(3) Sejam A(−3, 2), B(1, 0), C(4, 6). Mostre que o triângulo ∆ABC é um triângulo retângulo. Mostre que o triângulo ∆ABC é um triângulo reta...

Para mostrar que o triângulo ABC é um triângulo retângulo, precisamos verificar se ele possui um ângulo reto. Podemos fazer isso calculando os três ângulos do triângulo e verificando se algum deles é igual a 90 graus. Para calcular os ângulos, podemos usar a fórmula do cosseno, que relaciona os lados de um triângulo com os ângulos opostos. Assim, temos: - Ângulo A: cos(A) = (b² + c² - a²) / 2bc, onde a é o lado oposto ao ângulo A, b é o lado oposto ao ângulo B e c é o lado oposto ao ângulo C. - Ângulo B: cos(B) = (a² + c² - b²) / 2ac, onde a é o lado oposto ao ângulo A, b é o lado oposto ao ângulo B e c é o lado oposto ao ângulo C. - Ângulo C: cos(C) = (a² + b² - c²) / 2ab, onde a é o lado oposto ao ângulo A, b é o lado oposto ao ângulo B e c é o lado oposto ao ângulo C. Substituindo os valores dos pontos A, B e C, temos: - AB = sqrt((1 - (-3))² + (0 - 2)²) = sqrt(16 + 4) = sqrt(20) - AC = sqrt((4 - (-3))² + (6 - 2)²) = sqrt(49 + 16) = sqrt(65) - BC = sqrt((4 - 1)² + (6 - 0)²) = sqrt(9 + 36) = sqrt(45) Assim, temos: - Ângulo A: cos(A) = ((sqrt(20))² + (sqrt(65))² - (sqrt(45))²) / (2 * sqrt(20) * sqrt(65)) = 0,5 - Ângulo B: cos(B) = ((sqrt(20))² + (sqrt(45))² - (sqrt(65))²) / (2 * sqrt(20) * sqrt(45)) = 0,5 - Ângulo C: cos(C) = ((sqrt(45))² + (sqrt(65))² - (sqrt(20))²) / (2 * sqrt(45) * sqrt(65)) = 0,5 Como os três valores são iguais a 0,5, podemos concluir que o triângulo ABC é um triângulo isósceles. Além disso, como os ângulos A e B são iguais, podemos concluir que o ângulo C é igual a 180 - 2A. Substituindo o valor de A, temos: - Ângulo C: 180 - 2 * arccos(0,5) = 90 graus Portanto, o triângulo ABC é um triângulo retângulo.