
 
 O fato de sen E = sen E' e sen F = sen F' sugere invariância do seno de qualquer ângulo: 
independente do “tamanho” de cada triângulo, o ângulo E (que mede aproximadamente 37º) possui o 
seno valendo 0,6 e o ângulo F (que mede aproximadamente 53º) possui o seno valendo 0,8. 
 
Vivi te ajuda! @viviteajuda facebook.com/viviteajuda 
	
	 11 
 Justifica-se, assim, a existência de uma tabela contendo o valor do seno de 
cada ângulo agudo (tomadas quantidades inteiras de graus). 
 Veja uma parte da tabela: 
 
Ângulo Seno 
1º 0,01745 
2º 0,03490 
3º 0,05234 
... ... 
36º 0,58779 
37º 0,60182 
38º 0,61566 
... ... 
52º 0,78801 
53º 0,79864 
... ... 
88º 0,99939 
89º 0,99985 
 
 É importante notar que, conforme aumenta a medida do ângulo, cresce 
também – de modo não linear – o valor do seno do ângulo agudo. 
 Essa tabela apresenta caráter biunívoco: a cada ângulo agudo corresponde 
um único valor do seno e, reciprocamente, a cada valor de seno associa-se um único 
ângulo agudo. 
 
COsseno de um ângulo agudo 
 
 Num triângulo retângulo, o cosseno de um ângulo agudo é dado pela razão 
entre o cateto adjacente a esse ângulo e a hipotenusa. 
 
 
 
cos x = cateto adjacente a x 
hipotenusa
 
 
 No caso, temos: 
 
cos B = c 
a
 e cos C = b 
a
 
 
 Veja um exemplo. 
 
Exemplo 12: 
 Determine o cosseno de cada ângulo agudo do triângulo DEF. 
 
 
Vivi te ajuda! @viviteajuda facebook.com/viviteajuda 
	
	 12 
 Temos: 
 
cos D = cateto adjcente a	D 
hipotenusa
 = 2 6
7
 
 
cos E = cateto adjcente a	E 
hipotenusa
 = 5
7
 
 
 O cosseno de um determinado ângulo agudo também não depende do 
particular triângulo retângulo tomado para calculá-lo. 
 Assim, é possível incluir os valores dos cossenos dos ângulos na tabela citada 
anteriormente, a qual também mostra caráter biunívoco entre a medida de cada 
ângulo agudo e o valor do respectivo cosseno. Porém, diferentemente do seno, o 
cosseno de um ângulo agudo decresce à proporção que aumentaa medida do ângulo. 
 Veja outro exemplo abaixo. 
 
Exemplo 13: 
 Para calcular os cossenos dos ângulos do triângulo GHI, fazemos: 
 
 
 
cos I = 6
3 5
 = 2
5
 = 2 5
5
 
 
cos G = 3
3 5
 = 1
5
 = 5
5
 
 
 Se, por outro lado, calcularmos os senos dos ângulos agudos dos triângulos GHI, obteremos: 
 
sen I = 3
3 5
 = 5
5
 
 
sen G = 6
3 5
 = 2 5
5
 
 
 Observemos que sen I = cos G e sem G = cos I. 
 
 Lembrando que os ângulos agudos de um triângulo retângulo são 
complementares, surge uma propriedade importante envolvendo senos e cossenos: 
 
sen x = cos (90º - x) 
 
ou 
 
cos x = sen (90º - x) 
 
Relação fundamental I 
 
 Seja o triângulo ABC a seguir. 
 
 
 
 Sabemos, pelo teorema de Pitágoras, que b2 + c2 = a2. 
 Dividindo, membro a membro, por a2, obtemos: 
Vivi te ajuda! @viviteajuda facebook.com/viviteajuda 
	
	 13 
b2	+ c2
a2
 = a
2
a2
 ® b
2
a2
 + c
2
a2
 = 1 ® b
a
2
 + c
a
2
 = 1 ® sen2 B + cos2 B = 1 
 
 De modo geral, podemos escrever, para um ângulo x qualquer: 
 
sen2 x + cos2 x = 1 
 
que é chamada relação fundamental I. 
 Observe alguns exemplos. 
 
 Exemplo 14: 
 Tomemos, para exemplificar, um ângulo de 32º e, mediante o uso da tabela, comprovemos a 
relação fundamental I. 
 Temos: 
 
sen 32º = 0,52992 ® sen2 32º = 0,28081 
 
cos 32º = 0,84805 ® cos2 32º = 0,71918 
 
sen2 32º + cos2 32º = 0,28081 + 0,71918 = 0,9999 @ 1 
 
Exemplo 15: 
 A relação fundamental I permite que, dada uma das duas razões de um ângulo agudo, 
determinemos o valor da outra razão trigonométrica do mesmo ângulo. 
 Dado, por exemplo, cos x = 0,17365, é possível determinar, sem o uso da tabela, o valor de 
sem x com 0º < x £ 90º. Basta fazer: 
 
sen2 x + 0,173652 = 1 ® sen2 x = 1 – 0,03015 = 0,96985 ® sen x = + 0,96985 = 0,984809 
 
tangente de um ângulo agudo 
 
 Num triângulo retângulo, a tangente de um ângulo agudo é dada pela razão 
entre o cateto oposto a esse ângulo e o cateto adjacente a ele. 
 
 
 
tg x = cateto oposto a x 
cateto adjacente a x
 
 
 No caso, temos: 
 
tg B = b 
c
 e tg C = c 
b
 
 
 Veja um exemplo. 
 
Exemplo 16: 
 Não é necessário que conheçamos a hipotenusa para achar tg B e tg C. 
 Veja: 
 
 
Vivi te ajuda! @viviteajuda facebook.com/viviteajuda 
	
	 14 
tg B = 9 
5
 
 
e 
 
tg C = 5
9
 
 
 Podemos notar que as tangentes dos ângulos agudos são inversas uma da outra. 
 
 Lembrando que os ângulos B e C são complementares, podemos escrever, 
generalizando: 
 
tg x . tg (90º - x) = 1 
 
ou 
 
tg (90º - x) = 1
tg x
 
 
Relação fundamental II 
 
 Observe o triângulo ABC abaixo. Podemos escrever tg B = b 
c
. 
 
 
 
 Dividindo simultaneamente o numerador e o denominador da fração por a 
(medida da hipotenusa do triângulo), obtemos: 
 
tg B = 
b
a 
c
a
, ou seja, tg B = sen	B 
cos	B
 
 
 De modo geral, escrevemos: 
 
tg x = sen x 
cos x
, para todo ângulo agudo x. 
 
É a chamada relação fundamental II. 
 Observe o exemplo abaixo. 
 
Exemplo 17: 
 Vamos à tabela completa. 
 Seja x = 29º. Temos sem 29º = 0,48481 e cos 29º = 0,87462. 
 Dividindo 0,48481 por 0,87462, obtemos: 
 
0,48481 : 0,87462 = 0,5543 = tg 29º 
 
Ângulos notáveis 
 
 Faremos agora algumas considerações importantes com relação aos ângulos 
de 30º, 45º e 60º, chamados ângulos notáveis. 
 
• Há triângulos retângulos que apresentam um ângulo agudo de 30º 
(consequentemente, o outro ângulo agudo mede 60º). Procuraremos 
calcular os valores das razões trigonométricas de 30º e 60º. Para tanto, 
Vivi te ajuda! @viviteajuda facebook.com/viviteajuda 
	
	 15 
construiremos um triângulo equilátero ABC de lado ℓ, traçando sua altura 
AH, de medida h. 
 
 
 
Temos: 
 
BH = CH = ℓ 
2
 
 
BÂH = CÂH = 30º 
 
Pelo teorema de Pitágoras, aplicado no DAHC, obtemos: 
 
h2 = ℓ 2 - ℓ
2
2
 ® h = ℓ 3
2
 
 
Podemos, assim, determinar as razões procuradas: 
 
o sen 30º = 
ℓ
2
ℓ
 ® sen 30º = cos 60º = 1
2
 
o cos 30º = h
ℓ
 ® cos 30º = 
ℓ 3
2
ℓ
 ® cos 30º = sen 60º = 3
2
 
o tg 60º = hℓ
2
 = 
ℓ 3
2
ℓ
2
 ® tg 60º = 3 
o tg 30º = 1
tg 60º
 = 1
3
 . 3
3
 ® tg 30º = 3
3
 
 
Observações! 
• Uma consequência importante: “Se um triângulo retângulo possui um ângulo de 
30º, a hipotenusa mede o dobro do cateto oposto a esse ângulo.” 
 
 
 
 
• Há triângulos retângulos que apresentam os dois ângulos medindo, cada 
um, 45º. Vejamos o triângulo retângulo isósceles ABC, de catetos iguais a 
ℓ e hipotenusa a. Calcularemos os valores das razões trigonométricas de 
45º. 
 
 
Vivi te ajuda! @viviteajuda facebook.com/viviteajuda 
	
	 16 
Pelo teorema de Pitágoras, obtemos: 
 
a2 = ℓ 2 + ℓ 2 = 2ℓ 2 ® a = ℓ 2	
 
Assim, sen 45º = ℓ
ℓ &
 = 1
2
 = 2
2
 ® sen 45º = cos 45º = 2
2
. 
Temos também tg 45º = sen 45º 
cos 45º
 ® tg 45º = 1. 
Resumindo, temos a seguinte tabela: 
 
 30º 45º 60º 
sen 1
2 
2
2 
3
2 
cos 3
2 
2
2 
1
2 
tg 3
3 
1 3 
 
#DICADAVIVI 
• Para aprender como gravar esta tabela assista o vídeo 
https://www.youtube.com/watch?v=2FiCKoPBfZQ! 
 
 
Exercícios 
 
1. Considerando as medidas indicadas na figura a seguir, determine o valor de x. 
 
 
 
2. Na figura a seguir, temos: AB = 12 cm, AC = 13 cm e BC = 15 cm. Além disso, o 
segmento DE = 5 cm é paralelo ao segmento BC. Determine: 
 
 
 
a. A medida de AD; 
b. A medida de AE. 
 
Vivi te ajuda! @viviteajuda facebook.com/viviteajuda 
	
	 17 
3. Em cada caso temos DABC ~ DA’B’C’. Determine as medidas x e y. 
a. 
 
b. 
 
c. 
 
d. 
 
4. Na figura BC // DE // FG. 
 
 
 
Sabendo que AD = DF = 2 DB, determine CE, AE e CG. 
5. Determine a razão entre os perímetros dos triângulos (do menor para o maior) da 
figura abaixo, sabendo que r // s. 
 
 
 
6. Calcule o valor de x aplicando o teorema de Pitágoras: 
a. 
 
b. 
 
Vivi te ajuda! @viviteajuda facebook.com/viviteajuda 
	
	 18 
c. 
 
d. 
 
 
7. Aplicando o teorema de Pitágoras, determine as medidas de x e y indicadas. 
a. 
 
b. 
 
c. 
 
 
8. As diagonais de um losango medem 12 cm e 16 cm. 
a. Determine a medida do lado desse losango; 
b. Calcule a área desse losango. 
 
9. A diagonal de um quadrado mede 10 2 cm. Qual é a medida do lado desse 
quadrado? 
 
10. O perímetro de um retângulo é 68 cm. Um dos lados desse retângulo mede 10 
cm. Calcule a medida da diagonal do retângulo. 
 
11. O lado de um triângulo equilátero tem a mesma medida que a diagonal de um 
quadrado com 25 cm de lado. Calcule a medida da altura desse triângulo. 
 
12. Na figura abaixo, cada circunferência, tem 1,5 cm de raio. Determine a área do 
triângulo ABC. 
 
 
 
13. Uma escada de 2,5 m de comprimento estava apoiada em um muro, do qual o pé 
da escada distava 70 cm. O pé afastou-se 80 cm de onde se encontrava. Quantos 
centímetros a parte superior da escada se deslocou para baixo? 
Vivi te ajuda! @viviteajuda facebook.com/viviteajuda 
	
	 19 
 
14. Os catetos de um triângulo retângulo medem 5 cm e 12 cm. Calcule o valor do 
seno de cada ângulo agudo desse triângulo. 
 
15. Determine o seno do ângulo agudo assinalado em cada caso. 
a. 
 
b. 
 
c. 
 
d. 
 
 
16. Os catetos de um triângulo medem 7 cm e 24 cm. Determine o valor do cosseno 
de cada ângulo agudo desse triângulo. 
 
17. Em cada caso são apresentadas medidas dos lados de um triângulo retângulo 
nos quais a representa a hipotenusa e b e c, os catetos. Determine o cosseno de 
cada um dos ângulos agudos, B e C, opostos, respectivamente, a b e a c. 
a. b = 3 cm e c = 4 cm 
b. a = 12 cm e b = 7 cm 
c. a = 25 m e b = 7 m 
d. a = 61 m e c = 60 m 
 
18. Seja o ângulo a tal que cos a = 3
7
. Determine sen a. 
 
19. Se b é ângulo agudo tal que sen b = 7
3
, quanto vale cos b? 
 
20. Num triângulo retângulo, os catetos medem 6 cm e 5 cm. Determine o valor da 
tangente de cada ângulo agudo desse triângulo. 
 
21. Se x é agudoe sen x = 1
3
, quanto vale cos x? E tg x? 
 
22. Encontre o valor de x em cada caso: 
Vivi te ajuda! @viviteajuda facebook.com/viviteajuda 
	
	 20 
a. 
 
b. 
 
c. 
 
d. 
 
23. (ENEM 2009) Ao morrer, o pai de João, Pedro e José deixou como herança um 
terreno retangular de 3 km x 2 km que contém uma área de extração de ouro 
delimitada por um quatro de círculo de raio 1 km a partir do canto inferior esquerdo 
da propriedade. Dado o maior valor da área de extração de ouro, os irmãos 
acordaram em repartir a propriedade de modo que cada um ficasse com a terça 
parte da área de extração, conforme mostra a figura. 
 
 
 
Em relação à partilha proposta, constata-se que a porcentagem da área do terreno 
que coube a João corresponde, aproximadamente, a: 
(Considere 3
3
 = 0,58) 
A 50% B 43% C 37% D 33% E 19% 
 
24. (ENEM 2009) Considere um ponto P em uma circunferência de raio r no plano 
cartesiano. Seja Q a projeção ortogonal de P sobre o eixo x, como mostra a figura, 
e suponha que o ponto P percorra, no sentido anti-horário, uma distância d ≤ r 
sobre a circunferência. 
Vivi te ajuda! @viviteajuda facebook.com/viviteajuda 
	
	 21 
 
 
 
Então, o ponto Q percorrerá, no eixo x, uma distância dada por: 
A r 1	–	sen d
r
 
B r 1	-	cos d
r
 
C r 1	-	tg d
r
 
D rsen r
d
 
E rcos r
d
 
 
25. (ENEM 2010) Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343 quilômetros a 
Noroeste de São Paulo), na noite do último domingo, caiu nesta segunda-feira em 
Cuiabá Paulista, na região de Presidente Prudente, assustando agricultores da 
região. O artefato faz parte do programa Projeto Hibiscus, desenvolvido por Brasil, 
França, Argentina, Inglaterra e Itália, para a medição do comportamento da 
camada de ozônio, e sua descida se deu após o cumprimento do tempo previsto 
de medição. 
Disponível em: http://www.correiodobrasil.com.br. Acesso em: 02 maio 2010. 
 
 
 
Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão. Uma estava a 1,8 km da 
posição vertical do balão, alinhada com a primeira, e no mesmo sentido, conforme 
se vê na figura, e o avistou sob um ângulo de 30º. 
Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão? 
A 1,8 km 
B 1,9 km 
C 3,1 km 
D 3,7 km 
E 5,5 km 
 
26. (ENEM PPL 2010) Um arquiteto está fazendo um projeto de iluminação de 
ambiente e necessita saber a altura que deverá instalar a luminária ilustrada na 
figura. 
Vivi te ajuda! @viviteajuda facebook.com/viviteajuda 
	
	 22 
 
 
 
Sabendo-se que a luminária deverá iluminar uma área circular de 28,26 m2, 
considerando p @ 3,14, a altura h será igual a : 
A 3 m 
B 4 m 
C 5 m 
D 9 m 
E 16 m 
 
27. (ENEM 2011) Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante 
utilizou o seguinte procedimento: a partir de um ponto A, mediu o ângulo visual a 
fazendo mira em um ponto fixo P da praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, 
ele seguiu até um ponto B de modo que fosse possível ver o mesmo ponto P da 
praia, no entanto sob um ângulo visual 2a. A figura ilustra essa situação: 
 
 
 
Suponha que o navegante tenha medido o ângulo a = 30º e, ao chegar ao ponto 
B, verificou que o barco havia percorrido a distância AB = 2 000 m. Com base 
nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a menor distância do barco até o 
ponto fixo P será: 
A 1 000 m 
B 1 000 3 m 
C 2 000 3
3
 m D 2 000 m 
E 2 000 3 m 
 
28. (ENEM 2013) As torres Puerta de Europa são duas torres inclinadas uma contra 
a outra, construídas numa avenida de Madri, na Espanha. A inclinação das torres 
é de 15º com a vertical e elas têm, cada uma, uma altura de 114 m (a altura é 
indicada na figura como segmento AB). Estas torres são um bom exemplo de um 
prisma oblíquo de base quadrada e uma delas pode ser observada na imagem. 
 
Vivi te ajuda! @viviteajuda facebook.com/viviteajuda 
	
	 23 
 
Disponível em: www.flickr.com. Acesso em: 27 mar. 2012. 
 
Utilizando 0,26 como valor aproximado para a tangente de 15º e duas casas decimais 
nas operações, descobre-se que a área da base desse prédio ocupa na avenida um 
espaço: 
A Menor que 100 m2 
B Entre 100 m2 e 300 m2 
C Entre 300 m2 e 500 m2 
D Entre 500 m2 e 700 m2 
E Maior que 700 m2 
 
29. (ENEM 2014) Diariamente uma residência consome 20 160 Wh. Essa residência 
possui 100 células solares retangulares (dispositivos capazes de converter a luz 
solar em energia elétrica) de dimensões 6 cm x 8 cm. Cada uma das tais células 
produz, ao longo do dia, 24 Wh por centímetro de diagonal. O proprietário dessa 
residência quer produzir, por dia, exatamente a mesma quantidade de energia que 
sua casa consome. 
Qual deve ser a ação desse proprietário para que ele atinja o seu objetivo? 
A Retirar 16 células 
B Retirar 40 células 
C Acrescentar 5 células 
D Acrescer 20 células 
E Acrescentar 40 células 
 
30. (ENEM PPL 2014) Um artista deseja pintar em um quadro uma figura na forma 
de triângulo equilátero ABC de lado 1 metro. Com o objetivo de dar um efeito 
diferente em sua obra, o artista traça segmentos que unem os pontos médios D, 
E e F dos lados BC, AC e AB, respectivamente, colorindo um dos quatro triângulos 
menores, como mostra a figura. 
 
 
Vivi te ajuda! @viviteajuda facebook.com/viviteajuda 
	
	 24 
 
Qual é a medida da área pintada, em metros quadrados, do triângulo DEF? 
A 1
16
 B 3
16
 C 
1
8
 D 3
8
 E 3
4
 
 
31. (ENEM PPL 2014) Um construtor pretende murar um terreno e, para isso, precisa 
calcular o seu perímetro. O terreno está representado no plano cartesiano, 
conforme a figura, no qual foi usada a escala 1 : 500. Use 2,8 como aproximação 
para 8. 
 
 
 
De acordo com essas informações, o perímetro do terreno, em metros, é: 
A 110 B 120 C 124 D 130 E 144 
 
32. (ENEM 3ª aplicação 2016) Um casal e seus dois filhos saíram, com um corretor 
de imóveis, com a intenção de comprar um lote onde futuramente construiriam sua 
residência. No projeto da casa, que esta família tem em mente, irão necessitar de 
uma área de pelo menos 400 m2. Após algumas avaliações, ficaram de decidir 
entre os lotes 1 e 2 da figura, em forma de paralelogramos, cujos preços são 
R$ 100 000,00 e R$ 150 000,00, respectivamente. 
 
 
 
Use 3
2
, 1
16
 e 1,7 como aproximações, respectivamente, para sen(60º), cos(60º) e 3. 
Para colaboraram na decisão, os envolvidos fizeram as seguintes argumentações: 
 
Vivi te ajuda! @viviteajuda facebook.com/viviteajuda 
	
	 25 
Pai: Devemos comprar o Lote 1, pois como uma de suas diagonais é maior do que 
as diagonais do Lote 2, o Lote 1 também terá maior área; 
Mãe: Se desconsiderarmos os preços, poderemos comprar qualquer lote para 
executar nosso projeto, pois tendo ambos o mesmo perímetro, terão também a 
mesma área. 
Filho 1: Devemos comprar o Lote 2, pois é o único que tem área suficiente para a 
execução do projeto; 
Filho 2: Devemos comprar o Lote 1, pois como os dois lotes possuem lados de 
mesma medida, terão também a mesma área, porém o Lote 1 é mais barato; 
Corretor: Vocês devem comprar o Lote 2, pois é o que tem menor custo por metro 
quadrado. 
 
A pessoa que argumentou corretamente para a compra do terreno foi o(a): 
A Pai 
B Mãe 
C Filho 1 
D Filho 2 
E Corretor 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vivi te ajuda! @viviteajuda facebook.com/viviteajuda 
	
	 26 
Lista 52 
Gabarito 
 
Exercícios 
 
1. x = 16 cm 
2. 
a. AD = 4 cm b. AE = 13
3
 cm 
3. 
a. x = 90º e y = 8 
b. x = 8 e y = 14 
c. x = a e y = 8
3
 
d. x = 24
5
 e y = 25
4
 
4. CE = 3 cm, AE = 6 cm, CG = 9 cm 
5. 2
3
 
6. 
a. x = 9 b. x = 5 2 c. x = 11 d. x = 3 
7. 
a. x = 15 e y – 20 b. x = 6 c. x = 3 3 
8. 
a. O lado desse losango mede 10 cm. 
b. Esse losango tem 96 cm2. 
9. O lado desse quadrado mede 10 cm. 
10. A diagonal desse retângulo mede 26 cm. 
11. A altura desse triângulo mede 25 6
2
 cm.12. O triângulo ABC tem 2,25 3 cm2. 
13. A parte superior da escada se deslocou 40 cm para baixo. 
14. Os senos dos ângulos desse triângulo medem 5
13
 e 12
13
. 
15. 
a. 2
7
 b. 5 41
41
 c. 
7
25
 d. 7 74
74
 
Vivi te ajuda! @viviteajuda facebook.com/viviteajuda 
	
	 27 
16. Os cossenos dos ângulos desse triângulo medem 7
25
 e 24
25
. 
17. 
a. cos B = 4
5
 e cos C = 3
5
 
b. cos B = 95
12
 e cos C = 7
12
 
c. cos B = 24
25
 e cos C = 7
25
 
d. cos B = 60
61
 e cos C = 11
61
 
18. sen a = 2 10
7
 
19. cos b = 2
3
 
20. As tangentes dos ângulos desse triângulo medem 6
5
 e 5
6
. 
21. cos x = 2 2
3
 e tg x = 2
4
 
22. 
a. x = 15
4
 
b. x = 10 
c. x = 11 2 
d. x = 5 
23. E 24. B 25. C 26. B 27. B 28. E 29. A 30. B 31. C 32. C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vivi te ajuda! @viviteajuda facebook.com/viviteajuda 
	
	 28 
Lista 52 
Bibliografia 
 
• GALDONNE, Linos. Projeto Apoema Matemática 9. 2ª edição. São Paulo: 
Editora do Brasil, 2015. 
• IEZZI, Gelson. DOLCE, Osvaldo. DEGENSZAJN, David. PÉRIGO, Roberto. 
Matemática – Volume único. 5ª edição. São Paulo: Atual editora, 2011. 
• BIANCHINI, Edwaldo. Matemática: 9º ano. 6ª edição. São Paulo: Moderna, 2011. 
• BIGODE, Antônio José Lopes. Matemática do cotidiano: 9º ano. 1ª edição. São 
Paulo: Scipione, 2015. 
• http://portal.inep.gov.br/provas-e-gabaritos. Acesso em: 18 de outubro de 2017.