Lista 3 - MAT 146 - 2019-II

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Universidade Federal de Viçosa
Departamento de Matemática
Lista III-MAT 146
(1) Sejam f, g e h funções deriváveis. Determine
[f(x)g(x)h(x)]
′
e
[
f(x)g(x)
h(x)
]′
.
(2) Utilizando as regras de derivação, encontre a derivada de cada um das funções abaixo.
a) f(x) = x2 + 3
√
x+ cos(x) + sin(x)
b) f(x) =
3
√
x
2
√
x
c) f(x) =
x2
ln(x)
+
ln(x)
x
d) f(x) = 3 sin(x) + 10 cos(x)
e) f(x) = tan(x) + cot(x)
f) f(x) = cos(40)x
g) f(x) = 2x cos(x)
h) f(x) = x sin(x) + cos(x)
i) f(x) = 4 sec(x)− 2 csc(x)
j) f(x) = x2 sin(x) + 2x cos(x)
k) f(x) = sin(x) tan(x)
l) f(x) = sin(x) cos(x) sec(x)
m) f(x) =
2 cos(x)
x+ 1
n) f(x) =
x+ 1
2 cos(x)
o) f(x) =
tan(x)
cos(x)− 4
p) f(x) =
1 + sin(x)
1− sin(x)
q) f(x) =
sin(x)− 1
cos(x) + 1
(3) Determine f ′(a) em cada um dos itens abaixo.
a) f(x) = x cos(x); a = 0.
b) f(x) = sin(x)(cos(x)− 1); a = π.
(4) Sabemos que, para x > 0, loga x =
ln(x)
ln(a)
, com a > 0 e a 6= 1. Utilizando a mudança de base apresentada,
determine a derivada de cada um das funções abaixo.
a) f(x) = log2(x).
b) f(x) =
log2(x)
log4(x)
.
(5) Derive cada um das funções abaixo.
a) f(x) = (2x+ 1)2
b) f(x) = (x2 + 4x− 5)4
c) f(x) = (2x4 − 7x3)e
d) f(x) = (x2 + 4)−2
e) f(x) = sin(3x)
f) f(x) = cos(6x)
g) f(x) = tan(10x)
h) f(x) = sec(6x)
i) f(x) = csc(3x)
j) f(x) = cot(10x)
k) f(x) = sin(x2)
l) f(x) = cos(x2)
m) f(x) = cos(3x2 + 1)
n) f(x) = 4x
1
2 + 5x−
1
2
o) f(x) =
√
1 + 4x2
p) f(x) = 3
√
2x
q) f(x) = sin(x2)
r) f(x) = cos(3x+ 2)
s) f(x) = e2x
t) f(x) = e
√
x
u) f(x) = ln(x2 + 2x)
v) f(x) = tan(3x)
w) f(x) = esin(x)
x) f(x) = tan(ln(x))
y) f(x) = ln(tan(x))
(6) Determine
dy
dx
em cada um dos casos abaixo.
a) x2 + y2 = 16
b) x3 + y3 = 8xy
c)
1
x
+
1
y
= 1
d)
√
x+
√
y = 4
e) x2y2 = x2 + y2
f) 3
√
x+ 3
√
xy = 4y2
g) 2x3y + 3xy3 = 5
1
2
(7) Ache uma equação da reta tangente à curva 16x4 + y4 = 32 no ponto (1, 2).
(8) Para cada função abaixo, determine fn(x), onde
a) f(x) = x5 − 2x3 + x, n = 2.
b) f(x) = 2x4 + 3, n = 3.
c) f(x) =
(
1
x
)2
, n = 2.
d) f(x) = sin(x), n = 2.
e) f(x) = cos(x), n = 3.
f) f(x) = sin(2x), n = 50.
g) f(x) =
1
x
, n = 15.
(9) Seja y =
x3
x+
√
x
. Calcule
dy
dx
∣∣∣∣
x=1
.
(10) Seja f : R −→ R derivável e seja g(t) = f(t2 + 1). Supondo f ′(2) = 5, calcule g′(1).
(11) Ache os pontos cŕıticos das seguintes funções.
a) f(x) = x3 + 7x2 − 5x
b) f(x) = x4 + 4x3 − 2x2 − 12x
c) g(x) = x
6
5 − 12x 15
d) f(t) = (t2 − 4) 23
e) h(x) =
x− 3
x+ 7
f) f(x) =
x
x2 − 9
g) f(x) = sin2(3x)
h) g(t) = sin(2t) cos(2t)
i) f(x) = tan2(4x)
j) g(x) = (x− 2)3(x+ 1)2
(12) Determine os valores de máximos e mı́nimos, caso existam, da função dada, no intervalo indicado.
a) f(x) =
x4
4
− x3 − 2x2 + 3 em [−2, 3]. b) g(x) = x
3 − 3x2 + 3x− 1 em [−2, 1].
(13) Estude a função dada com relação a máximos e mı́nimos locais e globais.
a) f(x) =
x
1 + x2
b) f(x) = x4 − 4x3 + 4x2 + 2
(14) Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento das funções abaixo.
a) f(x) = x3 − 3x2 + 1 b) f(x) = x3 + 2x2 + x+ 1 c) f(x) = x+ 1
x
(15) Sejam f(x) = x2 − 4x− 1 e g(x) = x3 − x2 − x.
a) Ache os extremos relativos de cada função, pelo teste da derivada primeira.
b) Determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem.
c) Determine os intervalos nos quais f é crescente e os intervalos nos quais f é decrescente.
(16) Sejam f(x) = x3 + 9x e g(x) = x4 − 8x3. Encontre os pontos de inflexão do gráfico da função f e g, se
existirem. Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo.
(17) Estude a função dada com relação á concavidade e pontos de inflexão.
a) f(x) = x3 − 3x2 − 9x
b) f(x) = 2x3 − x2 − 4x+ 1
c) f(x) = xe−2x
d) x(t) = t2 +
1
t
(18) Ache os máximos e mı́nimos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, quando aplicável.
Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira. Use a derivada segunda para encontrar os
pontos de inflexão do gráfico da função e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é para baixo.
a) f(x) = 3x2 − 2x+ 1
b) f(x) = −4x3 + 3x2 + 18x
c) f(x) =
1
3
x3 − x2 + 3
(19) Ache os máximos e mı́nimos relativos das funções dadas, pelo teste da derivada segunda.
a) f(x) = x4 +
4
3
x3 − 4x2
b) g(x) = 3x2 − 2x+ 1
(20) Faça o esboço do gráfico das funções abaixo.
3
a) f(x) =
x2
x2 − 4
b) f(x) =
x
x+ 1
c) f(x) =
2x
9− x2
d) f(x) =
x3 − 2
x
e) f(x) =
16− x2
(x− 2)2
f) f(x) =
√
x2 − 4
g) f(x) = e−x
2
h) f(x) =
x3 − x+ 1
x2
(21) Uma escada de 6m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada começa
a deslizar horizontalmente, à razão de 0, 6m/s, com que velocidade o topo da escada percorre a parede,
quando está a 4m do solo?
(22) Dois carros, um dirigindo-se para o leste à taxa de 72km/h e o outro para o sul à taxa de 54km/h estão
viajando em direção ao cruzamento de duas rodovias. A que taxa os carros se aproximam um do outro, no
instante em que o primeiro estiver a 400m e o segundo estiver a 300m do cruzamento?
(23) Um tanque tem a forma de um cone circular reto invertido, com 4m de altura e 2m de raio da base. Se a
água entra no tanque à razão de 0, 001m3/min, calcule a razão na qual o ńıvel da água está subindo quando
a profundidade é de 1m.
(24) Ao ser aquecida uma chapa circular de metal, seu diâmetro varia à razão de 0, 01cm/min. Determine a taxa
à qual a área de uma das faces varia quando o diâmetro está em 30cm.
(25) Um incêndio em um campo aberto se alastra em forma de ćırculo. O raio do ćırculo aumenta à razão de
1m/min. Determine a taxa à qual a área incendiada está aumentando quando o raio é de 20m.
(26) Uma luz está no alto de um poste de 5m. Um menino de 1, 6m se afasta do poste à razão 1, 2m/s. A que
taxa aumenta o comprimento de sua sombra quando ele está a 6m do poste? A que taxa se move a ponta
de sua sombra?
(27) A areia que vaza de um depósito forma uma pilha cônica cuja altura é sempre igual ao raio. Se a altura
da pilha aumenta à razão de 15cm/min, determine a taxa à qual a areia está escoando quando a altura da
pilha é 25cm.
(28) Suponha que uma bola de neve esférica é formada de tal maneira que seu volume aumenta à taxa de
8dm3/min. Determine a taxa a qual o raio é aumentado quando a bola de neve tem 4dm de diâmetro.
(29) As extremidades de um cocho horizontal de 8 m de comprimento são trapézios isósceles de bases de 2m
e 1m. A altura do cocho é de 0, 6m. Se o ńıvel da água está subindo à razão de 0, 1cm/min, quando a
profundidade da água é de 0, 3m, com que velocidade a água está entrando no cocho?
(30) Às 8h o navio A está 25km ao sul do navio B. Se o navio A está navegando para o oeste à 16km/h e o
navio B está navegando para o sul a 20km/h então determine a razão em que a distância entre os navios
está variando às 8h30min.
(31) Um farol giratório completa uma volta a cada 15 segundos. O farol está a 60m de P, o ponto mais próximo
em uma praia retiĺınea. Determine a razão em que um raio de luz do farol está se movendo ao longo da
praia em um ponto, Q, a 150m de P.
(32) Suponha que uma bola de neve esteja se derretendo, com raio decrescendo à razão constante, passando de
30cm para 20cm em 45 minutos. Qual a variação do volume quando o raio está com 25cm?
(33) Uma pessoa que solta um papagaio segura a corda a 1, 5m do solo. A corda é liberada à razão de 0, 6m/s
na medida em que o papagaio se move horizontalmente a uma altura de 33, 5m. Supondo que a corda fique
sempre esticada, determine a taxa à qual o papagaio está se movendo no instante em que foram liberados
38m de corda.
(34) Um balão de ar quente sobe verticalmente à medida que uma corda, amarrada à sua base, é liberada à
razão de 1m/min. O carretel que libera a corda está a 6, 5m da plataforma de embarque dos passageiros.
A que taxa o balão está subindo quando tiverem sido liberados 150m de corda?
(35) Da beira de um rochedo 60m acima deum lago um menino deixa cair um pedra e, depois de 2s deixa cair
outra pedra da mesma posição. Discuta a taxa na qual a distância entre as pedras varia durante o próximo
segundo (Admita que a distância percorrida em t segundos por um objeto em queda livre é 4, 9t2m).
4
(36) Um mı́ssil é lançado verticalmente para cima de um ponto que está a 8km de uma estação de rastreamento,
e à mesma altura desta. Durante os primeiros 20 segundo de voo, seu ângulo de elevação varia à razão
constante de
π
90
rads/s. Determine a velocidade do mı́ssil quando o ângulo de elevação for
π
6
rads.
(37) Um meliante foge sobre uma muralha reta a uma velocidade de 4m/s. Um holofote localizado a 20m de
distância da muralha, e mesma altura que esta, focaliza o homem em fuga. A que taxa o holofote está
girando quando o meliante se encontra a 15m do ponto da muralha que está mais próximo do holofote?