Plano de Aula PO1 Capitulo 2 - Revisão Algebra

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Apostila de Exercícios da 
Disciplina de Pesquisa 
Operacional I 
Capítulo 2 – Revisão Álgebra Linear 
Luís Alberto Duncan Rangel 
Depto. de Engenharia de Produção da EEIMVR 
Universidade Federal Fluminense 
luisduncan@id.uff.br 
Volta Redonda, RJ 
SUMÁRIO 
2. Revisão de Álgebra Linear – Matrizes: 
2.1. Introdução - Notação: 
2.2. Matriz qualquer; 
2.3. Matriz nula; 
2.4. Matriz quadrada; 
2.5. Matriz identidade; 
2.6. Matriz transposta; 
2.7. Operações com Matrizes: 
2.7.1. Adição de Matrizes; 
2.7.2. Multiplicação de Matriz por um Escalar; 
2.7.3. Multiplicação de Matrizes 
2.7.4. Determinante de uma Matriz; 
2.8. Matriz Singular; 
2.9. Matriz Não Singular; 
2.10. Matriz inversa 
2.11. Utilização do software Excel. 
2.11.1 Transposta de uma Matriz; 
2.11.2 Soma de matrizes; 
2.11.3 Determinante de uma Matriz; 
2.11.4 Multiplicação de Matriz por um Escalar; 
2.11.5 Multiplicação de Matrizes; 
2.11.6 Matriz inversa; 
2.12. Exercício sobre matrizes através do Excel; 
SUMÁRIO 
2.13. Sistemas de equações lineares; 
2.13.1 Solução através do produto da inversa da 
matriz pelo vetor C; 
2.13.2 Solução do sistema por adição das equações; 
2.13.3 Solução do sistema por substituição; 
2.13.4 Solução do sistema pelo método de Gaus-
Jordan; 
2.14. Representação de retas no plano e interseção 
de retas no plano; 
2.15. Exercícios: Determinação de interseções de 
retas no plano. 
 
SUMÁRIO 
2.16 Representação de Inequação no Plano; 
2.17 Determinação de Região Viável de 
Inequações no Plano; 
2.18 Exercício sobre interseção de inequações no 
plano; 
2.19 Software Winplot; 
2.20 Determinação da Equação da Reta. 
 
SUMÁRIO 
Pretende-se nesta revisão de álgebra linear, fazer uma 
breve apresentação da notação de matrizes, dos tipos de 
matrizes e algumas operações com matrizes, tais como, 
transformações lineares, que serão muito úteis na resolução 
de problemas de programação linear empregando o 
algoritmo Simplex. 
Para uma revisão completa consultar a seguinte referência 
bibliográfica: 
Kolman, B. Introdução a Álgebra Linear com Aplicações. 7a 
ed. Rio de Janeiro, Ed. Prentice-Hall do Brasil, 1998. 
Lay, D.C. Álgebra Linear e suas Aplicações. 2a ed. Rio de 
Janeiro, Ed. LTC S.A., 1999. 
2.1 Introdução - Notação 
Uma matriz é definida como sendo um conjunto de números 
complexos ou reais, dispostos ordenadamente, em forma 
retangular ou quadrada. Uma matriz pode ser representada 
da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
Nesta revisão, considera-se que os elementos da matriz aij  
R, isto é, assumam somente valores reais, e que i = 1, 2, 
..., m e j = 1, 2, ..., n. Em cada elemento da matriz aij, i 
representa a i-ésima linha e j representa a j-ésima coluna. 
Desta forma, uma matriz A com a notação Amxn informa que 
a matriz A possui m linhas e n colunas. 
2.1 Introdução - Notação 
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
............
...
...
21
22221
11211

Diz-se que B é uma matriz qualquer. 
B é uma matriz qualquer de três linhas (m) e 
cinco colunas (n). 
 
 
 
 
 
2.2 Matriz Qualquer 
87531
09876
54321
53 xB
Diz-se que C é uma matriz nula de duas linhas (m) e 
quatro colunas (n). 
Uma matriz é nula quando todos os seus elementos da 
matriz são nulos. 
 
 
2.3 Matriz Nula 
0000
0000
42 xC
Diz-se que D é uma matriz quadrada, quando o número de 
linhas (m) e colunas da matriz (n) são iguais. 
D é uma matriz quadrada de ordem 4. 
2.4 Matriz Quadrada 
11852
9630
8642
7531
44 xD
Uma matriz identidade é uma matriz quadrada e nesta 
matriz todo elemento da diagonal principal é igual a 1 e 
todos os outros elementos da matriz, fora da diagonal 
principal, são zeros. E1 é uma matriz identidade de ordem 3, 
e E2 é uma matriz quadrada de ordem 5. 
2.5 Matriz Identidade 
100
010
001
1 33 xE
10000
01000
00100
00010
00001
2 55 xE
Dada uma matriz qualquer F, diz-se que a matriz transposta 
desta matriz é uma nova matriz obtida, invertendo-se linhas 
por colunas e as colunas por linha de forma ordenada. 
Por exemplo, dada a matriz F, a matriz transposta de F é 
denotado por FT e tem como resultado: 
2.6 Matriz Transposta 
09
87
65
43
21
25 xF
08642
97531
52 x
TF
2.7.1 Adição de Matrizes: 
A adição de matrizes só pode ser realizada quando o 
número de linhas e colunas da primeira matriz (G) for igual 
ao número de linhas e colunas, respectivamente, da 
segunda matriz (H). Os elementos da matriz resultante (R) 
serão obtidos somando-se os elementos de mesma posição 
da primeira e da segunda matriz. Desta forma, a matriz R 
resultante da soma de G com H é: 
2.7 Operações com Matrizes 
654
321
32 xG 654
321
32 xH
12108
642
32 xR
2.7.2 Multiplicação de uma Matriz por um Escalar: 
A multiplicação de um número por uma matriz terá como 
resultado o produto de número por cada elemento da 
matriz. Por exemplo, multiplicando o número dois pela 
matriz J, obtém-se a matriz K.  =2 (escalar). K = 2 * J: 
 
2.7 Operações com Matrizes 
103
654
987
321
34 xJ
206
12108
181614
642
34 xK
2.7.3 Multiplicação de uma Matriz por uma Matriz: 
A operação de multiplicação de duas matrizes só poderá ser 
realizada quando o número de colunas da primeira matriz 
(n1) for igual ao número de linhas da segunda matriz (m2). 
A matriz resultante deste produto terá como dimensão o 
número de linhas da primeira matriz (m1) e o número de 
colunas da segunda matriz (n2). Desta forma, uma matriz 
L2x3 multiplicada pela matriz M3x4 terá como resultado a 
matriz N2x4. A ordem da operação não pode ser alterada. 
N2x4 = L2x3 x M3x4. 
2.7 Operações com Matrizes 
2.7.3 Multiplicação de uma Matriz por uma Matriz: 
A ordem da operação de multiplicação não pode ser 
alterada, pois a operação pode não ser viável. 
N = L x M. 
2.7 Operações com Matrizes 
:
8765
4112
1201
210
321
4332 resultadocomoteráMdamultiplicaL xx 
824110721120621100522110
834211731221631201532211
42
xxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxx
N x



20151312
33252020
42 xN
2.7.4 Determinante de uma Matriz: 
Por definição, o determinante de uma matriz só pode ser 
calculado se a matriz for quadrada. O valor obtido é um 
valor real que é associado a matriz. 
Utiliza-se det M como sendo a notação para representar o 
determinante de uma Matriz. Por exemplo, dada uma matriz 
A3x3: 
 
 
 
 
Repete-se as duas primeiras colunas, traça-se três setas 
para baixo e três setas para cima de tal forma a interceptar 
três elementos da matriz de cada vez: 
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A 
2.7 Operações com Matrizes 
2.7.4 Determinante de uma Matriz: 
Repete-se as duas primeiras colunas, traça-se três setas 
para baixo, somando-se os produtos de cada multiplicação, 
e três setas para cima, subtraindo os produtos de cada 
multiplicação. Assim, por exemplo, dada a matriz A, verifica-
se o calculo do determinante da matriz A, da seguinte 
forma: 
 
 
 
det A = 1x5x9 + 2x6x7 + 4x4x8 – 7x5x4 – 8x6x1 – 9x4x2 = 
det A = 45 + 84 + 128 – 140 – 48 – 72 = 257 – 260 = 
det A = -3 
2.7 Operações com Matrizes 
8
5
2
7
4
1
987
654
421
det A
987
654
421
A
Uma Matriz Singular é uma matriz quadrada que apresenta o 
determinante igual a zero. 
 
 
 
 
 
 
det B = 1x5x9 + 2x6x7 + 3x4x8 – 7x5x3 – 8x6x1 – 9x4x2 = 
det B = 45 + 84 + 96 – 105 – 48 – 72 = 225 – 225 = 
det B = 0. 
2.8 Matriz Singular 
8
5
2
7
4
1
987
654
321
det B
Uma Matriz Não-Singular é uma matriz quadrada que 
apresenta o determinante diferente de zero. 
 
 
 
 
 
 
det C = 1x1x5 + 2x6x4 + 2x1x3 – 4x1x2 – 3x6x1 – 5x1x2 = 
det C = 5 + 48 + 6 – 8 – 18 – 10 = 59 – 36 = 
det C = 23 
2.9 Matriz Não-Singular 
3
1
2
4
1
1
534
611
221
det C
Dada uma matriz quadrada E, com determinante de E 
diferente de zero, o produto da matriz E pela sua inversa E-1, 
resulta na matriz identidade I de ordem igual a da matriz E. 
det.E = 6. 
 
2.10Matriz Inversa 
167,01667,1
167,01333,1
167,02333,3
33
1



 xE
402
253
132
33 xE
10152
1761169
16101
. 33
1
33



 
E
EE
E
EEI xx
Uma matriz só é inversível se seu determinante for diferente 
de zero (matriz não-singular). Só podemos calcular a matriz 
inversa de uma matriz quadrada. 
Existem diferentes formas de se calcular a matriz inversa de 
uma matriz, a seguir será empregada o procedimento que 
utiliza a seguinte seqüencia de cálculo: Dada uma matriz H e 
ao seu lado a matriz identidade I, isto é, “H.I” realizando 
transformação lineares para obter na posição de H a matriz 
identidade I, com estas transformação lineares, ao seu lado 
surge a matriz inversa de H-1, na posição da matriz 
identidade. 
2.10 Matriz Inversa 
Assim, dada as matrizes “ H . I”, por transformação linear 
obtemos as matrizes “ I . H-1”, se a matriz H for não-singular. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por transformação linear (TL), fazendo, L2 = L2 – L1, e 
L3 = L3 – 4*L1, temos: 
2.10 Matriz Inversa 
534
611
221
33 xH
100
010
001
33 xI
3
2
1
100534
010611
001221
. 3333
L
L
L
IH xx 
 
 
 
 
Por TL fazendo: L2 = L2/(-1), temos: 
 
 
 
 
Por TL fazendo: L1 = L1 - (2)*L2, e L3 = L3 – (-5)*L2, temos: 
 
 
2.10 Matriz Inversa 
3
2
1
104350
011410
001221
. 3333
L
L
L
IH xx


3
2
1
104350
011410
001221
. 3333
L
L
L
IH xx


3
2
1
104350
011410
0211001
. 3333
L
L
L
IH xx




 
 
 
 
Por TL fazendo: L3 = L3/(-23), temos: 
 
 
 
 
Por TL fazendo: L1 = L1 - (10)*L3, e L2 = L2 - (-4)*L3, temos: 
 
 
2.10 Matriz Inversa 
3
2
1
1512300
011410
0211001
. 3333
L
L
L
IH xx




3
2
1
04348,021739,004348,0100
011410
0211001
. 3333
L
L
L
IH xx




3
2
1
04348,021739,004348,0100
011410
434783,017391,056522,0001
. 3333
L
L
L
IH xx




Como resultado das transformações lineares, obtemos: 
 
 
 
 
Assim, temos “ I x H-1”. Se procedermos a multiplicação de 
matrizes HxH-1, obtemos a matriz identidade I. 
 
 
 
 
 
I = H x H-1. 
2.10 Matriz Inversa 
3
2
1
04348,021739,004348,0100
17391,013043,0826087,0010
434783,017391,056522,0001
. 3333
L
L
L
IH xx




534
611
221
33 xH
04348,021739,004348,0
17391,013043,0826087,0
434783,017391,0565221,0
33
1



 xH
100
010
001
33 xI
Existem diversas funções pré-definidas na planilha Excel 
que podem ser utilizadas para auxiliar a Álgebra Linear. 
Todas as exposições feitas a seguir consideram-se que 
estamos trabalhando com o Excel. 
 
2.11.1 Transposta de Matriz: 
Seleciona a matriz na planilha Excel que se quer realizar a 
sua transposta. 
Posiciona o cursor em um local da planilha, fora da área de 
edição da matriz, seleciona-se a função Editar, seleciona-se 
Colar Especial, seleciona-se a seguir Transpor e tecle Enter. 
A operação é realizada. 
 
2.11 Utilização do Software EXCEL 
2.11.1 Transposta de Matriz: 
 
2.11 Utilização do Software EXCEL 
2.11.2 Soma de Matriz: 
Após a digitação das matrizes, que queremos realizar a 
operação de adição, posiciona o cursor em um local da 
planilha, digite “=” na célula, seleciona a primeira célula da 
primeira matriz, digite “+”, seleciona a primeira célula da 
segunda matriz e tecle Enter. 
Posicionando o cursor no canto inferior a direta da célula, 
mude a forma de seleção do cursor para “+”, e arraste o 
cursor o mesmo número de células (colunas) da dimensão 
das matrizes. Posicionando o cursor no canto inferior a direta 
da última célula, mude a forma de seleção do cursor para “+” 
e arraste o cursor para baixo, mesmo numero de células da 
dimensão das matrizes e solte o cursor. Lembrando, só 
podemos proceder a soma de duas matrizes com a mesma 
dimensão, isto é, o mesmo número de linhas e colunas. 
2.11 Utilização do Software EXCEL 
2.11.2 Soma de Matriz: 
2.11 Utilização do Software EXCEL 
2.11.3 Determinante da Matriz: 
Seleciona a matriz que se quer calcular o seu determinante. 
Posicionando o cursor em uma local qualquer da planilha 
Excel, seleciona a função “fx” da planilha Excel, seleciona a 
função “Matriz.Determinante” e tecle Enter. O valor retornado 
desta operação é o determinante da matriz selecionada. 
Lembrando, só podemos calcular o determinante de matriz 
quadrada. 
2.11 Utilização do Software EXCEL 
2.11.3 Determinante da Matriz: 
2.11 Utilização do Software EXCEL 
2.11.4 Multiplicação de uma Matriz por um escalar: 
Existem dois procedimentos que podem ser utilizados, o 
primeiro, após a digitação da matriz, posicione o cursor em 
um local da planilha Excel, digite “=”, a constante que você 
quer multiplicar a matriz, por exemplo, “2” digite “*” e em 
seguida tecle na primeira posição da matriz. Posicionando o 
cursor no canto inferior a direta da célula, mude a forma de 
seleção do cursor para “+” e arraste o cursor o mesmo 
número de células (colunas) da dimensão das matrizes. 
Posicionando o cursor no canto inferior a direta da última 
célula à direita, mude a forma de seleção do cursor para “+” 
e arraste o cursor para baixo, mesmo numero de células da 
dimensão das matrizes e solte o cursor. O produto da 
constante “2” pela matriz será apresentado. 
2.11 Utilização do Software EXCEL 
2.11.4 Multiplicação de uma Matriz por um escalar: 
2.11 Utilização do Software EXCEL 
2.11.4 Multiplicação de uma Matriz por um escalar: 
O segundo procedimento que pode ser utilizado é o seguinte, 
primeiro digite matriz, depois em uma célula qualquer digite a 
constante que você quer multiplicar a matriz digitada. 
Posicione o cursor em um local da planilha Excel, digite “=”, 
selecione a celular onde foi digitado a constante que se quer 
multiplicar a matriz, em seguida tecle “F4”, irá aparecer 
“$Coluna$Linha”. A seleção da célula com a função “F4” fixa 
o valor que está na célula. Em seguida, digite “*” e selecione 
a primeira célula da matriz que se quer executar o produto. 
2.11 Utilização do Software EXCEL 
2.11.4 Multiplicação de uma Matriz por um escalar: 
Posicionando o cursor no canto inferior a direta da célula, 
mude a forma de seleção do cursor para “+” e arraste o 
cursor o mesmo número de células (colunas) da dimensão 
das matrizes. Posicionando o cursor no canto inferior a direta 
da última célula à direita, mude a forma de seleção do cursor 
para “+” e arraste o cursor para baixo, mesmo numero de 
células da dimensão das matrizes e solte o cursor. O produto 
da constante digitada na célula pela matriz será apresentado. 
A diferença destes dois procedimentos é que ao se alterar o 
valor que está na célula do segundo procedimento descrito, 
por exemplo, alterando o valor de “2” para “10”, e teclando 
Enter, o produto do valor de “10” pela matriz será 
automaticamente apresentado. 
2.11 Utilização do Software EXCEL 
2.11.4 Multiplicação de uma Matriz por um escalar: 
2.11 Utilização do Software EXCEL 
2.11.5 Multiplicação de Matrizes: 
Após a digitação das duas matrizes que se quer calcular a sua 
multiplicação, seleciona-se com o cursor a dimensão da 
matriz resultante do produto das duas matrizes, em um local 
da planilha Excel. 
Seleciona-se a função “fx” da planilha Excel, em seguida, 
seleciona-se a função “Matriz.Produto” e tecle Enter. 
Selecionando através da seta vermelha, a primeira matriz da 
caixa aberta pelo Excel. Após a sua seleção acione 
novamente a seta vermelha da primeira matriz. 
Selecionando a seta vermelha da segunda matriz da caixa 
aberta pelo Excel, seleciona a segunda matriz na planilha 
Excel, após a sua seleção acione novamente a seta vermelha 
da segunda matriz. 
2.11 Utilização do Software EXCEL 
2.11.5 Multiplicação de Matrizes: 
Em seguida tecle, “SHIFT + CTRL + ENTER” ao mesmo 
tempo, sem soltar estas teclas selecionadas. 
O produto das duas matrizes será apresentado na planilha 
Excel. 
 
2.11 Utilização do Software EXCEL 
2.11.5Multiplicação de Matrizes: 
 
2.11 Utilização do Software EXCEL 
2.11.6 Matriz Inversa: 
Após a digitação da matriz que se quer calcular a sua inversa, 
seleciona-se com o cursor a dimensão da matriz inversa, isto 
é, a mesma dimensão da matriz que se quer calcular a sua 
inversa. 
Seleciona a função “fx” da planilha Excel, seleciona a função 
“Matriz.Inversa” e tecle Enter. Selecionando a seta vermelha 
da caixa aberta pelo Excel, seleciona a matriz na planilha 
Excel, após a sua seleção acione novamente a seta vermelha 
da caixa aberta pelo Excel. 
Em seguida tecle, “SHIFT + CTRL + ENTER” ao mesmo 
tempo sem soltar estas teclas selecionadas. A matriz inversa 
será apresentada pelo Excel, se esta matriz for inversível. 
Lembrando, só podemos calcular a matriz inversa de uma 
matriz em que o seu determinante é diferente de “zero”. 
2.11 Utilização do Software EXCEL 
2.11.6 Matriz Inversa: 
 
2.11 Utilização do Software EXCEL 
Dada as Matrizes abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calcule as operações com as matrizes empregando os 
recursos da planilha Excel: 
2.12 Exercício sobre Matrizes: 
3 5
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
3 3 3 3 3
xA
 
 

 
   5 4
1 1 1 1
2 2 2 2
1 2 1 2
1 2 3 1
2 1 2 1
xB
 
 
 
 
 
 
  
4 4
4 3 2 1
1 2 3 4
1 1 1 2
3 4 2 1
xC
 
 
 
 
 
 
2K 
3J 











524
532
241
33xD











100
010
001
33xL
Calcule: 
a1) AT; a2) BT; a3) CT; 
b1) A1 = K * A; b2) B1 = J * B; 
c) A2 = K * AT ; B2 = J * BT (empregue a função “F4” para 
fixar os valores de “K” e de “J” para estas operações); 
d) det. C; e) det. CT; f) E = A x B; 
g) F = B x C; h) C-1; i) (CT)-1; 
j) Para a matriz D e a matriz identidade L associada a matriz 
D, calcule o inverso da matriz D por transformações 
lineares ( D . L => L . D-1 ). 
k) Para a matriz H e a matriz identidade L associada a matriz 
H, calcule o inverso da matriz H por transformações 
lineares ( H . L => L . H-1 ). 
2.12 Exercício sobre Matrizes: 
A equação de uma reta no plano (x,y) é representada pela: 
ax + by = c. Quando duas retas pertencem ao mesmo plano 
pode-se verificar se há interseção entre estas retas no plano 
através da resolução de um sistema de equações lineares. A 
representação dessas duas retas na forma de um sistema é 
dada por: 
 
 
A sua representação na forma matricial é dada por: 
 
 
 
2.13 Sistemas de Equações Lineares 
1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
 

 
1 1
1 2
a b
A
a b
 
  
 
x
X
y
 
  
 
1
2
c
C
c
 
  
 
Desta forma, tem-se a matriz A, o vetor coluna X e o vetor 
coluna C. 
Existem diversas modos de resolver este sistema. 
Apresenta-se a seguir algumas maneiras de resolver este 
sistema através de exemplos. 
2.13 Sistemas de Equações Lineares 
2.13.1 Através do produto da A-1 pelo vetor C 
Dado o sistema abaixo, resolva-o pelo produto da A-1 pelo 
vetor C: 
 
 
Verifica-se que os valores da matriz X (ou vetor coluna) 
podem ser determinados através do seguinte produto: 
 
 
 
Calculado a A-1, tem-se: 
2.13 Sistemas de Equações Lineares 
2 5 10
4 3 12
x y
x y
 

 
1
0,214,92 0,357143
0,285714 0,14286
A
 
  
 
CA.X  .C.A.XA
1-1  A 
2.13.1 Através do produto da A-1 pelo vetor C 
 
Calculando o produto de A-1 x C temos a solução do sistema: 
 
 
 
 
 
 
2.13 Sistemas de Equações Lineares 
1
0,214,92 0,357143 10 2,142857
. .
0,285714 0,14286 12 1,142857
X A C
     
       
     
2.13.2 Solução de sistema por adição das equações: 
Dado o sistema abaixo, resolva-o por adição: 
 
 
 
Multiplica-se a primeira equação por (-2) e adiciona esta 
equação a segunda equação: 
 
 
 
Executando-se a soma temos: 
2.13 Sistemas de Equações Lineares 
2 5 10
4 3 12
x y
x y
 

 
4 10 20
4 3 12
x y
x y
   

 
10 20
3 12
y
y
  

 
2.13.2 Solução de sistema por adição das equações: 
Logo tem-se: 
 
 
determinando o valor de y temos: 
 
 
 
substituindo este valor na primeira equação temos o valor 
de x: 
 
 x = 2,142857 
 
2.13 Sistemas de Equações Lineares 
7 8y  
1,142857y 
2.13.3 Solução de sistema por substituição: 
Dado o sistema abaixo, resolva-o por adição: 
 
 
 
Retira-se o valor de x da primeira equação e o substituía na 
segunda equação. 
 
 
 
Substituindo x na segunda equação temos: 
2.13 Sistemas de Equações Lineares 
2 5 10
4 3 12
x y
x y
 

 
(10 5 ) / 2x y 
4.(10 5 ) / 2 3 12y y  
2.13.3 Solução do sistema por substituição: 
 
Resolvendo esta equação temos: 
 
 
 
Substituindo o valor de y na primeira equação, obtém-se o 
valor de 
 
 
 
 
 
 
2.13 Sistemas de Equações Lineares 
2.(10 5 ) 3 12 20 10 3 12 7 8 1,142857y y y y y y            
. 
2,142857x 
2.13.4 Método de Gaus-Jordan: 
 
Dado o sistema abaixo, resolva-o pelo método de Gaus-
Jordan: 
 
 
Primeiramente divide-se a primeira equação por 2 para 
obter 1 na posição a11 da matriz. 
 
 
 
Elimina-se o elemento a21 da segunda equação por 
transformação linear. Multiplica-se toda a primeira equação 
por (- 4) e adiciona-se a segunda equação. 
2.13 Sistemas de Equações Lineares 
2 5 10
4 3 12
x y
x y
 

 
2,5 5
4 3 12
x y
x y
 

 
2.13.4 Método de Gaus-Jordan: 
Temos o seguinte resultado: 
 
 
 
Divide-se a segunda equação por (-7). 
 
 
Elimina-se o elemento a12 da primeira equação por 
transformação linear. Multiplica-se toda a segunda equação 
(-2,5) e adiciona-se a primeira equação. 
 
 
 
2.13 Sistemas de Equações Lineares 
2,5 5
0 7 8
x y
y
 

  
2,5 5
0 1,142857
x y
y
 

 
0 2,142857
0 1,142857
x
y
 

 
2.14.1 Exemplo 1: 
Dado o sistema abaixo resolva-o graficamente: 
 
 
 
 
 
Empregando-se o software Winplot, obtém-se o ponto de 
interseção das equações no plano, que é a solução do 
sistema. 
 
2.14 Representação de retas no plano e 
interseção de retas no plano. 
2 5 10
4 3 12
x y
x y
 

 
2.14.1 Gráfico: 
2.14 Representação de retas no plano e 
interseção de retas no plano. 
2.14.2 Exemplo 2: 
Dado o sistema abaixo resolva-o graficamente: 
 
 
 
 
 
Empregando-se o software Winplot, obtém-se o ponto de 
interseção das equações no plano, que é a solução do 
sistema. 
 
2.14 Representação de retas no plano e 
interseção de retas no plano. 
3 2 6
2 5 8
x y
x y
 

  
2.14.2 Gráfico: 
2.14 Representação de retas no plano e 
interseção de retas no plano. 
           












x
y3X-2Y=6
-2X+5Y=8
(x,y) = (4.18181820688684,3.27272731033026)
2.15 Exercício: 
 
Represente e determine a interseção das retas no plano. 
 
a) 2X+4Y=8 e 3X+1Y=6 
b) 5X+7Y=35 e -3X+2Y=6 
c) -4X+3Y=12 e 6X+4Y=24 
d) 3X-6Y=18 e -2X+1Y=4 
e) 2X+Y=4 e -5X-1T=5 
f) -3X-3Y=6 e 4X-3Y=12 
 
2.15 Exercício: Determinação de interseção 
de retas no plano. 
Dado as inequações abaixo, represente-a graficamente: 
 
 
 
2.16 Representação de Inequação no Plano 
0x
        








x
y
Dado as inequações abaixo, represente-a graficamente: 
 
 
 
2.16 Representação de Inequação no Plano 
0y
       








x
y
Dado as inequações abaixo, represente-a graficamente: 
 
 
 
2.16 Representação de Inequação no Plano 
632  yx
2.17 Determinação de Região Viável de 
Inequações no Plano 
0x
0y
632  yx
824  yx
Dado as inequações abaixo, represente-as graficamente: 
 
a) 
3X + 6Y >= 36 
5X >= 10 
4Y >= 12 
2X + 4Y <= 40 
X >= 0 
Y >= 0 
 
b) 
2X + 5Y >= 10 
8X + 4Y <= 32 
X >= 0 
Y >= 0 
2.18 Exercício sobre interseção de 
inequações no plano 
No Software Winplot assinalar “2-dim”, duas dimensões. 
Em “Equações” trabalharcom”3-Implícita”. 
Digitar as equações. 
2.19 Software Winplot 
2.19 Software Winplot 
2.19 Software Winplot 
2.20 Determinação da Equação da Reta 
 
Determine a equação da reta que passa por dois pontos existente 
A(5,4) e B(7,0). Considere X1=5, Y1=4, X2=7, e Y2=0. Existem 
diversas formas de determinar a equação da reta, vamos utilizar o 
método que emprega matrizes? 
 
 
Calculando o determinante da matriz, temos a equação da reta 
para estes dois pontos. 
 
 
Temos: 4X+7Y+0-28-0-5Y=0 => 4X+2Y=28 
Desta forma a equação da reta que passa pelos dois pontos é: 
2X+Y=14 
X Y 1 
X1 Y1 1 = 0 
X2 Y2 1 
X Y 1 
5 4 1 = 0 
7 0 1