Aula-02

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Instalação do R Uso básico do R Econometria com o auxílio do R
Econometria I
Mínimos �adrados Ordinários
Frederico Uchôa
FCE/UFBA
22 de fevereiro de 2021
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Instalação do R
• O R pode ser baixado nos endereços:
• Para quem Linux:
• https://cloud.r-project.org/bin/linux/
• Para quem (Mac) OS X:
• https://cloud.r-project.org/bin/macosx/
• Para quem Windows:
• https://cloud.r-project.org/bin/windows/
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https://cloud.r-project.org/bin/linux/
https://cloud.r-project.org/bin/macosx/
https://cloud.r-project.org/bin/windows/
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• Depois de instalado o R já pode ser excutado.
• O terminal deve ter uma aparência similar a da figura abaixo
Figura 1: Terminal de comandos do R
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• R tem uma interface de linha de comando e executa comandos simples.
• As linhas de comando são marcadas com o símbolo >, chamado de prompt.
• Se você digitar um comando e pressionar enter o programa irá avaliá-lo e imprimir o resultado.
• Por exemplo, as operações de adição, subtração, multiplicação, divisão e exponenciação são efetuadas
do seguinte modo:
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2 + 2
## [1] 4
2 - 2
## [1] 0
2 * 2
## [1] 4
2 / 2
## [1] 1
2 ^ 2
## [1] 4
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• Comparações são feitas com os operadores == <> <=> =.
• Como resultado obtêm-se um valor lógico TRUE ou FALSE.
• Observe que a comparação de igualdade é feita com o duplo igual ==.
• Por exemplo, se perguntamos se 2× 2 é igual a 4 a resposta é positiva, mas se perguntamos se 2× 2 é
maior que 4 a resposta é negativa
2 * 2 == 4
## [1] TRUE
2 * 2 > 4
## [1] FALSE
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• Podemos adicionar comentários ao nosso código usando o caractere #.
• É útil documentar nosso código dessa maneira para que outras pessoas (e nós na próxima vez que o
lermos) tenhamos mais facilidade para acompanhar o que o código está fazendo.
• Podemos criar uma nova variável atribuindo um valor a ela usando <- ou =.
• Observe que o sinal de igual é usado para atribuição de valor a varável.
• Os nomes das variáveis não podem conter espaços, mas podem conter pontos.
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• Por exemplo, para configurar um vetor denominado x com, digamos, em cinco números, 1, 2, 3, 4 e 5.
• Vetores podem ser criados com c() que significa “combinar”. Por exemplo c(1,2,3,4,5).
• Usamos o comando:
x <- c(1, 2, 3, 4, 5)
# ou equivalentemente
x = c(1, 2, 3, 4, 5)
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• Depois de criada a variável podemos imprimir o seu valor digitando o nome dessa variável e
pressionando enter.
• Via de regra, o R imprimirá no console qualquer objeto retornado por uma função ou operação, a menos
que o atribuamos a uma variável.
• Vejamos o que guardamos em x
x
## [1] 1 2 3 4 5
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• Podemos fazer operações aritméticas com variáveis (obviamente se forem numéricas).
• Por exemplo, podemo multiplicar a variável x, que é um vetor, por um escalar, digamos 10.
• Ou podemos somar x com x
x * 10
## [1] 10 20 30 40 50
x + x
## [1] 2 4 6 8 10
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• O valor armazenado no vetor pode ser alterado, podemos remover itens ou adicionar novos valores.
• Cada item no vetor tem uma posição, o 1 está na posição 1, o 2 está na posição 2 e assim em diante.
• Por exemplo, para remover o 1 (que está na primeira posição) fazemos x[-1].
• E para imprimir apenas o 4 (que está na quarta posição) fazemos x[4].
• Para acrescentar o número 6 no final do vetor fazemos c(x,6).
x[-1]
## [1] 2 3 4 5
x[4]
## [1] 4
c(x,6)
## [1] 1 2 3 4 5 6
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• Sequências de números podem ser criadas usando :
• Por exemplo, o mesmo vetor x poderia ter sido criado usando
x <- 1:5
# e se imprimirmos x temos
x
## [1] 1 2 3 4 5
# Ou ainda
x <- 5:1
x
## [1] 5 4 3 2 1
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• No entanto, se quisermos produzir sequências mais interessantes devemos usar a função seq que
permite construir sequências mais gerais.
• Para criar uma sequência de um a dez em intervalos de 2 podemos fazer o seguinte
seq(from = 1, to = 10, by = 2)
## [1] 1 3 5 7 9
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• A função rep(x, times = y) repete y vezes os valores de x.
• E ainda a função sample(x, size = 1, replace = FALSE) que seleciona uma amostra, com
reposição (replace = TRUE) ou não (replace = FALSE), de x com tamanho size, por exemplo,
# Repete o número 2 cinco vezes
rep(2, times = 5)
## [1] 2 2 2 2 2
#
sample(c(1,2,3,4,5), size = 5, replace = FALSE)
## [1] 3 2 1 5 4
#
sample(c(1,2,3,4,5), size = 5, replace = TRUE)
## [1] 5 4 4 3 5
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• Também é possível gerar sequências de números aleatórios.
• A função runif gera uma sequência entre 0 e 1 com distribuição uniforme.
• A função rnorm gera uma sequência de números pseudo aleatórios normalmente distribuídos com
média (mean) 0 e desvio padrão (sd) 1.
# Uniforme
runif(10, min = 0, max = 1)
## [1] 0.19621373 0.45701753 0.64219090 0.56452238 0.85163619 0.37621380 0.57813094 0.80370893 0.04381961 0.71351330
# Normal padrão
rnorm(10, mean = 0, sd = 1)
## [1] 0.22916172 0.03273154 -0.04489887 0.90542727 1.27333462 -0.85907097 -1.26924610 -0.21843360 -0.72591128 0.24007768
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• Para nos familiarizarmos um pouco mais com essas matrizes vamos obtê-las no R usando o comando
de multiplicação de matrizes %*%.
• Para obter matrizes de dados hipotéticos vamos criá-los com os comandos que vimos anteriormente.
• Digamos que nossa amostra é tamanho n, logo podemos fazer, por exemplo,
n = 10
X = runif(n)
y = rnorm(n)
X
## [1] 0.10107314 0.66375817 0.29039832 0.07139128 0.94640802 0.20194307 0.57648852 0.72472646 0.06379118 0.49940967
y
## [1] -0.14592534 -1.09774363 -0.12338360 -2.11843986 1.08515728 1.08122613 0.08402514 0.89850203 0.73430884 0.71644668
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• Vamos supor que nosso modelo tem constante tal que β = (β0, β1).
• A primeira coisa que precisamos fazer é criar um vetor de 1‘s que servirá para estimarmos a
constante.
• Usando o comando rep criamos esse vetor de tamanho n = 10 da seguinte maneira
constant = rep(1, times = n)
constant
## [1] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
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• Em seguida, vamos juntar o vetor da constante com os dados criados para a variável X .
• Isso é feito com o auxílio do comando cbind que serve para fazer a junção, lado a lado (por colunas),
de duas matrizes (o comando rbind faz a junção por linhas).
X = cbind(constant, X)
X
## constant X
## [1,] 1 0.10107314
## [2,] 1 0.66375817## [3,] 1 0.29039832
## [4,] 1 0.07139128
## [5,] 1 0.94640802
## [6,] 1 0.20194307
## [7,] 1 0.57648852
## [8,] 1 0.72472646
## [9,] 1 0.06379118
## [10,] 1 0.49940967
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• Observe que agora o R nos apresenta X na forma de uma matriz enquanto antes tínhamos um vetor.
• De posse das matrizes que precisávamos podemos agora aplicar o estimador de Mínimos �adrados
Ordinários (MQO) para obter β̂.
• O método de MQO ajustará a reta que apresentar as menores distâncias quadráticas entre os valores
observados e a reta.
• Em outras palavras, o estimador de MQO minimiza o valor da função do erro quadrático.
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• Vejamos:
betahat = solve(t(X)%*%X)%*%t(X)%*%y
betahat
## [,1]
## constant -0.3421327
## X 1.0956937
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• Dois novos comandos foram usados.
• O primeiro (solve(‘args’)) estamos usando para inverter a matriz, mas, na verdade, é usado para
resolver equações do tipo a %*% x = b para x em que b pode ser tanto um vetor quanto uma matriz.
• O segundo (t(‘args’)) devolve a transposta da matriz de interesse.
• Vamos agora fazer uso da matriz de aniquilação para obter o vetor de resíduos, mas antes precisamos
criar a matriz identidade I.
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• O comando diag(n) nos devolve uma matriz identidade de ordem n.
• Temos então:
I = diag(n)
P = X%*%solve(t(X)%*%X)%*%t(X)
M = I - P
uhat = M%*%y
uhat
## [,1]
## [1,] 0.08546221
## [2,] -1.48288653
## [3,] -0.09943846
## [4,] -1.85453010
## [5,] 0.39031674
## [6,] 1.20209113
## [7,] -0.20549695
## [8,] 0.44655657
## [9,] 1.00654599
## [10,] 0.51137940
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• Agora que já temos o vetor de resíduos podemos pensar em testar hipóteses.
• Até aqui partimos de um modelo no qual β é desconhecido e, portanto, não temos como saber se
podemos ou não confiar em nossa estimativa de β.
• Vamos gerar um modelo no qual β é conhecido a priori (assim teremos como determinar a qualidade
das nossas estimativas).
• Faremos isso assumindo que β0 = 1.0 e β1 = 1.0.
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n = 50
beta = cbind(1.0, 0.0)
X = cbind(1, runif(n))
y = X%*%t(beta) + rnorm(n)
betahat = solve(t(X)%*%X)%*%t(X)%*%y
betahat
## [,1]
## [1,] 1.1570424
## [2,] -0.3086594
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• O primeiro dos valores reportados é a estimativa da constante e o segundo a estimativa do
coeficiente de inclinação da reta ajustada.
• Sabemos que o estimador de MQO é, sob as suposições usuais, não enviesado e consistente.
• Além disso, é importante que o estimador tenha consistência, isto é, a distribuição do estimador se
torna mais concentrada ao redor do parâmetro populacional a medida que o tamanho da amostra
aumenta.
• Se isso é verdade, quando o tamanho da amostra n tende para infinito, a distribuição do estimador é
centrada no parâmetro populacional.
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• Podemos realizar um experimento controlado para enteder o que significam essas propriedades do
estimador de MQO.
• Para fazer esse experimento precisamos usar mais algumas das funcionalidades do R,
especificamente aquelas que nos permitem repetir determinado procedimento um grande número de
vezes.
• Não veremos com detalhes esse tema no curso, mas vamos usar algumas noções básicas que nos
serão bastantes úteis.
• O comando for é usado para realizar uma operação repetidas vezes.
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• Funciona, basicamente, da seguinte maneira: for(i in 1:n)‘...’, isto é, para cada valor i o R vai
calcular os comandos que estão entre as chaves no que é conhecido como ‘looping’.
• O termo i in 1:n significa que i será repetido de i = 1 até 1 = n.
• Assim, dado que 1:n, na primeira rodada i será igual a 1, na segunda i = 2, e assim por diante até i
= n.
• O comando matrix(‘args’) será usado para criar uma matriz que servirá para guardar os valores
estimados de β.
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betahats = matrix(0, 1000, 2)
for(i in 1:1000){
y <- X%*%t(beta) + rnorm(n)
betahats[i,] <- solve(t(X)%*%X)%*%t(X)%*%y
}
mean(betahats[,1])
## [1] 0.9953599
mean(betahats[,2])
## [1] -0.004847005
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• O comando mean(‘args’), última linha do código acima, nos informa que a média dessas estimativas
é bastante próxima dos verdadeiros valores ou, em termos estatísticos, que o estimador de MQO é
não enviesado.
• Na verdade, o que estamos vendo aqui é que se repetirmos esse processo infinitas vezes a média das
estimativas convergirá para 1, que é o verdadeiro valor de β (tente com 100000) e isso não depende
do tamanho da amostra.
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• De, fato sob se mantidos os pressupostos básicos, os estimadores obtidos pelo método de MQO serão
os Melhores Estimadores Lineares Não Viesados (MELNV, ou BLUE – Best Linear Unbiased
Estimator).
• E como será a distribuição de β̂’s?
• Para ter uma ideia a maneira mais fácil é obter um histograma dessas estimativas.
• Isso é feito com comando hist(betahats[,2]) que usaremos para exibir a distribuição das
estimativas de β1.
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betahats[, 2]
D
en
si
ty
−1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
0.
0
0.
2
0.
4
0.
6
0.
8
Figura 2: Histograma das estimativas de β̂2.
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• A ideia de consistência é, geralmente, um pouco difícil de entender por que na prática o tamanho da
amostra é fixo.
• Consistência é uma consideração que devemos fazer imaginando que o tamanho da amostra torna-se
infinitamente grande, isto é, se para amostras cada vez maiores o estimador converge em
probabilidade para o parâmetro populacional (caso contrário devemos concluir que esse estimador
não é consistente).
• Mas com a ajuda do R podemos ver o que esse conceito nos diz.
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• Observe que na Figura 3 usamos diferentes tamanhos amostrais e a densidade está cada vez mais
próxima de zero (verdadeiro valor de β2), o que significa que o estimador é, de fato consistente.
• Faça, como exercício, para uma amosta de tamanho 1000.
• Para obter a densidade use algo do tipo plot(density(betahats[,2]) e veja o que acontece.
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0
1
2
−4 −2 0 2 4
Estimativas
D
en
si
da
de
s
colour
n = 10
n = 100
n = 50
n = 500
Figura 3: Densidades das estimativas de MQO de β2 para diferentes tamanhos amostrais (n = 10, n = 50, n = 100 e
n = 500)
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• Será que essa distribuição é normal? Vejamos:
require(moments)
## Loading required package: moments
# Assimetria
skewness(betahats[,2])
## [1] 0.0320196
# Curtose
kurtosis(betahats[,2])
## [1] 2.912164
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• O comando skewness(‘args’) nos diz que a assimetria igual é próxima de 0 e a curtose
(kurtosis(‘args’)) próxima de 3, o que nos fornece um forte indício de normalidade dessa
distribuição.
• Como exercício, faça o teste de Jarque-Bera e verifique.
• Note também que usamos um comando novo require(‘args’) que serve para carregar pacotes
adicionais.
• �ando instalamos o R apenas as configurações mínimas para seu funcionamento básico são
incluídas no programa, ou seja, os pacotes que vêm fazem parte da instalação ‘base’.
• Para realizar tarefas mais complicadas e interessantes pode ser necessário instalar pacotes (packages)
adicionais.
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• Para instalar um pacote use o comando install.packages(‘nome do pacote’).
• Uma lista de servidores aparecerá e você deve escolher um deles.
• Em seguida, uma lista com uma grande quantidade de pacotes está disponível.
• Clique no pacote que deseja e ele será instalado (se tudo correr bem).
• Feito isso, para usar o pacote instalado é preciso carregá-lo usando o comando require(‘args’) ou
library(‘args’).
• E foi exatamente isso que fizemos ao carregar o pacote require(moments).
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• Feito isso, a próxima questão é a seguinte: será que podemos confiar nessas estimativas? Será que
podemos dizer que nossas estimativas realmente importam?
• Para responder essa questão vamos manter, a principio, a suposições de que E (u | X) = 0 e
Var (u | X) = σ2I.
• Nesse caso o estimador da matriz de covariâncias, já que mantida a suposição usual de
homoscedasticidade, é dado por
σ̂2
n− k
(X ′X)−1, em que σ̂2 = û′û, n é o número de observações e k o
número de parâmetros.
• Agora podemos inferir sobre a validade da estimativa β̂, ou seja, podemos testar, por exemplo, a
hipótese de que β̂0 6= 0 ou ainda β̂1 6= 0.
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• Vejamos como testar essas hipóteses
set.seed(1234)
n = 10
k = 2
beta = cbind(1.0, 0.0)
X = cbind(1, runif(n))
y = X%*%t(beta) + rnorm(n)
betahat = solve(t(X)%*%X)%*%t(X)%*%y
betahat
## [,1]
## [1,] 0.7401313
## [2,] -0.1428783
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uhat = M%*%y
uhat
## [,1]
## [1,] 0.56461369
## [2,] -0.02841287
## [3,] -0.32395558
## [4,] -0.53162422
## [5,] -0.09869282
## [6,] -0.33119477
## [7,] -0.52770995
## [8,] -0.17707582
## [9,] 0.09069837
## [10,] 1.36335397
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shat = (t(uhat)%*%uhat)/(n - k)
shat
## [,1]
## [1,] 0.3754239
covhat = as.numeric(shat)*solve(t(X)%*%X)
covhat
## [,1] [,2]
## [1,] 0.1696737 -0.2700821
## [2,] -0.2700821 0.5520595
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tb0 = betahat[1]/sqrt(covhat[1,1])
tb0
## [1] 1.796807
tb1 = betahat[2]/sqrt(covhat[2,2])
tb1
## [1] -0.1922974
tcrit = qt(0.975, df = (n - k))
tcrit
## [1] 2.306004
abs(tb0) > tcrit
## [1] FALSE
abs(tb1) > tcrit
## [1] FALSE
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• Denominamos de covhat a matriz de covariâncias, tb0 a estatística de teste para β̂0 e tb1 para β̂1.
• Da diagonal principal da matriz de covariâncias obtemos os desvios-padrão de interesse, associados a
τ = β̂0 e β̂1.
• A estatística de teste é dada por β̂i√
v̂ar
(
β̂i
) , tem distribuição t−Student e n− k graus de liberdade.
SobH0 não podemos rejeitar a hipótese de que o valor estimado é zero e, de modo oposto, rejeitamos
a hipótese nula se τ > tα/2,n−k .
• Com essas informações, devemos acreditar nas nossas estimativas?
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• A regra de decisão nos diz que devemos comparar nossas estatística de teste com um valor crítico.
• Vamos obter esse valor crítico usando o comando qt(‘args’) que reporta o quantil de interesse das
distribuição t−Student.
• Se valor da comparação abs(tb) > tcrit é verdadeiro (FALSE) não devemos rejeitar a hipótese nula.
• Se você chegou até aqui saiba que não será possível repetir todos esses passos quando quiser fazer
uma regressão simples.
• O R tem um comando que automatiza esses procedimentos e para usá-lo basta fazer:
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Econometria com o auxílio do R
reg = lm(y ~ X[,2])
summary(reg)
##
## Call:
## lm(formula = y ~ X[, 2])
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -0.7372 -0.4189 -0.2076 0.2832 1.2928
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 0.7401 0.4539 1.631 0.142
## X[, 2] -0.1429 0.8187 -0.175 0.866
##
## Residual standard error: 0.6751 on 8 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.003793,Adjusted R-squared: -0.1207
## F-statistic: 0.03046 on 1 and 8 DF, p-value: 0.8658
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• O comando lm(‘args’) roda a regressão e armazena na variável reg.
• Já o comando summary(‘args’) serve para exibir os resultados de modo mais completo e amigável.
• Observe que os resultados apresentados pelo R incluem uma coluna com o p−valor (Pr(>|t|)).
• Com isso, temos uma forma mais compacta e prática de decidir se devemos ou não rejeitar a hipótese
nula.
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• Podemos exibir o p−valor, das nossas estimativas fazendo
2*pt(-abs(tb0), df = (n - k))
## [1] 0.1100888
2*pt(-abs(tb1), df = (n - k))
## [1] 0.8523009
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• O comando pt(‘args’) foi usado para gerar a função de distribuição desejada.
• Vamos seguir um pouco mais adiante.
• �ando realizamos testes de hipótese devemos estar cientes de que nenhum teste é 100% certo.
• Como todo procedimento baseado em probabilidades, sempre há uma chance de errarmos nas nossas
conclusões.
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• Felizmente, podemos saber quais são as chances de cometermos dois erros nessa etapa que são
inversamente relacionados: tipo I e tipo II.
• O Erro tipo I ocorre quando a hipótese nula é verdadeira, mas é rejeitada.
• A probabilidade de cometer esse tipo de erro é comumente indicada pela letra α, que, por sua vez,
nada mais é o que o nível de significância que você definiu para seu teste de hipóteses.
• Por exemplo, se α− 0.05 estamos aceitando uma chance de 5% (5 a cada 100) de cometermos um erro
ao rejeitar a hipótese nula.
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• Se quiser reduzir este risco, será preciso usar um valor ainda menor de α. Isso, porém, tem um custo.
• Ao diminuir o valor de α as chances de detectarmos uma diferença rejeitarmos corretamente a
hipótese nula diminuem, o que dá origem ao erro tipoII.
• O erro tipo II ocorre quando a hipótese nula não é verdadeira, mas não a rejeitamos.
• A probabilidade de cometermos esse erro é comumente indicada pela letra β (não confunda com o β
da regressão).
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• E a probabilidade de cometermos o erro Tipo II é igual a 1− β, que o valor da potência do teste.
• A probabilidade de cometer um erro do tipo I é chamada de tamanho do teste, enquanto que a
probabilidade de não cometer um erro do tipo II de poder do teste.
• O poder do teste, isto é, a capacidade que o teste tem de rejeitar corretamente a hipótese nula pode
ser melhorado se o teste tiver potência suficiente.
• Uma maneira de ajudar nessa missão, e diminuir as chances do erro tipo II, é garantir que o tamanho
da amostra seja grande o suficiente.
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• O tamanho empírico do teste e pode ser calculado por meio de um experimento de de Monte-Carlo,
isto é, por meio da geração de um grande número de amostras sob a hipótese nula.
• Com isso podemos responder a seguinte pergunta: será que nosso teste é confiável?
• Se for então o número de vezes em que devemos errar deve ser próximo do nível de nível de
significância adotado.
• Logo, ao fixar um nível de significância de 5% estamos afirmando que em apenas 5% das vezes
rejeitaremos a hipótese nula quando, na verdade, não devíamos.
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• Vejamos se isso ocorre com o nosso teste:
nrep = 5000
betahats = matrix(0, nrep, 2)
varhats = matrix(0, nrep, 2)
tbs = matrix(0, nrep, 2)
X = cbind(1, runif(n))
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for(i in 1:nrep){
y = X%*%t(beta) + rnorm(n)
betahats[i,] = solve(t(X)%*%X)%*%t(X)%*%y
uhat = y - X%*%betahats[i,]
shat = (t(uhat)%*%uhat)/(n - k)
varhats[i,1] = (as.numeric(shat)*solve(t(X)%*%X))[1,1]
varhats[i,2] = (as.numeric(shat)*solve(t(X)%*%X))[2,2]
tbs[i,1] = ((betahats[i,1] - 1.0)/sqrt(varhats[i,1]))
tbs[i,2] = ((betahats[i,2] - 0.0)/sqrt(varhats[i,2]))
}
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# Média das estimativas de beta0
mean(betahats[,1])
## [1] 1.009554
# Média das estimativas de beta1
mean(betahats[,2])
## [1] -0.01542628
# Poder do teste para beta0
(sum(abs(tbs[,1]) > tcrit)/nrep)*100
## [1] 5.54
# Poder do teste para beta1
(sum(abs(tbs[,2]) > tcrit)/nrep)*100
## [1] 5.1
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• É fácil verificar que nosso teste tem um percentual de rejeições muito próximo do nível de confiança
especificado (5%).
• Isto significa que esse teste, caso as suposições se mantenham, é confiável.
• E se aumentarmos o número de repetições do experimento?
• E se aumentarmos o tamanho da amostra? O que acontece? �ais são as mudanças observadas nos
resultados? O isso nos diz?
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• Vejamos um exemplo com a redução da pobreza que é um dos mais importantes Objetivos de
Desenvolvimento do Milênio.
• �ais são os apectos sócio–econômicos que influenciarão a redução da pobreza nas décadas
seguintes?
• Vamos começar nossa investigação analisando a equação
log
(
pobt
pobt−1
)
= log (pobt−1) + u,
em que estamos relacionado o a taxa de redução na pobreza entre os períodos t e t − 1 a taxa de
pobreza em t − 1.
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• Vamos começar carregando os dados e dando uma olhada nas primeiras linhas do arquivo
• Para tanto usamo os comandos:
###
data = read.csv('Poverty_Ineq_Data.csv', sep = ',', header = T, stringsAsFactors = FALSE)
###
head(data)
## i pov pov1960 gdp inc gini k h ill pop prur
## 1 1047 -2.538409 0.78413 4.094 290.960 0.61566 2.395 2.75521 0.22727 2055 0.61265
## 2 1048 -2.119224 0.68254 4.298 187.751 0.38422 1.184 2.40703 0.25689 12592 0.61206
## 3 1049 -1.093967 0.70227 2.091 260.072 0.54025 2.220 2.30930 0.36311 23991 0.61190
## 4 1050 -1.394896 0.64452 3.455 317.346 0.54811 2.776 3.37503 0.33666 32685 0.61043
## 5 1051 -1.741857 0.60995 2.450 273.246 0.43877 1.787 3.16908 0.42142 11170 0.61218
## 6 1052 -2.003344 0.72937 3.978 316.259 0.45772 1.599 3.36858 0.32723 6397 0.61169
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• Agora, vamos rodar nossa regressão.
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reg = lm(pov ~ log(pov1960), data)
###
summary(reg)
##
## Call:
## lm(formula = pov ~ log(pov1960), data = data)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -3.2996 -0.4787 0.1310 0.5198 3.2225
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -1.20969 0.02800 -43.20 <2e-16 ***
## log(pov1960) 1.78916 0.07905 22.63 <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.6975 on 2275 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.1838,Adjusted R-squared: 0.1834
## F-statistic: 512.3 on 1 and 2275 DF, p-value: < 2.2e-16
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• Analise os resultados que obtivemos.
• Será que podemos melhorá-los?
• A ausência de varíaveis importantes pode causar problemas.
• Vamos adicionar outra variáveis explicativas para ver o que acontece.
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###
reg = lm(pov ~ log(pov1960) + ill, data)
###
summary(reg)
##
## Call:
## lm(formula = pov ~ log(pov1960) + ill, data = data)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -3.14842 -0.33979 0.07172 0.40548 1.50659
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -3.38537 0.06918 -48.933 <2e-16 ***
## log(pov1960) -0.18049 0.08769 -2.058 0.0397 *
## ill 3.36100 0.10082 33.336 <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.5718 on 2274 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.4517,Adjusted R-squared: 0.4512
## F-statistic: 936.8 on 2 and 2274 DF, p-value: < 2.2e-16
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###
reg = lm(pov ~ log(pov1960) + ill + prur, data)
###
summary(reg)
##
## Call:
## lm(formula = pov ~ log(pov1960) + ill + prur, data = data)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -2.8401 -0.3207 0.0666 0.3645 1.4700
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -4.45287 0.08940 -49.81 < 2e-16 ***
## log(pov1960) -0.57332 0.08544 -6.71 2.45e-11 ***
## ill 3.10422 0.09588 32.38 < 2e-16 ***
## prur 1.88625 0.10845 17.39 < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.5373 on 2273 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.5161,Adjusted R-squared: 0.5155
## F-statistic: 808.2 on 3 and 2273 DF, p-value: < 2.2e-16
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