Controle Digital

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Instituto Federal do Maranhão
Raimundo Peixoto Ferreira Neto
Resumo do Capitulo 13:
Sistemas De Controle Modernos
Richard C. Dorf, Robert H. Bishop
São Luís – MA
2021
Raimundo Peixoto Ferreira Neto
RESUMO DO CAPITULO 13
Resumo do Capitulo 13 - Sistemas de Controle Modernos dos autores Richard C. Dorf e Robert H. Bishop - apresentado à disciplina de Controle Digital curso de Engenharia Elétrica do Instituto Federal do Maranhão, como parte das atividades referentes à primeira nota.
Orientador: Prof. Dr. Ginalber Luiz de Oliveira Serra
São Luís – MA
2021
Sumário
1.	Introdução	4
2.	Aplicações De Sistemas De Controle Com Computador Digital	4
3.	Sistemas Com Dados Amostrados	5
4.	A transformada Z	7
5.	Sistemas Com Retroação A Malha Fechada Com Dados Amostrados	7
6.	Desempenho De Um Sistema De Segunda Ordem Com Dados Amostrados	9
6.1	Análise De Estabilidade Do Plano Z	9
7.	Sistemas A Malha Fechada Com Compensação Digital Por Computador	9
8.	O Lugar Das Raízes De Sistemas Com Controle Digital	10
9.	Implementação De Controladores Digitais	11
10.	Exemplo de Sistema de controle	11
11.	Sistema de Controle Digital Usando Software Matlab	12
12.	Sistema de Leitura de acionador de disco	13
13.	Referências	14
1. Introdução
Na maioria das vezes as plantas possuem entradas e saídas contínuas no tempo. Geralmente, a planta possui x variáveis de entrada e y variáveis de saída. Também podem haver variáveis internas que não são saídas. O dilema do controle é manipular as variáveis de entrada em uma tentativa de influenciar as variáveis de saída de maneira desejada, como por exemplo, determinar taxas ou atingir certos valores.
Com desenvolvimento do minicomputador nos meados de 1960 e do microcomputador nos meados de 1970, os sistemas físicos não precisam mais ser controlados por dispendiosos computadores de grande porte. Com isso, os engenheiros começaram a explorar as possibilidades de ter um computador para tomar as decisões lógicas sobre os sinais de controle com base na medida de sinais e os valores desejados das saídas, uma vez que o computador pode ser programado para fornecer uma saída de modo que o desempenho do processo a controlar seja próximo ou igual ao desempenho desejado. De acordo com Richard C. Dorf e Robert H.Bishop “ Um sistema de controle digital usa sinais digitais e um computador digital para controlar processos.”. 
Figura 1 - Sistema de bloco de um sistema de controle com computador
2. Aplicações De Sistemas De Controle Com Computador Digital
Um computador digital consiste em uma unidade central de processamento de unidades de entrada e de saída e de uma unidade de memória. O porte e a potência de um computador irá variar de acordo com o tamanho, com a velocidade e com a potência computacional da CPU. Os sistemas de controle digital são usados em muitas aplicações, processos de usinagem de matais, processos químicos, controle de aviões entre outros.
A utilização de computadores digitais na malha resulta nas seguintes vantagens com relação aos sistemas analógicos: imunidade de ruídos, flexibilidade na resposta a alteração de projeto e custo reduzido. Investigando o controle por um computador digital precisa-se de dois dispositivos. O primeiro é o conversor analógico para digital (A/D) que irá amostrar o sinal periodicamente e converter essas amostras em formato digital para serem processados pelo computador digital, em que poderá gerar uma estratégia de controle na forma digital. O segundo é o conversor digital para analógico (D/A), que converte o controle numérico, para um sinal analógico.
3. Sistemas Com Dados Amostrados
O computador digital está controlando várias malhas, assim, sua posição na malha depende da função que ele desempenha. Geralmente, o computador substitui o compensador em cascata e assim é posicionado no local como mostra a figura 1. Os computadores usados em sistemas de controle são interligados ao atuador e ao processo por meio de conversores digital, a saída do computador é processada por um conversor (D/A). Os dados obtidos para as variáveis de sistema somente a intervalos discretos, e representados por x(KT), são conhecidos por dados amostrados ou sinal discreto. Período de amostragem, é a entrada e saída de números no computador dentro de um mesmo período fixo T. Portando, a entrada de referência é uma sequência de valores das amostras.
Figura 2 - Inserindo Computador digital
Um amostrador é basicamente uma chave que se fecha a cada T segundos por um breve instante de tempo.
 
 Figura 3 – sinal de entrada r(t) 	 Figura 4 - sinal amostrado
O conversor D/A vai converter o sinal amostrado em um sinal continuo, pode usualmente ser representado como um circuito extrapolador de ordem zero. Um amostrador e um extrapolador de ordem zero podem seguir com exatidão o sinal de entrada se T for pequeno em comparação com as variações transitórias do sinal.
Figura 5 - ZOH ( Zero order hold)
Figura 6 - Resposta de um amostrador com extrapolador de ordem zero para uma entrada em rampa r(t).
Figura 7- Resposta do amostrador e segurador de ordem zero para sinal exponencial decrescente
			(1)
Dois termos importantes de se tomar cuidado são com a precisão e o erro de quantização. A precisão é o grau de exatidão ou de discriminação com a qual uma grandeza é estabelecida. Pode-se observar que haverá um erro associado para cada valor analógico digitalizado, exceto para as tensões nos limites, como M/8 e 2M/8, este erro é conhecido como erro de quantização, admitindo que o processo de quantização arredonde a tensão analógica para o nível superior ou inferior mais próximo, o valor máximo do erro de quantização é igual ½ da diferença entre níveis de quantização na faixa de tensões analógicas de 0 a 15M/16. Quando o erro de quantização e o erro devido ao tamanho finito de palavras do computador forem pequenos em relação à amplitude do sinal, o sistema é suficientemente preciso e as limitações de precisão podem ser desprezadas.
A amostragem de dados tem um efeito incomum sobre o desempenho de um sistema com realimentação em malha fechada, uma vez que a estabilidade e a resposta transitória são agora dependentes da taxa de amostragem, se esta for muito lenta o sistema pode ser instável, pois os valores não estão sendo atualizados rápidos.
4. A transformada Z
O efeito da amostragem dentro de um sistema é nítido. Enquanto, a estabilidade e a resposta transitória de sistemas analógicos dependem dos valores de ganho e dos componentes, a estabilidade e a resposta transitória de sistemas com dados amostrados dependem também da taxa de amostragem.
Como a saída de um amostrador ideal, r*(t), é uma série de impulsos com valores tem-se :
R*(t ) 		(2)
Aplicando a transformada de Laplace a essa forma de onda amostrada no tempo, e substituindo , vamos obter:
 		(3)
De modo geral, define a transformada z de uma função como:
		(4)
5. Sistemas Com Retroação A Malha Fechada Com Dados Amostrados
O objetivo agora é determinar a função transferência com dados amostrados em malha fechada de uma combinação de subsistemas com um computador na malha. A função de transferência a malha fechada usando redução de blocos é.
			(5)
		G(z) é a transformada z de G(s) = , onde é o extrapolador de ordem zero e o é a função de transferência do processo a controlar.
Figura 8 – (a) Sistema de controle com retroação com controlador digital ;(b) Modelo em diagrama de blocos.
A função de transferência a malha fechada é:
 			(6)
Figura 9 – Sistema de malha fechado com dados amostrados
Para um sistema de malha fechada com dados amostrados como o da Figura 9 podemos obter a seguinte função de transferência: 
Com uma resposta ao degrau e um tempo de amostragem de T= 1 segundo, obtemos o gráfico de saída (ver Figura 10). 
Figura 10- Resposta ao degrau
6. Desempenho De Um Sistema De Segunda Ordem Com Dados Amostrados
Quando o polinômio ) é do segundo grau e tem todos os coeficientes reais, as condições necessárias e suficientes para ter todas as raízesno interior do círculo unitário são.
Estas condições de estabilidade para um sistema de segunda ordem podem ser estabelecidas mapeando-se a equação característica do plano z no plano s e verificando se os coeficientes de q(s) são positivos, com isso, as condições necessárias vão ser:
 			(8)
E Para este sistema é possível calcular o valor máximo de ganho permissível para se ter um sistema estável.
6.1 Análise De Estabilidade Do Plano Z
A diferença evidente entre sistemas de controle com realimentação analógicos e sistemas de controle com realimentação digitais, é o efeito que a taxa amostragem tem sobre a resposta transitória. Alterações na taxa de amostragem não apenas alteram a natureza da resposta de superamortecida para subamortecida, mas também podem fazer que um sistema estável fique instável. Um sistema de controle com retroação linear e contínuo no tempo é estável se todos os pólos da função de transferência a malha fechada T(s) estiverem no semipleno s da esquerda. O plano z se relaciona com o plano s através da transformação, podendo se escrever como:
 					(7)
No semipleno s da esquerda, < 0, e portanto a magnitude de z varia entre 0 e 1. Com isso, o eixo imaginário do plano s corresponde ao círculo unitário no plano z e o interior do círculo unitário corresponde ao semiplano s da esquerda.
Portanto um sistema de controle digital é estável se todos os polos da função de transferência em malha fechada, estão dentro do círculo unitário no plano z e vai ser instável se algum polo está fora do círculo unitário e/ou se existem polo de multiplicidade maior que um sobre o círculo unitário e marginalmente estável se polos de multiplicidade de um estão sobre o círculo unitário e todos os demais polos estão dentro do círculo unitário.
7. Sistemas A Malha Fechada Com Compensação Digital Por Computador
A função de transferência da malha fechada é: ; e a do computador é representado por: .
Calculando-se a resposta do sistema para uma entrada em degrau, constata-se que a saída é igual à entrada no instante da quarta amostragem e daí em diante. A ultrapassagem do sistema compensado é de 4% e a ultrapassagem do sistema sem compensação é de 45%. Fora estudando dois métodos de projetar compensadores o método da conversão e o método do lugar das raízes no plano z.
No método da conversão, para se determinar obtém primeiro o controlador relativo ao processo . Posteriormente, o controlador é convertido em para um certo período de amostragem.
Considerando-se um compensador de primeira ordem:
	 			(9)
	e um controlador digital:
				(10)
Determina-se a transformada z de e iguala a transformada , então a relação entre as duas funções de transferência é , quando , é necessário que:
			(11)
8. O Lugar Das Raízes De Sistemas Com Controle Digital
A função transferência da malha fechada é: , a equação característica é: Ela é análoga a equação característica para a análise de KG(s), no plano s.
As regras para obter o lugar das raízes são:
· O lugar das raízes começa nos pólos e prossegue em direção aos zeros.
· O lugar das raízes existe nos trechos do eixo real à esquerda de um número ímpar de pólos e zeros.
· O lugar das raízes é simétrico com relação ao eixo real horizontal.
· O lugar das raízes pode deixar o eixo real e reentrar no eixo real. Os pontos de saída e de entrada são determinados a partir da equação: onde Com isso, a solução é 
· Traçar o lugar das raízes que satisfazem .
Figura 11 - Circulo unitário
9. Implementação De Controladores Digitais
Será considerado o controlador PID com a função transferência no domínio s:
			(13)
Pode-se determinar uma implementação digital deste controlador usando-se uma aproximação discreta para a derivada e para a integração, para a derivada em relação ao tempo utiliza-se a regra da diferença atrasada e a integração pode ser representada pela integração retangular avançada em t = KT, com isso, a função transferência no domínio z do controlador PID é:
 			 (14)
O algoritmo da equação a diferenças que fornece o controlador PID é obtido somando-se os três termos, usa-se 
		(15)
	 
A Equação (15) pode ser implementada usando-se um computador digital ou um microprocessador.
10. Exemplo de Sistema de controle
O sistema de controle do movimento de uma mesa transportadora constitui um sistema de posicionamento importante na manufatura. O sistema controla o movimento de uma mesa para uma determinada posição. O objetivo é obter uma resposta rápida, para um comando em degrau, com tempos de subida e assentamento pequenos sem exceder uma ultrapassagem de 5%.
Para configurar o sistema, escolhe-se inicialmente um amplificador de potência e o motor de modo que o sistema seja descrito como a imagem abaixo. Com isso, vai se obter a seguinte função transferência do amplificador de potência e do motor:
Figura 12- Modelo de controle para uma mesa transportadora
				(12)
Será usado um sistema contínuo e projetado . Obtém assim .Traçando o lugar das raízes, descobre-se que para K=700 o coeficiente de amortecimento é 0,707 e se espera uma ultrapassagem de 5%. Através de simulações se descobre que o tempo de subida é 0,48 segundos e o tempo de acomodação é 1,12 segundos. Com isso, pode-se introduzir um compensador de avanço de fase do tipo . Resolvendo, vamos encontrar Portando, usando este espera-se uma resposta muito semelhante à obtida com o modelo do sistema contínuo.
11. Sistema de Controle Digital Usando Software Matlab
O procedimento de projeto e análise de sistemas com dados amostrados é reforçado com o uso de ferramentas computacionais interativas. Muitas das funções do MATLAB para sistemas contínuos possuem formas equivalentes para sistemas com dados amostrados. A conversão de modelos pode ser realizada por meio das funções c2dm e d2cm. A função c2dm converte sistemas contínuos no tempo em sistemas discretos no tempo, enquanto a função d2cm converte sistemas discretos no tempo em sistemas contínuos no tempo.
A função dstep, dimpulse e dlsim são usadas para a simulação de sistema de dados amostrados. A resposta ao degrau unitário é gerada com a função dstep. A resposta ao impulso é gerada pela função dimpulse e a resposta a um sinal arbitrário de entrada é obtida por meio da função dlsim. Estas funções de simulações de sistemas com dados amostrados operaram essencialmente da mesma forma que suas correspondentes para sistemas contínuos.
Figura 13 -Usando a função c2dm para converter G(s) =G0(s)Gp(s) em G(z).
12. Sistema de Leitura de acionador de disco
Como aplicação, foi projetado um controlador digital para o sistema de acionador de disco. Como o disco gira, a cabeça do sensor lê o código usado para se dispor da informação de erro da referência. Esta informação de erro codificado é lida intermitentemente à medida que a cabeça leitora armazena os lados e por sua vez, o código. Como o disco está girando com uma velocidade constante, o tempo, T entre leituras de erro de posição é constante. Este período de amostragem possui um valor típico entre 100μs e 1ms. Com isso, a informação do erro foi amostrada. Pode-se utilizar também um controlador digital, para obter uma resposta do sistema que seja satisfatória. Com isso, é projetado , .
Como:
 , 							(16)
tem-se:
 				(17)
Constata-se que e , é igual a 0,98. Percebe-se que o pólo em na equação (17) possui um efeito insignificante. Portanto , é possível aproximar .
Necessita-se, então, 
É necessário selecionar o controlador digital de modo que seja alcançada a resposta desejada para uma entrada em degrau. Fazendo-se , tem-se então.
Para , vamos ter:
Portando, a função de transferência a malha fechada é:
						(18)
13. Referências
DORF, Richard C.; BISHOP, Robert H. Sistema de Controle Modernos. 8ª Edição. Rio de Janeiro: Editora LTC, 2001.