Calculo I Parte II

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Unidade 2
Limites e derivadas
José de França Bueno
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Sumário
Unidade 2
Limites e derivadas ........................................................................................ 5
Seção 1
Fundamentos de Cálculo Aplicado: Limite ..................................... 6
Seção 2
Limites finitos e no infinito .............................................................21
Seção 3
Derivada - introdução ......................................................................32
Seção 4
Regras de derivação – Parte 1 .........................................................42
Unidade 2
Limites e derivadas
Convite ao estudo
O desenvolvimento do Cálculo no século XVII por Newton e Leibniz 
propiciou aos cientistas da época, as primeiras noções sobre “taxa de variação 
instantânea”, tal como ocorre com a velocidade ou a aceleração. Esse conceito 
influenciou os métodos computacionais e os conhecimentos sobre Cálculo. 
O estudo de limites e derivada são muito importantes para a compre-
ensão do Cálculo! Vamos então estudar nesta seção o conceito e aplicação 
de limites, assim como o conceito de derivada e algumas regras de derivação. 
Para tanto vamos ter em mente os conhecimentos sobre funções estudados 
na Unidade 1, você irá perceber que tudo está interligado. Vamos relembrar 
a situação hipotética apresentada na Unidade 1. Esta situação visa aproximar 
os conteúdos teóricos com a prática. Vamos relembrar!
João acabou de concluir o ensino médio e irá participar de um processo 
seletivo de uma empresa multinacional para trabalhar como estagiário. Para 
tanto, precisa realizar um teste para mostrar que é capaz de compreender 
e resolver problemas ligados ao nosso cotidiano. A empresa entende que o 
profissional, dependendo de sua qualificação, pode atuar em diversas áreas. 
Em todas elas, a facilidade em lidar com a Matemática é fundamental, princi-
palmente no que diz respeito ao estudo de limites e derivadas. Por tanto, João 
terá que resolver situações problemas que tratam de entender a interdepen-
dência de várias coisas ao nosso redor; das mais simples ás mais complexas, 
como valor de despesas de uma família, número de indivíduos de uma 
população, cálculo de velocidade e aceleração e etc. Ajude João a resolver as 
situações problema!
6
Seção 1
Fundamentos de Cálculo Aplicado: Limite
Diálogo aberto
Na presente seção veremos limites, limites infinitos e o conceito de 
continuidade de uma função, que são técnicas muito utilizadas para 
responder a questões relativas ao comportamento de uma função quando 
nos aproximamos de determinado valor especialmente importante para 
aquela aplicação.
Com o propósito de contextualizar seu aprendizado nesta unidade vamos 
voltar a situação hipotética apresentada no convite ao estudo? Uma das situa-
ções problema apresentadas pela empresa para João resolver foi a seguinte: 
Uma das despesas que compõem o orçamento familiar é o serviço de TV 
a cabo. Em uma cidade observa-se que a despesa de uma família com a TV 
a cabo depende do tempo t, mensal, que os habitantes assistem TV e esta 
quantidade, em centenas de reais, é modelada por: 
0 se 0 t<20
0,01t se 20 t<100
40 1000 100<t
2 100
t se
t
ìïïï £ïïïï £íïïï -ïïï +ïî
 
Analise a continuidade da despesa ( )P P t= . A despesa de uma família é 
sensivelmente diferente se o tempo que assiste TV é ligeiramente inferior ou 
superior a 20 horas? E para 100 horas? 
E agora como João poderá resolver este problema?
Não pode faltar
Limite: conceito
Considere que você deve efetuar a soma de uma quantidade variável x 
com o número 5. Podemos escrever isto em termos matemáticos escrevendo 
que queremos calcular os valores da função ( ) 5f x x= + , para vários valores 
de x. Assim, se 1x = , ( )1 1 5 6f = + = , se 1,5x = , ( )1,5 1,5 5 6,5f = + = , se 
1,7x = , ( )1,7 1,7 5 6,7f = + = . Imagine que um engenheiro civil esteja proje-
7
tando uma estrutura de grande porte (uma ponte ou um viaduto, digamos) e 
suponha que o valor 2x = signifique um valor de restrição. Você pode 
pensar que a estrutura não poderá nunca assumir uma carga de 2 mil 
toneladas, caso contrário entrará em colapso. Assim, você quer saber o que 
ocorre com os valores da função ( ) 5f x x= + para valores de x cada vez mais 
próximos de 2, mas sem necessariamente x em algum momento ser igual a 2. 
Neste caso vamos apenas somando os valores. Veja a Tabela 2.1 a seguir. 
Tabela 2.1
x 1 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 1,99 1,999 1,9999
f(x) 6 6,5 6,6 6,7 6,8 6,9 6,99 6,999 6,9999
Fonte: elaborada pelo autor.
Vemos que o resultado da soma 5x+ , quando x se aproxima de 2, aproxi-
ma-se cada vez mais de 2. O procedimento acima é tão importante na 
Matemática, na Física, na Engenharia e em outras aplicações que existe uma 
simbologia para representa-lo: 
2
lim( 5) 7
x
x
®
+ = .
O conceito de limite está relacionado não com o valor de uma função em 
um determinado ponto x a= , mas com o valor da função quando x está 
“próximo” do valor a. 
Vamos considerar agora um exemplo um pouco mais sofisticado. 
Considere a função ( ) 3 22 2f x x x x= - - + e ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 ,f x x x x x= - × + × - " Î 
(forma fatorada). A partir desta função f podemos construir uma função
( )g x que coincide com a função f em quase todos os pontos exceto em 
apenas dois: 1x = e 2x = . Faremos isto para ressaltar que o valor de uma 
função em um determinado ponto não precisa ser igual ao limite daquela 
função naquele ponto. Para isto, faremos a função ( )g x assumir o valor 1,5 
quando 1x = e assumir o valor 3 quando 2x = . Desta forma a função ( )g x
é definida como ( )
( ) ( ) ( )2 1 1 , 1,1, 2
1,5 , 1
3 , 2
x x x x
g x x
x
ìï - × + × - ¹-ïïï= =íïïï =ïî
Observe que ( )g x não está definida para 1x =- (ou seja, não existe o 
valor ( )1g - ). Dizer que a função não está definida em um ponto ( 1x =- 
neste caso) significa que não existe valor y no conjunto imagem associado a 
este valor x. 
Já para o ponto 1x = temos que ( )1 1,5g = e para 2x = , ( )2 3g = . Os 
gráficos destas funções podem ser visualizados nas Figuras 2.1 (a) e (b). 
8
Figura 2.1 gráfico da função ( )f x (a), gráfico da função ( )g x (b)
Fonte: elaborada pelo autor.
Da Figura 2.1 (a) vemos que as raízes de f são -1, 1 e 2. Há uma outra 
forma de se escrever a função f, chamada de forma fatorada que é 
( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 ,f x x x x x= - × + × - " Î . Na forma fatorada é fácil de ser observar 
as raízes desta função são -1, 1 e 2 pois ( )1 0f - = , ( )1 0f = e ( )2 1f = . Note 
que, se utilizarmos um papel para traçar o gráfico, podemos traçar a função 
( )f x sem levantar o lápis do papel. Já para a função ( )g x , temos pontos de 
descontinuidade: somos obrigados a levantar o lápis do papel quando nos 
aproximamos dos pontos 1x =- , 1x = e 2x = . Dizemos que tais pontos são 
pontos de descontinuidade para a função ( )g x . 
Nas Tabelas 2.2, 2.3, 2.4 e 2.5 apresentamos alguns valores numéricos 
para as funções ( )f x e ( )g x . Nas Tabelas 2.3, 2.4 e 2.5 apresentamos o valor 
da função ( )g x quando x fica próximo, respectivamente de -1, 1 e 2. Compare 
os valores numéricos nestas tabelas com os gráficos 2.1 (a) e (b). 
Tabela 2.2 – valores numéricos para a função ( )f x
X -3 -2 -1,5 -1 0 0,5 1 1,5 2
f(x) -40 -12 -4,375 0 2 1,125 0 -0,625 0
Fonte: elaborada pelo autor.
Observe, na tabela 2.3, que, para valores de x cada vez mais próximosde 
-1 à esquerda os valores da função ( )g x ficam cada vez mais próximos de 0. 
É importante você conferir estes valores numéricos na Tabela 2.2 com a 
Figura 2.1 b). O mesmo vale para os valores de x aproximando-se de -1 pela 
direita. Também neste caso os valores da função ( )g x aproximam-se de 0. É 
importante que você verifique isto graficamente na Figura 2.1 b). Note que a 
função ( )g x não existe (não está definida) para 1x =- . Mesmo assim existe 
9
o limite da função ( )g x quando x aproxima-se de 1x =- (e este limite é igual 
a zero). Escrevemos, usando símbolos matemáticos, da seguinte forma: 
( )
1
lim 0
x
g x
®-
= e dizemos que o limite da função ( )g x quando x aproxima-se de 
-1 é igual a zero.
Tabela 2.3 – valores numéricos para a função ( )g x para x próximo de -1
x -0,9 -0,99 -0,999 -0,9999 -1 -1,0001 -1,001 -1,01 -1,1
( )g x 0,5510 0,0595 0,0060 0,0006
Não 
defini-
da
-0,0006 -0,0060 -0,0605 -0,6510
Fonte: elaborada pelo autor.
Na tabela 2.4 temos os valores de x aproximando-se tanto pela esquerda 
quanto pela direita de 1x = para a função ( )g x . Em símbolos matemáticos 
escrevemos que ( )
1
lim 0
x
g x
®
= e lê-se: o limite de ( )g x para x tendendo a 1 é 
igual a 0. Neste caso, a função existe e vale que ( )1 1,5g = . 
Tabela 2.4 – valores numéricos para a função ( )g x para x próximo de 1
x 0,9 0,99 0,999 0,9999 1 1,0001 1,001 1,01 1,1
( )g x 0,2090 0,020099 0,002001 0,0002 1,5 -0,0002 -0,0020 -0,0199 -0,1890
Fonte: elaborada pelo autor.
Na tabela 2.5 temos outro exemplo os valores de x aproximando-se tanto 
pela esquerda quanto pela direita de 2x = para a função ( )g x . Em símbolos 
matemáticos escrevemos que ( )
2
lim 0
x
g x
®
= . Neste caso, a função existe e vale 
que ( )2 3g = .
Tabela 2.5 – valores numéricos para a função ( )g x para x próximo de 2
X 1,9 1,99 1,999 1,9999 2 2,0001 2,001 2,01 2,1
( )g x -0,2610 -0,0296 -0,0030 -0,0003 3 0,0003 0,0030 0,0304 0,3410
Fonte: elaborada pelo autor.
10
Assimile
Definição (não-rigorosa) de limite de uma função em um ponto: 
Considere uma função ( )f x que esteja definida em um intervalo 
aberto que contenha o número a. A função ( )f x pode existir ou não 
neste ponto. Interpretamos ( ) 0limx a f x y® = da seguinte forma: toman-
do-se valores de x tão próximos quanto quisermos do número a (mas 
não necessariamente iguais ao valor a), a função ( )f x ficará cada vez 
mais próxima do valor 0y . Lê-se a expressão ( ) 0limx a f x y® = como: o 
limite da função ( )f x quando x tende ao valor a é igual a 0y .
Vejamos alguns exemplos de cálculo imediato de limites. 
Calcule os limites:
a. 
7
lim9 5
x
x
®
- : Neste caso basta substituir o valor 7x = na função dentro 
do limite: 
7
lim9 5 9 7 5 58
x
x
®
- = × - =
b. 
2
1
3 1lim
12x
x x
x®
+ -
-
: Observe que o denominador da função 
( )
2 3 1
12
x xf x
x
+ -
=
-
não se anula para o valor no qual pretendemos 
calcular o limite (neste caso 1x = ). Assim, basta substituirmos 1x =
na expressão da função ( )
2 3 1
12
x xf x
x
+ -
=
-
para obter o valor do limite: 
2 2
1
3 1 1 3 1 1 3lim
12 1 12 11x
x x
x®
+ - + × -
= =-
- -
. O único valor para o qual não 
podemos efetuar esta substituição direta é 12x = . 
c. 
3
2lim
5
x
x x®- +
: também neste caso o denominador não se anula para 
3x =- . Basta substituirmos 3x =- na função dentro do limite: 
3 3
4
3
2 2 2lim 2
5 3 5 2
x
x x
- -
-
®-
= = =
+ - +
.
Nos exemplos anteriores não tivemos maiores dificuldades para calcular 
o limite. Vejamos o exemplo a seguir.
11
Exemplificando
Determine o valor de 23
3lim
9x
x
x®
-
-
. 
Resolução: não podemos substituir diretamente o valor 3x = na 
expressão 2
3
9
x
x
-
-
 pois teríamos uma divisão por zero. Mas, observando 
que 
( )( ) ( )2
3 3 1
9 3 3 3
x x
x x x x
- -
= =
- - + +
temos 23 3
3 1lim lim
9 3x x
x
x x® ®
-
=
- +
. 
Agora podemos substituir o valor 3x = : 23 3
3 1 1lim lim
9 3 6x x
x
x x® ®
-
= =
- +
. 
Confira com a Figura 3.2 (a) e (b).Observe que, na verdade, as funções 
( ) 2
3
9
xf x
x
-
=
-
 e ( ) 1
3
g x
x
=
+
 são a mesma função. 
Figura 2.2 Gráfico de ( ) 2
3
9
xf x
x
-
=
-
(a) ; e de ( ) 1
3
g x
x
=
+
(b)
Fonte: elaborada pelo autor.
As propriedades operatórias de limites que apresentamos a seguir são 
úteis em grande variedade de situações. 
12
Teorema - propriedades operatórias de limites: suponha que ( )f x e ( )g x 
sejam duas funções e que existam os limites ( )lim
x a
f x
®
 e ( )lim
x a
g x
®
. Então valem 
as seguintes propriedades: 
a. ( ) ( ) ( ) ( )lim lim lim
x a x a x a
f x g x f x g x
® ® ®
é ù+ = +ê úë û .
b. ( ) ( ) ( ) ( )lim lim lim
x a x a x a
f x g x f x g x
® ® ®
é ù- = -ê úë û .
c. ( ) ( ) ( ) ( )lim lim lim
x a x a x a
f x g x f x g x
® ® ®
é ù é ùé ù× = ×ê ú ê úê úë û ë û ë û
.
d. ( ) ( )lim lim
x a x a
c f x c f x
® ®
é ù× = ×ê úë û , onde cÎ é uma constante.
e. ( )
( )
( )
( )
lim
lim
lim
x a
x a
x a
f xf x
g x g x
®
®
®
é ù
ê ú =ê ú
ê úë û
desde que ( )lim 0
x a
g x
®
¹ .
(STEWART, 2016, p. 91)
Exemplificando
Determine o valor do limite 3 2
2
lim 2 4 5 8 3 3
4
x
x
xx x x sen p -
®
é ùæ ö÷çê ú- + - + -÷ç ÷÷ê úçè øë û
 
Aplicamos a propriedade de que o limite da soma é igual à soma dos 
limites: 
3 2
2
lim 2 4 5 8 3 3
4
x
x
xx x x sen p -
®
é ùæ ö÷çê ú- + - + - =÷ç ÷÷ê úçè øë û
3 2
2 2 2 2 2 2
lim2 lim 4 lim5 lim 8 lim3 lim 3
4
x
x x x x x x
xx x x sen p -
® ® ® ® ® ®
æ ö÷ç= + - + + - + + - =÷ç ÷÷çè ø
3 2 2 2 12 2 4 2 5 2 8 3 3 16 16 10 8 3 3 5
2 9
sen p - -
æ ö÷ç= × - × + × - + - = - + - + - = - =÷ç ÷÷çè ø
44
9
= .
Observe a Tabela 2.6 e a Figura 2.3 a seguir, referente às alíquotas para 
o Imposto de Renda para 2018. Este é um exemplo de função descontínua, 
ou seja, uma função tal que, não conseguimos fazer o gráfico deste tipo 
de função sem levantar o lápis do papel. Em outras palavras: uma função 
descontínua apresenta algum tipo de salto ou degrau. 
Tabela 2.6 – Alíquotas do Imposto de Renda – exemplo de função descontínua
Base de cálculo (em R$) Alíquota (%)
Até R$ 1903,98 isento
13
De R$ 1.903,99 até 2.826,65 7,5
De R$ 2.826,66 até R$ 3.751,05 15
De R$ 3.751,06 até R$ 4.664,68 22,5
Acima de R$ 4.664,68 27,5
Fonte: Receita Federal. http://idg.receita.fazenda.gov.br/acesso-rapido/tributos/irpf-imposto-de-renda-
-pessoa-fisica (acesso em 02/07/2018)
Na Figura 2.3 apresentamos o gráfico da função apresentada na Tabela 2.6. 
Figura 2.3 – alíquotas do Imposto de Renda – exemplo de função descontínua
Fonte: elaborada pelo autor.
Por outro lado, funções para as quais conseguimos desenhar o gráfico 
sem levantar o lápis do papel são chamadas de funções contínuas. As funções 
contínuas não apresentam saltos. Grande parte dos fenômenos físicos é 
descrita por funções contínuas: o movimento de um automóvel, por exemplo, 
não apresenta saltos.
Para exemplificar considere a função ( )
( )
( )
2
2
0,2 2 5, 2
3, 2
0,1 2 2, 2
x x
f x x
x x
ìï- + + >-ïïïï= =-íïïï- + + <-ïïî
 e 
seu gráfico apresentado na figura 2.4. 
http://idg.receita.fazenda.gov.br/acesso-rapido/tributos/irpf-imposto-de-renda-pessoa-fisica
http://idg.receita.fazenda.gov.br/acesso-rapido/tributos/irpf-imposto-de-renda-pessoa-fisica
14
Figura 2.4 – exemplo de descontinuidade
Fonte: elaborada pelo autor.
Ao nos aproximarmos do ponto 2x =- a partir de valores menores que 
-2, a função assume valores cada vez mais próximos de 2. Para x exatamente 
igual a -2 a função vale exatamente 3. Quando nos aproximamos do ponto 
2x =- a partir de valores maiores que -2, a função assume valores cada vez 
mais próximos de 5. Você poderá verificar isto construindo uma tabela de 
valores numéricos para tais situações tal como fizemos nas tabelas 2.2, 2.3 e 
2.4. Quando estamos nos aproximando do ponto 2x =- a partir de valores 
menores que -2 dizemos que estamos tomando o limite lateral à esquerda e 
escrevemos ( )
2
lim
x
f x
-®-
. No exemplo acima temos que ( )
2
lim 2
x
f x
-®-
= .Esta diferença de resultados dos limites de uma função dependendo se 
estamos nos aproximando pela esquerda ou pela direita leva ao conceito de 
limite lateral. Se uma função é descontínua por saltos (como a da Figura 2.4) 
seus limites laterais no ponto de descontinuidade serão diferentes. 
Definição limite lateral à direita: o limite à direita da função ( )f x no 
ponto x a= é A e o representamos por ( )lim x a f x A® + = quando, para 
valores cada vez mais próximos de a (mas superiores a ele) vale que o valor da 
função ( )f x fica cada vez mais próximo do valor numérico A. (STEWART, 
2016, p. 118).
Definição limite lateral à esquerda: o limite à esquerda da função ( )f x 
no ponto x a= é A e o representamos por ( )lim x a f x A® - = quando, para 
valores cada vez mais próximos de a (mas inferiores a ele) vale que o valor da 
função ( )f x fica cada vez mais próximo do valor numérico A. (STEWART, 
2016, p. 118).
NO caso da função apresentada na Figura 2.4, quando estamos nos 
aproximando do ponto 2x =- a partir de valores maiores que -2 dizemos 
que estamos tomando o limite lateral à direita e escrevemos ( )
2
lim
x
f x
+®-
. No 
15
exemplo acima temos que ( )
2
lim 5
x
f x
+®-
= . Observe que os limites laterais 
podem assumir valores diferentes e, além disso, a função ( )f x pode assumir 
um terceiro valor distinto dos anteriores. Neste caso temos que ( )2 3f - = .
Definição - existência do limite: dizemos que o limite ( )lim
x a
f x L
®
= existe 
se e somente se os limites laterais são iguais a um número L, ou seja: 
( ) ( )lim lim
x a x a
f x f x L
- +® ®
= =
 
. 
Considere a função apresentada no gráfico 2.3. Como temos que os 
limites laterais ( )
2
lim 2
x
f x
-®-
= e ( )
2
lim 5
x
f x
+®-
= não existe o limite ( )
2
lim
x
f x
®-
 
(STEWART, 2016, p. 85)
Agora apresentamos a definição de continuidade de uma função em um 
ponto x a= .
Definição -continuidade (STEWART, 2016, p. 109): dizemos que a 
função ( )f x é contínua no ponto x a= se: 
i. A função ( )f x está definida para x a= ;
ii. O limite ( )lim
x a
f x
®
existe; 
iii. Vale que ( ) ( )lim
x a
f x f a
®
=
Assim, retomando a função apresentada na figura 2.2, ela é contínua em 
todos os pontos de seu domínio exceto no ponto 2x =- pois o ( )
2
lim
x
f x
®-
não 
existe neste ponto.
Dica
Para auxiliá-lo na construção de gráficos de funções e estudar os limites 
das funções, você poderá consultar o OED especialmente construído 
para ajuda-lo neste propósito.
Retomando a função apresentada no gráfico 2.1 (b), temos que esta 
função é contínua em todos os pontos de seu domínio exceto os pontos 1x = 
e 2x = pois, para cada um destes pontos vale que ( ) ( )
1
lim 0 1 1,5
x
f x f
®
= ¹ = e 
( ) ( )
2
lim 0 2 3
x
f x f
®
= ¹ = .
Pesquise mais
Para conhecer outros Teoremas importantes sobre limites sugerimos 
que você consulte o livro (STEWART, 2016, páginas 111 a 114) disponível 
também na Biblioteca Virtual.
16
Reflita
Como podemos utilizar a informação que funções trigonométricas são 
funções contínuas para calcular o limite 
( )
( ) ( )
4
5
lim
4 cosx
sen x
x sen xp®
×
- ×
 ?
Sem medo de errar
Após o estudo de limite, vamos resolver a situação problema apresentada 
ao João? 
Vamos relembrar! 
Uma das despesas ( )D t , que compõe o orçamento, é o serviço de TV a 
cabo, estudiosos observaram que a mesma pode ser calculada de acordo com 
o tempo “t” mensal, dado em horas. Desta forma, representaram algebrica-
mente como é possível obter o valor da despesa com TV a cabo:
( )
0 se 0 t<20
0,1t se 20 t<100
40 1000 se 100<t
2 100
D t
t
t
ìïïï £ïïïï= £íïïï -ïïï +ïî
 
Tendo em os dados apresentados, você deve analisar a continuidade das 
despesas para ( )D D t= e verificar a despesa de uma família é diferente caso 
o tempo seja inferior ou superior a 20 horas. E também o valor das despesas 
para 100 horas.
Desse modo, temos a resolução:
Primeiramente, vamos determinar D no intervalo de 0 20t£ < 
( )
20 20
lim lim 0 0
t t
D t
- -® ®
= =
( )
20 20
lim lim 0,1 0,1 20 2
t t
D t t
+ +® ®
= = × =
Percebemos que a função é descontínua em 0 20t = . Note que a mudança 
de gasto de uma família varia sensivelmente se o tempo que assiste à TV é 
ligeiramente inferior ou superior a 20 horas. Por outro lado, calculamos: 
O segundo passo será determinar as despesas para 100t = 
( )
100100
lim lim 0,1 100 10
tt
D t
- ®®
= × =
17
( )
100100
40 1000lim lim 10
2 100tt
tD t
t+ ®®
-
= =
+
A função é contínua em 0 100t = . Note que não existem mudanças de 
gasto quando o tempo em que assiste à TV muda, ligeiramente inferior ou 
superior a 100 horas.
Fonte: elaborada pelo autor.
Avançando na prática
Uso de limites nas Ciências Farmacêuticas.
Um estudante foi contratado por uma indústria farmacêutica para estudar 
a melhor forma de se inocular um medicamento em desenvolvimento. Os 
testes efetuados até o momento apontam que, para que o tratamento tenha 
sucesso a concentração no sangue (chamado de nível sérico ou do soro) deste 
medicamento não pode ultrapassar 6 /g dLm (microgramas por decilitro) de 
sangue, com um valor máximo ideal de 5 /g dLm e também sem nunca ficar 
abaixo de 3 /g dLm . 
Na Figura 2.5 são apresentadas as funções que descrevem os resultados 
dos teste efetuados. 
18
Figura 2.5 – Níveis séricos de medicamento em estudo
Fonte: elaborada pelo autor.
Nele vemos os gráficos da concentração de uma medição aplicada por 
via venosa em um paciente na hora assinalada como zero, o decaimento da 
concentração deste medicamento na corrente sanguínea até a hora 1. Em 
seguida vemos uma nova dose sendo aplicada na hora 1 e o decaimento desta 
dose até a hora 2. 
O gráfico segue de forma similar com as doses representadas pelas 
funções f3 e f4. 
As funções são dadas pelas expressões 
( ) ( )21 1 3, 0 1f x x x= - + £ £ 
( ) ( )22 2 2 2,5, 1 2f x x x= - + < £
( ) ( )23 2,5 3 3, 2 3f x x x= - + < £
( ) ( )24 1,5 4 2,7, 3 4f x x x= - + < £
Identifique os limites laterais para cada uma destas funções nos pontos 
1, 2, 3x x x= = = .
Resolução da situação-problema
Para o ponto 1x = :
Limite lateral à esquerda: do gráfico acima podemos observar que
( )
1
lim 1 3
x
f x
-®
= 
Limite lateral à direita: ( )
1
lim 2 4,5
x
f x
+®
= . Determinamos este valor substi-
tuindo 1x = na função ( ) ( )2 : 2 1 2 2,5 4,5f x f = + = 
19
Para o ponto 2x = :
Limite lateral à esquerda: ( )
2
lim 2 2,5
x
f x
-®
= . Determinamos este valor 
substituindo 2x = na função ( ) ( )2 : 2 2 2,5f x f = .
Limite lateral à direita: ( )
2
lim 3 5,5
x
f x
+®
= . Determinamos este valor substi-
tuindo 2x = na função ( ) ( )3 : 3 2 5,5f x f = .
Para o ponto 3x = : 
Limite lateral à esquerda: ( )
3
lim 3 4,2
x
f x
-®
= . Determinamos este valor 
substituindo 3x = na função ( ) ( )4 : 4 3 4,2f x f =
Limite lateral à direita: ( )
3
lim 4 2,7
x
f x
+®
= . Determinamos este valor substi-
tuindo 3x = na função ( ) ( )4 : 4 4 2,7f x f = .
Análise dos resultados obtidos: conforme observamos pelos limites 
laterais, ao final da 2ª. hora o nível sérico do medicamento caiu abaixo do 
nível mínimo 3 /g dLm e ao início da 3ª. hora ficou acima do nível máximo 
admitido de 5 /g dLm , com isso o estudante, utilizando limites laterais obteve 
a informação que são necessários ajustes ou na forma como o medicamento 
é administrado ou talvez, no próprio medicamento que vem sendo pesquisado.
Faça valer a pena
1. Suponha que a função ( ) 32 411 5 337 11 2 xC x x x x
-= - + + + × representa o custo 
por produto por x unidades produzidas em uma fábrica, medido em reais.
Então é correto afirmar que:
a. ( )
0
lim 37
x
C x
®
=
b. ( )
1
lim 45
x
C x
®
=
c. ( )lim 37
x
C x
®¥
=
d. ( )
1
11lim 37
2x
C x
®
= +
e. ( )
1
11lim 37
2x
C x
®
= +
20
2. Considere a função ( )
2
4 5, 1
2 , 1 1
3 , 1 3
, 3
x x
x x
f x
x x
x x
ì + £-ïïïï- - - < £ïï=íï < £ïïï >ïïî
.
E as afirmações:
I. 1x =- é o único ponto de descontinuidade desta função.
II.Existem dois pontos de descontinuidade: 1x =- e 1x = .
III. É correto afirmar que ( )
1
lim 3
x
f x
®
= . 
IV. A função f é contínua no ponto 3x = .
Agora, assinale a alternativa que apresenta a resposta correta:
a. Somente a afirmativa IV está correta.
b. Somente as afirmativas II e III estão corretas.
c. Somente as afirmativas II e IV estão corretas.
d. Somente as afirmativas I, II e IV estão corretas.
e. Somente a afirmativa II está correta.
3. Qual deve ser o valor de mÎ de modo que a função ( )f x seja contínua 
em 4x = ?
( )
2 5 6, se x 4
3 , se x=4
x x
f x
m
ìï - + ¹ï=íïïî
a. 2 3 
b. 32 
c. 3 
d. 2 
e. 1
21
Seção 2
Limites finitos e no infinito
Diálogo aberto
No presente estudo, vamos dar continuidade ao assunto de limite. Vamos 
conhecer o conceito de limites finitos e infinitos, limites no infinito, limites 
de funções exponenciais, limites de funções trigonométricos e limites de 
função composta.
Vamos voltar a situação hipotética apresentada no Convite ao estudo?Uma das 
situações-problema apresentadas pela empresa para João resolver foi a seguinte:
A empresa multinacional onde João pretende fazer o estágio fabrica um 
certo produto para o mercado brasileiro. E esta determina que um empre-
gado após x dias de treinamento, monte m produtos por dia, onde:
( )
2
2
20
5
xm x
x x
=
+ +
 
Qual é comportamento de ( )m m x= para treinamento longos?
Não pode faltar
Limites finitos e infinitos, limites no infinito
Considere as funções ( ) 1
1
f x
x
=
+
e ( )
( )2
1
1
g x
x
=
+
 representadas nos 
gráficos 2.6 (a) e (b).
Figura 2.6 (a) – ( ) 1
1
f x
x
=
+
, ( )
( )2
1
1
g x
x
=
+
(b)
Fonte: elaborada pelo autor.
22
Note que, na figura 2.6 (a), à medida que nos aproximamos de 1x =- 
pela direita (valores maiores que 1), os valores da função ( ) 1
1
f x
x
=
+
ficam 
cada vez maiores (e positivos) e, quando nos aproximamos de 1x =- pela 
esquerda (valores menores que -1), os valores da função ( ) 1
1
f x
x
=
+
ficam 
cada vez menores (e negativos). Assim, dizemos que ( )
1
lim
x
f x
-®-
=-¥ e 
( )
1
lim
x
f x
+®-
=¥ . Já para a função ( )
( )2
1
1
g x
x
=
+
 temos que 
( ) ( )
1 1
lim lim
x x
g x g x
- +®- ®-
= =¥ . As retas verticais assinaladas nos dois gráficos são 
denominadas de assíntotas verticais.
Assimile
Definição (assíntotas horizontais): a reta horizontal para a qual tendem 
os valores de uma função ( )f x quando x ®¥ ou x ®-¥ é denomi-
nada de assíntota horizontal.
É importante distinguirmos os limites finitos (cuja resposta é um valor 
numérico bem definido) destes últimos limites que vimos nas Figuras 2.6 (a) 
e (b) os quais são denominados de limites infinitos. Veja a seguir a apresen-
tação formal do que são limites infinitos. Existem situações nas quais à 
medida que os valores de x aproximam-se de um valor a, os correspondentes 
valores da função ( )f x definida sobre algum intervalo aberto (que contém o 
valor a) ficam arbitrariamente maiores que qualquer número real 0M > . 
Neste caso escrevemos ( )lim
x a
f x
®
=¥ . Fenômeno similar ocorre quando 
temos os valores de ( )f x menores que qualquer número real 0M < . Neste 
caso escrevemos ( )lim
x a
f x
®
=-¥ . Estas diferentes situações estão exemplifi-
cadas nas figuras 2.6 (a) e (b).
Faça você mesmo
Considere a função ( )
( )2
5
1
xh x
x
=
+
. Determine a assíntota vertical para 
esta função.
23
Limites no infinito
Antes de tudo vamos reforçar a distinção entre limites infinitos e limites 
no infinito. Por limites infinitos estamos tratando das funções apresentadas 
nas Figuras 2.6 (a) e (b). Observe que estas funções “explodem” ou para + 
infinito ou para – infinito. Já limites no infinito tratam de situações para 
as quais o valor do argumento x fica um número positivo cada vez maior 
(tendendo ao infinito positivo) ou um número negativo cada vez mais 
negativo (tendendo ao infinito negativo). Uma questão prática relacionada 
com limites no infinito seria estudar o comportamento de uma máquina (se 
você for um engenheiro) ou de uma população de bactérias (se você for um 
estudioso de fenômenos biológicos) após aguardarmos um tempo infinita-
mente longo. Veja que limites no infinito podem tender a uma constante 
finita que pode ser positiva ou negativa (e muitas vezes isto ocorre na vida 
real). Esta constante é denominada de assíntota horizontal. Consulte a Figura 
2.7 (a) e (b) para visualizar limites no infinito. 
Vejamos agora dois exemplos de limites no infinito. 
Considere as funções ( ) 5
1
xf x
x
=
-
 , ( )
3 2
3
5 3 4 1
7 4 2
x x xg x
x x
- + -
=
- +
 e suponha 
que estejamos interessados em avaliar seu comportamento para valores de x 
tais que x ®¥ e para valores de x tais que x ®-¥ . Podemos fazer os 
gráficos de cada uma dessas funções para obter alguma intuição visual, muito 
embora um gráfico não possua o estatuto de demonstrar a veracidade da 
conclusão que estejamos obtendo. Mesmo assim, observando o gráfico da 
figura 2.7 (a) para a função ( ) 5
1
xf x
x
=
-
, intuímos que ( )lim 5
x
f x
®¥
= e que 
( )lim 5
x
f x
®-¥
= . Da figura 2.7 (b) intuímos que ( )lim
x
g x
®¥
e que ( )lim
x
g x
®-¥
aproxi-
mam-se de algum valor pouco inferior a 1.
Figura 2.7 (a) – ( ) 5
1
xf x
x
=
-
 (b) – ( )
3 2
3
5 3 4 1
7 4 2
x x xg x
x x
- + -
=
- +
Fonte: elaborada pelo autor.
24
A função ( ) 5
1
xf x
x
=
-
possui como assíntota vertical a reta 1x = e a 
função ( )
3 2
3
5 3 4 1
7 4 2
x x xg x
x x
- + -
=
- +
possui como assíntota vertical a reta 
0,93627x @- .
Vejamos como calcular cada um destes limites. Inicialmente se dividirmos 
algum número por valores cada vez maiores (positivos ou negativos), resul-
tará em valores cada vez menores. Ou seja, vale que 1lim 0
x x®¥
= e que 1lim 0
x x®-¥
= .
( ) [ ]
55 5 5lim lim lim lim lim 5
1 11 11 1
x x x x x
xxf x
x x
x x
®¥ ®¥ ®¥ ®¥ ®¥
= = = = =
é ù é ù- ê ú ê ú- -
ê ú ê úë û ë û
. 
Podemos repetir o mesmo procedimento para mostrar que 
( ) 5lim lim 5
1x x
xf x
x®-¥ ®-¥
= =
-
. 
Aplicações
Aplicação de limites à Física
Da Lei de ohm da eletricidade sabemos que a corrente elétrica é propor-
cional à tensão aplicada, o que pode ser expresso pela equação VI
R
= onde I 
é a corrente elétrica (medida em ampéres), V é a voltagem (medida em volts) 
e R é a resistência (em ohms). Podemos utilizar limites para avaliar o compor-
tamento da corrente elétrica em um circuito com voltagem de 5 volts e 
valores cada vez maiores para a resistência. 
Para fazer isto basta tomarmos o limite ( ) 5lim lim
R R
I R
R®¥ ®¥
= . Como a divisão 
de um número constante por números cada vez maiores tende a zero temos 
que ( ) 5lim lim 0
R R
I R
R®¥ ®¥
= = . Ou seja, um circuito elétrico com resistência muito 
elevada não permite a passagem de corrente elétrica.
Por outro lado, quando a resistência R tende a zero temos a situação do 
curto-circuito. Cabe ressaltar que na verdade a resistência nunca cai 
realmente a zero, embora ela possa tender a zero. Como a divisão de uma 
constante por números cada vez menores resulta em valores cada vez maiores, 
concluímos que a corrente elétrica tende a +¥ . O que acabamos de afirmar 
em “palavras” sem símbolos matemática agora usaremos limites para avaliar 
o comportamento da corrente elétrica quando a resistência tende a zero da 
25
seguinte forma: ( )
0 0
5lim lim
R R
I R
R® ®
= =+¥ . Qual a consequência disto? Quando 
a corrente elétrica torna-se muito elevada teremos aquecimento nos fios, 
podendo resultar em incêndios. 
Limites de funções polinomiais
Considere a função polinomial ( )f x , de grau n , com 0na ¹ da forma:
 ( ) 1 21 2 1 0...n nn nf x a x a x a x a x a--= + + + + + 
colocando nx em evidência, cada um dos termos tende a zero, logo temos:
( )2 1 2 012 1 0 2 1lim ... lim ...
 
 
n n n n
n n n nx x
a a aaa x a x a x x x a
x x xx
- -
-®±¥ ®±¥
æ ö÷ç+ + + + = × + + + + + =÷ç ÷ç ÷è ø
   
 0 0 0 0
 
( )lim lim n nx xf x a x®±¥ ®±¥= = 
Cálculo de uma indeterminação do tipo 0
0
 
Quando o numerador e o denominador de uma fração tendem a zero, no 
cálculo de limites para determinado valor de x , devemos tentar simplificar a 
função antes de efetuarmos a substituição. Para simplificar a expressão você 
deve fatorar, racionalizar, ou utilizar dispositivo prático de Briot-Ruffini para 
dividir polinômios, etc. Dado o limite:
2
3
9lim
3x
x
x®
-
-
 
Observe que ( )
2 9
3
xf x
x
-
=
-
 não é definida para 3x = , e o numerador e o 
denominador da fração tendem a zero quando x se aproxima de 3 . 
Fatorando e simplificando, temos: 
( )( )2
3 3 3
3 39lim lim lim 3 3 3 6
3 3x x x
x xx x
x x® ® ®
+ --
= = + = + =
- -
 
Expressões indeterminadas
Vimos que 0
0
 é uma expressão de indeterminação matemática. Também 
são: 0 0, ,0 ,1 ,0 e ¥¥ ¥-¥ ´¥ ¥
¥
 .
Limites de funções trigonométricas
O limite fundamental trigonométrico possui a seguinte relação:
( )
0
lim 1
x
sen x
x®
= 
26
Vamos demonstrar a relação a partir da figura 2.8: 
Figura 2.8 – Gráfico de demonstração do seno, do cosseno e da tangente
Fonte: elaborada pelo autor.
O objetivo da demonstração é mostrar que os limites à direita e à esquerda 
são iguais a 1. Assim, vamos concluir que o limite bilateral também é 1.
Para mostrar que o limite à direita é 1, começamos com valores positivos 
de q menores que 2
p . Na figura 2.8 podemos observar que:
 do setor OAP< área OATÁrea OAP áreaD < D 
Essas áreas podem ser expressadas em termos de q da seguinte maneira:
( ) ( )1 1 1base altura= (1)(sen
2 2 2
Área OAP senq qD = ´ =
( )221 1 do setor OAP= 1
2 2 2
Área r qq q= =
( ) ( )( ) ( )1 1 1 OAT= 1
2 2 2
Área base altura tg tgq qD ´ = = .
Logo, ( ) ( )1 1 1 .
2 2 2
sen tgq q q< < 
A última desigualdade não se altera se dividimos os três termos pelo 
número positivo ( )1
2
sen q :
( ) ( )
11
cossen
q
q q
< < .
Tornando os recíprocos a desigualdade é revertida:
27
( ) ( )1 cos
sen q
q
q
> > 
Uma vez que ( )
0
lim cos 1
q
q
+®
= , do Teorema do Confronto resulta 
( )
0
lim 1
sen
q
q
q+®
= 
É importante termos em mente que ( )sen q e q são ambos funções 
ímpares. Então, ( )
( )( )sen
f
q
q
q
= é uma função par e possui um gráfico 
simétrico em relação ao eixo y. Essa simetria implica que o limite à esquerda 
em 0 existe e tem valor igual ao limite à direita:
( ) ( )
0 0
lim 1 lim
sen sen
q q
q q
q q- +® ®
= = , então ( )
0
lim 1
sen
q
q
q®
= .
Saiba mais
O Teorema do Confronto também é conhecido como Teorema do 
Sanduíche. Ele diz que se ( ) ( ) ( )f x g x h x£ £ quando x está próximo 
de a exceto possivelmente em a ) ( ) ( )lim limf x h x L= = então 
( )lim g x L= (Stwart, 2013, p. 97).
Fonte: elaborada pelo autor.
Limites de funções exponenciais
Veja a partir do gráfico (figura 2.9) e da tabela que os valores xe tendem 
a 0 muito rápido.
28
Figura 2.9 – Gráfico da função exponencial
Fonte: elaborada pelo autor
 x xe 
0 1,00000
-1 0,36788
-2 0,13534
-3 0,04979
-5 0,00674
-8 0,00034
-10 0,00005
Assim, podemos concluir que xy e= tem a reta 0y = (o eixo x) , então:
 
lim 0x
x
e
® -¥
=
Limites de funções compostas
Se g for contínua em a e f for contínua em ( )g a , então a função 
composta f g dada por ( )( ) ( )( )f g x f g x= é contínua em a . Assim, uma 
vez que g é contínua em a , temos ( ) ( )lim
x a
g x g a
®
= e f é contínua em 
( )b g a= , obtemos (Stwart,2013, p.115):
( )( ) ( )( )lim
x a
f g x f g a
®
= .
29
Faça você mesmo
Qual o ( )2lim
x
x x
®¥
- ?
Sem medo de errar
Após o estudo de limites infinitos e no infinito, vamos resolver a situação 
problema apresentada ao João? 
Vamos relembrar! 
A empresa multinacional onde João pretende fazer o estágio fabrica um 
certo produto para o mercado brasileiro. E esta determina que um empre-
gado após x dias de treinamento, monte m produtos por dia, onde: 
( )
2
2
20
5
xm x
x x
=
+ +
 
Qual é comportamento de ( )m m x= para treinamentos longos?
Resolução: 
Observe que ( )
2
2 2
22
2 2
20
20lim lim lim 20
55x x
x
x xm x
x xx x
x x x
®¥ ®¥
= = =
+ +
+ +
 
Logo, após um longo treinamento, um empregado pode montar 20 
computadores por dia.
Figura 2.10 – Gráfico de treinamento
Fonte: elaborada pelo autor.
30
Avançando na prática
Preço do produto.
O custo para produzir x unidades de um certo produto é dado por 
( ) 0,25 3600C x x= + em reais. Determine o custo médio quando x cresce e 
interprete o resultado.
Resolução da situação-problema
Primeiramente ( ) ( ) 36000,25e
C x
CM x
x x
= = + ;
então ( ) 3600lim lim 0,25 0,25ex xCM x x®¥ ®+¥
æ ö÷ç= + =÷ç ÷÷çè ø
 .
Isto é, quando o bem em questão é produzido em grande escala o custo 
médio tende a estabilizar-se em 0,25 reais. 
Figura 2.11 – Gráfico escala de custo médio
Fonte: elaborada pelo autor.
Faça valer a pena
1. Qual o limite da função 
100
lim log10
x
x
®
 , em que 0x> .
Então é correto afirmar que
a. 3
b. 4
31
c. 10
d. 100
e. 1
2. O valor do 
2
2
2 5 1lim
4 3 7x
x x
x x®¥
- +
+ -
 é:
a. 1
3
 
b. 3 
c. 1
2
 
d. 2 
e. ¥
3. Qual o ( )
2
lim 4
x
sen x
p
®
 ?
a. 2 
b. 3 
c. 4 
d. 0
e. 5
32
Seção 3
Derivada - introdução
Diálogo aberto
A partir de agora iremos iniciar nossos estudos sobre Derivada!
O objetivo do estudo de um curso de cálculo é o estudo de funções, sendo 
a derivada um dos instrumentos usados para estudar as propriedades e os 
detalhes do comportamento da função num ponto ou em um local, pois 
permite verificar se a função está crescendo ou decrescendo; se há um ponto 
de mínimo ou de máximo, mesmo que local; se a função muda de concavi-
dade, entre outros.
Vamos voltar à situação hipotética apresentada no Convite ao estudo? 
Uma das situações-problema apresentadas pela empresa para João resolver 
foi o seguinte problema: 
Uma pedra desprende-se do topo do galpão da empresa. Qual é a sua 
velocidade média durante os primeiros dois segundos de queda? 
Considerando que, experimentalmente, temos que 24,9y t= .
Não pode faltar
Derivada: conceito e propriedades
Suponha que uma colheitadeira percorra uma fazenda a uma velocidade 
média de 5 /km h . Na figura 3.9 apresentamos o gráfico da posição da colhei-
tadeira em função do tempo. 
Figura 3.9 – gráfico posição x tempo da colheitadeira de soja
Fonte: elaborada pelo autor.
33
A função que representa a posição da colheitadeira em função do tempo é 
( ) 5x t t= × , onde t é medido em horas. Assim, para 1t = a posição é 
( )1 5 1 5x km= × = , para 2t = a posição é ( )2 5 2 10x km= × = e assim por diante. 
A posição da colheitadeira varia 5 quilômetros para cada hora decorrida. 
Observe que a velocidade da colheitadeira coincide com a inclinação da função 
afim e que esta velocidade corresponde à taxa de variação média entre cada 
hora decorrida. A partir deste exemplo apresentamos a definição a seguir. 
Definição taxa média de variação, Define-se a taxa média de variação da 
função ( )f x quando x varia entre 1x e 2x pela expressão 
( ) ( )2 1
2 1
f x f xf
x x x
-D
=
D -
 
(STEWART, 2016, p. 135). 
É importante a seguinte interpretação para a taxa média de variação: a 
taxa média de variação de uma função mede quantas vezes uma variação no 
eixo y (na vertical) é maior que uma variação no eixo x (na horizontal). Em 
outras palavras, a taxa média de variação é uma medida da “velocidade 
média” de variação da função entre os pontos 1x e 2x .
Contudo, este conceito de velocidade média é limitado para descrever 
o que ocorre na realidade. Quando o motorista de um automóvel “pisa” no 
acelerador (ou no freio) ele está alterando a velocidade do veículo. Ou seja, 
ele está alterando a taxa com que a distância em quilômetros é percorridopor hora (se a velocidade for medida em km/h). Assim, embora a velocidade 
média do carro possa ser, digamos, igual a 50 km/h, sua velocidade a cada 
instante será maior ou menor que este valor. Em muitas aplicações estamos 
interessados na taxa de variação da função em um instante específico. Isto 
nos leva à definição de taxa instantânea de variação. 
A taxa instantânea de variação de uma função em um ponto ( )( )1 1,P x f x= 
consiste na avaliação da velocidade instantânea de variação da função 
naquele ponto e é dada pela definição a seguir. 
Definição taxa instantânea de variação de uma função em um ponto: a 
taxa instantânea de variação da função ( )f x no ponto ( )( )1 1,P x f x= é dada 
pelo limite (se existir): ( ) ( )
2 1
2 1
0
2 1
lim lim
x x x
f x f xf
x x xD ® ®
-D
=
D -
(STEWART, 2016, p. 135).
Reflita
O que podemos concluir sobre os sinais da taxa de variação das funções
( )1 2xf x = e ( )2 2 xf x -= observando seus gráficos?
34
No estudo de funções nós estendemos o conceito de velocidade para o 
que é chamado de taxa de variação da função. Tomemos como exemplo um 
engenheiro que esteja estudando a taxa de dilatação térmica de uma barra 
metálica com a temperatura, ou um administrador de empresas interessado 
na taxa de variação dos custos de produção à medida que variam as unidades 
produzidas na fábrica ou, ainda, um profissional da área de saúde interessado 
na taxa de variação com que um remédio é absorvido pelo paciente. 
Em todos estes casos estamos interessados em medir a “velocidade” com 
que cada uma destas funções varia em determinados pontos. A seguir 
apresentamos como calcular esta taxa média de variação para a função afim 
( ) 3 1f x x= + entre os pontos 0 1x = e 1 2x = . 
A expressão ( ) ( )1 0
1 0
f x f xf
x x x
-D
=
D -
 é uma medida da maneira com que a 
função f varia entre os pontos 0x e 1x . Calculando 
f
x
D
D
 obtemos 
( ) ( ) ( ) ( )1 0
1 0
3 2 1 3 1 1
3
2 1
f x f xf
x x x
- × + - × +D
= = =
D - -
. Se mudarmos os pontos 0x e 1x 
para 0 2x = e 1 3x = , também obteremos que a taxa média de variação com 
que a função ( ) 3 1f x x= + varia entre dois pontos é igual a 3. Vejamos agora 
o cálculo para 0 2x = e 1 3x = : 
( ) ( ) ( ) ( )1 0
1 0
3 3 1 3 2 1
3
2 1
f x f xf
x x x
- × + - × +D
= = =
D - -
Na verdade, para quaisquer dois pontos 0x e 1x a taxa média de variação 
desta função ( ) 3 1f x x= + é sempre igual a 3. Indo mais além, a velocidade 
de variação de qualquer função afim ( )f x ax b= + é sempre igual a seu coefi-
ciente angular a. 
Considere agora a função ( ) 2g x x= e calculemos a velocidade com que 
ela varia entre os pontos 0 1x = e 1 2x = :
( ) ( ) 2 21 0
1 0
2 1 3
2 1
g x g xg
x x x
-D -
= = =
D - -
. 
Refazemos o mesmo cálculo para os pontos 0 2x = e 1 3x = :
( ) ( ) 2 21 0
1 0
3 2 5
3 2
g x g xg
x x x
-D -
= = =
D - -
 e para os pontos 0 3x = e 1 4x = teremos 
( ) ( ) 2 21 0
1 0
4 3 7
4 3
g x g xg
x x x
-D -
= = =
D - -
. Observe que a velocidade de variação neste 
caso não é constante: está aumentando. Este fato está associado com o gráfico 
da função ( ) 2g x x= : a inclinação do gráfico desta função aumenta conforme 
x aumenta.
No exemplo a seguir vemos como a taxa de variação pode ser utilizada 
para avaliar a velocidade com que uma função varia em um ponto.
35
Exemplificando
Suponha que uma empresa produza azulejos para residência a um custo 
de produção em R$ dado pela função ( ) 2 60 1085f x x x= - + onde x 
representa a quantidade (em metros quadrados) de azulejos produzidos. 
Qual a taxa de variação do custo ao se produzir 25000 m de azulejos?
Resolução: esta taxa de variação é dada pelo limite
( ) ( )
2 1 2 1
2 2
2 2 1 12 1
0
2 1 2 1
60 1085 60 1085
lim lim lim
x x x x x
x x x xf x f xf
x x x x xD ® ® ®
é ù é ù- + - - +-D ê ú ê úë û ë û= =
D - -
Onde 1 5000x = e 2x aproxima-se cada vez mais de 1x .
Podemos re-escrever o numerador do limite acima como:
2 2 2 2
2 2 1 1 2 1 2 160 1085 60 1085 60 60x x x x x x x xé ù é ù- + - - + = - - +ê ú ê úë û ë û
Fatorando por diferença de quadrados e usando o 60 como fator 
comum temos: ( )( ) ( )2 22 1 2 1 2 1 2 1 2 160 60 60x x x x x x x x x x- - + = - + - - .
Fatorando novamente chegamos a 
( )( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 1 2 1 2 160 60x x x x x x x x x xé ù- + - - = - + -ê úë û . 
Substituímos esta última expressão no numerado do limite: 
2 1
2 2
2 2 1 1
2 1
60 1085 60 1085
lim
x x
x x x x
x x®
é ù é ù- + - - +ê ú ê úë û ë û =
-
( ) ( )
2 1
2 1 2 1
2 1
60
lim
x x
x x x x
x x®
é ù- + -ê úë û
-
Podemos cancelar o fator ( )2 1x x- chegando a 
( ) ( )
2 1
2 1 2 1
2 1
60
lim
x x
x x x x
x x®
é ù- + -ê úë û
-( )
2 1
2 1lim 60x x x x®= + - .
Como 1 5000x = e 2x aproxima-se cada vez mais de 1x substituímos
2 5000x = no limite ( )
2 1
2 1lim 60x x x x®= + - obtendo: 
( ) ( )
2
2 15000
lim 60 5000 5000 60 10000 60 9940
x
x x
®
+ - = + - = - = . Podemos 
interpretar este resultado da seguinte forma: considere que após 
produzidos 5000 metros quadrados de azulejo, o custo de produção 
para se produzir 1xD = metro quadrado adicional de azulejo será 
aproximadamente de R$ 9.940,00. Ou seja, é quanto o custo varia ao 
produzirmos esta unidade adicional de metro quadrado de azulejo a 
partir do valor base de 5000 metros quadrados. 
Para avaliarmos a taxa média de variação com que uma função varia em 
um ponto, partimos da reta secante ao gráfico da função ( )f x , passando 
pelos pontos x e 0x . Considere, nos gráficos da Figura 3.10, a reta secante à 
função ( )f x , com x cada vez mais próximo de 0x . 
Veja que, à medida que 0x x® a reta secante aproxima-se cada vez mais 
da reta tangente. 
36
Figura 3.10 - Reta secante à função ( )f x para 0x x® (a); (b) (c) reta tangente à função ( )f x (d)
Fonte: elaborada pelo autor.
Definição reta tangente ) Considere a função ( )f x e o ponto em seu gráfico 
( )( )0 0,P x f x= . A reta tangente à função ( )f x , que passa pelo ponto P possui 
inclinação dada pelo limite ( ) ( )
0
0
0
lim
x x
f x f x
m
x x®
-
=
-
(STEWART, 2016, p. 131).
Alternativamente à definição acima, a inclinação da reta tangente à 
função ( )f x passando pelo ponto ( )( )0 0,P x f x= também pode ser determi-
nada pelo limite ( ) ( )0 0
0
lim
h
f x h f x
m
h®
+ -
= , onde usamos que 0h x x= -
Assimile
O ponto fundamental aqui é: a taxa média de variação com que uma 
função varia em um ponto está associada com a inclinação da reta 
tangente à função neste ponto.
37
Observe as figuras 3.11 (a), (b) e (c) apresentando as retas tangentes à 
função ( ) 2g x x= nos pontos 0 1x = , 0 2x = e 0 3x = . Veja que a velocidade 
com que esta função varia aumenta para valores cada vez maiores de x. 
A equação da reta tangente à função ( )f x no ponto 0x x= é dada pela 
expressão ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0T x f x f x x x¢= + × - 
Figura 3.11 – retas tangentes ao gráfico de ( ) 2g x x= nos pontos indicados
 0 1x = (a) 0 2x = (b) 0 3x = (c)
Fonte: elaborada pelo autor.
Reflita
As retas tangentes da figura 3.11 possuem coeficiente angular positivo. 
Você poderia apresentar exemplos de retas tangentes com coeficiente 
angular negativo?
A partir da definição de reta tangente introduz-se um dos mais importantes 
conceitos da Matemática: o conceito de derivada de uma função em um ponto. 
Definição derivada de função em um ponto: Define-se a derivada da função
( )f x no ponto ( )( )0 0,P x f x= pelo limite ( )
( ) ( )0 0
0 0
lim
h
f x h f x
f x
h®
+ -
¢ = 
(se este limite existir no ponto). Leia-se o símbolo ( )0f x¢ como “f linha em 
0x “ ou “derivada de f no ponto 0x ” STEWART, 2016, p. 133). 
Além da notação ( )f x¢ para derivada também é utilizada para indicar a 
derivada da função f a notação ( )df x
dx
. Ou seja, ( )( ) df xf x
dx
¢ = . 
Como já apresentado anteriormente, a derivada de uma função em um 
ponto está diretamente associada com a taxa de variação com que a funçãovaria naquele ponto. 
Se uma função ( )f x possui derivada em um ponto ( )( )0 0,P x f x= , 
dizemos que esta função é derivável naquele ponto.
38
Exemplificando
[Extraído de Stewart (2016, p. 134)] – Encontrar a derivada da função 
( ) 2 8 9f x x x= - + em um número 0x .
Resolução: 
Usando a definição de derivada em que 0h® , deve-se aplicar ( )f x 
que se deseja derivar. É importante lembrar que é necessário subtrair a 
função ( )f x quando estiver no ponto 0x x h= + da ( )f x quando 
0x x= . Logo, algebricamente a solução é a descrita a seguir.
 ( )
( ) ( )0 0'
0 0
lim
h
f x h f x
f x
h®
+ -
= 
( )
( ) ( ) [ ]20 0 0'
0 0
8 9 8 9
lim
h
x h x h x a
f x
h®
é ù+ - + + - - +ê úë û= 
( ) ( ) ( )
2 22
0 0 0 0 0
0
2 8 8 9 8 9
'
x x h h x h x x
f x
h
+ + - - + + -
= 
( ) ( )
2
0
0 00 0
2 8
' lim lim 2 8
h h
x h h h
f x x h
h® ®
+ -
= = + + 
( )0 0' 2 8f x x= -
Sem medo de errar
Vamos relembrar a situação problema apresentada a João.
Uma pedra desprende-se do topo do galpão da empresa. Qual é a sua 
velocidade média durante os 2 segundos de queda?
Experimentos mostram que, ao entrar em queda livre a partir do repouso, 
próximo da superfície terrestre, um objeto sólido e denso percorrerá y 
metros nos primeiros t segundos, onde: 24,9y t= . A velocidade média da 
pedra em qualquer intervalo de tempo é a distância percorrida yD , dividida 
pelo tempo decorrido tD , neste percurso. Para os primeiros 2s temos: 
0 0t = e 2ft = , logo 0 0y = e ( )
24,9 2fy = × . Daí 
( ) ( )2 24,9 2 4,9 0
9,8
2 0
yv
t
× -D
= = =
D -
 
m/s.
Podemos saber a velocidade média da pedra ao longo do percurso desde 
2t = até qualquer tempo posterior 2t h= + , 0h> . Então temos: 
( ) ( )2 24,9 2 4,9 2hy
t h
× + -D
=
D
.
39
Na tabela vemos os valores das velocidades média quando se aproxima 
do valor limite:
h(s) y t
D
D
 
1,0 24,5
0,1 20,09
0,01 19,649
0,001 19,6049
0,0001 19,60049
Fonte: elaborada pelo autor.
A tabela nos diz que quando 0h® ( h tende a 0 ) a velocidade média se 
aproxima do valor limite 19,6 m/s.
( ) ( ) ( )2 2 2 24,9 4 44,9 2 4,9 2 19,6 4,9 19,6 4,9h hhy h h h
t h h h
× + +× + -D +
= = = = +
D
 
Assim, fazendo 0h® descobrimos a velocidade instantânea em 2t s= , 
isto é, seu valor limite é ( )19,6 4,9 0 19,6+ = m/s.
Avançando na prática
Velocidade de um objeto
Um objeto é jogado do alto de um prédio de uma altura de 1250 pés 
acima do nível da rua, e a sua modelagem foi representada através da função 
em relação a posição ( ) 21250 16s f t t= = - , onde ( )f t é medido em pés 
acima do nível da rua e “t”, em segundos depois de ser jogado. Determine:
a. A função velocidade do objeto;
b. O intervalo de tempo ao longo do qual vale a função velocidade;
c. A velocidade do objeto ao atingir o nível da rua.
40
Resolução da situação-problema
a. Substituindo os valores dados na função: ( ) ( )0 0
0
lim
h
f x h f x
h®
+ -
, 
teremos: 
( )
( )( )
2 2 2
0 0
2
0 0
1250 16 1250 16 16 2
lim lim
216 lim 16 lim 2 32
h h
h h
t h t t th h
h h
th h t h t
h
® ®
® ®
é ù é ùé ù- + - - - + +ê ú ê ú ê úë û ë û ë û= =
æ ö+ ÷ç ÷=- - + =-ç ÷ç ÷çè ø
 
A velocidade será de 32t pés/segundo.
b. A função velocidade em (a) é válida a partir do sistema ( )0t = , em 
que o objeto é jogado, até o instante 1t , em que atinge o solo, quando: 
2 2
1 11250 16 0 16 1250t t- = Þ = assim, 1
1250 8,84
16
t s= @ . Portanto para 
o valor positivo de 1t , concluímos que a função velocidade é válida até 
o instante 8,84s.
c. Para determinar a velocidade do objeto quando atinge o solo, substi-
tuímos o valor de 1t por 8,84s na função velocidade ( ) 32v t t=- , 
então teremos:
( ) ( )8,84 32 8,84 282,88V =- × @- pés/s.
Faça valer a pena
1. Considerando o gráfico a seguir:
Marque a alternativa que mostra a taxa de variação média da produção no 
intervalo de 20 a 30 horas.
41
a. 100 toneladas/horas.
b. 200 toneladas/horas.
c. 300 toneladas/horas.
d. 400 toneladas/horas.
e. 500 toneladas/horas.
2. Assinale a alternativa que corresponde as afirmativas corretas:
I. O coeficiente angular da reta secante que passa pelos pontos Q e P de 
uma função, apresenta a sua taxa de variação média.
II. O coeficiente angular da reta tangente ao ponto P de uma função, 
apresenta a sua taxa de variação instantânea.
III. Para definir a taxa de variação instantânea, são consideradas taxas 
de variação médias em intervalos que são diminuídos em torno de 
um ponto P. Esse processo de tornar o tamanho do intervalo tão 
pequeno que se aproxime de zero, trata-se do cálculo do limite.
a. I e II
b. II e III 
c. III e I
d. I, II e III
e. apenas a I está correta
3. A posição de um objeto em movimento é representado pela função: 
( )
( )
1
1
S f t
t
= =
+
 . Onde " "t é medido em segundos " "s é representado em 
metros.
Determine a velocidade e a rapidez após 2t = .
a. 19 m/s
b. 9 m/s
c. 1 m/s
d. 14 m/s
e. 7 m/s
42
Seção 4
Regras de derivação – Parte 1
Diálogo aberto
A partir de agora iremos continuar nossos estudos sobre derivada. Na seção 
anterior você estudou o significado e o cálculo da taxa de variação instantânea a 
partir de limite. Nesta seção, o valor da taxa de variação instantânea, já definida 
como derivada, será determinando de forma direta através de fórmulas.
Vamos voltar à situação hipotética apresentada no Convite ao estudo? Uma das 
situações-problema apresentadas pela empresa para João resolver foi a seguinte:
Um importador do setor automotivo estima que quando consegue vender 
x unidades de uma determinada peça automotiva, consegue uma receita 
bruta representada pela expressão matemática: 2: 0,5 3 2C x x+ - (milhares de 
reais). Qual será a taxa de variação da receita quando o empresário conseguir 
vender três unidades dessas peças?
Não pode faltar
Derivada como função
Vamos considerar, a derivada em uma situação com uma série de pontos. 
A derivada, em geral, assume valores diferentes em pontos diferentes e é, 
também, uma função. Em primeiro lugar, lembre-se de que a derivada de 
uma função em um ponto mostra a taxa segundo a qual o valor da função 
está variando naquele ponto. Geometricamente, a derivada pode ser conside-
rada a inclinação da curva ou o coeficiente angular da reta tangente à curva 
no ponto conforme explica Hughes-Hallett et al. (2011, pág. 67).
Os operadores D e d
dx
 são chamados operadores diferenciais, pois 
indicam a operação de diferenciação que é o processo de cálculo de uma 
derivada. dy
dx
 é lido como “a derivada de y em relação a x ”, e df
dx
 ou ( d
dx
 )
( )f x como “a derivada de f em relação a x ”.
As notações que indicam a derivada de uma função também podem 
indicar um ponto em que se deseja avaliar a derivada, como segue.
'
x a
y
=
 ou 
x a
dy
dx =
 ou ( )
x a
d f x
dx =
.
43
O símbolo de avaliação ( )x a= significa calcular a expressão à esquerda em 
x a= . 
Agora que você já conhece as notações para as derivadas de funções, 
aprenderá algumas regras de derivação. Essas regras permitem calcular a 
derivada de uma função rapidamente. 
Regra 1 – derivada de uma função constante é zero.
( ) 0d c
dx
=
Exemplificando
Calcule a derivada de ( ) 5f x = .
Solução: observe que essa é uma função constante que passa no ponto 
5 do eixo y e não corta o eixo x, mas é paralelo a ele. Logo essa reta 
é paralela ao eixo x. (coeficiente angular = m = 0). Isso significa que 
ao variar o valor em x não há alteração em y. Consequentemente, a 
derivada de uma função constante é zero.
Regra 2 – derivada de uma função potência, quando n for um número 
real qualquer.
( ) 1n nd x nx
dx
-=
Exemplificando
Calcule a derivada de ( ) 5f x x= . Em seguida, determine a taxa de 
variação instantânea da função f em 2x = .
Solução: 
( ) ( ) ( )5 5 1 4' 5 ' 5f x x f x x f x x-= Þ = × Þ = 
Para ( ) ( )42 ' 2 5 2 ' 2 5 16 80.x f f= Þ = × Þ = × =
Regra 3 – derivada de uma função multiplicada por constante.
( ) ( )d dcf x c f x
dx dx
é ù =ê úë û
ExemplificandoCalcule a derivada de ( ) 310f x x= . Em seguida, determine a taxa de 
variação instantânea da função f em 4x = .
44
Solução: 
( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 1 2' 10 ' 10 ' 10 3 ' 30d df x x f x x f x x f x x
dx dx
-= Þ = Þ = × Þ = 
( ) ( )2' 4 30 4 30 16 ' 4 480f f= × = × Þ =
Regra 4 – derivada da soma ou diferença de duas funções deriváveis.
( ) ( ) ( ) ( )d d df x g x f x g x
dx dx dx
é ù± = ±ê úë û
Exemplificando
Calcule a derivada de ( ) 2 8 9f x x x= - + . Em seguida, determine a taxa 
de variação instantânea da função ( )f x em 3x = .
Solução: 
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2 1 1 1
' 8 9
' 8 9
' 8 9
' 2 8 0
' 2 8
' 3 2 3 8 2.
df x x x
dx
d d df x x x
dx dx dx
d d df x x x
dx dx dx
f x x x
f x x
f
- -
= - +
= - +
= - +
= - +
= -
= × - =-
O presente conteúdo desenvolveu o estudo de derivada. Você aprendeu 
que a derivada num ponto é considerada como taxa de variação instantânea 
e geometricamente como a inclinação da reta tangente à curva no ponto 
dado. Também estudou que é possível encontrar a derivada de uma função 
usando regras de derivação que valem para a função em todos os pontos que 
a função for derivável (ou diferenciável).
Vamos agora praticar? Chegou a hora de aplicar os conteúdos aprendidos 
na resolução de problemas!
Sem medo de errar
Após o estudo sobre as regras de derivação, vamos resolver a situação-
-problema apresentada a João? Vamos relembrar!
Um importador do setor automotivo estima que quando consegue vender 
x unidades de uma determinada pela automotiva, consegue uma receita 
bruta representada pela expressão matemática: 20,5 3 2C x x= + - (milhares 
45
de reais). Qual será a taxa de variação da receita quando o empresário conse-
guir vender três unidades dessas peças?
Ao realizar a derivação da função, foi encontrado?
( )
( )
20,5 3 2
' 3
' 3 3 3 6
C x x
C x x
C
= + -
= +
= + =
 
Podemos concluir que quando a produção é de três unidades a receita da 
empresa aumenta a uma taxa de 6 mil reais por unidade produzida.
Avançando na prática
Aplicação de derivadas: farmacologia.
Carlos, um atleta de natação, ao participar de uma competição salta de 
um trampolim a sua posição inicial é de 216 16 32.H t t=- + + 
a. Em que instante Carlos atinge a água?
b. Qual a velocidade de Carlos no momento do impacto?
Resolução da situação-problema
Momento inicial quando 20 16 16 32.t H t t= Þ =- + + 
Agora, vamos encontrar as raízes dessa equação:
( )2 2
2
4 16 4 16 32 2304 48
4 16 48
2 2 ( 16)
b ac
b b act t
a
D= - ÞD= - × - × ÞD= ÞD=
- ± - - ±
= Þ =
× -
 
1
16 48 1
32
t - += =-
-
 e 2
16 48 2
32
t - -= =
-
 . Utilizaremos 2t s= .
Derivando a função teremos:
( )' 32 16h t t=- + 
E substituindo 2t s= 
( )' 2 32 2 16 64 16 48h =- × + Þ- + =-
46
Faça valer a pena
1. Considere as funções ( ) 4 3 25 3 2 4 7f x x x x x= - + - + .
A alternativa que apresenta a derivada da função ( )f x .
a. ( ) 3 220 9 4 4f x x x x¢ = - - + . 
b. ( ) 4 3 220 9 4 4f x x x x x¢ = - + - . 
c. ( ) 3 25 9 4 4f x x x x¢ =- + - + . 
d. ( ) 4 3 220 3 2 4 7f x x x x x¢ =- + - + - . 
e. ( ) 3 220 9 4 4f x x x x¢ = - + - . 
2. A derivada num ponto é considerada como taxa de variação instantânea e 
geometricamente como a inclinação da reta tangente à curva no ponto dado. 
É possível encontrar a derivada de uma função usando regras de derivação 
que valem para a função em todos os pontos que a função for derivável (ou 
diferenciável).
Assim, determine a taxa de variação instantânea para a função 
( ) 3 212 5 10 15f x x x x= + + - quando 2x = .
a. 174
b. 300 
c. 354 
d. 150 
e. 201 
3. Classifique as seguintes afirmações por verdadeira (V) ou falsa (F).
I. A derivada de uma função constante é zero.
II. A derivada de uma função num ponto é a taxa de variação instantânea 
naquele ponto.
III. Geometricamente, a derivada pode ser considerada a inclinação da 
curva ou o coeficiente angular da reta secante que passa pelo ponto.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a resposta CORRETA:
a. V, F, V
b. F, F, V
47
c. F, V, F
d. V, V, F
e. V, V, V
Referências
BOULOS, Paulo; ABUD, Zara Issa. Cálculo Diferencial e Integral. Volume 1. São Paulo: 
Makron Books, 2000.
ANTON, Howard; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen. Cálculo Volume I. 10. ed. Porto Alegre: 
Bookman, 2012. 1168 p.
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